Электромагнитные взаимодействия

Коэффициент поглощения полностью характеризует прохождение фотонов через вещество. Он зависит от свойств среды и энергии фотонов. Если поглощение идет за счет нескольких различных процессов, каждому из которых соответствует свой коэффициент поглощения, ц, т, ,..., то полный коэффициент поглощения ц= Хц и т = X т.

Поглощение фотонов веществом в основном происходит за счет трех процессов: фотоэффекта, комптон-эффекта и рождения электронно-позитронных пар в кулоновском поле ядра.

Фотоэлектрический эффект - это освобождение электронов, находящихся в веществе в связанном состоянии, под воздействием фотонов. Различают внутренний фотоэффект и внешний.

Внутренним фотоэффектом называют переходы электронов под воздействием электромагнитного излучения внутри полупроводника или диэлектрика из связанных состояний в свободные без вылета наружу.

Внешний фотоэффект наблюдается в твердых телах, газах, на отдельных атомах и молекулах - это испускание электронов наружу при поглощении фотонов. В этих лекциях будет обсуждаться только внешний фотоэффект. Фотоэффектом будем называть процесс, при котором атом поглощает фотон и испускает электрон. При этом падающий фотон взаимодействует со связанным в атоме электроном и передает ему свою энергию. Электрон получает кинетическую энергию Т_е и покидает атом, а атом остается в возбужденном состоянии. Поэтому фотоэффект всегда сопровождается характеристическим рентгеновским излучением атома или испусканием электронов Оже. При эффекте Оже происходит непосредственная передача энергии возбуждения атома одному из его электронов, который в результате этого покидает атом.

Законы сохранения энергии и импульса при фотоэффекте могут быть представлены в виде: h v = T_e + I_t + Т_я, и -- = p_e + р_я

Отсюда получаем уравнение 1- b =-^1 - (5², которое имеет два корня b=0 и b=1. Первый из них соответствует Т_е = hv =0, а второй не имеет физического смысла для частиц с массой отличной от нуля.

Еще нагляднее это доказательство выглядит для нерелятивистского случая: hv =т_еу²/2 и hv/c = m_ev. Решение

системы приводит к выражению v = 2c, чего не может быть.

Таким образом, свободный электрон не может поглощать фотон. Для фотоэффекта существенна связь электрона с атомом, которому передается часть импульса фотона. Фотоэффект возможен лишь на связанном электроне. Чем меньше энергия связи электрона с атомом по сравнению с энергией фотона, тем менее вероятен фотоэффект. Это обстоятельство определяет все основные свойства фотоэффекта:

a) ход сечения с энергией фотона - а_ф (hv) ,

b) соотношение вероятностей фотоэффекта на разных электронных оболочках, др. оболочек. Но эти электроны связаны с ядром слабее, чем K- электроны. Поэтому при равных энергиях фотонов вероятность фотоэффекта на L-электронах много меньше, чем на К-электронах. В зависимости Оф (hv) будет наблюдаться резкий скачок. Затем при hv < I_k снова Оф начинает расти с убыванием hv, так как возрастает относительная связность электрона I_L/ hv, и т.д.

b) Формулы для сечения фотоэффекта на K-электронах, полученные методами квантовой электродинамики и подтвержденные экспериментом, имеют вид:

c) Поэтому при вычислении полного сечения фотоэффекта обычно используется соотношение:

с) Из этой же формулы видна сильная зависимость Оф от Z среды: Оф ~Z⁵. Это понятно, так как в легких элементах электроны связаны кулоновскими силами ядра слабее, чем в тяжелых. В тяжелых веществах фотоэффект является главной причиной поглощения мягких фотонов.

Угловое распределение фотоэлектронов получается расчетным путем из формулы для дифференциального сечения. Из нее следует, что фотоэлектроны распределены симметрично по закону ~ соБ²ф относительно направления электрического вектора Е падающей электромагнитной волны. Кроме того, угловое распределение существенно зависит от энергии фотоэлектронов. В нерелятивистском случае T_e << m_ec² (b<<1) интенсивность фотоэлектронов максимальна в плоскости поляризации векторов Е и H фотона, т.е. в плоскости, перпендикулярной направлению движения фотона. При больших энергиях T_e > m_ec² угол, под которым интенсивность фотоэлектронов максимальна, уменьшается, причем чем больше энергия электронов, тем меньше угол их вылета по сравнению с направлением движения фотона, угловое распределение получается вытянутым вперед.

3.2 Комптон-эффект

Взаимодействие фотонов с веществом может приводить к их рассеянию без поглощения. Рассеяние может быть двух видов: 1) без изменения длины волны (когерентное рассеяние, томсоновское, классическое) и 2) с изменением длины волны (некогерентное, комптоновокое рассеяние).

1. Томсоновское рассеяние происходит, если hv < Ij ( X ~10^-8см). В этом случае атом воспринимается фотоном "как единое целое", и фотон обменивается энергией и импульсом со всем атомом. Так как масса атома очень велика по сравнению с эквивалентной массой фотона hv/c , то отдача в этом случае практически отсутствует. Поэтому рассеяние фотонов происходит без изменения их энергии, т.е. когерентно.

Можно считать, что источником рассеянного излучения являются связанные электроны атома, которые приходят в резонансные колебания под действием падающего излучения и, вследствие этого, излучают фотоны такой же частоты. Сечение томсоновского рассеяния зависит от угла рассеяния фотона 0:

а (в) = 0,5 г_е² (1+cos² в),

где r_e =e²/m_ec² =2,8 10^-13см - классический радиус электрона. Интегрируя по всем 0 можно получить сечение полного томсоновского рассеяния. Эффективное сечение томсоновского рассеяния, рассчитанное на 1 электрон, равно: а_т = 8/3 п г² =0,66 барн., где а_т - универсальная постоянная и не зависит от частоты падающего излучения.

