1. Формулировка физико-математической модели движения заряженной частицы в поле электромагнитной волны.

2. Применение адиабатического приближения для описания движения заряженной частицы в поле квазимонохроматической и квазиплоской электромагнитной волны.

3. Вычисление и оценка некоторых величин, характеризующих движение заряженной частицы в поле электромагнитного импульса.

Научная новизна

Среди результатов, претендующих на научную новизну, можно перечислить следующие: рассчитано движение релятивистской заряженной частицы в поле плоского электромагнитного импульса без использования векторного потенциала; найден ряд новых интегрируемых форм импульсов для уравнения движения заряженной частицы в плоской немонохроматической электромагнитной волне; найдено дифференциальное уравнение, описывающее функциональную часть осцилляторных интегралов, возникающих в выражениях для координат частицы в плоской волне; получено выражение для величины сдвига первоначально покоившейся заряженной частицы в направлении распространения воздействующего на неё плоского электромагнитного импульса с гауссовым профилем; это выражение верифицировано с помощью компьютерного PIC-моделирования; составлена обобщенная схема расчета движения первоначально покоившейся заряженной частицы в поле плоского электромагнитного импульса, математически заданного функцией с компактным носителем; обнаружена возможность невозвращения первоначально покоившейся частицы на начальную позицию в поперечном направлении после прохождения импульсов с симметричными и несимметричными фронтами; предложены экспериментальные схемы для демонстрации продольного и поперечного смещения заряженных частиц в поле лазерного импульса; получены выражения, приближенно описывающие движение заряженной частицы в ближней и дальней зоне сферической электромагнитной волны. Научная новизна результатов данной работы тесно связана с личным вкладом автора.

Личный вклад автора

Автором осуществлялось самостоятельное планирование работы, разделение задач на подзадачи, в большинстве случаев -- выбор средств решения, выполнение необходимых аналитических расчетов, анализ и интерпретация результатов, частичный поиск литературных источников, определение структуры диссертации. При непосредственном участии автора стала возможна публикация [23] в международном журнале «Laser Physics».

Практическая значимость результатов

Результаты работы лежат в области взаимодействия электромагнитного излучения с веществом, поэтому представляют интерес для лазерной физики и физики плазмы, а также могут иметь практический выход на расчёт, разработку и конструирование электронно- и ионно-оптических приборов, основанных на взаимодействии заряженных частиц с электромагнитными волнами.

Апробация работы.

Различные элементы и результаты магистерской диссертации были представлены на конференциях:

1. 57-ая научная конференция МФТИ: Всероссийская научная конференция с международным участием «Актуальные проблемы фундаментальных и прикладных наук в области физики» и Всероссийская молодежная научная конференция с международным участием «Актуальные проблемы фундаментальных и прикладных наук в современном информационном обществе», МФТИ, г. Долгопрудный, 24-29 ноября 2014.

2. XLII Международная (Звенигородская) конференция по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу, Российская академия наук, г. Звенигород, 9-13 февраля 2015 г.

3. Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов НИУ ВШЭ им. Е.В. Арменского, МИЭМ НИУ ВШЭ, г. Москва, 3-13 февраля 2015 г.

4. IV Международная молодежная научная школа-конференция «Современные проблемы физики и технологий», НИЯУ МИФИ, г. Москва, 17-22 марта 2015.

5. 13-е международное совещание по физике сложных систем заряженных частиц и их взаимодействию с электромагнитным излучением, Российская академия наук, Федеральное агентство научных организаций, г. Москва, 8-10 апреля 2015.

6. 3-я конференция молодых ученых ИОФ РАН, ИОФ РАН, г. Москва, 28 апреля 2015.

Публикации

Помимо тезисов конференций, результаты работы опубликованы в статье [24] сборника трудов конференции МФТИ и в уже упомянутой статье [23] в международном журнале «Laser Physics», входящем в реферативную базу «Web of Science».

Структура магистерской диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Текст работы представлен на 87 страницах с 11 рисунками, 4 таблицами и более чем 150 нумерованными формулами. В списке литературы содержится 63 наименования.

Благодарности

Д.ф.-м.н. Андрееву С.Н. за предложение темы исследования и руководство практикой от Института общей физики им. А.М. Прохорова РАН.

1. Краткий обзор литературных источников

Всего в списке литературы настоящей магистерской диссертации указаны 63 источника, среди которых научные статьи, учебные пособия, справочники и т.п..

Наиболее важными источниками для написания текста диссертации были труды научного коллектива теоретического отдела ИОФ РАН, в первую очередь, [5-7, 13, 19-22, 52]. Из них источники [6-7] являются диссертациями, соответственно, на соискание доктора и кандидата физико-математических наук. Работа [6] посвящена, в основном, моделированию неупругих процессов при взаимодействии интенсивного лазерного излучения с веществом. При построении моделей в [6] учитываются такие особенности, как генерация тормозного излучения ускоренными электронами и многократная ионизация атомов вещества. Работа же [7] в целом сосредоточена на компьютерном моделировании коллективного движения заряженных частиц в релятивистской лазерной плазме и исследовании нелинейных процессов, проходящих при воздействии на вещество сверхинтенсивных фемтосекундных лазерных импульсов.

В препринте [5] был собран ряд новых результатов, которые послужили основой для написания статьи [23]. В этих работах рассматривается движение заряженной частицы в плоской электромагнитной волне в релятивистском случае: было получено приближенное решение уравнений движения заряженной частицы в плоском электромагнитном импульсе, содержащем много периодов волны несущей частоты; выведены выражения для координат, скорости, импульса и энергии частицы и средней действующей на неё силы; было проведено тщательное сравнение аналитического решения с результатами PIC-моделирования.

