Направлений рух солітонів у низькорозмірних системах

Обидва ці стани є інверсійно-симетричними відносно їхніх центрів. Перший з них є нестійким, а другий - стійким. В цьому ж пункті вводиться концепція потенціалу Пайєрлса-Набарро (ПН). В п. 3.1.3. обговорюються динамічні властивості солітонів, зокрема проблема існування рухливих топологічних солітонів, що розповсюджуються з постійними формою та швидкістю, тобто задовольняють умові біжучої хвилі

u_n(t)=u(n-st)=u(z), z=n-st, (20)

та монотонно зростають або спадають при |z|> ?. В п. 3.1.3.1 описано запропонований у праці [12] метод, який дозволяє побудувати дискретну систему, що має розв'язком наперед задану монотонну функцію u(z). Було показано, що для будь-якої монотонної та аналітичної на ]-?,+?[ функції u(z) з асимптотикою u(z>?)>1 можна побудувати дискретне рівняння Клейна-Гордона (18) з двоямним потенціалом V(u), так, що ця функція буде рухливим кінковим розв'язком даного рівняння. Було розглянуто рівняння (20) з потенціалом

Рис. 4. Залежність амплітуди осциляцій в асимптотиці рухливого кінка від його швидкості для рівняння (20) з потенціалом V(u) (22).

розв'язком якого є u(z)=tanh(?z). Чисельно шляхом мінімізації потенціальної енергії ланцюжка було встановлено, що відповідні стани (19) з різною симетрією при s=0 в (21) мають різну енергію, тобто потенціал ПН відмінний від нуля. При ?=1 вищезазначена функція є точним розв'язком рівняння з параметрами ?= ln(1+v2), s=1/[v2 ln(1+v2)]?0.802278. Було знайдено чисельно розв'язoк (20) рівняння (18) з потенціалом (21) та побудовано залежність амплітуди коливань в хвості солітона A від його швидкості (див. Рис. 4). При досягненні значення s=1/[v2 ln(1+v2)] крива A(s) перетинає вісь А=0, а при відхиленні від нього монотонний розв'язок ``обростає'' осциляціями. Таким чином, можна стверджувати, що неосцилюючі рухливі кінки не утворюють однопараметричного сімейства, a існують для виділених значень швидкості. Збурений потенціал V(u) дасть подібні розв'язки, але з трохи зміщеною кривою на Рис. 4. Отже, рухливий розв'язок з монотонною асимптотикою є структурно стійким, тобто, існує подібний розв'язок з монотонною асимптотикою для трохи зміненого рівняння руху. Формально поклавши s=0 в одержаному оберненим методом потенціалі V(u) одержується модель, потенціал ПН тотожньо якої дорівнює нулю. В п. 3.1.3.2 коротко описано метод топологічної дискретизації (J.M. Speight // Nonlinearity. - 1997. - Vol. 10, P. 1615), що дозволяє отримувати такі дискретизації континуальних польових рівнянь, що не мають потенціалу ПН.

В підрозділі 3.2 досліджено модель ланцюжка взаємодіючих диполів з фіксованими центрами мас, динаміка якого описується рівнянням (17) при r_n=const, E=0, ?=0, T=0. Встановлено, що це рівняння є частинним випадком дискретизованого за допомогою топологічної дискретизації континуального рівняння синус-Гордон (СГ),

із сталою дискретизації h=v12. Було досліджено даний ланцюжок на предмет можливості існування рухливих топологічних солітонів типу біжуча хвиля (20) з монотонною асимптотикою. За допомогою псевдоспектрального методу знайдено розв'язки рівняння (22) та визначено амплітуду осциляцій далеко від центру солітона як функцію швидкості солітона, A=A(s). Встановлено, що амплітуда асимптотичних коливань зменшується із зменшенням s, проте дорівнює нулю лише при s=0, принаймні в межах обчислювальної точності. Таким чином, незважаючи на факт відсутності потенціалу ПН, не існує монотонних рухливих топологічних солітонів типу біжуча хвиля (20).

В підрозділі 3.3 розглядається однокомпонентна модель ланцюжка водневих зв'язків та динаміка солітонних розв'язків цієї моделі. Водневими зв'язками є взаємодії, що зв'язують дві молекули або два іони, наприклад атому O, N, F, або Cl, або взагалі будь-якої гідроксильної групи яку можна позначити літерою X, через іон водню (протон) H⁺, формуючи a воднево-зв'язаний міст X-H...X [(-) позначає ковалентний зв'язок, а (...) - водневий]. Протон зв'язується з кожним X^- йoном через пару йoн-протонних потенціалів взаємодії стандартного типу (Moрса, Лeннaрда-Джoнса, та ін.) з рівноважною відстанню r₀, і цей потенціал обов'язково повинен мати скінчену енергію коли відстань X ... H прямує до безмежності. Молекулярний механізм провідності вздовж водневого зв'язку полягає в розпоширенні йонного дефекту, коли додатковий протон передається в межах мосту, при цьому змінюючи ролі ковалентного та водневого зв'язків в сусідніх групах X. Цей топологічний дефект несе протон вздовж ланцюжка і має властивості солітона. В п. 3.3.1 описано гамільтоніан моделі, який у безрозмірному вигляді записується як

В цій формулі ?=K_p l²/?_? - безрозмірна стала протон-протонного зв'язку (a K_p, відповідно, розмірна), ?_??- висота бар'єру протонного потенціалу у водневому зв'язку, l -- рівноважна відстань між важкими йонами. Безрозмірне відхилення протона вводиться як u_nu_n/l, а безрозмірний час як t t/t₀, де t₀= l(?_??/m_p)^-1/2, m_p - маса протона. Міжзв'язковий протонний потенціал V(u) формується як суперпозиція двох йон-протонних взаємодій i виглядає як симетрична двоямна функція з мінімумами в u=a тa максимумом u=0.