2. Комптоновское рассеяние возникает при hv >> I, В этом случае все электроны атома можно считать свободными.

Комптоновское рассеяние происходит в результате упругого столкновения фотона с электроном, причем фотон передает электрону часть своей энергии и импульса. Поэтому энергетические и угловые характеристики явления полностью определяются законами сохранения энергии и импульса для упругого удара (рис. 3. 3):

Рис.3.3.Закон сохранения эффекте Комптона

Совместное решение этих уравнений позволяет получить энергии рассеянного фотона hv' и электрона отдачи Т_е в зависимости от угла рассеяния фотона

Из этих соотношений вытекает ряд важных следствий.

1. Из первого соотношения легко найти, на сколько изменилась длина электромагнитной волны при комптоновском рассеянии (формула Комптона):

где Xo = h/m_ec = 2,426 10^-`~ см - комптоновская длина волны

электрона. Из формулы Комптона следует, что:

a) сдвиг волны AX не зависит от величины длины волны;

b) сдвиг AX определяется лишь углом рассеяния фотонов 0: при 0=0 AX =0 (т.е. нет рассеяния), при 0 = п/2 AX = X и при 0 = п, AX = 2Хо (максимально возможный сдвиг происходит при рассеянии назад).

2. Энергетический спектр фотонов, полученный в результате комптоновского рассеяния пучка моноэнергетических у-квантов, оказывается непрерывным в интервале энергий от

2. В результате комптоновского рассеяния моноэнергетических у-квантов получается непрерывный энергетический спектр электронов отдачи в интервале от

3. Связь углов вылета рассеянного фотона 0 и электрона отдачи ф (рис.3.3) можно найти из закона сохранения импульса, записанного для продольной и поперечной составляющих (относительно направления движения первичного фотона):

Из полученного соотношения видно, чо изменению угла рассеяния фотона в интервале 0 <q<p соответствует изменение угла вылета электрона отдачи в интервале ^p>j> 0. Таким образом, электроны вылетают только в переднюю полусферу, причем наиболее энергичные электроны летят в направлении первичного фотона.

Дифференциальное эффективное сечение комптоновского рассеяния было впервые рассчитано О.Клейном и У.Нишиной в 1929 г., а в 1930 г. эту же формулу другим способом получил И.Е.Тамм. Формула Клейна-Нишины-Тамма имеет вид:

фотона под углом 0 в телесный угол dW, а r_e - классический радиус электрона. После подстановки в эту формулу значения hv' получается зависимость дифференциального сечения комптоновского рассеяния только от hv и от 0, причем форма зависимости сечения от 0 меняется с изменением энергии фотонов. При малых значениях hv : ^dSjL ~ 1 + cos² q. С ростом hv все большее количество фотонов dW рассеивается в направлении "вперед", причем с увеличением первичной энергии hv повышается вероятность рассеяния на малые углы (рис.3. 4 ).

Рис.3.4. Угловое распределение рассеянных фотонов:

1 - hv'=0,2meC²;

2 - hv'=mc²;

3 - hv'=5mc²

Таким образом, вероятность комптоновского рассеяния на 1 см пути обратно пропорциональна энергии фотонов и пропорциональна Z вещества (сечение в расчете на 1 электрон не зависит от Z вещества, а каждый атом содержит Z электронов). На рис.3.5 изображен график зависимости ок/<зт от энергии фотонов. На этом рисунке приведены в тех же единицах сечение фотоэффекта в различных веществах. Сравнение зависимостей показывает, что с повышением энергии фотонов вероятность комптон-эффекта становится существенно больше сечений фотоэффекта.

Комптоновское рассеяние может происходить не только на электронах, но и на других частицах, имеющих электрический заряд. Однако вероятность такого эффекта очень мала. Например, комптоновское рассеяние на ядрах атомов пренебрежимо мало из-за того, что у ядер очень мала величина их классического электромагнитного радиуса

Существует еще явление, называемое обратным комптон- эффектом. Оно происходит при упругом рассеянии фотонов на релятивистских электронах. В этом случае энергия и импульс фотонов будут увеличиваться за счет энергии и импульса электронов- мишеней.

3.3 Рождение электронно-позитронных пар

При достаточно большой энергии фотонов (hv > 2m_ec²) становится возможным процесс образования пары, при котором в поле ядра фотон поглощается, и рождаются электрон и позитрон. Расчет по КЭД и опыт свидетельствуют о том, что этот процесс происходит не внутри ядра, а около него, в области, имеющей размер комптоновской длины волны Хо = 2,4 10^-10 см. Поскольку при этом взаимодействии фотона с полем ядра рождаются электрон и позитрон, то этот процесс имеет энергетический порог, т.е. он происходит, если hv > 2 m_ec . Законы сохранения энергии и импульса могут быть записаны в виде:

где b_- и b+ - относительные скорости электрона и позитрона, Т_- и Т+ - их кинетические энергии, а Т_я и р_я - энергия и импульс ядра отдачи.

Исходя из законов сохранения энергии и импульса, можно показать, что образование электронно-позитронной пары фотоном в вакууме невозможно: энергия и импульс обязательно должны

распределяться между тремя частицами: электроном, позитроном и, например, ядром. Если предположим, что рождение пары может

происходить в вакууме ( Т_я= р_я = 0), то законы сохранения принимают вид :

и сразу же становится очевидной его несовместимость со вторым уравнением.

