Размещено на http://www.allbest.ru/

1. электрическая цепь её элементы и параметры

Электрическая цепь - это совокупность устройств и объектов, образующих путь электрического тока. Отдельное устройство, входящее в состав электрической цепи и выполняющее в ней определенную функцию, называется элементом электрической цепи.

Электрическая цепь состоит из источника электрической энергии, потребителей и соединительных проводов, соединяющих источник электрической энергии с потребителем.

Основные элементы простейшей электрической цепи:

1 - источник электрической энергии; 2 - приемники электрической энергии; 3 - соединительные провода.

2. ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ

Напряжение (Э.Д.С.) источника электрической энергии - U ( B ).

Мощность источника электрической энергии - Р (Вт).

Сопротивление приемника электрической энергии - R (Ом).

Мощность приемника электрической энергии - P (Вт).

3. основные режимы работы электрических цепей

Режимы работы электрической цепи

Режим короткого замыкания ( КЗ )

В режиме короткого замыкания источник питания замкнут накоротко. Режим является аварийным. Ток короткого замыкания КЗ во много раз превышает значение номинального тока.

Rн = 0 I = max

Режим холостого хода ( ХХ )

В режиме холостого хода источник питания отсоединен от нагрузки и работает вхолостую. Сопротивление внешнего участка цепи и ток равен 0.

Rн = ?

Режим согласованной нагрузки

Свойства электрической цепи - наибольшая мощность нагрузки развивается источником, когда сопротивление нагрузки ровно внутреннему сопротивлению источника.

Rн = I0

Из графика видно с ростом сопротивления нагрузки растёт мощность на нагрузке при Rн = I0мощность нагрузки наибольшая при дальнейшем росте Rн - PRн уменьшается.

Мощность электрического тока

P = UI

4. Простые цепи постоянного тока и их расчёт

Последовательное соединение элементов -- это такое соединение, когда конец предыдущего элемента служит началом последующего. При этом получается неразветвленная цепь, на всех участках которой ток один и тот же, а напряжения -- разные.

Параллельное соединение -- это соединение, при котором к одному узлу подключены начала всех элементов, а к другому узлу - концы всех элементов. При этом токи на всех участках различные, а напряжения - одинаковые.

Простой цепью называется цепь, представляющая собой комбинацию последовательных и параллельных соединений.

1) Последовательное соединение пассивных элементов (рис. 2.15)

Рисунок 2.15

Здесь и далее будем вести расчет методом эквивалентных преобразований.

Две схемы называются эквивалентными друг другу, если при замене одной из них на другую не изменяются токи и напряжения в непреобразованной части цепи.

Для нахождения эквивалентного сопротивления последовательного соединения воспользуемся законом Ома и вторым законом Кирхгофа.

U1 = IR1; U2 = IR2; U3 = IR3;

U = U1+U2+U3 = I(R1+R2+R3) = IRэ.

Отсюда Rэ = R1+R2+R3. В общем случае:

. (2.15)

При последовательном соединении суммируются сопротивления

, .

5. Расчет сложных цепей с помощью законов Кирхгофа

Сложной называется цепь, которая не может быть преобразована рассмотренными выше методами.

Методы, рассматриваемые далее, могут быть использованы и для последовательно - параллельных цепей; но для них эти методы менее рациональны. При расчете считаются известными ЭДС и токи источников и сопротивления всех резисторов. Неизвестными являются токи ветвей.

Для расчета цепи по законам Кирхгофа составляется система независимых уравнений, общее число которых равно числу ветвей, не содержащих источники тока.

Если m- общее число ветвей, mJ - число ветвей, содержащих источники тока, по двум законам Кирхгофа нужно составить k уравнений, где k = m-mJ. Если число узлов в цепи обозначить y, то по первому закону Кирхгофа число независимых уравнений на единицу меньше числа узлов: kI =y-1. Все остальные уравнения нужно составить по второму закону Кирхгофа:

kII=k-k1=m-mJ-y+1.

Чтобы уравнения по второму закону Кирхгофа были независимыми, они должны быть составлены для независимых контуров, не содержащих источников тока.

Контур считается независимым, если он отличается от предыдущих контуров хотя бы одной новой ветвью. Приведем пример (рис. 1.25).

В данной схеме

m = 6; mJ = 1; I6 = J;

k = m-mj = 5;

y=4; kI=3; kII = 5-3 = 2.

Составляем уравнения. Первый закон Кирхгофа: в узле . Входящие в узел токи берем со знаком «минус», выходящие - со знаком «плюс».

Рисунок 1.25

Для узла 1: -J-I1+I2=0.

Для узла 2: I1-I3+I5=0.

Для узла 3:-I5+I4+J=0.

Второй закон Кирхгофа: в контуре

.

Направления обхода контуров произвольно выбраны на схеме. Если ток или ЭДС направлены по обходу контура, они включаются в уравнение со знаком «плюс», в противном случае ставится знак «минус»

Для контура Ѓ: R1I1+R2I2+R3I3 = E2.

Для контура ‚: R3I3+R5I5+R4I4 = E5+E4.

Совместное решение этих пяти уравнений позволит определить неизвестные токи в цепи. Однако для ручного счета эта работа трудоемка и нерациональна. Можно использовать для решения этой системы ЭВМ с соответствующей программой. Если же все-таки нужно рассчитать цепь вручную, то следует использовать такие методы, которые основаны на одном из законов Кирхгофа и имеют меньшее число уравнений. На первом законе Кирхгофа базируется метод узловых потенциалов, а на втором законе Кирхгофа - метод контурных токов. Следует выбирать тот из методов, который дает меньшее количество уравнений. Так, например, в схеме, приведенной выше, более рационален метод контурных токов (2 уравнения по сравнению с 3 уравнениями по методу узловых потенциалов).

Разработаны также и другие методы расчета сложных цепей с большим числом узлов и ветвей, но они в данном курсе не рассматриваются.

6. Метод наложения

метод расчёта электрических цепей, основанный на предположении, что ток в каждой из ветвей сложной электрической цепи при всех включённых источниках электрической энергии, равен алгебраической сумме токов в этой же ветви, полученных при включении каждого из генераторов по очереди и отключении остальных генераторов.

Ток в любой ветви можно рассчитать как алгебраическую сумму токов, вызываемых в ней каждым источником электрической энергии в отдельности. При этом следует иметь ввиду, что когда ведут расчет токов, вызванных одним из источников электрической энергии, то остальные источники ЭДС в схеме замещают короткозамкнутыми участками, а источники тока разомкнутыми участками.

Данный метод позволяет существенно упростить расчеты сложных электрических цепей, содержащих небольшое количество источников электрической энергии.

7. Метод двух узлов

метод расчета электрических цепей, в котором за искомое (с его помощью определяют затем и токи ветвей) принимают напряжение между двумя узлами схемы.

Часто встречаются схемы, содержащие всего два узла. Наиболее рациональным методом расчета токов в них является метод двух узлов.

Формула для расчета напряжения между двумя узлами:

где Ek -- напряжение источника ЭДС k-той ветви, а gk -- проводимость k-той ветви.

8. Нелинейные цепи постоянного тока

Нелинейными называются электрические цепи, содержащие нелинейные элементы, т.е. элементы вольт-амперная характеристика (ВАХ) которых отличается от прямой линии. Нелинейные элементы разделяются на две большие группы: неуправляемые и управляемые. В управляемых нелинейных сопротивлениях, в отличие от неуправляемых, есть одна или несколько вспомогательных или управляющих цепей, воздействую на напряжение или ток которых можно изменять ВАХ основной цепи. У неуправляемых НС ВАХ изображается одной кривой, а у управляемых - семейством кривых. Примеры неуправляемых НС: лампы накаливания, электрическая дуга, бареттер, стабиловольт, нелинейное полупроводниковое сопротивление (НПС), диоды и др. Примеры управляемых НС: электронные лампы, транзисторы, тиристоры. В зависимости от вида ВАХ различают два вида НС - симметричные и несимметричные. Симметричными называются элементы, у которых ВАХ не зависит от направления тока в них или направления напряжения на их зажимах. У несимметричных НС ВАХ не одинакова при различных направлениях I и U. ВАХ симметричных НС изображают только в первом квадранте, а несимметричных - в первом и третьем. В примерах НС подчеркнуты названия симметричных элементов. Остальные - несимметричные.

9. Методы расчета нелинейных цепей

Расчет и исследование нелинейных цепей во многих случаях производят графо-аналитическими методами, в основу которых положены законы Кирхгофа. Если ВАХ НС выражена аналитической функцией, то может быть выполнен и аналитический расчет (на основании законов Кирхгофа). При расчете нелинейных цепей вводят понятие статического и динамического (дифференциального) сопротивлений нелинейного элемента. На рис.2.2 показана построенная в масштабах mI и mU ВАХ некоторого элемента. Пусть его работа происходит в точке а. Тогда статическое сопротивление в данной точке будет

,

где - масштаб сопротивлений. Таким образом, Rст пропорционально tgв и оно всегда положительно.

Предел отношения приращения напряжения на НС к приращению тока в нём или производная dU/dI определяет динамическое сопротивление, т.е.

Величина этого сопротивления пропорциональна тангенсу угла, образованного касательной к ВАХ в рабочей точке и осью токов. На ниспадающем участке ВАХ Rд отрицательное, т.к. положительное приращение тока сопровождается отрицательным приращением напряжения.

10. Изображение синусоидальных величин с помощью вращающихся векторов. Векторные диаграммы

Для расчетов цепей переменного тока еще используется изображение синусоидальных величин с помощью векторов, вращающихся.

Пусть имеем ток i = Im sin (wt + y).

Для того, чтобы изобразить его вектором, вращающимся возьмем прямоугольную систему координат хОу. С начала координат О под углом y проведем вектор `Im, длина которого в масштабе соответствует Im. Если вектор `Im вращать против часовой стрелки с угловой скоростью w = 2pf, то его проекция на ось ординат Оу будет изменяться по синусоидальному закону, то есть отражать мгновенное значение тока и.

Совокупность векторов, изображающих на одном чертеже несколько синусоидальных величин одной частоты называется векторная диаграмма.

Векторы, изображенные на такой диаграмме имеют одинаковую угловую частоту w. Поэтому при вращении их взаимное расположение не меняется. И поэтому при построении векторных диаграмм один вектор можно направить произвольно (например, вдоль Ох), а другие располагать по отношению к первому под разными углами, равными соответствующим углам сдвига фаз и оси координат не чертить.

В большинстве случаев векторные диаграммы цепей переменного тока предназначены для определения соотношения между действующими значениями напряжений и токов. Поэтому диаграммы обычно строят не для амплитудных значений, а для действующих, обуславливающий лишь уменьшение длины векторов в раз.

Если векторную диаграмму строят в той же последовательности, в которой обходят электрическую цепь, она называется потенциальной (или топографической). Удобно направление обхода принимать противоположным принятому направления тока. Потенциальная диаграмма позволяет определить напряжение между любыми точками круга, поскольку каждая точка диаграммы соответствует определенной точке круга. Для определения надо соединить две точки диаграммы отрезком и предоставить ему соответствующее направление.

При построении потенциальной диаграммы один из векторов принимают за исходный и располагают вдоль горизонтальной оси в положительном направлении, считая, что начальная фаза соответствующей ему величине равен нулю. Другие векторы строят относительно этого вектора с учетом фазового тока. Удобно для последовательного круга с выходной принимать вектор тока, а для параллельного - напряжения.

11. Цепь синусоидального тока с резистивным элементом

Как видно из полученных выражений и из рисунка, начальные фазы тока и напряжения на резисторе одинаковые, т.е. ток через резистор совпадает по фазе с напряжением на резисторе.



Изобразим комплексные ток и напряжение в виде вектора на комплексной плоскости.

Совокупность векторов на комплексной плоскости, отображающих комплексные токи и напряжения для данной цепи, называется векторной диаграммой.

Вектор тока через резистор совпадает по направлению с вектором напряжения на резисторе.

Мгновенная мощность, потребляемая резистивным элементом, определяется выражением:



Активная мощность цепи равна среднему значению мгновенной мощности:

12. Индуктивный элемент в цепи синусоидального тока

Обмотки (катушки) электрических машин, трансформаторов, магнитных усилителей, электромагнитов, реле, контакторов, индукторов электрических нагревательных устройств и печей переменного тока обладают значительной индуктивностью. В радиотехнических устройствах индуктивные катушки используются для образования колебательных контуров, электрических фильтров и т. п. Параметрами катушек являются активное сопротивление r и индуктивность L. Изменяющийся во времени ток наводит в этих катушках ЭДС самоиндукции, которая по значению во многих случаях заметно больше, чем падение напряжения на активных сопротивлениях.

Рассмотрим вначале катушку, активное сопротивление которой настолько мало, что им можно пренебречь.

Для выяснения процессов, происходящих в цепи с индуктивностью (рис. 2.7, а), допустим, что ток в индуктивности изменяется синусоидально (2.5)

i = Im sin щt.

Рис. 2.7. Электрическая цепь, содержащая индуктивный элемент с индуктивностью L (а), ее векторная диаграмма (б) и графики мгновенных значенийu, i, p (в)

Ток вызывает в индуктивности ЭДС самоиндукции

eL = - Ldi/dt.

Уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа для данной цепи, имеет вид

eL = - и.

Выразив eL и i через их значения из (2.5) и (2.6). найдем напряжение на индуктивности:

u = L dIm sin щt .

dt

Выполнив операцию дифференцирования, получим

и = щLIm cos щt = щLIm sin (щt + р ) = Um sin (щt + р).

2 2

Из сравнения выражений (2.5) и (2.8) можно сделать вывод, что ток в цепи с индуктивностью и напряжение на индуктивности изменяются по синусоиде, а напряжение опережает по фазе ток на угол 90°.

Векторная диаграмма цепи с индуктивностью изображена на рис. 2.7, б, а графики мгновенных значений тока и напряжения -- на рис. 2.7, в.

Напряжение и ток в цепи с индуктивностью, как следует из выражения (2.8), связаны соотношением

Um = щLIm ,

откуда

Im = Um /щL

Разделив левую и правую части (2.9) на v2, получим закон Ома для цепи переменного тока с индуктивностью.

I = U = U .

щL xL

где xL = щL = 2рfL -- индуктивное сопротивление, Ом.

Представив в (2.7) ЭДС самоиндукции и напряжение векторами, получим уравнение цепи в векторной форме для действующих значений

З = - Ы,

или после замены напряжения произведением тока и индуктивного сопротивления

З = - Оx?L.

Таким образом, ЭДС самоиндукции может быть выражена через ток и индуктивное сопротивление. Такой способ выражения ЭДС во многих случаях значительно упрощает анализ цепей с индуктивностью.

Мгновенная мощность цепи с индуктивностью равна

р = ui = Im sin щt * Um sin (щt + р ) = UmIm sin 2щt = UI sin 2щt =Pm sin 2щt.

2 2

Мгновенное значение мощности (рис. 2.7, в) изменяется синусоидально с частотой, в 2 раза большей частоты тока. Амплитудное значение мощности

Pm = UI.

Легко показать аналитически и из графика рис. 2.7, в, что среднее значение мощности за период (активная мощность) равно нулю:

 T

P = ? ui dt = 0.

0

Для пояснения энергетических процессов в цепи с индуктивностью используем график рис. 2.7, в.

В интервале времени от t = 0 (точка 1) до t= T/4 (точка 2), когда ток в цепи возрастает от 0 до Im, электрическая энергия из сети поступает в индуктивность, преобразуется и накапливается в ней в виде энергии магнитного поля.

Наибольшее значение энергии магнитного поля будет в момент времени, соответствующий точке 2, когда ток достигает амплитудного значения.

WL = I2mL .

2

Можно показать, что эта энергия равна заштрихованной площади графика р = f(t) в интервале времени между точками 1 и 2 (отмечена знаком « + ». Действительно,

	T/4		T/4	UmIm sin 2щt dt = UmIm | -cos2щt|0T/4 = UmIm = Im2xL = Im2щL = Im2L . 2 2 * 2щ 2щ 2щ 2щ 2
WL =	?	ui dt =	?
	0		0

В интервале времени между точками 2 и 3 ток в цепи убывает. Энергия магнитного поля преобразуется в электрическую энергию и возвращается в сеть. В момент времени, соответствующий точке 3, ток и энергия магнитного поля равны нулю.

Энергия, отданная в сеть, равна заштрихованной площади графика p = f(t) в интервале времени между точками 2 и 3 (отмечена знаком « - »). Из графиков рис. 2.7, в видно, что площади, определяющие запасенную и отданную энергию, равны. Следовательно, энергия, накопленная в магнитном поле индуктивности в первую четверть периода, полностью возвращается в сеть во вторую четверть периода.

В следующую четверть периода в интервале времени между точками 3 и 4 изменяются направления тока и магнитного потока. Происходит процесс, аналогичный процессу в первую четверть периода: энергия из сети поступает в индуктивность и накапливается в ней в виде энергии магнитного поля. В последнюю четверть периода в интервале времени между точками 4и 5 энергия магнитного поля возвращается в сеть.

Таким образом, в цепи с индуктивностью происходит непрерывный периодический процесс обмена энергией между сетью (источником энергии) и индуктивностью.

13. Цепь синусоидального тока с последовательным соединением RLC

Условие:

XL = Xc

I = U / Zr (I и U вверху с точками)

Zc = r - j (XL- Xc)= r

I=U/r=max (I и U сверху с точками)

Ограничение тока активным сопротивлением

UL=Uc и U = Ua

Максимальны (резонанс напряжений)

Uc UL

ц=0 Ua

активный характер

U = Ua

U = vUa2 + (UL - Uc)2= Ua

Резонанс напряжений возможен в неразветвленной цепи с индуктивным L, емкостным С и резистивным г элементами, т. е. в последовательном колебательном контуре.

По закону Ома комплексное значение тока в контуре i=I==

где Z - комплексное сопротивление контура;z - полное сопротивление контура;

-- угол сдвига фаз между напряжением и током, т. е. аргумент комплексного сопротивления;

I - действующее значение тока.

Если угловая частота со напряжения и тока равна l/, то индуктивное и емкостное сопротивления элементов одинаковы. При этом аргумент ц комплексного сопротивления контура равен нулю, , полное сопротивление цепи минимальное: г = z и действующее значение тока при заданном напряжении наибольшее: I= U/r.

Режим неразветвленной цепи, содержащей индуктивный, емкостный и резистивный элементы последовательного контура,ток и напряжение совпадают по фазе, называется резонансом напряжений.

При резонансе напряжений действующие значения, а значит и амплитуды, напряжений на индуктивном й емкостном элементах одинаковы, а фазы противоположны. Поэтому напряжение источника U равно напряжению на резистивном элементе.

Угловая частота, при которой наблюдается резонанс напряжений, называется резонансной:

Если сопротивление т резистивного элемента мало, то при резонансе напряжений ток. в цепи резко возрастает по сравнению со значениями тока при частоте, отличной от щрез. Одновременно, что особенно существенно, напряжения на емкостном и индуктивном элементах могут (и во много раз) превысить напряжение питания U.

Подставив значение щрез в последнее неравенство, получим условие превышения в виде >r

Величина с = = cope3L имеет размерность сопротивления и называется характеристическим сопротивлением колебательного контура. Отношение характеристического сопротивления к сопротивлению резистивного элемента определяет резонансные свойства колебательного контура и называется добротностью контура:

Q=с/r.

Добротность контура равна отношению (при резонансе) реактивной мощности индуктивного QL или емкостного Qc элемента к активной мощности резистивного элемента. Физическая причина возникновения повышенных напряжений -- это колебания значительной энергии, запасаемой попеременно в электрическом поле емкостного и в магнитном поле индуктивного элементов. Формально аналогичные колебания энергии могут быть и в механической системе, обладающей массой и упругостью. Простейшим примером служит ядро, подвешенное на пружинах. В механической колебательной системе энергия периодически переходит из кинетической (энергия движущегося тела) в потенциальную (энергия сил упругости) и обратно. Если в системе не слишком велики силы трения, то для поддержания ее незатухающих периодических колебаний достаточно добавлять периодически в такт с ее колебаниями небольшие количества энергии для покрытия потерь энергии в системе из-за трения. При этом сила толчков извне может быть во много раз меньше сил инерции и упругости, действующих внутри системы. Следовательно, энергия, поступающая извне для покрытия Потерь, тоже может быть мала по сравнению с энергией колебаний.

14. Цепь переменного тока с параллельным соединением

I(a1) Ua1 I1

I2 I(a2)

Ua2

ц ц

Iр(L) Iр(С)

XL = Xc

Имеем:

bL = bc (проводимость)

IL= Ic= I1p = I2p -- max

Признак:

(W I2) / 2 = (W U2) / 2

Колеблется внутри контура (в идеале) не выходя за пределы, а так как r = 0 никуда не расходуется. Ток в общей цепи равен нулю (0), а в реальном контуре расходуется энергия на активном сопротивлении и расходуемая часть пополняется источником I стремится к нулю -- min.

Свойство: имеем резонанс токов.

Имеем резонанс токов с переводом цепи в индуктивный или емкостной режимы.

В цепи, схема которой содержит параллельно соединенные индуктивный, емкостный и резистивный элементы, т. е.параллельный контур может возникнуть резонанс токов.

При заданном напряжении питания общий ток

i=Y =-- комплексная проводимость параллельного контура; где Y - полная проводимость контура.

При угловой частоте щрез = l/ индуктивная bL == 1/щL и емкостная Ьc = С проводимости параллельных ветвей одинаковые, аргумент комплексной проводимости цепи -- ц равен нулю, полная проводимость контура минимальна: у = g и общий ток минимальный: Iрез = gU.

Режим параллельного контура, при котором сдвиг фаз между напряжением и общим током равен нулю, называетсярезонансом токов.

При резонансе действующие значения токов в индуктивном и емкостном элементах одинаковые, а сдвиг фаз между токами равен р, так как ток в индуктивном элементе отстает от напряжения по фазе на угол л/2, а ток в емкостном элементе опережает напряжение на такой же угол р/2).

На рис. 2.49 показаны резонансные кривые параллельного контура. В емкостном элементе ток Iс возрастает пропорционально угловой частоте, в индуктивном элементе ток lL обратно пропорционален угловой частоте, в резистивном элементе ток lr -- U/r от угловой частоты не зависит. Точка пересечения кривых /с(щ) и JL (щ) соответствует резонансу токов, при котором I=Ir.

Если проводимость g резистивного элемента равна нулю, то и полная проводимость у цепи при резонансе равна нулю и общий ток идеального параллельного контура (ток источника) равен нулю, что эквивалентно размыканию цепи.

Последовательно с индуктивным элементом L может быть включен резистивный элемент rL, а последовательно с емкостным элементом С -- резистивный элемент гс учитывающие, например, потери энергии в проводах. Условием резонанса токов в такой цепи будет равенство индуктивной и емкостной проводимостей этих ветвей.

И в этом случае при резонансе общий ток совпадает по фазе с напряжением. Отметим, что резонанс токов в отличие от резонанса напряжений -- явление безопасное для электроэнергетических установок. Большие токи в ветвях при резонансе токов возникают лишь в случае больших реактивных проводимостях ветвей, т. е. больших емкостей конденсаторов и малых индуктивностей катушек. Ничего неожиданного здесь нет, так как токи в обеих ветвях взаимно независимы и их значения определяются (на основании закона Ома) приложенным напряжением.

15. Резонанс напряжений

резонанс, происходящий в последовательном колебательном контуре при его подключении к источнику напряжения, частота которого совпадает собственной контура. Пусть имеется колебательный контур с частотой собственных колебаний f, и пусть внутри него работает генератор переменного тока такой же частоты f.

В начальный момент конденсатор контура разряжен, генератор не работает. После включения напряжение на генераторе начинает возрастать, заряжая конденсатор. Катушка в первое мгновение не пропускает ток из-за ЭДС самоиндукции. Напряжение на генераторе достигает максимума, заряжая до такого же напряжения конденсатор.

Далее: конденсатор начинает разряжаться на катушку. Напряжение на нем падает с такой же скоростью, с какой уменьшается напряжение на генераторе.

Далее: конденсатор разряжен до нуля, вся энергия электрического поля, имевшаяся в конденсаторе, перешла в энергию магнитного поля катушки. На клеммах генератора в этот момент напряжение нулевое.

Далее: так как магнитное поле не может существовать стационарно, оно начинает уменьшаться, пересекая витки катушки в обратном направлении. На выводах катушки появляется ЭДС индукции, которое начинает перезаряжать конденсатор. В цепи колебательного контура течет ток, только уже противоположно току заряда, так как витки пересекаются полем в обратном направлении. Обкладки конденсатора перезаряжаются зарядами, противоположными первоначальным. Одновременно растет напряжение на генераторе противоположного знака, причем с той же скоростью, с какой катушка заряжает конденсатор.

Далее: катушка перезарядила конденсатор до максимального напряжения. Напряжение на генераторе к этому моменту тоже достигло максимального.

Возникла следующая ситуация. Конденсатор и генератор соединены последовательно и на обоих напряжение, равное напряжению генератора. При последовательном соединении источников питания их напряжения складываются.

Следовательно, в следующем полупериоде на катушку пойдет удвоенное напряжение (и от генератора, и от конденсатора), и колебания в контуре будут происходить при удвоенном напряжении на катушке.

В контурах с низкой добротностью напряжение на катушке будет ниже удвоенного, так как часть энергии будет рассеиваться (на излучение, на нагрев) и энергия конденсатора не перейдет полностью в энергию катушки). Соединены как бы последовательно генератор и часть конденсатора.

16. Резонанс токов

резонанс, происходящий в параллельном колебательном контуре при его подключении к источнику напряжения, частота которого совпадает с собственной частотой контура. Пусть имеется колебательный контур с частотой собственных колебаний a, и пусть он подключен к генератору переменного тока такой же частоты f.

В момент подключения конденсатор заряжается от источника. После чего он начинает разряжаться на катушку, причем разряжается с такой же скоростью, с какой убывает напряжение на генераторе. Через некоторое время энергия конденсатора полностью переходит в энергию магнитного поля катушки. Напряжение на клеммах генератора в этот момент равно нулю.

Далее магнитное поле катушки начинает убывать, так как не может существовать стационарно -- на выводах катушки появляется ЭДС индукции, которое начинает перезаряжать конденсатор. В цепи колебательного контура течет ток, только уже противоположно току заряда, так как витки пересекаются полем в обратном направлении. Обкладки конденсатора перезаряжаются зарядами, противоположными первоначальным. Одновременно растет напряжение на генераторе, причем с той же скоростью, с какой катушка заряжает конденсатор. Но ток от генератора не может течь через колебательный контур -- как только на клеммах генератора появляется напряжение, точно такое же напряжение появляется на выводах конденсатора вследствие перезаряда его катушкой. Напряжения конденсатора и генератора друг друга компенсируют.

Далее энергия магнитного поля катушки полностью переходит в энергию электрического поля конденсатора. Напряжение генератора в этот момент достигает максимума. Далее конденсатор разряжается на катушку, цикл повторяется в обратном направлении. В результате, в колебательном контуре циркулируют весьма большие токи, но за его пределы не выходят -- выходить им мешает точно такое же, только противоположно направленное напряжение на генераторе. Большой ток от генератора течет через контур только короткое время после включения, когда заряжается конденсатор. Далее генератор работает почти вхолостую -- как только на его клеммах появляется напряжение, точно такое же противоположно направленное напряжение появляется на конденсаторе и не пропускает ток от внешнего источника через контур.

Вышесказанное справедливо для контура с очень хорошей добротностью (низкими потерями энергии за цикл).

Ситуация изменится, если отбирать от контура во время его работы некоторую мощность. Тогда за цикл часть энергии контура будет теряться и конденсатор будет перезаряжаться контурной катушкой до меньшего напряжения, чем напряжение внешнего генератора. В этом случае генератор будет дозаряжать конденсатор, компенсируя таким образом потери за цикл. Через контур потечет переменный ток, который, однако, может быть меньше того, что циркулирует в самом контуре.

17. Понятие о символичном методе. Комплексное сопротивление и проводимость. Законы Ома и Кирхгофа

В комплексной форме.

Длинными называются такие линии, у которых при переходе от одной точки к другой напряжение и ток непрерывно изменяются. Другими словами, мгновенные значения напряжения и тока зависят не только от времени t, но и от координаты x.

К линиям с распределёнными параметрами (ЛРП) относятся ЛЭП при напряжениях св. 35 кВ и длине более 50 км, линии связи, антенно-фидерные устройства по канализации энергии высокой частоты. При высоких частотах даже обычная катушка описывается теорией цепей с распределёнными параметрами.

Комплексные сопротивление и проводимость участка цепи

Рассмотрим произвольную линейную цепь с сосредоточенными параметрами, находящуюся под гармоническим воздействием. Выделим участок этой цепи, имеющий два внешних зажима, и не содержащий источников энергии (рис. 3.2, а). Ток и напряжение на зажимах этого участка являются гармоническими функциями времени:

(3.12)

(3.13)

По определению, комплексным сопротивлением пассивного участка цепи называется отношение комплексной амплитуды напряжения на зажимах участка цепи к комплексной амплитуде тока:

(3.14)

Выражая комплексные амплитуды напряжения и тока через соответствующие комплексные действующие значения устанавливаем, что комплексное сопротивление пассивного участка цепи может быть также найдено как отношение комплексных действующих значений напряжения и тока:

(3.15)

Комплексное входное сопротивление пассивного участка цепи представляет собой в общем случае комплексное число, поэтому оно может быть представлено в показательной

(3.16)

или алгебраической

(3.17)

формах. Величины и называются соответственно модулем и аргументом комплексного сопротивления, величины и - его вещественной (резистивной) и мнимой (реактивной) составляющими (модуль комплексного входного сопротивления цепи называется также полным входным сопротивлением). Представляя комплексные амплитуды и комплексные действующие значения напряжений и токов в показательной форме, находим из (3.14) и (3.15)

(3.18)

Сравнивая (2.16) и (2.18), устанавливаем, что модуль комплексного сопротивления равен отношению амплитуд или действующих значений напряжения и тока на зажимах рассматриваемого участка цепи:

(3.19)

а аргумент равен разности начальных фаз напряжения и тока:

(3.20)

Общая методика решения системы динамических уравнений

Система динамических уравнений представляет собой систему линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка. Эту систему уравнений всегда можно свести к одному дифференциальному уравнению n-ого порядка, где n - количество накопителей энергии в цепи. Из курса математики известно, что решение такого уравнения ищется в виде суммы частного решения неоднородного дифференциального уравнения и общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения. Вид последнего решения зависит от числа и вида корней характеристического уравнения, составленного по полученному однородному дифференциальному уравнению. Возникающие в результате решения постоянные интегрирования определяются из начальных условий, которыми служат значения токов в индуктивностях и напряжений на конденсаторах, а также их производных в момент времени t=0.

Закон Ома в комплексной форме получаем из формулы для комплексного сопротивления:

По первому закону Кирхгофа, алгебраическая сумма мгновенных значений токов, сходящихся в любом узле схемы, равна нулю:

Равенство не нарушится, если вместо токов подставить соответствующие комплексы. Это и будет выражение для первого закона Кирхгофа в комплексной форме:

где - количество ветвей, подходящих к узлу.

По второму закону Кирхгофа, в любом (замкнутом) контуре справедливо равенство алгебраических сумм мгновенных значений напряжений на сопротивлениях контура и ЭДС:

Заменив напряжения и ЭДС на соответствующие комплексы, получим выражение для второго закона Кирхгофа в комплексной форме:

где - количество элементов в контуре,

- количество ЭДС в контуре.

Пример:



18. Расчет простых цепей синусоидального тока символическим методом

Основы символического метода расчета цепей синусоидального тока.

Очень широкое распространение на практике получил символический, или комплексный, метод расчета цепей синусоидального тока.

Сущность символического метода расчета состоит в том, что при синусоидальном токе можно перейти от уравнений, составленных для мгновенных значений и являющихся дифференциальными уравнениями [см., например, (2.29)], к алгебраическим уравнениям, составленным относительно комплексов тока и ЭДС. Этот переход основан на том, что в уравнении, составленном по законам Кирхгофа для установившегося процесса, мгновенное значение тока i заменяют комплексной амплитудой тока мгновенное значение напряжения на резисторе сопротивлением R, равное -- комплексом по фазе совпадающим с током мгновенное значение напряжения на индуктивной катушке -- комплексом опережающим ток на 90°; мгновенное значение напряжения на конденсаторе Midt -- комплексом отстающим от тока на 90°; мгновенное значение ЭДС е -- комплексом Справедливость замены на следует из § 3.7 и 3.8.

В § 3.8 было показано, что амплитуда напряжения на L равна произведению амплитуды тока на Множитель свидетельствует о том, что вектор напряжения на индуктивной катушке опережает вектор тока на 90°.

Аналогично, из § 3.9 следует, что амплитуда напряжения на конденсаторе равна амплитуде тока, умноженной на Отставание напряжения на конденсаторе от протекающего по ней тока на 90° объясняет наличие множителя

Например, для схемы рис. 3.9 уравнение для мгновенных значений можно записать так:

или

Запишем его в комплексной форме:

Вынесем за скобку:

Следовательно, для схемы рис. 3.9

Это уравнение позволяет найти комплексную амплитуду тока через комплексную амплитуду ЭДС и сопротивления цепи

Метод называют символическим потому, что токи и напряжения заменяют их комплексными изображениями или символами. Так, -- это изображение или символ падения напряжения -- изображение или символ падения напряжения -- изображение или символ падения напряжения на конденсаторе -- .

19. Трёхфазный ток и его получение. Трёхфазная цепь, при соединении звездой

Получение трехфазного тока

Трехфазный ток - это система из трех электрически связанных однофазных переменных токов, смещенных по фазе один относительно другого на треть периода (120 электрических градусов).

Трехфазный ток создается в генераторах, в которых имеются три симметрично расположенных группы проводников (три фазы обмотки), электрически связанных между собою. Так как полный цикл изменений э. д. с. в проводнике (один период) осуществляется при прохождении проводника под одной парой соседних полюсов (один северный, один южный), то для получения сдвига на треть периода необходимо фазы обмотки пространственно сместить друг относительно друга на угол , где p - число пар полюсов в машине. В генераторе с одной парой полюсов этот угол равен 120°; в генераторе с p = 2 он равен 60° и т. д.



Здесь изображены фазы обмотки трехфазного генератора под категорией а), каждая одним проводником, под категорией б)- двумя и т. д. выполняются совершенно одинаковыми, поэтому э. д. с. во всех трех фазах будут одинаковыми. Однако благодаря пространственному смещению фаз обмотки, в любой момент времени они будут находиться в разных положениях по отношению к магнитному потоку и, следовательно, их э. д. с. будут проходить в этот момент разные точки в пределах цикла изменений, разные фазы. Это отчетливо видно на изображении выше, на которой слева показана так называемая волновая, а справа - векторная диаграммы трехфазного тока. Благодаря пространственному смещению обмоток в машине на 120° эл все значения токов (аналогично - напряжений, э. д. с.) фазы В запаздывают на треть периода относительно соответствующих (по местоположению в пределах цикла) значений фазы A и на столько же опережают соответствующие значения фазы C. Совершенно симметричные синусоиды трех фаз обмотки получаются смещенными относительно друг друга: во времени - на треть периода, на диаграммах - в угловых единицах - на 120° эл. На векторной диаграмме под категорией б) показаны действующие значения токов трех фаз обмотки (аналогичными будут диаграммы для э. д. с. и напряжений).

Если расстояние от начала синусоиды фазы A до какого-то сечения на волновой диаграмме (до какого-то момента времени в пределах цикла) измеряется углом а, то расстояния от начал синусоид фаз B и C до этого сечения будут соответственно a - 120° и a - 240°. Таким образом, мгновенные значения токов в показанном сечении представятся такими выражениями:

Аналогично напишутся выражения для э. д. с. и напряжений в трехфазной системе. Из условия полной симметрии трехфазной системы вытекает, что максимальные значения величин (Im, Em, Um) всех трех фаз одинаковы.

Замечательным свойством трехфазной системы является следующее: в симметричной трехфазной системе сумма мгновенных значений токов всех фаз в любой момент времени равна нулю. Трехфазная система симметрична, если максимальные значения величин всех трех фаз равны и фазовые сдвиги между ними составляют 120°.

Обозначим:

Выполнив подстановку по выше изложенному выражению, получим:

Раскроем синусы разности углов и подставим соответствующие числовые значения:



Таким образом,

Объяснение этого заключается в том, что в любой момент времени (для любого вертикального сечения по синусоидам, приведенным на изображении подкатегорией а), знак тока одной из фаз будет противоположен знаку токов двух других фаз.

Выше указанное соотношение справедливо и для действующих значений токов, но только при геометрическом их сложении. Если на диаграмме, приведенной под категорией б), IА = IB = IC и углы между векторами равны 120° (симметричная трехфазная система), то, как в этом легко убедиться,

Обязательным условием создания трехфазной системы переменного тока является электрическое соединение между собой трех фаз обмотки. Есть два способа такого соединения: соединение звездой и соединение треугольником.

Соединение трехфазной цепи звездой

Соединение обмоток генератора и приемников энергии звездой представляет собой схему, когда концы фаз соединяются в общий узел, а их начала присоединяются к линейным проводам

Схема соединения звезда

Рис. 1

Провод OO' называется нулевым или нейтральным, остальные -- линейными. Введем следующие понятия:

· Iл -- линейный ток -- это ток протекающий по линейному проводу;

· Uл -- линейное напряжение -- это напряжение между линейными проводами;

· Iф -- фазный ток -- это ток, протекающий от начала к концу фазной обмотки или приемника энергии (или наоборот: от конца -- к началу);

· Uф -- фазное напряжение -- это напряжение между началом и концом фазной обмотки или приемника энергии. Другими словами можно сказать: фазное напряжение -- это напряжение между линейным и нулевым проводами.

При симметричной нагрузке нулевой провод практически не нужен, так как ток Io в нем равен нулю. Поэтому, в этих случаях применяют трехпроводные системы (соединение треугольником). При несимметричной трехфазной нагрузке нулевой провод обеспечивает постоянство напряжений на фазах.

По рисунку может показаться, что линейное напряжение вдвое больше фазного. Но это не так. Линейное напряжение равно не алгебраической сумме, а геометрической разности.

Для того чтобы получить вектор линейного напряжения, например Uл (АВ), нужно к концу вектора UфА подстроить вектор UфВ с обратным знаком. Вектор, соединяющий начало координат с концом вектора UфВ, и будет вектором линейного напряжения Uл (АВ). Аналогично ведется построение векторов линейных напряжений Uл (ВС) и Uл (АС).

Векторная диаграмма линейных и фазных напряжений

Рис. 2

В результате построений образовалась трехлучевая звезда линейных напряжений, повернутых относительно звезды фазных напряжений на угол 30° против часовой стрелки. Из полученных таким образом треугольников с тупым углом в 120° следует:

Для симметричной системы:

Uл(AB) = Uл(BC) = Uл(CA) = Uл

UфA = UфB = UфC = Uф

Если линейное напряжение, например, равно 380 В, то фазное будет:

Если же фазное напряжение Uф = 127В, то линейное будет:

20. Трёхфазная цепь, при соединении треугольником

Соединение трехфазной цепи треугольником

При соединении обмоток генератора и приемников энергии треугольником конец предыдущей фазы соединяется с началом последующей, образуя замкнутую систему. К линейным проводам в этом случае подключаются узловые точки.

Схема соединения треугольник

Рис. 1

Векторная диаграмма линейных и фазных токов

Рис. 2

Вектор фазного тока располагается рядом с вектором соответствующего фазного напряжения под углом ц. Последний определяется характером нагрузки. Если, например, нагрузка активная, то ц = 0о, а при индуктивной нагрузке ц = 90о.

Для построения векторов линейных токов из каждого фазного тока геометрически вычитают соседний. Нетрудно доказать, что в этом случае линейный ток равен:

21. Расчёт мощностей в трехфазных цепях

Цепь трехфазного переменного тока состоит из трехфазного источника питания, трехфазного потребителя и проводников линии связи между ними.

Симметричный трехфазный источник питания можно представить в виде трех однофазных источников, работающих на одной частоте с одинаковым напряжением и имеющих временной угол сдвига фаз 120?. Эти источники могут соединяться звездой или треугольником.

При соединении звездой условные начала фаз используют для подключения трех линейных проводников A, B, C, а концы фаз объединяют в одну точку, называемую нейтральной точкой источника питания (трехфазного генератора или трансформатора). К этой точке может подключаться нейтральный провод N. Схема соединения фаз источника питания звездой приведена на рисунке 1, а.

Рис. 1. Схемы соединения фаз источника питания: а - звездой; б - треугольником

Напряжение между линейным и нейтральным проводами называется фазным, а между линейными проводами - линейным.

В комплексной форме записи выражения для фазных напряжений имеют вид:

Соответствующие им линейные напряжения при соединении звездой:

Здесь Uф - модуль фазного напряжения источника питания, а Uл - модуль линейного напряжения. В симметричной трёхфазной системе, при соединении фаз источника звездой, между этими напряжениями есть взаимосвязь:

При включении фаз треугольником фазные источники питания соединяют последовательно в замкнутый контур (рисунок 1, б).

Из точек объединения источников между собой выводятся три линейных провода A, B, C, идущие к нагрузке. Из рисунка 1, б видно, что выводы фазных источников подключены к линейным проводникам, а следовательно, при соединении фаз источника треугольником фазные напряжения равны линейным. Нейтральный провод в этом случае отсутствует.

К трехфазному источнику может подключаться нагрузка. По величине и характеру трёхфазная нагрузка бывает симметричной и несимметричной.

В случае симметричной нагрузки комплексные сопротивления всех трёх фаз одинаковы, а если эти сопротивления различны, то нагрузка несимметричная. Фазы нагрузки могут соединяться между собой звездой или треугольником (рисунок 2), независимо от схемы соединения источника.

Рис. 2. Схемы соединения фаз нагрузки

Соединение звездой может быть с нейтральным проводом (см. рисунок 2, а) и без него. Отсутствие нейтрального провода устраняет жёсткую привязку напряжения на нагрузке к напряжению источника питания, и в случае несимметричной нагрузки по фазам эти напряжения не равны между собой. Чтобы их отличить, условились в индексах буквенных обозначений напряжений и токов источника питания применять прописные буквы, а в параметрах, присущих нагрузке, - строчные.

Алгоритм анализа трёхфазной цепи зависит от схемы соединения нагрузки, исходных параметров и цели расчёта.

Для определения фазных напряжений при несимметричной нагрузке, соединённой звездой без нейтрального провода, используют метод двух узлов. В соответствии с этим методом расчёт начинают с определения напряжения UN между нейтральными точками источника питания и нагрузки, называемого напряжением смещения нейтрали:

где ya , yb , yc - полные проводимости соответствующих фаз нагрузки в комплексной форме

Напряжения на фазах несимметричной нагрузки находят из выражений:

В частном случае несимметрии нагрузки, когда при отсутствии нейтрального провода происходит короткое замыкание одной из фаз нагрузки, напряжение смещения нейтрали равно фазному напряжению источника питания той фазы, в которой произошло короткое замыкание.

Напряжение на замкнутой фазе нагрузки равно нулю, а на двух других оно численно равно линейному напряжению. Например, пусть произошло короткое замыкание в фазе В. Напряжение смещения нейтрали для этого случая UN = UB. Тогда фазные напряжения на нагрузке:

Фазные токи в нагрузке, они же и токи линейных проводов при любом характере нагрузки:

В задачах при проведении расчётов трёхфазных цепей рассматривают три варианта соединения трёхфазных потребителей звездой: соединение с нейтральным проводом при наличии потребителей в трёх фазах, соединение с нейтральным проводом при отсутствии потребителей в одной из фаз и соединение без нейтрального провода с коротким замыканием в одной из фаз нагрузки.

В первом и втором вариантах на фазах нагрузки находят соответствующие фазные напряжения источника питания и фазные токи в нагрузке определяются по приведенным выше формулам.

В третьем варианте напряжение на фазах нагрузки не равно фазному напряжению источника питания и определяется с помощью зависимостей

Токи, в двух незакороченных фазах, определяют по закону Ома, как частное от деления фазного напряжения на полное сопротивление соответствующей фазы. Ток в закороченной фазе определяют с помощью уравнения на основании первого закона Кирхгофа, составленного для нейтральной точки нагрузки.

Для рассмотренного выше примера с коротким замыканием фазы В:

При любом характере нагрузки трёхфазная активная и реактивная мощности равны соответственно сумме активных и реактивных мощностей отдельных фаз. Для определения этих мощностей фаз можно воспользоваться выражением

где Uф,Iф, - комплекс напряжения и сопряжённый комплекс тока на фазе нагрузки; Pф, Qф - активная и реактивная мощности в фазе нагрузки.

Трёхфазная активная мощность: P = Pа + Pb + Pс

Трёхфазная реактивная мощность: Q = Qа + Qb + Qс

Трёхфазная полная мощность:

При подключении потребителей треугольником схема приобретает вид, изображённый на рисунке 2, б. В этом режиме схема соединения фаз симметричного источника питания не играет роли.

На фазах нагрузки находят линейные напряжения источника питания. Фазные токи в нагрузке определяют с помощью закона Ома для участка цепи Iф = Uф/zф, где Uф - фазное напряжение на нагрузке (соответствующее линейное напряжение источника питания); zф - полное сопротивление соответствующей фазы нагрузки.

Токи в линейных проводах определяют через фазные на основании первого закона Кирхгофа для каждого узла (точки a,b,c) схемы, изображённой на рисунке 2, б:

22. Назначение, классификация и устройства трансформаторов

Трансформаторы -- электромагнитные статические преобразователи электрической энергии.

Основное назначение трансформаторов -- изменять напряжение переменного тока. Трансформаторы применяются также для преобразования числа фаз и частоты. Наибольшее распространение имеют силовые трансформаторы напряжения, которые выпускаются электротехнической промышленностью на мощности свыше миллиона киловольт-ампер и на напряжения до 1150 - 1500 кВ.

Для передачи и распределения электрической энергии необходимо повысить напряжение турбогенераторов и гидрогенераторов, установленных на электростанциях, с 16 - 24 кВ до напряжений 110, 150, 220, 330, 500, 750 и 1150 кВ, используемых в линиях передачи, а затем снова понизить до 35; 10; 6; 3; 0,66; 0,38 и 0,22 кВ, чтобы использовать энергию в промышленности, сельском хозяйстве и быту.

Так как в энергетических системах имеет место многократная трансформация, мощность трансформаторов в 7 - 10 раз превышает установленную мощность генераторов на электростанциях.

Силовые трансформаторы в выпускаются в основном на частоту 50 Гц.

Трансформаторы малой мощности широко используются в различных электротехнических установках, системах передачи и переработки информации, навигации и других устройствах. Диапазон частот, на которых могут работать трансформаторы, -- от нескольких герц до 105 Гц.

По числу фаз трансформаторы делятся на однофазные, двухфазные, трехфазные и многофазные.Силовые трансформаторы выпускаются в основном в трехфазном исполнении. Для применения в однофазных сетях выпускаются однофазные трансформаторы.

Классификация трансформаторов по числу и схемам соединения обмоток

Трансформаторы имеют две или несколько обмоток, индуктивно связанных друг с другом. Обмотки, потребляющие энергию из сети, называютсяпервичными. Обмотки, отдающие электрическую энергию потребителю, называются вторичными.

Многофазные трансформаторы имеют обмотки, соединенные в многолучевую звезду или многоугольник. Трехфазные трансформаторы имеют соединение в трехлучевую звезду и треугольник.

Повышающие и понижающие трансформаторы

В зависимости от соотношения напряжений на первичной и вторичной обмотках трансформаторы делятся на повышающие и понижающие. В повышающем трансформаторе первичная обмотка имеет низкое напряжение, а вторичная -- высокое. В понижающем трансформаторе, наоборот, вторичная обмотка имеет низкое напряжение, а первичная -- высокое.

Трансформаторы, имеющие одну первичную и одну вторичную обмотки, называются двухобмоточными. Достаточно широко распространены трехобмоточные трансформаторы, имеющие на каждую фазу три обмотки, например две на стороне низкого напряжения, одну -- на стороне высокого напряжения или наоборот. Многофазные трансформаторы могут иметь несколько обмоток высокого и низкого напряжения.

...