Элементы квантовой механики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Элементы квантовой механики



Содержание

Введение

1. Основы квантовой теории

1.1 Энергия и импульс световых квантов

1.2 Опытная проверка законов сохранения энергии и импльса для света

1.3 Атомизм

1.4 Энергетические переходы, теория излучения

1.5 Ширина спектральной линии

1.6 Волны де Бройля

1.7 Дифракция микрочастиц

2. Основы квантовой механики

2.1 Статистическая суть волн де Бройля

2.2 Вероятность местоположения микрочастицы

2.3 Принцип суперпозиции состояний

2.4 Средние значения функций

2.5 Статистические ансамбли

2.6 Соотношение неопределённостей

3. Изображение механических величин операторами

3.1 Описание состояния системы в квантовой механике

3.2 Математический аппарат квантовой механики

3.3 Квантово-механические операторы

4. Простейшие задачи квантовой механики

5. Собственный механический и магнитный моменты (спин)

6. Квантовая механика системы микрочастиц

7. Основы квантовой статистики

8. Термодинамическое описание макропроцессов

9. Квантовая статистика



Введение

Первое очевидное свойство микромира - атомизм, а именно: простые элементарные частицы характеризуются чёткими признаками (масса, заряд, спин и др.), тождественными для всех частиц одного сорта. Макромир таким свойством не обладает, ибо макрообъекты есть совокупности большого числа элементарных частиц. Поэтому закономерности макроявлений суть закономерности, свойственные сумме большого числа частиц.

Разница указанных свойств микро и макро частиц не позволяет даже методологически исследовать микрочастицы по образу и подобию макротел. Ведь даже понятие материальной точки в классической механике не есть абстрактный образ микрочастицы, а есть образ макротела, размеры которого малы в сравнении с расстояниями, рассматриваемыми в проблеме.

Атомизм подтверждается наличием некоей абсолютной меры для механического движения, которой является постоянная Планка h = 6,625· 10^-34 Дж·с. Она имеет первостепенное значение в механике микрочастиц. Её открытие и было вызвано несостоятельностью переноса закономерностей из области большого в область малого.

В 20-х годах ХХ века были выявлены новые опытные данные - электроны обнаруживают волновые свойства: если поток электронов пропускать через кристалл, то прошедшие микрочастицы расположатся на экране так же, как интенсивность волн подходящей длины волны л. Получается чуждое классической механике явление дифракции микрочастиц. Позже было доказано, что это явление свойственно всем типам микрочастиц, то есть была открыта принципиально новая и совершенно общая закономерность.

Движение микрочастиц во многом более родственно движению волн, но не материальной точки по траектории. Явление дифракции несовместимо с предположением о движении микрочастицы по траектории. Поэтому принципы классической механики, в которой понятие траектории есть одно из основных, непригодны для описания и анализа движения микрочастиц. Классическая механика есть лишь некоторое приближение, действенное для рассмотрения движения тел большой массы в достаточно плавно меняющихся полях (макрополях). В таких условиях постоянная Планка не имеет значения, поскольку её можно считать бесконечно малой, и становятся несущественными явления дифракции. В области же микромира узаконивается квантовая механика, предметом рассмотрения которой является движение микрочастиц.

Квантовая механика есть теория статистическая. Например, с её помощью можно предсказать, как в среднем распределятся на фотопластинке отражённые от кристалла электроны, но о точке попадания каждого отдельного электрона можно сделать лишь вероятностное суждение: с некоторой вероятностью будет обнаружен там-то.

Современная квантовая механика не построена на основе какой-либо теории индивидуальных микропроцессов. Она изучает индивидуальные свойства микрочастиц и индивидуальные микропроцессы, оперируя со статистическими совокупностями-ансамблями. Эти ансамбли определяются признаками, взятыми из классической макроскопической физики (импульс, энергия, координата и др.). Поэтому если в квантовой механике говорят о воспроизведении микроявления (повторении одного и того же опыта), то имеют в виду воспроизведение макроусловий для микрофизического явления, то есть осуществление того же статистического ансамбля.

Таким образом, квантовая механика изучает свойства - статистические ансамбли - микрочастиц в их отношении к макроскопическим измерительным аппаратам, с помощью которых и может быть определено то, что называют "состояние частицы", то есть фиксирован статистический ансамбль.



1. Основы квантовой теории

1.1 Энергия и импульс световых квантов

В конце 19в. казалось, что окончательно победила волновая теория света в той форме, которую ей придал Максвелл. Опыты Герца и другие факты доказывали справедливость уравнений Максвелла. Однако целый ряд важных явлений, связанных с излучением и поглощением света, не укладывался в рамки волновых представлений. Так, несмотря на все усилия теоретиков, закон распределения энергии в спектре абсолютно чёрного тела, полученный на основе волновой теории, оказывался не только в резком несогласии с опытом, но и имел внутренние противоречия.

В 1901 г. Планк сформулировал совпадающий с опытом закон распределения энергии в спектре излучения абсолютно чёрного тела, находящегося в тепловом равновесии. Этот закон стал исходном пунктом в развитии квантовой механики. В его основе лежит допущение о прерывном (дискретном) характере испускания и поглощения света конечными порциями - квантами света. Энергия такого кванта

hщ,

где h - постоянная Планка (h = h/2р), н - частота.

Это представление о квантах света получило законченную форму после того,

как А.Эйнштейн показал необходимость приписать кванту и импульс, направление которого совпадает с направлением распространения света:

p = е/c = hk; k = 2р/л.

