Основы термодинамики

Коэффициент теплопроводности капельных жидкостей лежит примерно в пределах от 0,07 до 0,7 Вт(мК). Опыты подтверждают, что для большинства жидкостей с повышением температуры коэффициент теплопроводности убывает, исключение составляют вода и глицерин. При повышении давления коэффициенты теплопроводности жидкостей возрастают. В связи с тем, что тела могут иметь различную температуру, а при наличии теплообмена и в самом теле температура будет распределена неравномерно, то в первую очередь важно знать зависимость коэффициента теплопроводности от температуры. Опыты показывают, что для многих материалов с достаточной для практики точностью зависимость коэффициента теплопроводности от температуры можно принять линейной:

= ₀1 b t t₀, (4.9)

где ₀ значение коэффициента теплопроводности при температуре t₀; b постоянная, определяемая опытным путем.

В практических расчетах значение обычно определяется по среднеарифметической температуре на границах тела, и это значение принимается постоянным. Как показал профессор Г. М. Кондратьев, при стационарной теплопроводности такая замена законна и единственнно правильна.

Значения коэффициентов теплопроводности материалов, применяемых в автомобилях (чугун, сталь, алюминий, вода, антифриз и др.), приводятся в справочной литературе.

2.6 Дифференциальные уравнения теплопроводности

Решение задач по определению температурного поля осуществляется на основании дифференциального уравнения теплопроводности, выводы которого показаны в специальной литературе. В данном пособии приводятся варианты дифференциальных уравнений без выводов.

При решении задач теплопроводности в движущихся жидкостях, характеризующих нестационарное трехмерное температурное поле с внутренними источниками теплоты, используется уравнение

(4.10)

Уравнение (4.10) является дифференциальным уравнением энергии в декартовой системе координат (уравнение Фурье Кирхгофа). В таком виде оно применяется при изучении процесса теплопроводности в любых телах.

Если _x=_y=_z=0, т. е. рассматривается твердое тело, и при отсутствии внутренних источников теплоты q_v=0, тогда уравнение энергии (4.10) переходит в уравнение теплопроводности для твердых тел (уравнение Фурье)

(4.11)

Величину С=a, м²сек в уравнении (4.10) называют коэффициентом температуропроводности, который является физическим параметром вещества, характеризующим скорость изменения температуры в теле при неустановившихся процессах.

Если коэффициент теплопроводности характеризует способность тел проводить теплоту, то коэффициент температуропроводности является мерой теплоинерционных свойств тела. Из уравнения (4.10) следует, что изменение температуры во времени t для любой точки пространства пропорционально величине «а», т. е. скорость изменения температуры в любой точке тела будет тем больше, чем больше коэффициент температу-ропроводности. Поэтому при прочих равных условиях выравнивание температур во всех точках пространства будет происходить быстрее в том теле, которое обладает большим коэффициентом температуропроводности. Коэффициент температуропроводности зависит от природы вещества. Например, жидкости и газы обладают большой тепловой инерционностью и, следовательно, малым коэффициентом температуропроводности. Металлы обладают малой тепловой инерционностью, так как они имеют большой коэффициент температуропроводности.

Для обозначения суммы вторых производных по координатам в уравнениях (4.10) и (4.11) можно использовать символ ², так называемый оператор Лапласа, и тогда в декартовой системе координат

Выражение ²t в цилиндрической системе координат имеет вид

Для твердого тела в стационарных условиях с внутренним источником теплоты уравнение (4.10) преобразуется в уравнение Пуассона

(4.12)

Наконец, для стационарной теплопроводности и при отсутствии внутренних источников теплоты уравнение (4.10) принимает вид уравнения Лапласа

 (4.13)

Дифференциальное уравнение теплопроводности в цилиндрических координатах с внутренним источником теплоты

(4.14)

2.7 Условия однозначности для процессов теплопроводности

Так как дифференциальное уравнение теплопроводности выведено на основе общих законов физики, то оно характеризует явление теплопроводности в самом общем виде. Поэтому можно сказать, что полученное дифференциальное уравнение характеризует целый класс явлений теплопроводности. Чтобы из бесчисленного количества выделить конкретно рассматриваемый процесс и дать его полное математическое описание, к дифференциальному уравнению необходимо присоединить математическое описание всех частных особенностей рассматриваемого процесса. Эти частные особенности, которые совместно с дифференциальным уравнением дают полное математическое описание конкретного процесса теплопроводности, называются условиями однозначности или краевыми, которые включают в себя:

а) геометрические условия, характеризующие форму и размеры тела, в котором протекает процесс;

б) физические условия, характеризующие физические свойства среды и тела (, С_z, , а и др.);

в) временные (начальные) условия, характеризующие распределение температур в изучаемом теле в начальный момент времени;

г) граничные условия, характеризующие взаимодействие рассматриваемого тела с окружающей средой.

Начальные условия необходимы при рассмотрении нестационарных процессов и состоят в задании закона распределения температуры внутри тела в начальный момент времени. В общем случае начальное условие аналитически может быть записано следующим образом при =0:

t = ₁x, y, z. (4.15)

В случае равномерного распределения температуры в теле начальное условие упрощается: при =0; t=t₀=idem.

Граничные условия могут быть заданы несколькими способами.

А. Граничные условия первого рода, задающие распределение температуры на поверхности тела t_c для каждого момента времени:

t_c = ₂x, y, z, . (4.16)

В частном случае, когда температура на поверхности является постоянной на протяжении всего времени протекания процессов теплообмена, уравнение (4.16) упрощается и принимает вид t_c=idem.

Б. Граничные условия второго рода, задающие величину плотности теплового потока для каждой точки поверхности и любого момента времени. Аналитически это можно представить следующим образом:

q_n = x, y, z, , (4.17)

где q_n плотность теплового потока на поверхности тела.

В простейшем случае плотность теплового потока по поверхности и во времени остается постоянной q_n=idem. Такой случай теплообмена имеет место, например, при нагревании различных металлических изделий в высокотемпературных печах.

