Как строятся доказательства

Законы логики не являются каким-то исключением в этом плане: дескриптивно-прескриптивными образованиями являются все научные законы. Однако в логических законах явно доминирует прескриптивное начало. В этом они близки к моральным принципам, правилам грамматики и т. п.

Доказательство, и в особенности математическое, принято было считать императивным и универсальным указанием, обязательным для каждого непредубежденного ума. Развитие логики показало, однако, что доказательства вовсе не обладают абсолютной, вневременной строгостью и являются только культурно опосредствованными средствами убеждения. Даже способы математической аргументации на деле исторически и социально обусловлены.

Хотя термин «доказательство», замечает В. А. Успенский, является едва ли не самым главным в математике, он не имеет точного определения. Понятие доказательства во всей его полноте принадлежит математике не более, чем психологии: ведь доказательство -- это просто рассуждение, убеждающее нас настолько, что с его помощью мы готовы убеждать других.

Ещё в начале ХХ в. Б. Рассел писал, что одно из главных достоинств, присущих доказательствам, состоит в том, что они пробуждают определённый скептицизм по отношению к доказанному результату. Рассел даже утверждал, что любой результат может быть опровергнут, но никогда не может быть доказан.

Ни одно доказательство не является окончательным, настаивает математик М. Клайн. Новые контрпримеры подрывают старые доказательства, лишая их силы. Доказательства пересматриваются, и новые варианты ошибочно считаются окончательными. Но, как учит история, это означает лишь, что для критического пересмотра доказательства еще не настало время. Нельзя не признать, что абсолютное доказательство не реальность, а цель. К ней следует стремиться, но, скорее всего, она так никогда и не будет достигнута. Абсолютное доказательство не более чем призрак, вечно преследуемый и неизменно ускользающий. Мы должно неустанно укреплять то доказательство, которым располагаем, не надеясь на то, что нам удастся довести его до совершенства.

Всякое доказательство с помощью высказываний неявно связано с истиной, полагает Г. Х. фон Вригт. Одна из самых основных идей, связанных с логикой, состоит в том, что верное логическое рассуждение есть сохраняющее истинность развитие мысли. Например, когда утверждается, если А, то В, утверждается, что если истинно А, то В тоже истинно. И когда от этого мы по контрапозиции переключаемся на утверждение, что если не-В, тогда и не-А, это имеет такой смысл, что если бы было ложным В, то А тоже было бы ложным.

В разных логических системах доказательствами считаются разные последовательности утверждений, и ни одно доказательство не является окончательным.

В стандартном определении доказательства и сейчас еще используется понятие истины. Доказать некоторое утверждение -- значит логически вывести его из других, являющихся истинными положениями. Но многие утверждения не связаны с истиной: предположения, гипотезы, рассказы о вымышленных лицах и событиях, просьбы, угрозы, благодарности, проклятия, мольбы, приветствия и т. п.

Оценочные, нормативные и им подобные высказывания способны быть посылками и заключениями корректных рассуждений. Это означает, что «высказывание», «логическое следование» и другие центральные понятия логики должны быть определены в терминах, отличных от «истины» и «лжи». Намечается выход логики за пределы «царства истины», в котором она находилась до сих пор. Понимание ее как науки о приёмах получения истинных следствий из истинных посылок должно уступить место более широкой концепции логики.

Отказ от использования понятия истины в обосновании ключевых понятий логики начался ещё с интуиционистской логики.

Понятие истины, отмечает Д. Майхилл, не играет у интуиционистов никакой роли, во всяком случае оно не является тем элементарным рычагом, с помощью которого объяснялся бы смысл пропозициональных связок, как это делается в классической логике. Роль понятия истины на этом уровне выполняет в интуиционизме понятие (значимых) оснований для утверждения чего-то.

Определение логических понятий в терминах истины плохо согласуется с основным принципом формальной логики, в соответствии с которым правильность рассуждения зависит только от формы рассуждения, от способа связи входящих в него содержательных частей.

Использование понятия истины при определении логической правильности рассуждения можно назвать основной ошибкой логики.

Существенно изменились, далее, представления об отношении логики к человеческому мышлению и обычному языку. Согласно господствовавшей в 30-е годы точке зрения, правила логики представляют собой продукт произвольной конвенции и выбор их, как и выбор правил игры, ничем не ограничен. В силу этого все искусственные языки, имеющие ясную логическую структуру, равноправны, и ни один из них не лучше и не хуже другого. Это -- так называемый принцип терпимости, отрывающий логику от обычного мышления и обычного языка.

Мышление не копирует мир своей внутренней структурой. Но это не означает, что они никак не связаны, и что логика -- только своеобразная интеллектуальная игра, правила которой точны, но произвольны. Правила игры определяют способы обращения с вещами, правила логики -- с символами. Искусственные языки логики имеют предметное, семантическое измерение, которого лишены игры. Нарушающий правила игры вступает в конфликт с соглашениями, нарушающий же правила логики находится в конфликте с истиной и добром, стандарты которых не являются конвенциональными.

