Как строятся доказательства

Размещено на http://www.allbest.ru/

КАК СТРОЯТСЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА



1. Понятие доказательства

доказательство аргумент логика ошибка

Невозможно переоценить значение доказательств в нашей жизни и особенно в науке. И тем не менее даже в серьёзных рассуждениях доказательства встречаются не так часто, как хотелось бы. К доказательствам прибегают все, но редко кто задумывается над тем, что означает «доказать», почему доказательство «доказывает», всякое ли утверждение нужно доказывать и т. п.

Одна из основных задач логики -- дать точное значение понятию доказательство. Это понятие является одним из основных в логике, но оно не имеет точного, универсального определения, применимого во всех случаях и в любых научных теориях. Доказательство -- это всего лишь рассуждение, убеждающее нас настолько, что мы готовы с его помощью убеждать других. Логическая теория доказательства в основе своей проста и доступна, но ее детализация требует специального символического языка и другой изощрённой техники современной логики.

Под доказательством в логике обычно понимают процедуру установления обоснованности некоторого утверждения путём приведения других утверждений, обоснованность которых уже известна и из которых с необходимостью вытекает первое.

Во всяком доказательстве имеются тезис -- утверждение, которое нужно доказать, основание (аргументы) -- те положения, с помощью которых доказывается тезис, и логическая связь между аргументами и тезисом. Понятие доказательства предполагает, таким образом, указание посылок, на которые опирается тезис, и логических правил, по которым выводят утверждения в ходе доказательства.

Например, нужно доказать тезис «Все люди смертны». Подбираем в качестве аргументов утверждения, которые являются истинными и из которых логически вытекает тезис. В качестве таких утверждений можно принять, в частности, следующие: «Все многоклеточные организмы смертны» и «Все люди являются многоклеточными организмами». Строим умозаключение:

Все многоклеточные организмы смертны.

Все люди являются многоклеточными организмами.

Все люди смертны.

Данное умозаключение является правильным, посылки его истинны; значит, умозаключение представляет собой доказательство исходного тезиса.

Доказательство -- это правильное умозаключение с обоснованными посылками. Логическую основу каждого доказательства (т. е. его схему) составляет логический закон (или система таких законов).

Отношение разных людей к одному и тому же доказательству может быть очень разным. Кто-то принимает определённое доказательство как нечто самоочевидное, в то время как другой убеждён, что никакого доказательства на самом деле нет.

Будучи студентом, И. Ньютон начал изучение геометрии, как в то время было принято, с чтения «Геометрии» Евклида. Знакомясь с формулировками теорем, он видел, что эти теоремы справедливы, и не изучал их доказательства. Его удивляло, что люди затрачивают столько усилий, чтобы доказать совершенно очевидное. Позднее Ньютон изменил свое мнение о необходимости доказательств в математике и других науках и очень хвалил Евклида именно за безупречность и строгость его доказательств. Английский философ Т. Гоббс, прославившийся идеей, что социальная жизнь -- это война всех против всех, до сорока лет ничего не знал о геометрии. Впервые прочитав формулировку теоремы Пифагора, он воскликнул: «Боже, но это невозможно!» И только позднее, проследив шаг за шагом весь ход доказательства, он убедился в его правильности и неохотно, но смирился. Большинство из нас, конечно, думает, что ничего другого ему, собственно, и не оставалось. Большинство, но не все.

Допустим, мы уверены, что важными показателями богатства нашего языка являются его индивидуальность, стилистическая гибкость, умение обо всем говорить «своими словами». В таком случае мы должны признать также, что язык обезличенный, лишённый индивидуальности, основывающийся на чужих оборотах и выражениях и потому серый, бездушный и трафаретный, не может считаться богатым и полноценным.

Источником «принудительной силы» доказательств являются логические законы, лежащие в их основе. Именно данные законы, действуя независимо от воли и желаний человека, заставляют в процессе доказательства с необходимостью принимать одни утверждения вслед за другими и отбрасывать то, что несовместимо с уже принятым.

Задача доказательства -- исчерпывающе утвердить обоснованность доказываемого положения. Поскольку в доказательстве речь идет о полном подтверждении, связь между аргументами и тезисом должна носить дедуктивный характер. Не существует индуктивных, правдоподобных доказательств.

Старая латинская пословица говорит: «Доказательства ценятся по качеству, а не по количеству». На самом деле, логический вывод из истины дает только истину. Если найдены верные аргументы и из них логически выведено доказываемое положение, доказательство состоялось, и ничего более не требуется.

Доказательство -- один из многих способов убеждения. В науке -- это один из основных методов. Можно сказать, что требование доказательности научного рассуждения определяет то «общее освещение», которое модифицирует попавшие в сферу его действия цвета. Этим «общим освещением» пронизываются все другие требования к научной аргументации.

Доказательство является эффективным способом убеждения во всех областях рассуждений и в любой аудитории.

Приведём два примера доказательства, взятых из разных областей знания.

«Я хочу здесь доказать, -- пишет теолог К. С. Льюис, -- что не стоит повторять глупости, которые часто приходится слышать насчет Иисуса, вроде того, что „Я готов принять Его как великого учителя, но в то, что Он был Богом, верить отказываюсь“. Именно этого говорить и не стоит. Какой великий учитель жизни, будучи просто человеком, стал бы говорить то, что говорил Христос? В таком случае он был бы или сумасшедшим -- не лучше больного, выдающего себя за варёное яйцо, -- или настоящим дьяволом. От выбора никуда не деться. Либо этот человек был и остаётся Сыном Божьим, либо он умалишённый, а то и хуже. Так что не будем нести всякой покровительственной чуши насчёт учителей жизни. Такого выбора Он нам не оставил и не хотел оставлять».

Эта аргументация носит характер доказательства, хотя структура ее не особенно ясна.

