Элементы квантовой механики

Где

-

амплитуда волны де Бройля, имеющей импульс

Смысл амплитуд в том, что значение пропорционально вероятности обнаружить микрочастицу в состояниис импульсом

Любое волновое состояние можно рассматривать как суперпозицию волн де Бройля, то есть состояний с заданным импульсом частицы

2.4 Средние значения функций

Знание вероятности локации частицы в состоянии и вероятности импульса частицы в этом же состоянии позволяет сразу записать среднее значение любой функции от координат

и любой функции от импульса микрочастицы для состояния, изображаемого функцией Согласно определению среднего значения случайной величины имеем:

при условии

при условии

Приведённые формулы допускают важное преобразование, основанное на свойствах интеграла Фурье. Пусть и есть целые рациональные функции. Тогда формулы для средних значений могут быть переписаны в виде:

<F(x,y,z) =

=

<F(p_x,p_y,p_z) =

.

Эти формулы означают, что аргументы функции F надо заменить символами дифференцирования по указанным аргументам, умножить на ±i и выполнить операцию дифференцирования над стоящей позади функцией. Например, для вычисления среднего значения компоненты импульса р_х поступаем так: следовательно



Или

Для волны де Бройля

получаем

Так какединственная составляющая, то

2.5 Статистические ансамбли

В квантовой области нельзя повторить любой опыт на одной и той же микрочастице. Поэтому для воспроизведения большого числа (>>1) одинаковых (тождественных) опытов необходимо представить себе большое число частиц (или систем) , которые независимо друг от друга находятся в одинаковых макроскопических условиях. Такой набор микрочастиц (или систем) называют квантовым ансамблем частиц.

Если макроскопические условия таковы что они полностью определяют состояния микрочастиц, то состояние таких частиц может быть охарактеризовано одной волновой функцией. Сам ансамбль в этом случае есть чистый ансамбль. Зная функцию , можно вычислить вероятность не только для координат и импульсов, но и вообще найти вероятности для того или иного результата измерения любой механической величины, свойственной данной микрочастице или системе.

Надо заметить, что состояние микрочастицы, характеризуемое волновой функцией , следует понимать, как принадлежность частицы (системы) к определённому чистому ансамблю.

В действительности часто встречаются случаи, когда ансамбль содержит микрочастицы в различных состояниях, описываемых функциями При этом заданы вероятности каждого из этих состояний. Такой ансамбль называется смешанным. Величины указывают вероятность встретить в смешанном ансамбле чистые ансамбли, характеризуемые соответствующими функциями .

Отметим одно существенное различие чистого и смешанного ансамблей. Из одних и тех же волновых функций может быть образован как чистый, так и смешанный ансамбль. Действительно, если даны частные состояния то из них может быть образована функция как суперпозиция этих состояний, которая описывает чистый ансамбль:

.

В суперпозицию частные состояния входят с определёнными фазами и амплитудами (С другой стороны, если известно, что система может находиться в состоянии с вероятностью , в состоянии с вероятностью и т.д., то мы имеем дело со смешанным ансамблем, для характеристики которого нужно иметь два ряда величин

……

……..

Вычислим теперь вероятность того, что частица находится в точке х . В случае чистого ансамбля получим для плотности вероятности

В смешанном же ансамбле эта вероятность должна быть вычислена так: вероятность того, что частица находится в точке х, будучи в состоянии , есть ; вероятность же находиться в состоянии есть . Поэтому вероятность этого сложного события будет , а полная плотность вероятности равна

.

Видим, что в чистом ансамбле имеет место интерференция отдельных частных состояний, а в смешанном ансамбле её нет. Это различие аналогично сложению когерентного и некогерентного света: в чистом ансамбле складываются амплитуды, в смешанном - интенсивности.

2.6 Соотношение неопределённостей

В квантовом ансамбле микрочастица может иметь различные импульсы и координаты, но если ансамбль классический, то в нём всегда могут быть выделены подансамбли с определёнными импульсами и координатами. Однако такое разложение квантового ансамбля невозможно из-за другого взаимоотношения между локусом частицы и её импульсом. Будем основываться на опытах по дифракции микрочастиц. Основной вывод этих опытов - формула де Бройля Если под л понимать именно длину волны, то она не может быть функцией координаты х. Выражение "длина волны в точке х равна л" не имеет никакого смысла, ибо по определению л есть характеристика синусоидальной волны, неограниченной в пространстве. есть "функция" формы волны, а не координаты точки. Поэтому в формуле де Бройля правая часть не может быть функцией координаты. Следовательно, не может быть функцией координат и левая часть, то есть импульс р.

Таким образом, если верно соотношение де Бройля, то импульс микрочастицы не может быть функцией координаты х. В области микромира фраза "импульс микрочастицы в точке х равен р" не имеет смысла. Поэтому в квантовой механике нет таких ансамблей, в которых импульс и координата имели бы определённые значения.

В теории волн доказано, что протяжённость в пространстве пакета волн обратно пропорциональна разбросу волнового вектора плоских волн, из которых этот паке т составлен, то есть . Для волн де Бройля , следовательно

.

