Сопротивление материалов. Основы теории и примеры выполнения индивидуальных расчетных заданий

.

На рис. 4.1б показан параллелепипед с бесконечно малыми размерами сторон, грани которого являются главными площадками, так как на них отсутствуют касательные напряжения. В зависимости от наличия отличных от нуля главных напряжений на главных площадках различают три вида напряженных состояний:

Если все три главных напряжения отличны от нуля, то имеет место в данной точке объемное или пространственное напряженное состояние (ОНС) (рис. 4.1б).

В том случае, когда два главных напряжения отличны от нуля, а одно равно нулю - имеет место плоское напряженное состояние (ПНС) (рис. 4.2а).

Если только одно главное напряжение отлично от нуля, а два других равны нулю, имеет место одноосное (линейное) напряженное состояние (ЛНС) (рис. 4.2б).

Наиболее простым и наглядным случаем одноосного (линейного) напряженного состояния является центральное растяжение-сжатие стержней. Определение напряжений на наклонных площадках при ЛНС было исследовано в п. 3.3 предыдущей главы.

4.2 Исследование плоского напряженного состояния

Как было указано выше, если одно из главных напряжений равно нулю, то объемное напряженное состояние исключается. Однако, чтобы точно сказать, плоское или одноосное напряженное состояние имеет место в данной точке, необходимо определить два других главных напряжения.

Вырежем параллелепипед с бесконечно малыми размерами сторон dx, dy, dz так, чтобы на одной из трех взаимно перпендикулярных площадок отсутствовали напряжения. Это будет означать, что одно главное напряжение равно нулю. В этом случае, как указывалось ранее, не будет объемного напряженного состояния. Такие элементы можно вырезать из стенки изгибаемых балок, стеновых панелей и т.п., когда одна из граней совпадает со свободной от напряжений поверхностью.

Пусть на двух оставшихся взаимно перпендикулярных площадках будут известны нормальные и касательные напряжения: уx, уy, фyx, фxy (рис. 4.3а).

Определим нормальные и касательные напряжения на произвольных площадках, повернутых к заданным на угол б и перпендикулярных к грани, свободной от напряжений.

Ранее было принято следующее правило знаков для нормальных напряжений: растягивающие будем считать положительными, а сжимающие - отрицательными.

Касательные напряжения будем считать положительными, если они стремятся сдвинуть выделенный элемент по ходу часовой стрелки, и отрицательными - если против хода часовой стрелки.

Проведем наклонное сечение под углом б к вертикальной грани против хода часовой стрелки, отбросим одну часть, приложим к наклонному сечению напряжения и и рассмотрим равновесие оставшейся части с размерами сторон dx, dy, ds (рис. 4.3б).

В связи с тем, что все размеры выделенной призмы бесконечно малы, касательные и нормальные напряжения по ее боковым и наклонным граням можно считать распределенными равномерно. Поэтому силы, действующие по граням призмы равны произведению площади грани на соответствующее напряжение. Приложим эти силы в центре тяжести соответствующих граней (рис. 4.3в).

Составим следующие уравнения равновесия для выделенной призмы:

1.

, отсюда:



Размещено на http://www.allbest.ru/

(4.1)

Следовательно, касательные напряжения по двум взаимно перпендикулярным площадкам, действующие по нормали к ребру, равны по абсолютной величине и направлены в противоположные стороны. Эта зависимость между фyx и фxy называется законом парности касательных напряжений.

2.

(рис. 4.3в);

Решим это уравнение относительно уб. Учитывая, что

, ,

после элементарных преобразований, с учетом (4.1) получим:

. (4.2)

3.

Расписав это уравнение равновесия и используя преобразования, приведенные для второго уравнения равновесия, получим:

. (4.3)



Формулы (4.2) и (4.3) позволяют определять нормальные и касательные напряжения по любым площадкам, проходящим через заданную точку, если известны нормальные и касательные напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках.

Если необходимо определить нормальное напряжение на площадке, перпендикулярной наклонной, то в формулу (4.2) вместо б подставим б+90?. После указанной подстановки получим

.(4.4)

Найдем сумму нормальных напряжений на двух взаимно перпендикулярных площадках уб и уб+90, т.е. сложим напряжения по формулам (4.2) и (4.4) и получим:

,(4.5)

Таким образом, сумма нормальных напряжений на двух взаимно перпендикулярных площадках есть величина постоянная и от положения этих площадок не зависит. Следовательно, если по одной из таких площадок нормальные напряжения имеют максимальное значение, то по другой они имеют минимальное значение. При расчете инженерных конструкций нет необходимости определять нормальные напряжения по всем площадкам, проходящим через заданную точку. Достаточно знать максимальные и минимальные их значения, которые, как отмечалось ранее, называются главными напряжениями. Для определения величин главных напряжений и положения главных площадок функцию для уб (4.2) исследуем на экстремум, т.е. приравняем нулю первую производную от напряжения уб по б при некотором значении угла б = б0:



При , используя известные тригонометрические зависимости, получим:

. (4.5)?

Здесь б0 - угол наклона главной площадки к площадке, в которой действуют заданные напряжения ух (рис. 4.3б).

Сравнивая выражение (4.5)? с формулой (4.3), устанавливаем, что

.

Отсюда следует, что на главных площадках касательные напряжения равны нулю, т.е.:

.(4.6)

Из соотношения (4.6) получим:

,(4.7)

или, используя (4.1):



.(4.8)

Формулы (4.7) и (4.8) дают значения углов б0, определяющие две взаимно перпендикулярные площадки, на которых действуют главные напряжения.

Следовательно, для определения положения главных площадок, необходимо площадки, на которых действуют заданные напряжения уx и уy, повернуть на угол б0 против хода часовой стрелки (при б0 > 0) или по ходу часовой стрелки (при б0 < 0).

Следует иметь в виду, что наибольшее главное напряжение должно проходить в тех четвертях, где сходятся касательные напряжения

и оно всегда находится ближе к тому из заданных нормальных напряжений, значения которого с алгебраической точки зрения больше.

Главные напряжения можно определить, подставляя значения угла б0 в формулу (4.2).

