Размещено на http://www.allbest.ru/

ПРОБЛЕМА РЕФЕРЕНТНОГО КЛАССА И ЕЕ КОНЦЕПТУАЛЬНОЕ, МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И ИНСТРУМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ В СИСТЕМНО-КОГНИТИВНОМ АНАЛИЗЕ

PROBLEM OF THE REFERENTIAL CLASS AND ITS CONCEPTUAL, MATHEMATICAL AND INSTRUMENTAL SOLUTION IN SYSTEMIC COGNITIVE ANALYSIS

Луценко Евгений Вениаминович

д.э.н., к.т.н., профессор

В статье рассматривается применение СК-анализа и системной теории информации (СТИ) для решения известной проблемы математической логики и математической лингвистики, получившей название "Проблема референтного класса". Высказывается гипотеза, что данная проблема является проблемой именно этих научных направлений и естественным образом преодолевается в теории и практике систем искусственного интеллекта, в частности системно-когнитивном анализе и его математической модели системной теории информации.

In the article we examine the application of the systemic cognitive analysis and the system theory of the information (STI) for the decision of a known problem of mathematical logic and the mathematical linguistics which have received the name "Problem of a referential class". There is a hypothesis that the given problem is a problem of these scientific directions and is naturally overcome in the theory and practice of systems of an artificial intellect, in particular in systemic cognitive analysis and its mathematical model of the system theory of the information.

Ключевые слова: ПРОБЛЕМА РЕФЕРЕНТНОГО КЛАССА, СИСТЕМНАЯ ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ, СИНТЕЗ, АНАЛИЗ, АБСТРАГИРОВАНИЕ, ИДЕНТИФИКАЦИЯ

Keywords: PROBLEM OF THE REFERENTIAL CLASS, SYSTEM THEORY OF THE INFORMATION, SYNTHESIS, ANALYSIS, ABSTRACTION, IDENTIFICATION

Суть проблемы

Суть проблемы референтного класса (лат. referens - сообщающий) на наш взгляд наиболее удачно освещена в основополагающей работе В.М.Резникова "Проблема референтного класса и условные вероятности" [15]. В этой работе В.М.Резников пишет, что впервые на проблему референтного класса обратил внимание Дж.Венн: "Каждая индивидуальная вещь или событие, имеет бесконечное множество свойств или атрибутов, и поэтому они могут рассматриваться как принадлежащие к бесконечному множеству различных классов" [1]. На сайте "Искусственный интеллект: системы и модели" http://rriai.org.ru/uslovnaya-veroyatnost-5.html данная проблема рассматривается в несколько ином аспекте и разъясняется на примере из области медицинской диагностики. При постановке диагноза врач определяет шансы на то, что данный пациент имеет некоторое конкретное заболевание руководствуясь информацией о признаках данного пациента, включающих не только клиническую картину (симптомы и синдромы, анамнез, данные лабораторных исследований и т.п.), но и учитывая любую другую доступную ему информацию о нем. При решении этой задачи врач сравнивает своего пациента с другими пациентами, информация о которых имеется в его профессиональной памяти, отражающей профессиональный опыт (прецеденты). На первый взгляд кажется само собой разумеющимся, что чем полнее описание пациента, т.е. чем более широкой является система признаков, и чем точнее это описание, т.е. чем меньше погрешность измерения значений признаков, тем лучше. Однако скоро выясняется, что чем больше признаков учитывается при поиске прецедентов и чем точнее известны их значения, тем меньше вероятность найти эти прецеденты, т.к. строго говоря пациентов с точно такой же системой признаков имеющих абсолютно те же самые значения, что у пришедшего на прием пациента, не существует вообще Из этого делается вывод о том, что невозможно определить референтный (т.е. наиболее подходящий, соответствующий, адекватный) класс, которому бы соответствовали экспериментальные данные о пациенте. И далее добавляется: "Это - одна из неразрешимых проблем в философии науки" (курсив мой, авт.).

Традиционные подходы к решению проблемы

Традиционные подходы к решению проблемы референтного класса на наш взгляд также наиболее удачно освещены в уже упомянутой работе В.М.Резникова [15]. Поэтому в данной статье мы не будем описывать усилия ученых решить проблему референтного класса (за этой информацией отсылаем читателя к работе [15]), и отметим лишь, что "...кульминацией этих усилий стала попытка Карнапа и других ученых разработать строгую индуктивную логику, позволяющую правильно вычислять вероятность любого высказывания на основании результатов любой коллекции наблюдений. В настоящее время считается, что никакой уникальной индуктивной логики не существует; вместо этого любая подобная логика опирается на субъективное априорное распределение вероятностей, субъективность которой уменьшается по мере накопления все большего и большего количества наблюдений" http://rriai.org.ru/uslovnaya-veroyatnost-5.html (курсив мой, авт.).

