Сопротивление материалов. Основы теории и примеры выполнения индивидуальных расчетных заданий

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ и науки РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет (Сибстрин)

Учебное пособие

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

ОСНОВЫ ТЕОРИИ И ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ РАСЧЕТНЫХ ЗАДАНИЙ

Часть 1

Издание 3 (переработанное и дополненное)

Ф.С. Валиев

НОВОСИБИРСК 2005



УДК 539.3/6

ББК 30.121

В155

Валиев Ф.С.

Сопротивление материалов: основы теории и примеры выполнения индивидуальных расчетных заданий: учеб. пособие; 3-е изд. перераб. и доп. / Ф.С. Валиев; Новосиб. гос. архитектур.-строит. ун-т. - Новосибирск: НГАСУ, 2005. - Ч. 1. - 156 с.

ISBN 5-7795-0253-6

В учебном пособии даны основы теории первой части курса «Сопротивление материалов», примеры выполнения индивидуальных расчетных заданий, а также решение типовых задач.

Предназначено для студентов всех направлений и специальностей всех форм обучения, изучающих курс «Сопротивление материалов». Пособие будет полезно и для студентов специальности «Экономика и управление на предприятии (в строительстве)», изучающих объединенный курс «Основы строительной механики», где больший объем курса составляет раздел «Сопротивление материалов».

Печатается по решению издательско-библиотечного совета НГАСУ

Рецензенты:

А.А. Крамаренко, канд. техн. наук, профессор кафедры строительной механики НГАСУ;

И.А. Чаплинский, д-р техн. наук, профессор кафедры строительной механики НГАСУ;

В.А. Шутов, д-р техн. наук, профессор завкафедрой общетехнических наук НАрхИ

ISBN 5-7795-0253-6

Валиев Ф.С., 2005

НГАСУ (Сибстрин), 2005



ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ

ВВЕДЕНИЕ

1. ОБЩИЕ ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ, ОФОРМЛЕНИЯ И СДАЧИ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ И КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

2. ВНУТРЕННИЕ УСИЛИЯ В ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЯХ СТЕРЖНЕЙ. МЕТОД СЕЧЕНИЙ

3. ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ

3.1 Построение эпюр продольных сил

3.2 Методы расчета строительных конструкций

3.3 Определение напряжений и расчеты на прочность при центральном растяжении-сжатии

3.4 Напряжения на наклонных площадках

3.5 Деформации участков стержня и перемещения сечений. Условия жесткости

3.6 Статически неопределимые задачи

3.7 Контрольные вопросы по теме

4. ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ В ТОЧКЕ. ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ

4.1 Главные площадки и главные напряжения. Классификация напряженных состояний

4.2 Исследование плоского напряженного состояния

4.3 Исследование объемного напряженного состояния

4.4 Деформированное состояние в точке. Обобщенный закон Гука

4.5 Понятие об объемной деформации. Потенциальная энергия деформации

4.6 Теории прочности

4.7 Контрольные вопросы по теме

5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ

5.1 Основные положения и определения

5.2 Моменты инерции простых сечений

5.3 Главные центральные моменты инерции сложных симметричных сечений

5.4 Главные центральные моменты инерции сложных сечений произвольной формы

5.5 Контрольные вопросы по теме

6. ДЕФОРМАЦИЯ КРУЧЕНИЯ ПРЯМЫХ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ БРУСЬЕВ

6.1 Определение напряжений и расчеты на прочность при деформации кручения брусьев круглого сечения

6.2 Определение углов закручивания брусьев круглого поперечного сечения и расчеты на жесткость

6.3 Деформация кручения брусьев прямоугольного сечения

6.4 Статически неопределимые задачи при деформации кручения

6.5 Кручение бруса круглого сечения в упругопластической стадии

6.6 Контрольные вопросы по теме

7. ПРЯМОЙ ИЗГИБ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ БАЛОК

7.1 Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил

7.2 Расчеты на прочность

7.3 Расчет по методу предельной несущей способности

7.4 Примеры расчета

7.5 Контрольные вопросы по теме

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ

В данном издании добавлены глава 2 "Внутренние усилия в поперечных сечениях стержней. Метод сечений" и глава 3 "Основы теории напряженно-деформированного состояния в точке. Теории прочности".

Кроме того, исправлены выявленные опечатки, приведены дополнительные примеры (по расчету брусьев прямоугольного сечения при кручении, по расчету статически неопределимой шарнирно-стержневой системы, по полной проверке прочности балки и по геометрии сечений).

Выполнены и ряд других изменений и исправлений, направленных на улучшение изложения материала и на возможность использования данной работы студентами всех направлений и специальностей всех форм обучения. В конце каждой главы добавлены контрольные вопросы по соответствующей теме.



ВВЕДЕНИЕ

Среди общепрофессиональных дисциплин в техническом вузе одной из важнейших является курс "Сопротивление материалов".

Инженеру-строителю приходится производить расчеты на прочность, жесткость и устойчивость конструкций и их элементов. Неправильный расчет элемента конструкции может привести к разрушению всей конструкции в целом. При расчете нужно стремиться к сочетанию надежности работы конструкции с наименьшим расходом материала.

Необходимо научиться решать задачи самостоятельно после предварительного изучения теории по соответствующей теме. Если при решении задач возникнут затруднения, надо воспользоваться имеющимися в учебных пособиях указаниями к решению подобных задач. Решение задачи нужно сопровождать четкими схемами и чертежами.

Изученный материал следует обязательно закрепить, находя ответы на контрольные вопросы, которые приводятся в конце каждой темы.

Настоящее учебное пособие адресуется в помощь студентам всех форм обучения всех направлений и специальностей НГАСУ для самостоятельного изучения курса "Сопротивление материалов". Оно будет полезно для студентов вечерней и дневной форм обучения при выполнении индивидуальных заданий и студентам-заочникам при выполнении ими контрольных работ, а также при подготовке к зачетам и экзаменам.

В пособии даны решения различных задач по следующим основным темам первой части курса сопротивления материалов, по которым студенты выполняют индивидуальные расчетно-проектировочные задания и контрольные работы: центральное растяжение и сжатие, основы теории напряженно-деформированного состояния, геометрические характеристики плоских сечений, кручение брусьев круглого и прямоугольного сечений, прямой изгиб (без определения перемещений сечений). Показана общая методика решения задач с краткими объяснениями из теории. По каждой теме решены несколько типовых задач.