Эти же напряжения можно определять и без предварительного определения угла б0, если (4.7) или (4.8) подставить в формулу (4.2). В результате элементарных преобразований получаем следующую формулу для определения величин главных напряжений:

= .(4.9)

Определим также площадки, по которым касательные напряжения имеют экстремальные (максимальные и минимальные) значения. Такие площадки, как упоминалось в п. 3.4, называются площадками сдвига.

Для этого приравняем нулю первую производную функции (4.3) при некотором значении угла б1:

.

Отсюда: . (4.10)

Здесь б1 - угол наклона площадки сдвига к заданной площадке, по которой действует напряжение ух. Если угол б1 положителен, то эту площадку надо повернуть против хода часовой стрелки, а если отрицателен - то по ходу часовой стрелки.

Формула (4.10) дает значение угла б1, определяющее положение одной из двух взаимно перпендикулярных площадок. Положение другой площадки определяется поворотом на угол б+900. По одной из двух площадок действует максимальное касательное напряжение фmax, а по другой - минимальное фmin. Из закона парности касательных напряжений следует, что

.

Если определены главные площадки, легко определить величины напряжений и положение площадок, на которых они действуют.

Если в формуле (4.3) для определения касательных напряжений фб на произвольной площадке за исходные примем главные напряжения у и у вместо уx и уy, а фуx = 0, то получим:

.(4.11)



Отсюда следует, что , (4.12)

так как sin(2) = ±1 при , т.е. площадки сдвига наклонены к главным площадкам под углом ±45?.

Если в формулу (4.12) подставим выражения у и у из соотношения (4.9), найдем:

. (4.13)

Определим нормальные напряжения на площадках сдвига. Для их определения формулу (4.2) перепишем, подставляя вместо напряжений на произвольных площадках х и у главные напряжения 1 и 3, а ух = 0:

.(4.14)

При б = ±45? получим формулу для определения нормальных напряжений на площадках сдвига:

.(4.15)

Таким образом, из (4.14) следует, что нормальные напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках сдвига равны между собой по величине и знаку.

Если нормальные напряжения на площадках сдвига равны нулю, то такие площадки называются площадками чистого сдвига.

Примерами чистого сдвига являются кручение и срез.



4.3 Исследование объемного напряженного состояния

Как было показано ранее в п. 4.1, напряжения, действующие на гранях элементарного параллелепипеда, в общем случае напряженного состояния представляются в виде тензора напряжений (рис. 4.4а), как упоминалось:

.

Тензор напряжений симметричен относительно главной диагонали, поскольку по закону парности касательных напряжений имеем:

Рассмотрим определение главных напряжений и положения главных площадок в случае объемного напряженного состояния (все три главных напряжения не равны нулю) (рис. 4.4б).

Предположим, что нам известно положение главной площадки, определяемой нормалью . Сечением, параллельным этой площадке, выделим из исходного параллелепипеда тетраэдр, изображенный на рис. 4.5б, и составим условия равновесия тетраэдра в виде суммы проекций действующих на него сил на оси координат. Введем обозначения для направляющих косинусов нормали :

cos() = ; cos() = m; cos() = n. (4.16)

Примем площадь наклонной грани тетраэдра dA = 1, тогда площади других граней будут:

dAX = , dAy = m, dAZ = n.

Единственное напряжение, действующее на главной площадке, обозначим . Сумма проекций сил на ось Х запишется в виде:

Аналогичные равенства будут для осей Y и Z. Все вместе они составят систему однородных уравнений относительно неизвестных косинусов , m и n:



(4.17)

Так как между неизвестными существует зависимость

+m2+n2 = 1, (4.18)

то одновременно они все не могут быть равны нулю. В этом случае (доказано в линейной алгебре) определитель однородной системы уравнений равен нулю, т.е.

(4.19)

Раскрыв определитель, получим кубическое уравнение

(4.20)

три корня которого и будут значениями трех главных напряжений в рассматриваемой точке.

Коэффициенты уравнения (4.20) получаются при раскрытии определителя (4.19) и имеют следующий вид:

I1 =

I2 = (4.21)

I3 =

Эти коэффициенты не зависят от выбора осей координат, поскольку при любых исходных площадках уравнение (4.20) должно давать одни и те же корни - главные напряжения в точке. Они называются первым, вторым и третьим инвариантами напряженного состояния (тензора напряжений).

Для определения направляющих косинусов соответствующих одной из трех главных площадок, значение главного напряжения на этой площадке надо подставить в (4.17) вместо . Совместное решение уравнений (4.17) и (4.18) и даст искомые значения направляющих косинусов

4.4 Деформированное состояние в точке. Обобщенный закон Гука

Установим зависимость относительной линейной деформации от нормальных напряжений в случае объемного напряженного состояния.

Определим относительную продольную деформацию выделенного элемента (см. рис. 4.1б) в направлении главного напряжения у1, отдельно рассматривая влияние каждого из главных напряжений и складывая результаты в соответствии с принципом независимости действия сил:

.

Под действием напряжения у1 элемент в направлении этого напряжения на основании закона Гука получит относительное удлинение, равное

.

Аналогично определятся относительные деформации по направлениям двух других главных напряжений:



;

В то же время по отношению к напряжениям у2 и у3, ребро элемента, параллельное у1, является поперечным размером, а потому под действием напряжений у2 и у3 элемент в направлении у1 испытывает относительные укорочения, равные:

, .

Здесь

- коэффициент поперечной деформации, называемый коэффициентом Пуассона; е' - относительная поперечная деформация; е - относительная продольная деформация.

Таким образом, полная относительная деформация элемента в направлении напряжения у1 выразится суммой:

.

Подобные же выражения получим и для деформаций в двух других направлениях. В результате имеем:

(4.22)

Касательные напряжения не вызывают удлинений ребер выделенного параллелепипеда, а вызывают лишь изменения прямых углов между его гранями. Закон Гука в общем виде (рис. 4.1а) для объемного напряженного состояния запишется:

(4.23)

В соотношениях (4.23) использована зависимость между тремя упругими постоянными материала - модулем упругости 1-го рода Е, коэффициентом Пуассона и модулем упругости 2-го рода (модулем сдвига) G:

G = .

Формулы (4.23) показывают, что при изменении нормальных и касательных напряжений на всевозможных площадках, проходящих через заданную точку, соответственно изменяются относительные линейные деформации и углы сдвига граней выделенного элемента с бесконечно малыми размерами dx, dy, dz.

