Электромагнитные взаимодействия

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ВВЕДЕНИЕ

Задача о прохождении частиц (излучения) через вещество и связанных с этим потерях энергии была поставлена при самом возникновении современных представлений о структуре атомов. Этапы в решении этой задачи совпали с этапами развития квантовой теории и теории относительности. Опыты по прохождению частиц через вещество послужили экспериментальной основой для проверки справедливости этих теорий.

Трудно переоценить значение теорий, связанных с прохождением частиц через вещество, для становления современной физики. Большая честь методов исследования атомных ядер и элементарных частиц, а также интерпретация измерений в ядерной физике, физике высоких энергий и космических лучей основывается на выводах этой теории.

Эта книга посвящена изучению электромагнитных взаимодействий частиц с веществом, которые в основном определяют их проникающую способность, вероятность различных процессов взаимодействия и зависимость их от природы и параметров частиц и свойств вещества.

Электромагнитные взаимодействия - лишь один из четырех типов взаимодействия, известных в настоящее время. Остальные три типа взаимодействия здесь подробно не рассматриваются.



ГЛАВА 1. ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ

1.1 Классификация элементарных частиц

электромагнитный ньютон лейбниц

Со времен Ньютона и Лейбница под понятием "элементарная частица" подразумевался бесструктурный точечный объект. По мере накопления знаний о природе материи на протяжении только последних ста лет элементарными частицами считали сначала атомы, потом ядра, адроны. К 60-м годам прошлого века число элементарных частиц достигло сотни. Возникло подозрение относительно их "элементарности". Казалось, что природа не может быть столь расточительной. Все разнообразие этих частиц попытались объяснить наличием меньшего количества унифицированных элементарных объектов.

На современном уровне знаний элементарными считают 12 частиц и 12 античастиц или, как говорят, ароматов, а также 12 переносчиков взаимодействий. Все элементарные частицы - фермионы (их спин s=h/2), а все переносчики взаимодействия - бозоны (s=1h).

В свободном состоянии наблюдается только 6 (из 12)

элементарных частиц. Это - лептоны: электрон e^-, мюон ц^-, таон t^-, нейтрино электронное v_e, нейтрино мюонное v_m, и нейтрино таонное v_x. Антинейтрино и положительно заряженные лептоны считаются античастицами. Лептоны - слабо взаимодействующие частицы.

Остальные 6 элементарных частиц - кварки - существуют только в связанном состоянии. Это относится и к 6 антикваркам. Кварки и антикварки - частицы, обладающие сильным взаимодействием.

Кварки и антикварки имеют дробный электрический заряд: q= %-e у u ("up" - верхний), c ("charm" - очарованный), t ("truth" - истинный или "top" - вершинный); соответственно заряд q = - % е имеют антикварки: u, c, t. Заряд q = - Уз e имеют кварки: d ("down" - нижний), s ("strange" - странный) и b ("beauty" - прелестный или "bottom" - донный), а заряд q=+y e у антикварков: d, s, b.

Таблица 1.1. Элементарные частицы (ароматы)

Поколения	Лептоны	Кварки
I	е-		V	u			d
	+ е		V"e-	u			d
II	ц- + ц	Vm Vm	с с	s s
III	т- + т	Vt К	t t	b b

Комбинации из кварков и антикварков дают мезоны. Например: я"

(^ud), я+( ud ), p⁰( uu , dd , ss ).

Комбинация трех кварков создает барионы. Например: p(uud), n (udd) .

Частицы, построенные из кварков и антикварков, называются адронами. Слово "адрон" происходит от греческого "хадрос" - сильный, поскольку все эти объекты участвуют в сильных взаимодействиях.

Все элементарные частицы (12 частиц и 12 античастиц) естественным образом разбиваются на три группы, или, как говорят, на три поколения фундаментальных фермионов. Каждое поколение содержит четыре частицы (и 4 античастицы). Самые легкие частицы образуют первое поколение. В каждом из последующих поколений заряженные частицы тяжелее, чем в предыдущем.

Фермионы первого поколения постоянно существуют в природе. Они в совокупности с фотонами являются той материей, из которой

построена современная Вселенная. Из u и d-кварков состоят нуклоны, а значит, и ядра атомов, из электронов - атомные оболочки. Без электронных нейтрино не могли бы протекать реакции ядерного синтеза в Солнце и звездах.

Частицы второго и третьего поколений возникают во взаимодействиях адронов и лептонов высокой энергии в космических лучах или на ускорителях. Фермионы второго и третьего поколений играли важную роль в ранней Вселенной, в первые мгновения так называемого Большого Взрыва. В частности, число сортов (ароматов) нейтрино определило соотношение между распространенностями водорода и гелия во Вселенной. Фермионы второго и третьего поколений нестабильны, в результате распада все они быстро переходят в частицы первого поколения. Конечными продуктами всех превращений являются лептоны. Исключение составляет лишь протон. Однако есть предположение, что и протон распадается, хотя время его жизни очень велико - много больше 10 лет.

1.2 Взаимодействия элементарных частиц

Процессы, в которых участвуют элементарные частицы, бесчисленны и разнообразны. Но за всеми процессами, которые наблюдались до сих пор, кроются фундаментальные взаимодействия всего лишь четырех типов: гравитационное, электромагнитное, слабое и сильное. Также называются и силы, обеспечивающие эти типы взаимодействия.

Гравитационное взаимодействие универсально: в нем участвуют все частицы, имеющие массы. Но поскольку массы элементарных частиц малы, влияние гравитационных сил обычно не учитывается.

Слабые силы действуют между всеми известными элементарными частицами. Сильные взаимодействия существуют только между кварками. Электромагнитные взаимодействия испытывают только электрически заряженные частицы.

