Логика

Размещено на http://www.allbest.ru

Федеральное агентство по образованию и науки Российской Федерации

Костромской государственный технологический университет

Кафедра философии

В.Н. Тарковский

ЛОГИКА

Учебно-методическое пособие

Кострома 2012

Введение

Введение необходимо не для иллюстрации важности и особенности дисциплины, а для указания характера и последовательности изложения материала. Существование предмета более 2000 тыс. лет и наличие огромного количества литературы, в том числе и учебной, к сожалению, делает его мало доступным для начального изучения.

С нашей точки зрения, целесообразно определить логику как грамматику искусственных языков. В отличие от естественных языков (русский, английский, польский и т. д.), обслуживающих нашу интуицию, искусственный - противоречит ей. Иногда говорят об «интеллектуальной интуиции» математика, физика, юриста и т. п. Если естественные языки отражают вещи, воспринимаемые органами чувств, указывают наше отношение к ним, желания, недоумения, то искусственные были созданы или создаются исключительно для решения практических проблем в той или иной сфере. Потребность в искусственных языках указывает на то, что наша интуиция и выражающие ее естественные языки противоречивы по своей природе. Принципиально важно то, что, сколько существует искусственных языков столько и логик.

Исторически первой грамматикой искусственных языков была аристотелевская силлогистика и вплоть до середины XIX века она считалась единственной. Уже в XX веке сложились и нашли интересные применения математическая, временная, модальные и др. логики. Нужно быть готовым к тому, что во всех учебниках обучаемые сталкиваются как минимум с тремя логиками - силлогистикой (традиционной), элементами математической (символической) и индуктивной.

Исторически и методически желательно, чтобы первые шаги в изучении логики, начинались с силлогистики. Классическими образцами такого подхода служат, например, учебник «Логика» В. Ф. Асмуса, ранние издания учебника «Логика» В. И. Кириллова и А. А. Старченко. Важно именно здесь столкнуться с так называемыми основными законами и принципами любой искусственной знаковой системы.

В качестве примера возьмем закон тождества. Он требует в процессе рассуждения сохранять содержание понятий неизменными. При переводе с одного естественного языка на другой содержание (значение) слова выясняется исходя из контекста его использования. Так слово «любовь» может иметь смысл: «отношение к ребенку», «отношение к Родине», «отношение к вещи» и т. п. Еще Аристотель (384 - 322 до н. э.) писал, что невозможно ничего мыслить, «если не мыслишь каждый раз что-нибудь одно». Нарушение его рекомендации может привести к следующей ошибке в рассуждении: если движение вечно, а хождение в институт движение, следовательно, хождение в институт вечно. В первом случае понятие «движение» ассоциируется с философской категорией, а во втором - с частным случаем движения - перемещением. Таким образом использование понятия (знака) в той или иной сфере с разным содержанием (ассоциацией) запрещается. Для этого создаются специальные логические операции: определение, вывод, узаконенные процедуры в юриспруденции, теории в естествознании, правила аргументации и т. д. В рамках математической логики, описанный выше закон, не имеет уже смысла, так как предметом математической логики является разделы математики, уже сформулированные в форме искусственных языков.

Если закон тождества распространяется в основном на понятие как форму мышления, то закон непротиворечия - на суждение (высказывание). В рамках силлогистики он требует, чтобы одному и тому же предмету в одно и тоже время не приписывали противоречащие свойства. Например, одно из основных требований, предъявляемых к версии в судебном исследовании, состоит в том, чтобы при анализе совокупности фактических данных, на основе которых она построена, эти данные не противоречили друг другу и выдвинутые версии в целом.

Почти во всех искусственных языках соблюдаются требования закона исключенного третьего. Он устанавливает связь между противоречащими друг другу высказываниями: одно из таких высказываний должно быть истинно. Например: «Аристотель умер в 322 г. до н. э. или не умер в этом году», «Завтра будет морское сражение или завтра не будет морского сражения» и т. п. понятие суждение силлогизм высказывание аргументация

Принцип достаточного основания также традиционно относят к числу так называемых «основных законов мышления», или «основных законов логики». Он требует, чтобы в случае любого утверждения указывались основания, в силу которых оно принимается и считается истинным. Это следует из недоступности искусственных языков нашей интуиции. Обоснование, например, теоретического утверждения - сложный и противоречивый процесс, не сводимый к построению отдельного умозаключения или проведению одноактной эмпирической проверки. Однако нет смысла отрицать, что в дедуктивных науках достаточным основанием может являться «доказательство», в естествознании - «эксперимент», а в юриспруденции для определенного рода процедур - «алиби», «улики» или «срок давности».

Помимо вышеперечисленных законов каждый искусственный язык обладает своими законами, по численности потенциально неограниченными.

I. Понятие как форма мышления

Начинать рассмотрение силлогистики с анализа именно понятия как формы мышления - непринципиально, как и пытаться дать ему строгое определение. Предполагается, что понятие - мысль, фиксирующая признаки отображаемых в ней предметов и явлений, позволяющие отличать эти предметы и явления от смежных с ними. Существенную роль в формировании понятий играют процессы абстрагирования, обобщения и спецификации. Признаки, фиксируемые в понятиях, представляют собой свойства изучаемых предметов и явлений и отношения между ними.

Считается, что в понятиях отображаются и обобщаяются отличительные признаки, являющиеся существенными: для человека как общественного существа таковым является например, способность производить орудия труда, а не свойство «иметь мягкую мочку уха». В рамках, например, математических теорий все свойства являются существенными.

Понятия непосредственно закрепляются и выражаются в языковой форме: в виде отдельных слов («атом», «треугольник» и т. п.) или в виде словосочетания («буржуазная революция», «квадрат со стороной 5 см» и т. п.), обозначающих классы объектов.