Логика как инструмент познания связана, в конечном счете, с действительностью и своеобразно отражает ее. Это проявляется в обусловленности развития логики развитием человеческого познания, в историческом изменении логических форм, в успешности практики, опирающейся на логическое мышление.

Перемены, произошедшие в современной логике, низвели ее с заоблачных высот непогрешимой абстракции. Они приблизили логику к реальному мышлению и тем самым к человеческой деятельности, одной из разновидностей которой оно является. Это, несомненно, усложнило логику, лишило ее прежней твёрдости и категоричности. Но этот же процесс насыщения реальным содержанием придал ей новый динамизм и открыл перед ней новые перспективы.

Современная логика первоначально развивалась и совершенствовалась под влиянием нужд математики. Применение ее к иной сфере -- сфере опытного знания не может быть осуществлено столь же естественно и безоговорочно, как к математике. Оно связано с рядом ограничений и трудностей и должно осуществляться в менее «сильной» форме, чем это имеет место в математике. Более того, применение логики к опытному знанию требует не только соответствующей реконструкции этого знания, но и развития новых средств логического анализа.

Сейчас логический анализ научного знания активно ведется в целом ряде как давно освоенных, так и новых областей. Самым общим образом их можно обозначить так.

Методология дедуктивных наук. Этот раздел достаточно глубоко и всесторонне разработан математиками и логиками. Многие результаты, полученные здесь (например, теорема Гёделя о неполноте и др.), имеют принципиальное философско-методологическое значение.

Применение логического анализа к опытному знанию. К этой сфере относятся изучение логической структуры научных теорий, способов их эмпирического обоснования, исследование различного рода индуктивных процедур (индуктивный вывод, аналогия, моделирование, методы установления причинной связи на основе наблюдения и эксперимента и т. п.), трудностей применения теорий на практике и т. д. Особое место занимают проблемы, связанные с изучением смыслов и значений теоретических и эмпирических терминов, с анализом семантики таких ключевых терминов, как закон, факт, теория, система, измерение, вероятность, необходимость и т.д.

В последнее время существенное внимание уделяется логическому исследованию процессов формирования, роста и развития знания. Они имеют общенаучный характер, но пока изучаются преимущественно на материале естественнонаучных теорий. Были предприняты, в частности, попытки построения особой диахронической логики для описания развития знания.

Применение логического анализа к оценочно-нормативному знанию. Сюда относятся вопросы семантики оценочных и нормативных понятий, изучение структуры и логических связей высказываний о ценностях, способов их обоснования, анализ моральных, правовых и других кодексов. Тема ценностей стала одной из центральных в сегодняшней методологии. Знание не сводимо к истине, оно включает также ценности. Без них нет ни гуманитарной, ни естественной науки. Всякая научная теория включает ценности, и притом в самой разнообразной форме: в форме иерархии своих положений, в форме ценностных составляющих господствующей парадигмы (номинальных) определений, конвенций и т. д. Интенсивные исследования в этой области показали несостоятельность неопозитивистского требования исключения ценностей из науки. Это требование несовместимо не только с реальной практикой этики, эстетики, политэкономии и подобных им дисциплин непосредственно занятых обоснованием и утверждением определённых ценностей, но и с практикой научного познания в целом, которое, как и всякая человеческая деятельность, немыслимо без целей и иных ценностей. В изучении внутренних и внешних ценностей научных теорий важную роль призвана играть и логика.

Применение логического анализа в исследовании приёмов и операций, постоянно используемых во всех сферах научной деятельности. К ним относятся объяснение, понимание, предвидение, определение, обобщение, классификация, типологизации, абстрагирование, идеализация, сравнение, экстраполяция, редукция и т. п.

Этот краткий перечень областей и проблем логического исследования научного знания не является, конечно, исчерпывающим. Но уже он показывает как широту интересов логики науки, так и сложность стоящих перед нею задач.

Если не принимать во внимание давно сформировавшуюся методологию дедуктивных наук, существенный вклад в которую внесла логика, можно сказать, что логика науки не достигла пока особо впечатляющих результатов. Тем не менее, движение есть и есть перспектива. И уже сейчас можно сделать вполне определённый вывод о плодотворности крепнущих связей логики с естественными и гуманитарными науками как для методологии этих наук, так и для самой логики.

Логика не является эмпирической наукой в обычном смысле, но она черпает основные импульсы к развитию из практики реального мышления. Изменение этой практики ведёт к изменению логики. Особенно ярко это проявилось в математизации логики и возникновении математической логики в тот период, когда логика сблизилась с математикой и занималась реальной проблематикой ее оснований.

Если логика отрывается от своей эмпирической почвы, над нею нависает опасность вырождения в чистый формализм, в ничем не мотивированную игру с определениями, когда логические системы создаются «из любви к искусству».

Размещено на Allbest.ru