Філолофсько-методологічний аналіз парадигм математичної онтології

За Арістотелем, математичне пізнання - це пізнання форми єдиного предмета, яке дозволяє розглядати форму як субстанцію. Форма - загальна, реальне - одиничне. Для того, щоб розглядати форму визначеного, індивідуального і одиничного, необхідно до неї приєднати щось, що може бути виражене за допомогою поняття. Стагірит, розробляючи не лише в трактаті «Категорії», але й інших творах зміст категорій «сутність», «кількість», «якість», «співвідношення» і ін., цілком ясно визначив онтологічний статус математичних предметів. Вони є властивостями сутності, які не мають самостійного існування.

У підрозділі 2.3. «Начала» Евкліда у контексті онтології математичних сутностей Платона» дисертантом обґрунтовано, що евклідові визначення геометричних фігур корелюють з платонівським поясненням будови моделі Всесвіту, яке розсічено Деміургом на кола «тотожного» і «іншого» з єдиного субстрату.

У діалозі «Тімей» збудована космологічна система, в якій визначена ієрархія трьох структур буття: розуму, матерії і з'єднання одного й іншого в єдине ціле. Речі розглянуті не в ізольованому стані, для кожної фіксований її сенс і специфічна ідея. Усі ідеї представлені як загальна ідеальна дійсність і оголошуються моделями, що породжують весь існуючий світ. Одним з прийомів, якими широко користується Платон при побудові свого методу міркування, є порівняння. Під час порівняння ним використовується поняття подільності. Якщо річ ділима, то вона ділима або необмежено, або лише на обмежене число неділимих частин. Неподільність частин вказує на межу поділення речі. Річ, яка складається з кінцевого числа частин, визначається числом цих частин. Число розуміється античним мислителем як поєднання межі і безмежного.

Структури міркувань в діалогах Платона і в «Началах» Евкліда мають схожі моменти, які полягають у використанні методів ділення поняття за певною ознакою, порівняння, послідовного конструювання ієрархічно залежних один від одного предметів. Під час побудови визначень і доказів у «Началах» Евкліда, як і у Платона, передує геометрична наочність. Геометричні побудови базуються на очевидностях апріорного характеру. Строгість геометричних обґрунтувань не менш надійна, ніж арифметична чи логічна строгість.

Розділ 3. «Філософсько-методологічний аналіз парадигми математичної онтології змінних величин і математичного природознавства XV - XVIII століть» присвячений філософському осмисленню ідеалів і норм постановки математичних проблем і побудови математичного знання в XV - XVIII століттях. Трактування категорії «єдине», переосмислене

М. Кузанським, створило філософам-раціоналістам необхідний фон під час побудови абстрактних об'єктів і інструментів роботи з ними. Раціоналістична філософія XVII століття висунула ідею універсальності математичного методу. У працях Р. Декарта, Г.В. Лейбниця, І. Ньютона, І. Канта відтворена система поглядів, що визначила статус математичних сутностей як елементів пізнавальної діяльності.

У підрозділі 3.1. «Принцип тотожності «єдиного - нескінченного» М.Кузанського і математика Нового часу» розкрито, що М. Кузанський верховним началом філософії оголосив парадокс як принцип збігу протилежностей. Він назвав абсолютний максимум «загальною межею».

М. Кузанським переосмислені абстрактні ключові категорії давньогрецької філософії, на яких ґрунтувалися основні математичні абстракції. Поняття «єдиного» замінено в Кузанця поняттям актуальної нескінченності. Воно є продуктом поєднання протилежностей - єдиного і безмежного. В актуально нескінченному безмежне мислиться як завершене, а не як постійний зсув межі. Актуально нескінченне М. Кузанського - це рух без кінця, постійне становлення. Саме так актуальну нескінченність розуміли в античності. Платон і неоплатоники називали її «іншим», «нетотожним», чистою потенцією. Арістотель визначив актуальну нескінченність як матерію, позбавлену форми. М. Кузанським актуальна нескінченність мислилася як актуально суще, безмежне. Вона ототожнювалася зі своєю протилежністю - формою форм - «єдиним».

Компаративістський аналіз дозволяє зазначити, що для античної математики істотно було знайти критерій, який дозволяє порівнювати і розрізняти кінцеві величини, встановлюючи співвідношення між ними. А для математики, як її розумів М. Кузанський, важливо показати, що перед лицем нескінченності будь-які кінцеві відмінності зникають.

У підрозділі 3.2. «Mathesis universalis» Р. Декарта і його трактування статусу математичних сутностей» розкрито, що Р. Декартом вперше був вироблений субстанціональний підхід до проблеми трактування існування математичних об'єктів. У творчості Р. Декарта категорія «протяжної» субстанції стала фундаментом для абстрактних побудов.

Метод Р. Декарта спирається на допущення ієрархії трьох субстанцій: Бога, мислячого «Я» і протяжного тіла. Картезієм передбачалося, що «матеріал» роботи думки може бути повністю рефлексивно оброблений. Знання будь-якого предмету передбачає, по-перше, усвідомлення цього знання, по-друге, розуміння того, з чого і як думка синтезує предмет знання. Процес мислення має бути представлений в спеціальних формах - математичних побудовах, тому здатний нести в собі безперервність і загальнозначимість виробленого досвіду. Алгебраїчні конструкції та їх геометричні інтерпретації - це прагнення виключити з думки помилки. Математична конструкція має бути відповідальною сама за себе. Але вона ґрунтується на онтологічних допущеннях, які стосуються «Я» cogito. Говорячи про математичні побудови, Р. Декарт розмірковує про «чисту» свідомість. Вона, завдяки впорядкуванню речей, детермінована, організована, створює і відтворює себе на власних основах.

