Неклассические логики и искусственный интеллект

Размещено на http://www.allbest.ru/

Неклассические логики и искусственный интеллект

Зверев Г.Н.,

г. Уфа

В докладе описаны строгие обобщения классической логики, основанные на формализации информационной семантики логических систем и процессов, на введении в логические шкалы моделей неопределенностей знаний - информационных нулей

Знания человека о внешнем и своем внутреннем мире обладают разнообразными свойствами, из которых в классической логике при формализации и объективации знаний выделяют их главную характеристику - оценку истинности знания в двоичной шкале оценок {истина, ложь}. Подобная идеализация знаний далеко не всегда адекватно описывает реалии информационной деятельности людей при исследовании действительности, проектировании новой реальности, управлении системами и процессами, целеполагании в своих планах и проектах. К этим двум логическим значениям Николай Александрович Васильев в 1910 году предложил добавить третью оценку знания - индифферентное значение истинности, «есть и не есть зараз», отвергая логические законы противоречия и исключенного третьего, четвёртого и т.д. [1].

Однако при формализации (математизации) этой идеи возникли непреодолимые трудности, которые через 10 лет в несколько ином аспекте пытался разрешить Ян Лукасевич, построив формальный аппарат троичной логики в базисе Г.Фреге {отрицание, импликация} с логической шкалой {0, Ѕ, 1}, где 1 есть истина, 0 - ложь, Ѕ - «нейтральное» или «возможное» значение истинности, формализованную семантику которого (строгий, конструктивный смысл) он не определил [2]. После этих работ появились десятки многозначных и бесконечнозначных логик Поста, Брауэра - Гейтинга, Чёрча, Гудстейна, Шестакова, Бочвара, Клини, Рейхенбаха, Белнапа и многих других авторов. К сожалению, эти работы не оказали заметного влияния на научные теории и практику рассуждений.

С позиций теоретической информатики в докладе анализируются основные ограничения и недостатки классической, а также известных неклассических логик и предлагается на основе теории искусственного интеллекта дополнить математизацию (построение арифметики, алгебры, геометрии логики) и аксиоматизацию логики информатизацией логических систем, процессов и их результатов, оценить меры истинности/ошибочности, погрешности, противоречивости получаемых решений. Если классической и неклассическим логикам придать формализованную информационную семантику источников и преобразователей данных, знаний с построением оценок их точности (адекватности реалиям), полноты, мер неопределенности знаний, то можно исправить известные неклассические логики, в частности, логику Лукасевича (которая неверно преобразует неопределенности) и, построить модели реальных логических процессов получения и передачи семантики знаний «человекчеловек», «человекмашина» и другие модели искусственного интеллекта [3]. логика семантика информационный

В докладе дано описание объективированного аппарата логик с информационной семантикой: трилогики со шкалой оценок двоичных свойств объекта {да, нет, не знаю}, тетралогики со шкалой {да, нет, не знаю, противоречие или абсурд}, частотной (обобщенной вероятностной) логики, в которой оцениваются погрешности и неопределенности исходных знаний и результатов логического вывода, если N1 источников информации утверждает, что знание истинно, а N2 источников - что оно ложно. При уменьшении уровня ошибок и неопределенностей эти логики асимптотически воспроизводят формализм классической логики. В трилогике и частотной логике строго выполняются законы противоречия, исключенного третьего и другие внутренние законы классической логики. В тетралогике при наличии абсурда эти законы нарушаются.

Информатизация углубляет и фактически заменяет аксиоматизацию логики. К сожалению, аксиоматизация, в соответствии с известной программой Д. Гильберта очистить математику от предметных семантик, решая чисто технические, формально-математические вопросы, завела в ХХ веке теории логических систем в тупик, оторвав абстрактную математическую семантику от решения реальных проблем предметных областей. Информационная семантика восполняет этот разрыв, более адекватно описывает степень информированности специалиста предметики, т.к. его мышление оперирует не только знаниями, но и неопределенностями.

Для построения информационных моделей неклассических логик и проблемных ситуаций предлагается использовать базисы (основания) метаинформатики, которые расширяют и уточняют логико-математические основания метаматематики. В базисах информатики приобретают строгий смысл такие человеческие и машинные понятия как знание, информация, данные, сознание, материальное и духовное (информационное, нематериальное) явление и т.д. Представляет интерес формализовать «воображаемую логику» Н.А. Васильева и определить ее место в логических системах и процессах.

2. Логические системы

В современном русском языке слово “логика” имеет весьма широкий смысл, по которому ее можно отнести к метанауке, к философии, математике и т.д. Так “логика вещей” относится к онтологическому аспекту описания закономерных связей реальности, “логика знаний” - к гносеологическому аспекту связей, понятий, моделей, “логика действий” - к практической деятельности, “логика доказательств и опровержений” определяет собственно логические связи суждений, высказываний в аспекте их истинности и новизны. Логика в человеческом обществе всегда играла огромную роль как средство убеждения, внушения, защиты в споре, в отстаивании интересов. Для многих ученых логика - это мощное оружие, отрада и страсть, наваждение и “проклятие непознанной тайны”.

В словарях выделяют следующие семантические значения этого слова: 1) наука о законах и формах мышления, 2) ход рассуждений, 3) внутренняя закономерность, присущая явлению, скажем, логика обстоятельств. Основное предназначение логики в жизни людей, в науке - оценить достоверность суждений, найти истину, устранить либо уменьшить неопределенности знаний в процессах принятия решений, отделить знание от незнания и заблуждений. Подобными задачами в более широком плане занимается теоретическая информатика, которая формализует и объективирует такие понятия как система, объект, процесс, свойство, язык, информация, знания, их неопределенности, источники информации и т.д.