Более простым и ясным является рассуждение средневекового философа Иоанна Скота Эриугены: «И если блаженство есть не что иное, как жизнь вечная, а жизнь вечная -- это познание истины, то блаженство не что иное, как познание истины». Это рассуждение представляет собой прозрачное умозаключение, а именно категорический силлогизм, исследовавшийся еще Аристотелем.

Значение доказательств в разных областях знания существенно различно. Они широко используются в логике, математике и математической физике. Но только эпизодически -- в истории и философии. Аристотель писал, имея в виду сферу приложения доказательств: «Не следует от оратора требовать научных доказательств, точно так же от математики не следует требовать эмоционального убеждения». Сходную мысль высказывал и Ф.Бэкон: «Излишние педантичность и жёсткость, требующие слишком строгих доказательств, в одних случаях, а ещё больше небрежность и готовность удовольствоваться весьма поверхностными доказательствами в других, принесли науке огромный вред и очень сильно задержали ее развитие».

Доказательство -- очень сильное средство, и оно, как и всякое такое средство, должно использоваться узконаправленно.

Отметим, что все так называемые доказательства существования Бога замышлялись их авторами именно как доказательства, то есть как выведение требуемого тезиса из некоторых самоочевидных истин. Например, знаменитый средневековый философ Фома Аквинский так формулировал «аргумент неподвижного двигателя»: все вещи делятся на две группы: одни только движимы, другие движут и вместе с тем движимы; все, что движется, приводится чем-то в движение, а поскольку бесконечное умозаключение от следствия к причине невозможно, в какой-то точке мы должны прийти к чему-то, что движет, не будучи само движимо; этот неподвижный, но все приводящий в движение двигатель и есть Бог. Логическая структура этого, как и всех пяти доказательств существования Бога, приводившихся св. Фомой, очень неясна. И тем не менее его современникам подобные доказательства представлялись весьма убедительными.

Значение доказательства в формировании убеждений -- и в особенности представлений человека о природе -- переоценивалось в античности и в Средние века. В Новое время картина начала меняться с того момента, когда исследование мира утратило умозрительный характер, и ученые обратились к опыту, наблюдению и эксперименту.

На каждом из нас лежит «бремя доказательства» выдвигаемых положений. Важно постоянно думать о содержательной стороне дела. Вместе с тем существенно, чтобы обеспечивалось единство содержательности и доказательности. Никакие искусственные приёмы, никакое красноречие не способны помочь, если нет хорошо обоснованных идей и убедительных доказательств.

Обычно доказательство протекает в очень сокращённой форме. Видя, например, чистое небо, мы заключаем: «Погода будет хорошей». Это доказательство, но до предела сжатое. Опущено общее утверждение «Всегда, когда небо чистое, погода будет хорошей». Опущена также посылка: «Небо чистое». Оба эти утверждения очевидны, их незачем произносить вслух. Встретив идущего по улице человека, мы отмечаем: «Обычный прохожий». За этой констатацией опять-таки стоит целое рассуждение. Но оно настолько простое, что протекает почти неосознанно. Писатель В. В. Вересаев приводит такой отзыв одного генерала о неудачном укреплении, которое построил его предшественник: «Я узнаю моего умного предшественника. Если человек большого ума задумает сделать глупость, то сделает такую, какой все дураки не выдумают». Это рассуждение -- обычное доказательство, заключение которого опущено. Наши рассуждения полны доказательств, но мы их почти не замечаем.

Нередко в понятие доказательства вкладывается более широкий смысл: под доказательством понимается любая процедура обоснования истинности тезиса, включающая ссылки на связь доказываемого положения с фактами, наблюдениями и т. д. Расширенное истолкование доказательства часто используется в гуманитарных и социальных науках. Оно встречается и в экспериментальных, опирающихся на наблюдения рассуждениях. Как правило, доказательство широко понимается и в обычной жизни. Для подтверждения выдвинутой идеи активно привлекаются факты, типичные в определённом отношении явления и т. п. Логического вывода в этом случае, конечно, нет, тем не менее предлагаемое обоснование называют «доказательством».

Широкое употребление понятия доказательства само по себе не ведет к недоразумениям. Но только при одном условии: нужно постоянно иметь в виду, что обобщение, переход от частных фактов к общим заключениям дает не достоверное, а лишь правдоподобное знание.

Многие наши утверждения не являются ни истинными, ни ложными. Оценки, нормы, правила, советы, требования и т. п. не описывают рассматриваемую ситуацию. Они указывают, какой она должна стать, в каком направлении ее нужно преобразовать. От описаний мы вправе требовать, чтобы они являлись истинными. Но удачный приказ, совет и т. д. мы характеризуем как эффективный, целесообразный, но не как истинный.

В стандартном определении понятия доказательства всегда используется понятие истины. Доказать некоторый тезис -- значит логически вывести его из других являющихся истинными положений. Но есть утверждения, не связанные с истиной. Очевидно также, что, оперируя ими, можно и нужно быть и логичным, и доказательным. Возникает, таким образом, вопрос о существенном расширении понятия доказательства. Им должны охватываться не только описания, но и утверждения типа оценок, требований, идеалов норм и т. п. Задача переопределения понятия доказательства успешно решается современной логикой. Такие ее разделы, как логика оценок и логика норм, убедительно показывают, что рассуждения о ценностях также подчиняются требованиям логики и не выходят за сферу логического.

Предварительно можно определить доказательство как логическое выведение следствий из обоснованных посылок.

Неясность понятия доказательства связана и с тем, что не существует какого-то единого, так сказать «природного», понятия логического следования. Логических систем, претендующих на определение этого понятия, в принципе бесконечно много, но ни одно из имеющихся в современной логике определений логического закона и логического следования не свободно от критики.

