Использование семантики в. Эдельберга в методологии истории философии. Часть II: типы значений терминов

Igor V. Berestov, Institute of Philosophy and Law of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences (Novosibirsk, Russian Federation)

Keywords: historicism; contextualism; appropriationism; methodology of history of philosophy; antiquarianism; anachronism; intentional identity; perspectivalist semantics; Walter Edelberg.

In this paper, the author proposes a way to break the deadlock that has arisen in the dispute between historicists (contextualists) and appropriationists about the methodology of the history of philosophy. The author shows that one of the reasons for the dispute is that the proponents of both camps differ in their answers to the question: Is the application of the concepts of past philosophers in contemporary discussions possible? There are powerful arguments for the difference of the objects of ancient philosophers from the objects discussed by modern ones, and for the necessity of the study of the application of ancient objects in modern discussions. The author shows that one of the reasons for the collision is the difference in answers given in these two camps to the question of the possibility of application of the concepts and conceptions of past philosophers in contemporary discussions. The author presents these differences in a form suitable for subsequent formalization by means of Walter Ed elberg's perspectivalist semantics. As shown, the two opposing positions can be treated in such a way (based on Edelberg's perspectivalist semantics) that these positions are completely compatible. The author believes this can stop the recurring disputes between the two camps and lead the discussion to a new, more thoughtful level. Moreover, this approach preserves the powerful arguments cited by both camps in favor of their own positions, which would be very problematic to discard. In order to implement this approach, the author answers the questions: "In what sense the difference of objects in different belief systems does not prevent these objects from their involvement in up-to-date discussions?", "What is the meaning of the sentence and the meaning of the term in a philosophical text?". The author also determines the necessary and sufficient conditions for the existence of an analogue of an object from the belief system of one philosopher in the belief system of another philosopher. In order to achieve the aim, the author proposes to treat historicists and contextualists as accepting the first Edelberg's thesis that there are no identical objects in two different belief systems, and to treat appropriati onists as accepting the second Edelberg's thesis that an object from one belief system can have an analogue in another belief system. The author shows that if to take Edelberg's approach objects from the beliefs of an ancient philosopher can be used in the beliefs of a modern philosopher or a historian of philosophy. However, current beliefs do not use the ancient philosophers' object itself, but its "counte r- part". Because of this, ancient philosophers are not attributed modernized concepts, which they did not adhere to and could n ot adhere to: this is the point of accusation that historicists and contextualists make against appropriationists. So, this approach offers the semantics such that belief reports of ancient philosophers' are no longer problematic ones, unlike the historicists and contextualists' approach within which such reports are still problematic ones.

Введение

Настоящая статья является второй частью исследования, первая часть которого отражена в [1], и посвящена анализу позиций двух противостоящих друг другу лагерей методологов истории философии - историцистов (контекстуалистов) и апроприационистов. Целью является такое представление позиций этих двух лагерей, при котором эти позиции оказываются совместимыми и взаимодополняющими. В [1] дискуссии среди методологов истории философии и цель исследования были оговорены более подробно. Указанную трактовку двух противостоящих позиций мы приняли решение основывать на модели М для языка L1, восходящей к [2. P. 320-325], и в [1] мы начали построение этой модели. В [1] были сформулированы предложения (1)-(7), подлежащие переводу на Lb что будет сделано в настоящей статье. Также тогда был описан синтаксис языка L1. Статья [1] заканчивается формулировкой восьми условий, задающих модель М для языка L1 (далее УЗМ). На принципы, задающие синтаксис языка L1, УЗМ 1-8 и положения (1)-(7), мы будем ссылаться в настоящей статье, не переписывая их заново. философ контекстуалист спор

Комментарий к УЗМ 8

Последнее УЗМ, УЗМ 8, описанное в [1], вводит отношение 3, и для лучшего понимания его назначения полезно небольшое неформальное пояснение. Введение отношения 3 между объектами оі и о 2, такого что о 13о 2 позволяет нам указать, что аргумент в дискуссии, являющийся объектом о 2, опровергает, поддерживает, анализирует и т.д. - короче говоря, конструируется на основании объекта о 1, который является пропозицией или объектом, о котором может быть помыслена пропозиция (если о 1 - пропозиция, то о 1 тоже может быть аргументом, поскольку аргументы здесь рассматриваются как пропозиции). Например, если допустить использование отношения 3 для соотнесения объектов, описываемых не на формальном языке L1, а на обычном русском языке, то относительно аргумента из (5) мы можем упрощенно записать: красота отдельна 3 красота отдельна потому, что только отдельное может наделять причастные ему вещи определенностью (здесь курсив обозначает пропозицию как то, что выражается выделенным курсивом предложением). Также пропозиция связана отношением 3 с тем объектом, которому эта пропозиция что-то приписывает. Например, мы можем упрощенно записать: значение термина "красота" 3 красота отдельна. Далее, при анализе (7), мы покажем, как работать с отношением 3 более точно, учитывая, что терм имеет значение на теории и индексе. Это внесет в запись усложнения, но мотивы введения отношения 3 достаточно ясны: с помощью этого отношения моделируется деятельность философов, возражающих на аргументы и отвечающих на возражения, что приводит к возникновению постоянно разветвляющихся дискуссий без окончательных ответов. Иначе говоря, отношение 3 позволяет моделировать в М философскую деятельность как дискуссию, в которой "за возражениями и ответами следуют возражения и ответы, а не определенный ответ" [3. P. 51].

Вариант функции валюации

Для оценки истинностного значения формул с кванторами нам понадобится понятие варианта функции валюации.

Функция валюации v' называется хъ х 2, хп-вариантом функции валюации v из модели М тогда и только тогда, когда (далее тттк) v' либо совпадает с v, либо v' отличается от v только теми (всеми или некоторыми) значениями (т.е. объектами), которые функции v'(x1)(7), v'(x2)(7), ..., v'(xn)(7) назначают теориям, на которых функции v'^Xr), v'(x2)(7), ..., v'(xn)(7) определены.

