Сопротивление материалов. Основы теории и примеры выполнения индивидуальных расчетных заданий

. (6.12)

Чтобы определить полный угол закручивания какого-либо сечения j бруса по отношению к закрепленному сечению (там угол закручивания равен нулю), нужно взять сумму углов закручивания на всех n участках, заключенных между неподвижным (закрепленным) и рассматриваемым j-м сечениями:

(6.13)



Относительный угол закручивания , т.е. угол закручивания, приходящийся на единицу длины, определяется по следующей формуле:

(6.14)

Условие жесткости бруса, работающего на кручение, если ограничен относительный угол закручивания , запишется в виде

(6.15)

где - допускаемый относительный угол закручивания (рад/м); - наибольший по модулю относительный угол закручивания по длине бруса.

Используя условие жесткости (6.15), можно решать следующие задачи:

1. Проверить жесткость бруса, т.е. проверить выполнение условия (6.15).

2. Определить диаметр бруса из условия жесткости (подбор сечения).

Для этого из формулы (6.15) вычисляем требуемое значение полярного момента инерции:

Приравнивая требуемую величину к выражению (6.6) или (6.8), т.е. I = , определим диаметр поперечного сечения d или dext.

3. Вычислить допускаемое значение крутящего момента для бруса заданного диаметра при известном значении G:



Если ограничен полный угол закручивания сечения (в радианах) для всего стержня, то условие жесткости запишется в следующем виде:

. (6.15)'

Здесь - наибольший полный угол закручивания сечения по отношению к закрепленному, который берется из эпюры .

При подборе сечения по данному условию жесткости эпюра строится при неизвестном диаметре, при GIp = const.

Используя условие жесткости (6.15)', также можно решать приведенные выше три типа задач.

ПРИМЕР 6.1

Требуется подобрать диаметр бруса кольцевого сечения, (рис. 6.3), по условиям прочности и жесткости при следующих исходных данных:

РЕШЕНИЕ

1. Построение эпюры крутящих моментов. Наметим два грузовых участка и в пределах каждого проводим произвольное сечение.

Рассматривая от каждого сечения правую отсеченную часть (так как там нет опоры), вычисляем величины крутящих моментов, используя следующее рабочее правило, вытекающее из метода сечений:

Крутящий момент в любом сечении бруса численно равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, действующих по одну сторону от сечения относительно продольной оси бруса в месте сечения.

Правило знаков для крутящих моментов:

Крутящий момент будем считать положительным, если при взгляде на сечение со стороны внешней нормали он будет закручивать отсеченную часть по ходу часовой стрелки. В этом случае внешний закручивающий момент МХ будет действовать против хода часовой стрелки (рис. 6.4). Знак М будет отрицательным, если направление момента М будет противоположным.

На обоих участках крутящие моменты постоянны.

По этим значениям строим эпюру (см. рис. 6.3в), из которой получаем:



2. Подбор сечения из условия прочности.

Определяем требуемый полярный момент сопротивления из условия прочности:

Используем соотношение (6.8) для бруса кольцевого сечения:

Приравниваем

Отсюда при заданном К = 0,8 находим dext = 6,37 см.

3. Подбор сечения по условию жесткости. Из условия жесткости (6.15)

определим требуемое значение полярного момента инерции по следующей формуле:

Откуда

В это соотношение подставляется в радианах, поэтому заданный угол выразим в радианах:

Из условия

получим:

Отсюда определяем dext (по условию задачи К = 0,8):

171,2 =

После округления примем dext = 7,4, тогда

dint = 0,8 dext = 0,8 7,4 = 5,92 см.

По результатам расчетов на прочность и жесткость видно, что по условию жесткости диаметр бруса требуется больше, чем по условию прочности (7,4 см > 6,37 см).

Окончательно принимаем больший диаметр:



dext = 7,4 см, dint = 5,92 см.

Проверим прочность и жесткость подобранного сечения.

Предварительно определим полярный момент сопротивления и полярный момент инерции подобранного сечения:

Условия прочности и жесткости выполняются.

6.3 Деформация кручения брусьев прямоугольного сечения

Испытания стержней некруглого сечения на кручение показывают, что поперечные сечения таких стержней после деформации перестают быть плоскими. Это явление, связанное с выходом точек поперечного сечения из плоскости, называется депланацией сечения. Когда депланация всех поперечных сечений одинакова, она считается свободной и не приводит к появлению нормальных напряжений в продольных волокнах. В противном случае депланация является стесненной и сопровождается появлением нормальных напряжений в продольных волокнах. В данной части курса мы не будем учитывать влияние стесненности депланации, т.е. будем рассматривать свободное кручение стержней.

Распределение касательных напряжений при кручении стержней прямоугольного сечения более сложное, чем стержней круглого сечения из-за наличия депланации. Эта задача была впервые решена Сен-Венаном в теории упругости. На рис. 6.5 показана картина распределения касательных напряжений в поперечном сечении прямоугольной формы. Величина максимального касательного напряжения определяется по формуле:

. (6.16)

Здесь Wt = hb2 - момент сопротивления сечения при кручении.

Дифференциальное уравнение для углов закручивания аналогично уравнению для стержня круглого сечения и имеет вид:

,

где It = hb3 - момент инерции при кручении стержня прямоугольного сечения. Величины , , называют коэффициентами Сен-Венана, их используют при расчете брусьев прямоугольного сечения на кручение. Данные коэффициенты зависят от соотношения h/b и приведены в табл. 6.1.



Таблица 6.1

h/b	1,0	1,5	1,75	2,0	2,5	3,0	4,0	6,0	8,0	10,0
б	0,208	0,231	0,239	0,246	0,256	0,267	0,282	0,299	0,307	0,313	0,333
в	0,141	0,196	0,214	0,229	0,249	0,263	0,281	0,299	0,307	0,313	0,333
г	1,0	0,859	0,820	0,795	0,766	0,753	0,745	0,743	0,742	0,742	0,743

Условия прочности и жесткости записываются аналогично (6.4), (6.15), (6.15)'.

(6.17)

(6.18)

. (6.19)

Здесь - полный угол закручивания сечения по отношению к защемленному сечению, определяется по тем же формулам, что и для круглого сечения, заменяя в них I на It.