В частном случае, когда Т_= Т+= 0, получается система противоречивых уравнений: h v = 2m_ec² и h v/c =0. Таким образом, чтобы выполнялись законы сохранения, нужна третья частица, в поле которой происходит процесс рождения пары и которая принимает на себя избыточный импульс. Такой частицей может быть не только ядро, но и, например, электрон. Но если у ядра Т_я = р_я /2m _ малая величина, то у электрона отдача будет очень большая, и электрон отдачи может получить энергию того же порядка, что и компоненты пары. В этом случае порог процесса будет существенно превышать 2m_ec². Пороговая энергия фотона для образования пары в поле электрона равна 4m_ec = 2,044 МэВ.

Теоретические расчеты зависимости сечения рождения пар от энергии у-квантов приводят к довольно сложному виду. Однако для области энергий 5m_ec < h v <50 m_ec эта зависимость может быть представлена в виде:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Общий характер зависимости сечения от энергии фотонов представлен на рис. 3. 6.

Рис.3.6 .Зависимость сечения рождения пар от энергии фотонов

Процесс рождения пар подобен процессу тормозного излучения. Поэтому выражения, описывающие эти два процесса, очень похожи по своей структуре: в случае полного экранирования вероятность того, что фотон с энергией Е' =h v на пути в 1 см образует электрон с энергией Е в интервале ( E,E+dE) и позитрон с энергией ( E'-E) будет:



Вероятность образования пары не зависит от энергии электрона Е и позитрона E'-E, и это понятно, так как в процессе их образования фотон исчезает и равновероятно распределение энергии между компонентами пары. Зная W_n , можно найти полную вероятность образования пары на пути 1 см:

Таким образом, в случае полного экранирования полное сечение рождения пары не зависит от энергии фотона.

4. Другие процессы взаимодействия фотонов с веществом

1. Ядерный фотоэффект - поглощение у -кванта ядром и испускание при этом нуклона, т.е. (у,п)-реакция. Порог ядерного фотоэффекта ~ 6 -10 МэВ т.е. порядка энергии связи нуклонов в ядрах. Сечение ядерного фотоэффекта о _Яф ~ Z и по величине существенно меньше сечений трех рассмотренных эффектов.

2. Если энергия фотонов много больше энергии связи нуклонов в ядрах, то может происходить фоторасщепление ядер с вылетом нескольких частиц. Например, ( у, 2p), (у, n, 2p) - реакции. Сечение такого процесса о_я ~ 10^-26 см².

3. Если hv > 2m_(i c , т.е. hv > 200 МэВ, то в поле ядра у-кванты могут образовывать ц'ц+-пары, аналогично e'e-парам.

4. Если hv > m^ , т.е. hv >140 МэВ, то может возникать фотогенерация пионов с сечением ~10" A см.

Таким образом, поглощение у - квантов за счет всех перечисленных процессов пренебрежимо мало по сравнению с о .

5. Суммарное сечение взаимодействия фотонов с веществом

Ослабление потока фотонов при прохождении через вещество определяется главным образом тремя процессами: фотоэффектом, комптон-эффектом и образованием пар в кулоновском поле атомных ядер. Вследствие этого в формуле J = J₀e"^<mx сечение о является суммой сечений этих процессов: о = о + о + о , а линейный и массовый коэффициенты поглощения соответственно равны: т = о n = Тф+ % + Тп и ц = о n / р = ц_ф+ц_к+ц_п. Каждое из слагаемых по-разному зависит от энергии фотонов и свойств вещества, поэтому относительная роль отдельных слагаемых может сильно меняться. Так, в алюминии (рис.3.7) в широком интервале энергий фотонов 50 КэВ < hv <15 МэВ преобладает комптон-эффект, а при h v >15 МэВ - образование пар. В свинце же фотоэффект (рис.3.7) является доминирующим вплоть до энергии 0,5 МэВ, а при h v >5 МэВ основную роль играет процесс рождения пар.

Рис.3.7. Зависимость массового коэффициента поглощения фотонов от их энергии в алюминии, меди и свинце

В заключение следует отметить важное обстоятельство: все три вида взаимодействия фотонов с веществом приводят к возникновению быстрых электронов.

6. Аннигиляция позитронов в веществе

Слово "аннигиляция" означает "исчезновение", "превращение в ничто". Это процесс, в котором частица и ее античастица превращаются в электромагнитное излучение (фотоны) или другие элементарные частицы (лептоны, кварки). Это процесс, обратный рождению пар у-квантами. И тот и другой процессы - это просто взаимопревращения.

Эти взаимопревращения управляются фундаментальными законами сохранения: законом сохранения энергии, импульса, момента количества движения, электрического заряда и др.

Процессы рождения и аннигиляции частиц были теоретически предсказаны в 1931г. П. А. Дираком. Они вытекали из созданной им теории электрона. Согласно Дираку, совместить квантовую механику ( к тому времени уже подтвержденную экспериментом) с теорией относительности удается лишь, если наряду с состоянием электрона с положительной энергией ввести состояние электрона с отрицательной энергией (или положительного "электрона" с положительной энергией).

В 1932 г. К. Д. Андерсон, исследуя состав космических лучей с помощью камеры Вильсона, помещенной в магнитное поле, получил экспериментальные доказательства существования позитрона (Нобелевская премия, 1936 г.). По знаку кривизны следа частицы нашли, что частица положительная, а по изменению кривизны (после прохождения ею 6 мм свинца) и по плотности зерен в треке определили массу и импульс частицы. В 1933 г. Фредерик и Ирен Жолио-Кюри впервые получили фотографию камеры Вильсона со следами электрона и позитрона, рожденных гамма-квантом, и в том же году Ф. Жолио-Кюри впервые наблюдал аннигиляцию электронов и позитронов в два фотона.