Совокупность линейных относительных деформаций и углов сдвига для всевозможных направлений осей, проведенных через заданную точку, называется деформированным состоянием в точке.

Деформации элемента в трех ортогональных плоскостях представим в виде таблицы



аналогичной тензору напряжений и называемой тензором деформаций.

Выражения (4.22) и (4.23), устанавливающие связь между деформациями и напряжениями в общем случае напряженного состояния, носят название обобщенного закона Гука. Они применимы при напряжениях, не превышающих предел пропорциональности материала и при малых деформациях.

С помощью формул (4.23) обобщенного закона Гука можно определять относительные деформации по любому заданному направлению, если предварительно определить нормальные напряжения вдоль указанного направления и двух других направлений, перпендикулярных заданному.

Относительные деформации е1, е2, е3 в направлениях, для которых отсутствуют углы сдвига, определяемые по формулам (4.22), называются главными деформациями.

Для главных направлений тензор деформаций получит вид:

.



4.5 Понятие об объемной деформации. Потенциальная энергия деформации

Из формул (4.22) и (4.23) видно, что относительная деформация имеет место во всех направлениях не только в случае объемного напряженного состояния, но и линейного, и плоского. Например, если главное напряжение у2 равно нулю, то деформация в направлении нормали по площадке с нулевым напряжением будет равна:

.(4.24)

Под действием внешней нагрузки упругое тело деформируется, его объем изменяется и в нем накапливается потенциальная энергия. В процессе разгружения тела потенциальная энергия проявляется в виде работы, совершаемой внутренними силами. Для определения изменения объема тела и количества накопленной им потенциальной энергии необходимо знать изменение объема и количества энергии в каждой частице тела. Приведем соответствующие формулы без подробного вывода.

Относительное изменение объема определится по формуле:

.(4.25)

После подстановки в формулу (4.25) вместо е1, е2 и е3 их выражений из (4.22), получим:

.(4.26)

В формулу (4.26) входит сумма главных напряжений. Вместо нее можно подставить сумму (ух + уу + уz), так как они равны.

.(4.27)

Формулы (4.26) и (4.27) выражают объемный закон Гука.

Если в случае пространственного напряженного состояния

у1 = у2 = у3 = у > 0

(пространственное равномерное растяжение), то на основании формулы (4.26) относительное изменение объема равно:

.(4.28)

В соответствии с законом сохранения энергии потенциальная энергия деформации элементарного параллелепипеда равна работе внешних сил, приложенных к его граням. При вычислении этой работы будем предполагать, что все внешние силы одновременно постепенно нарастают от нуля до своего конечного значения, т.е. что эти силы действуют статически.

Полная удельная потенциальная энергия деформации определится по формуле:

.(4.29)

Заменим в этой формуле относительные деформации их выражениями через обобщенный закон Гука из (4.22):



. (4.30)

Удельная потенциальная энергия выражается в Дж/м3 или Н·м/м3.

Объемное напряженное состояние можно расчленить на два напряженных состояния. В одном из них объем параллелепипеда изменяется, а форма его остается неизменной (рис. 4.6б); потенциальная энергия, накопленная в этом состоянии, называется потенциальной энергией изменения объема.

Во втором состоянии (рис. 4.6в) объем элемента не изменяется, а изменяется лишь его форма; потенциальная энергия, накопленная в этом состоянии, называется потенциальной энергией изменения формы.

Для того, чтобы получить выражение удельной потенциальной энергии изменения объема, подставим в формулу (4.30) напряжения

.

После преобразований получим:

,(4.31)

или. (4.32)



Для получения удельной потенциальной энергии изменения формы, подставим в правую часть формулы (4.30) напряжения (по рис. 4.6в) -

у1" = у1 - у0; у2" = у2 - у0; у3" = у3 - у0.

В результате получим:

.

После элементарных преобразований последнее соотношение перепишется:

(4.33)

4.6 Теории прочности

При испытании материалов статической нагрузкой на центральное растяжение и сжатие устанавливается их так называемое, опасное (или предельное) состояние. Оно характеризуется наступлением текучести материала, сопровождаемое значительными остаточными деформациями или появлением трещин, свидетельствующих о начале разрушения. Нормальные напряжения в поперечных сечениях стержней из пластичного материала в момент наступления опасного состояния равны пределу текучести уS, а из хрупкого - пределу прочности на растяжение ut.

Известно, что при расчете элементов конструкций должно быть выполнено условие прочности, требующее, чтобы наибольшее напряжение в каждой точке не превышало величины расчетного сопротивления, составляющего некоторую долю опасного напряжения. Для назначения расчетного сопротивления необходимо изучить поведение материала при его деформировании от начала нагружения до момента разрушения.

Экспериментальное изучение поведения материалов под нагрузкой при линейном напряжении или сжатии на существующих лабораторных установках не встречает затруднений. Полученные в результате экспериментов диаграммы растяжения или сжатия дают наглядное представление о сопротивлении материала упругому и пластическому деформированию и позволяют определить такие важные для оценки прочности и назначения расчетных сопротивлений механические характеристики, как предел текучести или предел прочности.

При сложном напряженном состоянии, характеризующемся в общем случае тремя различными главными напряжениями, нахождение опасных значений этих напряжений существенно усложняется. Как показывают опыты, опасное напряженное состояние элемента конструкции (текучесть, разрушение) зависит от вида напряженного состояния, т.е. от соотношения между тремя главными напряжениями. Так как число различных возможных соотношений между ними неограниченно велико, то и соответствующих опасных состояний элемента конструкции тоже может быть неограниченно много.

Таким образом, для каждого нового соотношения между главными напряжениями необходимо заново экспериментально устанавливать величину предельных напряжений. Следует иметь в виду, что опыты при сложном напряженном состоянии осуществить гораздо труднее, чем при простом растяжении или сжатии. Они, как правило, требуют изготовления специальных дополнительных приспособлений и установок к имеющимся в лабораториях машинам, более трудоемкие и дорогостоящие.

Поэтому необходимо найти способ составления условия прочности при сложном напряженном состоянии, пользуясь величинами уS и уut, полученными при опытах для линейного (одноосного) напряженного состояния.