Вообще PIC-моделирование, выполненное работах [5-7, 23, 24] было бы невозможно без использования программного пакета «КАРАТ», основанного на методе PiC (Particle-in-Cell) и предназначенного для численного моделирования нестационарных электродинамических задач, имеющих сложную геометрию и включающих динамику, в общем случае, релятивистских частиц. Источник [37] представляет собой одно из первых руководств для пользователя программой «КАРАТ», а [38] -- это докторская диссертация, выполненная по результатам многочисленных испытаний и 20-летнего опыта развития программы.

В статье [13] проведён подробный анализ задачи о движении заряженной частицы в поле плоской монохроматической электромагнитной волны большой интенсивности и было показано, что движение заряженной частицы представляет собой наложение дрейфа с постоянной скоростью и осцилляционного движения с частотой, отличающейся от частоты волны. Кроме [13], движение заряженной частицы в поле плоской монохроматической волны рассматривается в целой группе работ [9-12]. В [9-10] решается уравнение движения частицы. Особенность работы [10] состоит в том, что в качестве метода решения в ней предлагается разложение по малому параметру. Кроме того, в этой работе рассматриваются пространственно неоднородные волны. В [11] из уравнения движения с помощью красивых математических приемов выводятся скорость и ускорение частицы, показано, что они являются периодическими функциями от текущей фазы волны. Зависимость кинетической энергии частицы от интенсивности волны изучается в [12-13].

В серии работ [19-22] рассматривается движение заряженной частицы в поле (квазиплоской) волны, амплитуда которой считается медленно меняющейся функцией от времени (по сравнению с периодом волны несущей частоты) и координат (по сравнению с длиной волны), находятся усреднённые характеристики движения частицы -- её импульс и действующая на неё сила. Собственно квазиплоские волны как объект исследования рассматриваются в статье [52]. Работа [24] явилась первой работой автора диссертации в соавторстве с упомянутым коллективом, её результаты подробно излагаются в п.2.3.2.1.

При решении задач магистерской диссертации незаменимыми были широко известные фундаментальные учебные пособия и сборники по физике [3-4, 16, 25]. При возникновении вопросов математического характера приходилось обращаться к специализированным учебным пособиям [31, 35-36], а для поиска аналитически берущихся интегралов -- к справочникам [32-33].

Нередко при написании диссертации по некоторым вопросам возникала потребность обращения к специализированным монографиям. Так оператор Лапласа в наиболее общем виде в не ортогональной системе координат упоминается в [53], уравнение Гельмгольца в достаточно экзотических сфероидальных координатах приводится в [54]. В учебном курсе [55] показана удобная форма преобразования уравнений Максвелла в компактную форму с помощью векторов Римана-Зильберштейна. На работу [56] было удобно сослаться при записи уравнения Гельмгольца в цилиндрической системе координат. В монографии [58] удалось найти развернутую запись системы уравнений Максвелла в ортогональных координатах для монохроматических полей в отсутствие источников, которая в более общем и комплексном виде (в то же время более компактном) приведена в учебном пособии [57]. На все эти работы [53-58] приходится ссылаться в обзорном параграфе 3.1.1 настоящей диссертации. В настоящей работе также упоминаются два авторских математических приёма, описанных в [34, 47].

В работах [1-2, 8] используется квантовый подход к описанию заряженных частиц. Первые две работы повествуют о движении заряженной частицы в поле монохроматической электромагнитной волны, однако эти работы были опубликованы уже 80 лет назад, постепенно став библиографической редкостью. Основной же целью гораздо более современной работы [8] было исследование соотношения между пондермоторными силами и вынужденным комптоновским рассеянием. В ней было показано, что электрон, взаимодействующий с когерентным излучением, испытывает воздействие как пондермоторных сил, так и сил, возникающих от вынужденного комптоновского рассеяния.

Публикации [26-27] также вышли достаточно давно, поэтому их трудно найти в оригинале. В них говорится о том, что свободный электрон в неограниченном вакуумном пространстве без наличия статической компоненты электрического или магнитного поля не может забрать энергию у лазерного импульса -- этот факт составляет суть теоремы Лоусона-Вудварда. О невозможности поглощения фотона света свободным электроном говорится и в энциклопедической статье [44]. В то же время есть работы, например, [39-40], согласно которым при некоторых условиях частица после импульса меняет свою скорость.

Работы [14-15] упоминаются в диссертации в связи с рассмотрением лазерного импульса с резкими передним и задним фронтами. В [14] обсуждаются различные аспекты ускорения электронов лазерными импульсами различной формы, а помимо прочих и импульсом с резкими фронтами. В [15] рассказывается об ускорении электронов посредством нелинейной природы пондермоторных сил.

Статьи [17-18] упоминаются для иллюстрации той мысли, что задача о движении заряженной частицы во внешних полях может быть по-разному обобщена или модифицирована. Так в [17] при рассмотрении движения частицы в стационарных электрическом и магнитном полях было получено аналитическое решение параксиального уравнения для криволинейных пучков заряженных частиц, а в статье [18] рассматривается динамика заряженных частиц в плазме на примере электронных и ионных пучков в дрейфовом пространстве, наполненном ионизированным газом, который образует плазменную среду.