Обсуждение проблемы

Перед тем как предложить возможное решение сформулированной проблемы референтного класса хотелось бы сделать несколько предварительных замечаний.

1. Сначала по поводу определения сущности рассматриваемой проблемы Дж.Венном: поскольку каждая индивидуальная вещь или событие Вместо термина Дж.Венна "Вещь или событие" будем использовать более привычные для нас термины "Объект или его состояние" или просто "Объект". имеет бесконечное множество свойств или атрибутов, то она может рассматриваться как принадлежащая к бесконечному множеству различных классов". Это определение содержит в неявной форме по крайней мере три следующих предположения, причем несоблюдение хотя бы одного из них делает высказывание Дж.Венна неверным:

- во-первых, предполагается, что один объект может одновременно относится только к одному классу, который и является для него рефератным, тогда как вообще говоря один объект одновременно может принадлежать ко многим классам, причем в различной степени;

- во-вторых, предполагается, что все признаки классов имеют одинаковый вес, т.е. в равной степени "говорят" о принадлежности обладающего ими объекта к классу, тогда как это верно только для индивидуальных (сингулярных) объектов, а в общем случае признаки обладают различной степенью характерности для различных классов, но это можно установить только для обобщенных классов, например, полученных методом многопараметрической типизации;

- в-третьих, не учитывается, если множество признаков объекта бесконечно, то из этого вовсе не следует, что оно включает все признаки, т.е. если два множества бесконечны, то это не означает, что они тождественны, например, две замкнутые области на плоскости, содержащие бесконечное количество точек, могут тождественно совпадать, пересекаться или вообще не иметь общих точек, причем если они пересекаются, то в этом пересечении содержится также бесконечное количество точек.

С учетом вышесказанного, на наш взгляд, все эти три предположения Дж.Венна необоснованны и просто неверны. Поэтому высказывание Дж.Венна: "Каждая индивидуальная вещь или событие, имеет бесконечное множество свойств или атрибутов, и поэтому они могут рассматриваться как принадлежащие к бесконечному множеству различных классов" мы бы продолжили так. Да, это верно... но с учетом того, что различные вещи и события (далее: объекты) в разной степени принадлежат различным классам и эта степень принадлежности может изменяться в самых широких пределах от положительной, до нулевой и отрицательной. На практике можно считать, что объект принадлежат к тому классу, степень принадлежности к которому у них наивысшая по сравнению с другими классами и при этом она выше некоторого порога, если же она ниже этого порога, то объект остается неопознанным, т.е. не похожим ни на один из известных обобщенных образов классов в степени, достаточной для того, чтобы отнести его к этому классу. Это возможно потому, что различные признаки объекта могут содержать различное количество информации, причем не только о принадлежности объекта к тем или иным классам, но и о непринадлежности к ним, а также вообще не нести об этом никакой существенной информации. Необходимо также отметить эмерджентную природу признаков наблюдаемых объектов и их зависимость от признаков наблюдателя или самого способа наблюдения [12].

2. Из приведенного выше примера проблемы референтного класса с сайта "Искусственный интеллект: системы и модели" для современного специалиста в области систем искусственного интеллекта очевидно, что проблема референтного класса по сути представляет собой "проблему" распознавания образов. Но распознавание образов уже давно не представляет собой проблему, т.к. в настоящее время известно множество различных методов распознавания образов [2, 3], на практике подтвердивших свою высокую эффективность. Проблема, напоминающая проблему референтного класса, может возникать лишь в некоторых из методов распознавания образов. Например:

- в методе k-ближайших соседей, в котором осуществляется не сравнение образа конкретного объекта с обобщенными образами классов, которых в этой модели вообще не формируется, а другими конкретными объектами о которых известно, к каким классам они относятся. Считается, что распознаваемый объект относится к тому классу, к которому чаще всего относятся k наиболее похожих на него объектов-прецедентов;

- в нейронных сетях при так называемом их переобучении, т.е. когда нейроны начинают возбуждаться не при предъявлении сети объектов, похожих на объекты обучающей выборки, а лишь при предъявлении тождественно тех же самых объектов, которые использовались при обучении.