Хотя природа этих сил различна, механизм взаимодействия частиц одинаков - взаимодействие частиц происходит благодаря обмену другими частицами, которые называются переносчиками взаимодействия или квантами соответствующего поля. Так, при электромагнитных взаимодействиях происходит обмен фотонами (квантами электромагнитного поля), при слабых - И^г± и Z⁰- бозонами (квантами слабого поля). Все три бозона - тяжелые частицы: m_W = 80,8 ГэВ, m_Z = 92,9 ГэВ. При сильных взаимодействиях происходит обмен глюонами (8 типов глюонов), при гравитационном - обмен гравитонами. Из-за слабости гравитационного взаимодействия до сих пор гравитоны не обнаружены.

Расстояние г, на котором две частицы "чувствуют" присутствие друг друга, определяется массой переносчика взаимодействия m. Эта масса может быть определена из соотношения неопределенности: AEAt ~ h, где AE=mc , a At=r/с. Отсюда r ~ h/тс . Поскольку массы гравитона, фотона и глюона равны нулю, гравитационные, электромагнитные и сильные взаимодействия должны были бы обладать бесконечным радиусом взаимодействия. Слабые взаимодействия имеют малый радиус взаимодействия:

r_W ~ h/m_Wc ~ 2 * 10^-16 см .

На расстояниях r <<10^-16 см, по-видимому, все силы ведут себя одинаково - они обратно пропорциональны квадрату расстояния:

-2 -2 F ~ r . Поэтому величина F r характеризует интенсивность взаимодействия, независимую от расстояния (для r < 10^-16 см). В случае электромагнитного взаимодействия электронов удобнее интенсивность взаимодействия выражать в безразмерных величинах а=е²^с=1/137. Тогда вероятность любого акта электромагнитного взаимодействия пропорциональна а. Для кварков с дробным зарядом q вероятность электромагнитного взаимодействия будет пропорциональна aq . Теория электромагнитных взаимодействий - квантовая электродинамика (КЭД).

В случае сильных взаимодействий по аналогии с электродинамикой вводится константа сильного взаимодействия as=gs²/hс, где gs -сильный (или цветовой) заряд является источником этих сил.

Теория сильных взаимодействий строится аналогично КЭД, но называется квантовой хромодинамикой (КХД), и вот почему. В электродинамике имеется лишь один заряд e, отличающийся только знаком (+, -) для частиц и античастиц.

Сильный заряд g_s кварков имеет три значения, т.е. кварки каждого аромата существуют в трех разновидностях. Принято говорить, что эти разновидности отличаются друг от друга своими цветами. Обычно говорят, что кварки бывают трех цветов: желтого, синего и красного. "Цвет" в этом случае - просто удобный термин для обозначения квантовых чисел, характеризующих кварки Еще в 1965г. Н.Н.Боголюбов установил наличие трех степеней свободы у кварков, а название "цвет" ввел Гелл-Ман в 1973 г..

Выбор трех основных оптических (желтого, синего, красного) цветов для обозначения зарядов кварков позволяет пользоваться наглядной оптической аналогией. Цветовые заряды антикварков сопряжены зарядам кварков. Иногда их называют антижелтым, антисиним, антикрасным, иногда - фиолетовым, оранжевым и зеленым

в соответствии с известной последовательностью дополнительных цветов в оптическом спектре. Сумма одинаковых заряда и антизаряда равна нулю. Сумма трех зарядов взаимно дополнительных цветов также равна нулю. При таком подборе кварковых цветов адроны естественно называть бесцветными, белыми частицами. Барионы бесцветны, так как состоят из трех кварков взаимно дополнительных цветов. Мезоны представляют собой бесцветные суперпозиции кварков и антикварков. Таким образом, было принято называть заряды сильного взаимодействия - цветными, а теорию сильного взаимодействия - хромодинамикой.

Итак, каждый кварк с определенным ароматом может иметь один из трех цветных зарядов: красный (к), желтый (ж), синий (с), и взаимодействие их сводится к обмену цветом. Поэтому переносчик сильного взаимодействия - глюон - должен быть двухцветным, т. е. он имеет цветной заряд. В этом заключается существенное отличие от электромагнитного взаимодействия, где переносчик взаимодействия фотон не имеет электрического заряда. Это обстоятельство имеет свои важные последствия.

Явление поляризации вакуума приводит в КЭД к экранировке электрического заряда. Поясним это. Электрический заряд непрерывно испускает и поглощает виртуальные фотоны, которые могут порождать виртуальные электрон-позитронные пары. Заряд поляризует эти пары так, что исходный заряд оказывается частично экранированным распределенным в окружающем пространстве облаком виртуальных пар. На макроскопических расстояниях мы наблюдаем некоторый эффективный заряд e . По мере приближения к центру экранирующее действие пар ослабевает, что эквивалентно увеличению заряда, т.е. возрастанию "константы взаимодействия".

Действительно, на расстоянии г =10 см константа электромагнитного взаимодействия а оказывается равной 1/129, а не 1/137 как при г >10^-13.

Аналогичное влияние на цветные заряды оказывают виртуальные q q - пары, образующиеся около сильного заряда, они также поляризуются исходным кварком и в результате уменьшают его заряд. Но возникающие вместе с qq -парами цветные глюоны тоже поляризуются и иначе, чем кварки. Кроме того, их - восемь видов, и, благодаря своим цветовым зарядам, глюоны сильно взаимодействуют друг с другом. В результате этого исходный заряд как бы "распухает" из-за виртуальных глюонов, и с увеличением расстояния суммарный заряд кварка и облака виртуальных глюонов возрастает. На больших расстояниях при г > 10" см цветные силы становятся постоянными

F ~ a_Sr^- + k,

а потенциал (т.е. энергия взаимодействия) V возрастает с расстоянием:

V ~ F -г ~ a_S- г¹ + к* г.