Работы [28-30] посвящены особому виду циклотронного резонанса -- авторезонансу, при котором эффективность взаимодействия заряженных частиц с электромагнитным полем не меняется при изменении энергии частиц. В [28-29] это движение частиц предсказано, а в [30] изучено для поля большой интенсивности.

Подход, развитый в настоящей работе, относится к отдельным заряженным частицам без учёта их взаимодействия между собой. Разреженные пучки, для которых такое приближение приближённо выполняется, в западной литературе получили наименование single-electron pulses и описываются, например, в [41]. С повышением плотности пучков надо постепенно учитывать электродинамическое взаимодействие между частицами в них, и приходится применять тонкие вычислительные методы, такие как описанные в [42-43].

Вопрос о крутизне фронтов электромагнитной волны, затронутый в п.2.3.3.4 имеет в некотором смысле электротехнический характер, поэтому логичным было обращение к [45-46]. Учебное пособие [45] даёт представление о преобразовательной технике и в связи с этим говорит о о переходных процессах, характеризующихся крутизной фронта. В статье [46] описан классический электротехнический способ определения крутизны фронта импульса. В этом же п.2.3.3.4 при разговоре о возможных формах импульса упоминается импульс в форме супергауссиана. Что такое супергауссиан и субгауссиан, написано в [48-49].

Упоминание сверхкоротких лазерных импульсов в п.2.3.4.1.1 требует дополнительных разъяснений, что это такое, поэтому читатель отсылается к статьям [50-51], в которых чуть более подробно говорится о том, чем характеризуются электромагнитные импульсы, получившие в англоязычной литературе эпитеты, соответственно, half_cycle и few-cycle.

Разговор о движении заряженных частиц в неплоских электромагнитных волнах в п.3.1.2 обращён к одному из простейших возможных случаев -- движению в сферической волне. Оказывается, свойства этой волны существенно разнятся в зависимости от расстояния от её центра, и поэтому в ней выделяют ближнюю, промежуточную и дальнюю зону, определению которых посвящена работа [59].

В [60-61] продвигается эффективная идея использования безразмерных координат при описании неоднородной электромагнитной волны. В [60] лазерное излучение описывается в параксиальном приближении. Как в [60], так и в [61] рассматриваются гауссовы пучки. Численное моделирование движения заряженных частиц в поле гауссовых пучков проводилось в диссертации [63].

Краткая публикация [62] стала уже классической работой, имеющей множество цитирований. В ней выводится выражение для силы, получившей название Гапонова-Миллера в честь авторов.

Таким образом, в 63 использованных источниках литературы охвачен обширный материал из областей фундаментальной теоретической физики, лазерной физики, электротехники и математического анализа. Все эти источники характеризуются более чем 80-летним разбросом по времени публикации. Поскольку 63% этих источников было опубликовано за последние 20 лет, а 48% -- за последние 10 лет (три четверти от тех, что изданы за 20 последних лет), то представляется верным вывод, что диссертация, с одной стороны, оперирует адекватным объемом нового материала и соответствует уровню, предъявляемому современной наукой, а с другой стороны, опирается на достаточный объем проверенных временем работ и базируется на надёжных первоисточниках.

2. Движение заряженной частицы в поле плоской электромагнитной волны

В отсутствие свободных зарядов скалярный потенциал электромагнитного поля равен нулю [25, с. 445], поэтому векторный потенциал поля удовлетворяет так называемой кулоновской калибровке:

(2.1)

Через векторный потенциал выражается напряженность электрического и магнитного полей:

, (2.2)

Напряженности электрического и магнитного поля и векторный потенциал все вместе удовлетворяют волновому уравнению вида [25, с. 447]

(2.3)

где на месте могут стоять компоненты , и .

Амплитуда плоской волны зависит только от одной пространственной координаты и времени. В качестве такой координаты выберем z и введем для удобства переменную:

, (2.4)

Из (2.1) получаем

,

т.е. продольная компонента не меняется вдоль направления распространения волны. Кроме того, из (2.4) следует соотношение

,

поэтому . Мы вправе выбирать любой постоянный уровень , при этом поля (2.2) не изменяются. Выберем

(2.5)

Далее, учитывая (2.5), по (2.2) находим (см. [4, §47]):

, , (2.6)

где, в согласии с (2.4),

(2.7)

Релятивистское уравнение движения частицы с массой m и электрическим зарядом q выражается из второго закона Ньютона [4, §17]

(2.8)

где импульс частицы равен [4, §9]

(2.9)

Полная энергия частицы

(2.10)

меняется со временем по формуле [4, §17]

(2.11)

Из (2.9)-(2.10) получаем соотношение [4, §9]:

(2.12)

С учетом (2.6) и (2.7) из (2.8) и (2.11) получаем

, (2.13)

(2.14)

Интегрируя (2.14), получаем:

(2.15)

где -- положительная константа.

Если подразумевать координату z как взятую в момент времени t для переменной ф (2.4), то после дифференцирования (2.4) имеем:

(2.16)

Поэтому, воспользовавшись (2.16), из (2.13) легко получаем (см. [4, §47]):

, (2.17)

где и -- константы интегрирования (компоненты обобщенного импульса в формализме гамильтоновых уравнений). Компоненту импульса отыскиваем из (2.10) с использованием равенств (2.15) и (2.17):

(2.18)

где . Из (2.12) и (2.15) выражаем скорость частицы:

(2.19)

Из (2.19) компоненту скорости можно выразить через компоненту импульса , поэтому (2.16) представимо в форме

(2.20)

учтя которую вместе с выражением (2.19), получаем

(2.21)

Интегрируя последнее выражение с учетом (2.17) и (2.18), получаем выражения для координат заряженной частицы [4, §47]:

(2.22)

где , , задают положение частицы в начальный момент , т.е. .