В каждом понятии различают содержание (существенные свойства) и объём. Так, в содержание понятия «молекула» в числе иных свойств входит свойство «быть мельчайшей частицей вещества, сохраняющей физические и химические его свойства». Этим свойством обладает каждая молекула. Объем понятия - это множество (класс) предметов (элементов), каждому из которых принадлежат признаки, относящиеся к содержанию понятия. Так в объем понятия «река» войдет множество, состоящее из отдельных рек, называемых «Волга», «Дон», «Ока» и т. д.

Отображаемые в понятиях предметы всегда выделяются из состава более обширного класса (рода), задаваемого родовым признаком. Признаки, выделяющих изучаемый класс предметов (вид) в пределах этого более обширного родового класса, носят название видовых. Так класс прямоугольных треугольников являются видом по отношению к классу треугольников (род). Учитывая, что объем понятия удобно иллюстрировать с помощью кругов Эйлера, отношение между объемами понятий «прямоугольный треугольник» (1) и «треугольник» (2) следующее:

В логике различают понятия с нулевым объемом - их объемы не содержат ни одного элемента («кентавр», «первый человек посетивший Марс» и др.); единичные понятия - их объемы содержат лишь по одному элементу («столица Германии», «первый человек побывавший в космосе» и т. д.); общие понятия - в их объемах содержится более чем один элемент («сила», «натуральные числа», «студент» и т. д.).

В силлогистике по отношению к содержанию и объему понятия формулируется закон их обратного отношения: чем больше содержание понятия, тем меньше его объем, и наоборот. Так если к содержанию понятия «треугольник» добавить новый признак «равные стороны», то его объем уменьшится: получившееся понятие «равносторонний треугольник» меньше по объему, чем исходное понятие «треугольник».

Все понятия находятся между собой в определенных отношениях. По содержанию между понятиями могут быть два вида отношений - сравнимость и несравнимость. Далекие друг от друга по своему содержанию и понятия не имеющие общих признаков, называют несравнимыми («дерево» и «нервная система», «число» и «ручка» и т. д.). Сравнимые понятия - это понятия, имеющие в своем содержании общие, существенные признаки (по которым они и сравниваются). Например, «треугольник» и «равносторонний треугольник», «число» и «натуральное число» и т. д.

Между сравнимыми понятиями возможны два вида отношений по объему: совместимость и несовместимость. Совместимые понятия - это такие, объемы которых частично или полностью совпадают. Выделяют три совместимых отношения:

- равнообъемными или равнозначными называют понятия, объемы которых полностью совпадают («квадрат» (1) и «прямоугольник с равными сторонами» (2) и «ромб с прямым углом» (3));

- перекрещивающимися называются понятия, объемы которых частично совпадают («студент» (1) и «спортсмен» (2), «юрист» (1) и «писатель» (2) и т. д.);

- в отношении подчинения (субординации) находятся понятия, если объем одного полностью входит в объем другого, но не исчерпывает его («квадрат» (2) и «прямоугольник» (1), «число» (1) и «натуральное число» (2) и т. д.).

Несовместимыми называются понятия, объемы которых не имеют ни одного общего элемента («квадрат» (1) и «треугольник» (2) и т. д.):

Иллюстрируя отношения между объемами понятий, мы использовали операции обобщения и ограничения понятия. Обобщение понятия - это поиск родового понятия для данного. Ограничение понятия - это операция обратная обобщению. Пример обобщения: «квадрат» (3) «прямоугольник» (2) «геометрическая фигура» (1). Ограничения: «геометрическая фигура» (1) «прямоугольник» (2) «квадрат» (3).



Содержание понятия раскрывается с помощью логической операции определения. Суждение, раскрывающее содержание называют дефиницией. В дефиниции выделяют определяемое понятие (Dfd - дефиниендум) и определяющее понятие (Dfn - дефиниенс).

По функциям, которые выполняют определения, их, делят на номинальные и реальные. С помощью номинальных определений вводятся новые понятия, и фиксируется их место в используемом искусственном языке. Например: «Доверенностью признается письменное уполномочие, выдаваемое одним лицом другому лицу для представительства перед третьими лицами». Реальное определение раскрывает существенные признаки предмета и его положения среди других предметов по какому-либо отличительному признаку. Например: «Улика - это доказательство виновности обвиняемого в совершенном преступлении».

Наиболее распространённым является определение через ближайший род и видовое отличие. Например, «кража есть тайное хищение чужого имущества». Понятие «кража» подводится под ближайшее родовое понятие - «хищение чужого имущества», а затем в рамках этого рода выявляется отличительная черта кражи от других видов хищения: грабежа, разбоя.

Правильность определения зависит от его структуры. Для этого нужно следовать следующим правилам:

- определение должно быть соразмерным. Это значит, что объем определяющего понятия (дефиниенс) должен быть равным объему определяемого (дефиниендум). Например: «Квадрат - это прямоугольник с равными сторонами». Определение имеет структуру: Dfd = Dfn. Суждение -«Газовый баллончик есть средство самозащиты» является неправильным определением, так как определяемое «газовый баллончик» меньше по объему, чем определяющее «средство самозащиты». Dfd < Dfn. Такое определение называют «слишком широким».

- определение не должно быть отрицательным. Это означает, что определяющее понятие не должно быть отрицательным. Например: «Круг является не треугольником».

- определение не должно быть тавтологией, т. е. определяемое не должно определяться через само себя. Например: «Коллегия адвокатов - это объединение лиц, занимающихся адвокатской деятельностью».

II. Суждение как форма мышления

Суждение - это форма мысли, посредством которой раскрывается наличие или отсутствие каких-либо связей и отношений между предметами. В рамках силлогистики анализируют простые категорические атрибутивные суждения. Они имеют следующую структуру: S - P. Где «S» - субъект суждения, «P» - предикат, а « -, является, есть» - категорическая связка. Например: «Квадрат - прямоугольник». Где «квадрат» - субъект, «прямоугольник» - предикат, «-, есть» - утвердительная связка. Отношение между объемами субъекта и предиката в данном суждении следующее:

Штриховкой показан сегмент, о котором идет речь в данном суждении. Данная схема: Все S есть P называют схемой общеутвердительного суждения (общего - по количеству субъекта в суждении и утвердительного по наличию утвердительной связки между субъектом и предикатом). Символически слева от общеутвердительного суждения ставят значок - «А» или «а».