Образно говоря, между кварками как бы "натянута" струна. На малых расстояниях струна "провисает", энергия их взаимодействия мала и кварки свободны, а на больших расстояниях струна натянута и стягивает кварки с силой 10 тонн.

При уменьшении расстояния, по мере проникновения в глубь глюонного облака, окружающего кварк, цветовой заряд его уменьшается. Это означает, что в пределе бесконечно малых расстояний между кварками цветовое взаимодействие между ними выключается. Константа сильного взаимодействия становится очень малой, и кварки почти не взаимодействуют между собой. Это явление получило название асимптотической свободы. Таким образом " константа" сильного взаимодействия меняется с расстоянием, поэтому ее называют бегущей константой. На расстоянии г ~ 10"¹³см a_s = 1 , а на расстоянии r~10^- см a_s = 0,1 (рис.1.1).

Рис 1.1. Зависимость величины безразмерных констант для трёх типов взаимодействия от расстояния между зарядами

Поскольку переносчиками слабого взаимодействия также являются заряженные частицы - W^- - бозоны, то константа слабого взаимодействия, как и сильного, уменьшается с уменьшением расстояния. На расстоянии г ~ 10^- см. a_W ~ 1/ 27.

Итак, константы всех трех взаимодействий при расстояниях порядка 10^- см не так уж далеки друг от друга по величине и проявляют тенденцию к дальнейшему сближению. Экстраполяция всех бегущих констант в область очень малых расстояний приводит к тому, что на расстояниях r~ 10 см. все они становятся одинаковыми a_GU~1/40. Индекс GU происходит от английских слов grand unification и означает великое объединение трех фундаментальных взаимодействий. Возможно, что при таких расстояниях исчезает различие между лептонами и кварками и существует один тип частиц - лептокварки.

Ранее отмечалось, что слабые взаимодействия испытывают все частицы: и лептоны и кварки. Однако опыт показал, что в слабых взаимодействиях участвуют только некоторые пары частиц, образующие слабо взаимодействующие дублеты. Причиной этого является зависимость слабого взаимодействия от спиральности частицы, т.е. от того, совпадает или нет направление проекции спина частицы с направлением ее движения. Если направление проекции спина совпадает с направлением движения частицы, то такая частица называется правополяризованной, если нет, - то левополяризованной. Если масса частицы равна нулю, то ее спиральность не может быть изменена. Частицы с m > 0 могут менять свою спиральность.

0казывается, в слабых взаимодействиях участвуют только частицы с левой поляризацией и античастицы с правой поляризацией. Эти частицы могут переходить друг в друга в результате обмена W- бозонами, они и образуют дублеты первого поколения.



ГЛАВА 2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ

2.1 Классификация электромагнитных взаимодействий

Теория электромагнитных взаимодействий (электродинамика - ЭД, квантовая электродинамика - КЭД) разработана уже довольно давно и настолько хорошо, что она может быть применена к большинству проблем, возникающих при электромагнитном взаимодействии излучения с веществом. При любой экспериментальной проверке предсказания этой теории подтверждались в пределах экспериментальных ошибок и математических приближений.

Электромагнитные взаимодействия существуют между всеми частицами, имеющими электрический заряд, и фотонами. Их можно рассматривать как результат обмена фотонами в момент взаимодействия или как результат поглощения и испускания фотонов.

В качестве константы взаимодействия, определяющей интенсивность процесса, в случае электромагнитных взаимодействий выступает 2 2 квадрат заряда e² или безразмерная величина, пропорциональная e²: а = е²^с= 1/137. Если в процессе взаимодействия участвует один фотон, то вероятность такого процесса пропорциональна а, если два фотона, то пропорциональна а² и т.д.

Остановимся на основных процессах, которые происходят с наибольшей вероятностью и при которых осуществляется наибольшая передача энергии, поэтому они, в основном, и определяют проникающую способность частиц в вещество.

Эти элементарные электромагнитные процессы можно классифицировать с точки зрения классической физики на основе представления о параметре удара (прицельном параметре или параметре соударения) b, т.е. расстоянии наибольшего сближения частиц.

При взаимодействии частиц с атомами среды, через которую они летят, естественно сопоставлять величину параметра удара b с размером атомов а. В зависимости от того, как соотносятся между собой величины b и а происходит тот или иной процесс взаимодействия.

1. b >> a . Если параметр удара настолько велик, что атом реагирует как целое на переменное электромагнитное поле, создаваемое заряженной частицей, то возникает возбуждение и ионизация атомов.

Взаимодействие фотона с атомом, как целым, приводит к фотоэффекту.

2. b ~ а . Если параметр удара сравним с размерами атома, то будет происходить взаимодействие частицы с отдельными электронами атома. В этом случае заряженная частица может передать электрону значительную энергию, электрон вырывается из атома и сам может производить ионизацию других атомов. Такой электрон называется 5-электроном. Если энергия, получаемая 8-электроном, велика по сравнению с энергией связи его в атоме, то это явление может рассматриваться как взаимодействие пролетающей частицы и свободного электрона.

При столкновении фотона с таким "свободным" электроном фотон рассеивается (комптоновокое рассеяние, комптон-эффект).

3. b << а. При еще меньших значениях параметра удара происходит взаимодействие частицы с кулоновским полем ядра. Траектория частицы при этом заметно искривляется, и происходит ускорение (или замедление) частицы. Согласно классической электродинамики в этом случае должно возникнуть тормозное излучение.

При взаимодействии фотонов высокой энергии с ядрами атомов могут возникать электрон-позитронные пары. При этом фотон поглощается, и вся его энергия переходит в энергию пары. Этот эффект пороговый, так как он может происходить, если энергия фотона больше суммарной энергии покоя электрона и позитрона. Ядро принимает на себя избыток импульса. Заряженные частицы тоже могут образовывать электрон-позитронные пары, так как электромагнитное поле быстро движущейся частицы может быть представлено как поток фотонов со спектром, зависящим от энергии частицы. Эти виртуальные фотоны могут создавать е^-е+-пары так же, как и реальные фотоны. Однако вероятность такого события в 137 раз меньше вероятности рождения пары реальным фотоном.