Во всех задачах, связанных с расчетом на прочность при всех простых видах сопротивлений приведены примеры на построение эпюр внутренних силовых факторов.

Студенты при подготовке к экзаменам должны самостоятельно решить установленное для соответствующей специальности количество задач согласно учебной программе. Исходные данные к задачам студент выбирает самостоятельно, в соответствии со своим вариантом из таблиц, которые прилагаются к каждой задаче в отдельном сборнике заданий [5].

Студентам дневной и вечерней форм обучения номера задач и варианты исходных данных, а также номера расчетных схем по каждой задаче дает преподаватель в часы практических занятий.



1. ОБЩИЕ ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ, ОФОРМЛЕНИЯ И СДАЧИ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ И КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

При выполнении индивидуальных заданий и контрольных работ важно:

а) приступать к выполнению задания только после изучения соответствующей темы;

б) начинать работу над заданием с той недели, когда оно выдано, не откладывая ее на более поздний срок;

в) выполненную часть задания обязательно приносить на практическое занятие, где преподаватель отмечает ход выполнения задания в своем журнале и, при необходимости, укажет на ошибки;

г) каждое задание выполняется на миллиметровой бумаге формата А2 (594420 мм) с полями 20 мм слева и по 5 мм с других сторон. В правом нижнем углу необходимо выполнить штамп (185x55 мм), где указать: название кафедры, название вуза, название темы, фамилию и инициалы студента и преподавателя, проверяющего задание, а также номер группы.

Разрешается также оформлять задание на листах писчей бумаги формата А4 (297210 мм). В этом случае эти листы должны быть сброшюрованы с переплетом из плотной бумаги. На лицевой стороне переплета оформляется титульный лист.

В обоих случаях задание необходимо оформлять аккуратно, без поправок и помарок с выполнением правил строительного черчения и с использованием чертежных инструментов. Разрешается любой способ оформления (чернила, карандаш, тушь) вручную или с набором на компьютере.

Перед решением задачи индивидуального задания необходимо выписать для заданного варианта полное условие с числовыми данными, написать текст задания (что требуется), составить аккуратный чертеж с соблюдением масштаба и показать на нем все размеры в числах.

Каждый этап решения задачи должен быть озаглавлен.

При выполнении расчетов сначала записывается формула, в нее подставляются исходные данные в системе СИ и подсчитывается результат. Промежуточные выкладки нужно приводить только для громоздких формул. При подборе сечения стержней полученный размер округляется до соответствующих размеров по ГОСТу.

Решение должно сопровождаться краткими, последовательными и грамотными, без сокращения слов, объяснениями и чертежами, на которых должны быть показаны все размеры в числах. Нужно обязательно указывать единицы измерения всех полученных результатов.

Задание, выполненное небрежно, без соблюдения всех перечисленных требований, не принимается.

Сдача и защита индивидуальных заданий производится в сроки, установленные графиком учебного процесса, в основном в часы консультаций в следующем порядке:

преподаватель проверяет выполненное задание, указывает на ошибки, если они имеются, и задает несколько вопросов по теме задания;

при удовлетворительных ответах на вопросы студенту предлагается небольшая задача по этой же теме для решения в присутствии преподавателя;

если в задании были обнаружены не очень значительные ошибки, они могут быть исправлены тут же в аудитории и задание повторно сдается преподавателю. При наличии существенных ошибок задание дорабатывается студентом дома и сдается преподавателю на следующей консультации;

задание не засчитывается, если студент не смог ответить на вопросы по теме или не смог решить предложенную задачу. После дополнительного изучения темы он повторно допускается к защите задания.

Контрольные вопросы к защите задания, а также типовые задачи для защиты, как правило, заранее доводятся до сведения студентов.

Каждая контрольная работа студентами-заочниками выполняется в отдельной тетради. Решение задачи начинается с новой страницы, при этом сначала приводится краткая запись условий задачи и исходные данные. Чертежи можно выполнять на чертежной или миллиметровой бумаге формата тетрадного листа.



2. ВНУТРЕННИЕ УСИЛИЯ В ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЯХ СТЕРЖНЕЙ. МЕТОД СЕЧЕНИЙ

Элементы сооружений и конструкций представляют собой тела различных размеров и форм, выполненные из твердых деформируемых материалов. Под действием внешних сил эти тела деформируются, т.е. меняют свои первоначальные размеры и форму. Вследствие деформации первоначальные расстояния между частицами тела изменяются, и в материале появляются дополнительные силы внутреннего взаимодействия частиц. Именно от величины и характера распределения этих дополнительных сил внутреннего взаимодействия зависит надежность работы сооружения. Поэтому необходимо в первую очередь научиться определять эти силы, называемые в дальнейшем внутренними усилиями или внутренними силовыми факторами для расчетов сооружения и его элементов на прочность, жесткость и устойчивость.

В курсе "Сопротивление материалов" основным объектом всех расчетов, как правило, является стержень. Под стержнем или брусом понимают тело, один размер которого значительно больше двух других.

Если площадь поперечного сечения А по длине бруса постоянна, а линия, соединяющая центры тяжестей сечения прямая, то стержень называется прямым призматическим.

В общем случае площадь сечения А может непрерывно или ступенями изменяться вдоль продольной оси стержня, а продольная ось может иметь как прямолинейные, так и криволинейные участки.

Для определения внутренних усилий используется метод сечений. Рассмотрим суть этого метода на примере с прямым призматическим стержнем.

Пусть требуется определить внутренние усилия в произвольном сечении а-а бруса, находящегося в равновесии в пространстве под действием системы внешних сил Fi (рис. 2.1а).

Мысленно рассечем стержень (брус) в сечении а-а плоскостью "С", перпендикулярной продольной оси, отбросим одну часть, например часть "В", и рассмотрим оставшуюся (в данном случае левую) часть "А". Рассматриваемая часть "А" будет находиться в равновесии, если к ней приложить систему усилий, распределенных по площади сечения. Эти усилия, заменяющие действие отброшенной части на рассматриваемую и есть внутренние усилия в сечении а-а. Согласно закону о равенстве действия и противодействия, внутренние усилия, которые приложены к части "А" в сечении а-а, равны и противоположны по направлению внутренним усилиям, действующим на часть "В" в том же сечении.