Образцом доказательства, которому стремятся следовать во всех науках, является математическое доказательство. Долгое время считалось, что оно представляет собой ясный и бесспорный процесс. В прошлом веке отношение к математическому доказательству изменилось, математики разбились на группы, каждая из которых придерживалась своего истолкования доказательства. Исчезла уверенность в единственности и непогрешимости лежащих в основе доказательства логических принципов. Полемика по поводу математического доказательства показала, что нет критериев доказательства, не зависящих ни от времени, ни от того, что требуется доказать, ни от тех, кто использует эти критерии. Математическое доказательство представляет собой парадигму доказательства вообще, но даже в математике доказательство не является абсолютным и окончательным. «Нельзя не признать, -- пишет математик М. Клайн, -- что абсолютное доказательство не реальность, а цель. К ней следует стремиться, но, скорее всего, она так никогда и не будет достигнута. Абсолютное доказательство не более чем призрак, вечно преследуемый и вечно ускользающий. Мы должны неустанно укреплять то доказательство, которым располагаем, не надеясь на то, что нам удастся довести его до совершенства».

2. Прямое и косвенное доказательства

Немецкий философ А. Шопенгауэр считал математику довольно интересной наукой, но не имеющей никаких приложений, в том числе и в физике. Он даже отвергал саму технику строгих математических доказательств. Шопенгауэр называл их мышеловками и приводил в качестве примера доказательство известной теоремы Пифагора. Оно является, конечно, точным: никто не может считать его ложным. Но оно представляет собой совершенно искусственный способ рассуждения. Каждый шаг его убедителен, однако к концу доказательства возникает чувство, что вы попали в мышеловку. Математик вынуждает вас допустить справедливость теоремы, но вы не получаете никакого реального ее понимания. Это все равно, как если бы вас провели через лабиринт. В конце концов вы выходите из лабиринта и говорите себе: «Да, я вышел, но не знаю, как здесь очутился».

Позиция Шопенгауэра, конечно, курьёз, но в ней есть момент, заслуживающий внимания. Нужно уметь проследить каждый шаг доказательства, иначе его части лишатся связи, и оно может рассыпаться, как карточный домик. Но не менее важно понять доказательство в целом, как единую конструкцию, каждая часть которой необходима на своём месте. Именно такого целостного понимания не хватало, по всей вероятности, Шопенгауэру. В итоге в общем-то простое доказательство представилось ему блужданиями в лабиринте: каждый шаг пути ясен, но общая линия движения покрыта мраком.

Доказательство, не понятое как целое, ни в чем не убеждает. Даже если выучить его наизусть предложение за предложением, к имеющемуся знанию предмета это ничего не прибавит. Следить за доказательством и лишь убеждаться в правильности каждого его последующего шага -- это равносильно наблюдению за игрой в шахматы, когда замечаешь только то, что каждый ход делается по правилам игры.

Все доказательства делятся по своей структуре, по общему ходу мысли на прямые и косвенные.

При прямых доказательствах задача состоит в том, чтобы найти убедительные аргументы, из которых логически вытекает тезис.

Косвенное доказательство устанавливает справедливость тезиса тем, что вскрывает ошибочность противоположного ему допущения, антитезиса.

Например, нужно доказать, что астероиды подчиняются действию законов небесной механики. Известно, что эти законы универсальны: они распространяются на все тела в любых точках космического пространства. Отметив это, строим умозаключение: «Все космические тела подпадают под действие законов небесной механики; астероиды -- космические тела; значит, астероиды подчиняются данным законам». Это прямое доказательство, осуществляемое в два шага: подыскиваются подходящие аргументы и затем демонстрируется, что из них логически вытекает тезис.

В косвенном доказательстве рассуждение идёт как бы окольным путём. Вместо того чтобы отыскивать аргументы для выведения из них доказываемого положения, формулируется антитезис -- отрицание этого положения. Далее тем или иным способом показывается несостоятельность антитезиса. По закону исключённого третьего, если одно из противоречащих друг другу утверждений ошибочно, второе должно быть верным. Антитезис ошибочен, значит, тезис является верным. Поскольку косвенное доказательство использует отрицание доказываемого положения, оно является доказательством от противного. Как с иронией замечает математик Д. Пойа, косвенное доказательство имеет некоторое сходство с надувательским приёмом политикана, поддерживающего своего кандидата тем, что опорочивает репутацию кандидата другой партии.

Например, врач, убеждая пациента, что тот не болен гриппом, говорит ему, что, если бы действительно был грипп, имелись бы характерные для него симптомы: головная боль, повышенная температура и пр.; но ничего подобного нет; значит, нет и гриппа. Это -- косвенное доказательство. Вместо прямого обоснования тезиса «У пациента нет гриппа» выдвигается антитезис «У пациента грипп». Из антитезиса выводятся следствия, но они опровергаются объективными данными. Отсюда следует, что тезис «Гриппа нет» истинен.

Другой пример. Оценивая чьё-то выступление, мы можем рассуждать так. Если бы выступление было скучным, оно не вызвало бы стольких вопросов и острой, содержательной дискуссии. Но оно вызвало вопросы и дискуссию. Значит, выступление было интересным. Здесь вместо поиска аргументов в поддержку тезиса «Выступление было интересным» выдвигается антитезис «Выступление не являлось интересным». Затем выводятся следствия из него, но они не подтверждаются реальной ситуацией. Значит допущение о неудаче выступления неверно, а тезис об интересном выступлении истинен.

В зависимости от того, как показывается ложность антитезиса, выделяются различные варианты косвенного доказательства.