Как же происходит аннигиляция позитронов? Попав в вещество, быстрые позитроны ведут себя так же, как и электроны, т. е. при Т_е > е они испытывают радиационное торможение, а при Т_е < 8 - ионизационные потери и, как правило, почти полностью теряют свою скорость. В дальнейшем начинается их диффузия в веществе до встречи со свободными или связанными в атомах электронами и последующая аннигиляция позитронов. Перед аннигиляцией обе частицы (электрон и позитрон) чаще всего находятся в состоянии, когда их моменты количества движения равны нулю (S -состояние). Дальнейшая судьба их зависит от взаимной ориентации внутренних моментов количества движения (спинов) и от того, свободен ли электрон или находится в связанном состоянии.

При встрече электрона и позитрона их полная энергия, включая энергию покоя, почти целиком переходит в энергию электромагнитного излучения (процесс, обратный рождению пар) и частично передается какому-то третьему телу, например, ядру.

Если аннигиляция позитронов происходит на электроне, входящим в состав атома, то возможна аннигиляция с образованием одного фотона, т.к. импульс образующегося фотона будет компенсироваться отдачей атома или ядра, и закон сохранения импульсов будет выполняться. Законы сохранения энергии и импульса для этой ситуации можно записать так:

Если позитрон находится в тепловом движении, то законы сохранения принимают вид: 2m_ec² = hv + Т_отд, и 0 = hv/c + р_отд , т.е. в этом случае фотон и атом разлетаются в разные стороны с одинаковыми импульсами. Из этих же уравнений видно, что однофотонная аннигиляция на свободном электроне невозможна.

Но, в отличие от процесса рождения пар, аннигиляция позитронов возможна и на свободных электронах, но при образовании двух и более квантов для выполнения законов сохранения энергии, импульса и спина:



Замедлившийся до тепловой скорости позитрон может аннигилировать со свободным электроном, например, с одним из электронов проводимости в металле или с одним из внешних электронов атома. Если считать, что электрон и позитрон до аннигиляции покоились, то законы сохранения принимают вид:

т.е. аннигиляция на свободном электроне

возможна только при условии одновременного вылета не менее двух фотонов в противоположных направлениях. Поскольку обе аннигилирующие частицы с наибольшей вероятностью находятся в S- состоянии , то результат аннигиляции будет зависеть от взаимной ориентации внутренних моментов количества движения частиц, т. е. их спинов.

Если спины электрона и позитрона направлены в противоположные стороны (+1/2 h и -1/2 h), и, следовательно, их суммарный спин равен нулю, то в результате аннигиляции ( согласно закону сохранения зарядовой четности ) может образоваться лишь четное число фотонов со спинами, также направленными в противоположные стороны, т.к. спин каждого фотона равен 1h. Так как вероятность аннигиляции w ~ а^п, где n - число фотонов, то наиболее вероятно рождаются два фотона ( w ~ а ) -так называемая двухфотонная аннигиляция, менее вероятно - четыре фотона (w ~а⁴) и т.д.

Поскольку импульсы электрона и позитрона близки к нулю, то суммарный импульс системы тоже равен нулю, и, следовательно, образовавшиеся при аннигиляции фотоны летят в противоположные стороны, причем каждый из них забирает половину энергии системы, т.е. по 0,511 МэВ.

Если спины электрона и позитрона оказались параллельными, то их суммарный спин равен 1 h. В этом случае возможно образование нечетного числа фотонов, вероятнее всего - трех, так как один фотон возникнуть не может из-за невыполнения закона сохранения импульса. Вероятность трехфотонной аннигиляции ~ а³, т.е. существенно меньше (в 1/I37 раз), чем двухфотонной. В среднем трехфотонная аннигиляция осуществляется в ( 0,2 - 0,3) % случаев.

Если аннигиляция происходит "на лету", т.е. в случае, когда позитрон еще не потерял скорость, то фотоны разлетаются под углом, причем угол разлета фотонов зависит от их скорости. При больших энергиях аннигилирующих позитронов возникшие фотоны испускаются преимущественно "вперед" и "назад" относительно направления движения позитрона. Фотон, летящий вперед, уносит большую часть энергии позитрона. На долю же фотона, летящего назад, остается минимальная энергия, т.е 0,511 МэВ. Поэтому при прохождении быстрых позитронов через вещество образуется пучок гамма-квантов, летящих в одном направлении, что используется для получения монохроматических пучков фотонов высокой энергии.

Позитрон - стабильная частица, в вакууме она существует бесконечно долго, но в веществе позитрон очень быстро аннигилирует. Среднее время жизни позитрона по отношению к процессу аннигиляции в твердых веществах составляет т ~ 10"¹⁰ c, а в воздухе при нормальных условиях т ~10^-5 c.

Иногда аннигиляция идет через промежуточный этап, через образование связанного состояния электрона и позитрона, которое называется позитронием. Позитроний, в котором спины позитрона и электрона антипараллельны (парапозитроний), аннигилирует в два гамма-кванта со временем жизни т ~ 1,25 10"¹⁰ c. Позитроний с параллельными спинами частиц (ортопозитроний) образует три гамма-кванта со временем жизни т ~ 1,4 10 c.

Явление аннигиляции позитронов сейчас широко используется для исследования свойств элементарных частиц. На встречных пучках позитронов и электронов в вакууме камеры ускорителя происходит процесс аннигиляции, в котором выделяется точно определенная энергия. Точечность взаимодействия и знание его энергии используется для доказательства существования кварков и определения их массы.