Поэтому мы считаем, что предлагаемое нами в данной статье решение проблемы референтного класса далеко не единственное и приводится лишь по той причине, что оно авторское.

3. Учитывая предыдущие замечания едва ли можно согласиться с тем, что проблема референтного класса "Это - одна из неразрешимых проблем в философии науки" http://rriai.org.ru/uslovnaya-veroyatnost-5.html, по крайней мере с тем, что она действительно неразрешимая, и что она относится к философии науки, а не к другим ее направлениям. Хотя может быть для философии науки, а также математической логике и лингвистике, где эта проблема впервые и была сформулирована и до сих пор не решена, она и действительно является неразрешимой, не смотря на то, что уже давно разрешена в других направлениях науки, например в теории и практике систем искусственного интеллекта. Таким образом можно предположить, что проблема референтного класса - это внутренняя проблема этих направлений науки, неразрешимая внутри них их средствами, но которая вполне может быть решена, если выйти за их пределы или внести в них новые идеи из других научных направлений.

Дополнительные замечания

Интересно, как представлял себе Дж.Венн учет бесконечного количества признаков конкретных объектов и обобщенных классов, не говоря уже о выполнении операций по их сравнению? Чтобы осуществить это скорее всего потребуется бесконечное время или бесконечное количество компьютеров (а также программистов, операторов, сисадминов и т.д.). В принципе подошел бы наверное и один компьютер, но с бесконечной вычислительной мощностью процессора, а также бесконечным объемом оперативной и внешней памяти. Но такой компьютер наверное будет создан через бесконечное количество лет.

Что можно сказать "об абсолютно точном" измерении значений признаков? Во многих современных теоретических научных концепциях реальности, например в квантовой механике, даже в принципе нельзя корректно говорить о каких-то абсолютно точных значениях величин. Но допустим, что все же такое "истинное" значение объективно существует. Даже в этом случае любая количественная величина, получаемая в результате измерений, представляет собой сумму ее истинного (абсолютно точного) значения и в принципе полностью неустранимого шума, связанного с погрешностью измерений. Зная характеристики шума, например, что он белый (в среднем равен нулю), или что его частотный спектр лежит в другой полосе, чем частотный спектр полезного сигнала, можно использовать многоканальные системы выделения сигнала из шума, прямое и обратное преобразование Фурье, а также другие методы и эффективно подавлять шум, но все равно не до нуля. Поэтому ни о каких "абсолютно точных" значениях признаков говорить не приходится, даже в принципе. Фактически мы всегда, независимо от того, осознаем это или нет, имеем дело лишь с интервальными оценками количественных величин, т.е. с некоторыми диапазонами или интервалами, внутри которых с некоторой высокой вероятностью (обычно выше 0.95) и находится "истинное значение". Чем меньше значение этих интервалов, тем точнее мы знаем истинное значение, но тем больше информации мы должны получить об объекте (это связано с теоремой Котельникова "об отсчетах"). Для получения абсолютно точного значения величины, например числа , у которого бесконечное количество знаков после запятой, необходимо бесконечное количество информации, что как мы уже видели выше, практически (да наверное и теоретически) невозможно. Это значит, что говорить об абсолютно точных значениях признаков вообще некорректно.