У підрозділі 3.3. «Інтегрована картина світу І. Ньютона і онтологічний статус математичних сутностей в її конструюванні й описі» інтерпретовані: статус математичних об'єктів і філософські підстави математичного моделювання інтегрованої картини світу, сконструйованої І. Ньютоном.

У «Началах» об'єднані нова математична фізика і нова фізична картина світу, абстрактність описів якої виявляється в тому, що замість наочної реальності стикаємося з логічно усвідомленою і детально збудованою закономірністю. Створюючи опис механістичної картини світу, І. Ньютон затвердив надійність геометричного способу побудови доказів. У «Началах» аналіз геометрично збудованих механічних систем у вигляді положень матеріальних точок поєднується з висновками за аналогією і індуктивними гіпотезами відносно об'єктів цих систем. Геометричне конструювання І. Ньютона - це наочні логічні операції, що здійснюються над об'єктами. Геометрична очевидність у «Началах» аподиктична. Вона не може бути спростована на основі тільки логічного аналізу. Автор висловив припущення про те, що застосовуючи мову математики при описі картини світу, І. Ньютон наслідував Р. Декарта. Але в

І. Ньютона, на відміну від Р. Декарта, який ототожнив матерію з протяжністю, знаково-символічні позначення мають референтами фізичні об'єкти.

У підрозділі 3.4. «Scientia generalis» Ґ. В. Лейбниця як визначення структури в картині світу і онтологія математичних абстракцій в її описі обґрунтовано, що в основі осмислення Ґ. В. Лейбницем математичних предметів як елементів опису картини світу лежать його теологічні уявлення. Автором виявлені відмінності філософсько-математичних ідей Ґ. В. Лейбниця і Р. Декарта.

На відміну від Р. Декарта, Ґ. В. Лейбниць розумів субстанцію як просте й неділиме начало, що становить сутність природних речей, як одиницю або як форму, яка не містить у собі частин. Виходячи з трактування субстанції, Г.В.Лейбниць визначив протяжність не як первинне, а як похідне поняття, яке не має виразності й утворене не одним лише розумом, але й уявою. «Протяжність» не може бути основою для розуміння природи і для обґрунтування математики.

Принцип «мислю, отже, існую», який Р.Декарт вважав найбільш достовірним для розуму, Г.В.Лейбниць відносить до істин факту, не вважаючи таку істину відмінною від безлічі інших, їй подібних. На відміну від Р. Декарта, Г.В.Лейбниць розробляв свою методологію побудови доказів не з точки зору діяльності суб'єкту, що пізнає, а як структурний закон об'єктивно наявних наочних зв'язків. У методі побудови доказу Ґ. В. Лейбниць бачив логіку, загальну для всіх приватних наук, а тому і називав її «загальною наукою» (scientia generalis).

У підрозділі 3.5. «Апріорний конструктивізм І. Канта і його трактування статусу математичних сутностей в контексті пізнавальної діяльності» аналізується переосмислення ідеалів і норм пізнавальної діяльності І. Кантом і розгляду ним, в зв'язку з цим, статусу математичних сутностей. У «Критиці чистого розуму» стверджується що, специфіка пізнавальної діяльності суб'єкта, а не структура пізнаваної субстанції, є предметом дослідження. Розумова і розумна діяльність - це чинники, що конструюють предмет знання. Обґрунтовуючи розумовий експеримент, І. Кант звертається до математичного знання, його синтетичних процедур, які, виходячи із закону протиріччя, конструюються суб'єктом, що пізнає. І. Кант звів пізнавальну діяльність з формально-логічною системою її опису - математикою, до рангу головного елементу теоретичної філософії, предметом якої повинне стати встановлення законів людського розуму і його границь. За І. Кантом, судження математики, яка конструює свій предмет, спираються або на чисте споглядання простору - в геометрії, або на чисте споглядання часу - в арифметиці.

Підкреслено, що розкриваючи теоретичні постулати науки, І. Кант обґрунтовує взаємний вплив природознавства, математики й філософії.

Розділ 4. «Філософсько-методологічне дослідження парадигми математичної онтології XIX століття - нестандартної геометрії і теоретико-множинних побудов» присвячений філософському осмисленню гносеологічних установок та логічних критеріїв постановки математичних проблем і побудови математичного знання в XIX столітті.

У підрозділі 4.1. «Роль інтуїції й системи аподиктичних очевидностей у побудові й обґрунтуванні математичного знання» дисертант визначає свою позицію, яка полягає в тому, що математичне знання - це не окремі відкриття, які поступово з'єднуються в загальну картину, а створення протягом тривалого часу, де проміжки складають сторіччя, загальної понятійної сітки. Для її побудови необхідні дві здатності трансцендентального суб'єкта: математична інтуїція й дедукція. За допомогою інтуїції розум убачає лише перші найпростіші й очевидні начала, які можна осягти через самих себе за допомогою власного досвіду, і які не можуть бути знищені ніякою критикою. Згодом зміст знань про найпростіші начала уточнюється. З найпростіших начал методом дедукції виводяться всі інші твердження, які становлять зміст математичного знання. Інтуїція в математиці - це можливість появи різноманіття знання з первісної єдності - тотожності суб'єктивного й об'єктивного. Інтуїція - це творчий акт, який являє собою єдність усвідомленої й неусвідомленої діяльності.