Рис. 2.1

В теоретической механике показано, что любая система сил, (в том числе и внутренних усилий, распределенных по какому-то закону по площади поперечного сечения а-а), может быть приведена к главному вектору R и вектору главного момента М. За центр приведения может быть выбрана любая точка поперечного сечения. В сопротивлении материалов за эту точку целесообразно принимать центр тяжести поперечного сечения

Сила R называется главным вектором, а момент М - главным моментом системы внутренних сил, действующих в данном сечении (рис. 2.1б).

Главный вектор R раскладывается на две составляющие силы: силу N, направленную вдоль оси бруса и называемую продольной силой, и силу Т, действующую в плоскости поперечного сечения и называемую поперечной силой (рис. 2.1в).

Главный момент М раскладывается на три составляющих момента: момент МХ = Мt, действующий в плоскости поперечного сечения (относительно продольной оси бруса Х) и называемый крутящим моментом, и моменты МZ и МY, действующие относительно двух взаимно перпендикулярных осей Z и Y, проходящих через центр тяжести сечения, лежащих в плоскости поперечного сечения, и называемые изгибающими моментами.

В дальнейшем более удобно для расчетов силу Т разложить на две составляющие ее поперечные силы QZ и QY, параллельные двум взаимно перпендикулярным осям, расположенным в плоскости поперечного сечения бруса (рис. 2.1в). Причем при расчетах на прочность оси Z и Y должны совпадать с главными центральными осями инерции поперечного сечения, о которых будет сказано далее в главе 5. Таким образом, в плоскости поперечного сечения в общем случае силы взаимодействия частей А и В между собой характеризуются шестью составляющими внутренних силовых факторов (или внутренних усилий): N - продольная (осевая) сила, QY и QZ - поперечные силы, МХ = Мt - крутящий момент, МZ и МY - изгибающие моменты.

Числовые значения этих сил нетрудно найти из шести уравнений равновесия для рассматриваемой части стержня с приложенными к ней приведенными выше внутренними усилиями:

; N +;

; QY + ;

; Qz +;

; MX +;

; MY +;

; MZ +.

В каждое из этих уравнений будет входить только по одному неизвестному внутреннему усилию, которое легко определить. В верхнем индексе буквы лев означают, что суммируются проекции сил и моменты сил, действующих слева от сечения.

В некоторых случаях часть составляющих внутренних усилий будет равняться нулю, в зависимости от этого различают и виды деформаций:

- если в сечении имеется отличная от нуля только продольная сила N, а остальные внутренние силы равны нулю - имеет место один из простых видов сопротивления - центральное растяжение-сжатие;

- если отличным от нуля является только крутящий момент, а остальные внутренние силы равны нулю, то имеет место другой вид простого сопротивления - кручение;

- если отличными от нуля являются поперечная сила QY и изгибающий момент МZ, а остальные внутренние усилия равны нулю имеет место тоже один из простых видов сопротивления - прямой изгиб (при условии, что оси Z и Y являются главными осями инерции и центр тяжести совпадает с центром изгиба).

Правила знаков для внутренних усилий и примеры практического использования метода сечений при определении внутренних усилий рассмотрим в последующих главах при названных видах простых сопротивлений с определением внутренних усилий в сечениях стержней, построением их эпюр и дальнейшим расчетом их на прочность.



3. ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ

3.1 Построение эпюр продольных сил

Центральным растяжением (или сжатием) называется такой вид деформации, при котором в поперечных сечениях бруса возникает отличный от нуля только один внутренний силовой фактор - продольная сила, а все остальные внутренние силовые факторы равны нулю. Это бывает в случаях, когда линия действия равнодействующей внешних сил совпадает с продольной осью стержня.

Правило знаков: растягивающие продольные силы принято считать положительными, а сжимающие - отрицательными.

Для определения величины продольной силы N используется метод сечений, суть которого была рассмотрена в предыдущей главе. Покажем использование этого метода для рассматриваемого случая:

а) мысленно рассекаем брус сечением n-n (рис. 3.1а) на расстоянии х от выбранного начала координат. Начало координат можно помещать в начале каждого грузового участка (местная или локальная система координат) или оставлять в начале стержня (общая или глобальная система координат);

б) отбрасываем любую часть (рационально отбросить ту часть, на которую действует больше сил или ту, где имеется опора, но опорная реакция еще не определена);

в) заменяем действие отброшенной части продольной положительной (направленной от сечения, т.е. растягивающей) силой N(х) (рис. 3.1б);

г) составив уравнение равновесия рассматриваемой отсеченной части, определим величину продольной силы или ее функцию N(х). При этом полученное в результате положительное значение N соответствует растягивающей продольной силе, а отрицательное - сжимающей.

При использовании приведенного выше метода сечений необходимо иметь ввиду: если рассматривается равновесие части бруса, включающей в себя опорные связи, необходимо предварительно определить реакции опор, так как они относятся к разряду внешних сил.

Составим уравнение равновесия для части, изображенной на рис. 3.1б, из которого получаем выражение для определения продольной силы N(х) на данном грузовом участке:

Если такие сечения проводить в пределах каждого грузового участка, то получим функции продольных сил на этих участках.

Часть бруса, в пределах которой закон изменения внутренних усилий описывается одним аналитическим выражением, называется грузовым участком.

Внешними признаками границ грузовых участков являются: места приложения внешних сосредоточенных усилий, места начала или окончания действия распределенной нагрузки, места изменения интенсивности распределенной нагрузки, в случае учета собственного веса бруса - места резкого изменения площади поперечного сечения.

Графики функций N(х) на грузовых участках, построенные в определенном масштабе, называются эпюрами продольных сил N. Они должны быть заштрихованы линиями перпендикулярно к продольной оси бруса и иметь знаки. Каждый штрих в масштабе представляет величину продольной силы N в данном сечении стержня. В случае отсутствия в пределах грузового участка распределенной нагрузки, N = const, т.е. эпюра N на таком участке постоянна.

ПРИМЕР 3.1

Требуется построить эпюру продольных сил для бруса, изображенного на рис. 3.2а.

РЕШЕНИЕ

1. Разобьем брус на грузовые участки 1, 2, 3. Границами грузовых участков здесь являются точки приложения сосредоточенных сил.

2. В пределах каждого участка проведем сечения на расстоянии xi от начала грузового участка (рис. 3.2а), т.е. используем местную систему координат.