Последняя формула и есть соотношение неопределённостей. Смысл величин и следующий: если измерять координаты микрочастицы, состояние которой описывается группой волн де Бройля, то в момент времени t среднее значение результатов измерения координат будет <x> = (dщ/dk)dt. Значения же отдельных измерений будут разбросаны около <x> в интервале ±Дх. Величина есть неопределённость в значении координата х. Аналогично есть неопределённость в значении импульса р. Именно поэтому появилось название соотношение неопределённостей (Гейзенберга).

Соотношение неопределённостей соответствует тем парам величин, которые в классической формулировке механики считаются сопряжёнными:

- символ Кронекера; = 1, если ;= 0, если .

Понятия классической механики применимы с тем большей точностью, чем больше масса частицы. Принцип соответствия: при переходе к пределу законы квантовой механики переходят в законы классической физики. Благодаря этому можно установить связь между определёнными величинами квантовой механики и классической механики.

Следовательно, состояние квантовой системы описывается меньшим числом величин в сравнении с описанием классической системы, то есть является менее подробным, поскольку в квантовой механике координаты и импульсы (скорости) не определяются одновременно. Поэтому классическое описание достаточно для предсказания движения механической системы во времени совершенно точно, описание же в квантовой механике не может быть достаточным для этого. Поэтому квантовая механика определяет лишь вероятности получения тех или иных результатов при измерении и ожидаемое среднее значение какого-либо результата в ряду этих измерений. Таким образом, квантовой механике внутренне присуща статистическая природа.



3. Изображение механических величин операторами

3.1 Описание состояния системы в квантовой механике

Одним из главных положений в любой теории является способ описания состояний. Значение классической механики Ньютона в значительной степени заключается в том, что Ньютон первым понял: состояние систем материальных точек в любой момент полностью определяется значениями их координат и импульсов. Зная эти величины в момент , можно определить эволюцию системы под влиянием известных сил во все следующие моменты времени.

Невозможность описания состояний микрообъектов методами классической механики очевидны хотя бы из соотношения неопределённостей: микрочастица не имеет определённого импульса в фиксированной точке. В квантовой механике состояние микрообъектов описывается по-новому - с помощью волновой функции.

Описание состояний в микромире должно быть вероятностным. Поэтому утверждение, что волновая функция описывает состояние квантовой системы, означает, что эта функция позволяет определить вероятности для всех физических величин, характеризующих систему. Отметим два важных положения:

- описания состояний в классической и квантовой механиках существенно различны. Координаты и импульсы классической частицы сами являются непосредственно измеримыми величинами. Волновая же функция не может быть измерена непосредственно, хотя выражаемые через неё физические величины являются объектами экспериментального исследования.

- второе положение касается эволюции состояния квантовой. системы во времени. По своему смыслу состояние системы в некоторый момент должно однозначно определять, как при данных физических условиях она (система) будет развиваться в будущем. В классической механике при заданных координатах и импульсах частицы в некоторый момент (начальные условия) и известных действующих на частицу силах можно определить состояние этой частицы в любой следующий момент, то есть имеет место полный детерминизм. В квантовой механике такое детерминистское описание эволюции системы невозможно: здесь причинно-следственные связи проявляются в том, что задание волновой функции, вероятностно описывающей квантовую систему в некоторый момент , должна однозначно определять волновую функцию в следующие моменты при условии, что известны воздействия.

Укажем некоторые общие требования, которым всегда должна удовлетворять функция Математически эти требования определяют, что и сами волновые функции, и их первые производные по всем переменным, от которых они зависят, были конечными и непрерывными, то есть не испытывали конечных изменений (скачков) при бесконечно малых изменениях этих переменных. Эти требования следуют, как можно показать, из условия сохранения числа частиц, то есть из факта, что производная по времени от нормировочного условия равна нулю. Кроме того, волновая функция должна быть однозначной функцией своих аргументов.

3.2 Математический аппарат квантовой механики

Соотношение неопределённостей находит своё отражение и в формальной стороне квантовой теории: математический аппарат квантовой механики резко отличается от такового в классической механике, в которой задание пары величин импульс-координата имеет полный смысл. Более общий математический принцип был сформулирован П.Дираком и состоит в том, что каждой квантово-механической величине ставится в соответствие некоторый оператор, причём между операторами имеется точно такая же связь, как и между физическими оригиналами.

Независимо от конкретного вида под оператором понимается символ, показывающий, каким способом каждой их рассматриваемого класса функций сопоставляется другая функция . Символически это записывается как умножение:

.

Из всего разнообразия операторов для изображения механических величин в квантовой механике используется только определённый класс операторов - линейные самосопряжённые (эрмитовы) операторы.

1.Оператор является линейным, если он обладает таким свойством:

где - произвольные функции, С₁, С₂ - произвольные коэффициенты.

Ясно, что не есть линейный оператор, а - линейный.

Ограничение линейными операторами следует из принципа суперпозиции состояний.

Свойство линейности означает, что применение оператора к суперпозиции двух функций и равно суперпозиции результатов применения этого же оператора к каждой из функций порознь, то есть выполняется требование, что использование операторов не нарушает принципа суперпозиции.

2. Линейный оператор есть самосопряжённый, если имеет место равенство:

Значение условия самосопряжённости состоит в том, что только подчиняющиеся этому условию операторы могут изображать вещественные (не мнимые) величины.