Далее из (2.17), (2.12) и (2.10) получаем

, (2.23)

Формально константа не определена, однако писать скалярное произведение в (2.22) является допустимым, т.к. при этом умножается на равную нулю компоненту . Из (2.15), (2.12) и (2.10) выражаем:

(2.24)

Таким образом, константы , и учитывают начальные условия -- скорость частицы и величину векторного потенциала в точке, где пребывала частица. Постоянная является интегралом движения, согласно теореме Лоусона-Вудварда [26-27]. Она сохраняет величину и в присутствии магнитного поля в направлении распространения электромагнитной волны, поскольку при такой конфигурации магнитного поля энергия и компонента импульса не изменяются -- это играет главную роль в проявлении эффекта авторезонансного движения заряженной частицы в поле плоской монохроматической волны, что было теоретически предсказано в [28-29] и изучено численно, например, в [30].

В силу своей общности формулы (2.22) можно попробовать осторожно применить не только для переменного электромагнитного поля, но и для постоянного электрического поля. Пусть оно направлено вдоль оси x и равно . Из (2.2) его векторный потенциал можно восстановить в виде:

, , .

Тогда для изначально покоящейся частицы, возникшей в таком поле, из (2.23) . С учетом связи (2.4), т.к. координата z не меняется в процессе движения, вдоль x получаем обыкновенное равноускоренное движение:

, , .

Подробнее о движении частицы в постоянном электрическом поле см. [4, §20].

2.1.2 Решение уравнения движения без использования векторного потенциала

В тех задачах, где задана форма электрического поля плоской электромагнитной волны, чтобы описать движение частицы приходится восстанавливать векторный потенциал , а это создает дополнительную вычислительную трудность. Однако, как будет далее видно, мы располагаем достаточными средствами, чтобы описать поведение частицы, не задействовав векторный потенциал.

Уравнение движения (2.8) с учетом в покомпонентном представлении:

(2.13*)

(2.14*)

С учетом равенства по модулю сопряженных компонент электрического и магнитного полей в соответствии с (2.6) , , выражения (2.13*) упрощается:

, (2.13**)

Из (2.14*) посредством (2.11) можно получить (2.15). Далее из (2.13**) с учетом (2.16) находим:

, (2.17*)

Третью компоненту импульса отыщем аналогично (2.18) из (2.10), воспользовавшись (2.15) и (2.17*):

(2.18*)

Выражение (2.15) с учетом (2.18*) имеет вид:

(2.15*)

Из (2.12) и (2.15) получаем (2.19). Из (2.19) и (2.16) получаем (2.20). С учетом (2.20) запишем (2.19) в виде (2.21). Из (2.21) ищем координаты частицы:

(2.22*)

Решение (2.22*) выгодно отличается от (2.22) тем, что теперь не нужно знать ни векторный потенциал (и заботиться о его свойствах -- непрерывности и равенству значений на концах в случае локализованного по времени импульса), ни константы интегрирования (2.23). Собственное изящное решение уравнения движения частицы (однако лишь в монохроматической плоской волне) предложено в [11]: найдены выражения для компонент скорости и ускорения заряженной частицы, но особый интерес автор проявляет к вычислению томсоновского рассеяния, угловым и спектральным распределениям рассеянного излучения, интенсивность которого в нашем расчете мы предполагаем малой.

Задачу о движении заряженной частицы в поле плоского электромагнитного импульса можно решить третьим способом -- с помощью уравнений Гамильтона. Для этого запишем гамильтониан частицы в поле векторного потенциала :

(2.25)

где , , -- компоненты обобщенного импульса. Канонические уравнения:

,

,

, , (2.26)

где точкой обозначена производная по времени , а штрихом -- производная по соответствующей переменной в скобках. Уравнение для изменения энергии частицы:

(2.27)

Из (2.26) и (2.27) получаем три интеграла движения:

, , (2.28)

С учетом (2.4), (2.16) и (2.26), скорость изменения фазы :

, (2.29)

Уравнение (2.27) легко преобразуется к виду:

(2.30)

В силу наличия интегралов (2.28), решение уравнения (2.30):

(2.31)

где есть энергия частицы до прихода импульса. С помощью третьего интеграла в (2.28) отыскиваем обобщенный импульс частицы:

(2.32)

Теперь из (2.26) легко найти скорости частицы. Интегрируя их, получаем:

(2.22**)

Для координаты мы воспользовались тем, что из определения (2.4) и соотношения (2.29) можно получить простое выражение:

(2.33)

Приводя подобные члены и сокращая множители, из (2.22**) можно получить

(2.34)

Выразив разность из (2.34), перепишем первые два выражения из (2.22**):

(2.35)

Впрочем, и все еще присутствуют в равенствах (2.34)-(2.35) в неявном виде, поэтому они остаются уравнениями. В заключение отметим, что из сопоставления (2.22) и (2.22**) видно, что , .