3. Отбросим нижнюю от сечения часть, тем самым исключив необходимость поиска реакции опоры. Действие отброшенной части заменим положительной (растягивающей) силой Ni(х), (рис. 3.2в, г, д).

4. На каждом грузовом участке составим уравнения равновесия рассматриваемой части бруса, из которых определим функции продольных сил Ni (х).

1-й грузовой участок (рис. 3.2в)

(const).

2-й грузовой участок (рис. 3.2г)

(const).

3-й грузовой участок (рис. 3.2д)

(const).

По вычисленным значениям строим графики функции N(х) (эпюру N) на каждом участке, откладывая значения N перпендикулярно к продольной оси бруса (рис. 3.2б). Из эпюр видно, что в тех сечениях, где приложена внешняя сила F, действующая по продольной оси, на эпюре N имеется скачок, равный величине этой силы

Сформулируем рабочее правило для определения величины продольной силы для стержней с прямолинейной осью, вытекающее из рассмотренного выше метода сечений:

продольная сила в любом поперечном сечении бруса численно равна алгебраической сумме проекций всех внешних сил, действующих по одну сторону от сечения, на продольную ось бруса в данном сечении.

При использовании этого правила необходимо обязательно учитывать принятое правило знаков для продольной силы.

3.2 Методы расчета строительных конструкций

Метод предельных состояний. Этот метод был разработан учеными под руководством профессора Н.С. Стрелецкого и начал применяться с 1955 г.

Предельным считается состояние, при котором конструкция перестает удовлетворять эксплуатационным требованиям или требованиям, предъявляемым в процессе возведения здания и сооружения.

Факторы, от точного учета которых зависит уровень надежности сооружения или отдельного его элемента, следующие: нагрузки и другие воздействия, механические свойства материала, геометрические параметры конструктивных элементов, условия работы, степень ответственности сооружения и др.

Нормативное значение нагрузки и воздействий соответствуют их значению при нормальной эксплуатации. Они устанавливаются строительными нормами и правилами (СНиП). Возможное отклонение значений нагрузок от их нормативных значений учитывается коэффициентом надежности по нагрузке n, принимаемым по СНиП. Он может быть больше или меньше единицы. Нагрузки и воздействия, полученные путем умножения их нормативных значений на коэффициент надежности по нагрузке, называются расчетными. В данной работе все используемые при решении примеров значения нагрузок будем считать расчетными. Более подробно нормативные и расчетные нагрузки, а так же коэффициенты n будут рассматриваться при изучении курсов "Металлические конструкции" и "Железобетонные конструкции".

Основной характеристикой сопротивления материалов силовым воздействиям является нормативное сопротивление Rн, которое устанавливается СНиП с учетом условий контроля и статистической изменчивости механических свойств материала. В качестве нормативного сопротивления строительных сталей принимают наименьшее контролируемое (браковочное) значение предела текучести уS или временное сопротивление уu. Эти значения устанавливаются ГОСТ или техническими условиями на металл.

Возможное отклонение в неблагоприятную сторону от значений нормативного сопротивления учитывается коэффициентом надежности по материалу гм > 1. Этот коэффициент отражает статистическую изменчивость свойств материала и их отличие от свойств отдельно испытанных образцов. Например, для металла гм = 1,0251,15; для бетона гм = 1,31,5.

Величина, полученная в результате деления нормативного сопротивления на коэффициент надежности по материалу, называется расчетным сопротивлением:

R =

Она представляет собой наименьшую возможную величину нормативного сопротивления, значения для R устанавливаются СНиП.

Особенности действительной работы материалов, элементов конструкций, их соединений учитываются коэффициентом условий работы г. Он отражает влияние температуры, агрессивности среды, длительности и многократной повторяемости воздействия, приближенности расчетных схем и других факторов. Числовые значения для г устанавливаются СНиП на основании экспериментальных и теоретических исследований и вводятся в качестве множителя к значению расчетного сопротивления R. В большинстве случаев при нормальных условиях работы коэффициент г = 1 и может быть опущен.

Надежность и гарантия от возникновения предельных состояний по несущей способности обеспечивается выполнением следующего условия:

NS,

где N - усилие, действующее в рассчитываемом элементе конструкции (функция нагрузок и других воздействий); S - предельное усилие, которое может воспринять рассчитываемый элемент (функция физико-механических свойств материала, размеров элемента и условий работы).

Метод допускаемых напряжений. Этот метод остается пока основным при расчете узлов и деталей машиностроительных конструкций. Основой метода допускаемых напряжений является предположение, что критерием надежности конструкции будет выполнение следующего условия прочности:

уmax

где уmax - наибольшее напряжение, возникающее в одной из точек опасного сечения и определяемое расчетом; [у] - допускаемое (предельное) для данного материала напряжение, полученное на основании экспериментальных исследований.

Допускаемое напряжение определяется по формуле:

[у] =

где у0 - опасное напряжение; n - коэффициент запаса прочности.

Для пластичных материалов за опасное напряжение принимается предел текучести уS или у0,2; для хрупких материалов - временное сопротивление (предел прочности) уu.

Значение коэффициента запаса прочности, а следовательно, и допускаемого напряжения зависит от многих факторов. Основными факторами, которые влияют на выбор его значения, являются:

1) соответствие механических свойств материала конструкции и отдельно испытанных образцов;

2) учет конкретных условий работы рассчитываемой конструкции;

3) метод определения напряжений (степень точности этого метода);

4) неточность задания внешней нагрузки;

5) долговечность и значимость проектируемого сооружения или машины.

Значения допускаемых напряжений или коэффициентов запаса прочности устанавливаются техническими условиями и нормами проектирования. Для строительных сталей значение коэффициента запаса прочности принимается n = 1,41,6; для хрупких материалов n = 2,53,5; для древесины n = 3,56.

Метод разрушающих нагрузок. Критерий прочности, принятый в методе допускаемых напряжений, а именно, напряжения в точке, не всегда и не полностью характеризует условия наступления разрушения конструкции. В ряде случаев за такой критерий целесообразнее принимать предельную нагрузку, которую может выдержать конструкция, не разрушаясь и существенно не изменяя форму.

При этом условие прочности, состоящее в том, что предельная или разрушающая нагрузка не должна превышать допускаемую, можно представить в виде:

Fmax

где n - коэффициент запаса прочности, принимаемый таким же, как и в методе допускаемых напряжений.