Подбор сечения выполняется в том же порядке, как и для стержней круглого сечения.

ПРИМЕР 6.2

Для бруса, изображенного на рис. 6.6 требуется:

- построить эпюру крутящих моментов;

- из условия прочности при кручении подобрать размеры прямоугольного поперечного сечения;

- построить эпюру углов закручивания сечений при следующих исходных данных:

М1 = 2,1 кНм; М2 = 1,2 кНм; М3 = 2,7 кНм;

h/b = 2; RS = 70 МПа; G = 8104 МПа.



РЕШЕНИЕ

1. Построим эпюры крутящих моментов Мt. Рассматривая правую отсеченную часть стержня для каждого грузового участка получим:

М = М1 = 2,1 кНм;

М = М1 - М2 = 2,1 - 1,2 = 0,9 кНм;

М = М1 - М2 - М3 = 2,1 - 1,2 - 2,7 = -1,8 кНм.

Эпюра Мt показана на рис. 6.6б.

2. Определим необходимые размеры сечения, из условия прочности (6.17):

Для отношения



из табл. 6.1 находим = 0,246.

При h = 2b и при условии

= RS, = 2,1 кНм

получим .

Отсюда находим:

b = 3,93510-2 м.

После округления окончательно принимаем:

b = 4 см, h = 2b = 24 = 8 см.

Проверим прочность подобранного сечения:

Wt = = 0,246 = 31,5 см3;

= 66,67103 кПа < RS = 70103 кПа.

3. Построим эпюру полных углов закручивания.

Предварительно определим момент инерции при кручении и значение жесткости поперечного сечения при кручении GIt:

It = hb3 = 0,229843 = 117,25 см4 = 117,2510-8 м4

(при h/b = 2 = 0,229 (табл. 6.1));

G = 0,8105 МПа = 0,8108 кПа.

GIt = 0,8108 кН/м2 117,25 10-8 м4 = 93,8 кНм2.

Определим полные углы закручивания сечений А, В, С, D как сумму углов взаимного закручивания концов участков, заключенных между рассматриваемым и защемленным сечениями.

А = 0 (здесь стержень защемлен);

В = А + 3

Эпюра полных углов закручивания показана на рис. 6.6в.

6.4 Статически неопределимые задачи при деформации кручения

Как было отмечено ранее, статически неопределимыми называются брусья и системы, внутренние усилия или реакции опор в которых нельзя определить с помощью одних лишь уравнений равновесия. Поэтому при их расчете необходимо составлять дополнительные уравнения - уравнения совместности деформаций или перемещений. Число дополнительных уравнений, необходимых для расчета системы, характеризует степень ее статической неопределимости.

Важным этапом расчета статически неопределимых систем является составление дополнительных (к уравнениям равновесия) уравнений перемещений. Способ их составления поясним на следующем примере.

Рассмотрим стержень, защемленный обоими концами и нагруженный моментом МХ, действующим в плоскости, перпендикулярной продольной оси стержня (рис. 6.7).



Рис. 6.7

В этом случае в заделках могут возникать только опорные моменты МА и МВ относительно продольной оси, которые требуется определить. Направления неизвестных опорных реакций показываются произвольно.

Статическая сторона задачи для определения этих неизвестных дает только одно уравнение равновесия:

(6.20)

Получили одно уравнение с двумя неизвестными, значит степень статической неопределимости данной задачи равна единице. Для составления дополнительного уравнения рассмотрим геометрическую сторону задачи, т.е. составим условие совместности деформаций: полный угол закручивания сечения правого конца бруса (сечения В) по отношению к левому защемленному концу равен нулю, т.е.

Полный угол закручивания равен сумме углов закручивания двух участков:

(6.21)



Физическая сторона задачи. Углы закручивания отдельных участков и определим по формуле (6.11):

(6.22)

В этих формулах выражения для Мt1 и Mt2 записываем по методу сечений, рассматривая правую отсеченную часть:

Mt1 = MB - MX; Mt2 = MB. (6.23)

Подставляя выражения (6.22) с учетом (6.23) в уравнение (6.21), получим:

Отсюда при имеем:

В случае и получаем

(6.24)

ПРИМЕР 6.3

Брус, изображенный на рис. 6.8а, защемлен с двух концов:



Требуется:

- определить реакции опор и построить эпюры крутящих моментов;

- подобрать диаметр бруса сплошного круглого сечения;

- построить эпюру углов закручивания сечений.

РЕШЕНИЕ

А. Раскрытие статической неопределимости

и построение эпюры крутящих моментов

1. Статическая сторона задачи.

Здесь МА и МВ - опорные реакции в заделках, действующие в плоскостях, перпендикулярных оси стержня. Их направление выбрано произвольно.

Получили одно уравнение, содержащее два неизвестных, т.е. рассматриваемая задача один раз статически неопределима.

2. Геометрическая сторона задачи.

Для получения дополнительного уравнения рассмотрим условие совместности деформаций отдельных участков.

Определим полный угол закручивания правого концевого сечения бруса по отношению к левому сечению. Он определяется как сумма углов закручивания трех участков и равен нулю.

3. Физическая сторона задачи.

Используем закон Гука при кручении для определения i:

Методом сечений получим выражения для определения крутящих моментов из условия равновесия правой отсеченной части:

Мt3 = МВ.

Эти выражения подставим в соотношение

В = 1 + 2 + 3 = 0:

Отсюда найдем значение опорной реакции MB:



МВ = 2,83 кН·м.

4. Построение эпюры крутящих моментов.

Зная величину опорной реакции, определяем значения крутящих моментов на всех грузовых участках:

Эпюра изображена на рис. 6.8б.

Б. Подбор сечения

Используя условие прочности при кручении по формуле (6.4) определяем требуемый полярный момент сопротивления поперечного сечения.

Полярный момент сопротивления круглого сплошного сечения определяется по формуле (6.6):

Из равенства определяем d:

d = 7,17 см.

Округляя по ГОСТ 2590-88, примем d = 7,2 см.

Проверим прочность по формуле (6.4):



Недонапряжение 3,5 % объясняется округлением требуемого диаметра в большую сторону.