Формулы для е и р являются основными уравнениями квантово-механической теории света и связывают энергию и импульс кванта с частотой и длиной волны плоской монохроматической волны.

Глубокий смысл квантовой теории состоит в том, что обмен энергией и импульсом между микросистемами и светом происходит путём порождения одних и уничтожения других квантов. Эта мысль получила своё точное выражение в применении закона сохранения энергии и импульса в какой-либо системе, взаимодействующей со светом. Обозначим энергию и импульс системы до столкновения Е и Р, после столкновения Е? и ?? ; hн и hk - квант до столкновения и hн? и hk? - после столкновения. Закон сохранения энергии и импульса представляется в виде:

Е = hн? + Е? ,

hk + P = hk? + P?.

Уравнения охватывают три основных прцесса: поглощение (н? = 0); испускание (н = 0, н? = 0) и рассеяние света. Закон сохранения энергии и импульса противоречит и корпускулярному, и волновому представлениям о свете и не может быть истолкован в рамках классической физики.

Согласно волновой теории энергия волнового поля определяется амплитудой волны (не частотой!). Но нет никакой общей связи между амплитудой волны и частотой, которая позволила бы связать энергию одиночного кванта с амплитудой. Предположение, что энергия кванта может определяться амплитудой, приводит к тому, что цвет падающего. Отражённого и проходящего через кристалл пучков должны быть различными, чего на самом деле нет. Следовательно квант не есть чистая волна. квант микрочастица термодинамический макропроцесс

Квант по своему определению ассоциируется с плоской монохроматической волной, которая есть чисто периодический процесс, бесконечный в пространстве и во времени. Допущение, что квант где-либо находится, противоречит совершенной периодичности волны: синусоидальная волна, будучи как-то деформирована, уже есть сумма различных синусоидальных волн.

Поэтому принимая законы сохранения энергии и импульса, мы должны согласиться с недостаточностью классических понятий для выражения явлений в микромире. Свет имеет дуальную природу и обладает как волновыми, так и корпускулярными свойствами.

1.2 Опытная проверка законов сохранения энергии и импльса для света

Как показал А. Эйнштейн, законы сохранения энергии и импульса позволяют объяснить загадочные для классической физики законы фотоэффекта. Суть эффекта - испускание металлами электронов под действием падающего на металл света.

Опыт показывает, что скорость фотоэлектронов не зависит от интенсивности падающего света. Интенсивность определяет только число электронов, испускаемых металлом в единицу времени. Согласно уравнению Ньютона, приращение скорости пропорционально действующей силе (F = am). Последняя равна eЗ (З - напряжённость поля световой волны). Поэтому приобретаемая электроном скорость должна быть пропорциональна З, а энергия пропорциональна Е², то есть интенсивности света, что на самом деле не наблюдается. Милликен опытно строго доказал, что энергия испускаемых в фотоэффекте электронов полностью определяется частотой света, но не его интенсивностью.

Однако этот результат становится очевидным, если применить к фотоэффекту законы сохранения энергии и импульса. Пусть на поверхность металла падает свет частотой щ. Так как для извлечения каждого электрона из металла надо затратить некую работу, которую обозначим А (это работа выхода), то начальную энергию электрона необходимо считать равной -А. Квант света при фотоэффекте поглощается полностью, так что hн? = 0. Энергия же электрона после поглощения равна Следовательно, уравнение сохранения энергии приобретает вид

.

Это известное уравнение Эйнштейна для фотоэффекта. Видно, что энергия фотоэлектрона линейно возрастает с частотой. Если измерять энергию электрона тормозящим потенциалом U так, что eU =, то наклон прямой на графике (U, щ) должен определяться величиной . Следовательно, можно опытным путём определить значение постоянной h. Милликен показал, что полученное значение h точно такое же, что и из теории излучения абсолютно чёрного тела Планка. Тем самым была доказана справедливость уравнения сохранения энергии применительно к фотоэффекту. Теперь уравнение Эйнштейна является одним из основных уравнений, лежащих в основе теории электронных приборов.

Уравнения сохранения энергии и импульса были экспериментально обоснованы Комптоном при исследовании зависимости частоты рассеянных рентгеновских лучей от угла рассеяния. Эффект Комптона - упругое рассеяние коротковолнового излучения (рентгеновского и г- излучений) на свободных (или слабо связанных) электронах вещества, сопровождающееся увеличением длины волны. Этот эффект необъясним на основе волновых представлений. Согласно волновой теории механизм рассеяния объясняется "раскачиванием" электронов полем падающей волны. В таком случае частота рассеянного излучения должна совпадать с частотой излучения падающего.

В опыте в качестве рассеивающих веществ были использованы парафин и графит, у которых внешние электроны слабо связаны с атомом. Так как энергия кванта рентгеновского излучения велика, то при расчёте можно пренебречь энергией электрона в атоме и считать электроны свободно покоящимися микрочастицами. Поэтому начальную энергию электрона Е и его импульс Р будем считать нулевыми. После столкновения с рентгеновским квантом, учитывая Е = 0 и Р = 0, получим (с учётом релятивистской теории)

= hн? + ,

hk = hk? +

щ и k - частота и волновой вектор падающего излучения;щ? и k? - то же для рассеянного излучения. Из первого уравнения сразу следует, что н > н?, то есть рассеянное излучение имеет бо?льшую длину волны нежели падающее. Этот вывод и был подтверждён опытами Комптона.