Особый класс взаимодействий составляют процессы излучения электромагнитных волн при равномерном движении частиц в среде с показателем преломления n > 1 . К ним относится излучение Вавилова - Черенкова, на основе которого созданы разнообразные черенковские детекторы.

Кроме того, существует переходное излучение, возникающее при пересечении равномерно двигающейся заряженной частицей границы раздела двух сред с разными показателями преломления.

Размер атома a . Некоторые полезные оценки и соотношения можно получить из простейшей концепции Нильса Бора. Пусть имеем ядро с зарядом Ze. Рассмотрим электрон в стационарном состоянии, т. е. допустим, что электрон вращается вокруг ядра по стационарной круговой орбите радиуса а с орбитальной скоростью v_op6.

Атом - система квантовая, поэтому момент количества движения электрона m_ev_op6a квантуется, т.е. может принимать лишь дискретные значения m_ev_op6a = n h, где n = 1, 2, 3, .. .

Поскольку рассматриваемая система стационарна, то центробежная сила равна кулоновской силе притяжения электрона к 2 2 2 2 2 ядру, т. е. m_e v ² / a = Ze²/a², m_ev ²a = Ze², и, следовательно, ^{n h v}op6 = ^Ze .

Отсюда получаем важные для нас соотношения: v_op6 = Ze²/nh, и a = nh/m_ev_op6= n^/m^² , т.е. скорость вращения электронов в атоме убывает с увеличением главного квантового числа n , а радиус орбиты вращения электронов в атоме пропорционален n² .

Энергия связи (е_св) электрона с ядром, т.е. его потенциальная энергия на орбите, получается равной:

^св ^{Ze /а m}e^vop6 ^{, а v}op6 ScB^/me .

Отсюда видно, что скорость вращения больше у внутренних электронов атома, для которых больше е_св. Например, для К- электронов n =1, следовательно, v_op6 = Ze²/h. Для атома водорода Z=1, поэтому v_op6= e²/h= 2,3 10⁸ см/с и а= h²/m_ee²= 0,5 10^-8 см.

В общем случае для электронных орбит в атомах имеем: v_op6= Z/n ¦ 2,3 10⁸ см/с. и а = n²/Z ¦ 5 10^-9 см.

Чтобы произошла ионизация, т.е. электрон мог покинуть атом, надо, чтобы при взаимодействии с пролетающей мимо заряженной частицей этот электрон получил кинетическую энергию Т большую, чем энергия связи его с атомом, т.е. Т_е > ес_В.

Определим минимальную кинетическую энергию Е и скорость V пролетающей частицы, необходимые для ионизации атома среды.

Пусть пролетающая частица имеет массу М >> m_e и кинетическую энергию Е= % М V² . Так как максимальная энергия, которая может быть передана этой частицей электрону при упругом столкновении T_e = E- 4m_eM / (M+m_e) , то при M >> m_e наибольшая энергия, получаемая электроном, будет Т_е ~ E 4m_e/ M. Чтобы электрон смог покинуть этот атом, необходимо, чтобы Т >е_св, т.е. E ¦ 4 m_e/ M > е_св. Отсюда получаем соотношения E > е_св¦ М /2 2 me и V > v_op6 .

Если энергия, передаваемая электрону Т_е >> е_св , т.е. энергия пролетающей частицы Е >> е_св М / m_e , то все электроны атома могут рассматриваться свободными и покоящимися по сравнению с быстро летящей частицей. Какова же должна быть энергия частицы, чтобы выполнялось это условие? Найдем, например, энергию протона, который имеет скорость V = 4,6 10 см/с, т.е. равную 2 v_op6 для атома водорода: Е_р = MV /2 ~100 КэВ. Протон с Ер>100 КэВ может ионизовать атом водорода, но лишь при энергии протона Ер>>100 КэВ, можно пренебречь связью электронов с ядрами атомов водорода и считать их свободными.

2.2 Ионизационные потери тяжелых заряженных частиц

Ионизация вещества - явление исключительное по своему значению для экспериментальной ядерной физики и физики высоких энергий, поскольку оно лежит в основе действия большинства детекторов заряженных частиц. Путем регистрации ионизации были открыты естественная радиоактивность и космические лучи, впервые наблюдены реакции расщепления атомных ядер.

В результате возбуждения и ионизации быстрыми заряженными частицами атомов вещества детектора и последующего усиления слабого первоначального ионизационного сигнала возникает наблюдаемый макроскопический ионизационный эффект. Измерения этого ионизационного эффекта, как и времени пролета, а также переходного и черенковского излучений широко используются для идентификации заряженных частиц и интерпретации экспериментов.

Основные закономерности, описывающие ионизационные потери энергии тяжелыми заряженными частицами, можно получить из сравнительно простых качественных соображений, основанных на классических представлениях. Впервые эти закономерности были получены в 1915 г. Нильсом Бором.

Итак, рассмотрим прохождение через вещество тяжелой (M >> m_e) нерелятивистской (V <<c) заряженной (ze) частицы. Предположим, что частица эта настолько быстра (V >> v ), что можно считать все атомные электроны свободными.

Сначала разберем взаимодействие этой частицы с одним электроном среды, расположенным на расстоянии b от ее траектории (b - прицельный параметр) (рис.2.1). В результате электростатического взаимодействия электрон получает импульс в направлении, перпендикулярном к направлению движения частицы. Продольная же составляющая импульса электрона близка к нулю, так как две ее компоненты, соответствующие приближению частицы к электрону и удалению от него, почти равны по величине (если потери энергии частицей малы) и противоположны по направлению. Так как M >>m_eTO можно не учитывать изменения направления движения частицы после такого единичного взаимодействия.