В. Построение эпюры углов закручивания сечений

Предварительно определим полярный момент инерции сечения и жесткость бруса при кручении:

Полные углы закручивания сечений определяем, используя формулу (6.11).

(защемление, начало отсчета);

Равенство нулю угла закручивания в сечении В (в правом опорном защемлении) подтверждает выполнение поставленного в начале задачи условия.

По вычисленным значениям строим эпюру углов закручивания (рис. 6.8в).

6.5 Кручение бруса круглого сечения в упругопластической стадии

Заменим реальную криволинейную диаграмму сдвига (на рис. 6.9 она показана пунктирной линией) - диаграммой Прандтля при сдвиге, т.е. будем считать, что при ф < фS ( - предел текучести при сдвиге) справедлив закон Гука и материал деформируется линейно-упруго. При напряжениях ф = фS возникают пластические деформации сдвига, значения которых неограниченны, а напряжения остаются постоянными и равными фS.

Выясним, как будет видоизменяться эпюра касательных напряжений в сечении при постепенном возрастании крутящего момента Мt с учетом упругопластической работы материала.

В упругой стадии напряжения ф распределены вдоль диаметра бруса по линейному закону. При возрастании момента Мt пропорционально возрастают и все напряжения. Конец этой стадии определяет равенство

фmax = (6.25)

когда в точках по краю сечения начинает появляется текучесть (рис. 6.10а). Крутящий момент, соответствующий данному состоянию, обозначим МS и получим из соотношения (6.25):

МS = фSWс = фS (6.26)

При дальнейшем возрастании крутящего момента пластическая зона будет все больше проникать вглубь сечения бруса (рис. 6.10б), а все сечение разделится на 2 зоны: упругое ядро, где S с радиусом rS и пластическую кольцевую зону

rS R, где = S.

Суммарный крутящий момент представим как сумму:

Мt = Mt1 + Mt2, (6.27)

где момент упругого ядра

Мt1 = S (6.28)

найден по формуле (6.26) (R заменено на rS), а момент пластической кольцевой зоны равен



Мt2 = (6.29)

При вычислении момента пластической кольцевой зоны элементарная площадь dA равна площади кольца толщиной d, т.е.

dA = 2

Из формулы (6.29) видно, что при rS 0 пластическая зона стремится охватить все сечение (рис. 6.10в) и внутренний момент стремится к своему предельному значению:

Мпред = (6.30)

Поперечное сечение стержня, в котором во всех точках возникают пластические деформации, называется пластическим шарниром. Cтержень превращается как бы в пластический механизм, в котором углы закручивания неограниченно растут при постоянном моменте Мпред.

Соотношение

показывает, что от момента первого появления пластических деформаций в наиболее напряженных точках бруса до полного исчерпания несущей способности крутящий момент должен возрасти в 1,33 раза, то есть это соотношение выражает резерв несущей способности за счет учета упругопластических свойств материала.

6.6 Контрольные вопросы по теме

При каком нагружении прямой брус испытывает только деформацию кручения?

Как определяется величина крутящего момента в любом сечении бруса? Каков порядок построения эпюр крутящих моментов?

Какие напряжения возникают в поперечном сечении бруса при деформации кручения и как они определяются?

Как распределены напряжения в сечении при кручении бруса круглого сечения?

Запишите условие прочности при кручении.

Каков порядок подбора размеров поперечного сечения бруса при кручении по условию прочности?

Что называется полярным моментом сопротивления поперечного сечения?

Как определяется полярный момент сопротивления для круглого сплошного и кольцевого сечений?

Какие задачи кручения брусьев решаются с использованием условия прочности?

Что называется жесткостью сечения при кручении?

Как определяется взаимный угол закручивания сечений на участке бруса длиной ?

Как определяется относительный угол закручивания?

Как определяется полный угол закручивания сечения по отношению к неподвижному или начальному сечению?

Как записываются условия жесткости при кручении через полный и относительный углы закручивания?

Поясните порядок подбора сечений при кручении из условий жесткости.

Каков порядок решения статически неопределимых задач при кручении?

Как распределяются касательные напряжения при кручении бруса прямоугольного сечения?

Запишите условие прочности при кручении бруса прямоугольного поперечного сечения.



7. ПРЯМОЙ ИЗГИБ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ БАЛОК

7.1 Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил

Балкой называется брус, претерпевающий деформацию поперечного изгиба.

Прямой изгиб - вид деформации, при котором внешние усилия приложены к брусу перпендикулярно к его продольной оси и действуют в плоскости, совпадающей с одной из главных плоскостей инерции бруса (если центр тяжести сечения и центр изгиба совпадают). При этом в поперечных сечениях бруса возникают изгибающий момент и поперечная сила, действующие в той же плоскости, что и внешние силы. Такой изгиб называется прямым поперечным. Если в сечениях бруса возникает только изгибающий момент, а поперечная сила равна нулю, то такой изгиб называется прямым чистым изгибом.

Если центр тяжести сечения и центр изгиба не совпадают, то при прямом изгибе плоскость действия внешних сил проходит через центр изгиба параллельно одной из главных осей инерции поперечного сечения.

Центром изгиба называется точка, находящаяся в плоскости поперечного сечения бруса, в которой приложенная сила перпендикулярна продольной оси, не вызывает кручения сечения.

При построении эпюр внутренних усилий (графиков их изменения по длине бруса) используется метод сечений, описанный в главе 1.

1. На брусе выделяем грузовые участки. Часть бруса, в пределах которой закон изменения внутреннего усилия описывается одним аналитическим выражением, называется грузовым участком. Внешними признаками границ грузовых участков являются:

- точки приложения сосредоточенных сил и моментов;

- места расположения опор;

- места начала и конца действия распределенных нагрузок;

- места изменения интенсивности распределенной нагрузки.

- места изломов оси.

2. В пределах каждого грузового участка проводим сечения, перпендикулярные продольной оси бруса, на расстоянии хi от начала данного грузового участка или от начала бруса, т.е. начало координат совмещаем с началом каждого грузового участка или оставляем неподвижным на одном из краев бруса (рис. 7.1а).

3. Отбрасываем любую часть (лучше ту, на которую действует больше сил).