Рис. 1

На рис.1 представлен так называемый параллелограмм Комптона. Разность Дл = л? - л (комптоновский сдвиг) не зависит от длины волны л падающего излучения и от природы рассеивающего вещества, а зависит только от угла и между направлениями рассеянного и первичного излучений:

Дл = 2л_сsin²и/2 = л_c(1 - cos²и),

где л_с = h/m₀c - комптоновская длина волны электрона (m₀ - масса покоя электрона, л_с = 2,42631058• 10^-12 м). полное согласие с уравнением для Дл. Поэтому опыты Комптона подтвердили справедливость предположения о наличии импульса у кванта света.

Из начальных уравнений следует один важный вывод: свободный электрон не может поглощать, а может только рассеивать свет. Действительно, так как при поглощении н?=0 (и k?=0), это приво дит к равенству в =0 и k = 0. Следовательно, нет падающего света, то есть поглощение невозможно.

Эффект Комптона и фотоэффект определены взаимодействием фотонов с электронами. В случае эффекта Комптона фотон рассеивается, в случае фотоэффекта - поглощается. Рассеяние происходит при взаимодействии со свободным электроном, а фотоэффект - при взаимодействии со связанными электронами. Поглощение фотона свободным электроном невозможно, так как такой процесс находится в противоречии с законами сохранения энергии и импульса. Поэтому при взаимодействии фотонов со свободными электронами наблюдается только их рассеяние, то есть эффект Комптона.

1.3 Атомизм

Суть атомизма - масса, заряд и др. свойства всех экземпляров элементарных частиц одного рода совершенно тождественны и неизменны. Единственные изменения частиц, с достоверностью известные современной физике, есть превращения одного сорта микрочастиц в другой, при этом частица либо уничтожается, либо возникает как целое.

Сложные микрочастицы, составленные из элементарных (молекулы, атомы, ядра атомов), тоже обладают свойствами атомизма, что обусловлено двумя обстоятельствами: 1) каждый сорт сложных микрочастиц образуется из вполне определённых элементарных частиц; 2) внутренние состояния сложных микрочастиц прерывны: для каждой сложной частицы есть своя последовательность вполне определённых возможных состояний, каждое из которых отделено от других скачкообразными изменениями. Поэтому не всякое воздействие может перевести сложную частицу из нормального состояния ( с минимальной энергией) в соседнее возбуждённое. Если энергия мала, то по окончании воздействия сложная частица останется в том же состоянии, что и до воздействия. Поэтому атомные системы остаются в широких пределах воздействия неизменными, либо скачком переходят в новые вполне определённые состояния.

Благодаря тождественности признаков элементарных частиц и прерывистости состояний сложных частицы микромира не имеют индивидуального лица. На характерных признаках электрона и атома водорода не отражаются происходящие с ними события.

Экспериментальным подтверждением квантования энергетических уровней атома, то есть существования дискретных стационарных состояний, опыты Франка и Герца. Применённая установка схематически представлена на рис.2.

Рис. 2

Вакуумная трубка, заполненная парами ртути, содержит катод К, две сетки С1 и С2 и анод А. Эмитируемые катодом электроны ускоряются разностью потенциалов ц между катодом и сеткой С1. Между сеткой С2 и анодом приложен небольшой тормозящий потенциал (? 0,5 В). Ускоренные в области К-С1 электроны попадают в область С!-С2, где соударяются с атомами паров ртути. Электроны с достаточной после соударения энергией достигают санода.

На опыте исследовалась вольт-амперная характеристика (рис.2). Оказалось, что при увеличении ускоряющего потенциала вплоть до 4,86 В сила анодного тока возрастает монотонно, проходит через максимум(4,86 В), затем резко падает и возрастает вновь. Дальнейшие максимумы наблюдаютс

я при 2•4,86 В и 3•4,86 В.

Для интерпретации опытов заметим, что ближайшее к основному состоянию атома ртути является возбуждённое состояние с энергией ДЕ = 4,86 эВ. Поэтому для перехода атома из основного состояния в первое возбуждённое нужна энергия 4,86 эВ. Время жизни атома ртути в возбуждённом состоянии ф ?10^-8с, поэтому атом спустя время ф вернётся в основное состояние, излучая при этом фотон с энергией 4,86 эВ и длиной волны л = hс/ДЕ = 253,6 нм. Значит, если в атомах существуют стационарные состояния, то электроны, сталкиваясь с атомами ртути, должны терять энергию дискретно, определёнными порциями, равными разности энергий стационарных состояний атома.

Вплоть до знергии 4.86 эВ электроны испытывают только упругие столкновения и передают атомам малую часть своей энергии. При ец = 4.86 эВ энергия электрона достаточна для неупругого столкновения, при котором электрон отдаёт атому ртути всю кинетическую энергию, а атом переходит в первое возбуждённое состояние. Электроны же, теряя скачком энергию 4.86 эВ, не могут преодолеть тормозящего поля и достигнуть анода, чем и объясняется первое резкое падение анодного тока после ец = 4.86 эВ.

При дальнейшем увеличении разности потенциалов электроны приобретают энергию, достаточную для преодоления задерживающего потенциала, в результате сила тока вновь начинает расти. При ц = 2•4,86 В электроны способны вновь испытать упругое столкновение, полностью потеряв свою энергию, что и объясняет второе резкое падение тока, и т.д.

Каждый раз, когда атом ртути возвращается в основное состояние, он излучает фотон. Спектральный анализ показал, что длина волны излучения ртутных паров действительно равна 253,6нм, то есть соответствует переходу атома ртути из первого возбуждённого состояния в основное.

Приведённые результаты доказывают существование у атомов ртути дискретных энергетических уровней. Отметим, что спектроскопические измерения доказывают, что квантование энергетических уровней имеет место и в молекулах, и в более сложных системах частиц.