Частноутвердительные суждения - частные по количеству субъекта и утвердительные по качеству. Например: «Некоторые студенты спортсмены». Символически обозначают значком - «I» или «i».

Общеотрицательные суждения - общие по количеству субъекта, отрицательные по качеству. Например: «Ни один обвиняемый не оправдан». Символически обозначают значком - «Е» или «е».

Частноотрицательные суждения - частные по количеству субъекта, отрицательные по качеству (связке). Например: «Некоторые студенты не спортсмены». Символически обозначают значком - «О» или «о».

Если термин использован в суждении во всем объеме, его называют распределенным, в противном случае - нераспределенным. Например, в частных суждениях субъект не распределен, предикат может быть распределен или не распределен, а в общеотрицательном суждении и субъект, и предикат распределены.

Преобразование суждения, в результате которого субъект исходного суждения становится предикатом, а предикат субъектом заключения, называется обращением. Такого рода преобразование называют «непосредственное дедуктивное умозаключение» или «непосредственный вывод». Например, в результате обращения суждения «квадрат - прямоугольник» получаем суждение (вывод) «некоторые прямоугольники - квадраты». Таким образом, общеутвердительное суждение становится частноутвердительным.

Другой разновидностью непосредственного вывода является операция превращения. В результате превращения субъект суждения остается тем же, а на место первоначального предиката ставится понятие противоречащее ему. Например, в результате превращения суждения «квадраты - прямоугольники» получаем: «ни один квадрат не является не прямоугольником».



В результате превращения суждения «некоторые студенты не спортсмены» получаем: «некоторые студенты являются не спортсменами». Таким образом, частноотрицательное (о) суждение превращается в частноутвердительное (i).

Преобразование, в результате которого на место первоначального субъекта ставится понятие, противоречащее первоначальному предикату, называют противопоставлением предикату. Например, результатом преобразования суждения «ни один квадрат не треугольник» получаем суждение «треугольник является не квадратом».



Непосредственный вывод можно сделать не во всех суждениях. Невозможно провести обращение в частноотрицательных суждениях и противопоставление предиката в частноутвердительных.

Закономерности отношений между простыми категорическими атрибутивными суждениями по истинности иллюстрируют с помощью так называемого «логического квадрата».

Контрарное отношение существует между общеутвердительными (А) и общеотрицательными (Е) суждениями. Отношение утверждает, что оба суждения могут быть ложными, но не могут быть одновременно истинными. Например, между суждениями «все числа четные» (А) и «все числа нечетные» (Е) или между суждениями «все бамбуки - злаки» (А) и «ни один бамбук не является злаком» (Е). В первой паре оба суждения ложные, во второй паре первое суждение (А) - истинное, второе - ложное (Е).

Субконтрарное отношение существует между суждениями частноутвердительными (I) и частноотрицательными (О). Отношение утверждает, что они могут быть одновременно истинными, но не могут быть одновременно ложными. Например, между суждениями «некоторые числа четные» (I) и «некоторые числа нечетные» (О). Первое и второе суждение одновременно истинные.

Отношение подчинения существуют между общеутвердительными (А) и частноутвердительными (I) суждениями и, соответственно, между общеотрицательными (Е) и частноотрицательными (О), но не наоборот. Утверждает, что если общее по количеству суждение истинно, то истинно и соответствующее ему частное суждение. Например, «все квадраты прямоугольники» - истинно, соответственно истинно и суждение «некоторые квадраты прямоугольники».

Отношение противоречия существует между общеутвердительными и частноотрицательными суждениями и, соответственно, между общеотрицательными и частноутвердительными. Утверждает, что если суждение истинно, то противоречащее ему обязательно ложно и наоборот. Например, «все квадраты - прямоугольники» противоречат суждению «некоторые квадраты - не прямоугольники».

Таким образом, учитывая вышесказанное, можно сделать непосредственный вывод об истинности контрарного, подчиненного и противоречащего суждения, если известно, например, общеотрицательное суждение. Если суждение «квадрат не треугольник» (Е) истинно, то «квадрат - треугольник» (А) - ложно, «некоторые квадраты не треугольники» (О) может быть истинным или ложным (по «логическому квадрату»), «некоторые квадраты треугольники» (I) - ложно.

III. Простой категорический силлогизм

Простой категорический силлогизм - дедуктивное умозаключение, в котором из двух суждений, имеющих субъектно-предикатную форму, следует новое суждение (заключение), имеющее также субъектно-предикатную форму. Например:

Все жидкости (М) упруги (Р).

Ртуть (S) - жидкость (М).

Ртуть (S) упруга (Р).

В этом силлогизме посылки стоят над чертой, а заключение - под чертой. Черта, отделяющая посылки от заключения, означает слово «следовательно». Слова и словосочетания, выражающие понятия, фигурирующие в силлогизме, называют терминами. В каждом силлогизме имеется три термина: меньший, больший и средний. Термин, соответствующий субъекту заключения, носит название меньшего термина («ртуть»), а сама посылка, содержащая субъект вывода, называется меньшей. Посылка, содержащая предикат вывода («упругость»), называется - большей и располагается всегда над меньшей посылкой. Термин, который присутствует в посылках, но отсутствует в заключении, носит название среднего термина («жидкость») и обозначается знаком «М». Логическую форму данного силлогизма можно представить в виде:

Все М суть Р.

Все S суть М.

Все S суть Р.

