Координаты частицы находим, подставив (2.64) и (2.66) в (2.22):

, ,

. (2.71)

Обратим внимание на то, что координата x частицы (2.71) не всегда после прохождения импульса возвращается на прежнее нулевое значение. А именно, это не происходит, когда положительная и отрицательная площади под графиком подынтегрального выражения в формуле для x не уравновешивают друг друга. Например, такое может быть, когда фронты импульса ассиметричны. Следовательно, при некоторых условиях данный эффект можно было бы использовать для обнаружения асимметричности фронтов импульса. Более подробно об этом эффекте будет сказано в п.2.3.4.. Подынтегральная функция в выражении для координаты z неотрицательна, поэтому координата z частицы с течением времени не уменьшается. Аналитические случаи интегрируемости конструкций, находящихся под интегралами выражений (2.71), были рассмотрены нами в п.2.2.

В нерелятивистском пределе, когда параметр , считаем, что , тогда из (2.67), (2.69) и (2.71) имеет место пренебрежимо малое смещение частицы вдоль направления распространения электромагнитного импульса. Частица лишь совершает колебания вдоль электрической компоненты волны (параллельной оси x).

Обобщение выражений (2.64)-(2.71), полученных для линейно поляризованного импульса (2.63), на случай эллиптически поляризованной электромагнитной волны -- тривиально.

2.3.3.2 Импульс формы квадрата синуса

Рассмотрим случай, когда векторный потенциал плоского электромагнитного импульса задан профилем квадрата синуса ():

, ,

.(2.72)

а). б).

Рис. 2.4. Эскиз графика x-компоненты векторного потенциала (2.72)
с пунктирной огибающей: а). б). .

Из (2.6) и (2.72) получаем электрическое поле:

, , (2.73)

(2.74)

Если начальную координату частицы положить равной нулю, то получим (2.66). Импульс и энергию частицы рассчитываем по (2.67)-(2.68):

, , , (2.75)

(2.76)

Из (2.69) компоненты скорости частицы описываются формулами:

, ,

. (2.77)

Согласно (2.70), локальные максимумы энергии и компонент скорости частицы располагаются в точках , . Из (2.74) видно, что вдали от переднего и заднего фронтов импульса , однако вблизи краев импульса, у его нулевых значений, угол (2.74) стремится к величине .

Координаты частицы, согласно (2.71):

, ,

. (2.78)

Из (2.78) следует, что конечный сдвиг первоначально покоившейся частицы под действием импульса, векторный потенциал которого имеет профиль (2.72), равен:

(2.79)

Поскольку ширина импульса (2.72) на его полувысоте равна , то можно заключить, что по сравнению с гауссовым импульсом, рассмотренным в п.2.3.2.1, импульс (2.72) при той же самой даёт сдвиг частицы в раза больше.

Если и только если в импульсе укладывается целое число периодов волны несущей частоты , то функции (2.78) принимают простейший вид:

,

, (2.80)

, (2.80)

а когда , то (2.80) редуцируется до выражений

, ,

. (2.81)

В заключение отметим, что, согласно (2.78), (2.80), (2.81), координата x после прохождения импульса возвращается к нулевому значению тогда и только тогда, когда в импульсе укладывается четное количество периодов волны несущей частоты. Во всех иных случаях координата x не возвращается к первоначальному значению.

2.3.3.3 Лазерный импульс с резкими фронтами

Г. Хора и W. Scheid [14] теоретически рассмотрели движение заряженной частицы в плоско-поперечном импульсе прямоугольного профиля, т.е. импульсе с резкими передним и задним фронтами. Затем этот случай экспериментально исследовался в работе [15]. Воспроизведем результаты [14]. Для этого электрическое поле возьмем в том же виде, что и в [14], [5]:

, , , (2.82)

где , при , и , при , -- функция Хэвисайда, амплитуда поля положительна , длина импульса ненулевая .