Замечание о том, что объект принадлежит только к одному классу. Любой реальный объект в общем случае может рассматриваться как взвешенная суперпозиция классов, т.е. как сумма этих классов с различными весами. При этом сами классы, по которым производится разложение объекта, вообще говоря также могут рассматриваться как разлагаемые по другим более фундаментальным классам и т.д. Все это очень напоминает разложение произвольной кривой в ряд по каким-либо функциям. Наиболее известно разложение в ярд Фурье, т.е. по синусам и косинусам различных частот. Но в общем виде о возможности разложения любой функции в ряд говорит теорема Арнольда и обобщающая ее теорема Колмогорова. Возникает вопрос о том, а могут ли существовать такие классы, которые невозможно разложить на более фундаментальные? Если существуют, то возможны и объекты, которые могут принадлежать только к одному классу, т.е. подобные тем, о которых говорил Дж.Венн. Этот вопрос сходен с вопросом о существовании конечного предела делимости материи, который рассматривался в работе [12]. С математической точки зрения кривую невозможно разложить в ряд по другим кривым если она ортонормированна по отношению к каждой из них, т.е. с каждой из них имеет нулевую корреляцию или независима от каждой из них. В теории рядов рассматриваются так называемые системы базисных функций, по которым и производится разложение в ряд других функций. Одним из обязательных требований, которое предъявляется к системе базисных функций является требование их взаимной независимости, т.е. ортонормированности. Существует более общее понятие, чем система базисных функций: это понятие конфигуратора, которое подробнее будет рассмотрено ниже. В принципе такая кривая, которая ортонормированна ко всей системе базисных функций, может быть добавлена к этой системе что увеличивает размерность соответствующего пространства и качественно увеличивает возможности данного конфигуратора по отображению реальности. Есть еще и другой вариант, когда например синус разлагается в ряд Фурье: тогда получается он сам. Если в ряд по базисным функциям разлагается одна из них, то в результате получается она сама. Ясно, что добавление ее к системе базисных функций ничего в ней не меняет. В этом случае разложение в ряд возможно, но бессмысленно. Но можно считать, что оно невозможно, в том смысле, что в результате разложения функции в ряд она не меняется, т.е. как бы "далее не разлагается". Но тот же самый "далее не разлагаемый в ряд Фурье" синус может быть разложен в ряд по другим функциям: экспонентам или спецфункциям (например, функциям Бесселя и Гамма-функциям), а также по произвольной системе взаимно неортонормированных функций общего вида. Вопрос о том, существуют ли такие функции, которые далее неразложимы по всем известным функциям, остается открытым. Но автор высказывает гипотезу, что возможны, т.к. ясно, что на любой момент времени нам не могут быть известны абсолютно все в принципе возможные функции. С другой стороны из этого же предположения следует, что всегда могут быть найдены новые функции, по которым они будут разлагаться в ряд. Поэтому по поводу неявно высказанного Дж.Венном предположении о том, что объект относится только к одному классу, которое ему представлялось само собой на столько очевидным, что он даже не сформулировал его и не стал обсуждать, можно сделать вывод, что скорее всего оно нереалистично, так как на практике это всегда не так и возможно по-видимому, только в каких-то частных случаях, да и то, только из-за исторической ограниченности наших знаний на любой момент времени.

Предлагаемое решение проблемы референтного класса

Предлагаются решение проблемы референтного класса с применением системно-когнитивного анализа (СК-анализ) [2, 3] на трех уровнях: концептуальном, математическом и инструментальном:

- концептуальное решение основано на базовой когнитивной концепции системно-когнитивного анализа;

- математическое решение основано на системной теории информации;

- инструментальное решение, представляющее собой инструмент или способ (технологию и методику ее применения) обеспечивает решение данной проблемы на практике и основано на универсальной когнитивной аналитической системе "Эйдос".

Рассмотрим предполагаемое решение проблемы референтного класса на всех этих уровнях.

Концептуальное решение проблемы референтного класса

Когнитивная концепция и синтез когнитивного конфигуратора

В данном разделе приводится когнитивная концепция, разработанная автором исследования в 1996 году [2], с учетом двух основных требований:

1. Адекватное отражение в когнитивной концепции реальных процессов, реализуемых человеком в процессах познания.

2. Высокая степень приспособленности когнитивной концепции для формализации в виде достаточно простых математических и алгоритмических моделей, допускающих прозрачную программную реализацию в автоматизированной системе.

Понятие когнитивного конфигуратора и необходимость естественнонаучной (формализуемой) когнитивной концепции

Понятие конфигуратора, по-видимому, впервые предложено В.А.Лефевром [2], хотя безусловно это понятие использовалось и раньше, но, во-первых, оно не получало самостоятельного названия, а, во-вторых, использовалось в частных случаях и не получало обобщения. Под конфигуратором В.А.Лефевр понимал минимальный полный набор понятийных шкал или конструктов, т.е. понятий, достаточный для адекватного описания предметной области.

Примеры конфигураторов приведены в [2].