4. Заменяем действие отброшенной части на оставшуюся положительными изгибающим моментом и поперечной силой (рис. 7.1б). При этом используем следующее правило знаков: изгибающий момент в рассматриваемом сечении считается положительным, если от нагрузки, действующей на рассматриваемую отсеченную часть стержня, он стремится растянуть в этом сечении нижние продольные волокна, и отрицательным, если стремится растянуть верхние волокна (рис. 7.2а).



Ординаты эпюр изгибающих моментов принято откладывать со стороны растянутых волокон. Таким образом, знаки для изгибающих моментов в дальнейшем будем использовать только при их вычислении в различных сечениях балки и не указывать на эпюрах изгибающих моментов.

Поперечная сила в сечении считается положительной, если стремится сдвинуть отсеченную часть по ходу часовой стрелки и отрицательной - если против хода часовой стрелки (рис. 7.2б).

5. Составив уравнения равновесия для оставшейся части, определим значения изгибающего момента и поперечной силы в рассматриваемом сечении К (см. рис. 7.1б):

или (7.1)

отсюда

или (7.2)

Выражения (7.1) и (7.2) позволяют сформулировать следующие практически полезные рабочие правила:

1. Поперечная сила в любом сечении бруса численно равна алгебраической сумме проекций всех внешних сил, приложенных к одной (рассматриваемой) части бруса на ось, перпендикулярную оси бруса в данном сечении.

2. Изгибающий момент в любом поперечном сечении бруса численно равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, приложенных к одной (рассматриваемой) части бруса относительно центра тяжести рассматриваемого сечения (для плоских систем) или относительно оси, проходящей через центр тяжести данного сечения и перпендикулярной плоскости действия сил (для пространственных систем).

Для выявления опасных сечений, где действуют наибольшие значения изгибающих моментов и поперечных сил, необходимо строить графики их функций т.е. эпюры. Порядок построения эпюр М и Q рассмотрен на ряде примеров при расчете балок на прочность в п. 7.4.

7.2 Расчеты на прочность

При прямом поперечном изгибе в поперечном сечении бруса действуют нормальные и касательные напряжения.

Нормальные напряжения вызваны изгибающим моментом и определяются по формуле:

(7.3)

где - величина изгибающего момента в сечении; у - ордината точки, где определяется (рис. 7.3); - главный центральный момент инерции сечения бруса.

По формуле (7.3) можно определять нормальные напряжения в любой точке, лежащей на горизонтальной линии поперечного сечения бруса и отстоящей от нейтральной оси Z на расстоянии у. Знак "минус" перед формулой (7.3) поставлен для того, чтобы при принятых правилах знаков для изгибающих моментов знак полученного нормального напряжения соответствовал характеру деформации точек сечения: "плюс" - растяжению, "минус" - сжатию.

Из соотношения (7.3) видно, что нормальное напряжение зависит от величины у линейно. График, изображающий закон изменения нормальных напряжений по высоте сечения, называемый эпюрой напряжений, показан на рис. 7.3б. Наибольшее нормальное напряжение будет в точке, для которой величина у в формуле (7.3) принимает максимальное значение, т.е. в наиболее удаленной от нейтральной оси точке сечения.

При прямом изгибе нейтральная ось совпадает с главной центральной осью поперечного сечения, перпендикулярной плоскости действия сил.

Анализ формулы (7.3) для определения нормальных напряжений при прямом изгибе и их эпюра (рис. 7.3б) позволяют записать условия прочности при прямом изгибе по нормальным напряжениям. Для пластичных материалов (при Rt = Rc = R) это условие имеет вид:

или:

(7.4)



где (7.5)

Здесь называется осевым моментом сопротивления сечения; - расстояние от нейтральной (центральной) оси до наиболее удаленной точки сечения, взятое по модулю; R - расчетное сопротивление материала по пределу текучести.

Для хрупких материалов, когда расчетные сопротивления материала на растяжение (Rt) и на сжатие (Rc) не равны между собой, т.е. Rt Rc, условия прочности для растянутой и сжатой зон записываются отдельно:

(7.6)

(7.7)

где (7.8)

(7.9)

В формулах (7.8) и (7.9) величины

и

означают наибольшие по модулю расстояния от нейтральной оси сечения соответственно до наиболее растянутого и сжатого волокна. В таких случаях в первую очередь с помощью эпюры изгибающих моментов нужно выяснить, какая часть сечения работает на растяжение, какая - на сжатие.

В приведенных условиях прочности при прямом изгибе означает наибольшее по модулю значение изгибающего момента и берется из эпюры М.

Как и для других видов деформации, условия прочности при прямом изгибе (7.4), (7.6) и (7.7) позволяют решать три типа задач:

1. Проверочная задача - проверка прочности при всех известных данных непосредственно с помощью приведенных формул.

2. Проектная задача - подбор сечения балки. Для решения задач этого типа из условия прочности определяют требуемое значение осевого момента сопротивления, принимая условие прочности со знаком равенства, т.е.

= R.

Например, для балки из пластичного материала из формулы (7.4) получаем

Выражая фактическую величину через формулу (7.5) из равенства

,

находим неизвестный размер сечения или номер профиля для прокатного элемента из таблицы сортаментов.

3. Определение допускаемого значения изгибающего момента, т.е. определение несущей способности балки с заданными размерами и характеристиками:

Касательные напряжения в сечении при прямом поперечном изгибе возникают от поперечной силы и определяются по формуле Д.И. Журавского:

(7.10)

где QY - поперечная сила в том сечении, в точках которого определяются касательные напряжения; - статический момент отсеченной части площади поперечного сечения (части площади выше или ниже точки, в которой определяются касательные напряжения ) относительно центральной (нейтральной) оси Z, взятый по абсолютной величине; b(y) - ширина сечения на уровне точки, для которой определяется касательное напряжение (на расстоянии у от нейтральной оси).

Определение b(y) и для произвольной точки произвольного сечения, а так же характер распределения нормальных и касательных напряжений покажем на примере сечения в виде трапеции (рис. 7.4).

Наибольшие по модулю касательные напряжения



будут в тех точках, где отношение

достигает максимума. В частности, для прямоугольного сечения при

наибольшие по модулю касательные напряжения возникают в точках нейтральной оси, так как статический момент полусечения относительно центральной оси всегда больше, чем для других частей сечения.