В. Граничные условия третьего рода, задающие температуру окружающей среды t_ж и закон теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. Для описания процесса теплообмена между поверхностью тела и средой используется закон Ньютона.

Согласно закону Ньютона, количество теплоты, отдаваемое единицей поверхности тела в единицу времени, пропорционально разности температур тела t_c и окружающей среды t_ж

q = t_c t_ж. (4.18)

Коэффициент теплоотдачи харктеризует интенсивность теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. Численно он равен количеству теплоты, отдаваемому (или воспринимаемому) единицей поверхности в единицу времени при разности температур между поверхностью тела и окружающей средой, равной одному градусу.

Согласно закону сохранения энергии, количество теплоты, которое отводится с единицы поверхности в единицу времени вследствие теплоотдачи (4.18), должно равняться теплоте, подводимой к единице поверхности в единицу времени вследствие теплопроводности из внутренних объемов тела (4.7), т. е.

, (4.19)

где n нормаль к поверхности тела; индекс «С» указывает на то, что температура и градиент относятся к поверхности тела (при n=0).

Окончательно граничное условие третьего рода можно записать в виде

. (4.20)

Уравнение (4.20), по существу, является частным выражением закона сохранения энергии для поверхности тела.

Г. Граничные условия четвертого рода, харктеризующие условия теплообмена системы тел или тела с окружающей средой по закону теплопроводности. Предполагается, что между телами осуществляется идеальный контакт (температуры соприкасающихся поверхностей одинаковы). В рассматриваемых условиях имеет место равенство тепловых потоков, проходящих через поверхность соприкосновения:

. (4.21)

2.8 Отдельные задачи теплопроводности при стационарном режиме

В технике часто возникают задачи определения температурного поля тела и установления законов передачи теплоты. В результате решения дифференциального уравнения теплопроводности совместно с условиями однозначности можно найти температурное поле, а на основании закона Фурье соответствующие тепловые потоки. Следует отметить, что аналитическое решение поставленной задачи возможно только для тел правильной геометрической формы и при достаточно простых условиях однозначности. В остальных случаях эта задача решается численными или экспериментальными методами.

Рассмотрим несколько тел простой формы -- таких, как плоская стенка и полая труба -- в случае стационарного распространения теплоты, для которых уравнение теплопроводности значительно упрощается.

Теплопроводность через плоскую и цилиндрическую стенки.

Рассмотрим однородную плоскую однослойную стенку толщиной , (рис. 4.4), имеющую неограниченную длину и ширину.

На наружных поверхностях стенки поддерживаются постоянные температуры t₁ и t₂. Коэффициент теплопроводности стенки постоянен и равен . При стационарном режиме t=0 и отсутствии внутренних источников теплоты q_v=0 и с учетом того, что в этом случае температура будет изменяться только в направлении оси ОХ, дифференциальное уравнение теплопроводности примет вид

(4.22)

Интегрируя уравнение (4.22), находим

(4.23)

Рис. 4.4. Температурное поле плоской однослойной стенки

После второго интегрирования получаем общий вид уравнения распределения температур в плоских стенках:

t=C₁x+C₂. (4.24)

Постоянные С₁ и С₂ в уравнении (2.24) определяются из граничных условий:

при х=0 t=t₁, C₂=t₁;

при х= t=t₂,

Подставляя значения постоянных С₁ и С₂ в уравнение (4.24), получаем уравнение распределения температуры в рассматриваемой плоской однослойной стенке

(4.25)

Уравнение (4.25) является уравнением прямой линии.

Плотность теплового потока, проходящего через стенку в соот-ветствии с законом Фурье, q = t/n. Учитывая, что

,

получим

. (4.26)

Отношение / (Вт/(м²К)) называется тепловой проводимостью стенки, а обратная величина / (м²К/Вт) -- тепловым или термическим сопротивлением стенки. Последнее представляет собой изменение температуры в стенке на единицу плотности теплового потока.

Тепловой поток, который передается через полную поверхность стенки,

, Вт. (4.27)

Для многослойных стенок уравнение имеет вид

. (4.28)

Величина называется полным термическим сопротивлением теплопроводности многослойной стенки.

При сравнении переноса теплоты через многослойную стенку и стенку из однородного материала удобно ввести в рассмотрение эквивалентный коэффициент теплопроводности _экв многослойной стенки. Он равен коэффициенту теплопроводности однородной стенки, толщина которой равна толщине многослойной стенки , а термическое сопротивление равно термическому сопротивлению рассматриваемой стенки, т.е.:

.

Отсюда

 (4.29)

Из уравнения (4.29) следует, что эквивалентный коэффициент теплопроводности _экв зависит не только от теплофизических свойств слоев, но и от их толщины.

Графически распределение температур по сечению многослойной стенки представляется ломаной линией; температуры на границе соприкосновения слоев можно определить уравнением

(4.30)

При рассмотрении стационарного процесса теплопроводности в цилиндрической однослойной стенке (трубе) с внутренним радиусом r₁ и наружным r₂ (рис. 4.5) получаем уравнение распределения температуры:

. (4.31)

Рис. 4.5. Температурное поле однослойной цилиндрической стенки

Уравнение (4.31) представляет собой уравнение логарифмической кривой. То обстоятельство, что распределение температуры в цилиндрической стенке является криволинейным, можно объяснить следующим. В случае плоской стенки плотность теплового потока остается одинаковой для всех изотермических поверхностей и градиент температуры сохраняет для всех изотермических поверхностей постоянную величину. В случае цилиндрической стенки плотность теплового потока через любую изотермическую поверхность изменяется, т. к. величина поверхности зависит от радиуса (H=2rl), что приводит к изменению градиента температуры.

Для нахождения количества теплоты, проходящего через цилиндрическую поверхность величиной Н в единицу времени, можно воспользоваться законом Фурье

.