Вопросы и задачи к главе 3

1. Монохроматический пучок фотонов при прохождении алюминиевой пластины толщиной 2,9 см ослабляется в 2,6 раза. Определить т, ц и о.

2. Во сколько раз ослабится поток фотонов с энергией 1 МэВ при прохождении 10 см алюминия, если рассчитанное на один электрон эффективное сечение комптон-эффекта равно 0,2 барна?

3. Определить ослабление потока фотонов с энергией 2,62 МэВ ( у-источник - Tl 20⁸ ) при прохождении свинцовых фильтров толщиной 5 и 10 см.

4. Фотон с энергией 2,62 МэВ рассеивается на свободном электроне на угол п/2. Определить энергии и углы результирующих частиц.

5. Для фотонов с энергией 5 МэВ линейный коэффициент ослабления в свинце ( Z=82, A=207, р=11,3 г/см ) равен 0,480см^-, а в алюминии (Z=13, A=27, р=2,7 г/см³) - 0,075см"¹. Определить эффективные сечения комптон-эффекта и образования пар в свинце и алюминии.



ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОННО-ФОТОННЫЕ КАСКАДЫ

4.1 Сечения процессов при высоких энергиях

В предыдущих главах были рассмотрены все основные процессы, действующие при электромагнитных взаимодействиях заряженных частиц и фотонов с веществом. При высоких энергиях частиц (при Е>е и Е>Е_{П экр}) основными процессами являются:

а) радиационное торможение электронов и

б) образование фотонами электронно- позитронных пар.

Зависимость этих процессов от энергии для всех веществ описываются выражениями, очень похожими по форме, особенно если эти процессы относить к t₀ -единице (т.е. to-единицу принять за масштаб длины), т.к. различие в свойствах веществ учтены в величине to-единицы.

Вероятность радиационного торможения электрона энергии Е с созданием фотона энергии Е'в интервале (ЕЕ' + dE) на 1 см пути во всех веществах описывается выражением:

а полная вероятность процесса, т.е. вероятность создания на 1 см. пути любого фотона с энергией в интервале от 0 до Е будет

ПосколькуВ дальнейшем толщина вещества будет измеряться в радиационных единицах, т.е. t = x/t₀. Поэтому формула приобретает указанный вид то "средний" электрон на одной радиационной единице вещества теряет всю свою энергию, причем теряет ее равномерно по Е'/Е, т.е. поровну в каждый энергетический интервал вторичных фотонов. Например, на каждый фотон с энергией 100 МэВ приходится в среднем 10 фотонов с энергией по 10 МэВ. Таким образом, после прохождения высокоэнергичным электроном одной радиационной единицы возникает с большой вероятностью фотон с энергией, сравнимой с энергией первичного электрона.

Вероятность создания фотоном энергии Е' электрона с энергией Е и позитрона с энергией (Е'--- Е ) на 1 см пути во всех веществах описывается выражением :

а полная вероятность этого процесса равна

Таким образом, в результате рождения пар каждый «средний» фотон «живет» около 1.3 радиационной единицы пути, причем энергия между электроном и позитроном распределяется с равной вероятностью. Например, вероятность того, что электрон получит энергию 0.1 Е' и позитрон 0.9 Е', равна вероятности того, что электрон получит 0.9 Е', а позитрон 0.1 Е', или того, что электрон и позитрон получат энергию по 0.5 Е '.

Эти свойства указанных процессов являются основой для качественного понимания возникновения электронно-фотонных каскадов (ЭФК) при высоких энергиях.

Сопоставляя радиационные потери энергии электронами с потерями на ионизацию, мы пришли к выводу, что относительные потери энергии электронами можно считать постоянными, если их энергия больше критической энергии e данной среды.

С другой стороны, процесс образования пар можно считать независящим от энергии фотонов при условии полного экранирования, т.е. их энергия должна быть больше Е_пэкр =137m_e-c Z . Но для большинства сред величина критической энергии e не совпадает с величиной Е_пжр. (таблица 4.1).



Таблица 4.1. Сравнение e и Е_{п экр} .

Вещество	to, г/см2	Б ,МэВ	Еп.экр., МэВ
Воздух	37.1	81	4 0
Углерод	43.3	77	38.5
Свинец	6.4	7.4	15

Например, для воздуха e > Е_пжр, а для свинца e < Е_пжр. Предельные выражения для тормозного излучения и процесса образования пар можно использовать при выполнении обоих этих условий. Поскольку в легких веществах (воздухе, углероде) e > Е_пэкр, то при энергиях частиц Е_пэкр <Е < e нужно учитывать ещё ионизационные потери электронов. В тяжелых веществах Е_{п экр}. > e, и поэтому при энергиях частиц Е < Е_пжр необходимо учитывать и другие процессы взаимодействия фотонов с веществом (комптоновское рассеяние и фотоэффект).

4.2 Рассеяние электронов

Кроме энергетической проблемы взаимодействия электронов и фотонов с веществом существует еще и геометрическая проблема, возникающая из-за рассеяния частиц при взаимодействиях. В каждом акте тормозного излучения, рождения пары или рассеяния при столкновении с электронами и ядрами атомов среды частицы отклоняются от своего первоначального направления.