Будем считать, что эти функции определены на теориях Та, ТЯ, ..., Тш из множества 0 из модели М, соответственно. А именно, будем считать, что функция v'(x1)(7) определена на теории Та и назначает теории Та объект v'^)^), функция v'(x2) определена на теории ТЯ и назначает теории ТЯ объект v'(x2)^), ..., функция v'(xn) определена на теории Тш и назначает теории Тш объект v^x,,)^). Теория Та есть та единственная теория, на которой функция v'(x1) определена и на хотя бы одном индексе которой объект v'(x1)(Ta) определен в М (по УЗМ 5 ни один объект не может быть определен на хотя бы одном индексе более, чем одной теории); аналогично для TЯ, ..., Tm. Например, в случае одной переменной х, функция валюации v', являющаяся х-вариантом функции валюации v, назначает переменной х объект v'(x)(T), где Т - та единственная теория из множества 0 модели М, на хотя бы одном индексе которой объект v'(x)(T) определен.

При этом каждая функция v(xJ)(T), 1<j<n, функция от теорий к тому значению, которое v(Xj)(T) принимает на теориях, может быть определена или не определена на той теории, на которой определена функция v'(Xj)(T), хотя, по УЗМ 7, v(Xj) обязательно существует для любой переменной Xj в модели М, т.е. v(Xj)(T) обязательно должна быть определена на хотя бы одной теории.

Функция v' может быть записана в виде, указывающем на ее возможные отличия от v:

v' = v[v'(X1)(Ta)/X1][v'(X2)(TЯ)/X2].[v'(Xn)(Tm)/Xn].

В случае одной переменной v' может быть записана в виде

v' = v[v'(x)(T)/x].

Запись v[o/x] эквивалентна записи v[v'(x)(T)/x], поскольку если известно, что функция валюации v' = v[o/x], являющаяся х-вариантом функции валюации v, назначает переменной х объект о, то этот объект назначается функцией v'(x) на некоторой (единственной) теории T, на которой объект о определен. Это означает, что предложение "имеется v[o/x]" истинно тттк предложение "v[o/x], где о = v'(x)(T), T - единственная теория, на хотя бы одном индексе которой о определен в М" истинно.

Записи

"v' = v[v'(x)(T)/x]" и "v'= v[o/x], где о = v'(x)(T)"

эквивалентны друг другу и могут быть прочитаны как "функция валюации v' во всем совпадает с функцией валюации v за возможным исключением того, что v' назначает переменной х объект о, определенный только на теории T, так что v'(x)(T) = и функция v'(x)(T) не определена ни на каких других теориях, кроме T ".

Аналогично модель М', называемая хь х 2, xn-

вариантом модели М для функции валюации v, во всем совпадает с моделью М за исключением того, что М' содержит v' вместо v.

Вместо "модель, во всем совпадающая с моделью М, за возможным исключением того, что она содержит функцию валюации v'" можно записывать: "М[т']". Относительно М', являющейся х 1, х 2, ..., xn-вариантом модели М для функции валюации v, истинно, что М' = М|у']. Вместо "модель во всем совпадающая с М, за возможным исключением того, что она содержит вместо функции v функцию v', являющуюся таким х 1, х 2 ., xn-вариантом v, что

v' = v[v'(x1)(Ta)/x1][v'(x2)(TЯ)/x2] ... [v'(xn)(Tњ)/xn]"

можно записать в виде

<"W[v '(x1)(Ta)/x1 ][v '(x2)(TЯ)/x2] ... [v'^XT^/xJ".

Таким образом, если М' есть х-вариант модели М для функции валюации v, такой что в М' вместо v присутствует v' и

v'(х)(T) = о, то М' =М[о/х].

Условия истинности формул

Задавая условия истинности формул (далее УИ), мы индуктивно определим функцию У, которая назначает каждой формуле языка L1 истинностное значение из {0,1} ("истина" и "ложь") относительно модели М для L1, теории T и индекса і в М. Выражение "У[М, T, і, Ф] = 1" читается как "формула Ф истинна в модели М на теории T на индексе i". При этом не подразумевается ни того, что ieT, ни обратного. Аналогично "У[М, T, і, Ф] = 0" читается как "формула Ф ложна в модели М на теории T на индексе і". Для любой модели М для L1, любой теории T в М, любого индекса і в М, любого n-местного предиката Pn, любых переменных X, y, x1, x2, ..., xn, любой константы с и любых формул Ґ и Ф языка L1 :

1. У[М, T, i, x1 = x2] = 1 тттк v(x1)(T)(i) и v(x2)(T)(i) оба определены и v(x1)(T)(i) = v(x2)(T)(i) в М. Из этого следует, что если igT, то У[М, T, i, X1 = X2] ф 1.

2. У[М, T, i, Pn(x1, x2, ..., xn)] = 1 тттк v(x1)(T)(i), v(x2)(T)(i), ..., v(xn)(T)(i) все определены и <v(x1)(T)(i), v(x2)(T)(i), ..., v(xn)(T)(i) є v(Pn)(i) в М. Из этого следует, что если i g T, то У[М, T, i, Pn(x1, x2, ., xn)] Ф 1.

3. У[М, T, i, ~Ф] = 1 тттк У[М, T, i, Ф] = 0.

4. У[М, T, i, Ф & Ґ] = 1 тттк У[М, T, i, Ф] = У[М, T, i, Ґ] = 1.

5. У[М, T, i, (с/х)Ф] = 1

тттк можно построить такую функцию валюации v' = v^/х], являющуюся х-вариантом функции валюации v из модели М, что для объекта о из М, определенного хотя бы на каком-то индексе какой-либо (единственной) теории T из М, У[М[о/х], T, i, Ф] = 1, где о = v'^XT*).