Понятие когнитивного конфигуратора

Суть предложенной когнитивной концепции состоит в том, что процесс познания рассматривается как многоуровневая иерархическая система обработки информации, в которой каждый последующий уровень является результатом интеграции элементов предыдущего уровня. На 1-м уровне этой системы находятся дискретные элементы потока чувственного восприятия, которые на 2-м уровне интегрируются в чувственный образ конкретного объекта. Те, в свою очередь, на 3-м уровне интегрируются в обобщенные образы классов и факторов, образующие на 4-м уровне кластеры, а на 5-м конструкты. Система конструктов на 6-м уровне образуют текущую парадигму реальности (т.е. человек познает мир путем синтеза и применения конструктов). На 7-м же уровне обнаруживается, что текущая парадигма не является единственно-возможной.

Ключевым для когнитивной концепции является понятие факта, под которым понимается соответствие дискретного и интегрального элементов познания (т.е. элементов разных уровней интеграции-иерархии), обнаруженное на опыте. Факт рассматривается как квант смысла, что является основой для его формализации. Таким образом, происхождение смысла связывается со своего рода "разностью потенциалов", существующей между смежными уровнями интеграции-иерархии обработки информации в процессах познания.

1. Процесс познания начинается с чувственного восприятия. Различные органы восприятия дают качественно-различную чувственную информацию в форме дискретного потока элементов восприятия. Эти элементы формализуются с помощью описательных шкал и градаций.

2. В процессе накопления опыта выявляются взаимосвязи между элементами чувственного восприятия: одни элементы часто наблюдаются с другими (имеет место их пространственно-временная корреляция), другие же вместе встречаются достаточно редко. Существование устойчивых связей между элементами восприятия говорит о том, что они отражают некую реальность, интегральную по отношению к этим элементам. Эту реальность будем называть объектами восприятия. Рассматриваемые в единстве с объектами элементы восприятия будем называть признаками объектов. Таким образом, органы восприятия дают чувственную информацию о признаках наблюдаемых объектов, процессов и явлений окружающего мира (объектов). Чувственный образ конкретного объекта представляет собой систему, возникающую как результат процесса синтеза признаков этого объекта. В условиях усложненного восприятия синтез чувственного образа объекта может быть существенно замедленным и даже не завершаться в реальном времени. При анализе конкретных описаний уникальных индивидуальных (сингулярных) объектов нет возможности определить степень характерности признаков для этого объекта, т.е. они все имеют одинаковый вес или значимость и одинаково связаны с образом конкретного объекта.

3. Человек присваивает конкретным объектам названия (имена) и сравнивает объекты друг с другом. При сравнении выясняется, что одни объекты в различных степенях сходны по их признакам, а другие отличаются. Сходные объекты объединяются в обобщенные категории (классы), которым присваиваются имена, производные от имен входящих в категорию конкретных объектов. Классы формализуются с помощью классификационных шкал и градаций и обеспечивают интегральный способ описания действительности. Путем обобщения (синтеза, индукции, многопараметрической типизации) информации о признаках конкретных объектов, входящих в те или иные классы, формируются обобщенные образы классов. При этом для каждого признака определяется, какое количество информации в нем содержится о принадлежности или непринадлежности обладающего этим признаком конкретного объекта к каждому из обобщенных классов.

Например, когда ребенку первый раз в жизни показывают мячик, то все признаки мячика: круглый, пустой, на половину синий - на половину красный, резиновый, и т.д., имеют совершенно одинаково связаны с образом данного конкретного мячика. Когда же ребенок подрастает и видит уже сотый мячик, то начинает понимать, что такие признаки как круглый и пустой, наблюдаемые практически у всех мячиков, которые он видел за свою жизнь, связаны с обобщенным образом "Мячик" существенным образом, тогда как цвет, размер мячика и материал, и которого он изготовлен, могут меняться самым разнообразным образом.

Таким образом, накопление опыта и сравнение обобщенных образов классов друг с другом позволяет определить степень характерности тех или иных признаков для различных классов, т.е. смысл признаков (количество информации в факте наблюдения данного признака у конкретного объекта о принадлежности или непринадлежности данного объекта к каждому из классов) и обобщенную ценность каждого признака для идентификации конкретных объектов с классами и сравнения классов, а также исключить наименее ценные признаки из дальнейшего анализа без существенного сокращения количества полезной информации о предметной области (абстрагирование). Абстрагирование позволяет существенно сократить затраты внутренних ресурсов системы на анализ информации при сохранении всего наиболее существенно в модели. Идентификация представляет собой процесс узнавания, т.е. установление соответствия между чувственным описанием конкретного объекта, как совокупности дискретных признаков, и неделимым (целостным) именем обобщенного класса, которое ассоциируется с местом и ролью воспринимаемого объекта в природе и обществе. При идентификации определяется какое количество информации о принадлежности или непринадлежности к каждому из обобщенных классов содержится не в отдельных признаках конкретного объекта, а во всей системе его признаков. Это количество информации о принадлежности конкретного объекта к каждому из обобщенных образов классов определяется как суммарное для всех признаков данного объекта по данному классу. В результате получается рейтинг классов в порядке убывания суммарного количества информации о принадлежности к ним, содержащемуся в системе признаков конкретного объекта. Получается, что один и тот же объект одновременно в различной степени, причем как положительной, так и отрицательной, принадлежит разным классам, т.е. к некоторым и не принадлежит (для которых это суммарное количество информации ниже некоторого порога). На наш взгляд в этом и состоит концептуальное решение проблемы рефератных классов.