Изменение направления движения электрона при тормозном излучении так же, как и угол разлета электронно-позитронной пары, определяется формулой



При прохождении электроном слоя вещества акты кулоновского рассеяния на ядрах происходят многократно. В результате на пути t возникает некоторый средний угол многократного рассеяния

И тот, и другой угол зависят от энергии частицы одинаково (~1/Е). Однако по величине они могут сильно различаться. Сравним их величины на пути в одну радиационную единицу (t = 1 to)

Из этого отношения видно, что угол многократного рассеяния значительно больше углов, возникающих в актах тормозного излучения и при рождении пар. Например, в свинце электрон с энергией 15 МэВ при прохождении 1 /^единицы пути (~0.5 см) рассеивается за счет многократного кулоновского взаимодействия с ядрами в среднем на угол ~1 радиана:

4.3 Электронно-фотонные каскады

Электронно-фотонные ливни возникают в результате большого числа отдельных взаимодействий при попадании в вещество электрона или фотона большой энергии. Проследим цепь процессов, порождающих лавину частиц.

Пусть на вещество падает, например, электрон большой энергии (Е >>Е_п._ЭКр, и Е >>е )

1. На первой /^-единице своего пути он испытывает тормозное излучение, в результате чего появляются фотоны, часть из которых будет иметь энергию того же порядка, что и электрон.

2. Возникшие фотоны на следующей /^-единице пути с большой вероятностью (7/9) создадут пары электронов и позитронов высокой энергии. В эксперименте обычно не различают электроны и позитроны, поэтому для простоты их всех называют электронами.

3. Эти электроны вновь испытывают торможение на следующей /^единице вещества, и образовавшиеся фотоны создают новые пары, и т. д.

Следовательно, на глубине вещества в несколько /^единиц будет существовать много электронов и фотонов, т.е. возникает электроннофотонная лавина. Энергия первичного электрона распределяется между вторичными частицами. По мере увеличения числа лавинных частиц энергия их уменьшается и, наконец, достигает критической энергии е. После этого энергия в основном поглощается за счет ионизационных потерь и лавина постепенно затухает.

Основной задачей теории, описывающей развитие и затухание электронно-фотонной лавины, -- электромагнитной каскадной теории -- является нахождение функции распределения частиц на разных глубинах по энергиям и углам, а значит, и по расстояниям от оси ливня, т.е. от направления движения первичной частицы. Во многих случаях бывает достаточно ограничиться одномерной задачей, т.е. не рассматривать поперечные размеры ливня и угловые распределения частиц. Это оправдывается тем обстоятельством, что продольные размеры лавины много больше ее поперечных размеров.

Поперечные размеры ливня определяются в основном углом многократного рассеянии {0_Р}, который обратно пропорционален энергии электрона. Чем меньше энергия частиц, тем на больший угол они рассеиваются. Наибольший угол рассеяния будет при энергии электронов Е ~ б, т.к. частицы меньших энергий быстро поглощаются за счет ионизационных потерь и выбывают из состава лавины. Электроны с энергией е до следующей to-единицы уже не смогут дойти, т.к. они на пути в одну ^-единицу на ионизацию расходуют всю свою энергию, равную б. Следовательно, поперечный размер ливня, т.е. максимальное расстояние г, на которое на пути в 1 ^-единицу отходят частицы с энергией б, будет

t_n-E.

где г_м = 0 E_s /б . Величина г_м называется мольеровской единицей длины и, по сути, является среднеквадратичным радиусом ливня r_M не зависит от энергии первичной частицы, а зависит только от свойств вещества. Поэтому, если расстояние от оси ливни выражать в мольеровских единицах длины, то развитие электронно-фотонного каскада в поперечном направлении перестает зависеть от свойств вещества. Для свинца, например, r_M ~ 1.6 см, а г ~ 1.1 см., т.е. около 2 ^-единиц.

Продольные размеры ливней при больших начальных энергиях составляют десятки ^-единиц. Таким образом, если не учитывать пространственное распределение частиц в ливне, то остается задача нахождения функции распределения лавинных частиц по их энергиям на разных глубинах развития лавины, и задача сводится к одномерной.

Кинетические уравнения каскадной теории можно составить для разных степеней приближения к реальности.

4.4 Каскадная теория в приближении А

Рассмотрим сначала простейший вариант теории и определим среднее число частиц в лавине на различных глубинах t ее развития. Пренебрежем всеми процессами взаимодействия, кроме тормозного излучения электронами и рождения пар фотонами (приближение А.).

Что кроется за этими условиями?

1. Для соответствующих сечений используется приближение полного экранирования, т.е. энергия частицы Е должна быть больше энергии полного экранирования Е_{п экр}.

2. Пренебрегаем ионизационными потерями, т.е. рассматриваем частицы с энергиями, превышающими критическую энергию б.

3. Не учитываются никакие флуктуации,

4. Не учитывается комптоновское рассеяние фотонов.

Пусть P(E,t)dE - среднее число электронов с энергией в интервале (E,E+dE) на глубине t, a r(E,t)dE- среднее число фотонов в том же интервале энергий и на той же глубине.

Кинетические уравнения в приближении А можно сформировать следующим образом.

Изменение числа частиц в энергетическом интервале (ЕЕ+dE) при прохождении ими слоя dt на глубине t вещества можно записать так:

1. В результате образования пар фотонами с энергией Е' > Е увеличивается число электронов в интересующем нас энергетическом интервале (Е, Е + dE): ^dP^E^'dE = +² 7^г(#', i)^dE' ¦ W_n(E', E)dE = 2dE JT(E', t) ¦ W_n(E', E)dE'.