6. У[М, T, i, (|Зх)Ф] = 1 тттк можно построить такую функцию валюации v' = v^/х], являющуюся х- вариантом функции валюации v из модели М, что для некоторого объекта о из М, определенного хотя бы на каком-то индексе какой-либо (единственной) теории T* изМ, У[М[о/х], T, i, Ф] = 1, где о = v'^XT*).

7. У[М, T, i, ЦЗх)Ф] = 1 тттк можно пострить такую функцию валюации v' = v^/х], являющуюся х-вариантом функции валюации v из модели М, что для некоторого объекта о из М, определенного на индексе i из М, У[М': v^/х], T, i, Ф] = 1, где о = v'^XT).

8. У[М, T, i, ББЬУФ] = 1 тттк:

(a) v(y)(T)(i) определен в М; v есть функция валюации модели М; v(y)(T)(i) есть некоторый элемент домена индекса i, скажем, 5; v(y)(T) есть некоторый объект, скажем, о;

о(і) = v(y)(T)(i) = 5;

объект о является субъектом, имеющим убеждения, значением переменной у в теории T; 5 является проявлением этого имеющего убеждения субъекта на индексе или в ситуации i; в различных ситуациях субъект может иметь различные убеждения, т.е. придерживаться различных теорий, на индексах которых истинны различные формулы, или формулы совпадают, но валюации входящих в них термов и / или предикатов могут быть различны; поскольку в T определен объект (обозначаемый в T переменной у), которому приписываются убеждения, такая теория T является теорией, в которой могут быть оценены на истинность сообщения об убеждениях этого субъекта и которая называется домашней теорией для у;

(b) теория

Ty: Ty = Я[v(y)(T)(i)]

определена в М; теория Ty есть теория, которой придерживается одушевленный и имеющий теории субъект, который в T обозначается через у на индексе і теории Т; этот субъект является возможным в теории Т объектом, скажем, объектом о: о = v(y)(T);

(c) может быть построена функция валюации v', являющаяся хі, х 2, хп-вариантом функции валюации v из модели Мдля всех переменных хь х 2, хп, свободно и экстенсионально входящих в Ф, удовлетворяющая условиям (І) и (ii) (переменная Xj входит в формулу Ф экстенсионально тттк х не находится в Ф в области действия какого-либо эпистемического, док- састического или модального оператора; в L1 используется только один оператор такого рода - BEL*):

(i) для каждой переменной Xj, 1<j<n, свободно и экстенсионально входящей в Ф, и для каждой теории Т из М, такой что функция v(xj)(T определена на Т, v'(Xj)(Ty) " v(Xj)(T') в М; иначе говоря, значение, назначаемое функцией vf(xJ)(T) на теории Ту переменной Xj (т.е. объект v'(Xj)(Ty)), является близнецом значения (т.е. объекта), назначаемого функцией v(Xj)(T) на теории T' из множества 0 модели М, на которой v(Xj) определен;

(ii) объект v'(xj)(Ty) определен на каждом индексе теории Ty каждой переменной Xj, 1<j<n, свободно и экстенсионально входящей в Ф;

V\M[v'(xl)(Ty)lxl\[v'(X2)(Ty)IX2]^ [v'(Xn)(T)/Xn],

Ty, i, Ф] = 1 для каждого i': i'eTy в М и для каждой переменной х 1, х 2, ..., xn, свободно и экстенсионально входящей в Ф.

Заметим, что по определению х 1, х 2, ..., xn- варианта функции валюации v' может назначать одной, некоторым или всем переменным то же самое значение, что и v, в последнем случае v' совпадает с v. Кроме того, следует заметить, что, по УЗМ 6, в силу рефлексивности отношения ", каждый объект является близнецом самому себе, так что совпадение v' с v не препятствует выполнению условия (i), даже если функция v(Xj) не определена на домашней теории T, и в множестве 0 модели М нет, кроме T и Ty, никаких других теорий.

9. ЦМ, T, i, Ф] = 0 тттк ЦМ, T, i, Ф] ф 1.

***

Построение модели М для языка L1 завершено. При ее построении мы основывались на подходе В. Эдельберга из [2. P. 320-325]. В некоторых случаях мы изменили способ записи, пытаясь сделать ее проще и понятнее. Но имеются и два существенных отличия.

Первое отличие связано с пониманием объекта. У В. Эдельберга объект является функцией от индексов к элементу домена индексов, причем о = v(t) (и, соответственно, 5 = о(і) = v(t)(i)), тогда как у нас объект тоже является функцией от индексов к элементу домена индексов, но о = v(t)(T) (и, соответственно,

5 = о(і) = v(t)(T)(i)).

Это потребовало внесения соответствующих изменений в УЗМ 7. Кроме того, изменены УИ 1-9, поскольку истинность формулы у В. Эдельберга зависела от модели и индекса, а у нас она должна зависеть от модели, теории и индекса. Мы внесли эти изменения, чтобы обеспечить возможность двум разным людям писать и говорить об одном и том же объекте, который они обозначают одним и тем же термином. Допущение, что Платон и Аристотель способны писать о том, что каждый из них обозначает одним и тем же термином "красота", подразумевается в положении (7), и без этого допущения невозможно рассматривать (7) как осмысленное. Исходная же версия семантики В. Эдельберга для языка L1 была несовместима с этим допущением: значением константы "красота" мог быть только один объект, определенный, по УЗМ 5, на всех или некоторых индексах только одной теории - либо теории Платона, либо теории Аристотеля. Рекомендация внести подобное исправление было сделано Евгением Васильевичем Борисовым в докладе "Проблема с собственными именами в перспективистской семантике Эдельберга" (Новосибирск, Институт философии и права СО РАН, 23 марта 2018 г.), и мы в настоящей статье с благодарностью приняли эту рекомендацию.