Рис.2.1. Схема взаимодействия заряженной частицы с электроном

1. Итак, в результате действия кулоновских сил между частицей и электроном среды этот электрон получает импульс p_e = Ft, где F = zee/ b², а t = 2b/V- время взаимодействия, т.е.

Pe = ze²/b² 2b/V = 2 ze² / Vb

В этом рассмотрении, казалось бы, допущен некий произвол при утверждении, что временем взаимодействия считается время пролета частицей расстояния 2b / V вблизи электрона среды (рис 2.1). Однако это так, в чем легко убедиться, проведя более аккуратные вычисления переданного электрону импульса. Рассмотрим постепенное приближение летящей частицы к электрону среды. В каждый момент кулоновская сила, действующая между ними, будет: F = ze / (x +b ), где x - расстояние от места нахождения частицы в любой момент времени до точки наибольшего сближения с электроном (рис.2.2).



Рис 2.2. К расчёту передаваемого электрону импульса.

Перпендикулярная составляющая этой силы будет F=Fcos а =

Fb/(x²+b²) ¹² и, следовательно, Fj= z e²b / (x²+b²)³². Перпендикулярная составляющая переданного импульса получается при интегрировании где

dt = dx/ V., и

по всему времени взаимо действия p_e dx ze²b 2

Получили то же самое выражение для переданного импульса и, следовательно, наше утверждение, что взаимодействие определяется в основном временем t = 2 b/V -верно.

2. Если электрон в результате взаимодействия приобрел импульс p_e= 2 z e² / V b , то, следовательно, он приобрел и кинетическую энергию: T_e = p_e²/2m_e = 2 z e⁴/m_e V²b².

Здесь уместно вспомнить о законе сохранения энергии для данного частного случая: сколько энергии приобрел электрон (T_e), столько же энергии (AE) потеряла частица при взаимодействии с этим электроном: / A E/ = T_e = 2z²e⁴/m_eV²b².

3. Теперь вспомним, что среда наполнена атомами (A,Z) и, следовательно, в ней много электронов. Если плотность среды р г/см³, то плотность атомов в ней будет: п_ат = p-N_4B/A см^-3, где N_4в- число Авогадро. Плотность электронов будет в Z раз больше: n_e = Zn_m = Z/A p-N_4B см^-3 .

Если частица проходит в среде путь dx, то она взаимодействует почти одинаково со всеми электронами, которые располагаются на одном и том же расстоянии b от ее траектории, и каждому из них передает анергию T_e. Количество таких электронов на пути dx будет определяться плотностью электронов и объемом кольцевого цилиндра длиной dx с внутренним радиусом b и внешним радиусом b+db (рис.2.3). Объем этого цилиндра - 2nbdbdx. Электронов в нем будет; n_e = 2nbdbdxZn_nm

Каждому из этих электронов пролетающая частица передает энергию AE, а всем электронам, находящимся на расстоянии b от нее на пути dx, частица передает энергию dE(b)

He следует забывать, что энергия частицы при этом взаимодействии уменьшается, и поэтому производная dE(b)/ dx отрицательна.

4. Чтобы найти ионизационные потери частицы на пути dx со всеми электронами среды, с которыми она взаимодействует с разными параметрами удара

Пределы интегрирования должны быть конечны, так как из самых общих физических соображений удельные потери энергии dE/dx должны иметь конечную величину - частица с конечной энергией не может потерять бесконечно большую энергию. Отсюда следует, что b_min^0 и b_max^ м. Рассмотрим, какими факторами определяются величины предельных параметров удара bm.n и bm .b_min. Минимальному значению параметра удара

соответствует максимальная передаваемая энергия. Ранее было получено соотношение, связывающее передаваемую электрону энергию с параметром удара b: Te = I AE I = 2 z²e⁴/ m_eV b² .

Откуда имеем: b = 2z e /m_eV * 1 / AE и, следовательно, b _min= 2z² e⁴ /m_eV * 1/A E_max.

e?

Если сталкиваются две частицы с массами М и m_e и M » m, то максимальная передаваемая энергия будет:

AE_max = 4m_eM/(M+m)² * MV/2 * 2m_eV².

Следовательно:

₂ 2e⁴ z² 1 e⁴ z² , _ e² z

^mln ™ T/2 o„,T/2 *^2 v4 ^1ШП _m V2'

В релятивистском случае в выражении для b_min появляется коэффициент д/1 - р¹ , так как максимальная передаваемая энергия будет расти со скоростью частицы:

_А г 2m_eV² , e²z г --₂

^AEmax = ~ 7^ ^{, а b}min ^_ т/2 V¹ -- ^Ь

1 -b m_eV

Итак, мы получили выражение для b_min с точки зрения классического подхода.

Можно найти минимальный параметр удара b'_min с помощью квантово-механического подхода, используя для этого соотношение неопределенностей: p_{e max} ¦b'_min ~ h.

Так как per max = (2 me AEmax) V = (4 m²eV^!) V = 2meV, то для b'_niin получаем:

b ^r_mj_n = h /2m_e V в нерелятивистском случае

b'mm = h-т] 1 -b² /2meV в релятивистском случае.

Обычно Ь'ш_П > b _min , поэтому используется классическое выражение для bmin.

b_max. Чем больше параметр удара, тем меньше передаваемая электрону энергия. bmax соответствует случаю, когда передаваемая энергия близка к энергии связи этого электрона с ядром. Поскольку энергия связи разных электронов атома различна, то вводится обычно некоторая усредненная характеристика энергии связи электронов в атомах данного элемента (A,Z), называемая средним потенциалом ионизации I .