В общем случае, условие прочности балки по касательным напряжениям будет иметь вид:

(7.11)

Здесь RS - расчетное сопротивление материала на сдвиг.

Наибольшие по модулю значения изгибающего момента

и поперечной силы ,

берут из соответствующих эпюр.

Принимая во внимание, что при прямом изгибе другие внутренние силовые факторы, кроме и QY, равны нулю, в дальнейшем при их обозначении нижние индексы Z и Y будем опускать.



7.3 Расчет по методу предельной несущей способности

В методе расчетных сопротивлений, рассмотренном ранее, условие прочности ограничивает достижение хотя бы в одной точке поперечного сечения напряжения, равного расчетному сопротивлению для данного материала, т.е. R.

В методе предельной несущей способности условие прочности относится не к напряжению, а к допускаемому изгибающему моменту, который определяется как отношение предельного изгибающего момента к коэффициенту запаса n.

(7.12)

При одинаковом значении коэффициента запаса по напряжениям и по нагрузкам

n =

метод предельной несущей способности дает некоторую экономию материала.

Рассмотрим метод предельного равновесия при изгибе балок из упруго-пластического материала (например, сталь).



Для упрощения задачи примем в качестве расчетной диаграмму Прандтля (рис. 7.5). При < S материал работает линейно-упруго, поэтому для вычисления нормальных напряжений в поперечном сечении балки справедлива формула:

При достижении максимального значения нормального напряжения в наиболее удаленной от центральной (нейтральной) оси сечения точке предела текучести

= S

продольные волокна в этой точке неограниченно деформируются при постоянном напряжении

= S

При таком предположении рассмотрим стадии, проходящие балкой при увеличении изгибающего момента в данном сечении вплоть до исчерпания несущей способности (рис. 7.6).

При постепенном возрастании максимального изгибающего момента линейно-упругая стадия работы балки заканчивается при достижении текучести в самой напряженной крайней точке (рис. 7.6б). Соответствующий данному состоянию изгибающий момент определится из условия

Отсюда МТ = . (7.13)

При дальнейшем увеличении внешней силы, а значит и максимального изгибающего момента, наступает упруго-пластическая стадия работы балки. Зона текучести при этом будет расширяться от крайних точек, а эпюра при МТММпред будет иметь вид (рис. 7.6в). В пределе эпюра превратится в ступенчатую эпюру с ординатами = S. В данный момент это сечение будет работать в чисто пластической стадии (рис. 7.6г).

Если центральная ось Z является осью симметрии сечения, то обе крайние точки достигают текучести одновременно.

Состояние сечения, когда во всех точках развиваются пластические деформации, называют пластическим шарниром.

При этом балка, если она была статически определимой, как бы превращается в механизм, продолжающий увеличивать прогибы при постоянной внешней нагрузке, равной предельной. Такое состояние называют пластическим механизмом. В поперечном сечении, где образовался пластический шарнир, внутренний момент обозначим Мпред и назовем его пластическим предельным моментом.

Таким образом, наиболее напряженное сечение балки проходит три стадии работы:

- линейно упругую

;

- упруго пластическую

МТ < < Мпред.)

- чисто пластическую (пластический шарнир)

|M|max = Mпред

напряжение сжатие деформация кручение изгиб

Получим формулу для определения Мпред на примере сечения с одной осью симметрии (рис. 7.6).

В упругой стадии эпюра линейна и нулевая (нейтральная) линия совпадает с центральной осью Z.

В общем случае при образовании пластического шарнира нейтральная ось (н.о) n-n смещается от центра тяжести сечения (точки С). В этот момент все сечение делится на две части: часть, растягиваемую постоянным напряжением S с площадью Ар и соответствующей силой



NP = АP S

и часть сжимаемую постоянным напряжением S с площадью Асж с действующей силой

Ncж = -АсжS

Так как суммарная продольная сила в сечении при поперечном изгибе равна нулю, то из условия:

NР + Nсж = АР-Асж = 0

получим Ар = Аcж =

Таким образом, при образовании пластического шарнира нейтральная ось делит площадь поперечного сечения на две равновеликие части. Эта ось на рис. 7.4 показана пунктиром.

Внутренний момент Мпред найдем как момент всех элементарных сил (S dA) относительно нейтральной оси n-n, (рис. 7.6а).

(7.14)

Здесь -

S

статический момент растянутой зоны относительно нейтральной оси в предельном состоянии n-n;

S

- то же для сжатой зоны.

Обозначим

S + S = Wпл, (7.15)

где Wпл - пластический момент сопротивления сечения в отличие от

WZ =

осевого момента сопротивления в упругой стадии.

Формулу (7.14) можно записать в виде, аналогичном соответствующей формуле в упругой стадии:

Мпред = (7.16)

7.4 Примеры расчета

ПРИМЕР 7.1

Для балки, изображенной на рис. 7.7а, требуется:

- построить эпюры М и Q;

- подобрать сечение в четырех вариантах (рис. 7.7б, в, г, д) и проверить прочность подобранных сечений по нормальным и касательным напряжениям.



РЕШЕНИЕ

А. Построение эпюр М и Q

1. В пределах грузовых участков 1, 2, 3 (рис. 7.7а) проводим сечения на расстоянии xi от начала каждого участка. При этом рассматриваем правую, свободную от опоры, часть балки, а левую отбрасываем.

Заменяя действие отброшенной части неизвестными

положительными поперечной силой Qi(xi) и изгибающим моментом Мi(xi) и рассматривая равновесие выделенной части балки, находим выражения внутренних усилий на участках.

При построении эпюр М и Q и их проверке используем дифференциальные зависимости Д.И. Журавского между М, Q и q:

(7.17)

В зависимостях (7.11) перед q ставится знак "минус", если распределенная нагрузка направлена вниз.

1-й грузовой участок (рис. 7.8)



Составим уравнения равновесия для 1-го участка.

= 0; Q1(x1) - qx1 + F = 0;

Так как Q1(x1) - линейная функция, то для построения эпюры Q на этом участке достаточно рассмотреть два сечения:

х1 = 0 м, Q1(0) = - 20 кН;

х1 = 2,0 м, Q1(2) = 10 кН.