Второе отличие состоит в том, что, в дополнение к УЗМ 1-7, присутствующим у В. Эдельберга, мы ввели пункт с) в УЗМ 7, а также УЗМ 8, характеризующее отношение 3. Это нужно для разведения различных типов значений лексических единиц в философских текстах, чтобы преодолеть трудности, вызванные смешиванием разных типов значений в дискуссиях о методологии истории философии. Заметим, что два последних изменения в УЗМ 7 и 8 не влияют на условия истинности формул.

Алгоритм оценки истинности формул с оператором BEL

При проверке истинности какой-нибудь сложной формулы, например, формулы вида (квантор x)\(BELrf,P(x)) & (BELцQ(x))] в предварительно заданной модели М на теории T и индексе і, т.е. при проверке истинно ли, что Ц\(квантор x){(BELо1P(x)) & (BELs2Q(x))}, М, T, і] = 1, мы должны действовать последовательно.

На первом шаге снимается квантор, это делается посредством УИ 5, 6 или 7. В соответствии с этими правилами исходная формула истинна тттк имеется функция валюации v', являющаяся х-вариантом функции валюации v из модели М, такая что при назначении функцией валюации v' переменной х на T тех объектов, которые удовлетворяют УИ 5, 6 или 7 (в зависимости от квантора), исходная формула без кванторной приставки истинна в модели M': v[v'(x)(T)/x] на теории T и индексе і, где T - такая единственная теория из множества 0 модели М, что на хотя бы одном индексе T объект v'(x)(T) определен (это имеет место тттк функция v'(x)(T определена на T*). В зависимости от квантора и модели М T* может совпадать или не совпадать с T.

Таким образом, на первом шаге мы угадываем эту функцию валюации v', т.е. угадываем тот объект, который v'(x)(T) назначает переменной х. Обозначим этот угаданный нами объект через о: о = v'(x)(T). Собственно, угадывать надо только в случае экзистенциальных кванторов: угадывать надлежит либо из всех объектов модели (для восходящего квантора, по УИ 6), либо только из тех объектов, которые определены на индексе i теории Т (для нисходящего квантора, по УИ 7). Таким образом, мы получаем:

У[(квантор x)[(BELsiP(x)) & (BELs2Q(x))], М, Т, i] = 1 тттк V[{(BELs1P(x)) & (BELs2Q(x))}, M[olx], Т*, i] = 1.

На втором шаге мы применяем УИ 4 и получаем:

V[{(BELs1P(x)) & (BELs2Q(x))}, M[olx], Т*, i] = 1 тттк V[{BELs1P(x)}, M[olx], Т*, i] = 1 и V[{BELs2Q(x)}, M[olx], Т, i] = 1.

Теперь мы можем проверять истинность этих конъюнктов по отдельности, но чтобы их истинность была возможной, модель М должна удовлетворять определенным требованиям.

Если модель М задана так, чтобы проверка на истинность формул BELs1P(x) и BELs2Q(x) при валюации v[olx] могла бы начаться, то в М должна присутствовать функция Я, ставящая в соответствие элементам домена, которые на индексе i домашней теории Т являются проявлениями 51 и 52 имеющих теории субъектов, обозначаемых константами s1 и s2, те теории, которых эти субъекты придерживаются на индексе i теории Т. Эти субъекты должны являться объектами о 1 и о 2, определенными в теории Т, такими что для v из

М о 1 = v(si)(7), 02 = v(S2)(7), v(si)(п)(i) = Si, v(S2)(7)(i) = §2.

При этом субъект s1 должен придерживаться, в соответствии с моделью М, теории ТА - на индексе i домашней теории Т, так что в

М ТА = Я[v(s1)(r)(i)] = Я(S1).

А субъект s2 должен придерживаться, в соответствии с моделью М, теории Т 2 - на индексе i домашней теории Т, так что в

М Ts2 = Я[v(s2)(7)(i)] = Я(§>).

Перед проверкой истинности формул

V[{BELs1P(x)}, M[olx], Т*, i] = 1 и V[{BELs2Q(x)}, M[olx], Т, i] = 1

по отдельности заметим, что функция валюации v' назначает переменной х из BELs1P(x) и переменной х из BELs2Q(x), оцениваемым на теории Т и индексе i, один и тот же объект о. Если функцию валюации для оценки одной из двух формул не изменить, то, по УЗМ 5, мы нарушим один из принципов построения моделей для L1, ведь объекты из теории одного субъекта не могут присутствовать в теории другого субъекта (если эти теории различны в М; в дальнейшем мы предполагаем, что они различны). Данное соображение объясняет необходимость введения новой функции ва- люации для одной из формул: это позволит избавиться от указанного нарушения. Однако то, что объекты теорий двух субъектов в сообщении об их убеждении обозначаются одинаково - через х - в случае, если эти объекты не совпадают друг с другом, требует объяснения. И объяснением этого является то, что объекты должны быть близнецами в М. Для того, чтобы исходная формула была истинной, объекты из ТА, ТА 2, а также в некоторых случаях из Т (при использовании в исходной формуле нисходящего квантора или константного квантора) должны быть близнецами, т.е. они должны быть сходны в том, что имеют на тех индексах, на которых они определены, сходные объяснительные функции, но не обязательно тождественны друг другу.

Следовательно, на третьем шаге для валюации х из одной формулы мы оставляем v', в данном случае теория этого субъекта совпадает с Т*, объект о определен на теории этого субъекта, индекс i является индексом теории этого субъекта (допустим, что i - единственный индекс этой теории). Пусть этой формулой будет BELs1P(x). Тогда, по

УИ 8, E[{BELs1P(x)}, M|plx], Т, i] = 1 тттк VEMp'/x], Т^, i', P(x)] = 1, где о' = v'^xX^), для каждого i': і'єТа в М.

Здесь ТА - теория субъекта s1. Поскольку мы условились,

что Т = Тл, i' = i, v'' = v', а значит, о' = о и Мо'/x] = M|plx],

получаем: VM^lx], Т*, i, {BELs1P(x)}] = 1 тттк VM^lx], Тл, i, P(x)] = 1.

