Направлений рух солітонів у низькорозмірних системах

В підрозділі 5.4 описано основні результати та висновки.

У Додатку A описується метод Ньютона для знаходження періодичних орбіт систем нелінійних диференціальних рівнянь. У Додатку Б описується метод Флоке для аналізу лінійної стійкості періодичних орбіт.

ВИСНОВКИ

У дисертації наведено теоретичний розгляд проблеми відгуку нелінійних систем на що полягає у вивченні хвиль солітонного типу в дискретних середовищах. Обговорено мо-жли-вість застосування знайдених ефектів у фундаментальних та прикладних дослідженнях. Головні результати дисертаційної роботи полягають у наступному:

1.Виходячи із симетрійного підходу було встановлено необхідні умови направленого руху класичної частинки, що знаходиться під дією зовнішніх сил із нульовим середнім. В

основу визначення цих необхідних умов лягло наступне твердження: для отримання направленого руху необхідно порушити всі симетрії рівнянь руху, які пов'язують траєкторії з однаковими за модулем та протилежними за знаком швидкостями. Задачу спочатку було розглянуто для руху в одновимірних системах, і необхідні умови було сформульовано для передемпфованого випадку, гамільтонівського та недодемпфованого; потім було розглянуто направлений рух для вищих розмірностей. Симетрійний підхід було застосовано до статистичного опису направленого руху, та встановлено, що атрактори рівнянь Больцмана та Фоккера-Планка мають ті самі симетрійні властивості, що і відповідні динамічні рівняння руху.

2. Встановлено, що частота стрибків передемпфованої броунівської частинки в двохямному потенціалі та під дією періодичної сили з нульовим середнім залежить резонансним чином від частоти цієї сили. Ефект має місце для будь-якого співвідношення амплітуди періодичної сили A дo інтенсивності шуму, D, проте для A>D він проявляється краще. Також було встановлено, що ефект має місце для різних форм зовнішньої сили. Для сходинкоподібної форми частота стрибків може бути вдвічі більшою ніж для синусоїдальної.

3. Розраховано коефіцієнти проходження акустичним солітоном в квазіодновимірному ланцюжку термалізованого сегменту. Встановлено, що взаємодія акустичного солітона з поперечними коливаннями ланцюжка є більш критичною для стійкості солітона ніж взаємодія із орієнтаційними.

4. Досліджувалась можливість існування дискретних топологічних солітонів, що можуть розпоширюватися вздовж ланцюжка з постійною формою та швидкістю (типу біжуча хвиля) та зв'язок цієї можливості з концепцією потенціалу Пайєрлса-Набарро (ПН). У порівнянні з попередніми результатами з нелінійної динаміки ланцюжків, отримано наступне: (i) відсутність потенціалу ПН автоматично не спричиняє існування розв'язків типу біжуча хвиля, що задовольняють умові u_n(t)=u(n-st)=u(z), при чому функція u(z) є монотонною на інтервалі ]-?,+?[; а (ii) його наявність не свідчить про неможливість існування монотонних рухливих кінків типу біжуча хвиля.

5. Здійснено порівняння явища перемикання стійкості для одно- та двокомпонентної моделей ланцюжка воднево-зв'язаних атомів, що полягає в чергуванні стійкості кінків з різною симетрією при зміні жорсткості протон-протонної взаємодії. Двокомпонентність ланцюжка призводить до послаблення цього явища.

6. Вивчено ефект направленого руху топологічних солітонів в довгих джозефсонівських контактах та в масивах паралельно зашунтованих точкових контактів. Сформульовано необхідні умови на зовнішнє збурення, що прикладається до системи, які б призвели до направленого у певний бік руху солітона. Було встановлено, що за аналогією з направленим рухом частинок, направлений рух солітона можна отримати порушивши всі симетрії, що пов'язують солітонні розв'язки з протилежними з знаком та однаковими за модулем швидкостями. Вірність такого підходу було підтверджено аналітично та чисельно [16-17] та експериментально [24] для довгого джозефсонівського контакту, що знаходився під дією зовнішнього струму періодичного в часі струму.