Чтобы достичь этих целей исходную информацию и знания, представленные в мышлении естественного интеллекта, в текстах естественного языка, в фактических и теоретических данных необходимо формализовать, преобразовать в логические формы искусственного языка и оценить их истинность или неопределенность. К сожалению, процесс формализации и построения логических форм зачастую субъективен, сопровождается потерей информации, изменениями, искажениями семантики (смысла) исходных знаний, необоснованными идеализациями, отрывом от источников и потребителей информации, да и сам процесс формализации необходимо формализовать и канонизировать [3].

В традиционной классической логике на содержательном, не вполне формализованном интуитивном уровне в среде естественного языка рассматриваются основные мыслительные объекты, операции и их концептуальные модели: образование понятий, суждений, рассуждений; оценка их истинности или ложности; абстрагирование - конкретизация, обобщение - специализация; систематизация, классификация знаний; анализ (разбиение, декомпозиция) - синтез (соединение, композиция) материальных и идеальных явлений; формализация (дефиниция, экспликация) - интерпретация, поиск или конструирование прообраза формализма; индукция - дедукция; аналогия, правдоподобие, оценка модальностей (характеристик) знания; причинно-следственный анализ;

Работы по объективации и формализации перечисленных выше операций ведутся не одно столетие. В математической логике абстрагируются от значительной части этих мыслительных процессов, от их целевой ориентации и способов управления ими, выполняемых на уровне математической интуиции естественного интеллекта, которая является источником субъективности в чистой и прикладной математике, и выделяют при объективации строго формализованную часть математического мышления, представленную в идеальной знаковой среде, не подверженной неконтролируемым внешним воздействиям. Термин математическая (формальная, символическая) логика обозначает математическую теорию дедукции - логического вывода в математике, а также ветвь математики, которая изучает ее основания. Современная математическая логика включает следующие разделы: логико-математические исчисления высказываний и предикатов, аксиоматическая теория множеств, абстрактная теория моделей, теория математических алгоритмов и рекурсий, теория доказательств. В основаниях этих теорий лежат различные варианты формализованных логик: двузначная (алгебра логики), многозначная (теория дискретных функций, абстрагированная от семантики значений истинности и неопределенности) [4], интуиционистская [5] и конструктивная [6] логики с аксиоматическим определением логических операций без закона исключенного третьего, комбинаторная логика Карри-Чёрча, изучающая свойства аппликаций функций, переменных, синтаксические свойства подстановок и редукций в лямбда-исчислениях [7].

Традиционная классическая логика в процессе своей эволюции также породила множество вариантов логических теорий, недостаточно формализованных и отражающих субъективные мнения авторов о материальной и информационной реальности, о мыслительных и языковых процессах: индуктивная, модальная, правдоподобная, нечеткая, ассоциативная, временнбя (динамическая), пространственная, императивная, алгоритмическая, интенсиональная, диалектическая, эпистемическая, логика умолчания, деонтическая - логика долженствования и т.п. Далее мы будем различать объективные и субъективные логики, общезначимые и частные, отражающие особенности конкретной предметики и личных представлений авторов. Из этого перечня выделим логики, которые, после формализации их информационной семантики, будут обладать общезначимостью и высокой степенью объективации, иными словами, будут описывать реальные отношения вещей, увязаны с внелогическими источниками информации и потребителями полученных знаний, а также иметь внутренние средства оценки точности, достоверности и неопределенности результатов логического вывода. Например, интуиционистская, конструктивная, нечеткая и многие другие формализованные логики этим требованиям не удовлетворяют [3].

3. Неклассические логики

Классическая логика создавалась как универсальный язык науки, имеющий предельную строгость, объективность, общезначимость, применимый во всех областях знаний и практических ситуациях. Однако любой язык имеет ограничения применимости, поэтому параллельно с классической логикой развивались другие направления, которые не укладывались в двоичную оценочную шкалу знаний {истина, ложь}. Первую неклассическую (модальную) логику предложил Аристотель, введя модальности понятий, суждений, силлогизмов, такие как “необходимо”, “невозможно”, “возможно”, “случайно”, см. [8,9].

С тех пор появились сотни работ, в которых предпринимались попытки более полного и адекватного описания реальных информационно-логических процессов поиска решений стоящих проблем, снятия или уменьшения неопределенностей знаний субъектов. Из фундаментального научного принципа «абсолютная истина недостижима» следует: информация есть позитивная форма частично неопределенного знания - это относительная истина, подлежащая уточнению, а неопределенность есть негативная форма представления неполного, искаженного или противоречивого знания - относительная ложь, подлежащая устранению. Истинна ли относительная истина? И да, и нет - существуют ситуации, в которых она ложна или неприменима. Можно предположить, что подобным образом рассуждал Васильев, добавив индифферентное значение истинности.

Выделим четыре существенных свойства информационной реальности, формализованные в объективных неклассических логиках, претендующих на общезначимость и строгие обобщения формализмов и семантики классической логики, в которых учитываются основные виды неопределенностей логических ситуаций: 1) ограниченная различимость материально-информационных объектов реальности средствами людей и машин; 2) ограниченная применимость (неуниверсальность, частичность) всех функций, реляций и других средств логики, информатики, техники, живых субъектов, иными словами, необходимо учесть существование в действительности объектов и ситуаций, для которых они не применимы; 3) искаженность, отягощенность ошибками, погрешностями результатов наблюдений, теоретических моделей, субъективных представлений, фактических и априорных знаний; 4) наличие пограничных, переходных состояний реальности, размытых границ, которые нельзя точно описать в двоичной однозначно определенной или многозначной шкале свойств любых объектов и их модальностей.