Поставленная задача может быть решена лишь на основании предположения (гипотезы) о том, каков вид функции, связывающей прочность материала с величиной и знаком главных напряжений, каким фактором вызывается наступление опасного состояния.

Существует несколько таких гипотез, называемых теориями прочности.

1-я теория прочности - теория наибольших нормальных напряжений. Согласно этой теории, опасное состояние наступает тогда, когда наибольшее нормальное напряжение достигает опасного значения для данного материала, т.е.

или ,(4.34)

где Rt и Rс - расчетные сопротивления материала на растяжение и сжатие.

Для случаев плоского и объемного напряженного состояний данная теория экспериментально не подтверждается и имеет историческое значение.

2-я теория прочности - теория наибольших относительных удлинений. Согласно этой теории, опасное состояние наступает тогда, когда наибольшие относительные удлинения достигают опасного значения для данного материала.

.(4.35)

Если в равенствах (4.35) левую и правую части умножим на Е, то получим:

.(4.36)

Преимуществом данной теории является то, что она учитывает все три главных напряжения и экспериментально подтверждается для хрупких материалов.

Недостаток данной теории - она не подтверждается экспериментально для пластичных материалов.

3-я теория прочности - теория наибольших касательных напряжений. Согласно этой теории, опасное состояние наступает тогда, когда наибольшие касательные напряжения в данной точке достигают опасного значения для данного материала, т.е. разрушение материала происходит в результате среза.

. (4.37)

Если в равенствах (4.37) левую и правую части умножить на 2, то получим следующее условие прочности по 3-й теории прочности:

. (4.38)

Преимущество данной теории - экспериментально подтверждается для пластичных материалов.

Недостатком теории наибольших касательных напряжений является то, что она не учитывает влияния промежуточного главного напряжения у2, а также то, что не объясняет причины разрушения материала при всестороннем равномерном растяжении. Для хрупких материалов эта теория неприменима.

4-я теория прочности - энергетическая. Согласно этой теории, опасное состояние наступает тогда, когда удельная потенциальная энергия изменения формы достигает опасного значения для данного материала, определяемого опытным путем для одноосного напряженного состояния. Она широко применяется для пластичных материалов, для хрупких материалов неприменима.

Условие прочности по 4-й теории прочности запишется в следующем виде: или используя (4.33) для uф

(4.39)

откуда, после преобразования, имеем:

. (4.40)

Достоинством этой теории является то, что она учитывает все три главные напряжения. Она, как и 3-я теория, объясняет высокую прочность материала при всестороннем равномерном сжатии, но не объясняет причины разрушения материала при всестороннем равномерном растяжении.

ПРИМЕР 4.1

Даны напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках в окрестности некоторой точки (рис. 4.7).

Е = 2,06 МПа, = 0,28.

Требуется исследовать напряженно-деформированное состояние в данной точке.

Поставить знаки заданных напряжений в соответствии с их направлениями на рис. 4.7 согласно принятых правил знаков для напряжений.

Определить величины и направления главных напряжений, изобразить главные площадки на рисунке и показать на них главные напряжения

Вычислить максимальные и минимальные касательные напряжения, изобразить на рисунке площадки, на которых они действуют и показать направления напряжений. Вычислить и показать на чертеже действующие на этих площадках нормальные напряжения.

Определить нормальные и касательные напряжения на площадках, повернутых относительно заданных на угол = 30, показать эти площадки и напряжения на них. Определить полное напряжение на этой площадке и относительную деформацию по направлению .

Определить расчетные напряжения с использованием (14)-й теорий прочности и сравнить их между собой, проанализировать применимость теорий прочности для конкретного материала.

Определить относительные деформации по направлениям главных напряжений (главные деформации).

РЕШЕНИЕ

1. Постановка знаков заданных нормальных и касательных напряжений: х = 80 МПа, ("плюс" - растяжение),

у = -90 МПа ("минус" - сжатие),

ух = -50 МПа ("минус" - против хода часовой стрелки).

2. Вычисление главных напряжений.

= = = - 598,62.

Соблюдая условие у1 ? у2 ? у3, выпишем числовые значения главных напряжений:



= 1 = -5 + 98,62 = 93,62 МПа,

= 3 = -5 - 98,62 = -103,62 МПа, 2 = 0 (по условию задачи).

Проверка: 80 - 90 = 93,62 - 103,62 = -10 МПа.

Определяем угол наклона главных площадок к заданным:

;

20 = 30,5; 0 = 15,25.

Угол положительный, поэтому заданные площадки должны быть повернуты против хода часовой стрелки и на полученных главных площадках показываем главные напряжения.

При этом максимальным напряжением будет то напряжение, которое проходит в четвертях, где сходятся стрелки касательных напряжений и оно будет находиться ближе напряжению х, которое алгебраически больше, чем у (рис. 4.8).

3. Определение максимального и минимального касательных напряжений на площадках сдвига по формуле (4.12):

= = 98,62 МПа.

Нормальные напряжения на этих же площадках в соответствии с соотношением (4.13) будут:

МПа.



Покажем найденные напряжения на площадках сдвига, наклоненных к главным на 45o (рис. 4.8).

При этом направления максимального и минимального касательных напряжений покажем так, чтобы они сходились у того ребра элемента, где проходит главное напряжение 1.

4. Вычисление нормального и касательного напряжений на площадках, наклоненных к заданным на углы = 30 и 30 + 90

sin 30o = 0,5, cos 30o = 0,866;

cos 60o = 0,5, sin 60o = 0,866.

Для этого используем формулы (4.2)-(4.4)

Проверка:



=

На рис. 4.9 показаны наклонные площадки и напряжения, действующие на этих площадках c учетом их знаков. Угол > 0, поэтому заданные площадки повернуты против хода часовой стрелки.

Определим полное напряжение на наклонной площадке:

=

Относительную деформацию по направлению напряжения определим по формуле

5. Определение расчетных напряжений по четырем теориям прочности и их сравнение:

1-я теория прочности - теория наибольших нормальных напряжений:



2-я теория прочности - теория наибольших относительных удлинений:

3-я теория прочности - теория наибольших касательных напряжений:

4-я, энергетическая теория прочности:

Сравнительный анализ расчетных напряжений показывает, что наибольшее по абсолютной величине расчетное напряжение получается по третьей теории прочности.