Интегрируя (2.82) из определении (2.6), получаем векторный потенциал:

, ,

. (2.83)

В точку, где первоначально покоится частица, пометим начало координат. Тогда по п.2.1, минуя промежуточные вычисления, последовательно находим компоненты импульса

, ,

, (2.84)

компоненты скорости

, ,

, (2.85)

энергию частицы

, (2.86)

наконец, координаты частицы:

, ,

. (2.87)

Выражения (2.84)-(2.87) можно легко получить и не прибегая к векторному потенциалу (2.83), как на то указывалось в п.2.1.2. Формулы (2.85)-(2.86) совпадают с результатами работы [14]. Казалось бы, длину и частоту импульса можно варьировать так, что энергия (2.86) достигнет максимума при , т.е. если в импульсе укладывается полуцелое количество периодов волны. Однако, из определения (2.2) известно, что электрическое поле пропорционально производной от векторного потенциала, поэтому резкий скачок этой производной приводит к разрыву графика напряженности (см. рис. 2.5.а) -- это физически невозможно.

а).

б).

в).

Рис. 2.5. Эскизы электрической напряженности (слева) и векторного
потенциала (справа) x-компоненты импульса с резкими фронтами:
а). в общем случае при дробном числе полупериодов волны в импульсе, б). при полуцелом числе периодов в импульсе, в). при целом числе периодов (по горизонтали подразумевается переменная ).

В виду этого обстоятельства в топологическом плане случаи целого и полуцелого числа периодов волны в импульсе разобщены, т.к. физически запрещено непрерывно изменять длину импульса так чтобы один случай переходил бы в другой. Поскольку со снижением частоты величина быстро возрастает (а с ней и остаточная энергия электрона (2.86)), то наибольшего ускорения электронов следовало бы ожидать в области радиоволн, но, насколько мы можем судить, проявления данного эффекта в радиотехнике не зафиксировано. Наличие остаточной энергии электрона после импульса свидетельствовало бы о поглощении им фотонов импульса, однако известно, что свободный электрон не способен поглотить фотон в отсутствие третьего тела, т.к. при этом не выполнялись бы законы сохранения энергии и импульса [44]. К тому же забор энергии из электромагнитной волны свободной частицей в вакууме противоречил бы теореме Лоусона-Вудварда [26-27]. Таким образом, прямоугольный импульс (с резкими фронтами) может иметь только такую длительность, что в нем укладывается лишь целое число периодов волны несущей частоты. Как следствие, векторный потенциал в области вне импульса должен принимать равные значения , в частности .

В свете последнего уточнения, что физически возможно только выполнение условия , формулы (2.82)-(2.87) перепишутся в следующем виде: поля

, ,

,

векторный потенциал

, , ,

компоненты импульса частицы

, , ,

компоненты скорости частицы

, , ,

энергия частицы

,

координаты частицы

, ,

. (2.88)

Из последних формул видно, что частица сместилась от первоначального положения на величину , причем смещение вдоль направления распространения импульса оказалось даже меньше, чем в поперечном направлении.

Таким образом наш результат говорит о том, что частица после прохождения импульса не получает от него энергию, а поэтому покоится. Однако в итоге она сдвигается на расстояние под углом к направлению распространения импульса. Отметим, что есть работы [39-40], согласно которым при некоторых условиях частица после импульса может двигаться в направлении, обратном к направлению распространения импульса, о чем мы упоминали в п.2.3.2.2.

2.3.3.4 К вопросу о крутизне фронтов электромагнитной волны

При обсуждении результатов работы [5], воспроизводящих результаты работы [14], о движении заряженной частицы в поле лазерного импульса с резкими фронтами (импульса с прямоугольной огибающей, который описан в п.2.3.3.3) рецензент отметил, что данный режим, когда «поле возникает и исчезает почти скачком за времена, меньшие, чем период поля», насколько ему известно, «экспериментально не реализуем, и поэтому его анализ не имеет большого смысла». Действительно, из физических соображений добиться идеального скачка импульса невозможно, т.к. это означало бы разрыв векторного потенциала. С другой стороны, имеется и аппаратное ограничение, т.к. высокая крутизна фронтов импульсов может приводить к снижению срока службы оборудования [45].