По положению среднего термина в посылках все простые категорические силлогизмы подразделяют на четыре фигуры:

Видно, что использованный в качестве примера силлогизм относится к первой фигуре.

Примером умозаключения по второй фигуре будет следующий силлогизм:

(А) Все рыбы (Р) дышат жабрами (М). Р а М

(Е) Кашалоты (S) не дышат жабрами (М). S е М

(Е) Кашалоты (S) не рыбы (Р). S е Р

Анализ отношений между объемами терминов в большей и меньшей посылках данного силлогизма показывает количество и качество суждения вывода:



При анализе информации, заложенной в большей и меньшей посылках, в I варианте следует вывод: «Ни одна окружность не является треугольником». Данное суждение является общеотрицательным. Во II варианте следует вывод: «Некоторые окружности являются треугольниками». Данное суждение является частноутвердительным. В III варианте - вывод: «Все окружности являются треугольниками». Данное суждение - общеутвердительное. Выводы в I и во II вариантах по «логическому квадрату» противоречат друг другу, что нарушает закон непротиворечия для всех искусственных языков. Следовательно, вывод из данных посылок невозможен. Первые четыре силлогизма, приведенные выше, называют правильными модусами, так как из информации, заложенной в посылках, можно сделать заключение (вывод). В последнем случае - пример неправильного модуса. В каждой фигуре простого категорического силлогизма возможно 64 модуса, т. е. разновидностей силлогизма, отличающихся друг от друга количеством и качеством посылок. Только 6 модусов в каждой фигуре считаются правильными, остальные 58 - неправильными. Начиная со Средних веков, существует список удобной для заучивания и преобразования всех правильных модусов:

I-я фигура: Barbara, Celarent, Darii, Ferio, Barbari, Celaront;

II-я фигура: Cesare, Camestres, Festino, Baroco, Cesaro, Camestros;

III-я фигура: Darapti, Datisi, Felapton, Fericon, Disamis, Bocardo;

IV-я фигура: Bramantip, Camenes, Fesapo, Fresison, Dimaris, Camenos.

В современной литературе используется другой вариант фиксирования тех же правильных модусов:

I-я фигура: ААА, ЕАЕ, АII, ЕIО, ААI, ЕАО;

II-я фигура: ЕАЕ, АЕЕ, ЕIО, АОО, ЕАО, АЕО;

III-я фигура: ААI, АII, ЕАО, ЕIО, IАI, ОАО;

IV-я фигура: ААI, АЕЕ, ЕАО, ЕIО, IАI, АЕО.

Нетрудно заметить, что выше были приведены примеры правильных силлогизмов соответственно: Barbara (ААА), Camestres (АЕЕ), Darapti (ААI), Bramantip (ААI). Первая гласная слева в аббревиатуре - количество и качество больше посылки, вторая гласная количество и качество меньше посылки, третья - количество и качество суждения вывода.

Предполагается, что в неправильных модусах выводы невозможно сделать, так как в них нарушается так называемые правила силлогизма. Их подразделяют на общие правила и правила конкретных фигур. К первым, в частности, относятся:

1. Посылки в простом категорическом силлогизме должны быть истинными суждениями (высказываниями). В противном случае действует правило: «из лжи следует все что угодно».

2. В каждом силлогизме должно быть только три термина (S, Р, М). Ошибка называется «учетверение терминов».

3. Средний термин должен быть распределен, по крайней мере, в одной из посылок.

4. Термин распределен в заключении, если и только если он распределен в посылке. Иначе в терминах заключения говорилось бы больше, чем в терминах посылок.

5. Из двух отрицательных посылок нельзя сделать никакого заключения.

6. Если одна из посылок отрицательная, то и заключение должно быть отрицательным.

7. Если одна из посылок частная, то заключение должно быть частным суждением.

Пример, приводимый выше в качестве неправильного модуса простого категорического силлогизма, как не трудно заметить, является, в нашем случае, нарушением пятого правила.

IV. Сложные силлогизмы или полисиллогизмы

Сложным силлогизмом или полисиллогизмом называется последовательность простых силлогизмов, в которой заключение предшествующего силлогизма становится посылкой последующего силлогизма.

Силлогизм, предшествующий другому в последовательности силлогизмов, называется просиллогизмом.

Силлогизм, следующий за другим в последовательности силлогизмом, называется эписиллогизмом.

Прогрессивным полисиллогизмом называется полисиллогизм, в котором заключение просиллогизма становится большей посылкой эписиллогизма.

Регрессивным полисиллогизмом называется полисиллогизм, в котором заключение просиллогизма становится меньшей посылкой эписиллогизма.

Например, допустим, нам надо доказать, что тайное присвоение книги из библиотеки общественно опасно.

Все преступления общественно опасны.

Все хищения - преступления.

Все хищения общественно опасны.

Все хищения общественно опасны.

Все кражи - хищения.

Все кражи - общественно опасны.

Все кражи общественно опасны.

Все тайные присвоения книг из библиотеки - кражи.

Все тайные присвоения книг из библиотеки общественно опасны.

Мы видим, что при помощи этого прогрессивного полисиллогизма мы поэтапно с максимальной очевидностью перенесли признак «общественно опасный» с общего понятия преступления на один из мелких видов преступления - присвоение книг из библиотеки.

Полисиллогизмы - достаточно громоздкие конструкции и в практике мышления используются редко. На практике обычно опускаются некоторые очевидные посылки, препятствующие плавности мысли. Особенно это важно для ораторов. В таком случае получается такой вид сложного сокращенного силлогизма, как сорит.

Сорит - это сложный силлогизм, в котором в каждом, начиная со второго, из составляющих его простых силлогизмов, опущена одна из посылок.

Нетрудно заметить, что в простых силлогизмах могут опускаться либо большая, либо меньшая посылки. В зависимости от этого различаются два вида соритов: аристотелевский и гоклениевский.