У підрозділі 4.2. «Аналіз принципів «уявної» геометрії М. І. Лобачевського в контексті філософсько-математичних ідей І. Канта» обґрунтована корелятивність апріорного конструктивізму І. Канта і принципів «уявної» геометрії М. І. Лобачевського, що співвідноситься з ідеєю конструктивного застосування розуму.

Переосмислюючи п'ятий постулат Евкліда, М. І. Лобачевський умоглядно сконструював простір з новими властивостями. «Площина» в неевклідовому просторі має кривизну. У граничному випадку, коли радіус кривизни стає рівним нескінченності, цей простір переходить в «плоский», нульової кривизни, тобто в простір Евкліда.

Математична онтологія М. І. Лобачевського, як і І. Канта - це онтологія можливого. У можливості віртуозного вживання розуму І. Кант розглядає як рівноправні філософію і математику, визначаючи першу, як знання дискурсивне, другу, як знання інтуїтивне. У побудовах М. І. Лобачевського лежать онтологічні положення, що корелюють з кантівськими, лише з основоположень розуму конструюється сутність речей. Але конструктивні принципи мають демонстративний характер, якщо вони належним чином обґрунтовані.

У підрозділі 4.3. «Філософська рефлексія основ теорії множин Г. Кантора в світлі змісту категорій континуальне - дискретне» проаналізовані онтологічний, гносеологічний, методологічний аспекти теорії безкінечних упорядкованих множин.

Осмислюючи зміст філософських категорій єдиного й множинного, Г.Кантор трактує множину у платонівському контексті, розглядаючи його як ряд абстрактних об'єктів інтуїції. Під множиною мається на увазі клас, сукупність об'єктів байдуже якої природи. Суттєво те, що зібрання об'єктів розцінюється як один об'єкт (мислиться як єдине ціле). Кожний елемент, що становить множину, розглядається з огляду ознак, що утворюють зміст певного поняття. Визначаючи поняття трансфінітного, або створеного актуально нескінченного, Г.Кантор аналізує ідеї континуального й дискретного, висунуті Арістотелем. Теоретико-множинні побудови Г. Кантора продиктовані і тими результатами, які виникли в численні нескінченно малих і дали привід Ґ. В. Лейбницю і іншим математикам і філософам Нового часу обчислювати нескінченно малі як неділимі величини. Виникнення теорії множин Г. Кантора - це у тому числі і результат його досліджень можливості арифметизації математичного аналізу.

Зазначено, що нові теоретико-множинні побудови - це встановлені відношення між математичними поняттями і створені специфічні теоретичні методи дослідження.

У підрозділі 4.4. «Онтогносеологічні посилки парадоксів теорії Г.Кантора» автор розглядає парадокси теорії множин з позиції онтології математики. В основі позиції дисертанта - переконаність у несуперечності вихідних математичних принципів трансфінітної арифметики і встановлюючих їх категоріальних структур мислення.

Г. Кантор розвиває уявлення про абстракцію нескінченного, в основі якої лежать допущення про його здійсненність. Найбільш простою серед них є абстракція фактичної здійсненності. Встановлення границь здійсненного має рухливий характер і визначається умовами вирішуваної проблеми. З точки зору онтології математики положення про нескінченність ряду натуральних чисел логічно недоказово. На думку дисертанта, прагнення Г. Кантора охарактеризувати поняття актуальної нескінченності веде до лінгвістичної невизначеності. Характер парадоксів криється у семантиці. Він пов'язаний з ототожненням лінгвістичних (слова, символи, пропозиції) і нелінгвістичних (числа, множини як об'єкти аналізу, поняття) об'єктів.

У підрозділі «4.5. Філософсько-математична концепція Ґ. Фреґе в контексті логістичної програми обґрунтування математики» розглянута концепція Ґ. Фреґе. На відміну від Дж. Буля, Дж. Венна, Г. ґрассмана, Р. ґрассмана, А. Де Моргана, Е. Шрьодера, що розробляли основи формалізованої силлогістики і логічної теорії стосунків та застосували до логіки методи математики, Ґ. Фреґе поставив протилежну мету - побудову арифметики і математичного аналізу на базі логіки. Розвиваючи нову область математичного знання, Ґ.Фреґе дотримувався установки Ґ. В. Лейбниця і в той же час відштовхувався від ідей І. Канта про природу математики і її суджень як синтетичних і апріорних. За Р. Фреге, лінгвістичні конструкції, вживані в математиці під час побудови думок і висновків, мають недоліки, які не можуть бути усунені математичною символікою і засобами традиційної логіки. Вибудовуючи свою концепцію, Ґ. Фреґе обґрунтовує математику як семіотичну систему.

Дисертантом з'ясовано, що його дослідження направлені на логічне прояснення та обґрунтування несуперечності, що лежить в основі математичних понять.