2.3.3.4.1 Характеристика крутизны фронтов

Обычно в качестве величины, характеризующей крутизну импульса, выбирают тангенс угла наклона отрезка, проведенного между отметками в 10% и 90% от пиковой величины импульса [46]. Эта величина интегральная, существенно усредненная и применяется для сравнительно медленно, адиабатически изменяющихся импульсов. В принципе, крутизна может вычисляться так и по импульсам, имеющим быстро осциллирующую с частотой составляющую -- плоским немонохроматическим электромагнитным импульсам, если брать в рассмотрение крутизну их огибающих . Но по замечаниям рецензента можно сконструировать иную величину , характеризующую крутизну -- относительное изменение огибающей волны (2.36) (см. п.2.2) за один период:

, , (2.89)

либо, с помощью относительной разности значений огибающей ,

, . (2.90)

Строго говоря, формулы (1)-(2) могут быть применены только для таких значений аргумента , для которых и не обращаются в нуль. В простейшем случае, когда функция имеет компактный (а именно, нас интересует ограниченность) односвязный носитель и не обращается в нуль на внутренних точках , что физически отвечает однократному электромагнитному импульсу, то следует каким-либо образом «выколоть» границы носителя, и рассматривать выражения (2.89)-(2.90) только во внутренних точках. Насколько нужно отойти внутрь области определения функции импульса? Достаточно рассматривать такую область определения, которой соответствует область значений импульса с величинами не менее 10% от максимальной. Тогда удастся в определённом смысле избежать обращения в нуль знаменателей в (2.89)-(2.90).

Упоминание не обращения в нуль функции на внутренних точках носителя существенно, т.к. без него легко сконструировать такие контрпримеры, что при формально односвязном носителе огибающая , в действительности, даст уже более одного электромагнитного импульса. Такова, например, огибающая напряженности электрического поля (), (,), обращающаяся в нуль во внутренней точке -- внешне это проявится двумодальным импульсом с перетяжкой в указанной точке, что уже проще рассматривать как два последовательных, вплотную друг к другу бегущих импульса.

Минимальное и максимальное среди двух действительных неотрицательных чисел и можно находить с помощью известных формул

, ,

записываемых для степенного среднего

, где , R,

которое является сужением квазиарифметического среднего по Колмогорову. Здесь параметр действителен. Идея усреднения с комплексным параметром изложена в [47]. Определения (2.89)-(2.90) эквивалентны и введены для любого , при котором неотрицательная огибающая не убывает или не возрастает на участке (т.е. в интервале не содержится локального минимума или максимума, наличие которого означало бы, что колебание функции больше разности значений на концах участка). Чтобы не учитывать монотонность огибающей на всех сегментах , достаточно в числителе определения (2.90) вместо разности писать модуль непрерывности , равный по определению

,

где -- область определения функции . Величина представляет собой точную верхнюю грань колебания функции по всех возможным подотрезкам длины, не превосходящей .

Если величина мала в сравнении с длительностью импульса, то в разности числителя (2.90) можно перейти к производной. Соответственно, на участке возрастания и убывания импульса крутизна фронтов (2.90) вычисляется так:

,

. (2.91)

Отметим, что на границах импульсов со слишком крутыми фронтами нарушается условие квазимонохроматичности, независимо от длины центральной части импульса, потому что на них время значительного изменения амплитуды волны мало. Впрочем, это не исключает возможность использования полученных ранее точных формул (2.36)-(2.40) из п.2.2.

Отношение легко считается для импульсов многих форм (обобщенной верзьеры , супергауссиана [48-49], так называемой «шапочки», равной при и при , m -- целое число, для степени синуса, равной при и при и др.).

2.3.3.4.2 Критическая крутизна фронта

Если, в соответствии с вышеуказанным замечанием рецензента, предположить существование некоторой критической крутизны , быть может, из аппаратных ограничений, то в различных физических приложениях следует наложить ограничение на параметры импульсов, характеризующие эту самую крутизну (2.91), в частности, на максимальное значение параметра в вышеуказанных примерах, которое будет зависеть как от частоты , так и от долготы импульса. Тогда эти максимальные значения параметров можно вычислить численно.