Рис. 5. Залежність енергії кінка від сталої зв'язку при ?=.

Рис. 6. Залежність енергії кінка від сталої зв'язку при ?=20

Стала ? контролює форму потенціалу, при чому при ?=0 він набуває форми потенціалу моделі ??⁴: V(u)=[(1-(u/a)²]², а при ?= його ями стають безмежно вузькими, стінки в прямують до безмежності і V(u)=1 при -a<u<a. В п. 3.3.2 розглянуто точнорозв'язувану границю ?=, в якій всі стаціонарні (анти)кінкові стани можна виписати аналітично, записати енергію кожного із (анти)кінкових станів з m частинками на бар'єрі: E_m(?)=m+2?a²/(m+1) (див. Рис. 5) та значення ?, при яких E_m(?)=E_m+1(?) частинками на бар'єрі співпадають: ?_m=(m+1)(m+2)/(2a²). Явище співпадіння енергії кінків з сусідніми значеннями m при ?=?_m називається перемиканням стійкості. B п. 3.3.3 досліджуються кінкові стаціонарні стани для скінчених значень ?. Встановлено, що перехід від нескінченних до скінчених ? супроводжується втратою стійкості частиною стаціонарних станів та деформацією залежностей E=E(?), як показано на Рис. 5-6. Одержані статичні кінки, які складаються з монотонних симетричних, тобто таких, що задовольняють одній з умов (19), криві 1,2,4 на Рис. 6, монотонних асиметричних (криві 3,5 на Рис. 6), що є проміжковими між монотонними симетричними та немонотонних, завжди нестійких (криві 6-8), саме в них перетворюються розв'язки з m2. Штрихові лінії відповідають нестійким станам, а суцільні - стійким. Наближені вирази для стаціонарних кінків різного типу наведено в п. 3.3.4, також розраховано їхні енергії, зокрема монотонних симетричних: E_m(?)=m+2?a²/1+m tanh(?/2), cosh?=V''(0)/2?. Аналітично знайдені значення ?_m при яких відбуваються перемикання стійкостей добре співпадають з розрахованими чисельно при ??15. В п.3.3.5 досліджено властивості потенціалу ПН, зокрема в його поведінку в околі значення ?_m. Встановлено, що після втрати стійкості однієї з попередньо стійких

конфігурацій (19) потенціал ПН втрачає свою звичну форму (один мінімум та один максимум впродовж одного періоду) і у нього з'являється локальний мінімум на місці максимуму. Подальше збільшення ? призводить до перетворення локального мінімуму в глобальний - таким чином період потенціалу зменшується вдвічі і обидва симетричні кінкові стани стають стійкими. При подальшому збільшенні ? мінімум, який до перемикання стійкості був глобальним, стає локальним. Було також розраховано залежність висоти потенціалу ПН від ?: в околі значень параметрів, при яких відбувається перемикання стійкості ця висота зменшується на два порядки. В п. 3.3.6 досліджено властивості рухливих солітонів, зокрема встановлено існування монотонних рухливих кінків типу біжуча хвиля (20), які утворюють дискретний набір швидкостей. Кількість цих значень швидкості зростає із збільшенням ? або ?. Залежності цих швидкостей від ? та ? мають зростаючий характер. B п. 3.3.7 розглядався ефект депінінгу тобто відриву від положення стійкої рівноваги та переходу до рівномірного руху солітона за наявності дисипації та зовнішньої сталої сили. Як відомо, наявність дисипації якісно змінює динаміку топологічних солітонів у ланцюжках: можливими атракторами є або непорушні солітони або такі, що рухаються зі сталою швидкістю. При прикладенні зовнішньої сили після подолання достатньо малого порогу F_c coлітон переходить до поступального руху. Побудовано залежність швидкості солітона від сили F та встановлено, що характер цієї залежності в околі депінінгу має вигляд s(F)=s₀+(F-F_c)^? , зокрема ?=0.591 та ?=0.551 при ??0.02.

Двокомпонентний ланцюжок водневих зв'язків, в якому допускається також рух важких йонів, було розглянуто в підрозділі 3.4. Гамільтоніан такого ланцюжка, що містить мінімальну кількість взаємодій, необхідних для самоузгодженого врахування йонної компоненти, визначено в п. 3.4.1 i він має наступний вигляд:

де q_n та Q_n - безрозмірні відхилення протона від серединного положення між n-им та (n+1)им йонами та важкого йона від його положення рівноваги, відповідно; ? - безрозмірна маса важкого йона, нормована до маси протона. Сталі взаємодії у безрозмірному записі мають вигляд: ?_p, ?_i - сталі протон-протонної та іон-іонної взаємодій, відповідно, ?_o - жорсткість вузлового потенціалу, що стабілізує положення йонної підґратки. Також в цьому підрозділі одержано рівняння руху двокомпонентної моделі та закон дисперсії лінійних хвиль. Розглянуто два конкретних випадки: (i) модель 2CO: важкі йони не взаємодіють між собою, але присутній зовнішній вузловий потенціал (?_o?0, ?_i=0), (іі) модель 2CA відповідає ситуації ?_o=0, ?_i?0. В п. 3.4.2 було досліджено властивості стаціонарних кінкових та антикінкових станів, зокрема обговорено порушення симетрії кінк-антикінк. В той час як в однокомпонентній моделі кінки та антикінки пов'язані один з одним симетрією інверсії відносно центру відповідного збудження і усі їхні характеристики співпадають, то у двокомпонентній моделі це вже не так внаслідок того, що стиснення та розтяг для ланцюжка проявляються по різному, оскільки рівняння руху є нелінійними відносно координат важких йонів, Q_n. Зокрема, в моделі 2CO кінки є набагато ширшими від антикінків, а внаслідок присутності вузлового потенціалу асимптотика зміщень важких йонів задовольняє Q_n > 0 при ? ?. В моделі 2CA ширина кінків та антикінків відрізняється несуттєво, а розподіл Q_n є спадаючою залежністю в обидвох випадках. В п. 3.4.3 досліджено явище перемикання симетрій в моделі 2CO, та встановлено, що внаслідок порушення симетрії кінк-антикінк воно для цих станів відбувається по-різному: при вивченні залежностей енергії антикінка та кінка від сталої протон-протонної взаємодії помітно, що для антикінка перемикання настає при менших значеннях ?_p, ніж для кінків. Окрім того, якісний характер залежностей Е=Е(?_p) для одно- та двокомпонентної моделей є подібним, в тому числі і утворення асиметричних та немонотонних розв'язків. В п. 3.4.4 те саме було встановлено для моделі 2CO. В п. 3.4.5 досліджено вплив дисипації та зовнішнього електричного поля на динаміку двохкомпонентних топологічних солітонів. Рух важких іонів суттєво знижує рухливість топологічних солітонів у порівнянні з однокомпонентною моделлю. Oдержані залежності швидкості солітона від величини поля свідчать про те, що депінінг солітона відбувається при набагато більших значеннях F_c, ніж це було для однокомпонентної моделі. Окрім того, криві s=s(F) проходять набагато нижче ніж аналогічні криві в п. 3.3.6. В п. 3.4.6. обговорено можливість проявлення явища перемикання стійкостей в заповнених водою вуглецевих нанотрубках.

У підрозділі 3.5 містяться висновки та обговорення одержаних результатів.

У ЧЕТВЕРТОМУ РОЗДІЛІ досліджуються топологічні солітони в джозефсонівських контактах. Підрозділ 4.1 має вступний характер, в ньому даються визначення ефектів Джозефсона, зокрема в п. 4.1.1 обговорюються властивості точкового джозефсонівського контакту як динамічної системи. В п. 4.1.2 виводиться збурене рівняння синус-Гордон (СГ), що описує динаміку довгого джозефсонівського контакту, враховує наявність домішок та зовнішнього струму, і, в обезрозміренoму вигляді (по простору до джозефсонівської глибини проникнення та по часу до оберненої джозефсонівської плазменної частоти) записується як

Тут ???(x,t)?- різниця фаз макроскопічних хвильових функцій, які описують надпровідники, що утворюють контакт, ?(t)=?₀+E(t) - зовнішній (можливо змінний) струм, що подається на контакт, ? - параметр дисипації, викликаної струмом звичайних електронів та ?_n - амплітуда n-ої домішки (?_n <0 для мікрорезистора та ?_n >0 для мікрозакоротки), a_n - її координата. Також в цьому пункті наводяться рівняння солітонної теорії збурень. В п. 4.1.3. виводиться рівняння ДСГ що описує динаміку масиву паралельно зашунтованих контактів Джозефсона.

У підрозділі 4.2 розглядається динаміка солітона в довгому однорідному джозефсонівському контакті, що знаходиться під дією зовнішнього змінного струму та описується збуреним рівнянням СГ

де E(t)=E(t+T), E(t)_t=0. В п. 4.2.2 описується симетрійний підхід, що дає можливість встановити необхідні умови направленого руху топологічних солітонів. Ідея цього підходу близька до аналогічного підходу для частинок, описаного y підрозділі 1.2 і полягає у порушенні усіх симетрій, що перетворюють солітон із швидкістю v y coлітон із швидкістю -v, і в той же час не змінює його топологічний заряд. Для незбуреного рівняння (??0,E(t)=0) СГ існує дві такі симетрії:

S₁: x > -x+x', t > t + T/2, ? > -? + 2?, S₂: t > -x+t', x > x + x',

У випадку прикладення збурення умовою виконання симетрії S₁ є виконання рівності

E(t)=-E(t+T/2), (27)

в той час як симетрія S₂ виконується якщо існує таке t', що виконується рівність

E(-t+t')=E(t). (28)

Наявність дисипації (?>0) автоматично знищує симетрію S₂, a для порушення S₁ було запропоновано наступний вибір змінного струму:

E(t)=E₁ cos (?t)+E₂ cos(m?t+?), m =2,3,... (29)