Для разных элементов I = I₀ Z , где I₀ слабо зависит от Z вещества. В табл.2.1 приведены значения I₀ для некоторых элементов.

Таблица 2.1. Величины I₀ для разных элементов

ВЕЩЕСТВО	Be	C	Воздух	Al	Cu	Pb
I0 , эВ	16,0	13,0	12,8	12,8	11,1	10,0

bu 2 I(1 -b²)'

Выражение для удельных ионизационных потерь энергии приобретает вид:

dE 2pe⁴ z Удельные потери не зависят от массы частицы М. Это 2m_eV²

= * * Zn * In -

dx m_e V^{2 am} I(1 -b2)'

Вывод этой формулы на основе классических представлений первоначально был предложен Н.Бором в 1915 г., поэтому она и называется формулой Бора в этом виде или в более уточненном варианте

Размещено на http://www.allbest.ru/

Позднее Г.А.Бете проделал аналогичные вычисления на основе квантовой механики. В 1930-1933 гг. Г.А.Бете и Ф.Блохом были теоретически вычислены и получены из многочисленных экспериментальных данных величины b_min и b_max. Кроме того, в 1933 г. Ф.Блохом было предложено несколько иное выражение для среднего потенциала ионизации: I (Z) = I_H Z, где I_H = 13,5 эВ - энергия, соответствующая частоте Ридберга.

Формула для ионизационных потерь энергии, выведенная Бете и Блохом с учетом квантовых и релятивистских эффектов, называется их именем (формулой Бете-Блоха) и имеет вид:

Замечание: У читателя может возникнуть естественный вопрос, почему релятивизм не проявился в коэффициенте перед логарифмом в формуле? Причина в том, что этот коэффициент, как видно из вывода формулы, определяется величиной переданного импульса p_er = F t. В случае релятивистских скоростей максимальное значение силы F, действующей со стороны частицы на электрон, увеличивается на множитель у =(1-Р²)^-12 . С другой стороны время взаимодействия t уменьшается на множитель у. Произведение их остается неизменным. получается из-за того, что происходит взаимодействие электрических зарядов частиц, а не их масс. Однако, если сопоставлять потери на ионизацию различных частиц с одинаковой кинетической энергией, тогда в коэффициент перед логарифмическим членом неизбежно войдет масса частицы, так как V ~ E/M. Поскольку в нерелятивистском случае ионизационные потери обратно пропорциональны квадрату скорости частицы:

Следовательно, частицы с одинаковой кинетической энергией теряют ее на ионизацию тем больше, чем больше их масса. Например, на единице своего пути дейтрон теряет на ионизацию энергию в 2 раза большую, чем протон с такой же кинетической энергией, а мюон в ~ 9 раз меньшую.

3. Удельные потери энергии на единице пути являются довольно сложной функцией скорости (и, следовательно, кинетической энергии) частицы. Эта зависимость схематически изображена на рис.2.4, где по оси абсцисс отложена кинетическая энергия в единицах своей собственной энергии Mc , а по оси ординат - средние удельные потери энергии этой частицей на ионизацию среды.

Рис.2.4. Зависимость средних удельных ионизационных потерь энергии тяжелых частиц в свинце от энергии

F на отдельные участки с характерным для них поведением этой (BC). Участок (ВС) соответствует случаю, когда с, одной стороны, частица нерелятивистская, т.е. E < Mc² и b<1, другой стороны, она настолько быстрая, что все электроны атомов могут считаться свободными. Поведение кривой в этой области (ВС) определяется коэффициентом перед квадратными скобками в формуле Бете-Блоха:

Такая зависимость в нерелятивистской области получилась из-за того, что переданный электрону импульс p_er = F t, зависит от времени взаимодействия t, которое, в свою очередь, обратно пропорционально скорости частицы t ~ 1/ V. Переданная же электрону энергия, потерянная частицей ~ 1/ V , и , следовательно , ~ 1/E.

Зависимость ( ос ) имеет место вплоть до ^v dx V^{2 7} релятивистских скоростей. При V =с коэффициент перед скобкой принимает минимальное значение. (CD). На участке (СБ) кривой (см. рис. 2.4) удельные ионизационные потери снова начинают увеличиваться. Этот рост потерь обусловлен ростом величины логарифмического члена, так как при b ® 1 ; 2 ® ^. Поскольку этот множитель стоит под знаком логарифма, то и рост потерь наблюдается медленный - "логарифмический". Логарифмическое возрастание -- с увеличением энергии обычно называют релятивистским подъемом ионизации. Он начинается после того, как dE / dx достигнет минимальной величины при V @ 0,96с. Частично этот подъем происходит за счет близких столкновений, так как увеличивается максимальная передаваемая энергия AE_max , а частично за счет далеких столкновений из-за релятивистского увеличения b_max.

Рост потерь, обусловленный вторым фактором, происходит из- за релятивистского сжатия кулоновского поля частицы в продольном направлении (вдоль траектории частицы) и возрастания поля в поперечном направлении. Рис.2.5 иллюстрирует сказанное: для нерелятивистских частиц эквипотенциальная поверхность имеет сферически симметричную форму (а), а форма эквипотенциальной поверхности поля релятивистских частиц другая (б): расстояние в продольном направлении уменьшается в у^- раз, а в поперечном - увеличивается в у раз, получается эллипсоид, "блин", который с

увеличением скорости частицы все более сплющивается в продольном направлении и увеличивается в поперечном.

Это означает, что все большее число электронов среды попадает в поле воздействия летящей частицы. Растет b_max и все большему числу электронов частица передает свою энергию. Следовательно, и потери энергии частицей на единице ее пути растут.