На четвертом шаге мы оцениваем истинность последней формулы с помощью УИ 2: VMIplx], ТА, i, P(x)] = 1 тттк о определен и Pev(P)(i) в M^lx]. Однако M^lx] совпадает с М в том, определен ли в ней объект о и верно ли, что Pev(P)(i), поскольку изменения в функции валюации, отличающие M^lx] от М, этого не затрагивают. Поэтому получаем: V-Mplx], Тл, i, P(x)] = 1 тттк о определен и Pev(P)(i) вM. И для определения последнего больше не нужно никаких преобразований: так это или нет, видно из описания модели М непосредственно.

На пятом шаге для валюации х из другой формулы BELs2Q(x), чтобы избежать появления в теории субъекта s2 объекта о, присутствующего в теории субъекта s1, мы должны применить уже другую функцию валюации v"', v''' отлична от v' и v'' (выше мы получили, что v'' = v'). По УИ 8, если может быть построена функция валюации v''', удовлетворяющая УИ 8.(с).(і) и 8. (с).(іі), то J/[{BELs2Q(x)}, M\plx], Т, i] = 1 тттк V\M[о'Чx], Т 2, i'', Q(x)] = 1, где о'' = v'^xX^), для каждого i'': i''eTs2 в М. Здесь Т 2 - теория субъекта s2. Пусть i'' - единственный индекс теории Т 2. По УИ 8.(с).(і), v^^X^^'^)^') в М, где Т - всякая теория из М, включая Т и саму Т 2, такая что v'(x) определен на Т'. Мы уже допустили выше, что о = v'Я)^) и что Т = ТА. Поэтому одна из теорий, такая что v'(x) определен на ней, нам известна: это теория ТА, такая что v^xX^) = о. Поскольку v'''^)^) = о'' и v'(x)(7s1) = о, УИ 8.(с).(і) требует выполнения положения о''" о. Если это положение содержится в описании модели М, то функция валюации v''', удовлетворяющая УИ 8.(с).(і) и 8.(с).(іі) (последнее требует, чтобы объект о'' = v'''(x)(7y) был определен на каждом индексе теории Т 2, что мы допустили для единственного индекса i'' теории Т 2), построена. В М могут содержаться и другие близнецы объекта о'' - например, в домашней теории Т. Если в исходной формуле не используется нисходящий экзистенциальный квантор, то наличие в Т близнецов объектов из ТА и Т 2 необязательно для ее истинности на теории Т и на индексе i (если оцениваются в модели М на теории Т и на индексе i формулы с кванторами или с оператором BEL, то отсутствия индекса i в теории Т недостаточно для оценки формулы как неистинной - в отличие от атомарных формул без кванторов и без оператора BEL, см. УИ 1 и 2).

При сделанных допущениях относительно модели М можно считать, что мы убедились в том, что V[{BELs2Q(x)}, M[оlx], Т*, i] = 1 тттк V\M\p"/x\, Т,2, i'', Ц(x)] = 1, где о'' = v'''^)^).

На шестом шаге мы оцениваем истинность последней формулы с помощью УИ 2: V\_M\ы'4x], Ts2, i'', Q(x)] = 1 тттк о'' определен и Qev(Q)(i) в Що"/x]. Однако Щ[о ''/x] совпадает с М в том, определен ли в ней объект о" и верно ли, что Qev(Q)(i"), поскольку изменения в функции валюации, отличающие M" ' от М, этого не затрагивают. Поэтому получаем: V\M[o"/x\, Ts2, i", Q(x)\ = 1 тттк о определен и Qev(Q)(i'') в M. И для определения последнего больше не нужно никаких преобразований: так это или нет, видно из описания модели М непосредственно.

Формализация (7) на языке L1

Выше мы писали, что для осмысленности работы историка философии необходимо, что предложения вроде следующего могли быть истинными:

(7) Платон верил, что красота отдельна, и Аристотель верил, что она же не отдельна, и Рассел верил, что она же отдельна, и Платон верил, что она же отдельна потому, что только отдельное может наделять причастные ему вещи определенностью, и Аристотель верил, что аргумент `она же отдельна потому, что только отдельное может наделять причастные ему вещи определенностью' неубедителен, поскольку не только отдельное может наделять причастные ему вещи определенностью.

Запишем (7) на языке L1 в виде

(7') (blx)(clly)(c2lz)(c3lw)\BELpS(x) & BELS(x) & BELa(~S(x)) & BELpB2(y, z) & BELaU2(z, w)\.

В (7') b - константа "красота", p - константа "Платон", a - константа "Аристотель", r - константа "Рассел", S - одноместный предикат "быть отдельным" (определенный на термах, не являющихся пропозициональными константами или пропозициональными переменными), D - одноместный предикат "быть определенным" (определенный на термах, не являющихся пропозициональными константами или пропозициональными переменными), B2 - двуместный предикат " истинно, поскольку истинно" (определенный только на пропозициональных константах или пропозициональных переменных) U2 - двуместный предикат " неубедительно, поскольку истинно" (определенный только на пропозициональных константах или пропозициональных переменных), '"(blxXS^)]1,

r~(blx)\S(x)] ^ ~(3оx)\D(x)\\ r(3|x)[D(x)\ & --(blx^S^)])1 -

пропозициональные константы, но в (7') введены для них сокращенные обозначения:

'"(blx^S^)]1 = ci, r~(blx)\S(x)] ^ ~(3оx)\D(x)\n = c2, r(3оx)\D(x)\ & ~(blx)\S(x)\)

n = c3 - пропозициональные константы. Кроме указанных констант, предикатов, переменных X, y, z, w, квантора 3о, оператора BEL, пропозициональных связок ~ и &, скобок, а также угловых кавычек г_п в лексиконе языка Li больше ничего не содержится.