3. Коммутативные свойства операторов возникают из-за того, что произведение операторов зависит от порядка множителей. Под произведением операторов и подразумевается такой оператор , что

,

то есть сначала действуем оператором на функцию , а затем оператором - на полученный результат. Если тот же конечный результат может быть достигнут действием оператора , то этот оператор и есть произведение операторов и . Существенно, что произведение операторов зависит от порядка множителей: если

,

то операторы и являются переставимыми (коммутирующими). Если же

,

то эти операторы некоммутирующие. Оператор

называется коммутатором операторов и .

4. Операторное уравнение можно представить в виде Оно означает, что действие оператора на функцию равнозначно умножению её на некоторое число Если такое равенство выполняется, то есть собственная функция оператора , а - его собственное значение. Конкретному оператору соответствует определённое множество собственных функций и собственных значений. Совокупность собственных значений представляет спектр собственных значений, который может быть непрерывным и дискретным. При дискретном спектре имеет место квантовая задача, а само операторное уравнение имеет вид

Целые числа , нумерующие функцию и число , называются квантовыми числами. Бывают случаи, когда одно и то же соответствует нескольким функциям , то есть соответствует , в этом случае собственное значение называется вырожденным, а целое число- кратностью вырождения.

5. Основные свойства собственных функций :

- собственные функции и самосопряжённого оператора , принадлежащие различным собственным значениям и , ортогональны между собой, то есть

где интеграл взят по всей области изменения переменных (для простоты все переменные обозначены одной буквой х);

- математически доказано, что система собственных функций операторов очень широкого класса является системой полной. Это значит, что любую функцию , определённую в той же области переменных и подчинённую тому же классу граничных условий, что и собственные функции , можно представить в виде ряда из этих собственных функций

Используя ортогональность функций , можно найти коэффициенты С_n при известных собственных функциях и функции , и таким образом найти ряд, представляющий . Смысл коэффициентов заключается в том, что квадрат модуля пропорционален выпадения при измерениях того или иного собственного значения оператора. Формула для , определяющая через собственные функции оператора, выражает принцип суперпозиции состояний.

3.3 Квантово-механические операторы

- оператор координаты частицы х есть само число х. Действие функции координат как оператора сводится просто к умножению волновой функции на функцию ;

- возьмём выражение для волны де Бройля в простейшем случае (свободно движущаяся частица в отсутствие внешних воздействий)

легко получается (при А=1)

К такому уравнению пришёл Дирак и предложил использовать его как базовое операторное уравнение, в котором собственное значение оператора равно . Можно показать, что

и

.

Оператор для полного импульса

- под моментом импульса МИ (моментом количества движения) в классической механике понимают векторное произведение радиуса-вектора на импульс

.

В квантовой механике момент импульса изображается оператором , где теперь векторный оператор импульса. Можно определить операторы проекций момента импульса на оси координат

Оператор квадрата момента импульса имеет вид

Определено, что операторы компонент МИ не коммутируют между собой. Напротив, каждая из компонент МИ коммутирует с квадратом момента импульса , то есть

.

В квантовой механике каждому оператору соответствует определённая физическая величина, которая хотя бы в принципе может быть измерена. Доказано, что две величины, изображаемые коммутирующими операторами, могут одновременно иметь определённые значения и поэтому, по крайней мере, в принципе могут быть измерены одновременно. Две величины, изображаемые некоммутирующими операторами, не могут одновременно иметь определённых значений и поэтому не могут быть измерены в одно и то же время.

Из этих правил следует, что проекции момента импульса М_х, М_у и М_z не могут быть измерены одновременно, но любая из них в отдельности может быть измерена одновременно с квадратом полного момента импульса М² .

- оператор кинетической энергии . Опыт показывает, что кинетическая энергия микрочастицы связана с импульсом так же, как и для макротел, то есть

.

Уравнение для собственных функций оператора таково Оно удовлетворяется функцией в виде плоской волны де Бройля

Эта же функция есть собственная функция операторов импульса, так что кинетическая энергия

одновременно измерима с импульсами (естественно, оператор и каждый с ним в отдельности оператор коммутируют между собой).

Оператор может быть записан в любой системе координат, в частности в полярной системе имеем

Следовательно, можно констатировать

Если преобразовать выражения для составляющих момента импульса в полярную систему координат, воспользовавшись соотношениями

то можно получить следующие формулы

.

Так как записанные операторы воздействуют только на углы и то волновую функцию для них достаточно рассматривать в зависимости лишь от этих углов, то есть

Учитывая выражение для , следует записать

- оператор полной энергии . Заметим сперва, что оператор потенциальной энергии есть просто функция координат . В классической механике полная энергия равна сумме потенциальной и кинетической энергий. Подобным образом и в квантовой механике оператор, изображающий полную энергию, есть сумма операторов кинетической и потенциальной энергий

Вид потенциальной энергии заимствуется из опыта и характеризует световое поле, воздействующее на микрочастицу. Заметим, что в квантовой механике нельзя сказать, что полная энергия есть сумма кинетической и потенциальной энергий: энергия кинетическая есть функция импульсов, а потенциальная - функция координат. Однако не существует квантовых ансамблей, в которых микрочастица имела бы одновременно определённые импульс и координаты. Поэтому нельзя измерить полную энергию частицы, измеряя порознь её кинетическую и потенциальную энергии.

Полная энергия должна измеряться непосредственно как одно целое. Полную энергию, выраженную через координаты и импульс, в классической механике называют функцией Гамильтона, поэтому оператор называют оператором функции Гамильтона или просто гамильтонианом.