Аристотелевским называется сорит, в котором опущена меньшая посылка каждого, начиная со второго, простого силлогизма.

Гоклениевским называется сорит, в котором опущена большая посылка каждого, начиная со второго простого силлогизма.

Например, можно получить пример гоклениевского полисиллогизма, просто опуская большие посылки во всех силлогизмах, кроме первого:

Все преступления общественно опасны.

Все хищения - преступления.

Все кражи - хищения.

Все тайные присвоения книг из библиотеки - кражи.

Все тайные присвоения книг из библиотеки общественно опасны.

Несмотря на внешнюю громоздкость полисиллогизмов, в практике научного мышления используются именно они, а не простые категорические силлогизмы. Можно говорить о том, что полисиллогизм «является мерой» величины абзаца того или иного текста.

Если рассмотреть силлогизм в ряду всех различных рассуждений, то можно сказать, что силлогизм систематизирует наиболее простые, очевидные, но тем самым и наиболее убедительные отношения между терминами. Если, например, удалось привести рассуждения к форме силлогизма или последовательностей силлогизмов (полисиллогизму), то считается, что достигается полная ясность и отчетливость в получении одних мыслей из других. На практике трудность состоит именно в том, чтобы аргументы и заключения разговорной речи привести в такой порядок, чтобы соотношение между встречающимися в них терминами приняло столь простую и очевидную форму. Здесь требуется и знание теории силлогизмов, и навык в прояснении наших мыслей и их последовательностей. Приобрести этот навык может помочь только выполнение практических упражнений. Таковые и предлагаются ниже.

V. Логика высказываний

В силлогистике мы рассматривали дедуктивные умозаключения, в которых учитывается внутренняя структура простых суждений (высказываний), входящих в посылки и заключения. Умозаключения, в которых при осуществлении вывода внутренняя структура простых суждений не учитывается, называются выводами логики высказываний.

Из отдельных простых высказываний разными способами можно строить новые высказывания. Так, из высказываний «Дует ветер» и «Идет дождь» можно образовать более сложные высказывания: «Дует ветер и идет дождь», «Либо дует ветер, либо идет дождь», «Если идет дождь, то дует ветер» и т. п. Выражения - «и», «либо, либо», «если, то» и т. п., служащие для образования сложных высказываний, называются логическими связками.

Высказывание называется простым, если оно не включает других высказываний в качестве своих частей.

Высказывание является сложным, если оно получено с помощью логических связок из других, более простых высказываний.

Высказывание - грамматически правильное предложение, взятое вместе с выражаемым им смыслом (содержанием) и являющееся истинным или ложным.

Понятие высказывания - одно из исходных, ключевых понятий логики. Как таковых, оно не допускает точного определения, в равной мере приложимого в разных ее разделах. Ясно, что всякое высказывание описывает определенную ситуацию, что-то утверждая или отрицая о ней, и является истинным или ложным.

Анализ структуры сложных высказываний и их истинностных значений осуществляется с помощью специального формализованного языка, называемого языком логики высказываний. Как и всякий формализованный язык, он имеет строго определенный словарь, синтаксис и семантику. Словарь формализованного языка обычно представляют в виде перечня исходных знаков (т.е. своеобразного алфавита), а синтаксис - как определение формулы этого языка (т.е. как набор правил, обеспечивающих построение законченных выражений).

В алфавит языка логики высказываний входит три вида знаков:

1) Знаки пропозициональных переменных для обозначения простых высказываний - буквы латинского алфавита (A, B, C, D, p, q, s, r).

2) Знаки логических постоянных, служащие для обозначения логических связок (“~ “ - отрицание, “/\” - конъюнкция, “\/“- нестрогая дизъюнкция, “\/“ - строгая дизъюнкция, “> “- импликация, “-“- Эквиваленция).

3) Скобки - ), (. (Эти регламентирующие знаки позволяют задать однозначность чтения выражений).

Определение формулы логики высказываний:

1) Любая пропозициональная переменная есть формула.

2) Если А есть формула и В есть формула, то ~А, (А /\ В), (А \/ В), (А \/ В), (А > В), (А - В) - формулы.

3) Ничего иное не является формулой.

Согласно определению, выражение (p /\ q), ((A /\ ~B) - (А > В)), ~(~А), r являются формулами, а выражения (А /\ В) >, s-, /\(p > q) - нет.

Чтобы не перегружать формулы логики высказываний чрезмерным количеством скобок, примем соглашения об опускании скобок в формулах. Условимся считать, что знак ~ связывает теснее, чем все остальные логические постоянные; знак /\ - теснее, чем \/, \/, >, -; \/ - теснее, чем \/, > и -; \/ - теснее, чем >; и - а > - теснее, чем -.

Исходя из сказанного, формулы ((А /\ ~В)>(C \/ D)), ((~(~p))-(p>q)) можно упростить до А /\ ~В>C \/ D, ~ ~ p-p>q.

Определение логических связок, служащих для образования сложных высказываний, основывается на следующих двух предположениях:

1) каждое высказывание (как простое, итак и сложное) имеет одно и только одно из двух значений истинности: оно является либо истинным, либо ложным;

2) истинностное значение сложного высказывания зависит только от истинностных значений входящих в него высказываний и способа их логической связи между собой.

Эти предположения кажутся простыми. Приняв их, нужно, однако, отбросить идею, что, наряду с истинными и ложными высказываниями, могут существовать также высказывания не-определенные с точки зрения своего истинностного значения (такие, как, скажем, «Через пять лет в это время будет идти дождь с громом» и т.п.). Нужно отказаться также от того, что истинностное значение сложного высказывания зависит также от «связи по смыслу» соединяемых высказываний.

В обычном языке два высказывания соединяются союзом «и», когда они связаны между собой по содержанию, или смыслу. Характер этой связи не вполне ясен, но понятно, что мы не рассматривали бы конъюнкцию «Он шел в пальто и я шел в университет» как выражение, имеющее смысл и способное быть истинным, или ложным.