Выберем векторный потенциал (2.4) в виде:

, (2.36)

где и -- огибающие векторного потенциала, -- фаза волны, -- частота волны, -- постоянная. Координаты частицы в поле такой волны следуют из формул (2.22) [5, с. 11]:

(2.37)

где функция определяется выражениями

(2.38)

Ради полноты изложения, исходя из (2.15) и (2.17)-(2.19), стоит также тогда записать импульс, энергию и скорость частицы:

, , ,

(2.39)

, ,

(2.40)

Между тем, получается, что формулы (2.37), определяющие координаты заряженной частицы в поле плоской квазимонохроматической электромагнитной волны, зависят от интегралов

, , , , ()(2.41)

которые можно переписать в более общем виде [5, с. 16]:

, (2.42)

где -- натуральное число (об будет упомянуто позднее), а под могут пониматься , , . Предложенное в [5] семейство интегралов (2.42) шире, чем (2.41), но удобнее для вычислений. Предварительно сконструируем также величину -- интегралы такого вида получили наименование осцилляторных [31, с. 45].

В литературе можно найти два хорошо известных интегрируемых случая: строго монохроматическая электромагнитная волна [9-13] и монохроматический волновой пакет с резкими фронтами [14-15] (см. п.2.3.3.3). Понятно, что интегрируемость выражений (2.42) не может ограничиваться только этими двумя случаями, поэтому нам представляется справедливым восполнить пробел в литературе собственным более или менее кратким исследованием.

Так как принципиально невозможно единым способом искать первообразные для любых произвольных, даже весьма простых, функций [32, с. 358]-[33, с. 394], то оправданным оказывается полуэмпирический метод, а именно перебор конкретных вариантов, дополняемый определенными соображениями, сужающими область поиска.

Под в дальнейшем будем полагать вещественнозначную функцию действительного переменного , почти всюду дифференцируемую и почти всюду непрерывную вместе со своими производными, такую что и интегрируемы по Риману на . Кроме того, естественно потребовать условие ограниченности колебания функции на участке ее интегрирования , а из физических соображений оправдано и наложение условия ограниченности вариации функции на .

В задаче поиска интегрируемых случаев, прежде всего, следует отталкиваться от представления рядом, т.к. при этом еще сохраняется общность задачи. Во всех случаях разложения по ортогональным функциям величины , и довольно хорошо аналитически выводимы, если, очевидно, аналитически выразима первообразная подынтегрального выражения преобразования Фурье от элементов ортогонального базиса. Поэтому интегрируемы в квадратурах наиболее часто используемые на практике представления рядом:

1. Ряд Маклорена , выражается через неполную «верхнюю» гамма-функцию, ;

2. Аппроксимирующий полином , аналогично предыдущему случаю. Вместе с тем, и берутся и путем интегрирования по частям [33, с. 134, 137];

3. Ряд Тейлора , степени раскрываются по биному Ньютона ( -- точка разложения), и интегрирование сводится к двум предыдущим случаям;

4. Ряд Лорана , степени раскрываются по биному Ньютона, правильная часть ряда интегрируется аналогично предыдущему случаю, при рекурсивном же интегрировании по главной части [33, с. 134, 137, 147] в , и неизбежно возникают интегральные синус, косинус и экспонента;

5. Ряд Дирихле , , , причем, отметим, в пределе , если потребовать дополнительно, что при малых имеет место , получаем ;

6. Тригонометрический ряд Фурье , вычисление выполняется в элементарных функциях по формулам из [33, с. 147].

Существенным в представлении рядом является способ суммирования этого ряда. Пусть для лучшей сходимости некоторого функционального ряда используется обобщенная сумма через среднее по Колмогорову [34]

,

где -- -ая частичная сумма ряда , а функция удовлетворяет ряду условий:

1). , ;

2). -- однозначна, непрерывна и монотонна на сегменте (осуществляет биекцию);

3). : , (следствие из условия 2);

4). , ;

5). , (следствие из условий 3-4).

Все предыдущие указания об интегрируемости конструкций типа остаются справедливыми лишь для линейной функции (,, ), в частности при суммировании по Фейеру (, ) [35, с. 273-276], а в общем случае при нелинейной аналитическое интегрирование становится невозможным. В этом случае, казалось бы, более пригодными оказываются формулы (2.44)-(2.45) из п.2.3.1, однако при этом взятие -ой производной в них по правилу дифференцирования сложной функции ( -- внешняя, а ее аргумент -- внутренняя) чрезвычайно затруднено.

2.2.2 Спадающие функции

Обратимся теперь к возможности задания не рядом, а явным уравнением . Очевидно, простой перебор вариантов из несчетного множества всех допустимых задачей функций оказывается невозможным. К счастью, из всех таких можно выделить класс, имеющий особое теоретическое значение. Внимательно посмотрев на формулы (2.37), заметим, что если заряженная частица первоначально покоится и электромагнитное поле отсутствует, то постоянные и равны нулю, а потому формулы (2.37) значительно упрощаются, и видно, что передвижение частицы будет конечным в пространстве, если воздействующий на нее лазерный импульс достаточно локализован во времени, а именно подчиняется условию заряженный частица электромагнитный волна

(2.43)

для любого, бесконечного в пределе, (что можно записать как ограниченность величин и () из (2.42) для исключенной ранее возможности ), -- момент до прихода импульса.

В связи с этим, одной из первых упомянем функцию ( -- ширина импульса на полувысоте, -- натуральное число) дающую, вообще говоря, не выразимые аналитически величины , и , однако их подынтегральные функции хорошо разложимы в ряд, т.к. (то же самое можно сказать, когда -- верзьера Аньези). В пределе график превращается в прямоугольный шириной и высотой 1. Этот предельный случай соответствует лазерному импульсу с резким передним и задним фронтами и является точно аналитически интегрируемым. Данный вариант теоретически исследован в работах [5, с. 8-10] и [14]. Примечательно, что замена при дает прямоугольное распределение, которое при стремится к дельта-функции Дирака с сингулярностью в точке .