Рівність (27) порушується завжди для парних m (при E₂?0) i завжди виконується для непарних m>1. Рівність (28) порушується при парних m та B п. 4.2.3 одержано направлений рух топологічних солітонів як чисельно шляхом інтегрування рівняння (26), так і аналітично, методом солітонної теорії збурень. Було встановлено, що кінк та антикінк рухаються з протилежними за знаком та однаковими модулем швидкостями. Teopiя збурень в першому порядку для m=2 за умови Е_j<<(?²+(j?)²)^1/2, j=1,2 дає наступне співвідношення для середньої швидкості солітона

Подібні розрахунки для m=3 дають v=0. Таким чином, підтверджується симетрійний підхід, оскільки при E₂?0, m=2 завжди порушується симетрія S₁, бо порушується рівність (27), а при m=3 ця рівність виконується, отже має місце симетрія S₁. За відсутності дисипації при m=2, ????? відновлюватися симетрія S₂, тому занулюється v (бо ?_? 0 при ?0), оскільки при цих значеннях E(t) задовольняє умові (28). В п. 4.2.4 досліджувалась залежність середньої швидкості солітона v від параметрів системи. Було чисельно підтверджено кубічну залежність v від амплітуди змінного струму при малих амплітудах. Проаналізовано залежність v від частоти зовнішнього струму. Було встановлено, що найвищої швидкості направлений рух досягає в адіабатичному режимі, при ?0. При зростанні ? середня швидкість спадає, хоча і не монотонним чином, і на частотах ?1 вона зменшується на два порядки порівняно із адіабатичним значенням. Таким чином, кінк не встигає реагувати на швидкі осциляції E(t). Цікаві ефекти відбуваються в околі плазмової частоти, ?1, та ?0.5. При E_1,2<E_c, де E_c - деяке критичне значення, спостерігаються максимуми залежності max _{q [0,2?]} v (?) в околі зазначених частот. При цьому форма солітона при різних значеннях ? якісно не відрізняється. При перевищенні критичного значення E_c утворюється зв'язаний стан солітона і плазмона з осцилюючою асимптотикою на |x|, спочатку в околі плазменної частоти ?=1, а при більшому значенні E_1,2 - також в околі ??0.5. Taким чином можна говорити про резонансне (оскільки відбувається на половинній та основній плазмовій частоті) зв'язування солітона з плазмонами. Це явище є нелінійним за амплітудою періодичного збурення, оскільки відбувається при досягненні певних критичних значень E_1,2. Формула (30) не описує адекватно залежність середньої швидкості солітона від ?? поза областю малих частот, оскільки в ній не враховано осциляції солітонних ``xвостів'' на |x|. Асимптотичні значення ?(x,t) можна представити як суперпозицію кінка та незалежних від координати коливань ?(t): ?(x,t)=??₀(x,t)+?(t). Одержане наближення краще відтворює чисельні результати, в тому числі резонансний пік при половині плазмової частоти. В п. 4.2.5 здійснено порівняння вищенаведеної теорії з експериментальними дослідженнями довгого кільцевого джозефсонівського контакту [24. Направлений рух солітона в такому контакті проявляється через присутність ненульового падіння напруги на контакті, яке пропорційне середній швидкості солітона та обернено пропорційне його довжині: V=2?v/L. Чисельні та аналітичні розрахунки вольт-амперних характеристик (ВАХ) контакту співпадають із експериментальними.

У підрозділі 4.3 досліджується проходження солітона в довгому контакті Джозефсона з N рівновіддаленими домішками в присутності постійного зовнішнього струму ?? Динаміка соліона описується збуреним рівнянням СГ (25). Використовуючи солітонну теорію збурень МакЛафліна-Скотта можна перейти від рівняння в частинних похідних до системи двох звичайних диференційних рівнянь для пари змінних (X,v), що описують еволюцію центру мас солітона та його швидкості. Рух солітона досліджується у нескінченному контакті. Якщо знехтувати релятивістськими ефектами (v<<1), то динаміка солітона буде описуватися як динаміка класичної частинки, маса якої дорівнює 8, що рухається в певному ефективному потенціалі, створеному домішками:

де a - відстань між домішками. Такий запис дозволяє здійснювати якісний аналіз динаміки солітона. Випадок однієї домішки широко досліджений в літературі, залежність середньої швидкості солітона має гістерезисний характер. Існує два принципових значення ??: ?_c та ?_thr, ?_c???_thr. Якщо ????_c, то захоплення солітона домішкою неможливе і єдиним атрактором є поступальний рух солітона з x=- до x=+, набуваючи на безмежності рівноважної швидкості v=(1+(?????))^-1/2. В інтервалі ?_thr<???_c співіснує два атрактори: один відповідає захопленню солітона на домішці, інший - рівномірному руху. При ????_thr незалежно від початкових умов солітон захоплюється домішкою. Величина називається критичним струмом закріплення і є мінімальним струмом, який допускає проходження солітона. Можна встановити граничну поведінку ?_thr :