С учетом (2.89)-(2.91) и гипотезы о существовании , можно записать неравенства, которым должны подчиняться фронты импульса:

, , (2.92.0)

либо альтернативно

, , (2.93.0)

или, гораздо проще,

, , (2.94.0)

, . (2.95.0)

С учетом малости , если амплитуда волны не убывает на участке (), имеем

, , (2.92.1)

, , (2.93.1)

если не возрастает на , то

, , (2.92.2)

, , (2.93.2)

Также можно упростить (2.94.0)-(2.95.0). Если амплитуда волны не убывает на , то

, , (2.94.1)

, , (2.95.1)

если не возрастает на , то

,, (2.94.2)

, . (2.95.2)

Откуда видно, что неравенство (2.94.1) эквивалентно неравенству (2.93.1), (2.95.2) равносильно (2.92.2). Критерий (2.92.0) дуален к критерию (2.93.0), а критерий (2.94.0) дуален к критерию (2.95.0) так, что выполнение одного критерия дуальной пары автоматически ведет к выполнимости второго критерия. Следует, однако, проявлять внимательность при использовании неравенств (2.95.1) и (2.94.2), т.к. преобразования, благодаря которым они получены, справедливы, если и только если -- когда же данное сильное условие не выполняется, применение критериев (2.95.1) и (2.94.2) некорректно.

Подвергнем проверке на критерий (2.93.2) некоторые формы импульса, взяв . Поскольку супергауссиан и «шапочка» вдали от моды убывают гораздо быстрее своей производной, то будем рассматривать только тот диапазон, в котором амплитуда импульса сосредоточена в пределах от 10% до 90% своего макс. значения, аналогично [46], дабы не говорить о переходном режиме и краевых особенностях.

Таблица №2.1. Максимальное значение m обобщенной верзьеры.

l, фс	щ, •1014 Гц	m	щ, •1014 Гц	m	щ, •1014 Гц	m
25	3	1	6	1	9	2
50	3	1	6	3	9	4
75	3	2	6	4	9	6
100	3	3	6	5	9	7

Таблица №2.2. Максимальное значение m для супергауссиана.

у, фс	щ, •1014 Гц	m	щ, •1014 Гц	m	щ, •1014 Гц	m
30	3	1	6	1	9	2
50	3	1	6	2	9	3
70	3	1	6	3	9	4
90	3	2	6	3	9	5

Таблица №2.3. Максимальное значение m для «шапочки».

l, фс	щ, •1014 Гц	m	щ, •1014 Гц	m	щ, •1014 Гц	m
200	3	1	6	2	9	3
300	3	1	6	3	9	5
400	3	2	6	5	9	7
500	3	3	6	6	9	9

Таблица №2.4. Максимальное значение m для синуса в степени 2m.

1/s, фс	щ, •1014 Гц	m	щ, •1014 Гц	m	щ, •1014 Гц	m
80	3	3	6	17	9	41
90	3	4	6	22	9	52
100	3	5	6	28	9	64
110	3	7	6	34	9	78

Из таблиц №2.1-2.4 видно, что с ростом частоты и длины импульса, как и следовало ожидать, увеличивается допустимое значение m. В заключение отметим, что величина , как кажется, задает логарифмический декремент колебаний в двух соседних максимумах импульса (амплитудах), однако крутизна в форме (2.91), в отличие от декремента, задана не на отдельных точках -- вершинах максимумов, -- а на непрерывном множестве аргументов . Выбор же того или иного выражения крутизны фронта диктуется исключительно вычислительными удобствами.

2.3.4 Поперечный сдвиг частицы в поле плоского электромагнитного импульса

2.3.4.1 Сдвиг при импульсе с симметричными фронтами

Рассмотрим первоначально покоящуюся заряженную частицу с массой m и зарядом q. Плоско-поляризованный плоский электромагнитный импульс, распространяющийся вдоль оси z, имеет векторный потенциал, сводящийся к знакопеременному (в силу произвольности выбора начального уровня)

, ,

и принимающий равные значения на концах компакта (в частности , ). В полной аналогии с (2.71) получаем

, ,

.

Очевидно, после прохождения электромагнитного импульса координата z частицы отлична от нуля , т.к. в её выражении подынтегральная функция принимает только неотрицательные значения. Координата y на протяжении всего процесса не изменяется и равна нулю . Сказать что-либо определенное о координате x мы не можем, равна она нулю или нет после прохождения импульса. Более того, рассматривая интеграл для неё, можно обнаружить, что она не возвращается к первоначальному нулевому значению во многих случаях.