Теперь запишем модель М для Li, которой является структура < I, 0, D, Я, O, v, 3 >, удовлетворяющая условиям, задающим модель М.

УЗМ для (7')

УЗМ для (7') № 1 - на I

I = {ip, ir, ia, ih}, где ip - единственный индекс теории Платона Тр, ir - единственный индекс теории Рассела Tr, ia - единственный индекс теории Аристотеля Та, ih - единственный индекс домашней теории Th.

Домашняя теория - это теория, на индексах которой (7') оценивается на истинность. Является аналогом теории, соответствующей реальности, а не убеждениям субъектов. Может быть также понята как теория автора сообщения (7') о пропозициональных установках Платона, Аристотеля и Рассела. Однако сам автор в модели М отсутствует.

УЗМ для (7') № 2 - на 0

0 = {Th, Tp, Tr, Ta}, где Th - домашняя теория, Tp - теория Платона, Tr - теория Рассела, Ta - теория Аристотеля. Tp = {ip}, Tr = {ir}, Ta = {ia}, Th = {ih}. Таким образом, каждая теория - домашняя теория, теория Платона, теория Рассела, теория Аристотеля - содержит только по одному индексу.

УЗМ для (7') № 3 - на D

D = {Dh, Dp, Dr, Da}, где Dh - домен индекса ih домашней теории Th, Dp - домен индекса ip теории Платона Tp, Dr - домен индекса ir теории Рассела Tr, Da - домен индекса ia теории Аристотеля Ta.

Dh

Dh = {5hp, 5hr, 5ha}, где элементы домена Dh индекса ih - 5hp, 5hr, 5ha - являются значениями объектов, определенных на всех индексах домашней теории Th (т.е. на единственном индексе ih теории Th) на этих индексах.

5hp = о/(4), т.е. 5hp является значением или проявлением объекта, соответствующего имени p на Th (Платона из домашней теории), т.е. объекта о^ из домашней теории Th, на индексе ih.

5hr = о/(4), т.е. 5hr является значением или проявлением объекта, соответствующего имени r на Th (Рассела из домашней теории), т.е. объекта о/ из домашней теории Th, на индексе ih.

5ha = о/(4), т.е. 5ha является значением или проявлением объекта, соответствующего имени a на Th (Аристотеля из домашней теории), т.е. объекта о/ из домашней теории Th, на индексе ih.

Dp

Dp = {5/, 5pci, 5pc2}, где элементы домена Dp индекса ip - 5pb, 5pci и 5pc2 - являются значениями объектов, определенных на всех индексах теории Платона Tp (т.е. на единственном индексе ip теории Tp) на этих индексах.

5pb = о/ОД т.е. 5pb является значением или проявлением объекта, соответствующего имени b на Tp (платоновской красоты), т.е. объекта оpb из платоновской теории Tp, на индексе ip.

5pci = о/1^^, т.е. 5pci является значением или проявлением объекта, соответствующего имени ci на Tp - т.е. объекта о/1 из платоновской теории Tp - на индексе ip.

5pc2 = о/2(д, т.е. 5pc2 является значением или проявлением объекта, соответствующего имени c2 на Tp, т.е. объекта ор 2 из платоновской теории Tp,- на индексе ip.

Dr

Dr = {5rb}, где единственный элемент домена Dr индекса ir - 5rb - является значением объекта, определенным на всех индексах теории Рассела Tr (т.е. на единственном индексе ir теории Tr) на этих индексах.

5rb = огь(іг), т.е. 5rb является значением или проявлением объекта, соответствующего имени b на Tr

0ас 3 = оас 3(Іа), т.е. 0ас 3 является значением или проявлением объекта, соответствующего имени c3 на Та, т.е. объекта оас 3 из аристотелевской теории Та, на индексе Іа.

(расселовской красоты), т.е. объекта огь из расселовской теории Тг, на индексе ir.

D

Da = {5/2, 5/3}, где элементы домена Da индекса ia - цp2, 0ас 3 - являются значениями объектов, определенных на всех индексах теории Аристотеля Та (т.е. на единственном индексе ia теории Та) на этих индексах.

5аь = оаь(іа),

т.е. оаь является значением или проявлением объекта, соответствующего имени Ь на Та (аристотелевской красоты), т.е. объекта Op из платоновской теории Та, на индексе іа.

цp2 = Op2(ia),

т.е. 5/2 является значением или проявлением объекта, соответствующего имени c2 на Та, т.е. объекта оас 2 из аристотелевской теории Та, на индексе Іа.

УЗМ для (7') № 4 - на Я

Я(ц/) = Тр, Я(ц/) = Тг; Я(цha) = Та.

УЗМ для (7') № 5 - на О

Эти условия уже были обозначены при объяснении УЗМ 3 - на D. Других объектов в М нет, все указанные там объекты определены только на указанных индексах и не определены на других индексах.

УЗМ для (7') № 6 - на "

Красота в теории Платона и красота в теории Рассела являются близнецами. Для отражения этого достаточно двух положений: орЬ " огЬ и орЬ " а. В силу транзитивности " из двух предыдущих положений следует огЬ"оаЬ. В силу симметричности " из трех предыдущих положений следует огЬ"орЬ, оаЬ"орЬ и ь ь

Ор "ог.

Пропозиция, соответствующая в теории Платона предложению "красота отдельна потому, что только отдельное может наделять причастные ему вещи определенностью" является близнецом пропозиции, соответствующей этому же предложению в теории Аристотеля: орс 2"оас 2. В силу симметричности " из предыдущего следует оас 2"орс 2.

Кроме того, в силу рефлексивности " каждый объект из М является близнецом самому себе.

УЗМ для (7') № 7 - на v

Валюация констант на теориях:

Т": v(p)(Th) = ор v(r)(Th) = оР v(a)(Th) = ока.