Упрощая значение конъюнкции и других логических связок и отказываясь для этого от неясного понятия «связь высказываний по смыслу», логика делает значение этих связок одновременно и более широким, и более ясным.

Истинность сложных высказываний, образованных с помощью различных логических связок (операторов), можно определить, например, с помощью «таблиц истинности». Для этого необходимо указать логический смысл используемой связки (оператора).

a	b	a /\ b	a \/ b	a \/ b	a > b	а - b
И	И	И	И	Л	И	И
И	Л	Л	И	И	Л	Л
Л	И	Л	И	И	И	Л
Л	Л	Л	Л	Л	И	И

Таблицу истинности для конъюнкции (a /\ b) можно разъяснить на следующем примере. Учителю дали короткую характеристику, состоящую из двух простых высказываний «Он является хорошим педагогом (а) и учится заочно (b)». Она будет истинна в том и только в том случае, если суждения а и b оба истинны. Это и отражено в первой строке. Если же, а ложно или b ложно, либо и а и b ложны, то вся конъюнкция обращается в ложь, т.е. учителю была дана ложная характеристика.

Высказывание «Увеличение рентабельности достигается путем повышения производительности труда (а) или путем снижения себестоимости продукции (b)» - пример нестрогой (слабой) дизъюнкции. Дизъюнкция называется нестрогой, если ее члены не исключают друг друга. Такое высказывание истинно в том случае, когда истинно хотя бы одно из двух высказываний (первые три строки таблицы), и ложно, когда оба высказывания ложны.

Члены строгой дизъюнкции (a \/ b) исключают друг друга. Это можно разъяснить на примере: «Я поеду на юг на поезде (а) или полечу на самолете (b)». Я не могу одновременно ехать на поезде и лететь на самолете. Строгая дизъюнкция истинна тогда, когда истинно одно из двух посылок.

Таблицу для импликации (а > b) можно разъяснить на таком примере: «Если через проводник пропустить электрический ток (а), то проводник нагреется (b)». Импликация истинна всегда, кроме одного случая, когда первое высказывание истинно, а второе ложно. Действительно, не может быть, чтобы по проводнику пропустили электрический ток, т.е. чтобы высказывание (а) было истинным, а проводник не нагрелся, т.е. высказывание (b) было ложным.

Эквиваленция в таблице (а - b) характеризуется так: а - b истинно в тех и только в тех случаях, когда и а, и b либо оба истинны, либо оба ложны.

Особое место занимает оператор отрицания. Два высказывания, из которых одно есть отрицание другого, называют противоречащими высказываниями (см. «логический квадрат»), т. е. если одно - истинно, то другое - с необходимостью ложно. Это иллюстрируется таблицей:

a	~a
И	Л
Л	И

Составление таблицы истинности рассмотрим на примере формулы:

(p /\ q) > p

- читается: «если p и q, то - p». Количество строк определяется по формуле 2ⁿ, где n - число переменных. В нашей формуле две переменные (p,q) - следовательно, четыре строки. Количество колонок определяется суммой числа переменных (p,q) и числа операторов (союзов). В нашем случае их тоже два (/\ ,>).

p	q	p/\q	(p/\q)>p
и	и	и	и
л	и	л	и
и	л	л	и
л	л	л	и

Логически анализ данной формулы показывает, что при любом значении («истина» или «ложь») входящих переменных ее собственное значение всегда истинно. Формулы подобные по значению приведенной называют тождественно-истинными, или законами логики, или тавтологией. Приведенная формула носит название - «закон упрощения». Уже известный, например, закон исключенного третьего имеет формулу:

p\/~p

p	~p	p\/~p
И	Л	И
Л	И	И

Если формула может принимать хотя бы, по крайней мере, одно значение «истина», то ее называют выполнимой. Тождественно-ложная формула та, которая соответственно принимает только значение «ложь» (она иначе называется противоречием). Например:

p/\~p

p	~p	p/\~p
И	Л	Л
Л	И	Л

Использование формул (логических форм) - результат формализации. Уже выражение мышления в естественном языке можно считать первым шагом формализации. Дальнейшее ее углубление достигается введением в обычный язык разного рода специальных знаков и созданием искусственных языков. С середины XIX в. формируется математическая логика частью, которой и является, рассматриваемая здесь, логика высказываний.

Формализуем текст:

«Лица, виновные в нарушении норм, регулирующих получение, обработку и защиту персональных данных работника, привлекаются к дисциплинарной и материальной ответственности в порядке, установленном Трудовым Кодексом РФ и иными федеральными законами, а также привлекаются к гражданско-правовой, административной и уголовной ответственности в порядке, установленном федеральными законами».

«Лица, виновные в нарушении норм, регулирующих получение персональных данных работника» - p.

«Лица, виновные в нарушении норм, регулирующих обработку персональных данных работника» - q.

«Лица, виновные в нарушении норм, регулирующих защиту персональных данных работника» - r.

«Лица привлекаются к дисциплинарной и материальной ответственности в порядке, установленном Трудовым Кодексом РФ и иными федеральными законами» - f.

«Лица привлекаются к гражданско-правовой ответственности» - g.

«Лица привлекаются к административной ответственности» - h.

«Лица привлекаются к уголовной ответственности» - t.