Подставляя значение градиента температуры и поверхности, получаем

, Вт. (4.32)

Из уравнения (4.32) следует, что количество теплоты, проходящее через цилиндрическую стенку в единицу времени, полностью определяется заданными граничными условиями.

Тепловой поток (4.32) может быть отнесен либо к единице длины трубы, либо к единице внутренней или внешней поверхности.

Расчетная формула для плотности теплового потока, проходящего через единицу длины трубы, запишется:

, Вт/м. (4.33)

Тепловой поток, отнесенный к единице трубы, измеряется в Вт/м и называется линейной плотностью теплового потока. Как видно из уравнения (4.33), при неизменном отношении d₂/d линейная плотность теплового потока не зависит от поверхности цилиндрической стенки.

Тепловой поток через единицу внутренней поверхности запишется:

, Вт/м. (4.34)

Тепловой поток через единицу наружной поверхности запишется:

, Вт/м. (4.35)

На основании полученного уравнения теплового потока на единицу длины трубы (4.33) можно получить уравнение теплового потока многослойной цилиндрической стенки. В этом случае необходимо выразить разности температур слоев из указанного уравнения, а затем, аналогично примеру с плоской стенкой, сложить полученные результаты. В результате получаем уравнение теплового потока многослойной цилиндрической стенки:

, Вт/м. (4.36)

Величина, стоящая в знаменателе, называется полным термическим сопротивлением многослойной цилиндрической стенки. Уравнение (4.36) может быть использовано для определения температур на границах любого слоя:

. (4.37)

Таким образом, полученные уравнения температурного поля и теплового потока позволяют определить температуры в любой требуемой точке тела (пластины или цилиндра) и определить величину теплового потока.

Температурное поле для шаровой стенки имеет вид

. (4.38)

Тепловой поток определяется по уравнению

, Вт. (4.39)

Указанные уравнения можно использовать для расчета температур в агрегатах и узлах автомобиля. Например, распределение температур по толщине двигателя или стенки кабины можно считать по уравнениям плоских стенок; карданных валов -- по уравнениям цилиндрических стенок; заднего моста, главной передачи -- по уравнениям шаровых стенок.

3. Конвективный теплообмен

3.1 Основные понятия и определения

Конвективный теплообмен это процесс передачи теплоты между твердой поверхностью и окружающей средой, который осуществляется через ламинарный пограничный слой, образующийся в любом случае, а в остальном объеме перенос теплоты осуществляется конвекцией. Различают два вида конвекции: свободную (естественную) и вынужденную. При свободной конвекции жидкость движется за счет разности плотностей, при вынужденной за счет внешних сил (насос, вентилятор, ветер). Основным уравнением конвективного теплообмена в любом случае является уравнение Ньютона, сводящееся к утверждению, что количество теплоты пропорционально поверхности Н и разности температур t:

Q=H(t₁ t₂), (4.40)

где коэффициент пропорциональности коэффициент теплоотдачи (Вт/(м²К)), характеризует величину удельного теплового потока, передаваемого единицей поверхности при градиенте в один градус.

Коэффициент теплоотдачи можно представить в виде

, (4.41)

где -- толщина ламинарного пограничного слоя.

В этом случае оказывается, что зависит от большого количества факторов -- аналогично -- и не имеет аналитического решения. Определение коэффициента теплоотдачи осуществляется экспериментально и это сообщает всему учению о конвективном теплообмене эмпирический характер. Применение теории подобия и теории размерностей дает возможность обобщить опытные данные и свести задачу конвективного теплообмена к зависимости параметров гидродинамического и теплового подобия и этим все учение о конвективном теплообмене приобретает полуэмпирический характер.

3.2 Теория размерностей

Теория размерностей используется в том случае, когда нет дифференциального уравнения, описывающего данный процесс. В условиях вынужденной конвекции величина коэффициента теплоотдачи является функцией по крайней мере шести независимых переменных: весовой скорости u, кг/(м²с); линейного размера l; вязкости , кг/(мс); теплоемкости С, Дж/(кгК); плотности , кг/м³ и теплопроводности , Вт/(мК).

При экспериментальном определении Вт/(м²К) необходимо исследовать зависисмость от шести переменных и провести число опытов , где А -- число опытов с одной переменной, например, А = 10; n -- число независимых переменных. Для данного примера оказывается, что число опытов равно одному миллиону, что является совершенно нереальным. Применение же теории размерностей приводит к сокращению независимых переменных. В условиях вынужденной конвекции коэффициент теплоотдачи является функцией

= (u, l, , С, , ). (4.42)

Полный дифференциал равен:

. (4.43)

Для перехода к безразмерным (относительным) величинам необходимо иметь переменные, не отсчитываемые от постоянного «нулевого» уровня. Разделим полученное уравнение на и одновременно делим и умножаем каждое слагаемое на соответствующие значения (l/l; u/u; / и т. д.), тогда

. (4.44)

Считаем, что соотношения частных производных являются постоянными:

; ; …; ,

тогда получим

. (4.45)

Интегрируем полученное выражение:

ln =i_u ln u+i_l ln l+…+i ln +ln C₀. (4.46)

Потенцируем и получим

. (4.47)

Необходимым условием общности полученного решения должно быть требование безразмерности постоянной С₀ или ее обратной величины:

. (4.48)

Это уравнение не зависит от системы единиц, а в связи с тем, что С₀ является безразмерной, то все единицы измерений (справа) должны входить в это уравнение в «0» степени. Для исключения размерностей составим табл. 2.1.

Таблица 4.1 Размерности и показатели степени при конвективном теплообмене

№ п/п	Наименование величины	Показатель степени	Размерности
			кг	м	с	К	Дж
1	l	il		1	0	0	0
2	u	iu	1	2	1	0	0
3		i	1	1	1	0	0
4		i	1	3	0	0	0
5		i	0	1	1	1	1
6	С	ic	1	0	0	1	1
7		1	0	2	1	1	1

Исключаем размерности:

1 -- (кг) i_u + i + i i_c = 0

2 -- (м) i_l 2i_u i 3i i+ 2 = 0

3 -- (c) i_l i i+ 1 = 0

4 -- (К) i i_c + 1 = 0

5 -- (Дж) i + i_c 1 = 0.