Использования этого метода будет показано на конкретных примерах при расчетах на прочность при центральном растяжении-сжатии, кручении и прямом изгибе.

3.3 Определение напряжений и расчеты на прочность при центральном растяжении-сжатии

При центральном растяжении-сжатии нормальные напряжения в поперечных сечениях, достаточно удаленных от места приложения сил, постоянны (принцип Сен-Венана) и определяются по формуле:

(3.1)

где - нормальное напряжение; А - "чистая" площадь поперечного сечения бруса после вычета возможных ослаблений сечения отверстиями, т.е. А = Аnetto.

Если площадь поперечного сечения бруса постоянна по длине, то условие прочности для пластичного материала имеет вид (при условии, что коэффициенты условий работы и надежности равны единице, т.е. г = 1, гн = 1):

NAR или (3.2)

где - наибольшее значение продольной силы по абсолютной величине берется из эпюры N (сечение, где имеется , является опасным); R - расчетное сопротивление материала по пределу текучести.

Если брус выполнен из хрупкого материала, т.е. когда расчетные сопротивления на растяжение и сжатие различны то условие прочности имеет следующий вид:



(3.3)

где - наибольшая растягивающая продольная сила (на эпюре N имеет знак "плюс"); - наибольшая по абсолютной величине сжимающая продольная сила (на эпюре N имеет знак "минус"); - расчетные сопротивления материала на растяжение и сжатие по пределу прочности.

Используя условия прочности (3.2) или (3.3), можно решать задачи трех типов:

1-й тип - проверочная задача. Используя все заданные величины и эпюру N, по формулам (3.2) и (3.3) можно проверить прочность бруса.

2-й тип - проектная задача, т.е. подбор сечения бруса.

Приняв

определяем требуемую для этого величину площади поперечного сечения из формулы (3.2):

(3.4)

Зная эту площадь, можно определить конкретные размеры сечения заданной формы.

Для хрупкого материала из формул (3.3) требуемую площадь сечения находим отдельно:

для растянутой зоны -



и сжатой зоны -

.

Из полученных значений площадей выбираем большую.

3-й тип - определение несущей способности стержня или определение допускаемой продольной силы.

Приняв

определяем величину наибольшей допускаемой продольной силы:

- для пластичного материала

(3.5)

- для хрупкого материала

Для бруса из хрупкого материала из двух сил в качестве допускаемой выбираем меньшую:



3.4 Напряжения на наклонных площадках

Проведем наклонное сечение n-n1 под некоторым углом б к поперечному сечению (рис. 3.4а) и определим действующие в этом сечении напряжения. Площадь наклонного сечения Аб по линии n-n1 будет больше поперечного сечения А (по линии n-n2):

.

Тогда полное напряжение на наклонной площадке будет равно:

.(3.6)

Разложив полное напряжение на наклонной площадке по направлениям нормали к площадке и касательной, получим нормальное и касательное напряжения на наклонной площадке (рис. 3.3г):

,(3.7)

. (3.8)

Из формулы (3.7) следует, что нормальные напряжения уб достигают максимального значения при б = 0, т.е. в поперечном сечении:

.

Здесь 1 обозначает наибольшее главное напряжение (понятие о главных напряжениях будет дано в главе 4).

Поэтому расчет прочности растянутого или сжатого бруса производится по нормальным напряжениям в его поперечных сечениях.

Из формулы (3.8) следует, что касательные напряжения имеют наибольшие и наименьшие значения при б = ±45є:

. (3.9)

Площадки, на которых действуют максимальные и минимальные касательные напряжения , называются площадками сдвига.

3.5 Деформации участков стержня и перемещения сечений. Условия жесткости

При осевом растяжении или сжатии до предела пропорциональности уpr справедлив закон Гука, т.е. закон о прямо пропорциональной зависимости между нормальными напряжениями и продольными относительными деформациями :



(3.10)

или (3.11)

Здесь Е - коэффициент пропорциональности в законе Гука имеет размерность напряжения и называется модулем упругости первого рода, характеризующим упругие свойства материала, или модулем Юнга.

Относительной продольной деформацией называется отношение абсолютной продольной деформации участка стержня к длине этого участка до деформации:

(3.12)

Относительная поперечная деформация будет равна:

' = = b/b, где b = b1 - b.

Отношение относительной поперечной деформации ' к относительной продольной деформации , взятое по модулю, есть для каждого материала величина постоянная и называется коэффициентом Пуассона:



Определение абсолютной деформации участка бруса

В формулу (3.11) вместо и подставим выражения (3.1) и (3.12):

Отсюда получим формулу для определения абсолютного удлинения (или укорочения) участка стержня длиной :

(3.13)

В формуле (3.13) произведение ЕА называется жесткостью бруса при растяжении или сжатии, которая измеряется в кН, или в МН.

По этой формуле определяется абсолютная деформация , если на участке продольная сила постоянна. В случае, когда на участке продольная сила переменна, она определяется по формуле:

(3.14)

где N(х) - функция продольной силы по длине участка.

В частности, по этой же формуле вычисляется абсолютная деформация при учете собственного веса для вертикального бруса, когда вес одного погонного метра бруса входит в выражение для N(х) как интенсивность распределенной нагрузки, направленной вниз, параллельно оси бруса:



,

где - плотность материала бруса, кН/м3, Н/м3; А - площадь поперечного сечения бруса, м2.

Определение перемещений сечений бруса. Определим горизонтальное перемещение точки а оси бруса (рис. 3.5) - ua: оно равно абсолютной деформации части бруса аd, заключенной между заделкой и сечением, проведенным через точку, т.е.

В свою очередь удлинение участка аd состоит из удлинений отдельных грузовых участков 1, 2 и 3:

(3.15)

Продольные силы на рассматриваемых участках:

Следовательно,



Тогда

Аналогично можно определить перемещение любого сечения бруса и сформулировать следующее правило:

перемещение любого сечения j стержня при растяжении-сжатии определяется как сумма абсолютных деформаций n грузовых участков, заключенных между рассматриваемым и неподвижным (закрепленным) сечениями, т.е.

(3.16)

Условие жесткости бруса запишется в следующем виде:

, (3.17)

где - наибольшее значение перемещения сечения, взятое по модулю из эпюры перемещений; u - допускаемое значение перемещения сечения для данной конструкции или ее элемента, устанавливаемое в нормах.