7. Досліджено властивості дискретних бризерів в масивах джозефсонівських контактів. Вивчено поведінку експериментально виміряних вольт-амперних характеристик (ВАХ), зокрема розриви або перемикання між різними вітками ВАХ. Отримані результати підтверджують та суттєво розширюють попередні пропозиції про те, що бризери можуть резонувати у різний спосіб з локалізованими або делокалізованими збудженнями на фоні бризера.

8. Розглянуто властивості дискретних бризерів в класичних феромагнітних ланцюжках з анізотропіями типу легка площина та легка вісь. Строго доведено існування дискретних бризерів для легковісних феромагнетиків. Для легко площинних феромагнетиків знайдено розв'язки, що не мають континуальних аналогів, досліджено їхню лінійну стійкість.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Flach S. Directed current due to broken time-space symmetry / S. Flach, O. Yevtushenko, Y. Zolotaryuk // Phys. Rev. Lett. - 2000. - Vol. 84, no.11. - Pp. 2358-2361.

Pendulum as a model for driven rotation in molecular nanoscale machines / A.V. Zolotaryuk, P.L. Christiansen, B. Norden, A.V. Savin, Y. Zolotaryuk // Phys. Rev. E. - 2000. - Vol. 61, no.3. - Pp. 3256--3259.

Ratchet due to broken friction symmetry / B. Norden, Y. Zolotaryuk, P.L. Christiansen, A.V. Zolotaryuk // Phys. Rev. E.- 2001. - Vol. 65, no. 1. - P. 011110.

Ratchet device with broken friction symmetry / B. Norden, Y. Zolotaryuk, P.L. Christiansen, A.V. Zolotaryuk // Appl. Phys. Lett.- 2002 - Vol. 80, no. 14. - P. 2601-2603.

Vortex and translational currents due to broken time-space symmetries / S. Denisov, Y. Zolotaryuk, S. Flach, O. Yevtushenko // Phys. Rev. Lett. - 2008. - Vol. 100, no. 22. - P. 224102.

Rectification of current in ac-driven nonlinear systems and symmetry properties of the Boltzmann equation / O. Yevtushenko, S. Flach, Y. Zolotaryuk, A.Ovchinnikov // Europhys. Lett. - 2001. - Vol. 54, no. 2. - Pp. 141-147.

Broken space-time symmetries and mechanisms of rectification of ac fields by nonlinear (non)adiabatic response / S. Denisov, S. Flach, A.A. Ovchinnikov, O. Yevtushenko, Y. Zolotaryuk // Phys. Rev. E. - 2002. - Vol. 66, no. 4. - P. 041104.

Zolotaryuk Y. Resonant enhancement of the jump rate in a double-well potential / Y. Zolotaryuk, V.N. Ermakov, P.L. Christiansen // J. Phys. A: Math. Gen. - 2004. - Vol. 37, no. 23. - Pp. 6043-6051.

Flytzanis N. Soliton dynamics in a thermalized molecular chain with transversal degree of freedom / N. Flytzanis, A.V. Savin, Y. Zolotaryuk // Phys. Lett. A. - 1994. - Vol. 193, no. 2. - Pp. 148-153.

Золотарюк Я.О. Взаємодія акустичного солітона з поперечними тепловими коливаннями молекул ланцюжка / Я.О. Золотарюк, О.В. Савін // УФЖ. - 1994. - T.39, №11-12. - C.1051-1055.

Savin A.V. The lattice soliton in a chain with orientational thermal vibrations / A.V. Savin, Y. Zolotaryuk // Phys. Lett. A - 1995. - Vol. 201, no. 2-3. - Pp. 213-220.

Flach S. Moving lattice kinks and pulses: An inverse method / S. Flach, Y. Zolotaryuk, K. Kladko // Phys. Rev. E. -1999. - Vol. 59, no. 5. - Pp. 6105-6115.

Discrete kink dynamics in hydrogen-bonded chains: The one-component model / V.M. Karpan, Y. Zolotaryuk, P.L. Christiansen, A.V. Zolotaryuk // Phys. Rev. E. - 2002. - Vol. 66, no. 6. - P. 066603.

Discrete kink dynamics in hydrogen-bonded chains: The two-component model / V.M. Karpan, Y. Zolotaryuk, P.L. Christiansen, A.V. Zolotaryuk // Phys. Rev. E. - 2004. - Vol.70, no. 5. - P. 056602.