Дискретное и целостное восприятие действительности поддерживаются как правило различными полушариями мозга: соответственно, правым и левым (доминантность полушарий). Таким образом именно системное взаимодействие интегрального (целостного) и дискретного способов восприятия обеспечивает возможность установление содержательного смысла событий. При выполнении когнитивной операции "содержательное сравнение" двух классов определяется вклад каждого признака в их сходство или различие.

4. После идентификации уникальных объектов с классами возможна их классификация и присвоение обобщающих имен группам похожих классов. Для обозначения группы похожих классов используем понятие "кластер". Но и сами кластеры в результате выполнения когнитивной операции "генерация конструктов" могут быть классифицированы по степени сходства друг с другом. Для обозначения системы двух противоположных кластеров, с "спектром" промежуточных кластеров между ними, будем использовать термин "бинарный конструкт", при этом сами противоположные кластеры будем называть "полюса бинарного конструкта". Бинарные конструкты классов и атрибутов, т.е. конструкты с двумя полюсами, наиболее типичны для человека и представляет собой когнитивные структуры, играющие огромную роль в процессах познания. Достаточно сказать, что познание можно рассматривать как процесс генерации, совершенствования и применения конструктов. Качество конструкта тем выше, чем сильнее отличаются его полюса, т.е. чем больше диапазон его смысла.

Результаты идентификации и прогнозирования, осуществленные с помощью модели, путем выполнения когнитивной операции "верификация" сопоставляются с опытом, после чего определяется целесообразность выполнения когнитивной операции "обучение". При этом может возникнуть три основных варианта, которые на рисунке 2 обозначены цифрами:

Рисунок 2. К пояснению смысла понятий: "Адаптация и синтез когнитивной модели предметной области", "Внутренняя и внешняя валидность информационной модели",

1. Объект, входит в обучающую выборку и достоверно идентифицируется (внутренняя валидность, в адаптации нет необходимости).

2. Объект, не входит в обучающую выборку, но входит в исходную генеральную совокупность, по отношению к которой эта выборка репрезентативна, и достоверно идентифицируется (внешняя валидность, добавление объекта к обучающей выборке и адаптация модели приводит к количественному уточнению смысла признаков и образов классов).

3. Объект не входит в исходную генеральную совокупность и идентифицируется недостоверно (внешняя валидность, добавление объекта к обучающей выборке и пересинтез модели приводит к качественному уточнению смысла признаков и образов классов, исходная генеральная совокупность расширяется).

Когнитивный конфигуратор и базовые когнитивные операции системного анализа

Таким образом из предложенной когнитивной концепции вытекает существование по крайней мере 10 базовых когнитивных операций системного анализа (БКОСА) (таблица 1):

Таблица 1 - ОБОБЩЕННЫЙ СПИСОК БКОСА (КОГНИТИВНЫЙ КОНФИГУРАТОР)

где: W - количество элементов в множестве.

- коэффициент эмерджентности, названный автором в честь Хартли коэффициентом эмерджентности Хартли.

Примем, что системное обобщение формулы Хартли имеет вид:

( 3 )

где: - количество подсистем и m элементов;

m - сложность подсистем;

M - максимальная сложность подсистем.

Так как , то при M=1 система переходит в множество и выражение (3) приобретает вид (1), т.е. для него выполняется принцип соответствия, являющийся обязательным для более общей теории.