1.4 Энергетические переходы, теория излучения

Спонтанные переходы. Спонтанные переходы есть переходы самопроизвольные из верхнего энергетического состояния Е_m в нижнее с меньшим значением энергии Е_n . Такие переходы сопровождаются электромагнитным излучением (испусканием квантов энергии). Частота излучения определяется из постулата Бора, по которому энергия излучённого кванта равна Е_m - E_n.

Количество частиц с одинаковой энергией, соответствующей энергии данного уровня, в единице объёма называется населённостью этого уровня. Пусть номер верхнего уровня m = 2, а нижнего n = 1(рис. 3). Обозначим населённости этих уровней N₂ и

Рис. 3

N₁. При спонтанных переходах

N₂ уменьшается,

N₁ растёт. Уменьшение N₂ только за счёт спонтанных переходов за время dt пропорционально N₂ и времени dt

,

где А₂₁ - вероятность спонтанных переходов в 1 с.

Решив уравнение, получим

где - исходное значение населённости в момент времени

На сколько уменьшается N₂ , на столько же возрастает N₁, так как общее количество частиц в единице объёма остаётся неизменным. Из уравнения для N₂ следует: через время t = 1/A₂₁ населённость N₂ уменьшится в ? раз по сравнению с N₂(0). Величину ф₂ = 1/A₂₁ называют временем жизни микрочастицы в возбуждённом состоянии. Обратная ей величина А₂₁ определяет среднее число спонтанных переходов в единице объёма в 1 с или среднее число частиц, совершивших самопроизвольный переход из верхнего состояния в нижнее. Надо заметить, что вероятность А₂₁ отнесена к 1 с, то есть имеет размерность, и поэтому может быть любой по значению величиной в отличие от математической вероятности.

Число спонтанных переходов за 1 с равно n₂₁ = A₂₁•N₂. Поэтому за 1 с излучается энергия

Случайность спонтанного перехода означает, что различные частицы излучают не одновременно и независимо, то есть фазы излучаемых отдельными частицами волн не согласованы друг с другом. Поэтому спонтанное излучение не когерентно. Излучение всех обычных источников света есть результат спонтанного излучения.

В системах нескольких- энергетических уровней возможны спонтанные переходы с данного уровня на различные нижние (рис.3,2). Полная вероятность А_i для спонтанного перехода Е_i равна сумме вероятностей отдельных переходов

.

Уровни, для которых вероятность спонтанных переходов мала, то есть время жизни велико, называются метастабильными. Время жизни на i-ом уровне в многоуровневой системе определяется так

.

А_ik - коэффициент Эйнштейна для спонтанного перехода.

Вынужденные переходы. Вынужденный переход происходит под действием внешнего электромагнитного поля, частота которого совпадает с частотой перехода или близка к ней. При этом возможны переходы вниз и наоборот. В первом случае происходит вынужденное испускание кванта hн₂₁ . Особенность вынужденного кванта состоит в том, что он полностью идентичен кванту энергии внешнего поля. Вынужденное излучение имеет такие же частоту, фазу, направление распространения и поляризацию. Поэтому вынужденное излучение увеличивает энергию электромагнитного поля с частотой перехода н₂₁. Это явление служит предпосылкой создания квантовых усилителей и генераторов. Необходимо заметить, что на реализацию вынужденного перехода не затрачивается энергия внешнего поля, которое есть лишь своеобразный стимулятор процесса.

В противоположность, для перевода микрочастицы в верхнее энергетическое состояние необходимо затратить долю энергии внешнего поля, равную hн₂₁. При каждом вынужденном переходе вверх затрачивается один квант энергии внешнего поля.

Вынужденные переходы тоже имеют статистический характер. Поэтому есть необходимость ввести вероятностные коэффициенты: w₂₁(в) - вероятность вынужденного перехода вниз, и w₁₂(в) - вероятность вынужденного перехода вверх в 1 с. Эти вероятности пропорциональны интенсивности (плотности) энергии внешнего поля U_н и определяются так:

где В₁₂ и В₂₁ есть коэффициенты Эйнштейна для вынужденных переходов. Они имеют смысл вероятностей вынужденных переходов в 1 с при единичной плотности поля U_н.

Число вынужденных переходов вниз с излучением в единицу времени в единице объёма пропорционально w₂₁(в) и населённости верхнего уровня N₂ :

Аналогично при тех же условиях число вынужденных переходов вверх с поглощением

Соотношение между коэффициентами Эйнштейна. Связь между коэффициентами Эйнштейна А₂₁, В₂₁ и В₁₂ можно установить из рассмотрения состояния термодинамического равновесия системы атомов при определённой температуре Т.

Пусть система атомов имеет два уровня энергии Е₁ и Е₂ . При термодинамическом равновесии в системе нет изменения энергии, поэтому число излучённых квантов должно быть равно числу поглощённых. Следовательно, в единицу времени во всей системе общее число переходов вниз должно быть равно общему числу переходов вверх, то есть n₁₂ = n₂₁ (принцип детального равновесия). В рассматриваемой системе формально нет внешнего поля и должны существовать только спонтанные переходы. Однако спонтанное излучение каждого атома является внешним для других атомов и вызывает вынужденные переходы с поглощением или излучением энергии. В состоянии равновесия в системе должно существовать равновесное значение плотности поля собственного излучения U_н , которое можно использовать для расчёта числа вынужденных переходов в системе n₁₂(в) и n₂₁(в).