Чаще всего ложность антитезиса удается установить простым сопоставлением вытекающих из него следствий с фактами, опытными данными. Так обстояло, в частности, дело в рассуждениях, касающихся гриппа и выступления, вызвавшего вопросы и дискуссию. Еще один простой пример. Французский философ Р. Декарт утверждал, что животные не способны мыслить и рассуждать. Его последователь Л. Расин, сын великого французского драматурга, воспользовался для обоснования этой идеи доказательством от противного. Если бы животные обладали душой и способностью мыслить и рассуждать, говорил он, разве бы они остались безразличными к несправедливому публичному оскорблению, нанесённому им Декартом? Разве они не восстали бы в гневе против того, кто так принизил их? Но никаких свидетельств особой обиды животных на Декарта нет. Следовательно, они просто не в состоянии обдумать его аргументацию и как-то ответить на нее.

По логическому закону противоречия одно из двух противоречащих друг другу утверждений ложно. Поэтому, если в числе следствий антитезиса встретились и утверждение, и отрицание одного и того же, можно сразу сказать, что это положение ложно.

Например, положение «Квадрат -- это окружность» ложно, поскольку из него выводится и то, что квадрат имеет углы, и то, что у него нет углов.

Имеется ещё одна разновидность косвенного доказательства, когда прямо не приходится искать ложные следствия. Согласно законам логики для доказательства утверждения достаточно показать, что оно логически вытекает из своего собственного отрицания.

Такую схему использовал древнегреческий философ Демокрит (он, как известно, первым предположил, что все тела состоят из атомов) в споре с философом Протагором. Последний утверждал, что истинно все, что кому-либо приходит в голову, или «Всякое мнение истинно». На это Демокрит ответил, что из данного утверждения вытекает также истинность его отрицания, «Не каждое мнение истинно», поскольку само это отрицание тоже является мнением. И, значит, данное отрицание, а не положение Протагора, на самом деле верно.

Для косвенного доказательства утверждения достаточно также показать, что оно логически вытекает из своего собственного отрицания.

В романе И. С. Тургенева «Рудин» есть такой диалог:

«-- Стало быть, по-вашему, убеждений нет?

- Нет -- и не существует.

- Это ваше убеждение?

- Да.

- Как же вы говорите, что их нет? Вот вам уже одно на первый случай».

Здесь ошибочному мнению, что никаких убеждений нет, противопоставляется его отрицание: существует по крайней мере одно убеждение, а именно убеждение, что убеждений нет. Если утверждение «Убеждения существуют» вытекает из своего собственного отрицания, то это утверждение, а не его отрицание является истинным и доказанным.

В рассмотренных косвенных доказательствах выдвигаются две альтернативы: тезис и антитезис. Затем показывается ложность последнего, в итоге остается только тезис. Можно не ограничивать число принимаемых во внимание возможностей только двумя. Это приведет к так называемому разделительному косвенному доказательству, или к доказательству через исключение. Оно применяется в тех случаях, когда известно, что доказываемый тезис входит в число альтернатив, полностью исчерпывающих все возможные альтернативы данной области.

Например, нужно доказать, что одна величина равна другой. Ясно, что возможны только три варианта: или две величины равны, или первая больше второй, или вторая больше первой. Если удалось показать, что ни одна из величин не превосходит другую, два варианта будут исключены и останется только один: величины равны. Доказательство идет по простой схеме: одна за другой исключаются все возможности, кроме одной, которая и является доказываемым тезисом.

В разделительном доказательстве взаимная несовместимость возможностей и то, что ими исчерпываются все мыслимые альтернативы, определяется не логическими, а фактическими обстоятельствами. Отсюда обычная ошибка разделительных доказательств: рассматриваются не все возможности.



3. Ошибки в доказательстве

Логику редко изучают специально. Навыки логичного, т. е. последовательного и доказательного мышления формируются и совершенствуются в практике рассуждений. Но, как заметил английский философ Ф. Бэкон, упражнения, не просветлённые теорией, с одинаковым успехом закрепляют как правильное, так и ошибочное. Неудивительно поэтому, что ошибки в доказательствах -- вещь довольно обычная.

Доказательство представляет собой логически необходимую связь аргументов и выводимого из них тезиса. Ошибки в доказательствах подразделяются на относящиеся к аргументам, тезису и к их связи.

Формальная ошибка имеет место тогда, когда доказательство не опирается на логический закон и тезис доказательства не вытекает из принятых посылок. Иногда эту ошибку сокращённо так и называют -- «не вытекает».

Допустим, кто-то рассуждает так: «Если я навещу дядю, он подарит мне фотоаппарат; когда дядя подарит мне фотоаппарат, я продам его и куплю велосипед; значит, если я навещу дядю, я продам его и куплю велосипед». Ясно, что это -- несостоятельное рассуждение. Его заключение насчет «продажи дяди» абсурдно. Но посылки безобидны и вполне могут быть истинными, так что источник беспокойства не в них. Причина ошибки в самом выведении из принятых утверждений того, что в них вообще не подразумевалось. Вывод из верных посылок всегда даёт верное заключение. В данном случае заключение ложно. Значит, умозаключение не опирается на закон логики, и оно неправильно. Ошибка проста: местоимение «его» может указывать на разные предметы; в предложении «Я продам его и куплю фотоаппарат» оно указывает на фотоаппарат; но в заключении оно уже относится к дяде.

Немецкий физик В. Нернст, открывший третье начало термодинамики (о недостижимости абсолютного нуля температуры), так «доказывал» завершение разработки фундаментальных законов этого раздела физики: «У первого начала было три автора: Майер, Джоуль и Гельмгольц; у второго -- два: Карно и Клаузиус; у третьего -- только один, Нернст. Следовательно, число авторов четвёртого начала термодинамики должно равняться нулю, т. е. такого закона просто не может быть». Это шуточное доказательство хорошо иллюстрирует ситуацию, когда между аргументами и тезисом явно нет логической связи. Иллюзия своеобразной «логичности» рассуждения создаётся чисто внешним для существа дела перечислением.