Несколько схожую картину дают супергауссово распределение ( -- дисперсия) и «шапочка» (), (), превращающиеся в прямоугольное при и тогда также соответствующие лазерному импульсу с резким передним и задним фронтом [5, с. 8-10], [14]. Однако, кроме того, случай супергауссового распределения при отвечает нормальному распределению и точно интегрируем [5, с. 24-25].

Параболическое распределение (), (,) формально дает хорошие аналитические выражения для , и по (2.42), однако первая производная от в (2.44)-(2.45) (см. п.2.3.1) терпит разрыв. Такого скачка первой производной лишена гладкая функция () (,), которая дает вполне вычислимые по (2.42) , и при натуральных [33, с. 140], но скачок терпит уже вторая производная этой функции.

Поскольку рассматриваются функции, спадающие на бесконечности, в частности по степенному закону , то полезными могут оказаться приближенные формулы интегрирования из [33, с. 134, 137, 147], выражаемые через интегральные синус, косинус и экспоненту.

В конце стоит упомянуть о возможности задания огибающей различными распределениями из теории вероятностей безотносительно к вопросу о наличии скачков ее производных. Можно показать, что интегрируемыми будут варианты, когда задается плотностью экспоненциального распределения, распределения Лапласа и Парето, с большим трудом интегрируемыми, когда задается плотностью гамма-распределения, распределения Рэлея и Колмогорова (выражается через неполную гамма-функцию). Как и следовало ожидать, многие не дают аналитического случая. Таковы , заданные плотностью распределения Вейбулла, Вигнера, Стьюдента, Коши и логнормального распределения. Неаналитичны варианты огибающих типа солитонов (, причем дает плотность логистического распределения).

Заметим, наконец, что если явно заданная огибающая составлена из произведения двух или более огибающих, дающих по отдельности интегрируемые случаи, то она сама, вероятнее всего, уже не даст аналитически интегрируемого случая. Это не относится к произведению огибающих, заданных разложениями в ряд по одному и тому же ортогональному базису, т.к. произведение двух и более таких рядов является разложением в ряд по тому же ортогональному базису.

На основании полученных результатов может быть существенно упрощен выбор на практике того или иного представления огибающей, вписывающейся в погрешность измерений, для реального электромагнитного импульса.

2.3 Движение заряженной частицы в плоской квазимонохроматической электромагнитной волне

Как уже было указано, для в виде (2.36) выражения для координат заряженной частицы имеют форму (2.37). И как уже было указано, интегралы (2.42), входящие в (2.37), берутся аналитически лишь для сравнительно узкого класса функций. В общем же случае вычисление (2.42) аналитически невозможно.

Интегрированием (2.42) по частям можно получить систему [5, с. 16]

или более компактно

.

Продолжая итерационное исчисление до бесконечности, получаем:

(2.44)

Можно легко представить в виде функционального ряда Дирихле

(2.45)

При условии хорошей сходимости этого ряда, его можно представить в виде разности , где функция

удовлетворяет простому дифференциальному уравнению

(2.46)

Таким образом, после некоторых преобразований мы вновь вернулись к проблеме интегрирования некоторой огибающей функции , помноженной на мнимую экспоненту, так что вопрос из п.2.2 о поиске аналитически выразимых, интегрируемых случаев актуален и здесь. Заметим, однако, что выражения (2.44)-(2.45) хотя и выражают искомые интегралы сравнительно просто посредством производных , но при этом возникает вопрос об алгоритмической вычислимости , и [36, с. 8-9] в области сходимости рядов (2.44)-(2.45). Особенности вычислительной техники в подобных случаях всегда понуждают ограничить количество слагаемых.

Если функции и достаточно медленные, т.е. если выполняется

(2.47)

где -- период волны с несущей частотой , -- изменение аргумента функций и , за которое они меняются заметно; то в (2.44) оказывается возможным пренебречь слагаемыми высших порядков и оставить только первые:

(2.48)

С помощью (2.48) получаем из (2.37):

(2.49)

где (). Посмотрев на выражения (2.49), в них можно выделить плавно меняющиеся компоненты, и компоненты, осциллирующие с частотой щ:

(2.50)

(2.51)

где введено обозначение , поэтому и имеют место приближения

, , (2.52)

в допущении, что мал параметр

.

Величина равна периоду колебательного движения заряженной частицы в плоской монохроматической волне, и этот период, вообще говоря, не совпадает с периодом волны [5, с. 11]. Функции , и равны [5, с. 19]:

, , ,

где . Впервые разделение на плавные (2.50) и быстрые (2.51) функции времени было выполнено в [5, с. 18] по аналогии с работой [13, (14)], а затем опубликовано в работе [23]. Также в [5, с. 18] было получено выражение для периода колебаний частицы в плоской квазимонохроматической волне:

(2.53)

Вопросы динамики заряженной частицы в поле плоской электромагнитной волны, включая вычисление среднего импульса, средней скорости частицы и средней силы, действующей на неё, а также случаи плоской и круговой поляризаций волны рассмотрены в работах [5, с. 16-23] и [23].