Розділ V «Парадигма математичної онтології абстрактних формалізованих систем XX століття в контексті їх ціннісного базису» присвячений філософському осмисленню ідеалів і норм постановки математичних проблем і побудови математичного знання в XX столітті.

У підрозділі 5.1. «Компаративістський аналіз філософських основ ідей про існування об'єктів метаматематики в концепціях Д. Гільберта и К.ґьоделя» виявлені філософські основи, якими детерміновані міркування Д.Гільберта і К. ґьоделя, а також виконаний філософсько-методологічний аналіз теорем про неповноту і аксіоми конструйованості К. ґьоделя в контексті програми Віденського гуртка.

Обґрунтовуючи континуум-гіпотезу, розглядаючи континуум як об'єкт метаматематики, Д. Гільберт звернувся до несуперечності, як одному з критеріїв існування об'єктів метаматематики. У його методологічному підході формалізована логіка виявилася поглиненою формалізованою математикою. ґьодель, активний учасник Віденського гуртка, що працював в рамках його програми, обґрунтовуючи континуум-гіпотезу, перетворив твердження Д. Гільберта про несуперечність у формальну арифметичну пропозицію. Він довів, що ця пропозиція не може бути ні доведена, ні спростована в рамках Гільбертовського формалізму.

Висувається теза про те, що для Д. Гільберта, математичні об'єкти - завершені і несуперечливі конструкції розуму. Про це свідчить обов'язкова, при побудові кожного наступного елементу множини, рекурентна процедура. Нескінченність при такій побудові грає роль регулятивної форми математичного мислення. Вона, на відміну від класичного конструктивізму, завершена. Формою існування математичного об'єкту є його несуперечність. За К. ґьоделем, математичні об'єкти - це самостійна суть, знання про яких не може бути сконцентровано в рамках однієї теорії. Дедуктивна побудова, що базується на аналізі окремих випадків, ніколи не може бути повною.

У першій половині XX сторіччя в математиці виникла ситуація, що лише віддалено нагадує конкуренцію «науково-дослідних програм». Специфіка ж того, що відбувається полягала в тому, що кожна з тієї, що бере участь в конкуренції «програм» виходила з свого, лише на перший погляд, несумісного з протилежним напрямом, розуміння методології побудови наукового дослідження. Детермінізм в його лапласівскому вигляді, відносно систем математичних об'єктів, в черговий раз обгрунтований Д. Гільбертом виявився доповненим, але| не спростованим констатацією К. ґьоделя неповноти знання про природу математичних об'єктів в рамках лише однієї теорії.

У підрозділі 5.2. «Філософсько-методологічний аналіз онтологічного статусу математичних понять в конструктивній математиці» на прикладі «теорії алгорифмів» А. А. Маркова, який сформував системний підхід в конструктивізмі, дисертантом проаналізовані принципи конструктивізму. У філософсько-методологічному контексті, в основі конструктивної математики лежить не лише абстрагування, але і конвенція, націлена на конструювання системи об'єктів з досить багатими внутрішніми логічними зв'язками. Конструктивний процес як логічно організовану систему об'єктів і операцій над ними слід розглядати поза будь-якою наочною інтерпретацією. Він не дійсний і не помилковий, але може набути цих якостей в процесі наочної інтерпретації. Строгість міркування в конструктивній математиці виникає не з властивостей безпосереднього предмету відображення, але виключно з логічної організації теорії. Конструктивна математика - це концептуальна побудова над змістовним знанням, функціонально підпорядкована йому. Вона покликана давати строгі моделі для логічних висновків усередині змістовного знання. Логічна організація математичного знання розглядається в конструктивізмі як продукт системності математики, взаємозв'язку її частин.

У підрозділі 5.3. «Онтологічний статус математичних топологій і основних структур в методологічному підході М. Бурбаки» аналізується позиція семінару М. Бурбаки, спрямована на побудову математичного знання, основою якого є структуралізм. У трактаті семінару М. Бурбаки «Елементи математики» розвивається аксіоматична система, яка, за задумом авторів, повинна охопити найголовніші розділи математики як «приватні аспекти загальної концепції».

Підкреслено, що характерна відмінність математичного мислення групи М. Бурбаки - це розгляд структур як класів стосунків, але не класів об'єктів. Група французьких математиків ототожнила математичне знання з конструкцією. На підставі даної посилки, структурний підхід визначений як метатеорія, яка дає змогу аналізувати методологічні особливості найрізноманітніших сфер математичного знання. У працях М. Бурбаки система безумовних розпоряджень спрямована на аналіз усіх можливих умов існування абстрактних сутностей незалежно від їхнього смислу.

ВИСНОВКИ

В дисертації зроблена спроба створення концепції математичної онтології. Для цього введено поняття «парадигма математичної онтології», яке містить в собі математичні концепції, теорії, гіпотези, ідеї, методи, наукові і світоглядні ідеали і норми математичного знання.

Введено та розкрито чотири парадигми математичної онтології:

антична парадигма, в якій осмислюється генезис математичних сутностей і методів математичного міркування;

парадигма змінних величин і математичного природознавства XV - XVIII століть;

парадигма нестандартної геометрії та теоретико-множинних побудов XIX століття;

парадигма абстрактних формалізованих систем XX століття.