В гробнице египетских фараонов была найдена проволока. На этом основании один «египтолог» высказал предположение, что в Древнем Египте был известен телеграф. Услышав об этом, другой «исследователь» заключил, что поскольку в гробницах ассирийских царей никакой проволоки не найдено, в Древней Ассирии был известен уже беспроволочный телеграф. Предположение «египтолога» (если это не шутка) очевидная нелепость. Ещё большая глупость (если это опять-таки не шутка) заключение «ассиролога». И конечно же, никакой логической связи между этими «предположениями» и теми посылками, на основе которых они выдвигаются, нет.

Характерная ошибка в отношении тезиса -- подмена тезиса, то есть неосознанное или умышленное замещение его в ходе доказательства каким-то другим утверждением. Подмена тезиса ведёт к тому, что доказывается не то, что требовалось доказать.

Тезис может сужаться, и в таком случае он остаётся недоказанным. Например, для доказательства того, что человек должен быть честным, мало доказать, что разумному, порядочному человеку не следует лгать. Требуется ведь доказать, что каждый человек, а не только тот, кто имеет какие-то достоинства, не должен лгать.

Тезис может также расширяться. В этом случае для доказательства более широкого положения потребуются дополнительные основания, и может оказаться, что из них вытекает не только исходный тезис, но и какое-то иное, уже неприемлемое положение. «Кто доказывает слишком много, тот ничего не доказывает» -- эта старая латинская пословица, безусловно, имеет в виду такую опасность.

Иногда случается полная подмена тезиса, притом она не так редка, как это может показаться. Обычно она затемняется какими-то обстоятельствами, связанными с конкретной ситуацией, и поэтому ускользает от внимания.

Широкую известность получил случай с древнегреческим философом Диогеном, которого однажды за подмену тезиса спора даже побили. Один философ доказывал, что в мире, как он представляется нашему мышлению, нет движения, нет многих вещей, а есть только одна-единственная вещь, притом неподвижная и круглая. В порядке возражения Диоген встал и начал неспешно прохаживаться перед спорящими. За это его, если верить источникам, и побили палкой.

Оставив в стороне вопрос о мере наказания за логическую ошибку, можно сказать, что Диоген очевидным образом был неправ. Речь шла о том, что для нашего ума мир неподвижен. Диоген же пытался подтвердить другую мысль: в чувственно воспринимаемом мире движение есть. Но это и не оспаривалось. Автор мнения, что движения нет, считал, что чувства, говорящие о множественности вещей и их движении, просто обманывают нас.

Разумеется, мнение, будто движения нет, ошибочно, как ошибочна идея, что чувства не дают нам правильного представления о мире. Но поскольку обсуждалось такое мнение, нужно было говорить о нем, а не о чем-то другом, хотя бы и верном.

Наиболее частой является содержательная ошибка -- попытка обосновать тезис с помощью ложных аргументов.

Тигры, как известно не летают. Но рассуждение «Только птицы летают; тигры -- не птицы; значит, тигры не летают» не является, конечно, доказательством этого факта. В рассуждении используется неверная посылка, что способны летать одни птицы: летают и многие насекомые, и самолёты и др.

Довольно распространенной ошибкой является круг в доказательстве: справедливость доказываемого положения обосновывается посредством этого же положения, высказанного, возможно, в несколько иной форме.

Почему мы видим через стекло? Обычный ответ: потому, что оно прозрачно. Но назвать вещество прозрачным -- значит сказать, что сквозь него можно видеть. Один из героев Мольера глубокомысленно пояснял, что опиум усыпляет, поскольку обладает снотворным действием, и что его снотворная сила проявляется в том, что он усыпляет. Получается не доказательство, а пустое хождение по кругу, что, естественно, вызывает смех.

4. Опровержение

О доказательстве в логике говорится много, об опровержении -- только вскользь. Причина понятна: опровержение представляет собой как бы зеркальное отображение доказательства.

Опровержение -- это рассуждение, направленное против выдвинутого положения и имеющее своей целью установление его ошибочности или недоказанности.

Опровержение может быть направлено на тезис доказательства, на приводимые в поддержку тезиса аргументы или, наконец, на логическую связь аргументов и тезиса. Если какое-то положение приводится без всякого доказательства, то естественно, что опровержение может направляться только против самого этого положения.

Наиболее распространённый приём опровержения -- выведение из опровергаемого положения следствий, противоречащих истине. Согласно одному из законов логики, если даже единственное логическое следствие некоторого положения неверно, ошибочным будет и само это положение.

Известен опыт, придуманный когда-то итальянским физиком Э. Торричелли. Стеклянную трубку, запаянную с одного конца, наполняют ртутью и опрокидывают в чашку с ртутью. Ртуть из трубки не выливается, она только опускается немного, и над нею образуется вакуум, «торричеллиева пустота». «Опыты с несомненностью доказывают, -- заявлял Торричелли, -- что воздух имеет вес...» Если кто-то утверждает, что воздух невесом, можно сослаться на этот опыт. Если бы воздух не имел веса, он не давил бы на ртуть в чашке и уровень ртути в трубке сравнялся бы с уровнем в чашке. Но этого не происходит, значит, неверно, что у воздуха нет веса.

Другой приём установления несостоятельности выдвигаемого положения -- доказательство справедливости отрицания этого положения.

Утверждение и его отрицание не могут быть одновременно истинными. Как только удаётся показать, что верным является отрицание рассматриваемого положения, вопрос об истинности самого этого положения автоматически отпадает. Достаточно, скажем, показать одного чёрного лебедя, чтобы опровергнуть убеждение в том, что все лебеди белые. Если убеждению, что никаких убеждений нет, противопоставить само это убеждение в отсутствии каких-либо убеждений, то становится ясно, что убеждения существуют.

Рассмотренные два приёма применимы для опровержения любого утверждения, независимо от того, поддерживается оно какими-либо аргументами или нет. Выводя из утверждения неверное следствие или показывая справедливость отрицания утверждения, мы тем самым доказываем ложность самого утверждения. И какие бы аргументы ни приводились в защиту последнего, они не составят его доказательства.