Если воздействовать оператором на функцию , то получим операторное уравнение Функция безразмерна, следовательно величина Н должна быть энергией Е, то есть или

.

Последнее равенство есть операторное уравнение Шредингера. Оно может быть переписано в более развёрнутом виде

.

Для одномерного случая имеем

3.4 Уравнение шредингера

Пусть в какой-либо момент времени дана волновая функция . С её помощью можно вычислить вероятности результатов измерения различных механических величин для момента В этом смысле волновая функция определяет состояние микрочастицы для

Если мы намерены провести измерения в момент то состояние микрочастицы изменится и будет соответствовать функции Речь идёт об изменении состояния исключительно из-за движения микрочастицы самой по себе. Каким образом в этом случае связаны функции и

Так как волновая функция полностью характеризует чистый ансамбль, она должна определять и его дальнейшее развитие - это принцип причинности в применении к квантовой механике. Математически это значит, что из функции однозначно должна определяться функция в более поздние моменты времени.

Рассмотрим функцию в момент времени , бесконечно близкий к нулю. Тогда можно представить

Согласно сказанному, величина должна определяться из функции , то есть

где - некоторая операция, которую надо провести над .

Так как момент взят произвольно, то можно обобщить

Вид оператора , который можно назвать оператором смещения во времени, не может быть определён из изложенных выше положений квантовой механики и поэтому должен быть постулирован.

Согласно принципу суперпозиции оператор должен быть линейным. Он не может содержать ни производных, ни интегралов по времени, а может содержать время лишь как параметр.

Правильный выбор оператора подсказывается рассмотрением свободного движения с определённым значением импульса. Волновая функция в этом случае есть волна де Бройля:

Непосредственная подстановка показывает, что эта волна удовлетворяет уравнению

или ,

Если под

разуметь гамильтониан для свободно движущейся микрочастицы

В квантовой механике этот частный случай обобщается, так что оператор смещения всегда равен В соответствии с этим постулатом имеем

Последнее выражение есть уравнение Шредингера. Его особенность - наличие мнимой единицы перед производной , благодаря чему уравнение может иметь периодические решения.

СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ. При отсутствии внешних переменных полей гамильтониан не зависит от времени и совпадает с оператором полной энергии В этом случае уравнение Шредингера имеет важные решения, которые получаются путём разделения переменных и t, то есть

Подстановка даёт

После деления всех частей на произведение получаем

Интегрирование последнего уравнения даёт

.

Второе уравнение совпадает с уравнением для собственных функций оператора энергии . Если обозначить эти функции , а собственные значения (рассматриваем случай дискретного спектра), то окончательное решение становится таковым

Отсюда следует, что состояния с определённым значением энергии гармонически зависят от времени с частотой Это решение распространяет соотношение де Бройля, применявшееся ранее к случаю свободного движения, на любые системы.

Состояния с определёнными значениями энергии называют стационарными. В свою очередь, уравнение называют уравнением Шредингера для стационарных состояний. В силу линейности исходного уравнения его общее решение может быть представлено как суперпозиция стационарных состояний с произвольными, но постоянными амплитудами:

Амплитуды определяются через начальную функцию , так как в силу ортогональности функций имеем

В стационарных состояниях вероятность местоположения микрочастицы не зависит от времени. В этих состояниях средняя плотность электрических зарядов и средняя плотность электрических токов не зависят от времени. Таким образом, система, находящаяся в состоянии с определённой энергией , с электрической точки зрения есть система статически распределённых зарядов и постоянных токов.

Заметим, что в стационарных состояниях вероятность нахождения какого-нибудь значения L любой механической величины (не зависящей явно от времени) не зависит от времени. Вместе с тем и среднее значение является постоянным.

ПРОИЗВОДНЫЕ ОПЕРАТОРОВ ВО ВРЕМЕНИ. Уравнение

Шредингера позволяет установить простые правила вычисления изменения среднего значения той или иной механической величины за бесконечно малый промежуток времени, то есть вычислить производные во времени от среднего значения некоторой величины L.

Физический смысл этой производной таков. Пусть в момент t состояние частицы описывается функцией , при измерении L мы получим результаты Среднее значение будет которое вычисляется по формуле

В момент

получим новую серию результатов, среднее значение которых будет другое, так как за время состояние изменится и изменятся вероятности получения данных.

Пусть средний результат измерений в момент есть тогда

Вычислим эту производную. Дифференцирование предыдущей формулы даёт

.

Первое слагаемое есть среднее значение величины и оно равно нулю, если L не зависит от времени.

Два других слагаемых упростим, учитывая уравнение Шредингера, а именно

и .

Подставляя эти выражения в выражение для , получим

Обозначая и ,

на основе свойства самосопряжённости получим

Подстановка даёт

Введём обозначение квантовой скобки Пуассона

,

после чего можно записать

.

Таким образом, производная по времени от среднего значения <L> есть среднее от некоторой величины, изображаемой оператором Этот оператор принимаем за оператор производной по времени от величины изображаемой оператором

Это определение оператора, изображающего производную по времени ведёт к тому, что

то есть производная по времени от среднего равна среднему от производной по времени.