Значит, если в данном случае использован пластичный материал, то за расчетное напряжение нужно брать это напряжение и условие прочности записать в виде:

Если же предполагается, что материал хрупкий, то нужно использовать вторую теорию прочности и условие прочности должно быть записано в виде:

6. Вычислим относительные деформации по направлениям главных напряжений (главные деформации), используя формулы обобщенного закона Гука (4.22):

4.7 Контрольные вопросы по теме

Что называется напряженным состоянием в точке? Назовите типы напряженных состояний.

Какие площадки называются главными?

Какие напряжения называются главными напряжениями?

Как определяется положение главных площадок в случае плоского напряженного состояния?

Как определяются величины главных напряжений в случае плоского напряженного состояния?

Как можно ориентировочно (без расчета) показать линию действия наибольшего главного напряжения, отличного от нуля, в случае плоского напряженного состояния?

Как определяются величины экстремальных касательных напряжений ? Как ориентированы эти площадки относительно главных?

Сформулируйте "Закон парности касательных напряжений".

Как определяются нормальные и касательные напряжения на наклонных площадках в случае плоского напряженного состояния?

В чем состоит смысл обобщенного закона Гука? Запишите соотношения, характеризующие этот закон.

Как определяется относительная деформация по заданному направлению?

Чем вызвано создание теорий прочности? Приведите формулировки и необходимые формулы для 14-й теорий прочности. Укажите преимущества и недостатки каждой теории.

Что называется тензором напряжений? Запишите тензор напряжений для объемного напряженного состояния.

Как понимаете деформационное и напряженное состояния в точке?

Назовите инварианты тензора напряжений в случае объемного напряженного состояния.

Как определяется коэффициент Пуассона?



5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ

5.1 Основные положения и определения

Как было показано в главе 3, при изучении центрального растяжения и сжатия прямых стержней, сопротивление стержня пропорционально площади поперечного сечения А: чем больше площадь поперечного сечения, тем меньше напряжение и деформация при одинаковом значении продольной силы.

Площадь является простейшей геометрической характеристикой поперечного сечения.

При расчетах на изгиб, кручение, сложное сопротивление, а также при расчете сжатых стержней на устойчивость используются более сложные геометрические характеристики поперечных сечений:

- статический момент площади;

- осевой (экваториальный) момент инерции;

- полярный момент инерции;

- центробежный момент инерции сечения.

Дадим определения этим геометрическим характеристикам для сечения произвольной формы (рис. 5.1).

Статическим моментом площади относительно некоторой оси называется взятый по всей его площади интеграл от произведения площади элементарного участка dA на расстояние от его центра тяжести до рассматриваемой оси.

(5.1)

Статические моменты выражаются в см3 и м3.

Статический момент площади составной фигуры относительно какой-либо оси равен сумме статических моментов площадей отдельных фигур относительно этой же оси.

В случае сложного сечения, состоящего из n частей, для которых известны площади и положения центров тяжести, выражение (5.1) примет вид:

(5.2)

где - площадь i-й части сложного сечения; и - расстояния от центров тяжести i-й отдельной части до осей Z и Y (рис. 5.2); n - число частей.

Статический момент площади может быть положительным, отрицательным или равным нулю. Он равняется нулю тогда, когда рассматриваемая ось проходит через центр тяжести площади сечения.

Из курса теоретической механики известно, что если известны площади и центры тяжести отдельных частей сложного сечения (рис. 5.2), то координаты его центра тяжести yC и zC относительно произвольно выбранной системы координат Y' и Z' определяются по следующим формулам:



(5.3)

Здесь - yi и zi - координаты центров тяжести отдельных частей относительно произвольно выбранной системы координат Y' и Z'; Аi - площади отдельных частей; n - количество отдельных частей.

Произвольные оси Y' и Z' рекомендуется выбирать так, чтобы сложное сечение находилось в положительной четверти, и чтобы одна или обе оси проходили бы через центр тяжести одной из простых фигур. Это упрощает вычисления (рис. 5.2).

Осевым (экваториальным) моментом инерции сечения относительно некоторой оси называется взятый по всей его площади А интеграл от произведения площади элементарного участка dA на квадрат расстояния от его центра тяжести до рассматриваемой оси:



(5.4)

Полярным моментом инерции сечения относительно некоторой точки (полюса) называется взятый по всей его площади А интеграл от произведения площади элементарного участка dA на квадрат расстояния от его центра тяжести до рассматриваемой точки (полюса):

(5.5)

Центробежным моментом инерции сечения относительно некоторых двух взаимно перпендикулярных осей называется взятый по всей его площади А интеграл от произведения площади элементарного участка dA на расстояния от его центра тяжести до рассматриваемых осей:

(5.6)

Моменты инерции измеряются в см4 и м4. Осевые и полярные моменты инерции всегда положительны. Центробежные моменты инерции могут быть положительными, отрицательными или равными нулю.

Центробежный момент инерции сечения относительно осей, из которых одна или обе совпадают с его осями симметрии, равен нулю.

Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными осями. Осевые моменты инерции относительно таких осей принимают экстремальные значения и называются главными моментами инерции.

Центральные оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными центральными осями инерции.

Порядок определения положения главных осей и величин главных моментов инерции для сечений, не имеющих ни одной оси симметрии, будет рассмотрен дальше.

Осевой момент инерции сложного сечения относительно оси Z (или Y) равен сумме осевых моментов инерции составляющих его частей (простых фигур) относительно этой же оси.

Центробежный момент инерции сложного сечения относительно некоторых осей Z и Y равен сумме центробежных моментов инерции составляющих его частей (простых фигур) относительно этих же осей.

(5.7)

Если известны осевые и центробежный моменты инерции отдельной части сечения относительно центральных осей этой части, то моменты инерции относительно осей Z и Y, проходящих через центр тяжести всего сечения и параллельных центральным осям отдельной части, определяются по формулам:

(5.8)

Здесь: - моменты инерции отдельных частей относительно их центральных осей (собственные моменты инерции); - координаты центра тяжести i-й части относительно центральных осей всего сечения Z и Y. С учетом (5.7) и (5.8) можно получить формулы (5.9) для определения моментов инерции сложных сечений, состоящих из n простых частей (см. рис. 5.2).