Как видно из последних двух уравнений, полученных исключением размерности, они тождественны, т. к. определяются из теплоемкости воды. Таким образом, имеем 4 независимых уравнения связи при шести независимых переменных. Следовательно, в исходной системе уравнений только два неизвестных показателя подлежат экспериментальному определению, а остальные определяются по полученной системе уравнений в зависимости от этих двух основных. Например, в опыте определены показатели и они соответственно равны: i_u= n; i_c = m (n, m -- число); тогда, используя систему уравнений, получим:

из 4 -- i= 1 i_c= 1 m

из 3 -- i = i_u i 1 = n + 1 + m 1 = m n

из 1 -- i = i_c i_u i = m n m + n = 0

из 2 -- i_l = 2i_u + i + i + 3i 2 = 2n + m n +1 m 2 = n 1.

Подставив полученные значения показателей в (4.48), получим

(4.49)

Преобразуем полученные уравнения, сгруппировав величины с одинаковыми показателями

(4.50)

, (4.51)

где ul/м = щl/н = Re -- критерий Рейнольдса -- критерий гидродина-мического подобия;

мС/л = н/a = Pr -- критерий Прандтля -- критерий теплофизического подобия;

бl/л = Nu -- критерий Нуссельта -- критерий теплового подобия.

Таким образом, на основании теории размерностей получено уравнение связи безразмерных параметров, характеризующих теплообмен в условиях вынужденной конвекции и число независимых переменных снижено с 6 до 2, что обеспечивает возможность их экспериментального определения, и тогда N=Aⁿ=100.

Правильность использования теории размерностей подтверждается р-теоремой, исходя из чего физическое уравнение, содержащее n2 размерных величин, из которых m1 имеют независимые размерности, после приведения их к безразмерному виду должно содержать безразмерных параметров = n - m. В нашем случае = n - m = 6 - 4 = 2. Численные значения постоянных, входящих в уравнение (4.51) С₀, n, m, определяются экспериментально и в зависимости от вида теплообмена приводятся в справочной литературе, некоторые даны в табл. 4.3.

3.3 Теория подобия

При использовании теории подобия необходимо иметь дифференциальное уравнение, описывающее исследуемый процесс. Проводя критериальную обработку этого уравнения, получают состав критериев подобия. Выявление состава критериев подобия осуществляется методом «губки»: в исходном дифференциальном уравнении опускаются знаки дифференциалов, полученные результаты приравниваются, выделяются независимые слагаемые, на основании которых определяются параметры подобия. Для конвективного теплобмена (его математического описания) необходимо иметь: 1) дифференциальное уравнение движения вязкой несжимаемой жидкости -- уравнение Навье -- Стокса; 2) уравнение теплопроводности -- Фурье -- Кирхгофа; 3) уравнение теплообмена на границе твердая поверхность -- окружающая среда -- Био --Фурье. Уравнение движения вязкой несжимаемой жидкости:

(а)

Получаем на основании теории подобия с использованием метода «губки» 5 независимых комплексов (уравнение написано для одномерного потока по оси «Х»).

№ п/п	1	2	3	4	5
комплексы

Группируем полученные независимые комплексы и получаем критерии подобия:

делим

2:1 ; (4.52)

2:5 ; (4.53)

4:2 ; (4.54)

3:2 , (4.55)

где Но -- критерий гомохронности -- гидродинамический критерий одновременности событий;

Re -- критерий Рейнольдса -- параметр гидродинамического подобия режимов движения жидкости, характеризует соотношение сил инерции и сил вязкости;

Eu -- критерий Эйлера -- характеризует соотношение сил инерции и сил давления;

Fr -- критерий Фруда -- характеризует соотношение сил инерции и сил тяжести.

Следует отметить, что полученный основной состав критериев подобия Но, Re, Eu, Fr характеризует режим движения потока и может быть преобразован в любой иной состав критериев подобия умножением или делением исходного состава, но при этом в любом случае должно выполняться условие по возврату любого иного состава критериев подобия к исходному.

Так, вместо критерия Фруда можно использовать критерий Галилея:

(4.56)

, если , то (4.57)

(4.58)

Умножая критерий Ga на относительное изменение плотности (с - с₀/с₀), получим критерий Архимеда. Если с - с₀/с₀ = вДТ происходит за счет разности температур ДТ = Т₁ - Т₂, то получим критерий Грасгофа. Критерий Ar характеризует величину подъемной силы при изучении свободной конвекции жидкости, в которой находятся пузырьки, твердые частицы или капли другой жидкости. Критерий Ga используется вместо критерия Fr, т. к. в него входит скорость потока, которую трудно измерить.

Кроме того, оказывается, что часть критериев является зависимой -- функцией других критериев. Так, критерий Eu зависит от Re, что получается из рассмотрения уравнения Дарси -- Вейсбаха:

, (4.59)

откуда

, (4.60)

с другой стороны

. (4.61)

Вторым уравнением, описывающим процесс конвективного теплообмена при вынужденном движении, является уравнение теплопроводности

(б)

Применяя метод «губки», получим три независимых комплекса:

делим

2:3 ; (4.62)

3:1 . (4.63)

№ п/п	1	2	3
комплексы

Получаем критерии Пекле Pe и Фурье Fо. Критерий Pe характеризует соотношение тепловых потоков, переносимых конвекцией и теплопроводностью. Вместо критерия Pe можно использовать критерий Прандтля, т. к.