Если величина не зависит от времени явно , то формулы упрощаются

Импульсы и координаты есть величины, не зависящие явно от времени. Поэтому операторы производных этих величин по времени выражаются просто через квантовые скобки, то есть в конечном счёте через операторы самих этих величин и гамильтониан , характеризующий рассматриваемую механическую систему.

Искомые операторные уравнения имеют вид:

; ;

; ; .

Представленные уравнения называются квантовыми уравнениями Гамильтона. Рассмотрим случай, когда гамильтониан имеет вид

.

Считая волновую функцию функцией координат и времени t, имеем следующие выражения для операторов

; ; ; ; ; .

Подстановка операторов в квантовые скобки и использование правил перестановки операторов даёт результаты:

; ; .

Таким образом, оператор скорости равен оператору импульса, делённому на массу микрочастицы. Найдём теперь оператор а именно

=

что следует из правила перестановки

.

Следовательно

;

; .

Частные производные по координатам есть операторы проекций силы, так что

; ; .

Если вычислить среднее значение от величины и т.д. в каком-нибудь состоянии , то на основании вышеизложенного получим:

; .

Иначе говоря, производная по времени от средней координаты равна среднему импульсу, делённому на массу микрочастицы; производная от среднего импульса по времени равна средней силе В раскрытой форме это представляется так:

; .

Последние соотношения называются теоремами Эренфеста.

Продифференцируем уравнение

по t :

Полученное соотношение есть квантовое уравнение Ньютона.



4. Простейшие задачи квантовой механики

ДВИЖЕНИЕ СВОБОДНОЙ ЧАСТИЦЫ. Свободная частица - частица, движущаяся в отсутствие внешних полей, - наиболее простая физическая система. Для упрощения задачи расположим ось х вдоль направления движения. Тогда стационарное уравнение Шредингера запишется так

(потенциальная энергия свободной частицы постоянна и её можно принять равной нулю: Уравнение Шредингера можно представить в виде

.

Прямой подстановкой можно показать, что частным решением уравнения Шредингера является функция

с собственным значением энергии

.

Функция



представляет собой координатную часть волновой функции , поэтому полная волновая функция изобразится в виде

и . Функция представляет собой плоскую монохроматическую волну де Бройля.

Из выражения для Е следует, что зависимость энергии от импульса оказывается обычной для нерелятивистских частиц. Энергия свободной частицы может принимать любые значения (так как волновое число k может принимать любые положительные значения), то есть энергетический спектр свободной частицы есть непрерывный спектр.

Решение соответствует статической интерпретации волновой функции и соотношению неопределённостей. В самом деле, так как из соотношения следует, что при точном значении импульса неопределённость координаты равна бесконечности (, то есть все положения частицы являются равновероятными. С другой стороны, величина рассматривается как плотность вероятности, то есть мера вероятности нахождения частицы в момент времени t в окрестности точки пространства. Эта величина в случае плоской волны равна а именно не зависит ни от времени, ни от координат; следовательно, все положения свободной частицы в пространстве равновероятными.

ЧАСТИЦА В ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ. Потенциальная яма есть первое приближение силового поля, связывающего электроны в атоме, а также атомы в кристаллической решётке.

Мы рассмотрим движение частицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками, потенциальная энергия в которой имеет вид

при и ;при где - ширина ямы, а энергия отсчитывается от её дна (рис.1.10). Функция

Рис. 10

частицы зависит только от координаты х, поэтому стационарное уравнение Шредингера имеет вид

.

Частица за пределы ямы не проникает, то есть в областях и , а из условия непрерывности следует, что и на границах ямыВ пределах самой ямы уравнение Шредингера сведётся к уравнению

где

.

Общее решение уравнения имеет вид:

Так как , то В=0 и тогда

Условию удовлетворяет равенство , n - любое целое число, кроме нуля ( при n=0 имеем тривиальное решение 0).

Из выражений для k² и k получим, что собственные значения энергии частицы

то есть спектр энергии частицы является дискретным (или квантованным). Квантованные значения E_n называют уровнями энергии, а число n, их определяющее, - квантовым числом.

Собственные функции задачи получаются подстановкой выражения для k :

а коэффициент А находится из условия нормировки и равен . Тогда нормированные собственные функции

, ( n = 1, 2, 3, …).

Из формулы для E_n следует, что существует для частицы в яме минимальная, не равная нулю энергия

соответствующая основному состоянию частицы. Волновая функция основного состояния

.

Наличие ненулевой минимальной энергии противоречит классической механике и не противоречит соотношению неопределённостей. Действительно, частица "зажата" в области, на границах которой U> ?, поэтому её положение известно с неопределённостью Дх ? l . Тогда согласно соотношению неопределённостей, неопределённость импульса . Таким образом, энергия никогда не может быть равна нулю, поскольку это потребовало бы выполнения условия . Состояние с энергией Е₁ называют основным состоянием, а остальные состояния - возбуждёнными.

Рис. 11

На рис.1.11 изображены уровни энергии частицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Здесь же представлены для n = 1, 2, 3 собственные функции и плотности вероятности нахождения частицы на различных расстояниях от стенок ямы, равные . Из рисунка следует, что ,например, в состоянии с n = 2 частица не может находиться в центре ямы, в то время как одинаково часто может пребывать в её левой и правой частях (заметим, что классическая частица с равной вероятностью может находиться в любой точке ямы). Такое поведение частицы указывает на несостоятельность представлений о траектории частиц в квантовой механике.