Таким образом, для определения моментов инерции сложных сечений в первую очередь их необходимо разбить на простые части и определить моменты инерции простых фигур относительно собственных центральных осей:

(5.9)

5.2 Моменты инерции простых сечений

Нижеприведенные формулы для определения моментов инерции простых сечений относительно их центральных осей получены из интегральных выражений для моментов инерции (5.4), (5.5), (5.6):

1. Прямоугольник



(5.10)

(5.11)

так как оси Z и Y - оси симметрии.

2. Круг

Размещено на http://www.allbest.ru/

(5.12)

(5.13)

Здесь - полярный момент инерции сечения.

3. Полукруг

(5.14)

(5.15)



4. Равнобедренный треугольник

(5.16)

(5.17)

5. Прямоугольный треугольник

(5.18)

(5.19)

(5.20)



Полезно запомнить, что в формулах (5.10), (5.11) и (5.16)-(5.19) возводится в куб размер стороны фигуры, перпендикулярной рассматриваемой оси.

В формуле (5.20) при определении центробежного момента инерции знак "минус" ставится тогда, когда острые углы треугольника находятся в отрицательных четвертях (т.е. 2-й и 4-й). В тех случаях, когда эти углы находятся в положительных четвертях (т.е. 1-й и 3-й), в формуле (5.20) ставится знак "плюс".

5.3 Главные центральные моменты инерции сложных симметричных сечений

Положение главных центральных осей и величины главных центральных моментов инерции для симметричных сечений определяются в следующем порядке:

1. Сложное сечение разбивается на простые фигуры (круг, прямоугольник, двутавр, уголок и т.п.) и проводятся их центральные оси Zi и Yi (как правило - горизонтально и вертикально).

2. Определяется по формулам (5.3) положение центра тяжести всего сечения и через эту точку проводятся его центральные оси Z и Y. При наличии двух осей симметрии центр тяжести всего сечения находится в точке их пересечения.

Если сечение обладает только одной осью симметрии, то по формулам (5.3) определяется только одна координата центра тяжести. Поясним это для фигуры, показанной на рис. 5.8:



а) оси Z' и Y' выбираем так, чтобы ось Y' совпала с осью симметрии фигуры, а ось Z' - чтобы было удобно определить расстояние до этой оси от центральных осей простых фигур;

б) определяем статический момент площади сечения относительно произвольной оси Z' по формуле:

= А1у1 + А2у2,

где Аi - площади сечений простых фигур; уi - расстояния от произвольной оси Z' до центральных осей простых фигур Zi. Расстояния уi необходимо брать с учетом знаков;

в) определяем координату уC центра тяжести по формуле (5.3):

=

г) на расстоянии уC от оси Z проводим вторую центральную ось Z. Первой центральной осью является ось симметрии Y.

3. Моменты инерции относительно главных центральных осей Z и Y (рис. 5.8) определяем по формулам (5.9), которые в развернутом виде запишутся так:



так как одна из рассматриваемых осей

(ось Y) является осью симметрии.

В этих формулах:

- осевые моменты инерции простых фигур относительно своих центральных осей (собственные моменты инерции), которые определяются по формулам (5.10)-(5.19) или по таблицам сортаментов для прокатных элементов;

- расстояния от общих центральных осей сечения Z и Y до центральных осей простых фигур. В рассматриваемом примере

и показаны на рис. 5.8;

Ai - площади простых фигур. Если простой фигурой является фигура, вырезанная от общей, т.е. "пустая" фигура, то в соответствующие формулы площади таких фигур A и их собственные моменты инерции подставляются со знаком "минус".

ПРИМЕР 5.1

Требуется определить главные центральные моменты инерции сечения, изображенного на рис. 5.9.

РЕШЕНИЕ:

1. Разбиваем сечение на простые фигуры и проводим их горизонтальные и вертикальные центральные оси Zi и Yi

2. Проводим центральные оси для всей фигуры, т.е. оси симметрии Z и Y.

3. Определяем расстояния от общих центральных осей Z и Y до центральных осей простых фигур и площади этих фигур:

4. Вычисляем собственные центральные моменты фигур по формулам (5.10)-(5.17):



5. Определяем осевые моменты инерции всего сечения относительно центральных осей Z и Y:

Центробежный момент инерции так как Z и Y - оси симметрии. Поэтому вычисленные нами IZ и IY поэтому являются главными центральными осями:

ПРИМЕР 5.2

Требуется определить главные центральные моменты инерции сечения показанного на (рис. 5.10).

РЕШЕНИЕ

1. Разбиваем сечение на простые фигуры и проводим их центральные оси и Yi.

2. Проводим ось симметрии Y. Она является главной центральной осью заданного сечения.

3. Для определения положения 2-й главной центральной оси выбираем произвольную ось Z, перпендикулярную оси симметрии. Пусть эта ось совпадает с осью Z3.

4. По формуле (5.3) определяем ординату ус центра тяжести поперечного сечения по оси Y:

Откладываем размер уC вверх от оси Z' и проводим 2-ю главную центральную ось Z.

5. Определяем осевые моменты инерции простых фигур относительно собственных центральных осей (см. формулы (5.10)-(5.17)):



6. Вычисляем расстояния от центральных осей всего сечения Z и Y до центральных осей отдельных фигур (рис. 5.10):

так как оси Y1, Y2, Y3 совпадают с осью симметрии Y.

7. Вычисляем осевые моменты инерции всего сечения относительно центральных осей Z и Y по формулам (5.9):

Центробежный момент инерции IZY всего сечения равен нулю, так как ось Y является осью симметрии, т.е. оси Z и Y являются главными центральными осями инерции сечения, а вычисленные осевые моменты инерции являются главными центральными моментами инерции:



ПРИМЕР 5.3

Требуется определить главные центральные моменты инерции составного сечения, показанного на (рис. 5.11).

РЕШЕНИЕ

Порядок решения подробно рассмотрен в примере 5.2.

1. Разбиваем сечение на отдельные фигуры, геометрические характеристики которых приводятся в таблице сортаментов (двутавр и швеллер) или легко вычисляются по формулам (5.10)-(5.20) (в данном примере прямоугольник) и проводим их центральные оси.

2. Проводим ось симметрии Y. Центр тяжести всего сечения лежит на этой оси.

3. Выбираем произвольную ось Z. Пусть в данном примере эта ось совпадает с осью Z3.

4. Расстояние уC определяем от произвольной оси Z до центра тяжести всего сечения:



Расстояния от произвольно выбранной оси Z' до центральных осей каждой фигуры (у1, у2, у3) показаны на рис. 5.11.

Площади сечений швеллера А1 и двутавра А2 выписываем из соответствующих таблиц сортамента, а площадь прямоугольника А3 вычисляем:

А1 = 23,4 см2, А2 = 46,5 см2, А3 = 242 = 48 см2.

Отложим величину уC вверх от оси Z' (так как уC > 0) и на этом расстоянии проведем главную центральную ось Z.

5. Геометрические характеристики прокатных профилей выписываем из таблицы сортаментов, учитывая различие в ориентации осей в таблице сортаментов и на рис. 5.12а, в.

1. Швеллер № 20

ГОСТ 8240-89 (рис. 5.12а)



;

Двутавр № 30

ГОСТ 8239-89

(рис. 5.12б)h = 30 см.

Буква "с" в индексе осевых моментов инерции I означает ссылку на обозначение осей в сортаменте.

Моменты инерции прямоугольника (рис. 5.12в) вычисляем отдельно по формулам (5.10) и (5.11):

6. Определяем расстояния от общих центральных осей Y и Z до центральных осей отдельных фигур (они показаны на рис. 5.11):

так как оси Y1, Y2, Y3 совпадают с осью симметрии всего сечения Y.

7. Определяем осевые моменты инерции сложной фигуры относительно центральных осей Z и Y по формулам (5.9):



Центробежный момент инерции так как ось Y является осью симметрии. Поэтому оси Z и Y являются главными центральными осями.

5.4 Главные центральные моменты инерции сложных сечений произвольной формы

При отсутствии у заданного сечения оси симметрии задача решается в следующей порядке последовательности:

1. Сечение разбиваем на простые фигуры и проводим их вертикальные и горизонтальные центральные оси.

2. Проводим произвольные оси Z' и Y', параллельные центральным осям простых фигур.

3. Определяем координаты центра тяжести заданного сечения zС и yС относительно осей Z' и Y' по формулам (5.3).

4. Откладываем расстояния zС и yС с учетом знаков от осей Z' и Y' и проводим центральные оси всего сечения Z и Y, параллельные осям Z' и Y'.

5. Определяем осевые и центробежные моменты инерции всего сечения относительно осей Z и Y по формулам (5.9).

6. Определяем величины главных центральных (экстремальных) моментов инерции всего сечения по формуле:



(5.21)

7. Определяем положение главных центральных осей:

(5.22)

где - угол, на который нужно повернуть оси Z и Y, чтобы они стали главными.

Угол нужно отложить против хода часовой стрелки, если он имеет знак "плюс" и по ходу часовой стрелки - если знак "минус".

ПРИМЕР 5.4

Требуется определить величины главных центральных моментов инерции и положение главных центральных осей инерции для сечения, изображенного на рис. 5.13.

РЕШЕНИЕ

1. Разбиваем сложное сечение на простые фигуры: 1 (треугольник), 2 (прямоугольник), 3 (полукруг).

2. Изобразим вертикальные и горизонтальные центральные оси для этих фигур.

3. Определяем площади и моменты инерции простых фигур относительно их центральных осей (собственные моменты инерции):



4. Проводим через точку А оси для всего сечения Z' и Y', параллельные центральным осям простых фигур (в данном случае они являются касательными к фигуре снизу и слева).

5. Определяем координаты центра тяжести всего сечения zС и уС относительно произвольных осей Z' и Y':

Расстояния и - от произвольно взятых осей Z' и Y' до центральных осей простых фигур показаны на рис. 5.13.



Отложим эти расстояния от осей Z' и Y' и проведем центральные оси для всей фигуры - оси Z и Y.

6. Расстояния z0i и y0i от центральных осей всего сечения Z и Y до центральных осей простых фигур Zi и Yi:

7. Осевые и центробежные моменты инерции сечения относительно общих центральных осей Z и Y определяем по формулам (3.9):



8. Главные центральные моменты инерции сечения:

Проверка:

IZ + IY = Imax + Imin

681 + 1715 = 1885 + 511 = 2396 см4.

9. Положение главных центральных осей инерции определим по формуле (5.22):

Если значит оси Z и Y нужно повернуть на угол против хода часовой стрелки для получения главных центральных осей U и V.

Положение главных центральных осей Umax и Vmin проверяется по двум, взаимно дополняющим друг друга правилам:

1. Если центробежный момент инерции всей фигуры положительный, то ось Vmin проходит через 1-ю и 3-ю координатные четверти.

2. Ось Vmin всегда ближе к той из двух центральных осей Z и Y, осевой момент инерции которой меньше.

ПРИМЕР 5.5

Для составного сечения, изображенного на (рис. 5.14), состоящего из швеллера № 20 и неравнополочного уголка № 16?10 (t = 10 мм), требуется определить:

1. Положение центра тяжести сечения.

2. Положение главных центральных осей инерции.

3. Величины главных центральных моментов инерции.

4. Величины главных радиусов инерции сечения.

РЕШЕНИЕ

1. Разбиваем сложное сечение на простые фигуры: 1 (уголок), 2 (швеллер).

2. Проводим центральные оси для этих простых фигур.

3. Выписываем из таблиц сортаментов для неравнополочных уголков (ГОСТ 8510-86) и швеллеров (ГОСТ 8240-89) площади и моменты инерции простых фигур относительно их центральных осей (собственные моменты инерции).

1-я фигура - неравнополочный уголок № 16/10 (t = 10 мм):

А1 = 25,3 см2; IZ1 = IY, c = 204 см4; IY1 = IX, c = 667 см4;

IZ1Y1 = IXY, c = 213 см4; х0,с = 2,28 см; у0,с = 5,23 см.

Примечания:

1. В зависимости от ориентации уголка по отношению осей Z и Y (рис. 5.15) его центробежный момент инерции может быть положительным или отрицательным. Если минимальная ось инерции уголка проходит через положительные четверти (1- и 3-ю), то собственный центробежный момент инерции уголка будет положительным, а если она проходит через отрицательные четверти (2- и 4-ю) то центробежный момент инерции уголка будет отрицательным (рис 5.15). В данном случае он положительный, так как ось min проходит в положительных четвертях.

2. Расположение большего размера уголка на заданном чертеже не совпадает с его положением на рисунке в таблице сортаментов, поэтому осевые моменты инерции приведены с двойным обозначением.

2-я фигура - швеллер № 20:

А2 = 23,4 см2; IZ2 = Ix,c = 1520 см4; IY2 = = IY,c = 113 см4;

z0,c = 2,07 см.IZ2Y2 = 0; h = 20 см.

Здесь буквы "с" и "х" в индексах - ссылка на обозначения осей в сортаменте.

4. Проводим через произвольную точку С2 - центр тяжести 2-й фигуры произвольные оси для всего сечения Z' и Y', совпадающие с осями Z2 и Y2.

5. Определяем координаты центра тяжести всего сечения z и у относительно произвольных осей Z' и Y':

Расстояния и - от произвольно взятых осей Z' и Y' до центральных осей простых фигур показаны на рис. 5.14.

z1 = 2,07 + 5,23 = 7,30 см; z2 = 0; y1 = -2,28 = 7,72 см; у2 = 0.

Отложим эти расстояния от осей Z' и Y' и проведем центральные оси для всей фигуры - Z и Y. На пересечении этих осей находится точка С - центр тяжести всей площади.

6. Определяем расстояния z0i, y0i от центральных осей всего сечения Z и Y до центральных осей простых фигур:

7. Вычисляем осевые и центробежные моменты инерции сечения относительно общих центральных осей Z и Y по формулам (3.9):



8. Величины главных центральных моментов инерции сечения вычислим по формуле (5.21):

9. Определим положение главных центральных осей инерции по формуле (5.22):

Если 0 < 0, значит, для получения главных центральных осей U и V оси Z и Y нужно повернуть на угол 0 по ходу часовой стрелки

Выполним проверку:



IZ + IY = Imax + Imin;

2448,5 + 1427,8 = 2971 + 905,2 = 3876,2 см4.

10. Определим значения главных центральных радиусов инерции сечения.

Радиусом инерции сечения относительно какой-либо оси называется квадратный корень от отношения осевого момента инерции относительно этой оси к площади сечения.

5.5 Контрольные вопросы по теме

Что называется статическим моментом площади относительно оси?

Относительно каких осей статический момент площади равен нулю?

Как определяется статический момент площади сложной формы относительно оси?

Напишите формулы для определения координат центра тяжести сечения сложной формы.

Что называется осевым, центробежным и полярным моментами инерции сечения?

Относительно каких осей центробежный момент инерции сечения равен нулю?

Какие оси называются главными?

Приведите формулы для определения моментов инерции наиболее распространенных простых фигур относительно их центральных осей.

По каким формулам определяются моменты инерции площадей при параллельном переносе осей?

По каким формулам определяются осевые и центробежный моменты инерции сечения сложной формы?

Как определяются величины главных центральных моментов инерции для сечений, не имеющих оси симметрии?

Как определяется положение главных центральных осей инерции для сечений, не имеющих осей симметрии?



6. ДЕФОРМАЦИЯ КРУЧЕНИЯ ПРЯМЫХ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ БРУСЬЕВ

6.1 Определение напряжений и расчеты на прочность при деформации кручения брусьев круглого сечения

Кручением называется такой вид деформации стержня, при котором в его поперечных сечениях возникают только крутящие моменты, другие внутренние силовые факторы - продольная сила, изгибающие моменты и поперечные силы - равны нулю.

Теория кручения брусьев, имеющих круглое сплошное или кольцевое поперечное сечение, основана на следующих положениях:

1. Поперечные сечения бруса, плоские и нормальные к его оси до деформации, остаются плоскими и нормальными к ней и после деформации (гипотеза плоских сечений), они лишь поворачиваются на некоторые углы вокруг этой оси.

2. Радиусы поперечных сечений не искривляются и сохраняют свою длину.

3. Расстояния (вдоль оси бруса) между поперечными сечениями не изменяются.

В поперечном сечении бруса возникают только касательные напряжения от крутящего момента, определяемые по формуле (6.1). Их направление в каждой точке перпендикулярно радиусу, соединяющему эту точку с центром сечения (рис. 6.1). В центре (при с = 0) касательные напряжения равны нулю; в точках же, расположенных в непосредственной близости от внешней поверхности бруса, они наибольшие.

(6.1)



где - крутящий момент в рассматриваемом сечении; - полярный момент инерции круглого поперечного сечения; К - расстояние от центра тяжести сечения до рассматриваемой точки К (рис. 6.1).

Рис. 6.1

Эпюры , построенные по формуле (6.1) для круглого сплошного и кольцевого сечений, представлены на рис. 6.1а, б. Наибольшие касательные напряжения в поперечных сечениях определяются по формуле:

(6.2)

Введем следующее обозначение:

(6.3)

где - называется полярным моментом сопротивления поперечного сечения (см3, м3); - расстояние от центра тяжести до наиболее удаленной точки сечения, оно равняется радиусу круга

Условие прочности при кручении запишется:



(6.4)

где RS - расчетное сопротивление материала при сдвиге.

Используя условие прочности (6.4), можно решать следующие задачи на кручение:

1. Проверочная задача, т.е. проверка прочности. Подставляя в формулу (6.4) величины из эпюры крутящих моментов и W, определенную по формуле (6.3), проверяем, выполняется ли условие прочности.

2. Проектная задача, т.е. подбор сечения. В этом случае из условия прочности (6.4), предполагая, что

,

определяется значение требуемого полярного момента сопротивления:

(6.5)

Затем значение приравнивается выражению

т.е.

Из этого равенства определяется неизвестный диаметр стержня.

Ниже приведены формулы для определения полярных моментов сопротивления для стержней круглого поперечного сечений:

а) сплошное круглое сечение (рис. 6.2а):



Рис. 6.2

(6.6)

(6.7)

здесь

б) кольцевое сечение (рис. 6.2б):

(6.8)

(6.9)

Здесь

3. Определение допускаемого значения крутящего момента для стержня заданного диаметра и из заданного материала.

Из условия прочности (6.4), которое берем со знаком равенства, т.е.

,

определяем значение допускаемого крутящего момента:

(6.10)



6.2 Определение углов закручивания брусьев круглого поперечного сечения и расчет...