яка випливає з того, що амплітуди зібраних в одну точку домішок додаються, а взаємодія з сильно віддаленими домішками визначається найсильнішою домішкою. В п. 4.3.2 обговорюється проходження солітона через систему з двох послідовно розташованих мікрозакороток. Не складно помітити, що при a > 0 солітон відчуває їх як одну домішку з амплітудою ?=?_?+?_?. В протилежному випадку, коли a>?, солітон взаємодіє з кожною домішкою окремо. В проміжковій ситуації відбувається відносне зниження висоти бар'єру потенціалу U(X), який солітон повинен подолати. Оскільки півширина функції cosh^-2(X) приблизно дорівнює 1, то слід очікувати мінімуму залежності ?_thr=?_thr (a) при a_r ~ 2. Дійсно, відбувається заниження критичного струму закріплення за умови ?_?>?₁, причому резонансне значення дорівнює, зокрема, a_r=1.94 при ?₁=0.4,???_?=0.6 та a_r=2.24 при ?_?=0.3, ?_?=0.7. У випадку ?₁>?₂ проходження повністю визначається взаємодією з домішкою, що стоїть першою на шляху солітона. Результати, одержані за допомогою теорії збурень було підтверджено шляхом інтегрування рівняння СГ (25). В п. 4.3.3 розглянуто проходження солітона через два мікрорезистори. Подібно до випадку проходження через мікрозакоротки, висота ефективного бар'єру, який необхідно подолати солітону для успішного проходження, знижується, що призводить до резонансної залежності критичного струму закріплення від відстані між мікрорезисторами. Аналогічно до випадку двох мікрозакороток, спостерігається певний мінімум функції ?_thr=?_thr (a). Але це відбувається за умови ?₁>?₂.

У підрозділі 4.4 розглядається направлений рух солітона в масиві паралельно зашунтованих контактів Джозефсона під дією зовнішнього змінного струму з нульовим середнім. В п. 4.4.1 наводиться рівняння, що описує динаміку джозефсонівських фаз на n-ому контакті масиву і є рівнянням ДСГ з дисипацією та зовнішнім періодичним збуренням E(t) що описує вплив зовнішнього змінного струму:

Тут безрозмірний параметр ? обернено пропорційний кореню індуктивності елементарної комірки масиву і є мірою його дискретності. Можна наближено вважати дискретний солітон частинкою i його динаміка буде описуватися колективними координатами: положенням центру мас X(t) та швидкістю v(t)=dX(t)/dt. В межах цього підходу рівняння руху для центру мас солітона має вигляд

де V_PN(X)=V_PN(X+1), V'_PN(X) sin (2?X) - потенціал ПН, a ?(t) E(t) - ефективне зовнішнє поле, що діє на ``частинку''. В процесі отримання даного рівняння покладалося, що швидкість кінка достатньо мала (|dX/dt|<<1). Найтиповішими (принаймні, при ??1) атракторами рівняння ДСГ (31) та його наближення (32), що відповідають рухові солітона, є синхронізованими з частотою зовнішнього збурення граничними циклам. На цих атракторах середня швидкість солітона дорівнює

v = dX/dt = (k/l) (?/2?? , k,l =0,±1, ±2,... . (33)

Це означає, що солітон проходить k вузлів впродовж часу lT=2?l/? таким чином, що окрім зсуву в просторі профіль солітона повністю відтворюється через цей проміжок часу. B подальшому ці режими називатимемо рeзoнaнсами. Можливий також хаотичний рух солітона, коли траєкторія руху має випадковий характер. В п. 4.4.2 застосовано симетрійний підхід до аналізу рівнянь руху. Оскільки рівняння (32) є частинним випадком рівняння (1) з розділу 1.2, то симетрійний аналіз рівняння (32) вже повністю викладено в даному розділі. Якщо порівняти симетрії S_1,2 рівняння ДСГ (31) з аналогічними симетріями континуального рівняння (26), то нескладно помітити їхню схожість, при чому одна з цих симетрій (S₁) відповідає інверсії в просторі, а інша (S₂) - оберненню часу. Симетрія S₁ для рівняння (31) відрізняється від свого континуального аналога тим, що фіксування топологічного заряду вже включено до нього. Вірність симетрійного підходу було перевірено шляхом чисельного інтегрування рівняння (31) та розрахунку середньої швидкості на відповідному атракторі, при чому зовнішній струм брався у формі (29). Таким чином, при m=2 симетрію S₁ завжди порушено (якщо E₂?0), в границі ? > 0 відновлюється симетрія S₂ при ?=0,±?? Оскільки динаміка солітона синхронізована із частотою зовнішнього струму згідно з (33), то залежності v від параметрів набувають кусково-неперервного вигляду. Тому відновлення S₂ на залежності v=v(?) (див. Рис. 7) проявляється у поступовому зсуві центру інтервалу, де v=0 від ?=±??? до ?=0,±? при зменшенні ?. В пп. 4.4.3-4 досліджено процес депінінгу, залежність ефекту від амплітуди та параметру дискретності. На відміну від направленого руху континуальних топологічних солітонів, для яких v(E_1,2)E₁²E₂, що означає існування ефекту для будь-якого нескінченно малого значення амплітуди, для рівняння ДСГ ця залежність має порогове значення, до досягнення якого солітон захоплений ланцюжком, причому збільшення ? призводить до зменшення цього порогу та наближення залежності v(E₁) до гладкої форми. Ця залежність має сходинкоподібний характер, і подібна за своєю структурою до так званих чортових сходинок або канторової функції, які виникають в низці задач нелінійної динаміки. Механізм депінінгу солітона наступний: мале відхилення від порогового значення призводить до руху солітона, який може бути або xaoтичним переміжного типу, або періодичним з певними числами обертання, або квазіперіодичним. При подальшому збільшенні E₁ динаміка кінка перемикається між вищезазначеними режимами. В режимі переміжності динаміка кінка непередбачуваним чином перемикається між двома граничними циклами. При зменшенні ? частка регулярних режимів руху зменшується, а хаотичних дифузійного типу збільшується. Відмінність між переміжними та дифузійними режимами полягає у тому, що в переміжній динаміці рух відбувається весь час в один бік, а хаотичність міститься у випадковості перемикання між різними режимами, в той час як в дифузійному режимі солітон здійснює випадкові стрибки вперед і назад, проте в середньому рух відбувається в певному напрямку. Наявність хаотичних динамічних режимів було підтверджено побудовою відповідних перерізів Пуанкаре для скінченого масиву контактів з періодичними граничними умовами.