Строим эпюру Q из которой видно (см. рис. 7.7е), что на первом участке эпюра поперечных сил имеет нулевую ординату. В соответствии с дифференциальной зависимостью (7.17) между М и Q

эпюра изгибающих моментов на этом участке будет иметь экстремум.

Приравнивая Q1(х1) к нулю при х1 = х0, получим:

-М1(х1) - q + Fx1 = 0;



Функция М1(х1) - квадратичная, поэтому для построения графика этой функции на данном участке (эпюры М), находим не менее трех значений изгибающего момента:

х1 = 0 м, М1(0) = 0 кНм;

х1 = х1 = 1,33 м, М1(х0) = Mextr = 13,3 кНм;

х1 = 2,0 м, М1(2) = 10 кНм.

По найденным значениям строим эпюру М на первом участке под эпюрой поперечных сил. Изгибающие моменты откладываем со стороны растянутых волокон, т.е. "плюс" - вниз (растягиваются нижние волокна), "минус" - вверх (растягиваются верхние волокна) см. (рис. 7.7е, ж).

Аналогично построим эпюры на 2-м и 3-м грузовых участках:

2-й участок (рис. 7.9):

= 0; Q2(x) - q2 + F = 0;

Эпюра Q постоянна по длине данного участка.



- М2 (х2) - q2 (х2 + ) + F(x2 + 2) = 0;

Изгибающий момент на данном участке изменяется по линейному закону:

х2 = 0 м,

х2 = 1,5 м,

3-й участок (рис. 7.10):

Рассматривая 3-й участок также вырежем правую часть балки. Начало локальной системы координат поместим в начале 3-го участка.

= 0; Q3(x3) - q2 + F = 0;

Эпюра Q постоянна по длине участка.

-М3(х3) - М - q2(х3 + 1 + 1,5) + F (x3 + 3,5) = 0;



(знак "минус" означает, что растягиваются верхние волокна);

х3 = 1 м,

Эпюры М и Q, построенные по результатам расчётов, показаны на рис. 7.7е, ж.

Б. Подбор сечения

Из эпюр М и Q имеем:

= 20 кН.

1. Балка прямоугольного сечения (см. рис. 7.7б):

R = 10 МПа, Rs = 5 МПа, h = 4b.

Из условия прочности (7.2) определим требуемую величину осевого момента сопротивления при

:

Осевой момент сопротивления для прямоугольного сечения при заданных соотношениях сторон определится по формуле:



Приравняем

и найдем размер сечения b:

Округляя в большую сторону, примем:

b = 11,5 см, h = 4b = 411,5 = 46 см.

Проверим прочность подобранного сечения по нормальным и касательным напряжениям.

Прочность по нормальным напряжениям обеспечена. Недонапряжение в 1 % объясняется округлением размера сечения b в большую сторону.

Для проверки прочности по касательным напряжениям используем формулу (7.11):

20 кН, (из эпюры Q);

I



Наибольшие касательные напряжения для прямоугольного сечения возникают в точках, лежащих на центральной оси Z, так как S для полусечения (отсечение проводится через точку К, находящуюся на центральной оси Z) имеет максимальное значение (рис. 7.11в):

S11,5

b = b = 11,5 см. Аотс = b; y = .

Прочность по касательным напряжениям обеспечена с большим запасом.

2. Балка сплошного круглого сечения, материал - дерево,



Требуемый осевой момент сопротивления берем из предыдущего расчета, так как он не зависит от формы сечения

Осевой момент сопротивления для круглого сечения:

где

Из условия

имеем:

отсюда -

Округляя, примем d = 0,35 м.

Проверим прочность подобранного сечения по нормальным напряжениям:



Прочность балки по нормальным напряжениям обеспечена. Небольшое недонапряжение (-5 %) объясняется округлением диаметра в большую сторону.

Наибольшая ширина данного сечения d находится на центральной оси, значит максимальные касательные напряжения будут небольшими, поэтому для данного сечения проверку по касательным напряжениям можно не производить.

3. Балка из прокатного двутавра (см. рис. 7.7г).

Из условия прочности по нормальным напряжениям определяем требуемое значение осевого момента сопротивления:

Из таблицы сортаментов по ГОСТ 8239-89 для стального проката находим двутавр, имеющий близкий к требуемому осевой момент сопротивления:

Двутавр № 20,

Проверим прочность этого двутавра:

Определим процент перенапряжения.



Такая величина перенапряжения считается недопустимой, поэтому проверим прочность двутавра № 22.

Для этого двутавра из сортамента имеем

Имеет место недонапряжение

Окончательно выбираем двутавр № 22.

Проверим прочность подобранного сечения по касательным напряжениям.

Наибольшие касательные напряжения будут в точках сечения, лежащих на центральной оси, так как статический момент полусечения имеет максимальное значение, а толщина в этом месте - минимальная.

Для двутавра № 22 из таблицы сортаментов для прокатных двутавров (ГОСТ 8239-89) получаем:

I;

bК = sc = 5,4 мм = 0,54 см;

S

- статический момент полусечения.

Тогда



Прочность балки по касательным напряжениям обеспечена с большим запасом.

4. Балка из стальной трубы (см. рис. 7.7д)

R = 200 МПа; RS = 100 МПа;

Из предыдущего, третьего пункта, имеем:

Для кольцевого поперечного сечения:

Из условия:

WZ = W

определяем наружный диаметр dext:

200 см3 =



dext =

Округляя, примем

dext = 18 см; dint = 0,9dext = 0,918 = 16,2 см.

Проверим подобранное сечение по нормальным и касательным напряжениям:

Относительная величина перенапряжения составляет:

1,6 % < 5 %,

что допустимо и объясняется округлением требуемого диаметра в меньшую сторону.

Проверяем прочность поперечного сечения по касательным напряжениям. Опасной является точка, лежащая на центральной оси Z, так как для этой точки статический момент полусечения достигает максимального значения, а ширина сечения имеет минимальную величину. Для проверки прочности используем формулу (7.11):



Ширина сечения на уровне центральной оси bК определится как разность диаметров:

bК = dext - dint = 18 - 16,2 = 1,8 см.