Тр. viP)(Тр) = ОрЬ; v(d)(Tp) = Орс 1; v^XTp) = Орс 2.

Тг: vя)(Tr) = огЬ.

Та: vQ))(Та) = ОаЬ; v^T) = Оас 2; vOT) = Оас 3.

На всех теориях, помимо указанных, частичные функции v(p)(T), v(r)(T), v(a)(T), vQ})(T), vOQT), v(o2)(T), vOQD не определены.

Валюацией переменных могут быть любые объекты из любых теорий модели М; их валюация не используется в дальнейшем при оценки истинности (7').

Валюация предикатов на индексах:

h: v(S)(ih) = 0; v(D)(ih) = 0; v(B2)(ih) = 0; v(U2)(ih) = 0.

ip. v(S)(ip) = {цp}; (D)(ip) = {0рЬ}; (B2)(ip) = {<ц/\ рс 2>}; v(U2)(ip) = 0.

i/. v(S)(ir) = {ц/}; v(D)(ir) = 0; v(B2)(ir) = 0;

v(U2)(ir) = 0.

ia: v(S)(Q = 0; v(D)(ia) = 0; v(B2)(ia) = 0;

v^m = {<0ас 2, 0ас 3>}.

УЗМ для (7') № 7 - на Ч

орЬ 3opc1; орл-\орс 2. В силу транзитивности 3 из этих двух положений следует орЬ 3орс 2.

орс 1^оас 2; орл 3оас 3. В силу транзитивности 3 из этих двух положений следуют орЬ 3оас 2; орЬ 3оас 3.

Проверка истинности (7')

Нам нужно подтвердить или опровергнуть гипотезу:

(8) V[M, Th, h (7')] = 1.

Применяя четыре раза УИ 5, получаем: (8) тттк:

(9) в модели М имеются такие объекты ox, oy, oz, ow,

имеется такая модель М 1:

М 1 = MoJxWoQyWoJzWoJw] = М\у\] с функцией валюации

v\. v-[ =v[Ox/x][Oy/y][Oz/z][Ow/w], что V\М\oJx\[oQy][oJz\[oJw\, Th, h {BELpS(x) & BELS(x) & BELa(~S(x)) & BELpB2(y, z) & BELaU2(z, w)}] = 1,

где v - функция валюации из М, ox = v1(h)(Tx) для какой-нибудь теории Tx из М 1, оу = v1(e1)(Ty) для какой-нибудь теории Ty из М 1, ох =

v1p2)(Tz) для какой-нибудь теории Tz из М 1, оК =

v1(c3)(Tw) для какой-нибудь теории Tw из М 1, v1 -

функция валюации модели М 1,

v1 =v [oJx\[oJy][oJz][oJw].

Чтобы проверить истинность (9), подберем конкретные объекты из М и теории из М, на которых эти объекты определены, для подстановки их вместо ox и

Tx, Оу и Ty, Oz и Tz, Ow и Tw. Пусть

Ox Op, Tx Tp,

так что vi(x)(Tx) = vi(x)(Tp) = v(h)(Tp) = op;

Oy = Opс 1, Ty = Tp,

так что vi(y)(Ty) = vi(y)(Tp) = vpiXTp) = Орс l;

Oz = Opл, Tz = Tp,

так что vi(z)(Tz) = vi(z)(Tp) = vOQTp) = Op2;

Ow = Op3, Tw = Ta,

так что vi(w)(Tz) = vi(w)(Ta) = vOQTa) = Op3.

Применяя УИ 4, получаем (9) тттк:

(10) ЩМріІ Th, ih, BELpS(x)] = 1 и ЩМ\Уі], Th, ih,

BELrS(x)] = 1 и Th, ih, BELa(~S(x))] = 1 и

ЩМрі], Th, ih, BELpB2(y, z)] = 1 и ЦМрі], Th, ih, BELaU2(z, w)] = 1, где vi = v[Opb/x][Opcl/y][Opc2/z][Oac3/w\ Op" = vi (x)(Tp), Op1 = vi (y)(Tp), Op2 = vi (z)(Tp),

Oaс 3 = v(w)(Ta).

Проверим первый конъюнкт из (10) -

ЩМрі], Th, ih, BELpS(x)] = 1.

Применяя УИ 8, получаем: ЩМрі], Th, ih,

BELpS(x)] = 1 тттк:

(11) имеется М 2 с функцией валюации v2, такие, что V[M2, Tp, ip, S(x)] = 1 и v2(x)(Tp)"v1(x)(T') в Мь где v2 = v1[O/x], O = v2(x)(Tp), O - некоторый объект из О в M1, O = v2(x)(Tp), T - какая-либо теория из М 1, такая что функция v^x)^) определена на T в M1.

Поскольку мы определили v1 как

v1 = v[Opb/x][Oplfy][Op2/z][Op3/w],

где Op = v1(x)(Tp), OpCl = v1(y)(Tp), Op2 = v1(z)(Tp), Op3 = v(w)(Ta),

теория из М 1, такая что функция v1(x)(T) определена на ней, является единственной и есть теория

Тр: v1(x)(Tp) = Op.

Пусть v2 = v1. В этом случае

v2(x)(Tp) = Op, v1(x)(Tr) = v1(x)(Tp) = Op; М 1 = М 2.

Поэтому мы можем записать следующее: (11) тттк

(12) ПЩМ, Tp, ip, S(*)] = 1 и оь"оь.

Поскольку второй конъюнкт (12) истинен в силу рефлексивности отношения ", по УИ 2, мы можем записать: (12) тттк

(13) Vi(x)(Tp)(ip) определен и Vi(x)(Tp)(ip)ev(S)(ip) в Мь

Но в Mi Vi(x)(Tp)(ip) = Opb(ip) = Ър, v(S)(ip) = {5pb}.

Поскольку 5pbe{5pb}, (13) истинно. Значит, мы убедились в истинности V[M[v1], Th, ih, BELpS(x)] = 1.