ПРИМЕР 3.2

Требуется построить эпюру N для бруса, изображенного на рис. 3.6а и подобрать площадь сечения А и размер сторон квадратного сечения из условия жесткости при Е = 0,27105 МПа, u = 2 мм = 210-3 м.

РЕШЕНИЕ

1. В данной задаче, как и в предыдущей, нет необходимости определять реакцию заделки, так как один конец бруса свободный.

2. Разбиваем брус на грузовые участки 1, 2, 3.

3. В пределах каждого грузового участка проводим сечения на расстоянии xi от начала участка, т.е. используем местную систему координат.

4. Используя рабочее правило и принятое правило знаков, в каждом сечении записываем функцию продольной силы Ni(хi) (в таком случае рекомендуется рукой или бумагой закрывать отбрасываемую часть бруса, чтобы не делать дополнительных рисунков). При этом рассматриваем свободную часть бруса.

При

При

При

При

5. По вычисленным результатам строим эпюру N (рис. 3.3б).

Анализ построенной эпюры N позволяет выделить следующие особенности:

- в сечении, где приложена сосредоточенная сила F, параллельная оси бруса, имеется скачок, равный этой силе;

- на грузовых участках, где действуют равномерно распределенные нагрузки интенсивностью q, на эпюре N имеются наклонные прямые, тангенсы углов между этими прямыми и осью бруса равны интенсивности распределенной по длине нагрузки q;

- на тех грузовых участках, где отсутствует распределенная нагрузка, эпюра N постоянна.

6. Определим перемещения характерных сечений и построим эпюру перемещений при А = const:

uA = 0 (так как здесь защемление, препятствующее вертикальным перемещениям).

Используя полученные результаты, строим эпюру перемещений сечений (см. рис. 3.3в), из которой видим, что



Используя равенство

получаем

Отсюда А =

При А =

сторона квадратного поперечного сечения будет равна

а =

ПРИМЕР 3.3

Для бруса, изображенного на рис. 3.7а требуется:

- построить эпюру N без учета собственного веса;

- подобрать площади поперечных сечений из условий прочности;

- построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений и перемещений сечений u с учетом собственного веса бруса и проверить прочность и жесткость при следующих данных:

Rt = 0,9 МПа = 0,9103 кПа.

; = 25 кН/м3; u = 0,510-3 м.

РЕШЕНИЕ

1. Как и в предыдущем примере, опорную реакцию не определяем, так как один конец бруса свободен.

2. Выделяем грузовые участки стержня 1, 2, 3.

3. В этом примере эпюру N будем строить, записывая их функции на каждом грузовом участке, используя рабочее правило, приведенное в конце примера 3.1 (с. 17).

Расчет без учета собственного веса бруса

x2 = 0, N2(0) = 40 кН;

х2 = 1,2 м, N2(1,2) = 16 кН;

N3(x3) = - F3 + F2-F1 - qn )1,2 + x3) =

= -100 +140 - 120 - 20(1,2 + x3) = -104 - 20x3.

x3 = 0,N3(0) = -104 кН;

х3 = 1,2 м, N3(1,2) = -144 кН.

По вычисленным значениям строим эпюру продольных сил N (рис. 3.7б).

Рис. 3.7

4. Из условий прочности (3.3), используя эпюру N, построенную без учета собственного веса, определяем требуемую площадь поперечного сечения бруса, соблюдая заданное соотношение площадей на отдельных участках (рис. 3.7а). По условию задачи на участках 2 и 3 (нижняя ступень) площади сечения одинаковы и равны 2А. Для этих участков из эпюры N имеем:



В условиях прочности (3.3) приравняем

и получаем:

На участке 1 (верхняя ступень) площадь сечения по условию задачи должна быть равна А. Из эпюры N для этого участка имеем:

.

Площадь поперечного сечения будет равна:

Из трех найденных значений А выбираем большую:

, 2А = 44,4410-3 м2.

Расчет с учетом собственного веса

5. Построение эпюры N с учетом собственного веса.

Собственный вес стержней постоянного сечения учитывается как равномерно распределенная по длине каждого грузового участка нагрузка, направленная вниз. Интенсивность этой распределенной нагрузки равна весу части стержня единичной длины на данном участке.

Для 1-го участка она равна:

q = А1 = 22,210-3 м2 125 кН/м3 0,56 кН/м.

Для 2 и 3-го участков, где площадь поперечного сечения равна 2А:

q = 2А1 = 44,410-3 м2 125 кН/м3 1,12 кН/м.

N1(х1) =

х1 = 0, N1(0) = -100 кН;

х1 = 1,0 м, N1(1,0) = -100,56 кН;

х2 = 0, N2(0) = 39,44 кН;

х2 = 1,2 м, N2(1,2) = 14,11 кН.

х3 = 0, N3(0) = -105,89 кН;

х3 = 2,0 м, N3(2,0) = -148,11 кН.

По вычисленным значениям строим эпюру продольных сил N с учетом собственного веса (рис. 3.7в).

6. Определяем нормальные напряжения в сечениях по формуле:

Для этого в пределах каждого грузового участка проведем сечения, бесконечно близкие к началу и к концу участка.

Выпишем площади в указанных сечениях:

На 1-м участке -

На 2 и 3-м участках:

Напряжения в указанных сечениях будут равны:

Сравнение с расчетными сопротивлениями на растяжение и на сжатие в соответствующих сечениях показывает, что условия прочности выполняются во всех сечениях, а в сечении 3-3 выполняется практически со знаком равенства. Это говорит о том, что площади сечений подобраны верно.

Ввиду того, что площадь поперечного сечения рассчитывается по эпюре продольных сил, построенной без учета собственного веса, а напряжения определяются по эпюре N, построенной с учетом собственного веса, возможны перенапряжения в некоторых сечениях. В таких случаях, если перенапряжение больше 5 %, необходимо несколько увеличить площадь поперечного сечения.

По вычисленным значениям строим эпюру нормальных напряжений с учетом собственного веса бруса (рис. 3.8б).

7. Определение абсолютных деформации участков бруса.

В общем случае абсолютные деформации грузовых участков определяются по формуле (3.14):

При ЕАi = const интеграл

равен площади эпюры продольных сил на i-м грузовом участке.

Так как при учете собственного веса на любом грузовом участке эпюра продольных сил имеет вид трапеции, то абсолютную деформацию этого участка можно вычислить по формуле:

где Ni(ср) - средняя линия трапеции.