Проведено системне дослідження «дисциплінарної матриці» факторів, до складу яких входять філософсько-світоглядні, гносеологічні, методологічні установки та логічні критерії. Вони детермінують особливості постановки математичних проблем і побудови математичного знання в рамках гносеологічних традицій античності, Нового часу XIX і XX століть. Статус математичних сутностей обґрунтовано як інваріант ідеалів і норм пізнавальної діяльності в кожній з парадигм математичної онтології.

У ході вирішення дослідницьких завдань філософсько-методологічного аналізу онтологічного статусу математичних сутностей в чотирьох парадигмах математичної онтології нами отримані наступні результати.

При аналізі античної парадигми, яку характеризує категорія «єдине», у працях Платона і Арістотеля виявлено генезис осмислення онтологічного статусу математичних сутностей. Математичні сутності - це уявлення про речі. Вони полягають в певному відношенні до істинно існуючого світу речей. Усі уявлення - платонівські «ейдоси» або арістотелівські «властивості» речей - зібрані в ієрархічно впорядковані системи. Причиною відмінностей в трактуванні Платоном і Арістотелем онтологічного статусу математичних сутностей є різниця між об'єктивним ідеалізмом Платона як ідеалістичним плюралізмом, і об'єктивним ідеалізмом Арістотеля як ідеалістичним монізмом.

Унаслідок аналізу античного математичного тексту «Начала» Евкліда інтерпретовано евклідове трактування ідеальних сутностей - геометричних об'єктів, простих чисел - яке в структурі доказів їхнього існування корелює з платонівською структурою міркувань під час обґрунтування ним абстрактних категорій.

В результаті аналізу праць М. Кузанського виявлено, що за допомогою ідеї тотожності єдиного і нескінченного (визнання парадоксу верховним началом філософії), розгляду нескінченного як міри, М. Кузанський привів у стан невизначеності вироблене в античності математичне знання. Роль міри, яку у греків відігравала неподільна - одиниця, у Кузанця являє нескінченне. Для математики, як її розумів М. Кузанський, важливо показати, що перед нескінченністю кінцеві відмінності зникають. У напрямі, визначеному Кузанцем, у XVII столітті філософами-раціоналістами здійснено перегляд фундаментальних передумов античної і середньовічної математики, що призвело до створення числення нескінченно малих.

Виявлено характер обґрунтованої в працях Р. Декарта, ґ. В. Лейбниця, І.Ньютона, І. Канта системи поглядів на статус математичних сутностей. Це сконструйовані розумом об'єкти, що займають місце в математичній структурі згідно з формально-логічними правилами.

Показано, що розуміння онтологічного статусу математичних сутностей в Новий час уперше сформульовано Р. Декартом. Математичні предмети в його трактуванні обґрунтовують судження про існування матеріальних предметів. Основою для такого вознесіння математики є розгляд абстрактної категорії протяжність, як головного атрибуту субстанції.

У процесі аналізу «Математичних начал натуральної філософії» І. Ньютона відзначено, що в Новий час, у тому числі завдяки і праці англійського вченого, математичні предмети отримують подвійний статус. Будучи абстракціями, вони мають референтами фізичні об'єкти, з якими під час конструювання математичної моделі фізичної картини світу відбуваються маніпуляції за певними логічними правилами. У «Математичних началах натуральної філософії» безпосередня даність перетворена на абстрактну структуру, яка є паралеллю існуючим предметам. Само поняття структури подано у вигляді філософської категорії. Воно погоджено з низкою понять, що значною мірою обумовлюють одне одного. Перш за все, такими поняттями є об'єкт і конструкція.

У процесі зіставлення поглядів на онтологію математичних сутностей Р.Декарта і Ґ. В. Лейбниця виявлено, що для Р. Декарта протяжність - це первинне поняття, яке є якісним і таким, що не розкладається. Воно є основоположенням його розуміння природи. Оскільки природа для Картезія є втіленням математичних законів, поняття «протяжність», в його розумінні, лежить також в основі математики. Математика для Р. Декарта - це, передусім, геометрія, але геометрія не аналітична з тієї причини, що поняття числа і величини у нього не розрізняються. Для ґ. В. Лейбниця, навпаки, протяжність - це не первинне, а похідне поняття. Воно не визначається ясністю і утворено не одним лише розумом, але й уявою. Звідси витікає, що поняття «протяжність» не може бути первинним ні в розумінні природи, ні в обґрунтуванні математики. За думкою ґ.В.Лейбниця, якщо в людському знанні і є аналітичне поняття, то це лише поняття числа.

Обґрунтовано, що головною відмінністю Нового часу від античної системи поглядів стосовно онтології математичних об'єктів є те, що в Новий час усі математичні сутності (це стосується і дискретної одиниці), конструюються. Трансцендентальний конструктивізм І. Канта - вершина осмислення онтологічного статусу математичних сутностей. Його апріорне конструювання - це метод визначення існування самого об'єкта і структури, в якій він існує.

Зазначено, що у парадигмі математичної онтології нестандартної геометрії й теоретико-множинних побудов математичні теорії були елементами внутрішнього обґрунтування математичного знання.

Аргументовано, що у XX столітті математична творчість не пов'язана з філософським обґрунтуванням. Але в кожному математичному напрямі онтологічний статус математичних сутностей як інваріант ідеалів і норм пізнавальної діяльності обґрунтовувався характером математичних побудов і виробленим конструктивним стилем математичного мислення. У парадигмі математичної онтології абстрактних формалізованих систем онтологічний статус математичних сутностей - це статус формалізованих конструкцій. Загальним ціннісним базисом формалізму, конструктивізму, структуралізму є вироблені уявлення про математику як науку, що обгрунтовує власні методи.

У результаті філософсько-методологічного аналізу чотирьох парадигм математичної онтології розкрито, що онтологічний статус математичних сутностей в кожній з парадигм математичної онтології інваріантний стосовно змін умов пізнавальної діяльності. Основи трактування онтологічного статусу математичних сутностей виникають на перетині онтологічних і гносеологічних уявлень; залежать від характерного для античності і раціоналізму Нового часу змісту філософських категорій, природничонаукових ідей, а також причин внутрішнього розвитку математичних теорій, що розкриваються в методологічних установках XIX і XX століть.

ОСНОВНІ ПОЛОЖЕННЯ ДИСЕРТАЦІЇ, ВИКЛАДЕНІ В НАСТУПНИХ ПУБЛІКАЦІЯХ

Монографія:

Кузьменко В. В. Онтологический статус математических сущностей в истории философии /В. В. Кузьменко // - Днепропетровск: Инновация, 2007. - 224с. Уч. - изд. листов 17,00

Статті у виданнях, затверджених ВАК України як фахові з філософії:

Кузьменко В. В. К вопросу о преломлении трансцендентального конструктивизма И. Канта в геометрии Н. И. Лобачевского /В. В. Кузьменко // Вісник Дніпропетровського університету (Соціологія. Філософія. Політологія) - Вып.10 - Д.: РВВ ДНУ, 2004. - С.208-216. (0,8 печ. л.)

Кузьменко В. В. Рефлексия оснований теории множеств Г. Кантора /В.В. Кузьменко // Вісник Дніпропетровського університету (Історія і філософія науки і техніки) - Вип.4. - Д.: Вид. ДНУ, 2004. - С.82-92. (0,8 печ. л.)

Кузьменко В. В. Рефлексия философских оснований парадоксов теории множеств Георга Кантора /В. В. Кузьменко // Грані. Науково-теоретичний і громадсько-політичний альманах - Вип.5 (37) вересень - жовтень 2004. - Д.: Вид. «Грані», - С.84-93. 0,85 печ. л.

Кузьменко В. В. Рефлексия философско-математической концепции Ґ. Фреґе в контексте логистической программы обоснования математики /В. В. Кузьменко // Грані. Науково-теоретичний і громадсько-політичний альманах - Вип.6 (38) листопад - грудень 2004. - Д.: Вид. «Грані», - С.70-77. (0,7 печ.л.)

Кузьменко В. В. Существование математических объектов в интерпретации Д. Гильберта /В. В. Кузьменко // Збірник наукових праць. Філософія і соціологія в контексті сучасної культури. - Д.: РВВ ДНУ, 2005. - С.58-70. (0,9 печ. л.)

Кузьменко В. В. Математические очевидности и интуиция как регулятивные формы математического мышления /В. В. Кузьменко // Вісник Дніпропетровського університету (Соціологія. Філософія. Політологія) - Вып.12 - Д.: РВВ ДНУ, 2005. - С.114-120. (0,7 печ. л.)

Кузьменко В. В. Значимость диалектики Платона и силлогистики Аристотеля в контексте разрешения кризиса античной математики /В. В. Кузьменко // Грані. Науково-теоретичний і громадсько-політичний альманах Вип.1 (39) січень - лютий 2005. - Д.: Вид. «Грані», - С.57-63. (0,8 печ. л.)

Кузьменко В. В. Интерпретация форм бытия абстрактных математических построений в философской системе Платона /В. В. Кузьменко // Грані. Науково-теоретичний і громадсько-політичний альманах Вип.4 (42) липень - серпень 2005. - Д.: Вид. «Грані», - С.56-63. (0,75 печ. л.)

Кузьменко В. В. Интерпретация форм бытия абстрактных математических построений в философской системе Аристотеля /В. В. Кузьменко // Грані. Науково-теоретичний і громадсько-політичний альманах Вип.6 (44) листопад - грудень 2005. - Д.: Вид. «Грані», - С.63-69. (0,7 печ. л.)

Кузьменко В. В. О преломлении философской методологии абстрактных построений Платона в «Началах Евклида» /В. В. Кузьменко // Вісник Дніпропетровського університету (Філософія. Соціологія. Політологія) - Вып.13 - Д.: ДНУ, 2006. - С.147-158. (0,9 печ. л.)

Кузьменко В. В. Осмысление трактовки абстрактных категорий в философской системе Августина Аврелия /В. В. Кузьменко // Збірник наукових праць. Філософія і соціологія в контексті сучасної культури. - Д.: ДНУ., 2006. - С.161-176. (0,9 печ.л.)

Кузьменко В. В. Двойственность бытия математических абстракций в описании картины мира И. Ньютоном /В. В. Кузьменко // Грані. Науково-теоретичний і громадсько-політичний альманах. Вип.4 (48) липень - серпень 2006. - Д.: Вид. «Грані», - С.42-48. (0,7 печ. л.)