Статический момент отсеченной части сечения выше центральной оси Z определим как разность статических моментов большего и меньшего полукругов:

Максимальное касательное напряжение составляет:



Условие прочности по касательным напряжениям выполняется с большим запасом.

ПРИМЕР 7.2

Для балки, изображенной на рис. 7.12а, требуется:

- построить эпюры М и Q;

- подобрать размеры стальных составных сечений в двух вариантах (по рис. 7.12г, д).

РЕШЕНИЕ

А. Построение эпюр М и Q

Определяем реакции опор

НА = 0;

VB = 56,67 кН;



Проверка:

В отличие от предыдущего примера определим изгибающие моменты и поперечные силы в отдельных сечениях балки без составления функций для М и Q, используя только приведенные ранее (п. 7.1, стр. 122) рабочие правила и правила знаков.

Сечения проведем бесконечно близко в начале и в конце грузовых участков, на которых отсутствует распределенная нагрузка q. Дополнительное сечение проведем по середине участка, где имеется q (рис. 7.12 а).

Вычислим значения Q и М в этих сечениях. Для сечений 1-1, 2-2, 3-3 будем рассматривать левую отсеченную часть, а для остальных - правую часть.

По полученным результатам строим эпюры М и Q (рис. 7.12б, в).

Эпюру М строим со стороны растянутых волокон, т.е. значения М со знаком "минус" откладываем вверх. Из эпюры Q видно, что экстремальное значение изгибающего момента на 1-м грузовом участке будет в сечении на расстоянии х0, т.е. там, где Q(х0) = 0. Из этого условия находим величину х0:

Q(х0) = VA - qx0 = 43,33 - 20x0 = 0; x0 =

Вычисляем в этом сечении величину Мэкстр:

Мэкстр. = М(х = х0) = 43,332,17-20

При анализе правильности эпюр с учетом дифференциальных зависимостей между М, Q и q (7.13) замечаем:

- на эпюре М имеется скачок там, где приложен внешний сосредоточенный момент

- на эпюре Q имеются скачки в сечениях, где приложены внешние сосредоточенные силы, в том числе и опорные реакции;

- на участках, где отсутствует q, эпюра моментов изменяется по линейному закону, а эпюра Q постоянна;

- на участке, где имеется равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q, эпюра М меняется по закону квадратной параболы, выпуклостью в сторону действия q, а эпюра Q - по линейному закону. Тангенс угла наклона этой прямой к продольной оси балки равен интенсивности нагрузки q.

Б. Подбор сечения балки

1. Вариант сечения по рис. 7.12г

R = 200103 кПа; RS = 100103 кПа.

А. Из условия прочности по нормальным напряжениям определяем требуемую величину осевого момента сопротивления.

Из эпюры изгибающих моментов получаем |M|max = 46,94 кНм.

Допускаем, = R и из этого условия определяем требуемое значение осевого момента сопротивления:

Определяем положение главной центральной оси Z и величину главного центрального момента инерции заданного сечения (см. главу 5). Геометрические характеристики плоских сечений:

Здесь ус - расстояние от произвольно взятой оси Z' до центральной оси Z для всей фигуры; Аi - площади отдельных фигур:

А1 = 10д 2 = 202; А2 = 22 = 222; А3 = 52 = 102;

уi - ординаты центров тяжестей отдельных фигур относительно произвольно взятой оси Z'. Пусть произвольная ось Z' совпадает с осью Z3 (см. рис. 7.12г).

у1 = у2 =

у3 = 0, так как оси Z3 и Z' совпадают.



Отложим найденное расстояние yС от оси Z' и проведем общую центральную ось Z. Осевой момент инерции всей фигуры относительно оси Z вычислим по формуле:

Здесь IZi - собственные моменты инерции простых фигур относительно их собственных центральных осей.

Так как все фигуры прямоугольники, то:

IZ1 =

IZ2 =

IZ3 =

у0i - расстояния от общей центральной оси Z до центральных осей простых фигур Zi:

Б. Определим осевой момент сопротивления сечения.

Расстояния от центральной (нейтральной) оси Z до наиболее удаленных (крайних) точек сечения А и В (рис. 7.13а):



Отсюда:

Осевой момент сопротивления определим по формуле:

В. Приравняем найденное ранее значение требуемого осевого момента сопротивления к выражению для определения фактической величины осевого момента сопротивления и найдем параметр сечения :

2. Расчет балки по 2-му варианту сечения (см. рис. 7.12д и 7.13а) R = 200М Па, RS = 100 МПа.

А. Определение осевого момента сопротивления сечения

Так как сечение имеет две оси симметрии, его центр тяжести находится на их пересечении.

Определим главный центральный момент инерции сечения относительно оси Z как разность моментов инерции двух прямоугольников, центры тяжести которых совпадают.

IZ =

WZ = здесь

Б. Определение требуемого момента сопротивления сечения

Из условия прочности по нормальным напряжениям

при = R получаем

W

В. Из условия

WZ = W

определим размер

393,6 = 234,7 см3;

Полученное значение округляем по ГОСТ 103-76 для стальной полосы и принимаем 9 мм = 0,9 см.

Г. Проверим прочность подобранного сечения по нормальным и касательным напряжениям

<R.

Имеется недонапряжение из-за округления размера сечения в большую сторону. Оценим его в процентах:

(%) =

Из рис. 7.13г видно, что наибольшие касательные напряжения будут в точке К, лежащей на центральной оси.

Условие прочности:

(из эпюры Q, см. рис. 7.12б);

IZ = 3936 = 39360,94 = 2582 см4;

в(у)(к) = 2 = 20,9 = 1,8 см;

S находим как разность статических моментов площадей, лежащих выше центральной оси Z, относительно этой же оси:

S



Условие прочности по касательным напряжениям выполняется с большим запасом.

ПРИМЕР 7.3

Для балки составного сечения (см. рис. 7.12г), рассчитанной в примере 7.2, требуется:

1. Выполнить полную проверку прочности балки при R = = 200 МПа, RS = 100 МПа.

2. Подобрать размер сечения по методу предельного равновесия (при коэффициенте запаса n = 1,2 и = 240 МПа) и сравнить его с величиной, полученной по методу расчетных сопротивлений в примере 7.2.