По формуле (3.16), используя найденные значения , определяем перемещение сечений ui-i(при этом будем иметь в виду, что сечение 5-5 бесконечно близко к сечению 4-4, а сечение 3-3 бесконечно близко к сечению 2-2):

Далее строим эпюру перемещений сечений u, откладывая перемещения в каждом сечении перпендикулярно оси бруса (рис. 3.8в).

Так как в подынтегральном выражении формулы (3.14) функция N(x) на всех участках нашего бруса есть полином первой степени, эпюра перемещений на этих участках изменяется по закону квадратной параболы.

В местах приложения внешних сосредоточенных сил параллельных оси бруса на эпюре перемещений u имеет место излом линии эпюры.

8. Проверка жесткости бруса.

Из эпюры перемещений u видно, что

=

Условие жесткости выполняется.

3.6 Статически неопределимые задачи

Брусья и шарнирно-стержневые системы, в которых внутренние усилия и реакции опор от заданной нагрузки можно определить с помощью лишь одних уравнений равновесия (уравнений статики), называются статически определимыми.

В отличие от них статически неопределимыми называются брусья и системы, внутренние усилия или реакции опор в которых нельзя определить с помощью одних лишь уравнений равновесия. Поэтому при их расчете необходимо составлять дополнительные уравнения - уравнения совместности деформаций или перемещений сечений, учитывающих характер деформации системы (геометрическая сторона задачи). Число дополнительных уравнений, необходимых для расчета системы, характеризует степень ее статической неопределимости. Всегда можно составить столько дополнительных уравнений, сколько не хватает уравнений статики для решения задачи.

Усилия в элементах статически определимых систем возникают только от действия внешней нагрузки (включая собственный вес конструкций). В элементах статически неопределимых систем усилия могут возникать и при отсутствии внешней нагрузки - в результате, например, изменения температуры, смещения опорных связей, а также при монтаже из-за неточности изготовления отдельных элементов конструкции.

Составление дополнительных (к уравнениям равновесия) уравнений перемещений (геометрическая сторона задачи) рассмотрим на примере.

Стержень защемлен по концам и нагружен силой F, действующей вдоль оси стержня (рис. 3.9). Собственный вес стержня не учитываем.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Под действием силы F в этом случае в заделках могут возникать только показанные реакции VA и VB, которые требуется определить. Направления неизвестных опорных реакций выбираем произвольно.

Для данного случая (когда все силы действуют вдоль одной прямой) можно составить только одно уравнение равновесия:

Для определения двух неизвестных VA и VB необходимо составить дополнительно одно уравнение, т.е. рассматриваемая задача является статически неопределимой (степень статической неопределимости бруса равна единице).

Для составления дополнительного уравнения рассмотрим геометрическую сторону задачи - составим условие совместности деформаций отдельных участков: общая длина бруса не может изменяться, следовательно,



Удлинение можно выразить как сумму удлинений двух участков:

(3.18)

Рассмотрим физическую сторону задачи и абсолютные удлинения участков и , используя закон Гука по формуле (3.13), выразим через продольные силы N1 и N2:

(3.19)

В этих формулах и представляют собой выражения продольных сил на участках 1 и 2, записываемые по методу сечений:

(3.20)

Подставим выражения (3.19) с учетом (3.20) в формулу (3.18) и получим:

(3.21)

Отсюда найдем

=

При условии получим:



(3.22)

Если то (3.23)

Если то (3.24)

Реакцию найдем из уравнения статики:

(3.25)

При равномерном изменении температуры окружающей среды вокруг бруса на t формулы (3.19) запишутся в виде:

(3.26)

где 1 и 2 - коэффициенты линейного расширения материалов бруса.

Подставляя формулы (3.26) в формулу (3.18) и используя (3.20), найдем реакцию VB при совместном воздействии на брус силы F и изменением температуры окружающей среды на t градусов.

ПРИМЕР 3.4

Требуется определить реакции опор и построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений сечений для составного бруса ступенчатого сечения, изображенного на рис. 3.10а, при следующих исходных данных:



РЕШЕНИЕ

1. Найдем полное удлинение бруса при увеличении температуры на t = 30 C и воздействии силы F при отсутствии правой опоры

Имеющийся зазор между правой опорой и сечением В бруса меньше полученной величины полного удлинения т.е.

Таким образом, после закрытия зазора задача становится один раз статически неопределимой.



1. Статическая сторона задачи.

= 0; VA-VB+F = 0;

отсюда (3.27)

2. Геометрическая сторона задачи.

Полное удлинение всего бруса ограничено опорами и может равняться только монтажному зазору . Тогда перемещение сечения В будет равно:

(3.28)

3. Физическая сторона задачи.

Предварительно вычислим жесткости поперечных сечений на участках:



Удлинения участков от продольных сил и температуры запишутся:

(3.29)

Используя метод сечений, записываем:

(3.30)

После подстановки выражения (3.29) с учетом (3.30) в формулу (3.28), получим:

Отсюда

Из уравнения (3.27) найдем реакцию VA:

По формулам (3.30) определим значения продольных сил на участках:



По найденным значениям построим эпюру N (рис. 3.10в).

Определим нормальные напряжения на участках:

Определим перемещения сечений по формуле (3.16):

т.е. геометрическое условие (3.28) выполняется.

ПРИМЕР 3.5

ДАНО: Абсолютно жесткий брус АВС, один конец которого опирается на шарнирно-неподвижную опору А, закреплен еще двумя стержнями 1 и 2 в точках В и С (рис. 3.11).

ТРЕБУЕТСЯ: 1. Определить усилия в стержнях 1 и 2 при заданной нагрузке и из условия прочности стержней определить площади их поперечных сечений А1 и А2 при А1 = 1,5А2 и R = 200 МПа.

2. При полученных значениях площадей сечений определить величину допускаемой интенсивности равномерно распределенной нагрузки [q]пр по методу предельного равновесия и сравнить ее с заданной величиной q.

Предел текучести S = 240 МПа, коэффициент запаса прочности n = 1,2.

РЕШЕНИЕ

Предварительно определим расстояние между точками А и С:

= м.