Полное число переходов вниз n₂₁ в состоянии равновесия равно сумме числа спонтанных переходов n₂₁(c) и числа вынужденных переходов n₂₁(в)

Число переходов вверх n₁₂ определяется только вынужденными переходами с поглощением

Следовательно

откуда следует выражение для равновесной плотности поля

Соотношение населённостей уровней в состоянии термодинамического равновесия подчиняется распределению

Больцмана

так что в итоге получаем

Формула Планка для спектральной плотности энергетической светимости чёрного тела такова

.Тождество формул достигается при В₁₂ = В₂₁ = В и А₂₁ = 2рн³В/c². Таким образом, если квантовая система и поле излучения находятся в состоянии термодинамического равновесия, то вероятности вынужденных переходов в единицу времени при единичной плотности поля В₁₂ и В₂₁ должны быть одинаковыми. Вероятность спонтанного перехода пропорциональна третьей степени частоты, поэтому спонтанные переходы сильнее всего проявляются в оптическом диапазоне.

Безызлучательные переходы. Атомы и молекулы газа в результате неупругих соударений друг с другом или с электронами теряют или приобретают некоторую долю энергии. При этом нет ни излучения, ни поглощения электромагнитной энергии. Такие энергетические переходы принято называть безызлучательными. В твёрдом теле безызлучательные переходы происходят вследствие колебательного движения кристаллической решётки. Безызлучательные переходы характеризуются вероятностью перехода между уровнями k и i (k>i) вниз С_ik и вверх С_ki c потерей и получением энергии ДЕ. Если происходят одновременно спонтанные и безызлучательные переходы, то полная вероятность переходов равна (А_ki + C_ki), а время жизни уровня k определяется как

.

1.5 Ширина спектральной линии

Естественная ширина спектральной линии. Мы неявно предполагаем, что энергетические уровни вещества бесконечно узкие. Однако даже в идеализированном случае, когда на частицу не действуют внешние силы, ширина энергетического уровня конечна. Это значит, что излучение для данного перехода не монохроматическое, а занимает некоторый спектр частот.

Узкую область с одним максимумом интенсивности в спектре излучения или поглощения называют спектральной линией, а линии. Рассмотрим идеализированный случай, когда атом изолирован, неподвижен и не подвержен внешним воздействиям. В этом случае ширина уровней следует из соотношения неопределенностей

где и - неопределённости импульса и координаты атома.

Так как

Е = рV

( V - сксрость),

То

Др = ДЕ/V.

Используя также

Дх = VДt,

запишем соотношение неопределённостей в виде ,

Откуда следует, что неопределённость уменьшается при увеличении . Грубо говоря, чем с большей точностью определяется энергия Е, тем с меньшей точностью мы знаем, какому моменту t она соответствует.

Применим это соотношение к атому.

Рис. 4

Пусть мы хотим измерить энергию атома в возбуждённом состоянии, которому на рис. 4 соответствует уровень с энергией Е₂. Среднее время жизни атома в возбуждённом состоянии определяется значением . Так как спонтанные переходы имеют статистический характер, то ф₂ можно считать неопределённостью измерения момента времени излучения кванта, то есть . Подставляя в соотношение неопределённостей, получаем неопределённость энергетического состояния уровня: . Это рассуждение можно применить к многоуровневой системе. Неопределённость энергии i-го уровня равна

,

где время жизни i-го уровня.

Это соотношение определяет зависимость конечной ширины любого энергетического уровня от среднего времени жизни этого уровня. Если оно бесконечно велико (ф_i > ?), то > 0. Считают, что основной энергетический уровень бесконечно узкий. Наиболее широки уровни с малым временем жизни.

Неопределённость в значении частоты перехода между уровнями i и k с шириной уровней и (рис. 5)

находится из соотношения

,

то есть равна сумме неопределённостей энергий обоих уровней. Полученная таким образом ширина спектральной линии

Рис. 5

изолированного и неподвижного атома определяется только временем жизни по спонтанному переходу и называется естественной шириной спектральной линии. Ширину контура спектральной линии принято считать как разность частот, на которых интенсивность излучения равна половине максимального значения. Частотой перехода (центральной частотой) называют частоту, соответствующую максимуму спектральной линии. Форма спектральной линии (контур) может быть представлена так называемой лоренцевой кривой (рис. 6), совпадающей с резонансной кривой колебательного контура. Реально наблюдаемые спектральные линии имеют ширину много больше естественной. Рассмотрим основные причины, вызывающие уширение спектральных линий.

Рис. 6

Уширение из-за соударений. В газообразном веществе происходят упругие и неупругие соударения хаотически движущихся микрочастиц. В результате неупругих соударений изменяются энергии частиц, то есть уменьшается время жизни в определённом энергетическом состоянии, что означает увеличение как ширины энергетического уровня, так и ширины спектральной линии. Расчёт показывает, что хотя упомянутые ширины и увеличиваются, форма спектральной линии остаётся прежней, лоренцевой. Уширение, при котором форма контура не изменяется, называется однородным уширением. В общем случае лоренцева форма получается всегда, когда есть причины, приводящие к уменьшению времени жизни (спонтанное излучение, соударения микрочастиц друг с другом и с кристаллической решёткой твёрдого тела).

Допплеровское уширение. Это уширение связано с эффектом Допплера - зависимостью наблюдаемой частоты излучения от скорости движения источника по отношению к наблюдателю. Если источник излучения частоты движется по направлению к наблюдателю со скоростью V_x , то наблюдатель регистрирует излучение с более высокой частотой , так что

где с - фазовая скорость распространения излучения;

- угол между направлением скорости излучения и направлением наблюдения (рис. 7).