Отметим, что задача о частице в одномерной прямоугольной яме с бесконечно высокими стенками является физически мало реальной, но тем не менее есть очень простая иллюстрация сути дискретных уровней энергии в теории Шредингера.

ЛИНЕЙНЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР. Линейный (одномерный) гармонический осциллятор - система, совершающая одномерное движение под действием квазиупругой силы. Задача о гармоническом осцилляторе в квантовой теории играет фундаментальную роль по двум причинам: 1) она встречается во всех задачах, где имеют место квантованные колебания (например, в квантовой теории поля, в теории молекулярных и кристаллических колебаний и т.д.); 2)проблемы, относящиеся к указанному осциллятору, - хорошая иллюстрация принципов и формализма квантовой механики.

Потенциальная энергия линейного гармонического осциллятора определяется так

где m - масса частицы, щ₀ - собственная частота колебаний осциллятора, х - отклонение от положения равновесия. Зависимость U от х имеет вид квадратичной параболы (рис. 12), то есть потенциальная яма в данном случае параболическая.

Оператор Гамильтона для осциллятора в квантовой теории имеет вид

Рис. 12

Записав стационарное уравнение Шредингера в операторной форме и учитывая выражение для , придём к уравнению Шредингера для гармонического осциллятора

где Е - полная энергия осциллятора.

Опуская подробное решение волнового уравнения, приведём лишь собственные функции и собственные значения. Собственные функции линейного гармонического осциллятора

где - полином Чебышева-Эрмита n-го порядка:

.

Собственные функции нормированы так, что

.

Нормированные волновые функции стационарных состояний квантового осциллятора:

(n = 0),

(n = 1),

(n = 2).

Анализируя эти функции, видим, что функция ш₀ вообще не обращается в нуль (кроме х = ± ?), функция ш₁ обращается в нуль при х = 0. Точка, в которой функция обращается в нуль, называется узлом. Функция ш₂ обращается в нуль при х = ±а, то есть имеет два узла. Таким образом, квантовое число определяет число узлов собственной волновой функции.

Зависимости ш_n имеют более сложную форму по сравнению со случаем прямоугольной ямы с бесконечно высокими стенками; ш_n не обращаются в нуль на границах области и число пересечений с осью 0х волновой функции (число узлов) увеличивается с ростом n.

В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнение для гармонического осциллятора имеет однозначные, конечные и непрерывные решения при собственных значениях

(n = 0, 1, 2, …).

Это значит, что энергия квантового осциллятора может иметь лишь дискретные значения, то есть квантуется. Необходимо ответить на вопрос, как возникает квантование энергии в данном случае, если система не имеет границ, на которых волновая функция обращалась бы в нуль (подобно прямоугольной яме). Оказывается, что при движении частицы в параболической яме граничные условия сводятся к требованию, чтобы волновая функция стремилась к нулю на бесконечности.

Очевидно, что уровни энергии Е_n расположены на равных расстояниях друг от друга (на рис. 12 они изображены горизонтальными прямыми), а именно: расстояние между соседними уровнями энергии равно , причём минимальное значение энергии . Следовательно, энергия гармонического осциллятора не может обращаться в нуль (конечно, при щ₀ ? 0), в то время как в классической теории энергия основного состояния - состояния покоя - равна нулю. Существование минимальной энергии (энергия нулевых колебаний является) типичной для квантовых систем и представляет собой прямое следствие соотношения неопределённостей.

Наличие нулевых колебаний означает, что частица не может находиться на дне потенциальной ямы, причём независимо от её формы. В самом деле, "падение частицы на дно ямы" связано с обращением в нуль импульса частицы, а в месте с тем и его становится сколь угодно большой, что противоречит, в свою очередь, пребыванию частицы в потенциальной яме.

Плотность вероятности обнаружить частицу на оси х даётся квадратом модуля волновой функции. На рис.12 представлены кривые распределения плотности вероятности для различных состояний квантового осциллятора (для n = 0, 1, 2). В точках А и Аґ, В и Вґ, С и Сґ потенциальная энергия равна полной энергии (U = E), причём, как известно, классический осциллятор не может выйти за пределы этих точек. Для квантового осциллятора и за пределами этих точек имеет конечные значения. Это означает, в свою очередь, что имеется конечная, хотя и небольшая, вероятность обнаружить частицу за пределами потенциальной ямы. Этот результат не противоречит выводам квантовой механики, поскольку равенство в квантовой механике не имеет смысла, поскольку кинетическая и потенциальная энергии не являются одновременно измеримыми величинами.

ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ ПОРОГ. Рассмотрим движение частицы в поле сил, которое может быть представлено в виде прямоугольного одномерного потенциального порога. Положим, что на границах областей 1 и 2 в точке х = 0 потенциальная энергия изменяется скачком (рис.13).

Рис.13

Рассматриваемый порог описывается потенциальной энергией вида

при

при

Ограничимся случаем, когда частица движется в положительном направлении оси х. Уравнение Шредингера для стационарных состояний частицы

.

Случай 1: E > U. По классической теории поведение частицы однозначно: в области 1 частица движется как свободная (кинетическая энергия частицы Т₁ равна её полной энергии Е), затем она беспрепятственно пройдёт над порогом, двигаясь, однако, с меньшей кинетической энергией Т₂ = Е - U₀ , а следовательно, и с меньшей скоростью.