. (4.64)

Критерий Fо характеризует одновременность событий, так называемое безразмерное время. Из третьего уравнения теплообмена на границе твердая поверхность -- окружающая среда получим критерий теплового подобия -- критерий Нуссельта Nu:

(в)

№ п/п	1	2
комплексы

2:1 . (4.65)

Таким образом, проведя критериальную обработку дифференциальных уравнений, получим состав критериев подобия:

Nu=(Ho, Fo, Re, Pe, Gr)=₁(Ho, Fo, Re, Pe, Gr). (4.66)

Связь между критериями определяется опытным путем. Следует заметить, что теории размерностей и подобия могут использоваться при изучении любых процессов (гидравлических, механических, экономических).

В табл. 4.2 приводятся критерии тепловых и гидродинамических процессов.

Таблица 4.2 Главнейшие безразмерные критерии тепловых и гидродинамических процессов

Формула	Название критерия	Величины, входящие в критерий	Значение критерия
	Критерий Рейнольдса (критерий режима движения)	скорость потока, м/сек; d эквивалентный диаметр канала; коэффициент кинематической вязкости, м2/сек.	Характеризует гидродинамический режим движения
	Критерий Эйлера (критерий падения давления)	Р перепад давления, Н/м2; плотность жидкости, кг/м3.	Характеризует безразмерную величину падения давления
	Критерий Прандтля (критерий физических свойств жидкости)		Характеризует физические свойства жидкости и способность распространения тепла в жидкости
	Критерий Пекле		Является мерой отношения молекулярного и конвективного переноса тепла в потоке
	Критерий Нуссельта (критерий теплоотдачи)	коэффициент конвективной теплоотдачи, Вт/(м2град)	Характеризует отношение между интенсивностью теплоотдачи и температурным полем в пограничном слое потока
	Критерий Био	l характерный размер тела, м; м коэффициент теплопроводности твердого тела, Вт/(мград)	Характеризует соотношение между внутренним и внешним термическим сопротивлениями
	Критерий Фурье (безразмерное время)	время, сек	Характеризует связь между скоростью изменения температурного поля, физическими константами и размерами тела
	Критерий Грасгофа (критерий подъемной силы)	коэффициент объемного расширения, 1/град; t разность температур в двух точках системы потока и стенки, град	Характеризует кинематическое подобие при свободном движении жидкости

3.4 Критериальные уравнения

При установлении функциональной связи между коэффициентом теплоотдачи и параметрами конвективного теплообмена можно перейти от размерных функций к безразмерным и тогда, используя эксперимент, определять функции типа

Nu=(Re, Pr, Gr, Fo). (4.67)

Формула (4.67) называется критериальным уравнением. Количество переменных (которыми здесь являются критерии подобия), входящих в такую зависимость, всегда значительно меньше, чем в случае установления зависимости в размерном виде. Имея конкретный вид функции (4.67), легко определить величину коэффициента теплоотдачи. Вычисление критериев подобия Re, Pr, Gr и др. не представляет значительных трудностей.

Практическое использование критериальных уравнений и в тепловых расчетах ДВС заключается в определении с их помощью коэффициента теплоотдачи:

(4.68)

3.5 Некоторые случаи теплообмена

Применительно к определенным задачам уравнение (4.67) может быть упрощено. При стационарных процессах теплообмена выпадает критерий Fо и тогда

Nu=(Re, Gr, Pr). (4.69)

В случае вынужденного движения жидкости и при развитом турбулентном режиме свободная конвекция в сравнении с вынужденной очень мала, поэтому уравнение подобия теплоотдачи упрощается:

Nu=(Re, Pr). (4.70)

Для некоторых газов величина числа Прандтля -- Pr -- в процессе конвективного теплообмена почти не изменяется с температурой, поэтому уравнение подобия принимает более простой вид:

Nu=(Re). (4.71)

При свободном движении жидкости, когда вынужденная конвекция отсутствует, вместо числа Рейнольдса в уравнение подобия теплоотдачи необходимо ввести число Грасгофа и получаем:

Nu=(Gr, Pr). (4.72)

Итак, теория подобия позволяет, не интегрируя дифференциальных уравнений, получить из них критерии подобия и установить критериальные зависимости, которые справедливы для всех подобных между собой процессов. Однако следует помнить, что такие обобщенные зависимости ограничены условиями подобия, из них нельзя делать заключения, выходящие за пределы этих ограничений. Общего решения теория подобия не дает: она позволяет лишь обобщить опытные данные в области, ограниченной условиями подобия. При использовании метода подобия об этих ограничениях всегда нужно помнить.

3.6 Расчетные зависимости конвективного теплообмена

В качестве конкретной формы расчетных уравнений обычно принимается степенная зависимость в виде

y = Ax^mu^np. (4.73)

Она наиболее проста и гибка. Подробно математическая обработка результатов экспериментов рассматривается в специальной литературе. Мы ограничиваемся рассмотрением некоторых вопросов конвективного теплообмена, встречающихся при тепловых расчетах агрегатов ДВС.

Установившийся конвективный теплообмен в общем случае описывается следующим уравнением подобия (капельные жидкости):

(4.74)

Введение множителя в уравнения подобия для капельных жидкостей дает возможность использовать эти уравнения при любом направлении теплового потока (от стенки к среде и наоборот) и учесть изменение теплофизических свойств среды. Индексы «ж» и «с» означают, что теплофизические параметры жидкости следует выбирать при средней ее температуре и, соответственно, при средней температуре стенки.

3.7 Теплообмен при естественной конвекции

Для расчета коэффициента теплоотдачи в условиях естественной конвекции в большом объеме теплоносителя обычно пользуются критериальной зависимостью вида

Nu=C(GrPr)ⁿ. (4.75)

Значения коэффицента С и показателя степени «n» в зависимости от произведения GrPr приведены в табл. 4.3.

В качестве определяющей температуры принята средняя температура пограничного слоя:

, (4.76)

где t_ст -- температура стенки, ?С;

t_ж -- температура жидкости (среды) на большом удалении от нагретого тела, ?С.