Рис. 7

В квантовых системах источниками излучения являются атомы и молекулы. В газообразной среде при термодинамическом равновесии существует закон распределения микрочастиц по скоростям - закон Максвелла-Больцмана. Учитывая лишь проекции V_x на линию наблюдения, можно получить следующее выражение для формы допплеровской линии:

.

Допплеровский контур имеет форму гауссовского распределения по частоте. Ширина контура, соответствующая интенсивности

,

определяется выражением

.

С ростом массы частиц и понижением температуры ширина допплеровского контура уменьшается. Для лёгких частиц и обычных температур ширина допплеровского контура может превысить естественную на несколько порядков.

Уширение из-за влияния электрических и магнитных полей. Воздействие электрических и магнитных полей может приводить к расщеплению энергетических уровней на несколько подуровней и к сдвигу уровней (эффекты Штарка и Зеемана). Если величины расщепления меньше ширины каждого подуровня, то расположенные рядом подуровни частично перекрываются (неполное расщепление). Поэтому сливаются и спектральные линии переходов, и результирующая ширина спектральной линии при воздействии полей будет больше исходной ширины.



1.6 Волны де Бройля

Луи де Бройль в 1924 г. постулировал, что корпускулярно-волновой дуализм имеет универсальный характер и распространяется не только на световые корпускулы (фотоны), но и на все частицы материи: частицы вещества (в том числе и электроны)наряду с корпускулярными обладают также и волновыми свойствами.

Количественные соотношения, связывающие корпускулярные (энергия и импульс) и волновые (частота, длина волны) характеристики микрочастиц, такие же, как для фотона:

ћщ, P = h/л = ћk.

Длина волны, связанная с частицей

л = h/p,

называется длиной волны де Бройля. Для нерелятивистской частицы длина волны де Бройля определится как

л = h/m₀V,

где m₀ - масса покоя частицы. Если Т - кинетическая энергия частицы ( Т = р²/2m ), то

Итак, с движением любой свободной микрочастицы, имеющей

энергию Е и импульс р, де Бройль связывает волну вида

,

которая называется плоской волной де Бройля.

Рассмотрим основные свойства этой волны, предполагая , что она распространяется вдоль оси Ох, то есть

.

Зафиксировав определённое значение фазы (Et - px = const или

щt - kx = const) и продифференцировав эти выражения, получим фазовую скорость волны:

V_ф = .

Можно записать

Так как всегда V << c, то фазовая скорость волн де Бройля больше скорости света в вакууме (на величину фазовой скорости не накладываются релятивистские ограничения).

Согласно волновой теории, частице сопоставляется волновой пакет, образуемый непрерывной совокупностью одночастотных (монохроматических) плоских волн де Бройля с импульсами, заключёнными в интервале 2Др (Др << р). Из оптики известно, что скорость движения волнового пакета равна групповой скоро сти:

.

Для нерелятивистских частиц

Таким образом, групповая скорость V_гр волны де Бройля равна скорости частицы V , иными словами, волны де Бройля движутся вместе с частицей.

Так как V_ф = с²/V, заменяя V на V_гр , получим соотношение

V_грV_ф = с².

Волны де Бройля испытывают дисперсию - их фазовая скорость зависит от длины волны.

Для вычисления длины волны де Бройля надо знать массу m₀ частицы и её энергию Е (Т). Для электрона m₀ = 9•10^-28 г. Если Е электрона выражать в эВ, то справедливо равенство

л = Е

(U - ускоряющий потенциал, В). Для Е = 1эВ получаем л = 12,2 Е, для Е = 10⁴ эВ л = 0,122 Е. Для молекулы водорода, имеющей энергию 6•10^-14эВ и массу 2,166•10^-24 г, получаем л = 1 Е.

Как видим, длина волны де Бройля очень мала и тем меньше, чем больше масса и энергия частицы.

Практически не удаётся получить длину волны де Бройля в области видимого света, так как уже очень трудно экспериментировать с электронами с Е = 1 эВ, а при

л = 10^-5 см имели бы дело с электронами с Е = 1,2•10^-4 эВ.

Идею о связи движения частицы с движением волны только опыт мог заставить принять как важный вклад в науку.

Подтверждения волновых явлений при движении микрочастицы можно было получить только наблюдением дифракции и интерференции этих микрочастиц, так как дифракция и интерференция являются природными эффектами волнового движения. И опыты, подтверждающие правильность теории де Бройля, были реализованы.

1.7 Дифракция микрочастиц

Классический опыт Дэвиссона и Джермера заключался в исследовании рассеяния пучка электронов на поверхности кристаллов. Наблюдая интенсивность пучков в зависимости от угла рассеяния, можно было заметить, что рассеяние электронов по углам весьма сходно с распределением волн при дифракции.

На рис.8 схематически изображён опыт Дэвиссона и Джермера.

Рис. 8

Электронная пушка служила источником электронов. Фарадеев цилиндр соединялся с гальванометром, и по силе тока можно было судить о количестве электронов, рассеянных поверхностью кристалла под углом и к первоначальному пучку, который падал нормально к поверхности.