(p \/ q \/ r - f)>g \/ h \/ t

В таблице должно быть - 128 строк и 13 столбцов. Что эта формула дает?

p

q

r

f

g

h

t

p\/q

p\/q\/r

p\/q\/r-f

g\/h

g\/h\/t

(p\/q\/r-f)>g\/h\/t

И

И

И

И

И

И

И

И

И

И

Л

Л

Л

И

Л

Л

И

Л

Л

Л

И

И

И

Л

Л

Л

Л

Л

И

И

И

Л

Л

Л

И

И

И

И

И

Из первой строки таблицы следует вывод, что лицо, виновное в нарушении норм, регулирующих получение, обработку и защиту персональных данных работника привлекается к дисциплинарной и материальной ответственности в порядке, установленном Трудовым Кодексом РФ и иными федеральными законами. Но не может одновременно привлекаться к гражданско-правовой, административной и уголовной ответственности. Вторая строка утверждает, что лицо, виновное в нарушении норм, регулирующих получение персональных данных работника, привлекается к гражданско-правовой, административной и уголовной ответственности в порядке, установленном федеральными законами. Третья строка - лицо, виновные в нарушении норм, регулирующих защиту персональных данных работника, может привлекаться к гражданско-правовой ответственности. Остальные 125 строк формулируют возможные следствия, выводимые из текста.

Логическая формализация направлена на выявление и фиксацию логической формы выводов и доказательств.

Условно-категорическое умозаключение(вывод) - дедуктивное умозаключение, в котором одна из посылок - условное суждение, а другая посылка и заключение - простые категорические суждения. Такие умозаключения имеют два правильных модуса.

1. Утверждающий модус (modus ponens) - такое условно-категорическое умозаключение, в котором от утверждения истинности основания в условной посылке можно утверждать истинность следствия. Символически структуру этого модуса можно представить в виде формулы:

((p > q) /\ p) > q) или p > q, p .

q

Например:

Если гражданин совершил кражу, то он совершил преступление.

Гражданин совершил кражу.

Гражданин совершил преступление.

Это умозаключение можно сформулировать как правило: если условное высказывание и его основание истинны, то истинным будет и следствие, которое можно отделить от посылок.

2. Отрицающий модус (modus tollens) - такое условно-категорическое умозаключение, в котором от отрицания истинности следствия в условной посылке можно отрицать истинность основания. Символически:

((p > q) /\ ~ q) > ~ p) или p > q, ~q .

~p

Например, из суждений «Если гражданин совершил кражу, то он совершил преступление» и «Гражданин не совершил преступление» можно сделать заключение «Он не совершил кражу».

Неправильные модусы условно-категорических силлогизмов (из посылок нельзя сделать однозначный, необходимый вывод) имеют форму:

p > q, q p > q, ~ p .

? ?

Наряду с условными суждениями широко используются эквивалентные суждения. Например: «Если завтра суббота, то сегодня пятница»; «Раз человек нарушил закон, то он будет наказан».

Умозаключения с эквивалентными суждениями выражаются словами: «если и только если, то…», «тогда и только тогда, когда…». В таких умозаключениях все четыре модуса - правильные:

p - q, p p - q, ~ q p-q, q p-q, ~p

q ~ p p ~q

Разделительно-категорическое умозаключение - такое дедуктивное умозаключение, в котором одна из посылок - разделительное, а другая посылка заключение - категорические суждения. Разделительно-категорические имеют два правильных модуса: утверждающе-отрицающий и отрицающе-утверждающий.

Утверждающе-отрицающий модус (modus ponendo tollens) - такое разделительно-категорическое умозаключение, в котором утверждение одного из членов дизъюнкции влечет отрицание другого. Например:

Приговор суда или обвинительный, или отрицательный.

Приговор суда по данному делу обвинительный.

Приговор суда не оправдательный.

Схема: p \/ q, p где \/ - символ строгой дизъюнкции.

~ q

В данном виде разделительно- категорического умозаключения из истинных посылок следует истинное заключение при условии, что в разделительной посылке все перечисленные суждения исключают друг друга (или одно истинно, или другое, но не оба вместе). В нашем примере это условие соблюдается.

Вывод не следует с необходимостью, если нет строгой дизъюнкции. Например, из суждений «Он лжет или смеется» и «Он смеется» нельзя сделать заключение «Он не лжет».

Отрицающе-утверждающий модус (modus tollendo ponens) - такое разделительно-категорическое умозаключение, в котором отрицание одного из членов дизъюнкции влечет утверждение другого. Например:

Преступление совершил M или N.

Доказано, что преступление не совершил M.

Преступление совершил N.

Схематично: (p \/ q), ~p

q

В данном виде разделительно- категорического умозаключения из истинных посылок следует истинное заключение при условии, что в разделительной посылке перечислены все возможные альтернативы, иначе говоря, большая посылка должна быть полным (закрытым) дизъюнктивным суждением.

Дилемма (от греч. di - дважды, lemma - предположение; двойное предположение) - это условно-разделительное умозаключение, в котором разделительное суждение в форме альтернативы утверждает или основания, или следствия условных суждений. В практике рассуждений встречаются два вида дилемм - конструктивная и деструктивная.

1. В условных посылках конструктивной дилеммы устанавливается возможность двух оснований и вытекающего из них следствия. Разделительная посылка ограничивает выбор только этими двумя условиями, а в заключении утверждается следствие. Пример простой конструктивной дилеммы:

Если С. организовал преступление,

то должен быть наказан.

Если С. участвовал в совершении преступления,

то должен быть наказан.

С. - организатор или участник преступления.

С. должен быть наказан.

Схема рассуждения:

p > q.

r > q.

____ p \/ r._____

Следовательно, q.

2.В условных посылках деструктивной дилеммы устанавливается, что из одного основания могут вытекать два следствия. В разделительной посылке отрицается одно из возможных следствий, а в заключении отрицается основание. Пример простой деструктивной дилеммы:

Если этот человек - местный житель,

то он хорошо знает окрестности.

Если этот человек - местный житель,

то он говорит на местном диалекте.

Неправда, что этот человек хорошо знает окрестности,

или неправда, что он говори на местном диалекте.

Этот человек - не местный житель.

Схема рассуждения:

р > q.

р > r.

__Не - q или не - r.___

Следовательно, не - p.