По формуле (4.75) можно рассчитывать теплоотдачу от поверхностей практически любой формы: вертикальных и горизонтальных труб, шаров, вертикальных пластин (для горизонтальных труб и шаров определяющим линейным размером, входящим в критерии Nu и Gr, является диаметр d, для вертикальных труб и пластин -- высота h). Более того, если значения коэффициента «С» увеличить на 30% по сравнению с приведенным в табл. 4.3, то формулой можно пользоваться и для расчета б от горизонтальной плиты, обращенной греющей стороной вверх. Если греющая сторона обращена вниз, то значение «С» следует уменьшить на 30%. В обоих случаях определяющим является наименьший размер плиты в плане.

Таблица 4.3 Значения величин С и n

Условия движения	GrPr	C	n
На горизонтальной трубе	103…109	0,50	0,25
Вдоль вертикальной стенки	103…109	0,75	0,25
Вдоль вертикальной стенки	свыше 1010	0,15	0,33

Довольно часто приходится рассчитывать теплообмен естественной конвекции в узких глухих каналах. Как показывает эксперимент, большинство случаев теплопереноса в таких условиях (даже не подобных -- например, в вертикальных, горизонтальных, кольцевых щелях) можно приближенно объединить общей расчетной методикой. Среднюю плотность теплового потока q между поверхностями, разделенными прослойкой газа или жидкости толщиной д, можно рассчитывать как в случае переноса теплоты теплопроводностью через плоскую стенку:

(4.77)

где t_c1 и t_c2 -- большая и меньшая температуры ограждающих поверхностей;

л_э -- эквивалентный коэффициент теплопроводности, учитывающий и конвективный перенос теплоты.

При (GrPr)10³ естественную конвекцию можно вообще не учитывать, считая л_э=л_ж. При (GrPr)10³ значение л_э становится заметно больше, чем л_ж, и рассчитывается по формуле л_э=е_кл_ж. Величина поправки на конвекцию определяется зависимостью

_к=0,18 (GrPr)^0,25. (4.78)

Определяющий размер при расчете Gr -- толщина прослойки д, а определяющая температура Ї средняя между поверхностями:

t_ср=0,5 (t_c1+t_c2).

3.8 Теплоотдача при вынужденном движении жидкости в трубах и каналах

Интенсивность теплообмена в прямых гладких трубах зависит от режима течения потока, определяемого величиной Re=щd/н. Если ReRe_кр, то режим течения ламинарный. При движении жидкости в трубах Re_кр=210³. Развитый турбулентный режим течения устанавливается при значениях Re10⁴; Re=210³110⁴ соответствует переходному режиму. При ламинарном движении происходит значительное изменение температуры по сечению трубы и, соответственно, изменение плотности текущей жидкости. Вследствие этого на вынужденное движение теплоносителя накладывается свободное движение. Интенсивность свободного движения характеризуется числом Грасгофа. Средний по длине трубы коэффициент теплоотдачи при вынужденном ламинарном движении жидкости в трубе, учитывающий влияние свободной конвекции, определяется, исходя из критерия Nu:

(4.79)

Уравнение (4.79), предложенное академиком М.А. Михеевым, используется для оценки теплоотдачи в трубах и каналах при Re2000 и вязкостно-гравитационном режиме течения,. Это уравнение определяет среднюю теплоотдачу в трубах и каналах различного поперечного сечения. За определяющий размер здесь принят диаметр трубы или эквивалентный диаметр канала:

d_э=4F/P, (4.80)

где P -- периметр канала:

F -- площадь его поперечного сечения.

Коэффициент е_l в формуле (4.79) зависит от отношения l/d, где l Ї длина трубы. При l/d50, е_l=1. Значение для коротких труб выбирается в зависимости от l/d:

Таблица 4.4 Значение коэффициента е_l

	1	2	5	10	15	20	30	40	50
l	1,9	1,7	1,44	1,28	1,18	1,13	1,05	1,02	1

При турбулентном режиме жидкость в потоке весьма интенсивно перемешивается и естественная конвекция практически не оказывает влияния на интенсивность теплообмена. Для определения среднего по длине трубы коэффициента теплоотдачи при развитом турбулентном движении (Re10⁴) академик М.А. Михеев рекомендовал следующее уравнение подобия:

. (4.81)

В уравнение (4.81) не входит критерий Грасгофа, так как свободное движение не оказывает влияния на теплоотдачу. Уравнение (4.81) справедливо для различной формы поперечного сечения канала, в том числе для кольцевого (d₂/d₁=15,6) и щелевого (а/b=140).

За определяющую температуру в уравнениях (4.81) и 4.79) принята средняя температура потока жидкости. За определяющий геометрический размер -- диаметр трубы или эквивалентный диаметр канала любой формы.

Для воздуха формула (4.81) упрощается:

Nu=0,018Re^0,8. (4.82)

При переходном режиме течения теплоотдача не может быть описана единым уравнением подобия, так как при этих условиях характер движения и теплообмена зависит от многих факторов, трудно подда-ющихся количественной оценке. При Re=idem соотношение между возможными максимальными коэффициентами теплоотдачи составляет 20100. Поэтому для этой области режимов теплообмена можно определить только наиболее вероятные значения коэффициентов теплоотдачи по уравнению

(4.83)

Величина к₀ выбирается в зависимости от величины критерия Re.

Таблица 4.5 Значение величины к₀

Re103	2,2	2,3	2,5	3,0	3,5	4	5	6	7	8	9	10
к0	2,2	3,6	4,9	7,5	10	12,2	16,5	20	24	27	30	33

3.9 Теплоотдача при поперечном обтекании труб

Процесс теплоотдачи при поперечном обтекании труб имеет особенности, которые обусловлены гидродинамикой движения жидкости вблизи поверхности трубы.

Для определения коэффициента теплоотдачи при поперечном омывании одиночной трубы используют следующие уравнения подобия:

при Re=510³

; (4.84)

при Re=10³210⁵

 (4.85)

За определяющий линейный размер принят внешний диаметр трубы; за определяющую температуру -- температура потока; скорость жидкости отнесена к самому узкому сечению канала, в котором расположена труба.