Рис. 7. Залежність середньої швидкості солітона від зсуву ?? при m=2, ?=1, ?=0.35, E₁=E₂=0.2, ??0.05 (a)????0.2 (b)????0.5 (c)??Підписи в дужках вказують на числа обертання до відповідних резонансів.

У підрозділі 4.5 наводяться висновки та обговорення одержаних результатів.

У П'ЯТОМУ РОЗДІЛІ було розглянуто динаміку дискретних бризерів у ланцюжках джозефсонівських контактів та в класичних феромагнітних ланцюжках. В підрозділі 5.1 дається визначення дискретного бризера як періодичного в часі та локалізованого в просторі розв'язку, що існує в ангармонічному скінченому або нескінченному ланцюжку з гамільтоніаном H({u_n},{p_n}), формулюються необхідні умови його існування, що полягають у відсутності резонансів частоти бризера з лінійним спектром ланцюжка та його вищими гармоніками. Визначається концепція т.зв. антиконтинуальної границі, яка полягає у зануленні взаємодії між частинками, збудженні декількох з них з нерезонансною частотою та продовженні такого розв'язку на область ненульових взаємодій. Якщо збуджена періодична орбіта для окремої частинки є ангармонічною (в змінних дія-кут (I,?), частота періодичної орбіти навколо стійкого основного стану дорівнює ?=dE/dI (E - енергія частинки), i динамічна еволюція відповідної кутової змінної задається рівнянням d?/dt=?(I). Якщо періодична орбіта з дією I₀ є ангармонічною якщо d?(I₀)/dI?0, то таке продовження можливе. Лінійна стійкість бризерних розв'язків досліджується методом Флоке, що полягає у лінеаризації рівнянь руху навколо бризерної періодичної орбіти та визначенні власних значень матриці Флоке (т.зв. множники Флоке), що вказують на напрямок розвитку нестійкості бризера. Якщо рівняння руху інваріантні відносно зсуву u_n>u_n+???то можуть існувати ротобризери, якщо для усіх n вони задовольняють співвідношенню u_n(t)= u_n(t+T_b)+?k_n, де k_n - деякий скінчений набір цілих чисел. Якщо усі k_n =0, то говорять про осцилобризери або просто бризери.

В підрозділі 5.2 розглядається драбинкоподібна ґратка джозефсонівських контактів, в кожній секції якої є контакт. У масиву паралельно зашунтованих контактів, що обговорювався в попередньому розділі, контакти розташовані лише на східцях ``драбинки''. Taким чином, елементарна комірка ґратки складається з трьох контактів, і якщо покласти драбинку горизонтально, їх можна називати вертикальними (їхні джозефсонівські фази позначено як ?_n^v) і верхніми та нижніми горизонтальними (?_n^h та ?_n^h, відповідно). Ґратки можуть бути або лінійними (з вільними границями), або кільцевими (з періодичними граничними умовами). Безрозмірні динамічні рівняння еволюції джозефсонівських фаз в такій ґратці виводяться із співвідношень Джозефсона для кожного контакту, законів Кірхгофа та співвідношення квантування магнітного потоку i мають вигляд трьох зв'язаних рівнянь ДСГ з дисипацією і зовнішнім струмом:

тут ?=I_cH/I_cV - параметр анізотропії (співвідношення між критичними струмами вертикального та горизонтального контактів), ?_L=1/? - безрозмірна індуктивність елементарної комірки. Якщо прибрати джозефсонівські фази горизонтальних контактів, то перше з рівнянь (34) перетвориться в уже відоме нам рівняння ДСГ (31). На кожний вертикальний контакт подається постійний зовнішній струм ?=I_B/I_cV. В п. 5.2.2 виводиться закон дисперсії малоамплітудних хвиль (плазмонів) для нескінченного ланцюжка, який складається з трьох віток, ?_?(q)<?_?1<?_?(q). Вітка ?_?1 відповідає незбудженим вертикальним контактам та коливанням у фазі горизонтальних. Вітка ?_?(q) відповідає коливанням в протифазі верхніх та нижніх горизонтальних контактів. Вітка ?_?(q) стає бездисперсійною при ?=0, a при q=0 вертикальні контакти в ній збуджуються, а горизонтальні - ні.