Электроны небольшой энергии не проникают глубоко внутрь кристалла, поэтоьу значительная доля рассеянных электронов рассеивается поверхностным слоем кристалла так, что дифракция происходит в основном от плоской дифракционной решётки, образованной поверхностными атомами кристалла. По элементарной теории дифракции, положение дифракционных максимумов определяется так

,

где n - порядок дифракционного максимума, л - длина волны дифрагирующих лучей, d - постоянная плоской поверхностной решётки кристалла, и - угол между нормалью к решётке и направлением рассеянного пучка. Зная энергию первичных электронов, падающих на кристалл ( в опытах энергия могла изменяться от 30 эВ до 400 эВ), можно для каждой энергии вычислить длину волны де Бройля и положение максимума для рассеянных (дифрагированных) электронов.

Другой способ проверки формулы де Бройля - в проверке справедливости предыдущей формулы для электронов разных энергий. В случае правильности формулы де Бройля должно иметь место равенство

,

если угол и соответствует положению максимума интенсивности рассеянных электронов.

Оба способа проверки привели к заключению о полной справедливости формулы де Бройля, связывающей длину волны л с импульсом электрона р.

Весьма принципиальным является врпрос о применимости формулы де Бройля к частицам, более сложным, нежели электрон, - к атомам и молекулам. Действительно, возможность применения её к сложным системам означает, что волновые явления не являются результатом особенностей строения той или иной частицы, а имеют общую значимость, выражают общий закон движения микрочастиц.

Штерн и Эстерман исследовали отражение Не и Н₂ от кристаллов LiF. Меняя температуру "печи", служившей источником узкого пучка атомных или молекулярных лучей, экспериментаторы имели возможность менять энергию исследуемых частиц, а вместе с тем и длину волны де Бройля. Интенсивность рассеянного кристаллом пучка измерялась очень чувствительным манометром. Опыты Штерна и Эстермана вполне подтвердили применимость формулы де Бройля к указанным сложным частицам.



2. Основы квантовой механики

2.1 Статистическая суть волн де Бройля

Физический смысл волн де Бройля был раскрыт не сразу. Сначала были попытки рассматривать микрочастицы как образования из волн, распределённые в некоторой области пространства. Интенсивность волны де Бройля рассматривалась как величина, характеризующая плотность среды, из которой образована микрочастица - полностью классическое понимание. Примером таких образований может быть рассмотренная ранее группа волн, центр которой движется как микрочастица. Однако движение такой группы не совсем совпадает с движением микрочастицы, так как сама группа с течением времени изменяется, размеры группы увеличиваются, группа расплывается, что следует из факта дисперсии волн де Бройля в пустоте: отдельные волны имеют разные скорости.

Следовательно, частица из волн де Бройля будет неустойчива - даже при движении в пустоте размеры частицы будут возрастать неограниченно. При прохождении же частицы из одной среды в другую, а особенно в случае дифракции, пучок частицы разделяется на систему дифрагированных пучков. Каждый дифрагированный пучок должен был бы представлять неко торую долю частицы. Если поставить две фотопластинки на пути двух дифрагированных пучков, то мы должны прийти к заключению, что каждая фотопластинка примет лишь часть частицы (например, электрона), а это есть нарушение атомизма микрочастиц, приводящее такое понимание волн де Бройля к резкому противоречию с опытом. Действительно, микрочастица действует всегда как целое, и обнаруживается в приборе вся микрочастица, а не её доля. В нашем случае электрон попал бы на один из приборов (фотопластинку). Таким образом, представление о микрочастице как об одной из волн де Бройля противоречит атомизму и должно быть отвергнуто.

Нельзя также допустить, что сами волны являются образованиями микрочастиц. Опыт показывает, что дифракционная картина не зависит от интенсивности пучка, а следовательно, и от плотности микрочастиц в единице объёма. Этот факт убеждает, что каждый электрон дифрагирует независимо, поэтому существование волновых явлений нельзя связывать с наличием одновременно большого числа микрочастиц. Заметим, что волновые явления сопутствуют движению электрона в атоме, где говорить о большом числе частиц не приходится.

Правильное понимание сути волн де Бройля было найдено М. Борном. Для уяснения представим себе дифракцию электронов.

При малом числе частиц каждый электрон обнаружится в каком-либо месте фотопластинки, а общая будет похожа на мишень с редкими попаданиями. При большом же числе электронов выявляется закономерность в распределении электронов, целиком отвечающая распределению интенсивностей при дифракции волн.

Такое поведение микрочастиц привело М. Борна к статистическому толкованию волн де Бройля, сочетающими атомизм с волновыми явлениями. Согласно Борну - интенсивность волн де Бройля в каком-либо месте пространства пропорциональна вероятности обнаружить микрочастицу в этом месте. В таком понимании волны де Бройля уже не имеют ничего общего с волнами классической физики. Во всех классических волнах значение амплитуды определяет физическое состояние - если амплитуда колебаний возрастает в одном месте в два раза больше, чем в другом, то это значит, что в четыре раза возрастает энергия колебаний и другие физические состояния среды.

В случае волн де Бройля интенсивности определяют вероятности локации микрочастиц. Поэтому важно лишь отношение интенсивностей в различных частях пространства. Поэтому если в одном случае интенсивность волн де Бройля вдвое больше, то физическое состояние частицы одно и то же, так как при таком увеличении амплитуды волн отношения интенсивностей остаётся неизменным.

Волны де Бройля дают таким образом статистическое описание движения частицы: они определяют вероятность обнаружения (локализации) микрочастицы в данном месте пространства в данный момент времени.

2.2 Вероятность местоположения микрочастицы

Сформулируем математически статистическую суть волн де Бройля, используя слово "волны" весьма условно. Только в очень специальных случаях состояние частицы может быть описано простыми плоскими волнами. В общем случае то, что мы называем волнами де Бройля, может представлять сложную функцию времени и координат частицы, но и для таких случаев мы будем использовать термин волновая функция и обозначать её ш

.