Это обстоятельство, на первый взгляд, контринтуитивно. Однако чтобы, в конечном счете, координата x заряженной частицы не возвращалась к первоначальному нулевому значению, достаточно чтобы положительная площадь под графиком векторного потенциала (расположенная над осью ф) не уравновешивалась отрицательной площадью (расположенной под осью ф).



2.3.4.1.1 Импульс с гауссовой огибающей

Обратим внимание на хорошо известный импульс с гауссовой огибающей:

, ,

параметр v связан с длительностью импульса на полувысоте FWHM формулой . Интегрирование его векторного потенциала от до даёт выражение, зависящее от длительности, частоты и начальной фазы импульса

,

где введено обозначение

, . (2.96)

В функции I хорошо усматривается гауссово распределение по частоте и распределение Рэлея по параметру v (см. рис. 2.6). Средствами математического анализа легко показать, что I принимает своё максимальное значение при и нулевой фазе . Много это или мало? Например, это даёт поперечный сдвиг порядка при (близко к ) и , что составляет порядка одной длины волны импульса или Е.

Значение параметра v, при котором I достигает максимума, отвечает так называемым half-cycle импульсам (импульсам, в которых укладывается порядка полупериода волны [50], см. рис. 2.7.а).

(а) (б)

Рис. 2.6. Значение интеграла I в зависимости от а). параметра v и частоты, б). параметра v и фазы импульса.

Для так называемых few-cycle импульсов (импульсов с малым числом периодов, укладывающихся в FWHM [51], иногда говорят «предельно коротких лазерных импульсов», рис. 2.7.б) величина I принимает значения, меньшие чем для half-cycle импульсов. Наконец, для many-cycle импульсов (с большим числом периодов в FWHM, рис. 2.7.в) эффект нескомпенсированности положительной и отрицательной площадей становится практически незаметным.

Очевидно, максимальная нескомпенсированная площадь под векторным потенциалом, сводящимся к знакопеременному, отвечает , что составляет верхнюю границу интеграла I для импульсов любой формы огибающей.



	(а)	(б)	(в)

Рис. 2.7. Эскизы векторного потенциала и соответствующей напряженности электрического поля гауссового импульса во времени ф в зависимости от фазы Ц: а). half-cycle pulse, б). few-cycle pulse, в). many-cycle pulse.

2.3.4.1.2 Импульс с огибающей типа квадрата синуса

Другим аналитически вычислимым случаем является импульс с огибающей типа квадрата синуса:

, .

Такая функция векторного потенциала имеет компактную область определения, в отличие от неограниченного в пространстве гауссиана, постепенно спадающего к нулю на бесконечности. Конечное поперечное смещение частицы в поле импульса:

,

.

Анализируя выражение для I, можно показать, что оно достигает максимальных значений, если, (). Глобальный же максимум будет при , и он равен , что соответствует half-cycle импульсу (рис. 2.8.а), спадание же этой максимальной величины с ростом (соответственно, и длительности импульса ) происходит по закону , что гораздо медленнее, чем (2.96), убывающее с длительностью по закону .

Как и ранее из рис. 2.7, из рис. 2.8 можно наблюдать, как эффект нескомпенсированности положительной и отрицательной площадей становится незаметным на высоких частотах. Отметим, что как в п.2.3.4.1.1, так и в п.2.3.4.1.2 положительная и отрицательная площадь под графиком напряженности электрического поля уравновешивают друг друга, так что суммарная площадь под графиком остаётся равной нулю (первообразная напряженности пропорциональна векторному потенциалу, принимающему на бесконечностях одинаковые значения).



	(а)	(б)	(в)

Рис. 2.8. Эскизы векторного потенциала и соответствующей напряженности электрического поля импульса типа sin² во времени ф в зависимости от фазы Ц:а). half-cycle pulse, б). few-cycle pulse, в). many-cycle pulse.