В квантовой теории имеем уравнения:

для области 1

или

для области 2

или .

Общие решения этих уравнений известны:

В решениях exp(ikx) соответствует плоской волне, распространяющейся в положительном направлении оси х (падающей волне), а exp(-ikx) - плоской волне, движущейся в отрицательном направлении оси х (отражённой волне).

В области 1 есть и падающая, и отражённая волны, поэтому

(для простоты приняли А₁ = 1).

В области 2 есть только прошедшая в положительном направлении оси х волна, поэтому надо принять В₂ = 0, тогда

.

Чтобы функции и их первые производные были непрерывными, необходимо, чтобы на границе областей 1и 2 (х = 0) они плавно переходили друг в друга (без скачка), то есть должно быть

Эти условия равносильны равенствам

1 + В₁ = А₂ , k₁ - k₁B₁ = k₂A₂,

Откуда

,

Введём коэффициенты отражения R и прозрачности D, которые равны соответственно отношению плотности потока отражённых () и прошедших (n₂) частиц к плотности потока частиц падающих (n₁). Учитывая, что (формулы приводятся без вывода)

находим

Из этих выражений следует (как и в оптике)

Коэффициент R следует понимать как вероятность отражения на границе областей, а D - как вероятность преодоления потенциального порога.

Итак, выводы квантовой механики следующие: в случае Е > U₀ волна частично отражается (коэффициент В₁ отличен от нуля) и частично проходит в область 2. В области 2 длина волны де Бройля больше, чем в области 1: при E > U₀ k₁ > k₂, поэтому

Случай 2: Е < U₀ . По классической теории, частица не сможет преодолеть потенциального порога, так как при этом условии (потенциальная энергия больше полной) энергия кинетическая в области 2 должна бы быть отрицательной (что невозможно), а скорость - мнимой. Поэтому частица отразится от порога, изменив направление движения на обратное.

В квантовой теории в случае E < U₀ уравнение Шредингера принимает вид: для области 1

для области 2

(.

Решения обоих уравнений известны, а именно:

.

Из последнего уравнения следует при , что противоречит требованию конечности функции при всех значениях х. Поэтому надо принять А₂ = 0. Тогда

.

Найдём коэффициент отражения, который в этом случае равен

.

Воспользовавшись условиями непрерывности волновых функций и их первых производных на границе областей, получим

, .

Из последней формулы следует

.

Далее можно получить

,

.

Следовательно, коэффициент отражения

.

Таким образом, при E > U₀ коэффициент отражения равен 1.

Вероятность найти частицу на единице длины

,

То есть квантовая механика приводит к заключению, что в случае Е > U₀, хотя и наблюдается явление полного отражения, имеется отличная от нуля вероятность найти частицу в области 2. В отличие от классического случая микрочастица благодаря своим волновым свойствам может проникать в области, запрещённые для классических частиц.

ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР. Рассмотрим движение частицы в поле сил, которое имеет вид прямоугольного одномерного потенциального барьера конечной ширины l и высоты U₀ [U₀ = 0 (x < 0, x > l); U₀ = U₀ (0 ? x ? l)] . Считаем, что частица движется в положительном направлении оси х (рис.14).

Рис. 14

Случай 1: Е > 0. По классической теории, частица преодолеет барьер и попадёт в область 3, где продолжит движение с той же энергией, а значит, и с той же скоростью, что и в области 1 ( в области 2 скорость частицы меньше, так как здесь

T₂ = E - U₀ ).

Для квантовой частицы уравнение Шредингера для стационарных состояний примет вид:

в областях 1,3

или

,

в области 2

или

.

Общие решения уравнений для трёх областей:

,

,

.

Если в областях 1 и 2 есть и падающая, и отражённая волны, то в области 3 есть лишь прошедшая сквозь барьер волна. Поэтому надо принять В₃ = 0, так что

.

Из условий непрерывности функций и их производных на границах областей можно найти связь между коэффициентами А_2, А₃, В₁ и В₂, откуда в принципе легко вычисляются коэффициенты отражения и прозрачности.

Выводы квантовой механики: в случае Е > U₀ волна на границе 1 и 2 частично отражается и частично проходит в область 2, затем на границе 2 и 3 вновь частично отражается и частично проходит в область 3.

Случай 2: Е <U₀. По классической теории частица не может преодолеть барьера, в результате чего полностью отразится, изменив напрвление движения на противоположное.

Для квантово-механического рассмотрения запишем стационарные уравнения Шредингера:

для областей 1 и 3

или

,

для области 2

или

.

Общие решения уравнений для трёх областей:

,

,

.

.

Поскольку в области 3 есть только волна, прошедшая сквозь барьер, следует коэффициент В₃ приравнять нулю и тогда

.

Решение для ш₂(х) уже не соответствует плоским волнам, распространяющимся в обе стороны, поскольку показатели экспонент действительные, и теперь нельзя отбрасывать экспоненциально возрастающее решение из-за конечности области c U₀ > E.

Условия непрерывности функции и её первой производной в точках х = 0 и х = 1 приводят к равенствам

A₁ + B₁ = A₂ + B₂, ik(A₁ - B₁) = в(A₂ - B₂),

A₂e^вl + B₂e^-вl = A₃e^ikl, в(A₂e^вl - B₂e^-вl),

из которых можно получить

, .