1. Полная проверка прочности балки

А. Проверка по нормальным напряжениям в точке А (рис. 7.14а), наиболее удаленной от нейтральной оси в 1-м опасном сечении, т.е. там, где действует наибольший по модулю изгибающий момент |M|max = 46,94 кНм при = 0,9 см:

Имеет место небольшое недонапряжение ввиду округления в большую сторону.

(%) =

Б. Проверка прочности по касательным напряжениям в поперечном сечении во 2-м опасном сечении, т.е. там, где действует наибольшая по модулю поперечная сила |Q|max = 43,3 кН (см. эпюру Q, сечение 1-1, рис. 7.12).



Для данного сечения наибольшие касательные напряжения будут действовать в точках, лежащих на центральной (нейтральной) оси (см. эпюру ф на рис. 7.14в):

IZ = 4940,41 b(у)(К) = = 0,9 см.

Статически момент отсеченной части, находящейся выше центральной оси относительно этой же оси Z определим как сумму статических моментов двух прямоугольников:

< RS.

Условие прочности по касательным напряжениям в поперечном сечении выполняется с большим запасом.

В. Проверка прочности в 3-м опасном сечении, т.е. там, где одновременно действуют сравнительно большие изгибающий момент и поперечная сила, на совместное действие нормальных и касательных напряжений.

В данном примере таким сечением является сечение 5-5, где МIII = -40 кНм, QIII = -36,67 кН.

Анализ эпюр нормальных и касательных напряжений (см. рис. 7.14б, в) показывает, что в тех точках поперечного сечения, где действуют наибольшие нормальные напряжения ||max (это наиболее удаленная от нейтральной оси Z точка А), имеет место одноосное напряженное состояние, так как там отсутствуют касательные напряжения и мы пренебрегаем давлением волокон друг на друга, т.е.

уy = 0; уx = у (рис. 7.15г).

В этой точке прочность уже проверена.

В точках поперечного сечения, лежащих на нейтральной оси Z действуют только касательные напряжения, а нормальные напряжения равны нулю, т.е. там имеет место чистый сдвиг (точка K на рис. 7.14а). Прочность в этой точке по касательным напряжениям тоже проверена.

Остается проверить прочность в сечении 5-5 (см. рис. 7.12а), где имеет место наиболее неблагоприятное сочетание значений изгибающего момента и поперечной силы (М = -40 кНм, Q = -36,67 кН) на совместное действие нормальных и касательных напряжений в тех точках, где они одновременно принимают сравнительно большие значения. Такой точкой является точка С (см. рис. 7.13а). В такой точке имеет место плоское напряженное состояние.

Для проверки прочности в точке С используем 3-ю теорию прочности - теорию наибольших касательных напряжений.

Здесь

S = 5 = 143 = 143 = 104,25 см3;

b(y)С = = 0,9 см;

2. Расчет по методу предельного равновесия

Из условия прочности по методу предельного равновесия (7.12) определим параметр заданного сечения и сравним его с этим же параметром, полученным из расчета по методу расчетных сопротивлений.

Как было показано ранее, в предельном состоянии нейтральная ось n-n делит сечение на две равновеликие части - растянутую и сжатую зоны. Из условия

Ар = Асж = где А = 20 + 22 + 10 = 52

определим положение нейтральной оси n-n в предельном состоянии (рис. 7.16а) из выражения для определения площади растянутой зоны, состоящей из двух прямоугольников с площадями 102 и х:



Ар = 20 + х отсюда х = 6.

Определим статические моменты растянутой (верхней) и сжатой (нижней) зон относительно нейтральной оси n-n.

S

S

Определим пластический момент сопротивления сечения:

Wпл = S + S = 158

Из условия прочности по методу предельного равновесия определим неизвестный параметр сечения :

При S = 240103 кПа, n = 1,2 имеем:

46,94 кНм =

Отсюда



Сравним расход материала по площади сечения при размере сечения д2 = 0,8 см с площадью сечения при размере 1 = 0,9 см, полученном по методу расчетных сопротивлений):

Видно, что по методу предельного равновесия балка получается на 21 % легче по весу, т.е. по расходу материала.

7.5 Контрольные вопросы по теме

Какой вид деформации называется прямым изгибом? Какая разница между чистым и поперечным изгибом?

Какие внутренние силовые факторы возникают в поперечных сечениях бруса при прямом поперечном изгибе? Как они определяются?

В чем заключается суть метода сечений при определении внутренних усилий?

Дайте определение понятия "грузовой участок". Какие внешние признаки определяют границы грузовых участков?

Каков порядок построения эпюр Q и М в балках?

Какие дифференциальные зависимости существуют между функциями М, Q и q?

Какие особенности имеют эпюры М и Q на границах и по длине грузовых участков в зависимости от приложенных внешних сил?

По какой формуле определяются нормальные напряжения при прямом изгибе в произвольной точке поперечного сечения? Покажите их эпюры на рисунке.

Как определяются касательные напряжения при прямом поперечном изгибе в произвольной точке поперечного сечения? Изобразите их эпюры для некоторых типов сечений.

Напишите условия прочности при прямом изгибе по нормальным напряжениям для балок из пластичного и хрупкого материалов.

Какие три типа задач можно решать, используя условия прочности при изгибе?

Каков порядок подбора сечения балки из условия прочности по нормальным напряжениям?

Запишите условие прочности балки по касательным напряжениям.

Как выполняется полная проверка прочности балки?

В каких точках поперечного сечения балки имеет место одноосное, плоское напряженные состояния и чистый сдвиг?

В чем заключается суть расчета балки по методу предельной несущей способности?

Как определяется положение нейтральной оси при расчете балки по методу предельной несущей способности?

Что называется пластическим моментом сопротивления сечения?

Как определяется значение предельного изгибающего момента?

Заключение

В данной части курса «Сопротивление материалов» рассмотрены задачи расчета простых видов сопротивления: центральное растяжение-сжатие, кручение брусьев круглого и прямоугольного сечений, прямой поперечный изгиб.

При расчетах на прочность использован единый подход ко всем видам сопротивлений, а именно:

- получение расчетных формул для определения напряжений в произвольной точке поперечного сечения, выраженные через внутренние усилия;

- нахождение опасной точки и запись условия п...