2. В результате образования пар уменьшается число фотонов в энергетическом интервале (E,E + dE):

3. В результате тормозного излучения на пути dt уменьшается число электронов в интервале (Е, Е + dE): ^dP^dE = - J Р(Е, t)dE * W_T(E,E')dE' = -dEJ P(E,t) ¦ W_T(E,E')dE'. о о

4. В результате тормозного излучения электронов с энергией Е ' >Е, часть из них перейдет в интервал энергий (Е, Е + dE}: ^Ш^-dE = 4-J P{E',t)dE'-W_T{E',E^,-E)dE = +dEjp(E',t)-W_T{E',E'-E)dE'

5. Изменение числа фотонов в интервале (E,E + dE] из-за тормозного излучения электронов энергии Е¹ > Е будет: ^дГ№ %Е = + fР(Е', t)dE' ¦ W_T(E', E)dE = +dE J P(E\ t) ¦ W_T(E', E)dE'⁰¹ E E

Таким образом, кинетические уравнения каскадной теории можно записать следующим образом: ^дР^ = 2 j Гр, t) i Штф, E)dE' + j Р{Е\ t) i №г(Я\ E' - E}dE'

Полученные интегродифференциальные уравнения являются основными уравнениями каскадной теории в области больших энергий. Они линейны относительно функций Р и Г и однородны относительно Е и Е'. Эти свойства уравнений позволяют применить для их решения метод функциональных преобразований Лапласа- Меллина. Для этого перейдем от переменной Е к новой переменной s с помощью соотношений:

Умножив полученные нами кинетические уравнения на Е^а и проинтегрировав их по Е от 0 до <х>, получим вместо них другую систему уравнений:

Зависимости A(s), B(s) и C(s) приведены в монографии С.З. Беленького.

Решения вновь полученных уравнений можно записать в виде

P(s, t) = a_x - e^,2 2 У + a₂ - e¹, r(s, t) = b\- e¹¹ + b₂ - e¹,

причем коэффициенты a₁, a₂, b₁ и b₂ являются функциями s, a X₁(s) и X₂(s) -- корнями квадратного уравнения

1 + l[A(s) + -- ]+ A(s) - -- - B(s) - C(s) = 0;

Коэффициенты a₁(s), a₂(s), b(s) и b₂(s) связаны между собой соотношениями надо сформулировать граничные условия Р(0,Е) и Г(0,Е) и подобрать коэффициенты a₁(s) и a₂(s) так, чтобы эти граничные условия были удовлетворены.

Например, если на слой вещества падает один электрон с энергией Е₀, , не сопровождаемый фотонами, то

P (0,E) = d(E₀ -E), а Г (0,E) =0. '

В этом случае

a(s) = --⁰ +¹`^(s) - E^s и a₂(s) = --⁰ +^^(s) - E₀^s.

4(s) -1₂(s) ^{0 21 У} 1₂(s) -1,(s) ⁰



Переходя затем обратно от параметра s к Е получаем искомые функции P^t) и Г(ЕД).

Обычно, с практической точки зрения наиболее интересно знать, каково на глубине вещества t полное число электронов (или фотонов) с энергией больше заданной Е при начальной энергии Е₀. Иначе говоря, интересен интегральный энергетический спектр лавинных частиц на глубине t:

Для частного случая граничных условий, когда при t = 0 имеется один электрон энергии Е₀, не сопровождаемый фотонами, число электронов на глубине t с энергией >Е определяется следующим выражением, которое обычно записывается в параметрической форме

Значения параметров

табулированы для разных s в и представлены на рисунке 4.1.

Функция H(s) положительна. Величина ее меняется от 0.55 до

0. 2 при изменении параметра s от 0 до 2.

Функция X₁(s) -- монотонно убывающая функция параметра s. Она меняет свой знак при s = 1. Для s< 1 эта функция положительна, что приводит к увеличению числа частиц в лавине с возрастанием глубины наблюдения t. При s > 1 функция X₁(s) < 0 и теперь уже она определяет скорость поглощения частиц лавины с глубиной вещества t. Величина ее в интервале изменения s от 1.3 до 1.7 меняется мало: от -0,24 до -0,43.

Функция X i ”(s) всегда положительна и уменьшается с возрастанием параметра s сначала очень резко (от +75 при s= 0.2 до +2 при s = 0.9), а затем при s > 1 очень медленно.

Параметр s(t), формально введенный при решении кинетических уравнений, имеет глубокий физический смысл: он характеризует степень развития электронно-фотонной лавины. Его часто называют возрастным параметром или просто возрастом ливня. Значение параметра s(t) определяется из уравнения которое устанавливает связь между глубиной развития лавины t и энергией Е вторичных лавинных частиц. Функция A-'i(s) < 0 и возрастает с увеличением параметра s (рис. 4.1).

Рис.4.1. Зависимость от возрастного параметра s функций: H(s) -1, ^₁(s) - 2, V(s)-3, V(s)-4

Исследование функции-решения N(> E,E₀,t) показывает, что:

1. Максимальное число частиц в лавине N_max(> E,E_ot) соответствует s = 1 (по условию экстремума).

2. Зная величину s в максимуме, можно найти максимальное число электронов Nma_X(> Е, Е₀, t_max) = ¦ % .

3. Глубину максимума лавины можно найти из уравнения

4. Величина параметра s(t) меняется с глубиной развития лавины t, поэтому по мере углубления лавины меняется и энергетический спектр вторичных частиц

До максимума, при s < 1, лавина находится в начале своего развития (Х₁ > 0), число частиц в ней увеличивается с глубиной, в ней еще много электронов большой энергии - энергетический спектр вторичных электронов "жесткий", "пологий". За максимумом, при s > 1, лавина затухает (к₁< 0), спектр становится более "мягкий", более крутой, средняя энергия электронов меньше, чем в максимуме развития каскада.