Рис.2.5. Форма эквипотенциальной поверхности кулоновского поля: (а) для нерелятивистской, (б) релятивисткой скорости частицы

(DE). Казалось бы, эффект релятивистского сжатия поля должен был бы приводить к неограниченному увеличению потерь. Однако это не так. При дальнейшем увеличении энергии частицы b_max может стать больше расстояния между атомами среды. В этом случае возникает так называемый эффект плотности, который особенно существенен для плотных газов, жидкостей и, тем более, для твердых веществ. Эффект плотности связан с тем, что поле летящей частицы поляризует атомы среды. В результате поляризации многих атомов возникает поле диполей, направленное в сторону, противоположную полю летящей частицы. Оно ослабляет поле частицы и как бы экранирует от него далеко расположенные электроны. На некотором расстоянии от траектории частицы поле ее компенсируется полностью противоположным полем диполей.

(EF). Область кривой (EF) и соответствует этому случаю: рост потерь энергии существенно замедляется из-за эффекта плотности. Остается только рост потерь за счет увеличения передаваемой энергии, которое обязанно росту AE_max.

В формуле Бете-Блоха эффект плотности учитывается членом "8^м. Поскольку эффект поляризации прямо пропорционален плотности электронов среды n_e, то этот эффект в сильной степени зависит от плотности вещества, за что и получил свое название.

Поправка на эффект плотности в несколько упрощенном виде впервые была рассчитана Э.Ферми в 1939 г. и поэтому область (EF) часто называют "плато Ферми". В крайнем релятивистском случае поправка на эффект плотности дается выражением:

В предельном случае очень больших энергий часть релятивистского возрастания потерь полностью компенсируется эффектом плотности. Оставшаяся часть связана с передачей энергии при близких столкновениях. В случае не очень больших энергий максимальная передаваемая энергия AE_max растет как (1- р²)^-1 . При очень высоких энергиях AEmax возрастает приблизительно как (JI-W т.е. релятивистский подъем оказывается в три раза меньше того, который можно было ожидать без учета эффекта плотности.

Иногда употребляется понятие "ограниченные ионизационные потери" энергии, обычно связанное с условиями наблюдения, например, с ограничением пробега в трековом детекторе 8-электронов, получивших в результате ионизации максимальную энергию T_e^max. Из-за этого регистрируется не максимальная передача энергии, а меньшая Т , т. к. она ограничена размерами детектора.

В этом случае не будет наблюдаться рост ионизационных потерь в области (EF).

(АВ). Формула для ионизационных потерь была выведена в предположении, что все электроны атомов среды при взаимодействии с частицей могут считаться свободными, т.е. выполняется условие:

По мере уменьшения энергии частицы это соотношение может оказаться нарушенным. В первую очередь это нарушение будет относиться к наиболее сильно связанным электронам в атомах: K- и L- электронам.

Когда скорость частицы станет меньше скорости орбитального движения K-электронов, ионизация их станет невозможной, и, следовательно, K-электроны должны быть выключены при вычислении плотности электронов в среде, т. е. число их как бы уменьшится, и, соответственно, потери энергии также уменьшатся.

При дальнейшем уменьшении скорости частицы то же самое следует отнести и к L-электроном, затем к М-электронам и т.д. Чем больше Z среды, тем больше е_св и тем выше граничная энергия частицы, при которой следует учитывать этот эффект. Поскольку Vp ~ V'opQ = Ze²7h , то граничная кинетическая энергия частицы будет

где а = 1/137 -постоянная тонкой структуры . В таблице 2.2 приведена граничная энергия для протонов и а-частиц в нескольких средах.

Уменьшение потерь энергии при малых энергиях частицы соответствует левому "завалу" кривой ионизационных потерь (АВ), и в формуле Бете-Блоха учитывается последним членом u в квадратных скобках.

При рассмотрении ионизационного торможения тяжелых заряженных частиц (ионов атомов) нужно учитывать явление перезарядки, связанное с захватом частицей электронов среды и их потерей. Этот эффект становится существенным при скоростях частицы, сравнимых со скоростями орбитального движения электронов (АВ).

Вещество	Ер для протонов, МэВ	Ер для а-частиц , МэВ
Углерод	0,9	3,6
Алюминий	4,2	16,9
Медь	21,0	84,4

Зависимость ионизационных потерь от параметров среды

1. Положение максимума кривой (В) определяется E для каждой среды, так как E ~Z².

2. Удельные ионизационные потери энергии пропорциональны плотности электронов в среде:

В 1 см среды содержится электронов

n_e= Z п_ат =

где N_a - число Авогадро, Z и A - заряд и атомный вес среды, а р- плотность среды.

Для легких веществ --»0.5. Следовательно, для этих сред получается простая зависимость -- ~ р г/см³. Это обстоятельство dx побудило ввести в обиход массовую единицу длины хр, размерность которой [xp] - г/см². Смысл массовой единицы длины очевиден: это такая высота столбика вещества с сечением 1 см², который весит xp г. иначе говоря, это давление, которое оказывает на площадь в 1 см столбик вещества высотою xp. В массовых единицах формула Бете-Блоха принимает вид



Поскольку Z/A~0.5, а I(A,Z) слабо влияет на величину потерь, так как входит под знаком логарифма, то оказывается, что при расчете на 1 г/см² ионизационные потери во всех веществах приблизительно одинаковы. Для иллюстрации сказанного в таблице

2.3 приведены ионизационные потери энергии однозарядными релятивистскими частицами около минимума кривой, где E =(2-3) Mc²

Вещество	dE/d(xp), МэВсм2/г
Воздух	1,8
Алюминий	1,65
Железо	1,50
Свинец	1,2

Как видно из табл.2.3, зависимость от A и Z слабая, но все же заметная из-за того, что отношение Z/A уменьшается с ростом А.

3. Величина потенциала ионизации I(A,Z) уже обсуждалась нами ранее. И хотя потенциал ионизации входит под знаком логарифма и слабо сказывается на величине ионизационных потерь, тем не менее, для аккуратных вычислений его надо обязательно учитывать.