Speight J.M. Kinks in dipole chains / J.M. Speight, Y. Zolotaryuk // Nonlinearity. - 2006. - Vol. 19, no. 6 - Pp. 1365-1382.

Salerno M. Soliton ratchetlike dynamics by ac forces with harmonic mixing / M. Salerno, Y. Zolotaryuk // Phys. Rev. E. - 2002. - Vol. 65, no. 5. - P. 056603.

Zolotaryuk Y. Ac driven directed motion of solitary waves / Y. Zolotaryuk, P.L. Christiansen, M. Salerno // Int. J. Mod. Phys. B. - 2003. - Vol. 17, no. 22-24. - Pp. 4428-4433.

Zolotaryuk Y. Discrete soliton ratchets driven by biharmonic fields / Y. Zolotaryuk, M. Salerno // Phys. Rev. E. - 2006. - Vol. 73, no. 6. - P. 066621.

Observation of breathers in Josephson ladders / P. Binder, D. Abraimov, A.V. Ustinov, S. Flach, Y. Zolotaryuk // Phys. Rev. Lett. - 2000. - Vol. 84, no. 4. - Pp. 745-748.

Breathers in Josephson junction ladders: Resonances and electromagnetic wave spectroscopy / A.E. Miroshnichenko, S. Flach, M.V. Fistul, Y. Zolotaryuk, J.B. Page // Phys. Rev. E. - 2001. - Vol. 64, no. 6. - P. 066601.

Zolotaryuk Y. Discrete breathers in classical spin lattices / Y. Zolotaryuk, S. Flach, V. Fleurov // Phys. Rev. B. - 2001. - Vol. 63, no. 21. - P. 214422.

Khalack J.M. Discrete breathers in classical ferromagnetic lattices with easy-plane anisotropy / J.M. Khalack, Y. Zolotaryuk, P.L. Christiansen // Chaos. - 2003. - Vol. 13, no. 2. - Pp. 683-692.

Broken symmetries and directed collective energy transport / S. Flach, Y. Zolotaryuk, A.E. Miroshnichenko, M.V. Fistul // Phys. Rev. Lett. - 2002. - Vol. 88, no. 18. - P. 184101.

Ratchetlike dynamics of fluxons in annular josephson junctions driven by biharmonic microwave fields / A.V. Ustinov, C. Coqui, A. Kemp, Y. Zolotaryuk, M. Salerno // Phys. Rev. Lett. - 2004. - Vol. 93, no. 8. - P. 087001(4).

Zolotaryuk Y. Enhanced fluxon transmission through impurities / Y. Zolotaryuk // Eur. Phys. J. B. - 2008. - Vol. 62, no. 3. - Pp. 349-355.

Kevrekidis P.G. Differential-Difference Equations and their Depinning Transitions / P.G. Kevrekidis, Y. Zolotaryuk // In: New Developments in Soliton Research. - Nova Science Publ., Inc., 2006. - Pp. 101-121.

Flach S. Discrete Breathers in Condensed Matter / S. Flach, Y. Zolotaryuk // Adv. in Solid State Phys. Heidelberg: Springer-Verlag. - 2001. - Vol. 41, - Pp. 315-327.

Zolotaryuk Y. Ratchet-like motion of AC driven topological solitons / Y. Zolotaryuk, P.L. Christiansen, M. Salerno // Proceedings of the International Workshop ``Nonlinear Physics: Theory and Experiment. II''' (Gallipoli, Italy, June 27- July 06, 2002). - 2003. - Pp. 309-315.

Zolotaryuk Y. Moving topological solitons in the discrete Klein-Gordon equation / Y. Zolotaryuk // Proceedings of the NATO ARW ``Nonlinear Waves: Classical and Quantum Aspects'' (Estoril, Portugal, July 13-17, 2003). - 2004. - Pp. 521-528.

Zolotaryuk Y. Symmetry Breaking and AC-Driven Dynamics of Solitons / Y. Zolotaryuk, M. Salerno // Kyiv: Proceedings of the Institute of Mathematics of NAS of Ukraine. - Vol. 50, - Proceedings of the Fifth International Conference ``Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics'' (Kyiv, Ukraine, June 23-29 2003) . - Kyiv, 2004. - Pp. 516-523.