Кузьменко В. В. Выявление структуры и онтологического статуса абстрактных математических объектов в философской системе И. Канта / В. В. Кузьменко // Збірник наукових праць. Філософія і соціологія в контексті сучасної культури. - Д.: ДНУ, 2007. - С.195-208. (0,9 печ. л.)

Кузьменко В. В. Философская рефлексия языка и смысла математических абстракций в системе Р. Декарта /В. В. Кузьменко // Вісник Дніпропетровського університету (Філософія. Соціологія. Політологія) - Вып.15 - Д.: ДНУ, 2007. - С.247-261. (0,9 печ. л.)

Кузьменко В. В. Влияние категории «единое» Н. Кузанского на математику Нового времени. /В. В. Кузьменко // Грані. Науково-теоретичний і громадсько-політичний альманах. Вип.5 (55) вересень - жовтень 2007. - Д.: Вид. «Грані», - С.64-69. (0,7 печ. л.)

Кузьменко В. В. Взаимосвязь теологических воззрений Ґ. В. Лейбница с системой абстрактных математических предметов /В. В. Кузьменко // Грані. Науково-теоретичний і громадсько-політичний альманах. Вип.5 (56) листопад - грудень 2007. - Д.: Вид. «Грані», - С.74-79. (0,7 печ. л.)

Кузьменко В. В. Анализ рационалистических учений об интуиции в связи с проблемами математической дидактики /В. В. Кузьменко // Вісник Дніпропетровського університету (Філософія. Соціологія. Політологія) - Вып.16 - Д.: ДНУ, 2007. - С.133-141. (0,7 печ. л.)

Кузменко В. В. О границах прав формального мышления в философии Г.В.Ф. Гегеля /В. В. Кузьменко // Грані. Науково-теоретичний і громадсько-політичний альманах. Вип.1 (57) січень - лютий 2008. - Д.: Вид. «Грані», - С.83-86. (0,5 печ. л.)

Кузьменко В. В. «Языковые игры» Л. Витгенштейна как совокупность приёмов, проясняющих функции языка /В. В. Кузьменко // Філософсько-антропологічні студії' 2008 - Київ «Стилос», Дніпропетровськ 2008. - С.407-416. (0,6 печ. л.)

Кузьменко В. В. Исходные установки бэконовского совершенствования метода неполной индукции /В. В. Кузьменко // Вісник Дніпропетровського університету (Філософія. Соціологія. Політологія) - Вып.17 - Д.: ДНУ, 2008. - С.185-190. (0,5 печ. л.)

Кузьменко В. В. Онтологический статус математических сущностей в философской системе Г. В. Ф. Гегеля /В. В. Кузьменко // Грані. Науково-теоретичний і громадсько-політичний альманах. Вип.2 (58) березень - квітень 2008. - Д.: Вид. «Грані», - С.81-86. (0,6 печ. л.)

Кузьменко В. В. Логические идеи Б. Спинозы как метод совершенствования интеллекта /В. В. Кузьменко // Грані. Науково-теоретичний і громадсько-політичний альманах. Вип.2 (59) травень - червень 2008. - Д.: Вид. «Грані», - С.72-78. (0,7 печ. л.)

Кузьменко В. В. Компаративистский анализ философских оснований идей о существовании объектов метаматематики в концепциях Д. Гильберта и К. Гёделя /В. В. Кузьменко // Грані. Науково-теоретичний і громадсько-політичний альманах. Вип.1 (63) сісень - лютий 2009. - Д.: Вид. «Грані», - С.91-94. (0,5 печ. л.)

Кузьменко В. В. Философское осмысление онтологического поля математических понятий в конструктивной математике /В. В. Кузьменко // Грані. Науково-теоретичний і громадсько-політичний альманах. Вип.2 (64) березень - квітень 2009. - Д.: Вид. «Грані», - С.54-58. (0,5 печ. л.)

АНОТАЦІЇ

математика онтологія філософія парадигма

Кузьменко В.В. Філолофсько-методологічний аналіз парадигм математичної онтології. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора філософських наук за спеціальністю 09.00.09 - філософія науки. Харківський національний університет імені В. Н. Каразіна, Харків, 2010.

У дисертації виявлений зв'язок онтології й математики як загального й конкретного. Обґрунтована концепція математичної онтології, ядро якої - теза про взаємний вплив філософії, математики й природничонаукових досліджень. Розкрито характер чотирьох парадигм математичної онтології, у яких виявлені фактори, що обумовлюють ідеали і норми постановки математичних проблем і їх рішення. Установлено, що основи трактування онтологічного статусу математичних сутностей виникають на перетинанні онтологічних і гносеологічних уявлень; залежать від виробленого змісту філософських категорій, характерного для античності й раціоналізму Нового часу, природничонаукових ідей, а також причин внутрішнього розвитку математичних теорій, що розкриваються в методологічних установках XIX і XX століть.

Ключові слова: ідеали і норми постановки математичних проблем, концепція математичної онтології, онтологічний статус математичних сутностей, зв'язок онтології й математики, змісту філософських категорій,

Кузьменко В. В. Философско-методологический анализ парадигм математической онтологии. - Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени доктора философских наук по специальности 09.00.09 - философия науки. Харьковский национальный университет имени В. Н. Каразина, Харьков, 2010.