Експериментально спостережуваними бризерними розв'язками є ротобризерами, оскільки обертання фази спричиняє ненульове падіння напруги на відповідному контакті, отже такий бризер можна спостерігати експериментально. Таким чином бризер складається з ядра з k резистивних (?_t ?0) вертикальних контактів, декількох (одного, двох або чотирьох) резистивних горизонтальних контактів, в той час як фази решти контактів коливаються навколо положень рівноваги. На останніх середня напруга дорівнює нулю і вони знаходяться в надпровідному стані. В п. 5.2.3 здійснено класифікацію бризерів та одержано середнє падіння напруги (в межах омічного наближення) на вертикальному резистивному контакті. Існують бризери чотирьох типів: симетричні відносно дзеркального відображення верх-низ (V=k?/[?(k+?)), симетричні відносно дзеркального відображення ліво-право, iнверсійно-симетричні відносно центру бризера (для обидвох випадків V=k?/[?(k+2?)) та асиметричні, (V=k?/[?(k+3???)). Частоти усіх типів бризерів дорівнюють ??_b=V/2. В п. 5.2.4 досліджуються асимптотичні властивості бризерів шляхом лінеаризації рівнянь (34) та побудови залежності показника просторового спадання (?_n exp (-?n) при n ) від зовнішнього струму ??та частоти бризера ?_b??Внаслідок громіздкості ці вирази в авторефераті не наводяться. Величини Re? та Im? визначають відповідно просторове спадання та просторовий період осциляцій фаз у хвості бризера. Мінімуми залежностей Re?????_b???і точки перегину залежностей Im?????_b?? відповідають резонансам частоти бризера з лінійним спектром. Хоча динаміка джозефсонівських фаз у хвості бризера повністю визначається залежностями ?????_b?, зручно користуватися ?потужністю осциляцій джозефсонівської фази на крайньому вертикальному контакті P_ac=(d?_?????dt)²_t /2. При резонансі з плазмонами функція P_ac(?)

Рис. 8. Залежність P_ac(?) (a,b) та ВАХ (c) для лінійного контакту з N=10, ?=0.1, ?_L=0.5, ?=0.5. Суцільні лінії відповідають результатам, одержаним шляхом чисельного розв'язку рівнянь (34), штрихові на рис. a,b - та крапки на рис. c - результати аналітичного наближення. Штрихові вертикальні лінії на рис. c - межі зон лінійного спектру ?_±(0), ?_±(?).

повинна мати максимум. В п. 5.2.5 отримано ВАХ для лінійного масиву з N=10 вертикальних контактів для різних значень ? та ?_L. Аналіз ВАХ, здійснений в даному підрозділі свідчить, що бризер може резонувати різним чином із малоамплітудними збудженнями. Якщо лінеаризувати рівняння руху навколо бризера, то збудження на його фоні можна розділити на локалізовані та делокалізовані. Поведінка локалізованих визначається законом. Частоти локалізованих мод відрізняються від лінійного спектру і для їхнього дослідження використовувалася теорія Флоке. В роботі спостерігалися основні резонанси m?_b=?, параметричні резонанси (m+1/2)?_b=?, та комбінаційні m?_b=?₁+?_???де m - ціле, а ??? ?_1,2 - частоти мод на фоні бризера. Основні резонанси призводять до максимумів в залежності P_ac(?) та розривів на ВАХ (див. Рис. 8). Резонанси першого порядку (m=1) з ?₊ добре помітні як піки залежності P_ac(?) на Рис. 10a та як сходинки на ВАХ на Рис. 10c. Резонанси другого порядку (m=2) з тією ж віткою помітні набагато гірше на ВАХ (як невеликі коливання при V?1.7). На залежності P_ac(?) відповідні максимуми більш ніж на порядок нижчі (див. Рис. 8b) ніж для основного резонансу.

В підрозділі 5.3 розглядається феромагнітний ланцюжок класичних спінів. В п. 5.3.1 наводиться гамільтоніан такого ланцюжка відповідне дискретне рівняння Ландау-Ліфшиця (ЛЛ):

де S_n = (S_n^x,S_n^y,S_n^z)^T - класичний безрозмірний спіновий вектор, що задовольняє умові нормування (S_n^x)²+(S_n^y)²+(S_n^z)² =1, J_x,y,z > 0 - обмінні інтеграли, D - стала однойонної анізотропії. Закони дисперсії наведено в п.5.3.2. Феромагнітний ланцюжок як без однойонної анізотропії D=0, але із сильною обмінною анізотропією: 0? J_x,_y << J_z , так і при анізотропії типу легка вісь (D>0). В цьому випадку основний стан має вигляд S_n^z=±1, S_n^y=S_n^х=0. Лінеаризуючи рівняння руху навколо одного з цих основних станів, одержуємо закон дисперсії магнонів

Даний спектр зростає на інтервалі q0, і має щілину 0<?<?₀=?(0). Слід зазначити, що ця щілина присутня при D=0, якщо J_x,y<<J_z. У випадку легкoплощиннoї анізотропії (D<0) основний стан системи є виродженим і спіни можуть бути зорієнтовані в легкій площині XY довільно, залишаючись паралельними один одному. Лінеаризація рівняння ЛЛ навколо основного стану дає закон дисперсії магнонів

W--²(q)=J²(1- cos q)²+ 2J|D|(1-cos q), W_=--W(_)=_,--Wp=--W(p)=[4J(J+|D|)]1/2,--(37)

який, очевидно, є безщілинним. В п. 5.3.3 досліджуються властивості бризерів з анізотропією типу легка вісь. Частоти дискретних бризерів в таких ланцюжках знаходяться в щілині спектру (36). Для випадку D>0 та сильно анізотропного обміну (J _x,_y << J_z) антиконтинуальна границя отримується після покладення J_x=J_y=0, збудження трьох центральних спінів, так що початковий розподіл Z-компонент та частот малих коливань навколо них має наступний вигляд:

Snz=(...1,1,1,S_,1,1,1...),--wn=(...--W_,--W_,--W1,wb,--W1,--W_,--W_...),--(38)

W_=Jz(1+2D),--W1=--W_+(S_-----1)/2,--wb=Jz+2DS_.