Учитывая, что при M=W:

( 4 )

в этом случае получаем:

( 5 )

Выражение (5) дает приближенную оценку максимального количества информации в элементе системы. Из выражения (5) видно, что при увеличении числа элементов W количество информации I быстро стремится к W (6) и уже при W>4 погрешность выражения (5) не превышает 1%:

( 6 )

Приравняв правые части выражений (2) и (3):

( 7 )

получим выражение для коэффициента эмерджентности Хартли:

( 8 )

Смысл этого коэффициента раскрыт в работе [18]. Здесь же отметим лишь, что при M1 когда система асимптотически переходит в множество 1 и (2) (1), как и должно быть согласно принципу соответствия.

С учетом (8) выражение (2) примет вид:

( 9 )

или при M=W и больших W, учитывая (4 и 5):

( 10 )

Выражение (9) и представляет собой искомое системное обобщение классической формулы Хартли, а выражение (10) - его достаточно хорошее приближение при большом количестве элементов в системе W.

Классическая формула А.Харкевича имеет вид:

( 11 )

где: - P_ij - условная вероятность перехода объекта в j-е состояние при условии действия на него i-го значения фактора;

- P_j - безусловная вероятность перехода объекта в j-е состояние (вероятность самопроизвольного перехода или вероятность перехода, посчитанная по всей выборке, т.е. при действии любого значения фактора).

Придадим выражению (11) следующий эквивалентный вид, который и будем использовать ниже:

( 12 )

где: - индекс i обозначает признак (значение фактора):1 i M;

- индекс j обозначает состояние объекта или класс:1 j W;

- P_ij - условная вероятность наблюдения i-го значения фактора у объектов в j-го класса;

- P_i - безусловная вероятность наблюдения i-го значения фактора по всей выборке.

Из (12) видно, что формула Харкевича для семантической меры информации по сути является логарифмом от формулы Байеса для апостериорной вероятности (отношение условной вероятности к безусловной). Вопрос об эквивалентности выражений (11) и (12) рассмотрим позднее.

Известно, что классическая формула Шеннона для количества информации для неравновероятных событий преобразуется в формулу Хартли при условии, что события равновероятны, т.е. удовлетворяет фундаментальному принципу соответствия. Поэтому теория информации Шеннона справедливо считается обобщением теории Хартли для неравновероятных событий. Однако, выражения (11) и (12) при подстановке в них реальных численных значений вероятностей P_ij, P_j и P_i не дает количества информации в битах, т.е. для этого выражения не выполняется принцип соответствия, обязательный для более общих теорий. Возможно, в этом состоит причина довольно сдержанного, а иногда и скептического отношения специалистов по теории информации Шеннона к семантической теории информации Харкевича.

Причину этого мы видим в том, что в выражениях (11) и (12) отсутствуют глобальные параметры конкретной модели W и M, т.е. в том, что А.Харкевич в своем выражении для количества информации не ввел зависимости от мощности пространства будущих состояний объекта W и количества значений факторов M, обуславливающих переход объекта в эти состояния.

Поставим задачу получить такое обобщение формулы Харкевича, которое бы удовлетворяло тому же самому принципу соответствия, что и формула Шеннона, т.е. преобразовывалось в формулу Хартли в предельном детерминистском равновероятном случае, когда каждому классу (состоянию объекта) соответствует один признак (значение фактора), и каждому признаку - один класс, и эти классы (а, значит и признаки), равновероятны, и при этом каждый фактор однозначно, т.е. детерминистским образом определяет переход объекта в определенное состояние, соответствующее классу.

Будем искать это обобщение (12) в виде:

( 13 )

Найдем такое выражение для коэффициента , названого нами в честь А.Харкевича "коэффициентом эмерджентности Харкевича", которое обеспечивает выполнение для выражения (13) принципа соответствия с классической формулой Хартли (1) и ее системным обобщением (2 и 3) в равновероятном детерминистском случае.

Для этого нам потребуется выразить вероятности P_ij, P_j и P_i через частоты наблюдения признаков по классам (см. таблица 1). В таблице 1 рамкой обведена область значений, переменные определены ранее.

Таблица 2 - МАТРИЦА АБСОЛЮТНЫХ ЧАСТОТ

Алгоритм формирования матрицы абсолютных частот.

Объекты обучающей выборки описываются векторами (массивами) имеющихся у них признаков:

Первоначально в матрице абсолютных частот все значения равны нулю. Затем организуется цикл по объектам обучающей выборки. Если предъявленного объекта относящегося к j-му классу есть i-й признак, то значения абсолютных частот переприсваиваются, см. "программистское" выражение: