Неклассические логики и искусственный интеллект

В частотной логике наряду с двоичной шкалой оценок {да, нет},{1,0} свойств и связей проблемных объектов вводится частотная шкала истинности высказываний и предикатов - числовой интервал [0,1]. Частотная истинность логической формы а в универсуме U проблемных ситуаций оценивается величиной частости истинности а =Na / N, где N - объем универсума, Na - число ситуаций, в которых логическая форма а истинна. Если решаемая проблема характеризуется случайными событиями и неопределенностями, то частость (oftness) совпадает с математической вероятностью. В теории информации используется и противоположное понятие - редкость (rareness) явления: ra = 1 - a.

Частость и редкость изменяются в интервале от 0 до 1, при Na = N и Na = 0 возникают истинности классической логики, у которых нет ни одного опровержения в универсуме U. В реальных процессах частость истинности отличается от точной истины и точной лжи: 0<a<1, и только при идеализации оценки истинности достигают предельных значений. Меры истинности исходных знаний, как и в классической логике, определяются в основном внелогическими средствами - экспериментальными, теоретическими по СКО и т.п. Главные отличия частотной логики от классической:

- она применима при отсутствии логических связей, при этом законы исключенного третьего и противоречия точно выполняются;

- для каждой логической функции необходимо строить числовые функции ее истинности, в классической логике с числовой шкалой они совпадают;

- для того чтобы точно вычислить истинность или погрешность (редкость истинности) выходного результата логической функции по истинностям (погрешностям) входных аргументов, необходимо дополнительно знать меры частотных связей между их вариациями;

- частотная логика естественным образом допускает приближенные решения - логические аппроксимации;

- результат логического процесса помимо точности (погрешности) характеризуется мерой неопределенности: среднеквадратической x, энтропией Hx, альтернантом Lx , кусочно-линейной мерой qlx и т.п. [3].

На рисунке представлены зависимости от частотной истинности х нормированных значений мер неопределенности двоичного логического признака х - неопределенности выбора одной из двух альтернатив.

Для этих мер справедливы неравенства: qlн?Lx?Hx?ун, равенства мер неопределённости наступают при полной определённости значений истинности суждений, х=1 и 0, и при полной неопределённости, х=1/2.

Элементарные формулы частотной логики сведем в таблицу, в которой мера частотной (корреляционной, статистической) связи логических признаков выражается частостью их совместной истинности: ab = Nab / N.

В первой колонке приведены логические функции и их полиноминальное представление в функциональном базисе Буля-Кантора (+,,), во второй колонке их функции истинности . При работе с ними необходимо учитывать ограничения и очевидные зависимости между аргументами этой функции - частостями классов объектов:

, ; (*)

Третья колонка содержит условия перехода результатов частотной логики в классическую логику: и , при этом в случае строгой лжи условия для f и его отрицания в следующей или предыдущей строке необходимо поменять местами. Эти формулы точно воспроизводят операции классической логики при a, b = 1 либо 0.

Для логических функций большего числа аргументов необходимо учитывать корреляционные гиперсвязи: abc = Nabc / N и т.д. Формулы и примеры использования аппарата частотной логики в информационной практике можно найти в [3,15, 16], скажем, можно оценить какова достоверность логического вывода по искаженным посылкам и неточным правилам «если…то», или уровень надежности заключения по согласованным «да, да» или «нет, нет» или противоречивым «да, нет» либо «нет, да» решениям двух зависимых или независимых экспертов.

В частотной логике выполняются все правила преобразований и законы классической логики, строго формализуются многозначные логики Лукасевича, Поста, оцениваются границы применимости нечетких, размытых, модальных логик. Частотная логика, как и классическая, абстрагируется от конкретных моделей предметики и оценивает истинность составных высказываний по частотным связям, то есть модели частотной логики являются такими же абстракциями от семантики предметных связей, как и логические связи классической логики, поэтому здесь также справедливы заключения типа “если 22 5, то завтра взойдет Солнце”.

Частотная истинность элементарного или составного высказывания несёт информацию о средней, ожидаемой истинности в заданном классе ситуаций, а также полностью определяет меру неопределённости и ожидаемой изменчивости частотной оценки , что упрощает анализ достоверности и процесс принятия решений. В шкале частотной истинности выражаются не только недоопределённости в знании истины, но и одновременно выражаются переопределённости (кажущиеся противоречия), т.к. Na примеров, образцов говорят о том, что a=1, а N-Na эталонов утверждают, что a=0, но информация о каждом из них может содержать ошибки.

Частотная шкала, в которой меры истинности или ошибок измеряются в долях единичного объёма универсума объектов предметики либо в процентах, имеет ясную естественнонаучную семантику, более адекватную реальным процессам, чем гипотезы или постулаты двоичной истинности/ ложности знаний в классической логике. Кроме того, частотную меру истинности легче преобразовать в ценностные критерии [3]. Числовая частотная шкала истинности, точности или погрешности моделей открывает путь к дискретно-логическим приближениям и оптимальным аппроксимациям. Нельзя достичь абсолютной истины, но можно повысить достоверность относительных истин и установить границы, за которыми относительные истины практически не отличаются от абсолютных. Частотно-логическая истинность обладает теми же абстрактными свойствами, что и геометрическая (метрическая и комбинаторная) истинность.

Частотная логика заведомо сложнее классической - это, в основном, машинно-ориентированный инструмент информационных технологий, обладающий объективными вычислительными средствами контроля знаковых преобразований. Он плохо приспособлен для человеческих рассуждений на естественном языке за исключением этапа формализации, но, в отличие от классической, частотная логика, точнее описывает реальные, заведомо более сложные информационные связи. В асимптотике, когда истинности приближаются к предельным значениям 0 или 1, частотная логика точно воспроизводит классическую подобно тому, как неевклидовы геометрии (Лобачевского, Римана, Финслера) воспроизводят в пределе простейшую геометрию Евклида.

В частотной логике уточняется семантика трилогики и тетралогики. Рассмотрим пример. В универсуме объектов, характеризуемых двоичными свойствами, скажем, качественное изделие либо брак производства, все возможные множества объектов универсума - партии изделий - разбиваются на четыре класса, в зависимости от их содержимого и информации о нем. К первому классу относятся однородные по данному логическому признаку партии, не содержащих бракованной продукции. Второй класс содержит однородные партии некачественных изделий - «сплошной брак». Третий класс включает неоднородные партии, содержащие качественные и некачественные изделия. К четвертому классу относятся «пустые» партии, не содержащие изделий либо содержащие изделия, к которым неприменимы информационные средства контроля качества.

Пусть источники информации при анализе качества продукции не допускают ошибок. На вопрос об уровне качества изделий в данной партии, относящейся к одному из четырех классов, можно дать, соответственно, четыре точных ответа в зависимости от того к какому классу принадлежит множество изделий: да, партия изделий качественная нет, не качественная, сплошной брак и да, и нет ни да, ни нет. В трилогике и частотной логике пустые множества объектов не имеют содержательной интерпретации и шкальных оценок, поэтому четвертый ответ есть внешняя неопределенность, вне символьной шкалы трилогики {0,,1} и числовой шкалы частотной логики [0,1]. Два первых ответа выражают однозначные оценки свойств партии изделий - точную истину и точную ложь, третий неопределенный ответ выражает наличие брака в партии изделий, в трилогике этой ситуации соответствует биноль, а в частотной логике - неопределенная частость/редкость успеха/неуспеха в изготовлении изделий, которая уточняется подсчетом числа бракованных объектов в данной партии, вычислении итоговой частости, % брака и т.п.

Зная частости логических признаков можно упростить описание проблемной ситуации и перейти от частотных моделей к точной либо приближенной, аппроксимационной трилогике. В точной трилогике со шкалой {0,,1} единице соответствует множество точных оценок истинности высказывания, состоящее из единиц, нулю - множество нулей, а биноль описывает частичную истинность высказывания с множеством оценок, состоящим из нулей и единиц, соответствующих неопределенному ответу на вопрос об истинности «и да, и нет». В шкале аппроксимационной трилогики {, , } вводятся приближенные оценки истины и лжи суждения а, определяемые допустимым уровнем частости г - границей доверия/риска: =(а < г) - почти ложь, =(а > 1 - г) - почти истина. Риск г > 0 расширяет классы истинных и ложных суждений и уменьшает класс действительно неопределенных высказываний: биноль = (г < a < 1 - г).

Арифметизация логики, введение наряду с логическими частотных связей между двоичными признаками превращает логику из комбинаторной в аналитическую математику с её мощным вычислительным аппаратом. Переход от численности ситуаций к их частости, к относительным нормированным мерам есть эффективная абстракция от численности классов и категории бесконечности, противоречащей информационно-логическим принципам - информационный мир принципиально конечен и ограничен по своим операционным возможностям [3]. Следует отметить также отличие идей частотной логики от подхода, развитого в теории субъективных вероятностей, т.к. здесь мы рассматриваем конструктивно измеримые частости, которые совпадут с абстрактными математическими вероятностями, если отвлечься от способа выбора объектов - детерминированного или случайного.

Построению новых объективных логик, которые более эффективно описывают окружающий нас мир, средства его изучения и преобразования, препятствует в значительной мере субъективизм в аксиоматических основаниях чистой и прикладной математики, породивший в начале ХХ века и до сих пор не преодоленный кризис метаматематики, ее оснований и многочисленные квазиформализации логики в закоулках схоластической математики. Чтобы выйти из этих затруднений в работе [17] предложено заменить интуитивно ограниченные логико-математические основания языка науки более широкими информационными основаниями, в которых математическая интуиция заменяется теоретическими и программно-аппаратными средствами объективированного субъекта, наделенного строго контролируемым искусственным интеллектом.

Неклассические логики с информационной семантикой оперируют однозначно определенными логическими оценками знаний и однозначно формализованными неопределенностями - индефинициями состояний проблемного объекта, решающего субъекта и его знаний о проблемной ситуации. Индефинитные источники и преобразователи информации неклассических логик допускают в двоичных шкалах классической логики {да, нет}, {истина, ложь} все возможные варианты оценок свойств объектов на входе сенсоров и рефоров: да нет и да, и нет ни да, ни нет. Два последних решения являются неопределенными и подлежат дополнительной формализации и интерпретации.

В частотной логике ответ «и да, и нет» означает частичную истинность решения а = да с ограниченной точностью а и погрешностью а = 1 - а, равную истинности его отрицания: а = нет. При формализации переходных состояний проблемных объектов величина а описывает меру близости к положительному ответу «да», скажем, поезд пересекает границу между областями А и Б, тогда высказывание а = «поезд движется по области А» имеет возрастающую погрешность а от нуля до единицы по мере удаления головы поезда от границы, которую вычисляют в пространственной или временной шкале относительных оценок [3].

В трилогике «и да, и нет» означает возможность и положительного и отрицательного, но обязательно однозначного ответа при снятии внутренней неопределенности отложенного решения, поэтому биноль имеет семантику «не знаю, либо да либо нет». В тетралогике решение источника информации «и да, и нет» содержит дополнительную неопределенность: отнести ли ответ к бинолю либо к кинолю? В первом случае имеем семантику ответа в формализме трилогики, описанную выше, во втором решение означает противоречие, обнаруженное источником знаний, которое может разрушить дедуктивную систему и обесценить все последующие выводы. Для снятия дополнительной неопределенности обращаются к источнику информации за уточнением, что он имел в виду, или к другим информативным источникам.

«Воображаемую логику» Н. А. Васильева можно объективировать в формализме трилогики либо частотной логики, уточнив семантику многозначного ответа «и да, и нет» и оценить ее познавательную ценность, что 100 лет назад так волновало слушателей Васильева [18]. В трилогике индифферентное значение интерпретируется как биноль, а в частотной логике - как частотная истинность суждения с неопределенной частостью истинности в интервале от 0 до1 и априорной лапласовой оценкой Ѕ.

Ответ источника информации «ни да, ни нет» также имеет многозначный смысл, скажем, в выражении «ни жив, ни мертв» при пограничном, промежуточном состоянии организма ответ совпадает по смыслу с ответом «и да, и нет». В трилогике и частотной логике «ни да, ни нет», «ни истина, ни ложь, а нечто другое» интерпретируется как фатальная ошибка логического процесса, внешняя неопределенность, неприменимость источников информации к проблемной ситуации. В шкале тетралогики такой ответ метится знаком киноль - требованием дополнительного анализа семантических и синтаксических ошибок, возможности перевода киноля в биноль и т.п.

Объективированное обобщение неклассических логик и наделение их информационной семантикой с целью более адекватного описания проблемных ситуаций может быть выполнено не только добавлением в логическую шкалу информационных нулей, но также увеличением числа возможных однозначных ответов источников информации более двух, когда объекты и ситуации решаемой проблемы разбиваются на k классов многозначными классификаторами, имеющими номинативные шкалы имен классов Nomk = {И1, И2, … , Иk}, k > 2, включая классы неопределенных (пограничных, неопознанных и т.п.) объектов. Это направление порождает широкий класс номинативных логик с детерминированной и индефинитной семантикой. Простейшим вариантом номинативной логики является частотная трилогика. В ней первичный внелогический источник информации, в отличие от частотной логики, характеризует объекты в шкале трилогики {да, нет, не знаю}. Частотная трилогика основана на априорных распределениях в шкале {0, 1, }, которые описывают размытые логические модели материально-информационной реальности, а также зависимости между двоичными признаками и их внутренними неопределенностями. Подобным образом строится частотная тетралогика, которая описывает частости возникновения в информационных процессах противоречий, бессмыслиц, пробелов в знаниях и частотных зависимостей между определенными логическими значениями и информационными нулями [3].

Классическая и неклассические логики с информационной семантикой образуют иерархии вложенности, которые описывают семантические связи между логиками, зависящие от типов логических шкал.

Для нечисловых значений истина, ложь, не знаю, абсурд имеем:

- классическая логика трилогика тетралогика,

для числовых мер истинности в интервале [0,1]:

- классическая логика трилогика частотная логика,

здесь биноль имеет неопределенную частотную истинность любого суждения х в интервале 0<x<1 для точной трилогики и в интервале г<x<1-г для аппроксимационной трилогики, почти истина имеет неопределенную частость в интервале 1-г x1, а почти ложь - в интервале 0 xг. Значению x =1/2 соответствует максимальная неопределенность истинности суждения - 50 на 50 процентов. Иерархии объективированных логик продолжаются вправо учетом и формализацией дополнительных неопределенностей: частотная трилогика, частотная тетралогика и т.д.

Последующее развитие неклассических логик, по мнению автора, связано с более углубленной формализацией информационной, математической и предметной семантики решаемых проблем и ее реализации в системах искусственно интеллекта. С этой целью в работах [3, 19] предложены пять базисов метаинформатики, в них конструктивно воспроизводятся основные виды семантик, которыми при взаимодействии оперируют естественный и искусственный интеллект: 1) семиотический базис ПИКАД, в котором представляется формальные описания машинных и человеческих понятий и моделей проблемных ситуаций; 2) полюсный структурообразующий базис POCKIRT системологии, определяющий описание состава, структуры объектов и процессов при их анализе и синтезе; 3) ролевой FSR-базис системологии, выражающий функциональные, статусные и реляционные роли объектов в статике или динамике системы; 4) проблемологический базис информатики Prob=ABCDEFGГS формального описания целевой ориентации деятельности субъекта, его средств (процессоров) и информационных критериев; 5) базис SI = UYXHЛZ информационных пространств семантических схем информатики.

Список литературы

1. Васильев Н.А. «Воображаемая логика» / Избранные труды. - М.: Наука, 1989.

2. Lukasiewicz J. Logika trojwartosciowa // Ruch Filozoficzny. Vol. V, № 9, Lwow, 1920.

3. Зверев Г.Н. Теоретическая информатика и ее основания. В двух томах. - М.: Физматлит, Т.1, 2007. - 592 с., Т.2, 2009. - 576 с.

4. Яблонский С.В., Гаврилов Г.П., Кудрявцев В.Б. Функции алгебры логики и классы Поста. - М.: Наука, 1966. - 217с.

5. Гейтинг А. Интуиционизм. Введение. - М.: Наука, 1965. - 200с.

6. Марков А.А. О логике конструктивной математики. - Вестн. Москов. университета, сер. Математика и механика. - 1970. - №2. - С.7-29.

7. Барендрегт Х. Ламбда-исчисление. Его синтаксис и семантика. - М.: Мир, 1985. - 606с.

8. Аристотель. Аналитики - М., Госкомиздат, 1952. - 322с.

9. Лукасевич Я. Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики. - М.: ИЛ, 1959. - 311с.

10. Zadeh L.A. Common sense knowledge representation based on fuzzy logic. Computer, 16, 1983, p.61-65.

11. Клини С.К. Введение в метаматематику. - М.: ИЛ, 1957. - 526с.

12. Семантика модальных и интенсиональных логик. - М.: Прогресс, 1981. - 424с.

13. Bolc L., Borowic P. Many-valued logics: Theoretical foundations. Vol. 1. Berlin, 1992.

14. Белнап Н., Стил Т. Логика вопросов и ответов - М., Прогресс, 1981. - 271с.

15. Зверев Г.Н. Точные и аппроксимационные логики в машинных рассуждениях // Труды V Рос. науч. конференции по искусственному интеллекту, Т.1. - Казань, 1996. - С. 62-66.

16. Зверев Г.Н. Оценка и оптимизация точности дискретно-логических решений по искаженным фактическим и априорным данным //Вестник УГАТУ (Сер. Системный анализ, управление и обработка информации), Т. 13, № 2 (35), 2009. - С. 39 - 50.

17. Бажанов В.А. Н.А. Васильев: жизнь и творчество // Васильев Н.А. «Воображаемая логика » - М.: Наука, 1989. - С. 209 - 228.

18. Зверев Г.Н. Теоретическая информатика в основаниях математики и логики // Вестник УГАТУ, Т.5, № 1(9), 2004. - С. 141 - 153.

19. Зверев Г.Н. Метаинформатика, искусственный интеллект и основания языка науки // Интеллектуальные системы управления / Под ред. акад. РАН С.Н. Васильева. - М.: Машиностроение, 2010. - С.7 - 16.

Размещено на Allbest.ru