Строгий факт існування дискретних бризерів формулюється у вигляді наступної теореми:

Tеорема. Якщо періодична орбіта гайзенбергівського гамільтоніану (35) з частотою ?_b, що задається прецесією спіну з розподілом (40) при ?{J_x,J_y}=0, є нерезонансною (k?_b ?_0,1, k - ціле) тa ангармонічною, тоді вона має локально єдине продовження з тією ж частотою ?_b для достатньо малого ?.

Рис. 9. Спінові компоненти бризера ^^ з при N=30, D=-1, ?_b=1.4 (a-c) та його динаміка (d) при J=0.1

Її доведення наведено в праці [21]. Чисельно дискретні бризери отримуються методом Ньютона, узагальненим на випадок диференціальних рівнянь. У випадку ізотропного принаймні в площині XY обміну (J_x=J_y) спіни прецесують у площині XY, отже S_n^x+iS_n^y=A_nexp(i?_bt), S_n^z=const. В цьому випадку рівняння ЛЛ зводяться до системи нелінійних алгебраїчних рівнянь. При J_x?J_y спіни прецесує за складною, видовженою в напрямку max(J_x,J_y) траєкторією, яка вже не лежить в площині. Тоді вищезгадане розділення змінних вже не працює і слід розв'язувати систему диференціальних рівнянь. Аналіз стійкості встановив, що центровані на вузлі (тобто із симетрією анзацу (38)) бризери є стійкими, в той час як центровані між вузлами є нестійкими.

Властивості дискретних бризерів у легкоплощинному феромагнетику описано у п. 5.3.4. Оскільки спектр (37) безщілинний, то бризери можуть існувати лише при ?>?_?.. Антиконтинуальна границя втілюється тривіальним покладанням J=0 та збудженням n_r спінів, які прецесують навколо важкої осі з частотою ?_b=2DS ^z (S ^z -- відповідна проекція спіну на вісь OZ). Включення ненульового обміну призведе до незначного нахилу площини прецесії початково збуджених спінів у бік осі X і прецесії з деяким малим радіусом (що спадає до нуля при |n|>?) початково незбуджених спінів, причому вони залишаються в середньому легкій площині (див. Рис. 9). Для n_r ? 2 можна конструювати бризери з різними конфігураціями в залежності від взаємної орієнтації спінів, збуджених в антиконтинуальній границі. Для класифікації цих станів використано їхній вигляд в антиконтинуальній границі. Прецесуючий спін з S_n^z>0 та S_n^z<0 позначено як ^ та v, відповідно. Opiєнтація спінів в площині XY позначається показниками ± якщо між проекціями двох сусідніх спінів на площину XY існує зсув на 180^o: ^⁺^^-. Частота бризера знаходиться в інтервалі ?_?<?_b<2|D|. Верхня межа визначається в антиконтинуальнй границі, оскільки при зростанні частоти радіус прецесії спіну зменшується і досягає нуля при S^z=1. В границі ?_b >?_? бризернi хвости стають менш локалізованими, що помітно з виразів для показників просторового спадання компонент розкладу Фур'є змінної S_n^z(t):

Проте в даній границі (як і вздовж усього інтервалу дозволених частот) якісно бризер не змінюється: спіни в його ядрі продовжують прецесувати навколо важкої осі, а площина прецесії нахиляється ближче до решти спінів, також збільшується радіус прецесії. Залежність енергії бризера від його частоти свідчить, що вона має мінімум недалеко від значення ?_? i не перевищують значення n_rJ. Існує енергетичний бар'єр, що відокремлює бризери від магнонів, а отже, дані бризерні розв'язки на мають аналогів в континуальній границі. Аналіз стійкості бризерів за допомогою теорії Флоке свідчить про те, що бризер типу ^ стійкий лише для дуже вузького інтервалу значень J [0, J_c], причому J_c 0 при N. Taкож стійкими виявилися конфігурації ^^ та ^⁺v^- , а бризери ^⁺^^- та ^v - нестійкими. Дослідження для більших значень n_r встановили, що додавання збоку паралельно прецесуючого спіну не ліквідує стійкості: наприклад, оскільки бризер v^ є стійким, ^^^ є також стійким, так само як і будь-яка конфігурація типу ^...^^ з довільним n_r>1. Подібним чином, оскільки ^⁺v^- є стійким, то стійкими є конфігурації ^⁺^⁺v^-, ^⁺^⁺^⁺v^-, ^⁺^⁺v^-v^-, ^⁺^⁺^⁺^⁺v^-, ^⁺^⁺^⁺v^-v^-, разом з усіма іншими конфігураціями, які можна отримати шляхом додавання паралельного спіну до прецесуючого кластеру. Інший клас стійких розв'язків складається із суперпозицій кластерів паралельних спінів, які в ``окремому вигляді'' (наприклад, ^^^ або vv) є стійкими бризерами: ^^vv, ^^^vv, ^^^vvv. Зауважимо, що ^^v aбo ^^^v є нестійкими оскільки бризер ^ є нестійким. Також було показано, що для однієї конфігурації при збільшенні J нестійкість настає пізніше для бризера з більшим n_r та з більшою частотою.