2.3.2 Продольный сдвиг заряженной частицы в поле плоского электромагнитного импульса

2.3.2.1 Численное моделирование продольного сдвига заряженной частицы в поле плоского электромагнитного импульса

Рассмотрим покоящуюся () заряженную частицу с массой и зарядом , расположенную в начале координат (). В момент на эту частицу в нулевой фазе () падает плоский электромагнитный импульс линейной поляризации, распространяющийся вдоль координатной оси , с x-компонентой электрического поля:

(2.54)

где -- максимальная амплитуда электрического поля, -- временной параметр, близкий по смыслу к дисперсии нормального распределения и связанный с шириной импульса на половине максимума интенсивности (full width at half maximum) формулой , -- длительность переднего фронта импульса. Чем дольше , тем больше моделируемый импульс похож на гауссов. В численных расчетах длительность переднего фронта импульса принималась равной .

Векторный потенциал компоненты электрического поля (2.54) восстанавливается в очень сложном комплексном виде

поэтому непосредственное применение интегральной формулы (2.22) для вычисления координаты z крайне затруднительно (т.к. интеграл берется от скалярного квадрата векторного потенциала).

Однако, благодаря использованию адиабатического приближения, описанного в п.2.3.1, плавная координата частицы Z в поле импульса (2.54) достаточно просто описывается (хотя и в неявном виде) трансцендентным уравнением:

(2.55)

В пределе, когда импульс миновал частицу, (или ), формула (2.55) упрощается и выходит на стационарное значение, при равное:

(2.56)

Так как амплитуда и интенсивность импульса связаны между собой, то сдвиг частицы (2.56) переписывается в виде:

(2.57)

где L -- размерный коэффициент, зависящий от выбора системы единиц и равный В²/ВтВ²/Вт.

Очевидно, параметр носит характер величины , поэтому чем больше ширина гауссова импульса , тем лучше выполняется условие адиабатичности (2.47) при той же частоте , т.е. тем более импульс походит на монохроматический. Следовательно, формулы (2.56) и (2.57) выполняются тем точнее, чем больше параметр , и при бомльших они должны давать результат, лучше согласующийся с полученным при численном моделировании.

В силу линейности формулы (2.57) по и , её можно заменить более простой формулой

(2.58)

которая не содержит отсылки к системам физических единиц, если заранее известно смещение частицы при некоторой интенсивности и параметре , причём надо заметить, что при разных адиабатический параметр (2.47) будет разным, и, следовательно, при формула (2.58) даст результат, завышенный, по сравнению с таковым из (2.57), а при -- наоборот, заниженный (т.к. когда и различны, различен и соответствующий им адиабатический параметр (2.47)).

Кроме того, что смещение линейно зависит от интенсивности и величины параметра , обращает на себя внимание возможность варьировать по квадратичной гиперболе перестройкой частоты в соответствии с формулой (2.57) (см. рис. 2.2.б). Так, теоретически можно увеличить, уменьшив частоту в раз, но при этом, однако, адиабатический параметр Л возрастет и неравенство (2.47) ослабится. Соответственно, расчет по формуле (2.57) должен стать менее точным. Если же, наоборот, требуется уменьшить смещение повышением частоты , то тогда при этом параметр уменьшается и условие (2.47) автоматически усиливается, т.е. расчет по формуле (2.57) должен становиться более точным.

Рис. 2.1. PIC-частица в прямоугольной расчетной области программы «КАРАТ».

Для того чтобы проверить теоретические выводы (2.56)-(2.57), полученные в квазимонохроматическом приближении, с точными результатами, мы прибегли к PIC-моделированию в программном пакете «КАРАТ» [37]-[38], который был разработан В.П. Таракановым ещё в конце 80-х годов и поддерживается им до сих пор уже более 20 лет. PIC-частица находится в прямоугольной области (см. рис. 2.1), электромагнитная волна распространяется слева направо. В результате серии PIC-моделирований в логарифмических осях были построены графики зависимости сдвига от интенсивности и частоты (рис. 2.2). Расчет каждой модели занимал примерно по 16 часов. Интенсивности  Вт/см² соответствуют уже релятивистскому режиму ускорения электрона.

При PIC-моделировании на рис. 2.2.а параметр был постоянным и равнялся , а на рис. 1б менялся с до . Из хорошего наложения результатов PIC-моделирования на теоретические кривые (максимальная относительная погрешность аналитического расчета составляла порядка 7%, в большинстве же случаев около 2%) можно сделать вывод о том, что формулы (2.56) и (2.57) хорошо описывают сдвиг заряженной частицы в поле плоского электромагнитного импульса даже при сравнительно большой величине адиабатического параметра ().

Рис. 2.2. Зависимость электрона от (а) интенсивности и (б) частоты (Гц,,фс) лазерного импульса (сплошная линия - расчет по формуле (2.57), точки -- данные PIC-моделирования).

2.3.2.2 Продольный сдвиг частицы с ненулевой начальной скоростью

Определим теперь, какова остаточная скорость заряженной частицы после прохождения импульса, если ее начальная скорость произвольна . После прохождения импульса в пределе амплитуды волны обнуляются , поэтому векторный потенциал (2.36) также становится равен нулю: .

Из (2.38) получаем:

, , (2.59)

Выражения для компонент скорости следуют из (2.40) и (2.59) при :

, , (2.60)

Преобразования выражений (2.60) с использованием (2.23), (2.24) и (2.38) ведут к достаточно тривиальному результату:

, , . (2.61)

Из (2.61) очевидно, что единственный случай, когда частица покоится после прохождения импульса, реализуется тогда и только тогда, когда начальная скорость -- нулевая. Последний результат (2.61) показывает, что в конце концов частица не получает дополнительную энергию от импульса и остается со своей начальной энергией. На это следует обратить внимание, т.к., согласно [39-40], при некоторых условиях частица после импульса может двигаться в направлении, обратном к направлению распространения импульса.