Логическое следование всегда даёт из истинных утверждений только истину. В силу этого доказать можно только истинное утверждение. Доказательств ложных утверждений не существует.

Если положение выдвигается с каким-либо обоснованием, операция опровержения может быть направлена против обоснования. В этом случае нужно показать, что приводимые аргументы ошибочны: вывести из них следствия, которые окажутся в итоге несостоятельными, или доказать утверждения, противоречащие аргументам.

Следует иметь в виду, что опровержение доводов, приводимых в поддержку какого-либо положения, не означает ещё неправильности самого этого положения. Утверждение, являющееся по сути верным, может отстаиваться с помощью ошибочных или слабых доводов. Выявляя это, мы демонстрируем именно ненадёжность предлагаемого обоснования, а не ложность утверждения. Неопытный спорщик, как правило, отказывается от своей позиции, обнаружив, что приводимые им доводы неубедительны. Нужно, однако, помнить, что правильная в своей основе идея иногда подкрепляется не очень надёжными, а то и просто ошибочными соображениями. Когда это выясняется, следует искать другие, более веские аргументы, а не спешить отказываться от самой идеи. С другой стороны, мало раскритиковать аргументы оппонента в споре. Этим будет показано только то, что его позиция плохо обоснована и шатка. Чтобы вскрыть ее ошибочность, надо убедительно обосновать противоположную позицию.

Особое значение при опровержении имеют факты. Ссылка на верные и неоспоримые факты, противоречащие ложным или сомнительным утверждениям оппонента, -- самый надёжный и успешный способ опровержения. Реальное явление или событие, не согласующееся со следствиями какого-либо универсального положения, опровергает не только эти следствия, но и само положение. Факты, как известно, упрямая вещь.

При опровержении ошибочных, оторванных от реальности, умозрительных конструкций «упрямство фактов» проявляется особенно ярко.

Опровержение может быть направлено на саму связь аргументов и доказываемого положения. В этом случае надо показать, что тезис не вытекает из доводов, приведённых в его обоснование. Если между аргументами и тезисом нет логической связи, то нет и доказательства тезиса с помощью указанных аргументов. Из этого не следует, конечно, ни то, что аргументы ошибочны, ни то, что тезис ложен.

5. Доказательство как вычисление

Ещё в ХVП в. Г. В. Лейбниц высказал идею представить логическое доказательство как «игру со знаками». Эта «игра» должна осуществляться по простым правилам, напоминающим правила вычисления в математике и принимающим во внимание только внешний вид знаков. Лейбниц верил, что если это удастся, наступит золотой век, когда с помощью новой логики самые сложные и отвлечённые проблемы будут «вычисляться» так же легко, как в математике вычисляется сумма чисел. Эта программа формализовать доказательство и тем самым перестроить логику по образцу математики намного опережала своё время и начала реализовываться только двести лет спустя.

Строя доказательства, мы опираемся на интуитивную логику и постоянно обращаемся к содержательному значению используемых понятий, их смыслу. Но смысл -- трудноуловимая вещь. Нередко он расплывчат и неопределёнен, может истолковываться по-разному и меняться в ходе рассуждения. Чтобы сделать доказательство предельно строгим, нужно свести оперирование смыслами, недоступными наблюдению, к действиям над вещественными, хорошо обозримыми объектами. Для этого требуется выявить все используемые нами принципы интуитивной логики и представить их в виде простых правил преобразования последовательностей знаков, записанных на бумаге. Рассуждение превратится при этом в предметные действия над цепочками знаков.

Метод формализации доказательства состоит в построении исчисления, в котором содержательным рассуждениям соответствуют чисто формальные преобразования. Они осуществляются на основании системы чисто формальных (принимающих во внимание лишь внешний вид знаков) правил, а не смыслового содержания входящих в рассуждение утверждений. Полная формализация теории имеет место тогда, когда совершенно отвлекаются от содержательного смысла исходных понятий и положений теории и перечисляют все правила логического вывода, используемые в доказательствах. Такая формализация включает в себя три момента: обозначение исходных, неопределяемых терминов; перечисление принимаемых без доказательства формул (аксиом); введение правил преобразования этих формул для получения из них новых формул (теорем). В формализованной теории доказательство не требует обращения к каким-либо интуитивным представлениям. Оно является последовательностью формул, каждая из которых либо есть аксиома, либо получается из аксиом по правилам вывода. Проверка такого доказательства превращается в механическую процедуру и может быть передана вычислительной машине.

Некоторое время на формализованные доказательства возлагались большие надежды. Предполагалось, что удастся формализовать математические доказательства и затем доказать непротиворечивость математики. Эта программа называлась «формализмом» и противопоставлялась как попыткам свести математику к логике (логицизм), так и намерению сориентировать математику на особую наглядно-содержательную интуицию (интуиционизм). Предложенная формализмом программа обоснования математики оказалась, однако, утопией. Достаточно богатая содержательная теория (охватывающая хотя бы арифметику натуральных чисел) не может быть полностью отображена в ее формализованной версии: как бы ни пополнялась последняя дополнительными утверждениями (новыми аксиомами), в теории всегда останется не выявленный, неформализованный остаток. Но об этом речь пойдёт далее.

6. Как мыслит машина

Когда стали появляться все более совершенные вычислительные машины, производящие миллионы операций в секунду, очень популярным был вопрос: может ли машина мыслить? Не окажется ли в недалёком будущем так, что существенно усовершенствованная вычислительная машина начнёт мыслить, как человек, а потом и превзойдёт его в сфере мышления? В сфере, считающейся отличительной особенностью человека. Ведь человек, согласно его определению, восходящему ещё к античности, -- всего лишь разумное животное.