Покажем на рисунке реакции опор: VA, HА, VD и HE. Продольные усилия в стержнях 1 и 2 - N1, N2 - равны соответствующим реакциям опор, т.е. N1 = VD и N2 = HE. В данной системе имеется 4 неизвестных опорных реакций, а уравнений равновесия может быть составлено только 3. Это значит, что задача является один раз статически неопределимой.

1. Статическая сторона задачи.

Составим уравнение равновесия. Так как согласно условию задачи необходимо определить усилия в стержнях 1 и 2, напишем уравнение равновесия, в которое войдут только усилия N1 и N2. Таким условием равновесия является

N16 + N24 - q63 = 0. (3.31)

2. Геометрическая сторона задачи.

Для получения недостающего уравнения дадим возможное перемещение системе и составим условие совместности деформации стержней 1 и 2. Брус АВС абсолютно жесткий (т.е. не деформируемый), поэтому при повороте бруса на некоторый угол точки прикрепления стержней В и С переместятся по дуге окружности на величину uB и uC пропорционально радиусам поворота АВ и АС. В силу малости перемещений длины этих дуг можно считать равными перпендикулярам к радиусам АВ и АС. Из подобия треугольников АВВ1 и АСС1 (рис. 3.11а) следует:



tg = или (3.32)

Равенство (3.32) представляет собой условие совместности перемещений точек крепления стержней 1 и 2 к абсолютно жесткому стержню.

Для получения абсолютных деформаций стержней и из новых положений точек В1 и С1 опустим перпендикуляры на заданные первоначально направления стержней 1 и 2.

Из рис. 3.11а видно, что точки В1 и В2 совпали и а из рис. 3.11б следует, что удлинением стержня 2 является отрезок СС2, который представляет собой катет прямоугольного треугольника СС2С1. Из этого треугольника получаем:

. (3.33)

Равенства (3.33) подставим в уравнение (3.32) и получим уравнение совместности деформации стержней 1 и 2:



(3.34)

3. Физическая сторона задачи.

Удлинение стержней выражаем в соответствии с законом Гука через усилия в стержнях N1 и N2:

(3.35)

Подставим выражения (3.35) в формулу (3.34) и получим:

4. Определение продольных усилий в стержнях 1 и 2.

Подставляя в эту формулу числовые значения и учитывая, что

А1 = 1,5А2, sin = получим

Отсюда N1 = 1,799N2 (3.36)

или N2 = 0,556N1. (3.37)

Решая совместно уравнения (3.31) и (3.36), получаем:

1,799N2 6+N2 4 - q 6 3 = 0 при q = 20 кН/м,

N2 = 24,33 кН; N1 = 1,799 24,33 = 43,79 кН.

5. Подбор сечений стержней 1 и 2:

Выразим напряжения в стержнях:

=

Так как

из условия прочности в наиболее напряженном стержне определим требуемую площадь поперечного сечения:

отсюда

А2 = 0,14610-3 м2 = 1,46 см2.

Тогда А1 = 1,5А2 = 1,51,46 см2 = 2,19 см2.

Определим напряжения в стержнях и проведем проверку прочности:

6. Определение допускаемой величины интенсивности нагрузки [q]пр по методу предельного равновесия.

Выше сечения стержней были подобраны из условия прочности по методу расчетных сопротивлений, т.е. когда

В расчете по методу предельного равновесия условие прочности ограничивает не напряжения, а допускаемую нагрузку, которая определяется как отношение предельной нагрузки к коэффициенту запаса:

В статически неопределимых системах при одинаковом коэффициенте запаса по напряжениям и нагрузкам, т.е.

n = ,

этот метод может дать некоторую экономию материала стержней за счет более полного нагружения недонапряженных стержней.

При постепенном увеличении нагрузки напряжения в обоих стержнях будут возрастать до величины, равной пределу текучести сначала в более напряженном стержне 1, затем и в стержне 2, т.е. в предельном состоянии

Величина внешней нагрузки в этом случае и является предельной или разрушающей.

Тогда усилия в стержнях 1 и 2 будут равны:

N

N

Подставим эти усилия в уравнение равновесия (3.31) и найдем величину интенсивности разрушающей (предельной) нагрузки:



6N+4N- qпред 6 3 = 0;

qпред =

Коэффициент запаса n = 1,2.

Следовательно, величина допускаемой интенсивности распределенной нагрузки будет равна:

[q]пред =

Сравним эту величину [q]пред с величиной заданной нагрузки

q = 20:

Значит, при расчете по методу предельного равновесия нагрузка может быть увеличена на 5,5 %.

3.7 Контрольные вопросы по теме

В чем заключается суть метода сечений при определении внутренних усилий, в частности, при определении продольных сил?

Приведите рабочее правило для определения продольных сил в поперечных сечениях стержней и правило знаков для них.

Как определяется нормальное напряжение в поперечном сечении бруса при растяжении-сжатии?

Что такое расчетное сопротивление материала?

Как записываются условия прочности при растяжении-сжатии для пластичных и хрупких материалов?

Как производится подбор требуемой площади поперечного сечения бруса из условия прочности?

Как формулируется закон Гука? Как он записывается для случая растяжения-сжатия?

Как определяется абсолютная деформация бруса при осевом растяжении-сжатии при наличии распределенной нагрузки на грузовом участке и при ее отсутствии?

Какие системы называются статически неопределимыми? Каков порядок их решения?

Назовите характеристики прочности материала. Как они определяются с помощью диаграммы растяжения для низкоуглеродистой стали?

Назовите характеристики пластичности материала. Как они определяются?



4. ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ В ТОЧКЕ. ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ

4.1 Главные площадки и главные напряжения. Классификация напряженных состояний

Значения нормальных и касательных напряжений на произвольных площадках, проходящих через какую-либо точку тела, зависят от положения этих площадок.

Совокупность нормальных и касательных напряжений, действующих на различных площадках, проходящих через заданную точку, называется напряженным состоянием в этой точке.

В курсе теории упругости доказано, что в окрестности любой точки можно провести три взаимно перпендикулярные площадки, на которых касательные напряжения будут отсутствовать. Такие площадки называются главными. Нормальные напряжения на главных площадках принимают экстремальные значения, называются главными напряжениями и обозначаются: у1, у2, у3. Здесь у1 - наибольшее (в алгебраическом смысле) главное напряжение, у3 - наименьшее, а у2 - промежуточное, т.е. у1 ? у2 ? у3.

На рис. 4.1а показаны три взаимно перпендикулярные произвольные площадки, на гранях котор...