При омывании поперечным потоком жидкости пучка труб интенсивность теплоотдачи зависит не только от факторов, влияющих на теплоотдачу одиночной трубы, но и от взаимного расположения труб в пучке, а также от плотности пучка. В теплообменных устройствах с целью увеличения поверхности теплообмена трубы собирают в пучок. Применяются два вида расположения труб в пучках: коридорное и шахматное.

Средний коэффициент теплоотдачи при Re=10³10⁵ может быть определен из уравнения

(4.86)

Для шахматных пучков С=0,41; n=0,6; для коридорных пучков С=0,26; n=0,65. Поправочный коэффициент _s учитывает влияние относительных шагов; для шахматного пучка при S₁/S₂2; _s=(S₁/S₂)^1/6, при S₁/S₂2; _s=1,12; для коридорного пучка _s=(S₁/S₂)^-0,15.

4. Тепловое излучение

4.1 Основные понятия и определения

Тепловое излучение представляет собой процесс распространения внутренней энергии нагретого тела путем электромагнитных волн. Возбудителями этих волн являются электрически заряженные материальные частицы, т. е. электроны и ионы, входящие в состав вещества. Помимо волновых свойств излучение обладает также корпускулярными свойствами. Корпускулярные свойства состоят в том, что лучистая энергия излучается и поглощается веществом не непрерывно в виде бесконечной электромагнитной волны, а в виде определенных порций, так называемых квантов энергии излучения. По современным представлениям, носителями этих порций (квантов) электромагнитной энергии являются элементарные частицы излучения -- фотоны, обладающие энергией, количеством движения и электромагнитной массой.

Таким образом, излучение обладает волновой и корпускулярной (квантовой) природой. Согласно этому, энергия и импульсы сосредотачиваются в фотонах, а вероятность нахождения их в том или ином месте пространства -- в волнах. Соответственно этому излучение характеризуется длиной волны (л) или частотой колебаний (н=с/л). Все виды электромагнитного излучения имеют одинаковую природу и различаются лишь длиной волны, в зависимости от которой различают космическое, г- излучение, рентгеновское, ультрафиолетовое, видимое (световые лучи), инфракрасное и т. д.

Для теплообмена имеет значение излучение, энергия которого при поглощении его веществом превращается в тепловую и наоборот. В наибольшей степени такими свойствами обладает излучение с длиной волн от 0,4 до 800 мкм. Это излучение называют тепловым. Оно состоит из видимого (светового) излучения (от 0,4 до 0,8 мкм) и из инфракрасного излучения (от 0,8 до 800 мкм). В области температур до 2000?С основную роль в теплообмене играет второе, т. е. инфракрасное излучение.

Тепловое излучение -- сложный процесс, связанный с двойным преобразованием энергии: сначала переход тепловой энергии в излучение электромагнитных волн, затем движение волн (фотонов) и, наконец, поглощение электромагнитных колебаний поглощающей средой или телом (абсорбция) -- еще одно преобразование энергии.

Большинство твердых и жидких тел имеет сплошной (непрерывный) спектр излучения, т. е. излучает энергию всех длин волн от 0 до . К твердым телам, имеющим непрерывный спектр излучения, относятся непроводники и полупроводники электричества, металлы с окисленной шероховатой поверхностью. Некоторые тела излучают энергию только в определенных интервалах длин волн, т. е. излучают энергию с прерывистым спектром. К ним относятся чистые металлы, газы и пары, которые характеризуются выборочным или селективным излучением.

4.2 Виды лучистых потоков

Количество энергии, излучаемое поверхностью тела во всем интервале длин волн (от =0 до =) в единицу времени, называется интегральным (полным) потоком излучения Q (Вт). Излучение, соответствующее узкому интервалу длин волн, называется монохроматическим. Количество энергии, излучаемое единицей поверхности тела в единицу времени, называется излучательной способностью тела Е (Вт/м²) или плотностью интегрального излучения. Излучательная способность тела, отнесенная к определенной волне излучения, называется интенсивностью излучения J (Вт/м³).

Лучистый поток Q, падающий на тело, частично им поглощается Q_A, частично отражается Q_R, частично проходит сквозь тело Q_D (рис. 4.6).



Рис. 4.6. Схема распределения падающей лучистой энергии

Количество лучистой энергии, падающей на данное тело, можно записать:

Q=Q_A+Q_R+Q_D (4.87)

Разделив обе части равенства на Q и обозначив

Q_A/Q=A, Q_R/Q=R, Q_D/Q=D,

получим

1=A+R+D. (4.88)

Коэффициенты A, R, D характеризуют соответственно поглощательную, отражательную и пропускную (прозрачность) способность тела. В связи с этим они именуются коэффициентами поглощения, отражения и пропускания, которые для различных тел могут изменяться от 0 до 1.

Если А=1, то R=D=0; это означает, что вся падающая лучистая энергия полностью поглощается телом. Такие тела называются абсолютно черными или просто черными.

Если R=1, то A=D=0; это означает, что вся падающая лучистая энергия полностью отражается телом. При этом, если отражение правильное, тела называются зеркальными; если же отражение диффузное, -- абсолютно белыми.

Если D=1, то A=R=0; это означает, что вся падающая энергия полностью проходит сквозь тело. Такие тела называются абсолютно прозрачными (проницаемыми) или диатермичными.

В природе абсолютно черных, белых и прозрачных тел не существует; тем не менее понятие о них является очень важным для сравнения с реальными поверхностями.

Если бы тело не испытывало излучение извне, то излучаемая телом энергия представляла бы так называемое собственное излучение Е_соб. Однако практически всегда на рассматриваемое тело падает лучистая энергия Е_пад других тел. В этом случае, если тело частично отражает падающую на него лучистую энергию, то полное излучение тела, называемое эффективным излучением, (рис. 4.7), запишется:

Е_эф=Е_соб+Е_отр=Е_соб+RЕ_пад. (4.89)

Эффективное излучение зависит не только от физических свойств и температуры данного тела, но и физических свойств и температуры окружающих его тел. Кроме того, оно зависит от форм, размеров и относительного расположения тел в пространстве. Вследствие этих факторов физические свойства эффективного и собственного излучения различны.