Принимаем, что вероятность местонахождения частицы определяется интенсивностью волны, то есть квадратом амплитуды ш . Так как ш может быть комплексной величиной, а вероятность должна быть всегда действительной и положительной, мы будем брать за меру интенсивности квадрат модуля ш

.

Вероятность найти микрочастицу в окрестностях точки (x,y,z) зависит от размеров выбираемой области. Рассмотрим б(есконечно малый объём , в котором функцию ш можно считать постоянной, а поэтому вероятность найти частицу пропорциональна этому объёму Можно записать

.

- вероятность найти микрочастицу в объёме . Определим плотность вероятности

Тогда вероятность найти микрочастицу в объёме V в момент времени t равна

.

Если интегрирование выполнить по всему объёму (), то получим вероятность того, что частица где-то есть, то есть вероятность достоверного события, которая равна единице:

.

Последнее равенство есть условие нормировки, а удовлетворяющая этому условию функция называется нормированной. Нормировка может быть невыполнимой, если интеграл расходится, то есть функция квадратично не интегрируема.. В реальных условиях частица всегда находится в ограниченном пространстве, поэтому вероятность её найти есть, так что функция должна быть интегрируема. Однако в ряде случаев необходимо использовать некоторые математические идеализации, которые ведут к неинтегрируемым функциям. Простым примером является плоская волна , для которой . Это значит, что одинаково вероятно найти частицу в любом месте пространства. Нормировать к единице в этом случае нельзя. Второе замечание относится к зависимости от времени. Нормировка имеет смысл постольку, поскольку она остаётся верной во времени, то есть равенство единице должно иметь силу для всех моментов времени (нельзя сравнивать вероятности, относящиеся к различным моментам времени). Рассмотрение проблемы привело к доказательству, что нормировка не меняется, то есть интеграл нормировки не завит от времени.

2.3 Принцип суперпозиции состояний

В заданных физических условиях частица находится в различных состояниях в зависимости от способа, которым она в эти условия попала. Для свободной частицы в отсутствие воздействия внешних сил могут иметь место состояния, различающиеся как величиной, так и направлением импульсов. Каждое из этих состояний может быть реализовано само по себе. Однако существуют и более сложные случаи. Например, дифракция (опыт Дэвиссона и Джермера), когда падающий пучок разбивается на систему дифрагированных пучков. После взаимодействия с кристаллом движение проходит опять-таки в пустом пространстве, но имеется уже целая совокупность волн де Бройля, отличающихся друг от друга направлениями.

Направляя на кристалл пучок определённой длины волны под углом и, мы не можем получить какую-либо из дифрагированных волн, а получаем сразу всю совокупность этих волн (вместе с падающей), находящихся к тому же в определённых фазовых отношениях и поэтому способных к интерференции. Вся эта совокупность волн есть единое волновое пространство и изображается одной волновой функцией . Однако такое волновое поле есть сумма простых волн де Бройля, каждая из которых сама по себе может описывать возможное состояние движущейся частицы в пустом пространстве. В этом можно убедиться, если выделить из всего волнового поля один из дифрагированных пучков и затем вторично подвергнуть его дифракции.

Таким образом, состояние, возникающее при дифракции частиц на поверхности металла, есть суперпозиция (наложение) состояний свободных движений, описываемых простыми волнами де Бройля. Этот случай является частным проявлением общего принципа суперпозиции состояний, составляющего одну из основ квантовой механики. Этот принцип формулируется так: если квантово-механическая система способна находиться в состоянии, описываемом волновой функцией , и в другом состоянии - , то она может находиться и в состоянии, изображаемом волновой функцией

,

где и - произвольные (в том числе и комплексные) числа, определяющие амплитуды и фазы частных состояний и .Чтобы истолковать это утверждение физически, обратимся к опыту прохождения электрона через две щели (рис. 9).

Рис.9

Если оставить открытой только щель 1, то распределение вероятностей найти электрон в различных точках экрана имеет вид кривой а. Если была бы открыта только щель 2, то распределение осталось бы таким же, но смещённым вниз на расстояние, равное расстоянию между щелями, чему соответствует кривая б. Если сложить эти вероятности, то получатся значения, которым отвечает кривая в. Экспериментальное же распределение вероятностей при двух открытых щелях (кривая г) имеет совершенно иной вид. Это истинное, подтверждённое опытом, распределение можно получить теоретически, если складывать не вероятности, а амплитуды вероятностей. Это значит, что когда открыты обе щели волновая функция должна определиться так . При переходе от амплитуд к вероятностям получаем

Где - перекрёстное (интерференционное) слагаемое, которое может быть, как положительным, так и отрицательным. В то же время это слагаемое показывает, что в отличие от частиц классических, каждая из которых могла бы пролететь только через одну из щелей (что дало бы распределение ), электроны (каждый из них) чувствуют одновременное влияние двух щелей. Происходит не интерференционное наложение различных волн электронов, прошедших через разные щели, а интерференция волн каждого электрона на обеих щелях.

Можно обобщить, что если есть ряд возможных состояний системы, отличающихся значением какой-либо величины (импульса, энергии, момента импульса и др.), которые изображаются волновыми функциями то по принципу суперпозиции возможно и сложное состояние, такое, что

Если состояния суперпозиции отличаются друг от друга бесконечно мало, вместо суммы будем иметь интеграл. Важным примером суперпозиции последнего рода является представление произвольного волнового поля в виде суперпозиции волн де Бройля

...