Силы Кориолиса в гироскопе

Теперь рассмотрим классическое описание динамики прецессирующего гироскопа с точки зрения классической динамики вращательного движения. Это описание, так же, как и классическое описание физического механизма движения гироскопа достаточно противоречиво и парадоксально (см. курсив).

В результате прецессии полная скорость прецессии (щ + ?) не совпадает с осью гироскопа. Однако в виду того, что (щ >> ?) это несовпадение незначительно и поэтому, несмотря на наличие прецессии, угловая скорость быстрого вращения гироскопа практически совпадает с его осью симметрии и с моментом импульса (L).

Тогда угловая скорость прецессии легко может быть вычислена из уравнения моментов.

dL/dt = M12

Отсюда:

dL = M12 * dt,

но приращения момента импульса (L) можно определить через момент импульса и приращение угла его поворота в прецессионном вращении (см. Рис. 4.5.5):

dL = L * dц,

т.е.

dL = M12 * dt = L * dц

Отсюда угловая скорость прецессии равна:

? = dц/dt = M12/L = M12/(I * щ)

Рис. .5

Выше курсивом приведено классическое описание динамики движения гироскопа по А.Н. Матвееву, Механика и теория относительности. Глава 11 Динамика твёрдого тела, стр. 325, 326, М.: Высшая школа, 1986.

Направление гироскопических сил можно найти с помощью правила, сформулированного Н.Е. Жуковским: гироскопические силы стремятся совместить момент импульса L гироскопа с направлением угловой скорости вынужденного поворота. Это правило можно наглядно продемонстрировать с помощью устройства, представленного на рис. (4.5.6).

Рис. 6

Ось гироскопа закреплена в кольце, которое может свободно поворачиваться в обойме. Приведем обойму во вращение вокруг вертикальной оси с угловой скоростью (вынужденный поворот), и кольцо с гироскопом будет поворачиваться в обойме до тех пор, пока направления L и не совпадут. Такой эффект лежит в основе известного магнитомеханического явления - намагничивания железного стержня при его вращении вокруг собственной оси - при этом спины электронов выстраиваются вдоль оси стержня (опыт Барнетта).

При вращении твёрдого тела в одной плоскости вектор угловой скорости и момента импульса имеют постоянное положение в пространстве перпендикулярное плоскости вращения и постоянное положение относительно тела вращения. Динамику таких вращений непротиворечиво описывает классическая динамика вращательного движения. Но при движении твёрдого тела около одной закреплённой точки вектор угловой скорости изменяет положение в пространстве и свою ориентировку относительно тела, т.е. мгновенная ось вращения меняет свою ориентировку.

Исходя из этого предположения, классическая физика определяет момент импульса как скорость изменения некоего произвольного вектора (А), связанного с центром масс тела, т.е. с неинерциальной системой координат относительно инерциальной системы координат. Вычисляя такие производные для каждой из осей инерциальной системы координат, и применяя их к основному уравнению динамики вращательного движения, простой заменой переменных получают уравнения Эйлера.

Причём производную вектора (А) в инерциальной системе координат (dA/dt) заменяют новой переменной - моментом силы (М), а производную этого же вектора в подвижной системе координат (?A/?t), связанной с телом, но в предположении, что, что оси (i', j', k') неподвижны, заменяют новой переменной - моментом импульса (dL/dt)! Приведём классический вывод уравнений Эйлера курсивом.

Итак, пусть некоторый вектор (А) задан компонентами относительно системы координат (i', j', k'):

A = i' * dA'x + j' * dA'y + k' * dA'z

С течением времени изменяются компоненты (A'x, A'y, A'z) относительно движущихся осей координат и ориентировка осей координат относительно инерциальной системы отсчёта.

Имеем:

?A/?t = i' * dA'x/dt + j' * dA'y/dt + k' * dA'z/dt + d i' */dt * A'x +d j'/dt * A'y + dk'/dt * A'z



Скорость точки вращающегося тела, радиус-вектор которой (r), равна (dr/dt = [щ, r]). Аналогично, следя за концом вектора (i'), проведённым из точки на оси вращения, находим (d i' */dt = [щ, i']). Такой же вид имеют производные от (j) и (k). Следовательно:

i' */dt * A'x +d j'/dt * A'y + dk'/dt * A'z = [щ, i' * A'x] + [щ, j' * A'y] + [щ, k' * A'z] = щ * [i' * A'x + j' * A'y + k' * A'z] = [щ, А]

Тогда:

dA/dt = ?A/?t + [щ, A],

где (?A/?t) есть производная от (А), вычисленная в предположении, что оси (i', j', k') неподвижны:

?A/?t = i' * dA'x/dt + j' * dA'y/dt + k' * dA'z/dt

Утверждается, что эта формула справедлива для любых векторов (А). Проведя замену переменных, получают:

M = dL/dt + [щ, A]

Принимая во внимание, что (Lx = Ix*щx), (Ly = Iy*щy), (Lz = Iz*щz) последнее выражение, полученное после замены переменных, переписывают в компонентах относительно движущейся системы координат для каждой из осей координат (штрихи опущены):

Ix * щx/dt + (Iz - Iy) * щy * щz = Mx

Iy * щy/dt + (Ix - Iz) * щx * щz = My

Iz * щz/dt + (Iy - Ix) * щy * щx = Mz

Это и есть уравнения Эйлера. Подробный вывод этих уравнений представлен в обозначенной выше работе Матвеева А. Н. на стр. 317 - 319. Классическая физика утверждает, что эти уравнения всегда позволяют определить вращательное движение тела, закреплённого в одной точке. Однако с применением уравнений Эйлера связан ряд серьёзных противоречий, т.к. нельзя определить вращательное движение там, где его собственно и нет. Движение твёрдого тела, якобы описываемое уравнениями Эйлера, не подчиняется динамике вращательного движения, критерием которого является постоянный, как по величине, так и по плоскости вращения радиус (см. гл.3.5.).

Уравнения Эйлера не отражают физическую реальность, потому что это есть некорректная попытка смешать в одной общей зависимости одноимённые параметры разных видов вращательного движения, которые физически могут существовать только автономно в своих собственных системах отсчёта. В общем результирующем движении нет, и не может быть автономных вращений разных масс, хотя и одного тела, расположенных на разных радиусах и осуществляющихся в разных плоскостях. Этих вращений нет как таковых. Они существуют только в соответствии с абстрактными математическими представлениями классической физики о динамике вращательного движения, противоречащими даже критериям динамики вращательного движения самой классической физики (постоянный радиус).

Математики часто используют приём замены переменных. Например, при взятии «неберущихся» интегралов. Этот же приём фактически используется и в классической динамике вращательного движения. В выводе уравнений Эйлера производную вектора (А) в инерциальной системе координат (dA/dt) заменяют новой переменной - моментом силы (М), а производную этого же вектора в подвижной системе координат (?A/?t), но в предположении, что она остановлена, заменяют новой переменной - моментом импульса (dL/dt) (см. выше).

Но при механической замене переменных только на основании соблюдения математических равенств, т.е. без учёта их физической сущности применительно к конкретному физическому явлению, часто меняется не просто символьное обозначение переменных, но и их физический смысл. При этом либо появляются новые несуществующие в природе физические величины (переменные), либо новые названия (переменные) приобретают смысл прежних физических величин (подробнее об этом изложено в главе (1.3)).

Вывод Эйлера представляет собой обычное дифференцирование криволинейного движения, в котором вектор (А) фактически является вектором мгновенной скорости материальной точки. Поэтому, заменив производные вектора (А): (dA/dt) и (?A/?t) на физические величины динамики вращательного движения (М) и (dL/dt), Эйлер фактически изменил только название вектора линейной скорости, который превратился в момент импульса (L) только на словах. Естественно, что физический смысл скорости криволинейного движения от этого не изменился. Но физический смысл скорости не соответствует физическому смыслу момента импульса. Во всяком случае, не во всём.

Момент силы, момент импульса и угловая скорость в особенности с учётом их условного направления уже сами по себе являются абстрактными академическими величинами, которые имеют опосредованный физический смысл. В природе таких векторов не существует. В природе вообще не существует никаких векторов. Но если вектора базовой динамики Ньютона, хотя бы обозначают реальное распространение физических величин в пространстве, т.е. реальное движение материи в указанном ими направлении, то в направлении векторов динамики вращательного движения никакая материя не перемещается в принципе. Следовательно, не могут произвольно перемещаться и сами эти виртуальные вектора (даже условно).

Параметры динамики вращательного движения только условно отражают реальное распространение материи, но не непосредственно под действием конкретной мгновенной силы в её направлении, как, например, в динамике Ньютона. Они отражают некоторый совокупный процесс движения материи, осуществляющийся под действием множества сил, разнесённых во времени и в пространстве, и имеют условное направление, не совпадающее с направлением ни одной из сил, участвующих в этом процессе. Поэтому если проекции Ньютоновских векторов на оси системы координат отражают реальное движение материальной точки относительно этих осей, то проекции момента силы на другие оси координат вовсе не свидетельствует о вращении тела относительно этих осей.

Вращательное движение абсолютно. Все его динамические параметры связаны со своей собственной плоской (двухмерной) радиальной системой координат с постоянным радиусом. В центр абсолютной системы координат вращательного движения можно поместить центр трёхмерной декартовой системы координат с произвольной ориентацией осей. Совершенно очевидно, что какие бы проекции моментов вращательного движения и его угловой скорости при этом не получились, физически для вращающихся масс тела ничего не изменится. Они не станут вращаться вокруг ни одной из осей декартовой системы координат, т.к. реальный физический процесс вращения отражает пусть условно, но только сам момент импульса, а не его проекции.

Проекции условного вектора не могут проецировать сами его условности на другие оси, т.к. при этом условия прежних условностей в корне меняются, а именно нарушается связь динамики Ньютона с динамикой вращательного движения. Поэтому проекции вектора (А) на оси подвижной системы координат даже в качестве момента импульса не означают вращение тела относительно её осей, а угловые скорости вектора (А) относительно её осей не являются угловыми скоростями этих несуществующих вращательных движений.

По своему физическому смыслу это всего лишь угловые скорости поворота вектора линейной скорости точки в процессе её движения по криволинейной траектории. Если точка не имеет поступательного движения, то до замены переменных уравнения Эйлера имеют нулевые решения, т.к. вектор скорости при этом равен нулю, а координаты неподвижной точки в инерциальной системе координат при этом не меняются.

Замена вектора скорости (А) на ненулевой момент импульса (L) по-прежнему означает, что линейная скорость тела равна нулю, т.к. моменты вращательного движения не связаны с поступательным движением центра масс тела по определению. Это, конечно, отвечает условию применения уравнений Эйлера для закреплённого тела. Но это не устраняет противоречий между классической динамикой вращательного движения твёрдого тела с изменяющимся в соответствии с изменением плоскости вращения радиусом и физической реальностью, т.е. динамикой Ньютона.

Поскольку закреплённое тело никуда не движется поступательно, то вектор (А) применительно к моменту импульса (L) это конечно уже не скорость центра масс тела, но это и не момент импульса. Это абстрактный отрезок прямой с размерами (L), который может вращаться относительно неподвижной точки и изменяться по абсолютной величине. При этом не искажается физический смысл только приращения вектора (А) по абсолютной величине, определённого через уравнения Эйлера, т.к. длина (L) действительно отражает характеристики вращательного движения с постоянным радиусом. Однако относительно, какой оси будет осуществляться вращение с новыми характеристиками, уравнения Эйлера достоверно не определяют, потому что мгновенная угловая скорость такого отрезка относительно осей подвижной системы вовсе не означает вращательного движения относительно этих осей.

Чтобы это наглядно пояснить обратимся для простоты к плоскому вращению. Пусть есть плоское вращение относительно центрально симметричной оси. Естественно, что все моменты и угловая скорость этого вращения направлены вдоль центральной оси. Такое вращение собственно только и соответствует истинной динамике вращательного движения, которая связана с динамикой Ньютона определённым, т.е. только постоянным радиусом (см. гл. 3.5.). Но классическая физика грубо нарушает эту связь, определяя угловую скорость и моменты вращательного движения там, где его собственно и нет, т.е. относительно практически любой произвольно расположенной оси, как внутри окружности истинного вращательного движения, так и вне её кривизны.

Если произвольная ось находится внутри кривизны, то это, конечно же, нарушает связь динамики вращательного движения с динамикой Ньютона, делая радиус и все параметры такого «вращения» неопределёнными, как, например, в произвольном криволинейном движении. Но по кривизне такого движения можно хотя бы определить истинный геометрический радиус истинного вращательного движения и все его истинные параметры. Если же ось расположить вне окружности, то это ещё в большей степени противоречит смыслу вращения, да и здравому смыслу тоже. Это чистая математическая абстракция, оторванная от реальности.

Математически угловую скорость можно определить и относительно виртуальной произвольной оси, относительно которой тело движется абсолютно прямолинейно! Но в чём смысл такого с позволения сказать «вращательного» движения? Даже если математически считать такое движение вращательным движением с бесконечным радиусом, то это не соответствует действительности, т.к. угловая скорость вращения с бесконечным радиусом должна быть бесконечно мала, а момент импульса наоборот будет бесконечно большим, т.к. несмотря на отсутствие угловой скорости линейная скорость не равна нулю! Как видите, такое представление приводит к абсурду. Так происходит всегда, когда математика не связана с физикой. Одним из таких абсурдов с физической точки зрения и является динамика вращательного движения твёрдого тела.

Пусть вектор (А) действительно описывает кривую относительно какой-либо оси координат, лежащей внутри этого движения. Но тогда относительно остальных осей координат, для которых абстрактно математически можно определить некоторую угловую скорость и вращательные моменты, тело просто физически не может совершать не то что вращательного движения, но и нормального криволинейного движения относительно этих осей. Это будет несуществующее в природе обратно-криволинейное движение!

Такого термина просто нет в классической физике, потому что это даже не антимир, в котором всё параметры всего лишь обратны параметрам привычного мира, это уже полный абсурд. Как можно определить угловую скорость и другие параметры динамики вращательного движения через радиус, который в таком обратно-криволинейном движении есть суть расстояние совсем до другой оси, лежащей вне кривизны этого движения?! Это ещё абсурднее, чем приведённый пример с прямолинейным движением. Но именно по таким псевдо вращениям классическая физика и устанавливает якобы реальное вращение тела относительно своих осей симметрии, а также относительно полного момента импульса.

Из уравнений Эйлера следует, что возможно только такое свободное вращение тела, когда угловая скорость совпадает с одной из его центральных главных осей. Свободное движение это такое движение, при котором угловая скорость сохраняет своё абсолютное значение и ориентировку относительно тела. Матвеев убедительно доказывает это на стр. 319.

Но далее в этой же главе применяя эти уравнения к определению нутаций, Матвеев, противореча самому себе, показывает, что, если момент инерции (Ix = I1,), а (Iy = Iz = I2), то эти уравнения, имеют решения и для вращения относительно всех трёх главных центральных осей. Приведём курсивом эти решения:

Если (Ix = I1,), а (Iy = Iz = I2), то:

Ix * щx/dt = 0

Iy * щy/dt + (I1 - Iz) * щx * щz = 0

Iz * щz/dt + (I2 - I1) * щy * щx = 0

Запишем второе и третье уравнения при условии (щx = щ1 = const) в следующем виде:

dщy/dt + г * щz = 0

dщz/dt + г * щy = 0

где

г = (I1 - I2) * щ1/I2

Эти уравнения имеют решение:

щy = A * cos (г * t)

щz = A * sin (г * t),

Тогда вектор угловой скорости (щ+ = j * щy + k * щz), лежащий в плоскости (yz) вращается вокруг начала с круговой частотой (г). При этом полная угловая скорость равна:

щ = j * щ1 + щ+

Этот суммарный вектор движется вокруг оси (х) по поверхности конуса с углом (б) при вершине (tg б = щ+/ щ1), т.е. полная угловая скорость не совпадает с осью симметрии тела - осью (х). Ось симметрии в свою очередь не остаётся неподвижной в пространстве. Она движется по поверхности конуса, ось которого неподвижна в пространстве, и совпадает с вектором полного момента импульса. Причём угловая скорость этого вращения также равна (г).



Рис. 7

Следовательно, полное движение таково (см. Рис. 4.5.7): плоскость, в которой лежат вектор угловой скорости (щ) и ось симметрии вращаются относительно неподвижного момента импульса с угловой скоростью (г). Причём относительное положение (щ) и оси симметрии не меняется. Это движение называется нутацией. Амплитуда нутаций зависит от начальных условий, но частота её определяется только моментами инерции и угловой скоростью относительно оси симметрии. Тело может вращаться и без нутации, если его угловая скорость направлена строго по оси симметрии.

Мы попытались представить нутационное вращение Эйлера более наглядно и дополнили рисунок Матвеева А. Н. (Рис. 113, стр. 321) конусами вращения по описанию Матвеева, которые на его рисунке не обозначены, и вот, что получилось (см. Рис. 4.5.7). При движении по круговой орбите относительно вектора полного момента импульса (L) тело, как единое твёрдое тело могло бы вращаться ещё только относительно оси параллельной оси орбитального движения (в данном случае параллельно оси (L)) и проходящей через центр масс тела.

Но в рассматриваемом случае это и есть сама ось (L)! Следовательно, в соответствии с динамикой вращательного движения ось, через которую проходит полный момент импульса, это и есть динамическая ось симметрии вращающегося тела, изображённого на рисунке (4.5.7). Из этого так же следует, что это единственное полное вращение тела и угловая скорость этого вращения также проходит через эту же динамическую ось симметрии.

В принципе, поскольку тело имеет определённые геометрические размеры, то через различные его точки можно провести бесконечное множество осей параллельных (L). Однако все эти оси естественно не могут проходить через центр масс тела. Следовательно, ни о каком вращении единого твёрдого тела в этом случае не может быть и речи. Это вращения только его отдельных точек, причём на разных радиусах и в разных плоскостях.

Точки, движущиеся по орбите, действительно неизбежно вращаются вокруг собственной оси симметрии. Причём направление и скорость этого вращения могут быть любыми, за исключением случая жесткой связи тела с центром вращения. Однако в общем случае динамика собственного вращения тела независимо от его угловой скорости не определяет динамику орбитального движения и наоборот. Это динамика разных вращений, т.е. разная динамика. Именно поэтому тело, движущееся по орбите независимо от его геометрических размеров, в плоском вращении заменяют математической точкой, не имеющей геометрических размеров и поэтому не имеющей никаких осей.

При таком подходе тело к тому же разбивается на бесконечное множество параллельных сечений, которые могут вращаться относительно (L), что значительно увеличивает количество разных вращательных движений.

Но самое парадоксальное состоит в том, что в уравнениях Эйлера геометрические размеры тела, без которых даже вращение его отдельных точек относительно каких-либо осей, не имеет смысла, не фигурируют вообще. Есть только отрезок прямой, символизирующий численное значение момента импульса. При этом геометрические размеры тела в уравнениях Эйлера фактически заменяют проекции вектора полного момента импульса на оси координат вращающейся системы, что только усугубляет абсурд классической динамики вращательного движения твёрдого тела.

Вместо вращения масс тела относительно этих осей в уравнениях Эйлера фактически вращаются сами вектора угловых скоростей, которые определяются вдоль этих осей через проекции вектора (L), в том числе и вектор угловой скорости полного вращения (см. Рис. 4.5.7). А вот угловой скорости вдоль главного, полного, а значит в конечном итоге и единственного суммарного момента импульса, определяющего в динамике вращательного движения реальное суммарное вращение всех масс тела, у Эйлера собственно и нет! Полная угловая скорость (щ = j * щ1 + щ+) проходит у Эйлера в точном соответствии с векторной геометрией, но в абсолютно необъяснимом для неё месте. Это ещё один абсурд классической динамики вращения твёрдого тела.

Таким образом, уравнения Эйлера, в которых по какому-то недоразумению классической физики в единое целое соединены одноимённые понятия, но принадлежащие динамике разных вращательных движений, и осуществлена подмена понятий динамики Ньютона, не отражают реальное вращательное движение твёрдого тела. Общей динамики разных вращательных движений определяющихся разными радиусами и разными плоскостями вращения в рамках классической динамики вращательного движения не может быть в принципе, а математическая замена вектора скорости на вектор момента импульса не имеет физического смысла.

Далее Матвеев пишет (выделено жирным шрифтом чуть выше), что тело может вращаться без нутаций, при этом его угловая скорость направлена строго по оси симметрии. Остаётся добавить, что это единственно возможное вращение свободного тела. И наоборот, если есть нутации, т.е. если угловая скорость, ось симметрии и момент импульса не совпадают, то такое движение не свободное. Но угловые скорости нутации были получены из уравнений Эйлера в предположении, что тело, изображённое на (Рис. 4.5.7) вращается в отсутствие внешних сил, а значит и моментов. Выше показано, что при определении нутаций моменты в уравнениях Эйлера были приравнены к нулю.

Это означает, что тело вращается свободно. Однако сами нутации свидетельствуют о несвободном движении тела. Закреплённый конец тела просто обязан порождать внешние силы, т.к. это внешнее закрепление. Но в уравнениях Эйлера, представленных Матвеевым, это никак не отражено. Таким образом, решая уравнения для свободного тела, классическая физика в конечном итоге получила несвободное тело и нутации! Это так же одно из многочисленных противоречий классической динамики вращательного движения.

Из решений уравнений Эйлера следует, что нутация - это движение оси симметрии вращающегося тела вокруг неподвижного в пространстве вектора полного момента импульса. Однако как следует из приведённого выше описания физического механизма образования прецессии и опытных данных движения гироскопа классический полный момент импульса гироскопа, т.е. фактически тела, вращающегося в нескольких плоскостях, не может оставаться неподвижным.

Основной момент импульса такого тела прецессирует вместе с телом. Причём в колебаниях относительно средней линии прецессии участвует не только геометрическая ось симметрии (фигуры) гироскопа, но и его основной момент импульса. А поскольку основной момент импульса гироскопа значительно больше момента мипульса его прецессии, то по классическим понятиям, допускающим векторное сложение моментов, вместе с основным моментом практически где-то рядом с ним путешествует и полный момент импульса. Таким образом, классическая теория динамики вращательного движения твёрдого тела расходится с практикой. Да и вообще не подается никакой нормальной логике!



Рис. 8

Сравните, например, рисунок (4.5.7), на котором изображено решение уравнений Эйлера и рисунок (4.5.3.) или рисунок (4.5.8). Движение, изображённое на рисунке (4.5.7) больше похоже не на колебания нутации, как циклов прецессии, а на саму прецессию. Но и это не так. Прецессия гироскопа по классическим же представлениям предполагает вращение основного момента импульса по траектории прецессии, а у Эйлера на рисунке (4.5.7) циклы прецессии - нутации есть, а самой прецессии нет.

Далее мы покажем, что и момент импульса собственного вращения ни куда не вращается, т.к. это не вопрос динамики вращательного движения. Момент импульса основного вращения только показывает готовое основное вращение гироскопа, которое устанавливается в каждом цикле прецессии - нутации. Поэтому классическая физика отмечает эту «телепортацию», как отсутствие инерционности прецессии. Тем не менее, вращение на рисунке (4.5.7) не соответствует и классическим представлениям о прецессии.

Авторы статьи, из которой был заимствован рисунок 4.5.8 (http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=1186208&uri=page15.html), комментируют поведение гироскопа следующим образом:

«Характер траектории, по которой движется вершина гироскопа, зависит от начальных условий. В случае (рис. 4.5.8а) гироскоп был раскручен вокруг оси симметрии, установлен на подставке под некоторым углом к вертикали и осторожно отпущен. В случае (рис. 4.5.8б) ему, кроме того, был сообщен некоторый толчок вперед, а в случае (рис. 4.5.8в) - толчок назад по ходу прецессии. Кривые на (рис. 4.5.8) вполне аналогичны циклоидам, описываемым точкой на ободе колеса, катящегося по плоскости без проскальзывания или с проскальзыванием в ту или иную сторону.

И лишь сообщив гироскопу начальный толчок вполне определенной величины и направления, можно добиться того, что ось гироскопа будет прецессировать без нутаций. Чем быстрее вращается гироскоп, тем больше угловая скорость нутаций и тем меньше их амплитуда. При очень быстром вращении нутации делаются практически незаметными для глаза. С энергетической точки зрения кинетическая энергия прецессии появляется за счет изменения потенциальной энергии гироскопа.

Если за счет трения в опоре нутации гасятся быстрее, чем вращение гироскопа вокруг оси симметрии (как правило, так и бывает), то вскоре после "запуска" гироскопа нутации исчезают, и остается чистая прецессия (рис. 4.5.8г). При этом угол наклона оси гироскопа к вертикали (и2) оказывается больше, чем он был вначале (и1) то есть потенциальная энергия гироскопа уменьшается. Таким образом, ось гироскопа должна немного опуститься, чтобы иметь возможность прецессировать вокруг вертикальной оси».

Это описание полностью объясняется предложенным выше физическим механизмом прецессии.

Конечно, гироскоп значительно отличается от рассмотренного Матвеевым движения твёрдого тела наличием чётко обозначенного момента внешних сил и очень быстрым вращением относительно геометрической оси симметрии, но ведь на закреплённое тело так же должна действовать внешняя сила, которая в уравнениях Эйлера отсутствует (у Эйлера все моменты приравнены к нулю). И потом правильная динамика вращательного движения не должна принципиально зависеть от скорости вращения.

Таким образом, уравнения Эйлера в общем случае не могут отражать реальную динамику вращения твёрдого тела, особенно если тело сложной пространственной конфигурации, т.е. несимметричное. В таком движении по мгновенным значениям моментов импульса обратно-криволинейного движения очень сложно определить траекторию его полного момента.

Математика рождена физикой. Поэтому физические корни математики иногда в некоторых частных случаях дают правильный результат даже при её бездумном применении. Но в сложных случаях уравнения Эйлера вряд ли имеют физически правильные решения, т.к. в этих случаях движение твёрдого тела больше соответствует произвольному криволинейному движению его отдельных частей, которое динамикой вращательного движения не определяется. С этой задачей справится только динамика Ньютона.

Несоответствие уравнений Эйлера динамике вращательного движения, критерию выделения вращательного движения в самостоятельный вид механического движения, т.е. постоянному радиусу и постоянной плоскости вращения радиуса, можно проиллюстрировать на конкретных примерах.

Рассмотрим динамику вращения твёрдого тела, изображённого на рисунке Матвеева (см. Рис. 4.5.7), но без искажения физического смысла параметров динамики вращательного движения. То есть сначала определим результирующие силы из динамики Ньютона, а потом оценим параметры динамики вращательного движения, которое они могут вызвать. И только после этого отразим готовое вращение их моментами.

Параллельно будем определять параметры динамики результирующего вращательного движения классическим методом Эйлера, т.е. методом, который предполагает векторное сложение моментов силы, проявляющихся вдоль главных осей, несуществующих в общем случае составляющих образующегося результирующего вращения. Причём это будет даже более корректный метод, чем у Эйлера, т.к. даже по Эйлеру мы будем рассматривать не обратно-криволинейное вращение, а истинное вращение.

Для простоты рассмотрим плоский диск (см. рис. 4.5.9), вращение которого принципиально не отличается от вращения тела, изображённого на рисунке (4.5.7).

Рис. 9

На рисунке (4.5.9) показаны суммарные вращения диска по двум методам: по правилам классической динамики вращательного движения, т.е. складываются моменты якобы самостоятельных вращений вдоль главных осей; и второе в соответствии с базовой динамикой Ньютона, когда сначала находятся результирующие всех действующих сил, а затем вызванный ими результирующий момент.

Классическая динамика вращательного движения утверждает, что момент суммы сил относительно какой-либо оси равен сумме моментов относительно той же оси. Это непосредственно следует из определения векторного произведения. Но это правило справедливо только для одной и той же точки, в которой приложены разные силы, но радиус для отдельных исходных сил и их суммы не меняется.

Если складывать силы, приложенные к разным точкам тела, расположенным на разных радиусах, то в общем случае сумма их моментов не равна моменту их суммы, т.к. суммарная сила может оказаться приложенной совсем в другой точке тела и совсем на другом расстоянии от оси симметрии, чем исходные силы. Именно так происходит в реальной действительности при воздействии на тело множества разных сил приложенных, произвольно со всех сторон тела. Приведённые на рисунке (4.5.9) построения подтверждают этот факт даже применительно к симметричному диску.

На рисунке (4.5.9а) показаны исходные силы (пусть для простоты они равны) моментов (М1) и (М2), а так же их сумма - момент (МЭ1), мы его назвали Эйлеровский, а также суммарные силы (Fсум1) и (-Fсум1) и их момент (Mн1), мы его назвали Ньтоновский. Причём всё выполнено строго по правилам классической динамики вращательного движения и динамики Ньютона. Следует пояснить только соотношение величин моментов (МЭ1) и (Mн1).

Очевидно, что суммарные силы (Fсум1) и (-Fсум1) определяются как удвоенная сила в направлении исходных сил (FM1) и (FM2) с каждой стороны (левой и правой), т.е. как сила (2FM1) или (2FM2), приложенная в рассматриваемом симметричном случае к центру линии, соединяющей исходные силы. Момент суммарных сил (Fсум1) и (-Fсум1) равен произведению (2FM1) или (2FM2) на их радиус. Можно видеть, что радиус суммарных сил равен:

Rсум = v2 * rmax /2

Тогда:

Mн1 = 2 * FM1 * v2 * rmax /2 = 1,414 * FM1(2) * rmax = 1,414 * М1(2)

То есть (Mн1) в 1.414 раза больше каждого из моментов (М1) и (М2) в отдельности. Но сумма моментов (М1) и (М2) в точности равна (Mн1), т.е. если (М1) и (М2) в соответствии с последним выражением принять за единицу, то:



МЭ = v( М1 + М2) = 1,414 = Mн1

Таким образом, получили точное совпадение динамики Эйлера (МЭ1) и динамики Ньютона (Mн1), что в данном конкретном частном случае подтверждает правило равенства суммы моментов и момента суммы. Но если тело обладает не одинаковой массовой симметрией относительно каждой из главных осей, т.е. отдельные силы и их сумма действуют на разных радиусах, то величина Эйлеровского (МЭ1) и Ньютоновского (Mн1) моментов будет разной.

При этом они по-прежнему и всегда будут лежать в плоскости, в которой расположены эти две оси симметрии, т.к. все силы действуют параллельно ей, но направление моментов (МЭ) и (Mн) может отличаться (см. Рис. 4.5.10). Это хорошо видно на рисунке (4.5.10б). Здесь мы не акцентируем внимание на величине моментов, т.к. их не совсем просто просчитать, но их различие практически очевидно, поскольку радиусы в общем случае могут быть разными.

Рис..10

Суммарные вращения, как (МЭ1), так и (Mн1) будут неустойчивыми (на Рис. 4.5.9 они для простоты обозначены только цветом). Поскольку относительно каждого из суммарных моментов масса в начале вращения оказывается распределённой несимметрично относительно центра масс тела, то в дальнейшем моменты постепенно переместятся в центр вращающихся масс, т.е. они совпадут с динамической осью симметрии, что вполне естественно, т.к. вращательное движение абсолютно. Здесь мы не грешим против классической динамики вращательного движения свободного тела. Но в связи с изложенной позицией нам важно было показать, что в момент их образования Ньютон и Эйлер дают разный результат.

При появлении момента в третьей плоскости моменты (МЭ2) и (MН2) совпали только по величине, да и то только для симметричного диска (см. Рис.4.5.8б). Для простоты силы (±FM3) третьего момента (M3) мы приложили в точке приложения сил (±Fсум1) Ньютоновского момента (Mн1). Однако на качественную картину это не влияет, т.к. для определения (МЭ2) и (Mн2) они одни и те же.

В нашем случае симметричного диска результирующие моменты (МЭ2) и (Mн2), как частный случай, опять оказались равными по абсолютной величине, но их направления значительно различаются. Правда, в нашей примитивной изометрии трудно судить о правильности отображения направления вектора (Mн2). Но об этом свидетельствует равенство углов между (-Fсум1) и (-Fсум2) и между (МЭ1) и (Mн2). На рисунке оно практически соблюдено (жёлтые сектора). Во всяком случае, ошибка не может составить 2 раза. В общем случае моменты (МЭ2) и (MН2) не совпадут ни по величине, ни по направлению.

Таким образом, как минимум вовсе не очевидно, что уравнения Эйлера с их угловыми скоростями обратно-криволинейного вращения правильно отражают действительность. Наверное, динамика Ньютона в этом отношении всё же более достоверная. Поэтому главный вывод из приведённого анализа состоит в том, что никакой объёмной динамики вращательного движения, как и динамики плоского вращательного движения с переменным радиусом, что собственно одно и то же, в природе не существует. В конечном итоге динамика вращательного движения сводится к плоскому вращению с установившимся радиусом. Даже если это объёмное тело, то всё сводится к согласованным параллельным плоским вращениям его соответствующих сечений.

Понятия классической динамики вращательного движения изначально введены классической физикой при анализе плоского вращения без изменения положения оси симметрии и угловой скорости в пространстве. Причём в главе (3.5.) было показано, что они применимы только к динамике вращения с постоянным радиусом, который фактически является индивидуальным коэффициентом, привязывающим классическую динамику вращения к базовой динамике Ньютона.

При неопределённом радиусе этот коэффициент отсутствует, т.е. отсутствуют и сами угловые физические величины. Следовательно, такое вращательное движение не определено. В этом случае можно говорить только о переходном процессе преобразования видов вращательного движения по радиусу, о динамике которого можно судить только по итогам сравнения начального и конечного установившегося вращения. Причём это будет уже дифференцирование криволинейного движения, соответствующего динамике Ньютона, но не динамике вращательного движения (см. вывод закона «сохранения» углового момента, гл. 3.5).

Вращательное движение с постоянным радиусом абсолютно, т.к. оно осуществляется в собственной индивидуальной, т.е. абсолютной системе координат, привязанной к центру вращения и определяющейся постоянным радиусом. Это означает, что вращательные движения с разными радиусами, а также пространственно разделённые вращательные движения находятся в разных измерениях. Поэтому их одноимённые физические величины, хотя и имеют принципиально одинаковый физический смысл, но участвуют в разных физических процессах и, следовательно, не могут быть связаны общей динамикой. В единый процесс их может объединить только динамика Ньютона.

Классическая физика распространила понятия динамики вращательного движения с постоянным радиусом на плоское вращение с изменяющимся радиусом и на объёмные вращения твёрдого тела относительно трёх главных осей. Таким образом, она смешала в единой динамике одноимённые физические величины разных вращательных движений (разных динамик), каждое из которых может быть описано и имеет смысл только в своей собственной абсолютной системе координат с постоянным радиус-вектором. Это привело к многочисленным противоречиям и парадоксам. Парадоксы и противоречия плоского вращения подробно описаны в главе 3.5. Но в классической динамике вращения твёрдого тела противоречий, связанных со смешением разных видов вращательного движения в единой динамике, ни сколько не меньше.

Абсолютное вращение осуществляется в соответствии со своим сложным внутренним физическим механизмом, отличающимся от простого приращения линейного движения под действием мгновенной результирующей силы. Поэтому простое геометрическое сложение между собой одноимённых векторов момента силы, момента импульса и угловой скорости разных вращательных движений в общем случае не определяет динамику результирующего движения.

При попытке придать вращающемуся телу вращение в какой-то иной плоскости, чем существующее вращение сначала образуются новые силы и только после этого можно определить новые моменты сил и другие параметры нового вращения, которые, как показано выше (см. Рис. 4.5.8. 4.5.9) не соответствуют их сумме от разных сил.

Естественно, что вектора дестабилизированного при этом вращения меняют ориентацию в пространстве. Это связано с фактическим прекращением существования этих автономных вращений в их исходных параметрах. Но после прекращения переходного процесса после снятия внешнего воздействия всегда образуется абсолютное вращение относительно оси симметрии тела, вдоль которой проявляются и его установившиеся вращательные параметры.

Переходной процесс формирования результирующего вращения трудно поддаётся математическому описанию или фактически не поддаётся этому описанию с точки зрения классической динамики вращательного движения, особенно если тело имеет сложную конфигурацию, а начальных моментов не менее двух или более. Во всяком случае, уравнения Эйлера, как показано выше, эту задачу не решают, кроме ограниченных частных случаев.

Одним из недоразумений совмещения в одной общей динамике одноимённых параметров разных видов плоского вращательного движения по радиусу является закон сохранения момента импульса при движении с изменяющимся радиусом. В главе (3.5.) этот закон впервые выведен на основе динамики Ньютона. Но с точки зрения динамики Ньютона он, как выяснилось, ничего собственно не сохраняет!

Игнорирование классической физикой переходного процесса преобразования видов вращательного движения по радиусу, не подчиняющегося законам вращательного движения, разрушает логическую грань в виде постоянного радиуса, установленную самой же классической физикой, в соответствии с которой вращательное движение выделяется в особый вид механического движения со своими собственными физическими величинами и законами динамики.

В плоском вращении с изменяющимся радиусом это в частности привело к парадоксальному выводу о сохранении импульса вращательного движения там, где в отсутствие постоянного радиуса вращательного движения собственно уже и нет. Таким образом, классическая физика противоречит самой себе. - Плоская динамика вращения связанная с законами динамики Ньютона через радиус, отрицается самим фактом её применения к движению с изменяющимся радиусом, т.к. приводит к закону сохранения момента импульса, который противоречит закону сохранения импульса в динамике Ньютона и самой динамике вращательного движения.

Причём закон сохранения момента импульса в плоском вращении естественно не согласуется и с классической динамикой объёмного вращения, что можно наглядно показать на примере гироскопа. В прецессирующем гироскопе, так же, как и в плоском вращении с изменяющимся радиусом действует внешняя сила. Но её момент уравновешивается силами Кориолиса, т.е. для динамики в плоскости перпендикулярной плоскости прецессии внешний момент отсутствует. В плоскости прецессии так же нет никаких внешних моментов. То есть в гироскопе, так же, как и в плоском движении с изменяющимся радиусом внешние моменты формально отсутствуют.

Но тогда этот процесс изменения радиуса по направлению в соответствии с изменением плоскости вращения ничем не отличается от преобразования видов вращательного движения по абсолютной величине радиуса в плоском движении, в котором тангенциальные силы так же присутствуют в неявном виде или формально отсутствуют. Следовательно, в соответствии с законом сохранения момента импульса полный момент импульса гироскопа должен оставаться постоянным. В классической же динамике гироскопа он получает приращение, на основе которого и определяется угловая скорость прецессии!

Вывод здесь может быть только один. Динамика движения с изменяющимся радиусом, как по абсолютной величине, так и по направлению плоскости вращения не подчиняется классической динамике вращательного движения. Правда, в объёмном движении гироскопа радиус изменяется не по абсолютной величине, а по направлению. Но в динамике Ньютона классическая физика эти понятия принципиально не различает и определяет их одним общим термином - приращение. Следовательно, в обоих случаях радиус ведёт себя одинаково, и в том и в другом случае он получает приращение. Таким образом, классическая динамика вращательного движения отрицается самим фактом её применения к движению с изменяющимся по абсолютной величине или по плоскости вращения радиусом.

Моменты сил, приложенные к телу в разных плоскостях, приводят к установлению его результирующего вращения и к разрушению всех предыдущих вращений, если таковые имелись. При этом переходной процесс установления нового движения не является вращательным движением, как это следует из устанавливающей это понятие связи вращательного движения с базовой динамикой Ньютона через постоянный радиус. Единственным случаем, в котором переходный процесс практически не вносит заметных искажений в динамику вращательного движения разных вращений, является гироскоп.

Отличительной особенностью движения гироскопа является его очень быстрое вращение относительно главной оси симметрии и в связи с этим большая величина его кинетической энергии. При этом для сравнительно малых внешних воздействий процесс преобразования основного движения в новое вращение и разрушение основного вращения значительно растягивается во времени, а величина переходного процесса практически переходит на микроуровень. Это позволяет в некотором приближении рассматривать прецессию и основное вращение гироскопа в своих плоскостях в рамках динамики вращательного движения с постоянным радиусом, но только каждое в отдельности.

Из приведённого выше описания механизма прецессии следует, что энергетически прецессия питается энергией внешней силы и энергией основного вращения. Поскольку энергия основного вращения гироскопа нейтрализует энергию внешней силы через прецессию, то, очевидно, что момент силы, изменяющий основное вращение (изъятый из него) равен моменту силы прецессии. Поясним этот момент более подробно, т.к. фактически на этом основан и классический вывод динамики прецессии, однако теоретически она это не признаёт, лишая тем самым свой же вывод физических оснований, причём без каких-либо внятных объяснений на этот счёт.

Поскольку в прецессии участвует как внешняя, так и внутренняя энергия, то это должно означать, что момент прецессии состоит из суммы внешних сил и внутренних сил Кориолиса. Фактически это так и есть. Но количественно старт-стопную прецессию можно свести либо к внешнему моменту, либо к моменту сил Кориолиса к каждому в отдельности. Обоснуем этот момент теоретически.

Если запустить прецессию совместным моментом внутренних и внешних сил, например, на ходе оси гироскопа вниз до точки (Н), в которой затем гипотетически мгновенно отключить все силы, то получится равномерное вращательное движение по инерции только в плоскости чуть ниже исходной плоскости оси гироскопа. Затем вращение переместится в некоторое среднее положение, но для нашего обоснования главное сейчас не это. Сейчас важно зафиксировать угловую и линейную скорость окружного движения, запускаемого суммарным моментом внутренних и внешних сил. После этой фиксации усложним опыт.

Дадим оси немного повращаться с отключенными силами, а затем снова включим все силы, которые были в тот момент, когда мы их отключали. Вращение оси начнёт останавливаться. Но как только оно остановится, вновь выключим все силы. Выдержим остановленное вращение оси ровно столько времени, сколько оно до этого момента продолжалось, а затем будем повторять такие циклы и далее. При этом мы получим равномерное в среднем вращение, но скорость его, очевидно, будет вдвое меньше зафиксированной нами скорости вращения, запущенного смешанным моментом, в случае если бы его не останавливали.

В реальном старт-стопном вращении прецессии таких пауз нет, т.к. циклы прецессии - нутации следуют непрерывно. Но период нутаций одновременно равен как периоду следования максимальных значений скорости прецессии, так и периоду следования её нулевых значений, что эквивалентно непрерывному в среднем вращению с половинной скоростью. Непрерывная прецессия с половинной скоростью в свою очередь эквивалентна равномерному вращательному движению, запущенному только одним из моментов либо внешним моментом, либо внутренним моментом сил Кориолиса.

Таким образом, если мы хотим выразить скорость прецессии через внешний момент, то следует работать с ним, если через внутренний момент, то принимаем во внимание внутренний момент. Результат будет одинаковым. Но поскольку эти моменты равны, а выразить угловую скорость прецессии мы можем только через силы Кориолиса, т.к. внешний момент формально не связан ни с какой угловой скоростью, то следует работать с внутренним моментом. Исходя из этого, и обозначив основной момент индексом (г), а прецессию индексом (п), можно записать:

|МГ| = dLГ/dt = |MП| = dLП/dt

При этом необходимо помнить, что наш чисто расчётный эквивалент затратный, поскольку он осуществляется не по инерции, как истинное равномерное вращательное движение, а за счёт последовательно осуществляющихся затратных пусков и остановок. Поэтому через эквивалентную прецессию мы фактически можем определить только динамику её пуска в каждом цикле нутации. Для основного вращения гироскопа эта динамика одного из его остановов или точнее сказать торможений, связанных с нутациями прецессии, т.к. основное вращение естественно не останавливается полностью за одну нутацию.

Из этого так же следует, что момент импульса гироскопа (LГ) не изменяется по направлению, якобы безынерционно двигаясь вдоль траектории прецессии. Просто в каждой нутации вдоль каждого углового положения по ходу движения геометрической оси симметрии гироскопа вдоль траектории прецессии заново устанавливается новое вращение основного движения гироскопа с моментом импульса (LГ2), меньшим момента импульса предыдущей нутации (LГ1). Такая периодическая замена вращательных движений основного движения гироскопа и связанный с этим эффект «провала» инерционности в очередной раз подверждает, что в движении с переменным радиусом нет, и не может быть динамики вращательного движения.

Даже в классической динамике вращательного движения уравнение моментов это академический аналог второго закона Ньютона. Но без постоянного радиуса в этом аналоге нет ни массы, ни ускорения, т.к. их угловые аналоги в классической физике определяются только постоянным радиусом. Именно поэтому криволинейные участки в динамике Ньютона рассматриваются как дуги вписанных окружностей с постоянным радиусом. При изменении кривизны подбирается другая вписанная окружность и т.д. Но при этом каждый раз под постоянный радиус вписанной окружности фактически усредняется участок криволинейной траектории, но не наоборот.

Именно постоянный радиус позволяет выделить в составе механического движения его особый вид - вращательное движение, т.к. с неопределённым радиусом в уравнении моментов становятся неопределёнными параметры, заменяющие во вращательном движении массу и ускорение, которые являются основой любой динамики механического движения. Без этих параметров невозможно построить никакую динамику никакого движения.

Таким образом, с каждым новым радиусом (в данном случае он изменяется по направлению в связи с изменением плоскости вращения) устанавливается новый вид вращательного движения. При этом ни инерционность основного вращения гироскопа, ни инерционность прецессии никуда не исчезает. Динамика вращательного движения просто не «видит» в переходном процессе преобразования видов вращательного движения по радиусу своих аналогов массы и ускорения, которые без определённого радиуса становятся для неё так же неопределёнными. А вот с точки зрения динамики Ньютона масса и ускорение гироскопа никуда не исчезают.

Они в это время участвуют в окружных движениях по вписанным окружностям переходного процесса, в котором радиус вписанных окружностей является величиной постоянной, в каком бы малом интервале времени он не определялся. Во всяком случае, он не полежит дифференцированию и является величной постоянной для уже продифференцированного до вписанной окружности минимального участка криволинейной траектории. Естественно, что в каждом таком вписанном движении осуществляется своя индивидуальная по постоянному радиусу динамика вращательного движения.

Из энергетически затратного процесса старт-стопной прецессии следует так же ещё один очень важный момент. В классической физике вектор (LГ) изменяется по направлению якобы без затрат энергии подобно вектору скорости равномерного вращательного движения, который не изменяется по абсолютной величине. Однако, как мы показали выше равномерное вращательное движение оси гироскопа по траектории прецессии это только иллюзия, создаваемая усреднением во времени процессов остановки старых и образования новых вращений. Естественно, что эти процессы всегда сопровождается затратами энергии.

...