Рис. 4.7. Классификация потоков излучения

Лучистый теплообмен между телами определяется потоком результирующего излучения. Результирующее излучение представляет собой разность между лучистым потоком, получаемым данным телом, и лучистым потоком, который оно посылает в окружающее его пространство (см. рис. 4.7):

q_рез=Е_соб Е_погл=Е_соб АЕ_пад. (4.90)

Результирующий поток излучения может быть величиной положительной, отрицательной и равной нулю (при равновесном излучении).

4.3 Законы теплового излучения

Законы теплового излучения получены применительно к идеальному абсолютно черному телу и к условиям термического равновесия.

Закон Планка

Разрабатывая квантовую теорию излучения, М. Планк (1900 г.) теоретически установил зависимость спектральной плотности потока излучения абсолютно черного тела от абсолютной температуры и длины волны:

, (4.91)

где -- длина волны, м;

е -- основание натурального логарифма;

с₁=3,7410¹⁶, Вт/м² -- первая постоянная Планка;

с₂=1,4410², мК -- вторая постоянная Планка.

Рис. 4.8. Графическое представление закона Планка

На рис. 4.8 дано графическое представление закона Планка. Из приведенных на графике изотерм видно, что интенсивность излучения вначале, на участке у коротких волн, быстро возрастает до максимума, а затем медленно убывает. При одной и той же длине волны интенсивность излучения тем больше, чем больше температура тела.

Закон смещения (Вина)

На основе термодинамического рассмотрения черного равновесного излучения В. Вин в 1893 г. установил следующую связь между абсолютной температурой Т и длиной волны л_макс, которой соответствует максимальная интенсивность излучения:

л_максТ=в=const. (4.92)

Уравнение (4.93) является математической формулировкой закона смещения (Вина), из которого следует, что при увеличении температуры равновесной системы максимум спектральной объемной плотности энергии равновесного излучения (интенсивности излучения) -- J_0л смещается в сторону более коротких длин волн. Например, для солнечного излучения (Т6000 К) максимум интенсивности падает на видимый участок спектра (_макс=0,5 мкм). Для температур, встречающихся в технических устройствах (ниже 2000 К), максимум интенсивности приходится на тепловые (инфракрасные) лучи.

Для того, чтобы определить конкретные значения _макс при задании различных температур Т, необходимо знать величину «в», называемую постоянной Вина; теоретические исследования Планка позволили произвести независимое определение «в», и, в соответствии с современными данными, ее значение равно: в=2,897810³ мК.

Подставляя значение произведения _максТ из (4.92) в формулу Планка (4.91), получим для максимума интенсивности (J₀)_макс следующее уравнение:

(J₀)_макс=с₃Т⁵ Вт/м³,

с₃=1,30910⁵ Вт/(м³К⁵).

Таким образом, максимальная интенсивность излучения пропорциональна пятой степени температуры абсолютно черного тела.

Закон И. Стефана -- Л. Больцмана

Закон Стефана -- Больцмана устанавливает зависимость плотности потока интегрального полусферического излучения от температуры. Эта зависимость задолго до появления квантовой теории Планка впервые экспериментально (путем измерений собственного излучения модели черного тела) была установлена Стефаном (1879 г.). Позднее (1884 г.) она теоретически (исходя из законов термодинамики) была получена Больцманом. Поэтому закон получил объединенное название Стефана -- Больцмана. Закон Стефана -- Больцмана для поверхностной плотности потока интегрального излучения Е₀, Вт/м² можно выразить следующим образом:

В результате интегрирования получаем

Е₀=₀Т⁴, Вт/м², (4.93)

где ₀=5,6710⁸, Вт/(м²К) -- константа излучения абсолютно черного тела.

В технических расчетах для удобства пользования константу ₀ увеличивают в 10⁸ раз, а для компенсации в формуле (2.93) температуру делят на 100. Тогда закон Стефана -- Больцмана приобретает вид

, (4.94)

где с₀=5,67 Вт/(м²К⁴) -- коэффициент излучения абсолютно черного тела.

Закон Стефана -- Больцмана может быть применен и к серым телам. В этом случае используется положение о том, что у серых тел, так же, как и у черных, собственное излучение пропорционально абсолютной температуре в четвертой степени, но энергия излучения меньше, чем энергия излучения черного тела при той же температуре.

Для серых тел этот закон имеет вид

, (4.95)

где е=Е/Е₀=с/с₀1 -- интегральная степень черноты серого тела представляет собой относительную излучательную способность серого тела.

Таким образом, степень черноты представляет собой отношение излучательной способности реального серого тела к излучательной способности абсолютно черного тела при той же температуре. Степень черноты (относительный коэффициент излучения) серого тела зависит от природы тела, температуры, состояния поверхности и в большинстве случаев определяется экспериментальным путем.

Закон Кирхгофа

Закон Кирхгофа устанавливает связь между излучательной и поглощательной способностями тела. В 1860 г. немецким физиком Г. Кирхгофом, исходившим из второго начала териодинамики, теоретически было установлено, что отношение излучательной способности абсолютно черного тела к его поглощательной способности является функцией только длины волны и абсолютной температуры. Эта функция является универсальной для всех тел, находящихся при одинаковой температуре. Исследованиями Кирхгофа было положено начало количественной теории теплового излучения.

Уравнение, выражающее закон Кирхгофа, можно записать в общем виде:

. (4.96)

На основании этого уравнения можно сделать вывод, что для любого тела отношение его излучательной способности к поглощательной способности равно излучательной способности абсолютно черного тела при той же температуре и зависит только от температуры.

Подставляя в уравнение (4.96) вместо значений

,

и т.д.

и сокращая обе части равенства на (Т/100)⁴, получим

...