Проблема «машинного мышления» вызывала какое-то время бурные дискуссии, преимущественно в околонаучных кругах. Теперь споры совершенно затихли, хотя иногда люди, далёкие от математики и логики, задумываются над вопросом о том, не станет ли с течением времени бурно прогрессирующая вычислительная техника «лучшим мыслителем», чем ее создатель -- человек. Во всяком случае в шахматах вычислительные машины проявили себя просто блестяще, и можно с большой долей уверенности предположить, что уже скоро они начнут регулярно обыгрывать лучших гроссмейстеров. В каких ещё областях мышления машина может со временем превзойти человека?

Чтобы разобраться с вопросом о «машинном мышлении», нужно более ясно представить, как именно «мыслит» машина и способно ли будет это специфическое «мышление» когда-нибудь составить конкуренцию живому человеческому мышлению. Для этого требуется ввести понятие алгоритма и подробнее рассмотреть проблему ограниченности формализованного доказательства.

Алгоритм -- это конечный набор правил, позволяющих чисто механически решить любую конкретную задачу из некоторого класса однотипных задач.

Примерами наиболее простых алгоритмов могут служить алгоритмы сложения, вычитания, умножения и деления целых чисел в арифметике (использующей десятичную систему счисления).

Осуществление алгоритмического процесса может быть передано машине. Благодаря своему быстродействию, она окажется способной решать задачи, недоступные человеку. Но, естественно, только задачи, для решения которых существуют алгоритмы, и никакие иные.

Потенциальная возможность передать машине осуществление алгоритмических процедур существенно стимулировала разработку математической теории алгоритмов. Первоначально недостаточно ясное понятие «алгоритма» было уточнено с помощью таких понятий, как «рекурсивная функция», «машина Тьюринга», «нормальный алгоритм» и др. Со временем теория алгоритмов легла в фундамент вычислительной науки и техники, сделалась основой машинного решения математических задач, моделирования сложных процессов и автоматизации производства и управления.

Алгоритм представляет собой систему правил (предписаний) для эффективного решения некоторого класса однотипных задач.

Предполагается, что алгоритм обладает свойствами массовости, детерминированности и результативности. Массовость означает, что данные задач могут в определённых пределах изменяться. Алгоритм связан с решением общей проблемы, в условия которой входят варьирующиеся параметры. Ответ «да» или «нет» на проблему даётся не прямо, а косвенно, в зависимости от значений параметров, в общем случае допускающих счетно-бесконечное множество значений. Точное описание алгоритма предполагает указание на множество возможных значений параметров проблемы, т. е. тех частных вопросов, на которые она распадается. Детерминированность алгоритма выражается в том, что, когда заданы алгоритм и значения параметров, или, иначе говоря, выбран частный случай проблемы, процесс решения идет чисто формально (механически) и во всех деталях известны последовательность и содержание конкретных шагов работы алгоритма. Алгоритмический процесс изолирован от воздействия извне, так что детерминированность исключает возможность произвольных решений. Именно эта особенность алгоритма делает его синонимом автоматически работающей машины. Результативность алгоритма означает, что на каждом шаге процесса применения правила известно, что считать его результатом.

Проблему, рассматриваемую в свете поиска алгоритма ее решения, называют алгоритмической. Когда алгоритм предложен, возникает вопрос: всегда ли ответы по данному алгоритму будут ответами на частные вопросы рассматриваемой алгоритмической проблемы? Если удается доказать соответствие алгоритма данной проблеме, алгоритмическую проблему считают разрешимой посредством алгоритма, или алгоритмически разрешимой.

Алгоритмически разрешимые проблемы могут быть переданы вычислительной машине, которая справится с ними намного быстрее, чем это способно сделать человеческое мышление.

Вера в алгоритмическую разрешимость проблем математики и логики зародилась в философии более трехсот лет тому назад. Постепенно эта вера распространилась и на проблемы других областей знания. Стало даже складываться чрезвычайно оптимистическое мнение, что со временем машина окажется способной решать едва ли не все, а может быть даже все те проблемы, которые встают перед человеком.

Однако в первой половине ХХ в. было доказано, что далеко не каждая из даже собственно математических или логических проблем является алгоритмически разрешимой. Тем самым надеждам на универсальную замену человеческого мышления «машинным мышлением» был положен конец. Этому предшествовало уточнение понятия алгоритма в рамках строгой математической теории алгоритмов, уяснение принципиальной завершённости поиска средств, привлекаемых для решения алгоритмических проблем, и одновременно признание существования алгоритмически «абсолютно неразрешимых» проблем. Уточнение понятия алгоритма и границ области алгоритмически разрешимых проблем явилось мощным стимулом для дальнейшего развития теории алгоритмов.

Формализация доказательства сводит процесс доказательства к простым операциям со знаками. Проверка формализованного доказательства (но не его поиск) является механической процедурой. Поскольку она носит алгоритмический характер, ее можно передать машине.

Формализация играет существенную роль в уточнении научных понятий. Многие проблемы не могут быть не только решены, но даже сформулированы, пока не будут формализованы связанные с ними рассуждения. Так обстоит дело, в частности, с широко используемым теперь понятием алгоритма и вопросом о том, существуют ли алгоритмически неразрешимые проблемы. Они существуют, и подавляющее большинство проблем, решаемых человеком, не имеет никакого алгоритма своего решения. Только формализация дала возможность поставить вопрос: охватывает ли формализованная, «машинная» арифметика всю содержательную арифметику?

Формализованное доказательство -- это доказательство, записанное на специальном искусственном -- формализованном -- языке. Он имеет точно установленную структуру и простые правила, благодаря чему процесс доказательства сводится к элементарным операциям со знаками.

Формализованное доказательство -- это идеальное и неоспоримое доказательство. Но насколько реалистичен этот идеал, не слишком ли формализованные рассуждения отходят от обычных научных рассуждений? Можно ли полностью формализовать любую научную теорию?