VI. Индуктивная логика

Индуктивная логика - раздел логики, изучающий индуктивные умозаключения, которые отличаются от дедуктивных умозаключений тем, что вывод в них вытекает из посылок не с необходимостью, а лишь с некоторой вероятностью. Типичным примером индуктивного умозаключения является переход от единичных фактов к общему утверждению.

Индукция (от лат. іnductio - наведение) - умозаключение, в форме которого протекает эмпирическое обобщение, когда на основе повторяемости признака у явлений определенного класса заключают о его принадлежности всем явлениям этого класса.

Два примера индуктивных умозаключений:

Енисей течет с юга на север; Лена течет с юга на север; Обь и Иртыш текут с юга на север.

Енисей, Лена, Обь, Иртыш - крупные реки Сибири.

Все крупные реки Сибири текут с юга на север.

Железо - металл; медь - металл; калий - металл; кальций - металл; рутений - металл; уран - металл.

Железо, медь, калий, кальций, рутений, уран - химические элементы.

Все химические элементы - металлы.

Посылки обоих этих умозаключений истинны, но заключение первого истинно, а второго ложно.

Индуктивные умозаключения представляют собой логические процедуры, в форме которых обобщаются результаты опытных исследований. Полнота и законченность опыта существенно влияют на характер логического следования, предопределяя, в конечном счете, демонстративность или недемонстративность индуктивных умозаключений. В зависимости от полноты и законченности эмпирического исследования различают два вида индуктивных умозаключений: полную индукцию и неполную индукцию.

1. Полная индукция - это умозаключение, в котором на основе повторяемости признака у каждого из явлений определенного класса заключают о принадлежности этого признака всему классу явлений.

Схема умозаключения полной индукции в простой и символической записи имеет следующий вид:

S₁ обладает P

S₂ обладает P

……………..

S_n обладает P

Только S₁, S_2, ……… S_n составляют класс K

Каждый элемент К обладает Р

Демонстративность полной индукции позволяет использовать этот вид умозаключения в доказательном рассуждении. Так, в геометрии теорема о сумме внутренних углов треугольника доказывается отдельно для трех видов треугольников - остроугольных, прямоугольных, тупоугольных. Учитывая, что в каждом из них сумма углов равна 180⁰ и все они составляют замкнутое (исчерпывающее) множество, на этой основе строят индуктивное обобщение: во всяком треугольнике сумма его внутренних углов равна 180⁰.

2. Неполная индукция - это умозаключение, в котором на основе повторяемости признака у некоторых явлений определенного класса заключают о принадлежности этого признака всему классу явлений.

Неполная индукция представляет собой рассуждение, имеющее следующую структуру: S₁ есть P

S₂ есть P

……………..

S_n есть P

Все S₁, S_2, …. S_n есть S

Все S есть P

Посылки данного рассуждения говорят о том, что предметам S₁, S_2, …. S_n, не исчерпывающим всех предметов класса S, присущ признак Р и что все перечисленные предметы S₁, S_2, …. S_n принадлежат классу S. В заключении утверждается, что все S имеют признак Р.

Например:

Железо ковко.

Золото ковко.

Свинец ковок

Железо, золото и свинец - металлы.

Все металлы ковки.

Здесь из знания лишь некоторых предметов класса металлов делается общий вывод, относящийся ко всем предметам этого класса. Индуктивные обобщения широко применяются в эмпирической аргументации.

3. Популярной индукцией называют обобщение, в котором путем перечисления устанавливают повторяемость признака у некоторых явлений класса, на основе чего проблематично заключают о его принадлежности всему классу явлений. Популярная индукция, т.е. обобщение без достаточных на то оснований, - обычная ошибка в индуктивных умозаключениях и, соответственно, в индуктивной аргументации. Индуктивные обобщения всегда требуют известной осмотрительности и осторожности. Их убедительная сила невелика, особенно если база индукции незначительна. («Софокл - драматург; Шекспир - драматург; Софокл и Шекспир - люди; следовательно, каждый человек - драматург»). Индуктивные обобщения хороши как средство поиска предположений (гипотез), но не как средство подтверждения каких-то предположений и аргументации в их поддержку.

Индукции каноны (от греч. canon - правило, предписание) - методы установления причинных связей между явлениями. Причинная связь - связь между явлениями. Предшествующее называют причиной, последующее - действием или следствием. Сформулированы англ. Логиком Д.С. Миллем (1806-1873) («методы Милля», «каноны Милля»). Он опирался на «Таблицы открытий» англ. Философа Ф.Бэкона (1561-1626).

Метод единственного сходства: если предшествующие обстоятельства АВС вызывают явление abc, а обстоятельства ADE - явление ade, то делается заключение, что А - причина а (или что явления А и а причинно связаны). Так, желая установить, почему изучаемые маятники имеют одинаковый период колебания при различии материалов, из которых они изготовлены, различии форм и других их характеристик, мы обнаруживаем между ними единственное сходство: они имеют одинаковую длину. Отсюда делается заключение, что одинаковая длина маятников есть причина равенства периодов их колебаний.

Метод единственного различия: если предшествующие обстоятельства АВС вызывают явление abс, а обстоятельства ВС (явление А устраняется в ходе эксперимента) вызывают явление bс, то делается заключение, что А есть причина а. Основанием такого заключения служит исчезновение а при устранении А. Допустим, в спектре вещества, содержащего натрий, наблюдается желтая линия. При устранении натрия из этого вещества желтая линия исчезает. Делается заключение, что присутствие натрия в данном веществе есть причина желтой линии в наблюдаемом спектре.

Метод сопутствующих изменений: если при изменении предшествующего явления а изменяется и наблюдаемое явление а, а остальные предшествующие явления остаются неизменными, то отсюда можно заключить, что А является причиной а. Так, изменяя температуру некоторого тела А, мы устанавливаем, что объем его также изменяется; при этом все иные обстоятельства, предшествующие явлению а, остаются неизменными. Делается заключение, что А есть причина а.

...