Модели этих четырех свойств информационной реальности позволяют учесть в неклассических логиках различные виды неопределенностей знаковых объектов и процессов. Первое свойство ведет к замене теории множеств, лежащей в основе математической логики и предполагающей однозначную различимость элементов любого множества, теорией сомножеств и теорией распределений, в которых допускается неразличимость элементов произвольных классов. Учет второго свойства предполагает различение внутренней и внешней неопределенности логических переменных, см. далее. Третье свойство предполагает построение логических аппроксимаций, невозможных в классической логике, т.к. истина не может приближенно представлять ложь и наоборот. Четвертое свойство ведет к необходимости введения числовых шкал оценок истинности с учетом точности и разрешающей способности информационных процессоров получения и обработки информации [3].

Критика классической и математической логики основана на вполне определенных свойствах, присущих формальному аппарату и смысловым конструкциям традиционной логики, которые не устраивают предметников и, прежде всего, специалистов по автоматизации человеческой деятельности и информационным технологиям. Здесь мы выделим четыре основные позиции, по которым чаще всего возникают критические выпады в адрес современной математической логики и многочисленные попытки ее усовершенствования, обозначаемые общим термином: неклассические логики.

Первое критическое положение можно выразить так: неполнота формализации логической семантики, в частности, базисного понятия истинности и его разновидностей фактической (экспериментальной, аристотелевой) и теоретической (формальной, логической) истинности или ложности знаковых конструкций. Специалисты предметных областей обычно выделяют разные виды истинности и лжи, различные типы ошибок и неопределенностей, им “тесно” в двоичной шкале истинности, а переходы в математических теориях к многозначным логикам и частично упорядоченным логическим шкалам происходят вообще с потерей первичного смысла истинности. Подобное наблюдается и в абстрактных формализмах математической логики и теории алгоритмов при замене понятия истинности далекими от него понятиями выводимости, доказуемости, разрешимости.

Второе основание быть неудовлетворенным современными логическими исчислениями и их семантикой состоит в предельной идеализации информационного процесса получения и преобразования данных и моделей, гипотетически или постулативно - свободного в математической логике от каких-либо искажений. Между тем информационная практика естественных, технических и гуманитарных наук имеет дело с реальными знаковыми ситуациями, весьма далекими от логико-математического идеала. Неадекватность формализации действительных информационно-логических процессов весьма затрудняет и ограничивает применение в автоматизированных системах логических методов, ведет к замене их эмпирическими, эвристическими приемами, которые хоть как-то учитывают искажения, неполноту, противоречивость и размытия знаний, данных и моделей. Отсюда следует необходимость введения в формализмы логики общезначимых моделей и мер неопределенностей.

Третий повод для критики классической логики, вытекающий из второго, состоит в том, что в отличие от многих других формализаций, классическая логика не допускает приближенных решений и логических аппроксимаций, которые естественно напрашиваются в процессах с неполными, искажёнными и противоречивыми данными. В самом деле, ложь отрицает истину, «да» отрицает «нет», и антипод не может быть приближением, аппроксимирующим точное решение. С этими соображениями увязывается и наш последний критический тезис. Основной проблемой дедукции в рамках формализма классической логики считается комбинаторная сложность алгоритмов, экспоненциальный рост времени и памяти логических процессов при необходимом увеличении размерности задачи и числа альтернатив переборов, а именно в таких ситуациях решающую роль начинают играть приближённые решения и контроль их точности при допустимых искажениях данных и моделей.

В известных работах по неклассическим логикам см., например, [9-14] - предложено много способов и путей возможного расширения и усовершенствования классического формализма математической логики, получившие такие названия, как модальная, многозначная, индуктивная, вероятностная, правдоподобная, нечеткая и др. логики. К сожалению, эти попытки не достигли той универсальности, семантической ясности, объективности и определенности, которые присущи классической логике, а самое главное, в них отсутствует аппарат оценки и доказательства истинности, достоверности результатов, не определены условия и границы применимости предлагаемых формальных построений.

Конструктивный взгляд на логику с позиций теоретической информатики и системной реализации средств информатики основан на отрицании логического априоризма мыслительных процессов, на представлении и выражении информационных процессов мозга как продуктов биологического и человеческого опыта, фактических проверок, закрепления законов логики в физиологии и социальной истории людей путем обучения и передачи следующим поколениям в виде научных истин, которые подтверждаются, в границах строго оговоренных идеализаций, всеми накопленными знаниями и обладают статусом абсолютного доверия, не имеющим ни одного опровержения. Очевидно, экспериментальный, опытный характер мышления и законов логики завуалирован всем предшествующим развитием человечества и конкретным воспитанием, опытом отдельного человека.

Известные неклассические логики, вводя в двоичную шкалу {истина, ложь} дополнительные значения, не вполне формализуют их семантики и способы их оценок (измерений) в проблемных ситуациях, как и способы логических преобразований новых значений. Другой распространенный способ расширить возможности классической логики выполняется введением новых операторов в дополнении к стандартным логическим операциям и связкам, при этом старые и новые операторы определяются аксиоматически, что кардинальным образом изменяет исходный смысл классических связок, преобразований и привносит дополнительные неопределенности в логические системы. Так, в модальных логиках вводятся операторы необходимо и возможно, которые должны порождать соответствующие модальности - свойства суждений, выраженные подходящей аксиоматикой. Однако эти слова - названия модальных операторов - имеют в естественном языке более десятка разных смыслов, и какие из них имеют в виду авторы и потребители аксиоматик в конкретной проблемной ситуации зачастую остается неясным. В интуиционистской логике и ее вариантах аксиоматика кардинально меняется интуитивно очевидный смысл основных логических операций, а истинность заменяется выводимостью. Одна из главных идей предлагаемых усовершенствований классической логики - сохранить всё ценное, что она накопила за два-три тысячелетия своего развития.

4. Информатизация логики

Объективирование мыслительных процессов и создание формальной логики началось с отказа от неопределенных психологических описаний мышления, с перехода от естественного языка и логики Аристотеля, его философской семантики к формализованному символьному языку математики, с представления логических категорий и рассуждений однозначно определенными математическими объектами и процессами. Лейбницу принадлежит идея заменить споры и рассуждения вычислениями и символьными преобразованиями исходных посылок. Для этого необходимо по мысли Лейбница дать формальные определения основных понятий логики, отказавшись от значительной части конкретной семантики слов, заменив ее точными правилами манипуляций символами, выделить аксиомы, из которых в процессе доказательств по строгим правилам выводятся теоремы, результаты логического вывода.

Математические модели классической логики могут иметь многообразные формы: арифметические, алгебраические, геометрические, аксиоматические представления. Первый шаг формализации - перевод знаний в двоичные шкалы значений логических переменных, скажем, двоичные переменные x=(объект снег обладает свойством белый) и y=(субъекты Ф1 и Ф2 не знакомы) принимают значения в шкале {да, нет}, а переменная z=(число 3 четное) - например, в шкале {истина, ложь}. При арифметизации эти шкалы заменяют битовой шкалой {0,1}, в которой строят двоичную арифметику и алгебру с логической семантикой.

Логика ищет истину, эту проблему в более широком плане занимается теоретическая информатика, которая формализует и объективирует предельно общие понятия, такие как язык, информация, знания и их неопределенности, источники информации и т.д. Логическая модель - это простейшая форма информационной модели, которая в наиболее общем виде включает: 1) модели первичных источников информации, 2) модели связей между объектами проблемной ситуации, а также их моделями, 3) модели преобразователей информации - это вторичные источники знаний, 4) модели потребителей информации и принятия решений, 5) модели последствий реализации решений. Модели 2,3 изучает логика, остальные модели относятся к внелогическим средствам информатики. Источник информации на входе имеет проблемный объект, на выходе - информацию о нем:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Приведем исходную классификация источников информации:

- источники фактической и априорной, теоретической информации,

- основные и адеквативные источники,

- дефинитные и индефинитные источники,

- первичные и вторичные источники.

Основные источники порождают информацию и знания о проблемном объекте, адеквативные источники оценивают достоверность этих знаний. Дефинитный источник выдает однозначную оценку свойств входного объекта, правильную либо неверную, индефинитный источник порождает многозначный, неопределенный ответ, скажем, из пяти возможных альтернатив выбирает две или три вместе с их характеристиками. Первичные источники - сенсоры А - порождают измерительную, наблюдательную информацию о действительности, вторичные источники - рефоры В - реформируют мир знаний, преобразуют входную информацию в выходную.

Неопределенность есть отсутствие либо недостаток информации - информационный ноль. Модель неопределенности есть существенная априорная информация. Классификация неопределенностей приведена в таблице:

Таблица 1

Выделим в них общезначимые виды индефиниций - формализованных неопределенностей знаний и информации:

- незнание - базисный информационный ноль, биноль ,

- искажения и дезинформация - ошибки, погрешности ,

- противоречия и абсурд - критический информационный ноль, киноль.

Иерархия шкал логических и внелогических источников информации классической логики задается графом:

Размещено на http://www.allbest.ru/

внизу стоят конкретные, а выше - абстрактные свойства. Двоичная истина - это = да, = нет, двоичная ложь: = нет, = да.

Информатизация классической логики начинается с формализации источников фактических и априорных данных, знаний, их неопределенностей, построения моделей наблюдений и средств обработки информации, преобразования знаний в двоичную шкалу различимости {да, нет}, {истина, ложь}, {0,1}.

Модель проблемного объекта при логическом подходе представляется набором двоичных признаков, их истинностных значений, известных либо неизвестных, и связей между ними. Решающая система - это объективированный субъект - однозначно определенная модель материально-информационной системы, оснащенная подконтрольными средствами наблюдений, измерений, обработки информации, базами знаний, внешними L1 , L2 и внутренними L3 языками, искусственным интеллектом, средствами воздействия на проблемный объект:

Размещено на http://www.allbest.ru/

При информатизации исключается субъективная сторона человеческого мышления и его слабо изученных механизмов и заменяется внешним воспроизведением контролируемых действий с реальными объектами и их знаковыми представлениями - символами информационного либо логико-математического языка. Для этого необходимо построить три модели: проблемного объекта, решающего субъекта и модель их взаимодействия.

Модель взаимодействия с внешним миром выражает информационные и физические связи в виде функций, уравнений, решая которые получают функциональные модели процессоров объективированного субъекта [3].

Конструктивная модель суждения (высказывания, предиката) с информационной семантикой представляется двумя процессорами объективированного субъекта: сенсором A - преобразователем свойств материи в информацию (глаза, уши, измерительные приборы) и рефором B - преобразователем информации, знаков, в виде последовательности - это ориентированная цепочка источников и преобразователей знаний, y есть результат наблюдений, - результат рассуждений, истинное либо ложное высказывание о свойстве obj. Чтобы оценить истинность, адекватность суждений субъекта в теоретической информатике вводится еще два оператора: аккуратор C и адекватор D, и в результате получается конструктивная модель суждения ABCD, которая называется схемой косвенного обращения (СКО) или граф инверсий:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Данная семантическая структура конструктивно определяет фактическую истинность знания о реальном объекте obj, соответствующую определению Аристотеля, а если входной объект абстрактный (модель, информация), то СКО определяет теоретическую истинность Лейбница типа a+b=b+a и т.п. В этом графе аккуратор C есть модель идеального субъекта, суждения которого признаются непреложной истиной. В древности такой человек назывался оракул, пророк, он излагал истины от имени высшего существа. В информатике аккуратор C есть целевой оператор, модель прецизионной, метрологической, абсолютно точной системы. Эффектор E есть средство воздействия на проблемный объект.

Адекватор D классической логики сравнивает суждение субъекта с истинным суждением аккуратора x и присваивает ему меру адекватности - одно из двух истинностных значений: при совпадении и x их адекватность = истина, в противном случае при ? x мера истинности = ложь. Значение истинности является функцией пяти аргументов - входного объекта и четырех моделей знаковой ситуации, изменение которых в схеме косвенного обращения может привести к изменению значения истинности: .

Сопоставляя эту функцию с определением предиката произвольной арности, можно заключить, что схема ABCD является структурной моделью предиката как оператора, иначе сказать, предикатора, который расщепляется на четыре оператора, каждый из них имеет свою особенную структуру. В самом деле, унарный предикат a(obj) = “снег бел” или “3 - четное число” аргументом имеет объект x = снег или число 3, а функцией - оценку истинности белизны или четности аргумента obj, т.е: a=ABCD, а при воздействии на объект эффектором предикат a=ABCDE.

При арности предиката n=2,3,… входной obj представляется составным, содержащим пары, тройки и т.д. входных объектов в соответствии со структурой аргумента x=(x1, x2, … , xn). Нульарному предикату - высказыванию без аргументов соответствует замкнутая по входу схема косвенного обращения с внутренними неизменными объектами знаковой ситуации без объектных переменных, при n=1 предикат описывает свойства объектов реальности, при n>1 он выражает наличие или отсутствие связи между объектами. Расщепление понятий предиката и высказывания на четыре понятия ABCD - сенсор A, рефор B, аккуратор C, адекватор D - позволяет построить конструктивную информационную семантику произвольной предметной области, конкретизируя при формализации логико-математическую семантику применительно к решаемым задачам, а схема косвенного обращения в данном случае представляет собой конструктивное определение логической истинности. Семантическая схема косвенного обращения явно вводит в логический формализм ориентацию, присущую всем информационным, мыслительным процессам, направленную от проблемного объекта к знаниям и обратно прямо или косвенно (через целевой оператор) к оценкам сущностных свойств входных объектов.

Воспользуемся СКО для объективации неклассических логик с информационной семантикой. Идея эффективного расширения двоичной шкалы {0,1} заключается в формализации и явном введении в арифметику и алгебру логики информационных нулей i, выражающих однозначно определенные индефиниции - формализованные модели неопределенностей логических форм и процессов, скажем, пятизначная логическая шкала включает три информационных нуля и соответствующие им три индефиниции, которые описывают три типа моделей неопределенных состояний входных или выходных признаков логических функций и отношений пятизначной логики с информационной семантикой. Классификация неопределенностей проблемных ситуаций приведена выше.

Проблема расширения двоичной шкалы состоит в том, чтобы придумать однозначную семантику вводимых значений логических признаков, создать арифметику и алгебру в расширенной шкале, которые обладают общезначимостью и позволяют объективно описывать свойства природных и информационных явлений любых предметик. В логико-математическом языке, в классической логике понятие неопределенности фигурирует в неявной форме и если операции, функции, отношения содержат неопределенные аргументы, то они не могут непосредственно быть использованы в процессе решения задачи, они либо отбрасываются, либо преобразуются в формы с известными аргументами. Другие возможности открываются при явном введении в логические и математические формализмы информационных нулей и правил совместного оперирования определенными и неопределенными значениями информационных объектов.

Первичный источник информации - сенсор А - преобразует свойства живой и неживой материи в знаки, информацию, на входе он имеет изучаемый физический объект, субъект, текст (его материальный носитель), на выходе - знаковую структуру, однозначно определенное либо неопределенное значение из множества возможных значений - шкалы сенсора. Вторичный источник - рефор В - из входной информации порождает выходную информацию, новое знание и его семантику, реформирует модельный мир однозначно определенных и неопределенных знаний субъекта. Помимо входного объекта на источник информации и результат информационного процесса влияют другие внешние факторы, которые необходимо учитывать при его объективации. Так, если проблемный объект обладает неустранимой неопределенностью, скажем, квантово-механический процесс или человек с раздвоенной психикой и непредсказуемым поведением, то шкалы информационных процессоров ABCD должны содержать соответствующие информационные нули. Неклассические логики с информационной семантикой служат простейшими образцами формальных построений для решения подобных проблем.

5. Трилогика и тетралогика

В классической логике пренебрегают неопределенностями, хотя математические и логические задачи очевидным образом включают неизвестные, переменные, искомые, погрешности и другие неопределенности. Скажем, что делать, если источник информации не отвечает на поставленный вопрос или выдает результат «ни да, ни нет» либо «и да, и нет». Как быть c высказываниями "снег чётный", "двойка белая" и другие бессмысленные выражения, когда объект на входе предикатора (белизны, четности) не принадлежит области определения этой функции или отношения? Другой важный случай - когда входные логические признаки функции не заданы, их значения неизвестны или их формализация принципиально не может быть полной и однозначной в данной информационной ситуации. Подобные затруднения в логико-математическом языке и в классической логике адресуются естественному интеллекту и разрешаются им, если это удается, на неформальном, содержательном или интуитивном уровне.

Приведенным выше примерам соответствуют две предельно простые модели неопределенностей: биноль - базисный информационный ноль внутренней неопределенности - внутри двоичной шкалы классической логики и киноль - критический информационный ноль внешней неопределенности, когда источник двоичных знаний выдает результат, отличный от 0 или 1, оценку свойств входного объекта вне двоичной шкалы истины-лжи. Круглый и квадратный информационные нули - биноль и киноль являются общезначимыми межпредметными информационными категориями, они определяют основные неопределенности информационно-логических процессов. Включение их в логическую шкалу ведет к естественным обобщениям классической алгебры логики.

Исходная, базисная неопределенность внутри двоичной шкалы состояния знания субъекта двузначного свойства проблемного объекта = - «либо да либо нет», «или истина или ложь» характеризуется выражением «я знаю, что не знаю значение двоичного признака ». К этой форме сводятся разные виды неопределенностей, порождаемых различными причинами: нет ни одного источника информации, поэтому значение неизвестно | значение признака известно, но неизвестны его источник или свойства источника информации, нет оценки истинности значения = да или х = нет | есть несколько не вполне надежных источников информации, одни присваивают признаку значение «да», другие - «нет», т. е. знание субъекта в итоге остается неопределенным.

Наделим "квадратный" ноль - внешнюю неопределенность двоичного признака, выводящую из двоичной шкалы допустимых логических значений, смыслом синтаксической или семантической ошибки в логическом процессе. Появление в информационном процессе квадратного нуля означает абсурд, бессмыслицу, катастрофическую, фатальную ошибку формализации либо реализации логического процесса. Наращивая источники и преобразователи информации логических процессоров средствами контроля пробелов в данных, синтаксических и семантических ошибок, на входе - предусловиями и на выходе - постусловиями, которые при обнаружении абсурда вырабатывают результирующий знак киноль , мы получаем троичные {0,1,}, {0,1,} или четверичную шкалы значений высказываний и предикатов, а логический процесс при исключении абсурдных формул типа "снег четный" и внутренних неопределенных знаковых ситуаций превращается в классический логический вывод.

В четвертичной логической шкале можно выделить четыре троичных шкалы (подмножества значений) и соответствующие им четыре троичные логики, из них основной интерес представляет трилогика - объективированное обобщение классической логики со шкалой = Bit , в которой содержится три допустимых значения входных и выходных признаков логических операций - единица, ноль, биноль, интерпретируемых в шкалах да-нет, истина-ложь, не знаю. Следующим объективированным обобщением классической логики и трилогики является тетралогика с информационной шкалой , с дополнительным значением киноль - знак абсурда или противоречия «и да, и нет одновременно». Следует заметить, что в изложенной семантике трилогики мы лишь временно нарушаем принцип «третьего не дано». тогда как и в тетралогике мы порываем с этим принципом для более полного и точного соответствия целям и сути информационно-логических процессов.

Итак, в трилогике - троичной размытой логике с информационной семантикой и шкалой значений Bit = смысл знаков определяется словами: "да, нет, не знаю - может да, а может, нет", либо: "истина, ложь, не знаю истина или ложь, но только одно из этих двух значений". Преобразования исходных и промежуточных логических значений переменных логического процесса выполняют n-арные операции в пространстве . Число операций трилогики гораздо больше, чем в двоичной арифметике, вместо двух три нульарные операции - константные функции 1(х),0(х),(х) произвольной фиктивной арности, 27 унарных операций вместо четырех битовых, около 20 тысяч бинарных операций - вместо 16 битовых, а в общем случае число n-арных троичных функций равно .

Из этого разнообразия операций выберем те, которые, во-первых, воспроизводят формализм и семантику классической логики для определенных значений, а, во-вторых, правильно отражают законы преобразования неопределенностей в пространстве . Эти два условия решающим образом определяют данную троичную логику с информационной семантикой. Первое условие означает, что троичные операции строятся в основном из соответствующих двоичных. Уточним второе условие и формально определим правила преобразования базисного информационного нуля в функциональной логической семантике. Это условие называется принципом поглощения/воспроизведения бинолей - законом преобразования двоичных неопределенностей или законом сохранения существенных неопределенностей.

Если на входе троичной функции возникает биноль, а остальные аргументы имеют определенные значения 0 или 1, то подставляя в соответствующую двоичную функцию вместо информационного нуля сначала 0, а затем 1 и сравнивая результаты двоичной операции классической логики определяют значение троичной операции: при неизменности результата неопределенность исчезает и троичной функции присваивается это неизменное значение - ситуация с поглощением биноля, если же результаты от подстановки вместо биноля 0 и 1 отличаются, то выходу троичной функции присваивается значение базисного информационного нуля - это случай сохранения неопределенности. Для n-арных операций с несколькими входными знаками производится перебор всех возможных сочетаний двоичных значений, и неопределенность устраняется только при неизменности значения функции на всех допустимых сочетаниях значений двоичных аргументов из области неопределенности. Пусть логическая функция от двоичных переменных имеет неопределенными два аргумента , тогда множество неопределенности есть {00, 01, 10, 11} при независимых вариациях аргументов, если же аргументы логически зависимы, то область вариаций сокращается: при область есть {00, 11}, при - это {01, 10}, при импликативной связи имеем область неопределенности {00, 01, 11}, к которой применяется принцип поглощения бинолей. Неопределенности поглощаются в ситуациях, в которых точное знание логических признаков не является обязательным, а исходная информация является избыточной.

Помимо функций и операций, переносимых из классической логики, в трилогику вводят функции, непосредственно определяемые в троичной шкале, их нельзя выразить, используя принцип поглощения бинолей, это уже упоминавшаяся константная функция (х) произвольной арности n ? 0, и, например, унарная функция истинности Фреге , равная 1 при и 0 при . Функция Фреге поглощает неопределенность и переводит троичную шкалу в двоичную шкалу классической логики, приравнивая неопределенность лжи, она широко используется в математике, в рассуждениях на интуитивном уровне в виде упрощающего принципа «всё, что не истина, то ложь», а также лежит в основе систем логического программирования Prolog и др. На самом деле незнание не есть ложь, отрицание лжи переводит ее в истину, отрицание незнания не есть знание, а лишь другая форма неопределенности.

Логические функции арности n>1 получаются комбинацией унарных операций трилогики и бинарных операций классической логики, перенесенных в троичную шкалу в соответствии с принципом поглощения-воспроизведения бинолей, при этом необходимо учесть возможные зависимости неопределенных вариаций. Унарная операция отрицания определяется так: = - отрицание неопределенности ее не уничтожает, эта операция воспроизводит незнание в соответствии с законом сохранения биноля. При определении бинарных операций трилогики достаточно разобрать особенности оперирования с информационным нулем. В операциях логического сложения и умножения имеем: 1) , 2) , 3) , 4) . Случаи 2 и 3 соответствуют поглощению неопределенностей. Пояснения требуют формулы, и , справедливые при независимых вариациях слагаемых и сомножителей. Разные виды зависимостей бинолей приводят к поглощению либо сохранению неопределенности результата логических операций, отождествление неопределенностей может привести к фактическим и семантическим ошибкам и парадоксам.

Сведем операции трилогики в таблицу, где биноль обозначен прочерком, полагая и независимыми (пятая строка):

Таблица 2

Как и в двоичной логике, разность определяет операцию отрицания при , т.е. , см. три последние строки. Вычитание есть отрицание импликации >, эквиваленция есть отрицание дифференции, логического неравенства , штрих Шеффера - отрицание логического умножения , а стрелка Пирса есть отрицание сложения +.

Операция эквиваленции служит элементарным представлением адекватора D в трилогике. Мера адекватности в троичной реализации истинного высказывания и субъектного высказывания также принимает троичные значения, . Изобразим троичный адекватор в виде матрицы и сравним ее с двоичной матрицей классической логики:

Случай, когда истина не известна, - средняя колонка, по традиции обычно отбрасывают и анализируют две оставшиеся ситуации неопределенности состояния решающего субъекта, когда да или истина, и нет или ложь, принимаются за неопределенность - средняя строка. В предикатной семантике эти случаи и в самом деле часто можно отождествить, если следствием неопределенного значения результата исследования = является решение о продолжении изучения неизвестного явления до установления истины или лжи , в иных ситуациях подобное отождествление не всегда правомочно, .

Остается рассмотреть случай - второй столбец матрицы, реально соответствующий неопределенному значению цели исследования, скажем, из-за природной изменчивости свойств объекта, попеременно принимающего значения и . В этом случае, строго говоря, ошибочными (ложными) будут решения и , характерные для художественных текстов, идеологических, религиозных и т.п. высказываний, но адекватор их отмечает значениями =, а утверждение , совпадающее по форме с истинным высказыванием , имеет меру адекватности =, т.к. неопределенность нельзя приравнять неопределенности , а можно записать лишь . Последнее положение определяется как постулат неопределенности трилогики: совпадение неопределенностей значений идеального и реального информационных объектов порождает не истину, а всего лишь неопределенность.

Таким образом, при конкретизации формальной семантики трилогики мы имеем два вида истины - И0, И1, два вида лжи - Л0, Л1 и пять вариантов неопределенности Нi, из которых ситуации (,) и (,) можно отнести к ослабленным вариантам лжи и назвать их полуложью ПЛ, когда действительную неопределенность называют, во-первых, истиной, а, во-вторых, ложью.

Тогда семантическая матрица адекватора из троичной превращается в девятиричную, порождая многозначные логики от троичной до девятиричной, 9-значной логики, в которой все значения истинности различимы и можно построить невообразимое число бинарных операций.

Если целью исследования считается поиск и достижение истинных объектов (), то элементы (,) матрицы имеют следующую интерпретацию. Определенные искомые состояния и ответы: - цель достигнута, - ложная цель отвергнута, - пропуск цели, - ложная тревога, принята ложная цель. Неопределенные состояния или ответы: Н0=(, 0) - ложная надежда, Н1 =(, 1) - обоснованный оптимизм, - необоснованный оптимизм, - необоснованный пессимизм, Н=(, ) - действительная неопределенность, которая в отличие от постулата неопределенности трилогики может иметь дополнительный смысл истинного, точно определенного знания того, что свойство x изменчиво, невоспроизводимо, неопределимо, поэтому - истинная неопределенность. Теперь рассмотрим информационные ситуации с логическими зависимостями неопределенных аргументов бинарных операций трилогики и, применяя принцип поглощения бинолей, получим таблицу, которая определяет результаты логических операций при зависимых аргументах , :

Таблица 3

Таблицы 2 и 3 можно принять (в предположении независимости совместных вариаций троек, четверок и т.д. логических признаков) за исходные формальные определения операций трилогики, согласованные с информационной семантикой логических преобразований и отношений, как это принято в классической логике (при зависимости совместных вариаций троек и т.д. бинолей используют закон сохранения существенных неопределенностей). Из этих определений следуют законы противоречия и исключенного третьего классической логики, правила символьных преобразований булевой алгебры, их справедливость в трилогике - в шкале Bit с независимыми неопределенностями: ассоциативность и коммутативность сложения, умножения, эквиваленции, дифференции, законы дистрибутивности, де Моргана, склеивания, поглощения констант и переменных, эти законы без всяких изменений переносятся в трилогику.

Теперь обратимся к информационным ситуациям, в которых наличествуют противоречия и абсурды, синтаксические и семантические неопределенности и ошибки, скажем, полисемия терминов и суждений. Анализ этих ситуаций, обращение к источнику информации, к соответствующей документации за уточнением смысла и формы представления знаний позволяет устранить многие выявленные коллизии, но в реальных знаковых процессах могут остаться существенные противоречия, не позволяющие решать стоящие задачи. В объективируемых неклассических логиках понятие противоречия, как и другие вводимые термины, должны быть формализованы и конструктивно привязаны к источникам и преобразователям информации.

В классической логике противоречие часто называют абсурдом. В математике это понятие имеет строгую формализацию как один из трех возможных вариантов некорректной по Адамару постановки математической задачи: переопределенность или противоречивость, недоопределенность или многозначность и неустойчивость решения. Дж. фон Нейман определил постановку задачи противоречивой, если множество решений задачи пусто - задача не имеет решения. В информатике выделяют противоречия между фактами, между априорными данными и между фактами и априорикой, они снимаются в расширенной формализации, учитывающей возможные ошибки и погрешности в фактах и априорике. Тогда переопределенная система превращается в недоопределенную со своими информационными нулями - индефинициями.

Бессмысленным и противоречивым высказываниям нельзя приписать значение «ложь» из двоичной логической шкалы, это иная модальность (характеристика) высказываний. Ошибкой будет и значение «биноль», имеющее смысл либо истины, либо лжи. Разнообразие ситуаций с внешней неопределенностью в общем случае неисчислимо. Обозначим произвольную противоречивую информационную ситуацию и ее результаты знаком 0, полагая, что при анализе можно представить возникший абсурд более конкретными и однозначно формализованными его представителями: 0={1,…}, которые описывают различные виды нарушений хода логического процесса, наличия в нем грубых и фатальных ошибок в исходных данных и результатах. Вместе с тем могут быть и несущественные бессмыслицы, которые не влияют решающим образом на ход и итог логического вывода.

Рассмотрим две, в некотором смысле предельные, формализации абсурда: 1)максимальный киноль описывает фатальную ошибку, искажающую все последующие результаты, полученные по искаженному знанию - это случай катастрофического абсурда; 2)минимальный киноль 1 описывает несущественную, исправимую бессмыслицу значений слабо информативных логических переменных, которые можно исключить из логических функций, если им присвоено значение исправимого абсурда 1. Пожалуй, основной в информационно-логических процессах является первая формализация, используемая в тетралогике со шкалой {1,0,}, вторая имеет более скромные приложения. Итак, в тетралогике вводятся следующие правила преобразования максимального абсурда : если на входе n-арной операции встречается хотя бы один знак , то результату присваивается этот знак - киноль: тогда часть логического процесса и его результатов, “пораженных” фатальными ошибками, будет помечена знаком киноль и в последующем может быть исправлена. Итак, логические преобразования тетралогики определяются принципами поглощения/воспроизведения биноля и воспроизведение киноля .

Формальные четверичные логики, не ограниченные информационной семантикой, имеют гораздо большее разнообразие операций, чем троичные логики: число унарных четверичных операций равно 256, а бинарных операций более 4·109. Принципы поглощения, воспроизведения, сокращения неопределённостей вводят семантические связи между логическими операциями и существенно ограничивают их число, необходимое для построения адекватных логических моделей информационно-логических ситуаций.

Решение логических задач, нахождение неизвестных по известным двоичным признакам, связанных с искомыми переменными логическими уравнениями и неравенствами (импликациями), сводится в общем случае к обращению логических функций. В двоичной шкале классической логики и в шкале трилогики почти все логические функции необратимы, в шкале тетралогики класс обратимых (точно либо приближенно) логических форм существенно расширяется, при этом верно описываются все виды возникающих математических патологий: необратимость в строгой классической постановке, недоопределенность, переопределенность-противоречие, в частности, выход может не принадлежать множеству образов обращаемой функции. Следовательно, информационные нули и помогают устранить формальные трудности обращения систем логических функций и предикатов [3].

6. Частотная логика

Следующим строгим обобщением классической логики, основанным на информационной семантике СКО, является частотная (обобщенно-вероятностная) логика, она оперирует частотными свойствами и связями классов объектов. Частотное свойство класса - его относительный объем. Частотная (вероятностно-статистическая) связь - естественное обобщение строгих логических связей на произвольные зависимости признаков. В отличие от стохастических неопределенностей математической теории вероятностей здесь вводятся обобщенные модели детерминированных и случайных неопределенностей проблемных ситуаций, а в отличие от субъективных вероятностей строятся объективированные модели информационно-логических процессов [3,15].