Наличие максимума в числе лавинных частиц физически совершенно понятно. Сначала идет процесс размножения частиц из- за тормозного излучения электронов и последующего образования фотонами электронно-позитронных пар. Процесс размножения идет до тех пор, пока энергия лавинных частиц в среднем не упадет до выбранного минимального значения энергии Е или до критической энергии е. При дальнейшем движении частиц в веществе число их будет уменьшаться и образовавшаяся лавина затухать. Аналогичное положение имеет место и для фотонов. Поскольку эффективные сечения для образования пар и испускания тормозного излучения сравнительно близки друг к другу, отношение числа фотонов и электронов в лавине остается приблизительно постоянным.

Из всего рассмотрения ясно, что резко выраженный максимум в числе частиц будет наблюдаться только в случае, если на данное вещество падают частицы с одной и той же энергией Е₀, Если же первичные частицы имеют разные энергии (спектр энергий), то максимумы для частиц каждой энергии будут получаться на разных глубинах, и суммарная кривая окажется расплывчатой. При степенном виде спектра первичных частиц суммарная кривая вообще может не иметь максимума.

На больших глубинах, далеко за максимумом, число частиц будет экспоненциально убывать по закону поглощения

Для ряда экспериментальных задач нужно знать распределение по энергиям электронов всей лавины, т.е.

Если Е₀>>Е, то Р(>Е,Е₀) ~ Е^-1, т.е. совпадает с видом энергетического спектра частиц в максимуме лавины. Поскольку этот спектр получается в результате усреднения спектра лавинных частиц по глубине, то полученный спектр обычно называют paeHoeecHbrn спектром.

4.5 Каскадная теория в приближении Б

Приведенные ранее рассуждения относились к случаю, когда энергия лавинных частиц Е > е в легких веществах и Е >Е_{П экр}.- в тяжелых. Однако при экспериментальном наблюдении лавины (например, с помощью ионизационных калориметров)

регистрируются все частицы, способные создавать ионизацию в детекторе, т.е. практически заряженные частицы любых энергий. Поэтому следующее приближение каскадной теории (приближение Б) должно учитывать ионизационные потери электронов лавины, комптоновское рассеяние фотонов и уменьшение сечения образования ими электронно-позитронных пар с уменьшением энергии.

Учесть ионизационные потери можно введением в кинетическое уравнение для электронов нового дополнительного члена. Этот член должен, с одной стороны, учитывать, что в энергетический интервал (Е, Е + dE] в результате ионизационного торможения на пути dt может войти часть электронов из интервалов с более высокой энергией, и, с другой стороны, часть электронов может покинуть этот интервал по той же причине, Поэтому изменение числа электронов в энергетическом интервале (Е, Е + dE) за счет ионизационного поглощения может быть описано выражением т.к. на пути dt на ионизацию вещества расходуется энергия dE= б dt.

Для фотонов переход к более низким энергиям по сути мало что изменит, если рассматривать каскад в легком веществе (рис.4.2а), т.к. учет комптоновского рассеяния компенсирует падение сечения рождения пар. Поэтому суммарный коэффициент поглощения фотонов в легких веществах остается постоянным вплоть до энергии фотонов hv ~ 0.1-б.

Рис. 4.2. Вероятности: 1- рождения пар, 2-комптоновского рассеяния, 3- их сумма на lt₀ -единице в воздухе (а) и свинце (б)

В тяжелых (рис.4.2б) веществах необходимо учитывать сложную зависимость сечения взаимодействия фотонов от их энергии. Это обстоятельство приводит к тому, что приходится решать каскадные уравнения для легких и тяжелых веществ отдельно. Добавление этих членов в полученные ранее уравнения сразу же существенно усложняет задачу. Для решения этих уравнений разработаны специальные методы: метод моментов, метод статистических испытаний и др. Несмотря на возросшую сложность уравнений, решение их приводит к выводу, что общая качественная картина развития каскада в веществе остается прежней: зависимость числа частиц от глубины t также, как и в приближении А, описывается функцией с максимумом. Однако количественные изменения довольно существенны.

В легких веществах глубина максимума лавины t_max и число электронов с энергией Е > 0 в максимуме каскада будут

Появление в этих выражениях е вместо Е понятно, т.к. частицы с энергией Е <е не участвуют в дальнейшем развитии каскада, быстро поглощаясь из-за ионизационных потерь.

Таким образом, число частиц в максимуме каскада в тяжелых веществах меньше, а глубина максимума больше, чем в легких веществах, т.е. электронно-фотонная лавина глубже проникает в тяжелые вещества.

Таблица 4.2. Зависимость параметров kj и к₂ от Е₀

Eg, эВ	kj	k2
8 0 * 5	0.172	1.40
109	0.180	1.33
1010	0.200	1,29

Это происходит из-за того, что в тяжелых веществах энергия полного экранирования существенно меньше, чем в легких веществах. Поэтому суммарный коэффициент поглощения фотонов с энергиями, близкими к е, в тяжелых веществах существенно меньше, чем для фотонов больших энергий. Следовательно, фотоны таких энергий (~ е) в тяжелых веществах являются более проникающими, т.к. поглощаются слабее. Фотоны проносят энергию вглубь и затягивают лавину. Кроме того, отношение числа фотонов к числу электронов лавины в тяжелых веществах существенно больше, чем в легких веществах. На рис. 4.3 приведены каскадные кривые в свинце для числа электронов N(> 0,E_o,t) в ливне, вызванном первичным электроном энергии Е₀. .

Энергетический спектр лавинных электронов остается степенным ~ E^s, как и в случае приближения А. В максимуме ливня (s = 1) около 80% электронов имеют энергию меньше критической б и около 5% -менее 0,3 е. Средняя энергия электронов в максимуме каскада близка к е. Энергетический спектр лавинных электронов за максимумом практически не зависит от Ео. Наклон каскадных кривых в этой области одинаков для разных Е₀.

...