АНОТАЦІЇ

Золотарюк Я. О. Направлений рух солітонів у низькорозмірних системах. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.02 - теоретична фізика. - Інститут теоретичної фізики ім. М.М. Боголюбова НАН України, Київ. - 2009.

У дисертації вивчаються транспортні явища, що виникають в просторово-періодичних та просторово-однорідних нелінійних системах під впливом залежних від часу збурень. Одержано необхідні умови направленого руху класичних частинок та топологічних солітонів під впливом збурень, що не мають сталої компоненти. Отримано коефіцієнти проходження акустичним солітоном термалізованого сегменту в ланцюжках з поперечними та орієнтаційними ступенями вільності, встановлено, що солітон є набагато стійкішим щодо впливу орієнтаційних коливань у порівнянні з поперечними. Встановлено, що наявність потенціалу Пайєрлса-Набарро не виключає існування топологічних солітонів, що рухаються з постійною швидкістю. На прикладі ланцюжка взаємодіючих диполів показано, що його відсутність не гарантує існування таких солітонів. В масивах джозефсонівських контактів та в класичних феромагнітних ланцюжках одержано дискретні бризери, які не мають континуальних аналогів. солітон термалізований пайєрлс набарро

Ключові слова: направлений рух, солітони, контакт Джозефсона, потенціал Пайєрлса-Набарро, нелінійні локалізовані моди, феромагнетики.

Золотарюк Я. А. Направленное движение солитонов в низкоразмерных системах. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специаль-ности 01.04.02 - теоретическая физика. - Институт теоретической физики им. Н.Н. Боголюбова НАН Украины, Киев. - 2009.

В диссертации изучаются транспортные явления, возникающие в пространственно-периодических и пространственно-однородных нелинейных системах под влиянием зависимых от времени возмущений. Получено необходимые условия направленного движения классических частиц и топологических солитонов под влиянием возмущений, которые не имеют постоянной компоненты. Получено коэффициенты прохождения акустическим солитоном термализованного сегмента в цепочках с поперечной и ориентационной степенями свободы, установлено, что солитон является намного более устойчивым остносительно влияния ориентационных колебаний по сравнению с поперечными. Установлено, что наявнoсть потенциала Пайерлса-Набарро не исключает существования монотонных топологических солитонов, движущихся с постоянной скоростью. На примере цепочки взаимодействующих диполей показано, что отсутствие потенциала Пайерлса-Набарро не гарантиирует существования таких солитонов. В массивах джозефсоновских контактов и в классических ферромагнитных цепочках получено дискретные бризеры, которые не имеют континуальных аналогов.

Ключевые слова: направленое движение, солитоны, контакт Джозефсона, потенциал Пайерлса-Набарро, нелинейные локализованные моды, ферроманетики.

Zolotaryuk Y. O. Directed motion of solitons in low-dimensional systems. - Manuscript.

Thesis for the degree of Doctor of Physics and Mathematics by speciality 01.04.02 - Theoretical Physics. - Bogolyubov Institute for Theoretical Physics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv. - 2009.

This thesis is devoted to investigations of transport phenomena that occur in various spatially periodic and spatially homogeneous nonlinear systems that are under the influence of time-dependent perturbations.

Necessary conditions for directed motion of classical particles under the influence of spatial and temporal perturbations with zero mean have been obtained. For this purpose the so-called symmetry approach has been developed, which states that in order to achieve directed current one must violate all symmetries of the equations of motion that relate trajectories with opposite velocities. At first this symmetry approach has been applied to directed motion in one spatial dimension, where hamiltonian and dissipative cases have been considered both analytically and numerically. In order to break the abovementioned symmetries one has to choose the external ac force and/or the spatially periodic potential in such a way that it violates certain equalities. These equalities have been derived from the symmetry approach for the each case separately. Also it has been shown that symmetries of the Boltzmann and Fokker-Planck equations coincide with the symmetries of the underlying dynamic equatios of motion. As a specific application dynamics of the mechanical device with asymmetric friction has been considered. Due to friction asymmetry it shows unidirectional rotation under the influence of a time-periodic sinusoidal force. Average angle velocity of this device has been obtained both analytically and numerically. The symmetry approach has been extended to two and more spatial dimesions. In this case apart from the directed translational motion where the particle moves along a certain spatial direction also directed rotational motion occurs. These regimes are characterised by average non-zero angular momentum, so that the particles rotate on average in the preferred direction.

Overdamped dynamics of a Brownian particle in the double-well potential under the influence of an external periodic force with zero mean has been studied. A dependence of the jump rate on the frequency of the external force has been obtained. The dependence shows a maximum at a certain driving frequency. The phenomenon is based on switching between different time scales of the system: interwell relaxation time (the mean residence time), the intrawell relaxation time and the driving period.

Transmission ratio for the acoustic soliton propagation through a thermalized area of two quasidimensional chains has been computed. It has been show that the chain with a transverse degree of freedom in the parabolic transverse on-site potential acoustic solitons are much more sensitive to the thermal vibrations then in the chain with oriental degree of freedom that consists of interacting electric dipoles.

A so-called inverse method that maps a given travelling wave to the equation of motion on a one-dimensional lattice which supports this solution has been developed. With the help of this method it has been shown that presence of the Peierls-Nabarro (PN) potential does not exclude existence of the monotoneous travelling-wave topological solitons, and, vice versa, absence of the PN potential does not guarantee the existence of the monotoneous travelling-wave topological solitons. The same has been demonstrated for the chain of interacting electric dipoles, which is a PN-free discretization of the sine-Gordon equation. A dependence of the amplitude of the oscillation in the soliton tail on the soliton velocity has been obtained. It appears that this amplitude tends to zero as the velocity decreases, however it does not disappear completely for the finite soliton velocities. This means that monotonic non-interacting with phonons moving topologial solitons do not exist despite the absence of the PN potential. Studies of static and dynamic properties of solitons in hydrogen-bonded chains have been presented. In the one-component model static and dynamic properties of solitons have been investigated. The phenomenon of the stability switching, e.g. exchange of the stability between difference stationary kink (or antikink) states with the change of some system parameter, has been studied in detail. While in the one-component model the stability switching as a function of the proton-proton coupling constant for kinks and antikinks appears to be identical, for the two-component model the dependencies of the kink and antikink energies on the coupling parameters looks different. It has been also shown that soliton mobility is much less pronounced in the two-component then in the one-component, where mobile monotonic topological solitons are present.

Necessary conditions for directed motion of solitons in long Josephson junctions (JJ) and parallel arrays of small JJs have been obtained. These conditions are based on the symmetry approach, similar to the same approach for the point particles. A way to control the soliton motion with the ac bias current that consists of a sinusoidal signal and its second harmonic has been proposed. Existence of directed soliton motion in a long annular JJ has been confirmed experimentally and is manifested on the current-voltage (IV) curves as non-zero voltage drops. In the case of arrays of small JJs the necessary conditions for the soliton motion appear to be the same as for the continuous case, however the internal soliton dynamics reveals some differences. For weak and intermediate discreteness dynamics is based on the limit cycles, locked to the frequency of the external ac current. As a result, the dependence of the soliton velocity on the parameters, such as the amplitude and the relative phase of the current or its frequency has piecewise nature. If the discreteness is strong, chaotic diffusive regimes of the directed motion dominate.

Nonlinear localized modes - discrete breathes that have no continuum analogs have been obtained in dc biased ladders of small JJs. Computed IV curves have been compared with the exprerimentally measured ones. Switching between different breathers states has been explained by resonances between breather and linear electromagnetic exciations on its background. Floquet stability analysis of the breather states has been performed.

Discrete breathers in ferromagnetic lattices with easy plane and easy axis anisotropies have been investigated. In both cases the solution have been constructed using the concept of the anticontinuum limit. In the easy axis case the existence theorem for the discrete breather states has been proven. Breathers in the easy axis case have no continuum analogs and have the following structure: the core of several precessing around the hard axis spins and the rest where the spins lie mainly in the easy plane and precess with small radii. These states maintain their spatial structure and do not turn into the continuum-like object when their frequency tends to the linear band edge. Their energy is separated from the energy of linear modes by the energy threshold. Floquet stability analysis has been used to classify the stable solutions depending on their spatial structure, frequency and other system parameters.

Keywords: directed motion, solitons, Josephson junctions, Peierls-Nabarro potential, nonlinear localized modes, ferromagnets.

Размещено на Allbest.ru