Проверим второй конъюнкт из

(10) - V\M[V\], Th, ih, BELrS(x)] = 1.

Применяя УИ 8, получаем: V\M\v\], Th, ih,

BELrS(x)] = 1 тттк

(14) имеется M3 с функцией валюации v3, такие что

(15) V\M3, Tr, ir, S(x)] = 1 и v3(x)(Tr)av1(x)(T) в M1,

где v3 = v1\o/x], о = v3(x)(Tr), о - некоторый объект из О в M1, Т - какая-либо теория из M1, такая что функция v1(x)(T) определена на T'.

Поскольку мы определили v1 как

v1 = v\0pblx]\0pc1ly]\0pc2lz]\0ac3lw],

где оь = v1(x)(Tp), 0pc1 = v1(y)(Tp), 0pc2 = v1(z)(Tp), 0ac3 = v(w)(Ta),

теория из M1, такая что функция v1(x)(T) определена на ней, является единственной и есть теория

Tp: v1(x)(Tp) = opb.

Пусть v3 = v1\orblx], orb = v3(x)(Tr).

Как мы видим, единственная теория из M1, такая что функция v1(x) определена на ней, есть теория Tp:

v1(x)(Tp) = opb.

Тогда требование из (14) v3(x)(Tr)"v1(x)(T) выполнено, поскольку

v3(x)(Tr) = orb, v1(x)(T) = v1(x)(Tp) = о/,

и в M1 (совпадающей в этом с M) оь"ор.

В силу того, что второй конъюнкт из (14) истинен, и в соответствии с УИ 2 мы можем записать: (14) тттк:

(16) v3(x)(T)(ir) определен и v3(x)(Tr)(ir)ev(S)(ir) в M3.

Но в M3 v3(x)(Tr)(ir) = оГ(ir) = §Л v(S)(ir) = {5rb} в

M3. Поскольку 5rbe{5rb}, (15) истинно. Значит, мы убедились в истинности V\M\v1], Th, ih, BELrS(x)] = 1.

Проверим третий конъюнкт из

(10) - V\M\v\], Tu, ih, BELa(~S(x))] = 1.

Применяя УИ 8, получаем: V\M\v\], Th, ih,

BELrS(x)] = 1 тттк:

(17) имеется M4 с функцией валюации v4, такие, что

(18) V\M4, Ta, ia, ~S(x)] = 1 и v4(x)(Ta)"v1(x)(T') в Mb где v4 = v1\olx], о = v4(x)(Ta),

(8) (19) о - некоторый объект из О в M1, Т - каждая теория из M1, такая что функция v^CD определена на Т'.

Поскольку мы определили v1 как

v1 = v\Opblx]\OpЛly]\Opc2lz]\OaCЪlw],

где оь = v1(x)(Tp), о/1 = v1(y)(Tp), 0pc2 = v1(z)(Tp), оac3 = v(w)(Ta),

теория из M1, такая, что функция v1(x)(T) определена на ней, является единственной и есть теория

Tp: v1(x)(Tp) = ор.

Пусть v4 = v^alx], о O' = v4(x)(Ta).

Как мы видим, единственная теория из M1, такая что функция v1(x) определена на ней, есть теория

Tp: v1(x)(Tp) = о/.

Тогда требование из (16) v4(x)(Ta) " v1(x)(T) выполнено, поскольку

v4(x)(Ta) = о J", v1(x)(T) = v1(x)(Tp) = оь,

и в M1 (совпадающей в этом с M) оь " ор.

В силу того что второй конъюнкт из (16) истинен, мы можем записать: (16) тттк:

(20) V\M4, Ta, ia, ~S(x)] = 1.

Используя УИ 3, получаем: (17) тттк:

(21) V\M4, Ta, ia, S(x)] = 0.

(22)

Используя УИ 2, получаем: (18) тттк:

(23) ложно, что v4(x)(Ta)(ia) определен и

v4(x)(Ta)(ia)ev(S)(ia) в M4.

Но в M4 v4(x)(Ta)(ia) = о^іО) = 5j', v(S)(ia) = 0,

совпадающей в этом с M. Поскольку 5rbg0, ложно, что v4(x)(Ta)(ia)ev(S)(ia) в M4. Значит, ложно, что v4(x)(Ta)(ia) определен и v4(x)(Tj)(ia)ev(S)(ia) в MA. Следовательно, (19) истинно и также истинно, что

V\M\v1], Th, ih, BELj(~S(x))] = 1.

Проверим четвертый конъюнкт из (10) -

V\M\v1l Th, ih, BELpB2(y, z)] = 1.

Применяя УИ 8, получаем: V\M\v\], Th, ih,

BELpB2(y, z)] = 1 тттк:

(24) имеется M5 с функцией валюации v5, такие что

(25)

V\M5, Tp, ip, B2(y, z)] = 1 и v5(y)(Tp)"v1(y)(T') и v5(z)(Tp)"v1(z)(T") в Mb где v5 = Vl\0lly]\02Іz],

о 1 = v5(y)(Tp), о 2 = v5(z)(Tp),

о 1 и о 2 - некоторые объекты из О в M1, T и T'' - какие-либо теории из M1, такие что функция v1(x)(T) определена на T и на T''.

Поскольку мы определили v1 как

v1 = v\Opblx]\OpЛly]\Opc2lz]\OaCЗlw],

где ор = v1(x)(Tp), орс 1 = v1(y)(Tp),

орс 2 = v1(z)(Tp), о а 3 = v(w)(Ta),

теория из M1, такая что функция v1(y)(T) определена на ней, является единственной и есть теория

Tp: v1(y)(Tp) = орс 1.

Также теория из M1, такая что функция v1(z)(T) определена на ней, является единственной и есть теория

Tp: v1(z)(Tp) = орс 2. Следовательно, T = T'' = Tp.