Поскольку реализация покоящегося электрона проблематична, то формула (2.61) открывает дорогу экспериментам с движущимися электронами. В качестве возможной экспериментальной реализации можно предложить следующую (рис. 2.3). Электронный пучок движется вдоль оси из точки в точку на экране, который перпендикулярен к оси . Лазерный импульс распространяется перпендикулярно к направлению движения электронов (т.е. параллельно экрану). До прихода лазерного импульса электроны образуют пятно на экране в точке . Но те электроны, которые подверглись воздействию лазерного импульса, смещаются на расстояние вдоль направления распространения импульса, и пятно, формируемое ими, должно оказаться в точке . Данное смещение может быть наблюдаемым. Например, формула (2.57) даёт сдвиг порядка мм при Вт/см², пс и мкм.

Поскольку сдвиг происходит без искривления траектории, параллельным переносом, то это явление может иметь практический выход, например, на электронную оптику или на те разделы техники, где требуется электроны куда-либо перенаправлять, причем именно параллельным переносом.

Рис. 2.3. Возможная схема эксперимента для наблюдения сдвига электронов.

Одиночное воздействие лазерного луча производит довольно малый эффект на сдвиг пучка. Для осуществления множественного воздействия лазера на пучок, можно предложить следующую схему. Электронный пучок распространяется вдоль зеркальной трубы (коэффициент отражения стенок равен R) квадратного сечения. Лазерный луч направляется в трубу почти под прямым углом к пучку. Оптический путь луча (с помощью подбора ширины трубы, угла вхождения в трубу и скорости электронов) отъюстирован так, что после каждых четырёх последовательных отражений от стенок трубы (по аналогии с уголковым отражателям) луч вновь попадает на те же самые электроны, на которые воздействовал этапом ранее. В итоге, одни и те же электроны пучка могут испытать множественное воздействие одного и того же лазерного луча, пока вся его энергия не поглотится стенками трубы. Тогда теоретическое максимальное смещение электронов вдоль направления распространения луча должно равняться уже , что даже при и даёт умножение эффекта более чем в 10 раз по сравнению с одиночным воздействием на электронный пучок.

Здесь же хочется добавить, что рассмотрение поведения одной частицы в поле внешней плоской электромагнитной волны аналогично поведению электронов электронного пучка малой концентрации (single-electron pulse [41]) в поле такой же волны. Условием применимости нашей теории для пучков заряженных частиц будет значительное превышение кинетической энергии частиц над энергией их электростатического взаимодействия, что в простейшей форме, из рассмотрения двух ближайших частиц, в СИ можно записать как

(2.62)

а для электронов

,

где -- постоянная Фарадея, -- релятивистский гамма-фактор, -- постоянная тонкой структуры, -- среднее расстояние между частицами, обратно пропорциональное кубическому корню из концентрации. При этом для простоты мы предполагаем, что все заряды движутся сонаправленно вдоль одной прямой так, что создаваемое каждым движущимся зарядом магнитное поле не влияет на другие заряды. Релятивистский гамма-фактор выразим с помощью формулы [11, (24)] с учетом наших обозначений:

,

где (),,, очевидно. Либо можно воспользоваться нашими формулами (2.15) и (2.18).

Если сильное неравенство (2.62) не выполняется, то необходимо учитывать взаимодействие зарядов друг с другом. Когда концентрация зарядов ещё сравнительно невелика, можно рассматривать движение электронов пучка как движение многих тел с прибавлением закона Кулона [42]. Для случаев, когда концентрация зарядов велика (many-electron pulse), разработано приближение самосогласованного электромагнитного поля [43].

2.3.3 Лазерные импульсы с огибающей, имеющей компактный носитель

2.3.3.1 Решение в общем виде

Рассмотрим простейшую модель движения изначально покоящейся заряженной частицы в поле плоского монохроматического электромагнитного импульса, когда огибающая векторного потенциала импульса имеет компактный односвязный носитель:

.

Вообще носителем некоторой функции называется замыкание области, на которой эта функция отлична от нуля. Односвязность предполагает, что есть только одна такая замкнутая область. Представим векторный потенциал, удовлетворяющий этому условию, в виде:

, ,

(2.63)

Время отсчитывается от прихода переднего фронта в точку, где находилась частица. Из (2.6) и (2.63) поле импульса равно:

,

, (2.64)

(2.65)

Начальную пространственную координату покоившейся частицы выберем равной нулю. Тогда из (2.24), (2.23) и (2.63) получаем:

, , , .(2.66)

Импульс и энергию частицы получаем из (2.17), (2.18), (2.15), (2.63), (2.66):

, , , (2.67)

(2.68)

Из (2.67) видно, что x-компонента импульса может принимать как положительные, так и отрицательные значения, а z-компонента исключительно неотрицательна, что должно в дальнейшем приводить к смещению частицы вдоль оси z.

Из (2.12) и (2.68) компоненты скорости частицы описываются не столь тривиальными формулами:

, ,

. (2.69)

Можно подсчитать, что энергия частицы (2.68) имеет локальные максимумы в тех точках, где выполняется условие

, . (2.70)

Легко показать, что скорость (2.69) будет иметь локальные максимумы в тех же самых точках. Вдали от фронтов импульса (т.е. вблизи «середины» импульса) производная от огибающей мала , поэтому угол (2.65) примерно равен , а энергия (2.68) имеет локальные максимумы вблизи точек .