Здесь n_;- число атомов элемента с атомным номером Z_; , а I_; его средний потенциал ионизации.

Если среда содержит атомы различных элементов со своими характеристиками Z_;, А; и p_;, , то плотность электронов в среде будет зависеть от всех этих величин, и можно считать с хорошей степенью точности, что их тормозная способность складывается (правило Брэгга). В формуле Бете-Блоха для средних ионизационных потерь в г/см² вместо Z/A и ln I появятся соответственно другие величины:

2.4 Ионизационные потери электронов

Вывод формулы для потерь энергии на ионизацию электронами в принципе такой же, как и для других заряженных частиц. Также для электронов (z=1) получается соотношение: но величины b_max и b_miin приходится выбирать несколько по-другому. Необходимо при этом учитывать, что

1) падающие электроны в процессе взаимодействия из-за малости своей массы будут отклоняться от первоначального направления;

2) из-за тождественности взаимодействующих частиц будут возникать обменные эффекты, имеющие квантовую природу.

Сравнение ионизационных потерь для электронов и тяжелых заряженных частиц приводит к следующим выводам.

1. Множители перед квадратными скобками в выражениях для ионизационных потерь электронов и тяжелых заряженных частиц одинаковы, т.е. при одинаковых скоростях удельные потери их одинаковы.

2. При одной и той же энергии электронов и тяжелых частиц в нерелятивистском случае удельные потери энергии пропорциональны массе частиц. Следовательно, для протонов они почти в 2000 раз больше, чем для электронов. Это очень важно для методов регистрации частиц. Например, в ядерных эмульсиях протоны с энергией 5 МэВ оставляют отчетливый след, тогда как электрон такой же энергии практически незаметен.

3. При очень высоких энергиях все по-другому. При V~c член перед скобкой не меняется. Становится существенной зависимость от под логарифмом. Поэтому при ультрарелятивистских скоростях величина dE/dx слабо зависит и от энергии, и от массы частицы. Например, при кинетической энергии электрона и протона, равных 10 ГэВ потери энергии электронами в = 2 раза превышают потери энергии протонами (при различии их масс в 2000 раз).

Пробег заряженных частиц в веществе

Потеряв всю энергию, частица останавливается. Расстояние, пройденное частицей в веществе, называется пробегом. На этом пути заряженная частица изменяет свою энергию от начального значения E₀ до нуля в результате разных механизмов взаимодействия, основным из которых для области энергий до 100 МэВ являются ионизационные потери. Поэтому понятно, что величина пробега зависит от массы, заряда, энергии частицы и характеристик среды.

Пробег R частицы с начальной энергией Е₀ можно определить выражением

. Из этого соотношения можно

сделать ряд полезных выводов:

1. При равных скоростях пробеги частиц прямо пропорциональны их массам и обратно пропорциональны квадратам зарядов.

Оценим теперь, как пробег зависит от параметров частицы и среды:

2. Пробеги обратно пропорциональны плотности среды, т.е. удобно измерять пробеги в массовых единицах длины. В этом случае величина пробега практически не будет зависеть от характеристик среды: Кр(г/см²)~МУ⁴^².

При более аккуратных расчетах не следует забывать, что в формуле Бете-Блоха есть еще коэффициенты, зависящие от среды: Z/A и I. Но для большинства веществ с малыми и средними A величина отношения Z/A~0,5 и очень медленно падает с увеличением A, а средний ионизационный потенциал I стоит под знаком логарифма, т.е. тоже слабо влияет на величину средних потерь энергии и, как следствие этого, на величину пробега.

3.Чтобы сравнивать пробеги частиц с одинаковыми кинетическими энергиями, удобно несколько преобразовать выражение для R:

Из этого соотношения видно, что при равных кинетических энергиях пробеги частиц обратно пропорциональны их массам.

Пусть на слой поглотителя перпендикулярно к нему падает пучок однородных частиц с одинаковой энергией E₀. Как будет выглядеть зависимость числа этих частиц N от толщины поглотителя х?

Для тяжелых заряженных частиц (практически всех частиц, кроме электронов), которые проходят слой поглотителя почти без рассеяния и поэтому имеют прямолинейную траекторию в веществе, все очень просто: частицы выбывают из пучка в основном из-за остановки в результате потерь энергии на ионизацию и возбуждение среды. А так как у них начальная энергия Е₀ была одинакова и средние потери энергии dE/dx тоже одинаковы, то все частицы должны были бы проходить одинаковые расстояния в веществе. В этом случае кривая поглощения должна описываться горизонтальной резко обрывающейся линией. На самом деле, вместо этой картины наблюдается разброс величины пробегов, связанный со статистическим характером процесса ионизационных потерь. Частицы теряют свою энергию в очень большом, но конечном числе отдельных актов. Флуктуациям подвержено как число таких актов на единицу длины, так и потери энергии в каждом отдельном акте, в особенности в связи с образованием 8-электронов.

Пробеги отдельных частиц распределены около среднего пробега по закону Гаусса:

где R средний пробег, DR² = (R - R) - среднеквадратичное отклонение от среднего значения. 4DR*

Относительный разброс пробегов называется стрэгглингом. Наличие этого разброса приводит к тому, что кривая поглощения имеет не резкий, а плавный спад, такой, как изображен на рис. 2.6 а (для а-частиц). На основании свойств гауссова распределения можно найти, что интенсивность пучка упадет в два раза в точке x = Ro, которая соответствует среднему пробегу частиц. Более того, в этой точке кривая имеет наибольшую крутизну. Построив касательную с максимальным наклоном в точке x=R₀ и продолжив ее до пересечения с осью абсцисс, можно найти экстраполированный пробег R. Обычно разность R-R₀ называется параметром разброса. Величина параметра разброса для тяжелых заряженных частиц

...