В диссертации выявлена связь онтологии и математики как всеобщего и конкретного. На базе анализа факторов, которые детерминируют особенности постановки математических проблем и построение математического знания в гносеологических традициях античности, Нового времени XIX и XX столетий, обоснована концепция математической онтологии, ядро которой - тезис о взаимном влиянии философии, математики и естественнонаучных исследований.

Впервые раскрыты особенности изменений элементов «дисциплинарной матрицы», определяющей характеристики четырёх парадигм математической онтологии. С этой целью выявлен характер философско-мировоззренческих, гносеологических, методологических установок и логических критериев, обуславливавших идеалы и нормы постановки математических проблем и построения математического знания в рамках традиций античности, Нового времени, XIX и XX столетий. Онтологический статус математических сущностей представлен как инвариант идеалов и норм познавательной деятельности в каждой из анализируемых парадигм математической онтологии.

Установлено, что основания трактовки онтологического статуса математических сущностей возникают на пересечении онтологических и гносеологических представлений; зависят от выработанного содержания философских категорий, характерного для античности и рационализма Нового времени, естественнонаучных идей, а также причин внутреннего развития математических теорий, раскрывающихся в методологических установках XIX и XX столетий.

Обосновано, что начиная с Академии Платона, осуществлялось взаимное влияние философии и математики. Философской мыслью подготавливался необходимый для математики категориальный аппарат и методы рассуждения. Математические построения рефлектировались философской мыслью, будучи объектом теоретизирования. В Возрождении сказанное относится к философской системе Н. Кузанского. В рационалистической философии Нового времени - к учениям Р. Декарта и Г. В. Лейбница, рассматривавших математику как метод описания естественнонаучных исследований.

Выявлено, что для И. Канта труды Г. Галилея, И. Ньютона и дрих явились причиной пересмотра онтологического обоснования теории познания. В «Критике чистого разума» рассудочная и разумная деятельность познающего субъекта, а не структура познаваемой субстанции, являются предметом исследования. Критическая философия И. Канта - это обращение к аналитической и синтетической - конструирующей деятельности рассудка. Философское открытие И.Канта состоит в том, что в основе научного познания лежит не созерцание умопостигаемой сущности, а деятельность по её конструированию, которая порождает идеализированные - математические объекты.

XIX столетие, в котором философскую составляющую стали считать чуждой «точному складу» науки, характерно новыми тенденциями в математике. Н. И. Лобачевский, Я. Больяй, К. Ф. Гаусс, Б. Риман сконструировали «воображаемые» математические пространства. Во второй половине XIX столетия появляется теоретико-множественный подход в обосновании математики, а затем логистическое направление, в котором осуществлён подход к математике как к семиотической системе.

Аргументировано, что смысловую нагруженность теории И. И. Лобачевского составляют кантовское понимание метафизического характера оснований математики, образец антиномичного мышления, виртуозного владения разумом, его видение априорного синтетического характера принципов геометрии. Гносеологические принципы Н. И. Лобачевского являются подтверждением кантовского определения математического знания, где абстрактность определена как его онтологический аспект, а взаимопроникновение анализа и синтеза обусловлено спекулятивностью математической методологии.

Обосновано, что в теории множеств Г. Кантора математические объекты (числа, выстроенные числовые множества) - это особый способ отношения к бытию как к природе, при котором чувственно воспринимаемое мыслится в виде бесконечных числовых рядов.

В XX столетии математическое творчество не связано с философским обоснованием. Но в каждом математическом направлении онтологический статус математических сущностей как инвариант идеалов и норм познавательной деятельности обосновывался характером математических построений и вырабатываемым конструктивным стилем математического мышления. В парадигме математической онтологии абстрактных формализованных систем онтологический статус математических сущностей - это статус идеализированных конструкций. Общим ценностным базисом формализма, конструктивизма, структурализма является вырабатываемое представление о математике, как о науке, обосновывающей собственные методы.

Ключевые слова: концепция математической онтологии, стиль математического мышления, онтологический статус математических сущностей, основания математических методов, теоретико-множественный подход.

Kuzmenko V. V. Philosophical methodological analysis of mathematical ontology paradigms. - Manuscript.

Doctoral dissertation in Philosophy, specialty 09.00.09 - philosophy science. - V. N. Karazin Kharkov National University, Kharkov, 2010.

The relationship between ontology and mathematics presenting universal and particular phenomena respectively has been revealed and studied in the thesis. The conception of mathematical ontology has been defined. Its core is the interaction of philosophy, mathematics and natural sciences. The types of four paradigms of mathematical ontology are disclosed. The factors that are the condition of ideals and standards of setting and solving mathematical problems are considered in the thesis. The bases. For interpretation of ontological status of mathematical phenomena are determined. They appear when there is a link between ontological and gnosis logical notions and they depend on the existing content of philosophical categories that are typical for the ancient world and the rationalism of New age, natural science and also the reasons of intrinsic development of mathematical theories characteristic to methodological conceptions of XIX and XX centuries.

The key words: abstract equations, continuum hypothesis in the theory of sets, the conception of mathematical ontology, ideals and standards of setting mathematical problems, ontological status of mathematical objects, bases of mathematical methods, the theory of set equations.

Размещено на Allbest.ru