Когда вl " 1 (показатели экспонент сильно изменяются от одной границы барьера к другой), тогда В₂ " А₂. Значит, на границе потенциального барьера (х = 0) определяющим членом волновой функции является член, содержащий В₂e^-вx.

Таким образом, квантовая механика приводит к принципиально специфическому квантовому явлению, получившему название туннельного эффекта, при котором микрообъект может пройти сквозь потенциальный барьер.

Для описания туннельного эффекта используется коэффициент прозрачности D потенциального барьера. Можно показать, что

.

В более развёрнутом виде коэффициент D записывается

,

где D₀ - постоянный множитель, который в соответствии с точными расчётами не очень отличается от единицы.

Туннельное прохождение сквозь потенциальный барьер лежит в основе многих явлений твёрдого тела (например, явления в контактном слое на границе двух полупроводников), атомной и ядерной физики (например, Ь - распад, протекание термоядерных реакций).

КВАНТОВАНИЕ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА. Операторы и действуют только на углы и и ц в полярной системе координат, поэтому волновую функцию в этих случаях достаточно рассматривать в зависимости лишь от этих углов, то есть ш = f(и,ц).

Уравнение для определения собственных значений оператора есть Подставляя сюда выражение

,

получим

Это уравнение нужно решить для всей области переменных и,ц (0 - р, 0 - 2р), причём истинные значения должны быть конечными, непрерывными и однозначными. Уравнение хорошо известно - это уравнение для шаровых функций. Решение шаровых уравнений выполняется разделением переменных: Подстановка выражения для ш в уравнение приводит к разделению переменных, если положить

,

Откуда

.

Чтобы было однозначной функцией, необходимо, чтобы m было целым числом, то есть m = 0, ±1, ±2,…

Решения уравнения существуют при значениях л = l(l+1), где l - целое положительное число. При каждом значении l имеется (2l + 1) решений, которые являются шаровыми функциями и обозначаются так:

,

где l = 1, 2, 3, …;

m = 0, ±1, ±2, …, ±l; P_l - полином Лежандра.

Поскольку уравнение имеет однозначные и конечные решения лишь при

л = l(l + 1),

то собственные значения оператора будут

; l = 1, 2, 3, …

а соответствующие собственные функции

m = 0, ±1, ±2, …, ±l .

Собственному значению принадлежат всего (2l + 1) собственных функций, отличающихся значением числа m. Таким образом, мы имеем случай вырождения. Суть этого вырождения можно понять из факта, что собственные функции оператора есть также собственные функции оператора проекции момента импульса на ось z . В самом деле, уравнение для собственных функций оператора есть причём , так что если сюда подставить выражение для и учесть, что зависимость по углу ц определяется множителем exp(imц), то можно найти

,

То есть уравнение удовлетворяется функцией , причём собственные значения оператора равны , m = 0, ±1, ±2, …, ±l .

Отсюда следует, что состояния при заданном полном моменте (дано l), различающиеся индексом m, есть состояния с различными проекциями момента импульса на ось 0z.

Полученный результат показывает, что возможные значения абсолютной величины для момента импульса и возможные значения проекции момента импульса на произвольную ось 0z имеют квантовые значения. Никакие другие значения, кроме приведённых, не могут быть реализованы в природе. В состояниях, в которых и имеют определённые значения, проекции и не имеют определённых значений (кроме случая l = 0). Действительно, собственные функции не есть собственные функции операторов и , в чём можно убедиться прямой подстановкой. Это же заключение следует из некоммутативности операторов и с оператором .

Разумеется, что возможные значения проекций М_х и М_у такие же, как и проекции М_z , так как направление оси 0z ничем не выделено, то есть за полярную ось может быть принята и каждая из осей 0х и 0у. Поэтому, если измерять значения М_х или М_у , то всегда получим одно из значений (m = 0, ±1, ±2, …, ±l), но при этом возникает новое состояние с определённым значением, скажем, М_х . Это состояние будет состоянием с неопределёнными значениями М_у и М_z , то есть одновременные измерения компонент момента импульса взаимно исключаются.

Рис. 15

Квантование проекции момента импульса означает, что вектор квантового момента импульса не может иметь произвольного направления по отношению к любому зафиксированному направлению в пространстве (рис. 16). Этот факт получил название пространственного квантования. Он выглядит крайне необычно: поскольку направление оси 0z можно выбрать произвольно, то проекции момента импульса на два различных направления квантуются одинаково. Возможные значения проекций момента импульса на оси 0х и 0у тоже определяются как . Оказывается,

что это не приводит к противоречиям, так как одновременно любая пара проекций (М_хМ_у , М_zM_y и т.д.) не может иметь точных фиксированных значений. Этот факт следует из соотношения неопределённостей (операторы проекций не коммутируют). Таким образом, момент импульса не имеет определённого направления в пространстве. В этом смысле рис. 15 является условным. При фиксированном значении проекции момента импульса на ось 0z вектор момента как бы прецессирует вокруг этой оси, из-за чего проекции М_х и М_у не имеют определённых значений.

ДВИЖЕНИЕ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ. Поле центральной силы характеризуется тем, что потенциальная энергия в таком поле зависит лишь от расстояния r от некоторого силового центра.

...