Ответы на эти вопросы были получены в 30-е годы, когда был установлен ряд теорем, принципиально ограничивающих формализацию. Наиболее важная из них принадлежит австрийскому математику и логику К. Гёделю. В 1931 г. он показал, что любая достаточно богатая по содержанию и являющаяся непротиворечивой теория неизбежно неполна: она не охватывает все истинные утверждения, относящиеся к ее области. Теорема Гёделя непосредственно относилась к арифметике и утверждала, что существует имеющее смысл утверждение арифметики целых чисел (обозначим это утверждение буквой С), которое в рамках данной теории нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Но либо утверждение С, либо утверждение не-С истинно. Следовательно, в арифметике существует истинное утверждение, которое недоказуемо, а значит, и неразрешимо.

Эта теорема произвела эффект разорвавшейся бомбы не только в математике и логике. Она распространяется на любую формализованную теорию, содержащую арифметику, и говорит о внутренней ограниченности процедуры формализации, о невозможности представления достаточно богатой теории в виде завершенной формализованной системы.

Гёделевская теорема не дискредитирует, конечно, метод формализации. Но она говорит, что никакая формализация не способна исчерпать все богатство приемов и методов содержательного мышления. Сравнивая возможности человека и современных вычислительных машин, можно сказать, что для каждой конкретной задачи в принципе можно построить машину, которой эта задача была бы под силу. Нельзя, однако, создать машину, пригодную для решения любой задачи. Из гёделевской теоремы о неполноте следует непреложный вывод: природа и резервы человеческого разума неизмеримо тоньше и богаче любой из существующих или воображаемых вычислительных машин.

Теорема Гёделя иногда истолковывается как свидетельство какой- то внутренней, непреодолимой ограниченности человеческого мышления. Такая пессимистическая интерпретация безосновательна. Теорема устанавливает границы только «машиноподобного», «вычисляющего» разума. Вместе с тем она косвенно говорит о могуществе творческого разума, способного создавать новые понятия и методы для решения принципиально новых проблем.

7. Изменение смысла основных понятий логики

Современная логика растет не только вширь, но и вглубь, хотя последний процесс менее заметен из-за сопровождающих его споров. Прояснение и углубление оснований логики сопровождается пересмотром и уточнением таких центральных ее понятий, как логическая форма, логический закон, доказательство, логическое следование и т. д.

К логической форме оказались отнесенными такие непривычные для традиционной логики понятия, как «было» и «будет», «раньше», «позже» и «одновременно», «хорошо», «плохо» и «безразлично», «знает» и «полагает», «возникает» и «исчезает», «уже есть» и «еще есть» и т. д. Сама логическая форма сделалась относительной: она зависит не только от исследуемого языкового выражения, но и от принятой системы анализа, от того формализованного языка, на который это выражение «переводится».

Законы логики долгое время представлялись абсолютными истинами, никак не связанными с опытом. Однако возникновение конкурирующих логических теорий, отстаивающих разные множества законов, показало, что логика складывается в практике мышления и что она меняется с изменением этой практики. Логические законы -- такие же продукты человеческого опыта, как аксиомы евклидовой геометрии, тоже казавшиеся когда-то априорными.

Эти законы не являются непогрешимыми и зависят от области, к которой они прилагаются. К примеру, при рассуждении о бесконечных совокупностях объектов не всегда применим закон исключённого третьего, принципы косвенного доказательства и др., рассуждение о недостаточно определённых или изменяющихся со временем объектах также требует особой логики и т. д.

«Рассуждения» имеют место в большом числе различных контекстов: в повседневной жизни, в математике и науке, в судах и, между прочим, в логике тоже, пишет финский философ и логик Г. Х. фон Вригт. Нельзя считать само собою разумеющимся, что принципы, согласно которым протекают верные рассуждения, одни и те же во всех контекстах (видах контекстов). «Законы логики» не обязательно истинны semper ubique.

Более того, на разных этапах развития научной теории находят применение разные множества логических законов. Так, в условиях формирующейся теории ограничена применимость законов, позволяющих выводить любые следствия из противоречий и отвергать положения, хотя бы одно следствие, которое оказалось логичным (паранепротиворечивая логика и рассматриваемая далее парафальсифицирующая логика).

Обнаружилась, таким образом, «двойственная гибкость» человеческой логики: она может изменяться не только в зависимости от области обсуждаемых объектов, но и в зависимости от уровня теоретического осмысления этой области.

Идею об укорененности логики в практике теоретического мышления хорошо выразил Л. Витгенштейн, писавший, что законы логики есть на деле выражение «мыслительных привычек» и одновременно также привычки к мышлению. Эти законы демонстрируют то, как именно люди мыслят, и то, что они называют мышлением. Логика является продуктом определённых исторических и социальных условий, закреплённых определёнными социальными институтами. Она представляет набор «языковых игр», возможны и существуют различные логические парадигмы, кодифицируемые с помощью различных формальных систем. Определённые формы мышления выделяются в качестве образцов и подкрепляются социальными институтами. Психология может изучать какие-то врождённые «дедуктивные интуиции», но логика не сводится к последним, даже если они существуют, поскольку они всегда проявляются в определенных социальных условиях и подвергаются своего рода социальной селекции, учитывающей социальные интересы. Поэтому «чистая» психология столь же бесплодна при изучении природы логики, как и «чистая» формализация.

Можно сказать, что Витгенштейн настаивает на двойственном, де- скриптивно-прескриптивном характере логических законов. Они формируются в практике мышления, систематизируя и очищая от случайностей опыт теоретизирования. В этом смысле законы описывают то, как на самом деле люди мыслят. Но, с другой стороны, законы предписывают определённые формы поведения, выдвигают известные образцы и требования. В этом смысле они определяют, что должно называться правильным мышлением.

...