2.3.4.2 Влияние асимметрии фронтов на величину поперечного сдвига частицы

Максимальная нескомпенсированная площадь под графиком импульса, имеющего симметричные передний и задний фронты, определялась лишь одним полупериодом волны. Однако, как будет видно далее, можно добиться увеличения нескомпенированной площади во много раз, используя импульсы с асимметричными фронтами.

2.3.4.2.1 Импульс с усеченной гауссовой огибающей

Обратимся вновь к импульсу с гауссовой огибающей (на левом рис. 2.9 -- синяя кривая), но пусть теперь от неё отсечён некоторый хвост (красная кривая на рис. 2.9), так что импульс становится существенно асимметричным. Поскольку напряженность электрического поля пропорциональна первой производной от векторного потенциала, то ради физического смысла, вообще говоря, требуется обеспечить гладкость отсечения хвоста, что показано на увеличенном фрагменте рис. 2.9.

Рис. 2.9. Эскиз, иллюстрирующий векторный потенциал (синяя линия) с гауссовой огибающей без хвоста (красная линия) на левом рисунке и соответствующую напряжённость электрического поля на правом рисунке. На увеличенном фрагменте показан плавный уход потенциала в нуль.

Отсекаемый хвост определяет величину поперечного смещения заряженной частицы. Пусть для простоты сдвиг моды огибающей относительно начала координат равен нулю . Отсекается передний фронт до точки , так что интегрирование векторного потенциала от этой точки до даёт выражение

,

где функция I равна

,

, .

Наличие корня в выражении для I приводит к эффекту много большему, чем в случае симметричных фронтов (2.96). Если зафиксировать , то локальные максимумы станут наблюдаться в точках (), а наибольший -- в точке ( -- де-факто отсекается почти половина импульса), что можно наблюдать численно (рис. 2.10.а).

(а)	(б)

Рис. 2.10. а). Оригинальный векторный потенциал (красная линия) и функция I в зависимости от точки (зеленая линия), б). Отношение максимального значения I при асимметричных фронтах гауссового импульса к максимальному значению I при симметричных фронтах.

Отношение максимального значения I при к максимальному значению I при симметричных фронтах (рис. 2.10.б) растёт с частотой гораздо быстрее экспоненты, примерно подчиняясь зависимости . Однако при этом по абсолютной величине I при несимметричных фронтах, конечно же, убывает с частотой, причем по закону .

2.3.4.2.2 Экспоненциально убывающий импульс

В качестве примера сильно асимметричного импульса с точно вычислимыми параметрами рассмотрим импульс с экспоненциально убывающей огибающей:

, .

После прохождения такого импульса величина поперечного смещения частицы равна:

,

, .

Легко подсчитать, что максимально при (если ) и равно , либо при (если ) и равно -- в обоих случаях величина эффекта пропорциональна эффективной длительности импульса .

2.3.4.3 Возможная схема демонстрационного эксперимента

Выбор покоящейся частицы в п.2.3.4.1-2.3.4.2 был сделан для наглядности. Можно показать формально (это уже было проделано в п.2.3.2.2), что после прохождения лазерного импульса все компоненты скорости частицы возвращаются к первоначальным значениям, а это дает повод предложить какую-нибудь экспериментальную демонстрацию указанного эффекта (см. рис. 2.11). Описание эксперимента полностью совпадает с предложенным в п.2.3.2.2 (рис. 2.3) с той лишь разницей, что теперь угол и между электронным пучком и направлением распространения лазерного импульса мал. Это приводит к тому, что смещение электронов на экране складывается из двух величин -- доли от продольного смещения и доли от поперечного смещения . Достаточной малостью угла и и длительности лазерного импульса можно добиться того, что вклад от продольного смещения будет мал в сравнении с поперечным сдвигом.

При достаточной чувствительности аппаратуры рассмотренный эффект может быть использован, например, для детектирования несимметричности фронтов импульсов с большим числом колебаний, чью асимметрию стандартными средствами заметить оказывается затруднительным. Можно попробовать использовать данный эффект для калибровки компьютерных моделей. Например, при использовании гауссовой формы импульса мы не можем на практике выжидать бесконечное время, выдерживая всю длительность переднего фронта, поэтому приходится ограничивать длину переднего фронта разумными пределами. Проведение калибровочного расчета с одной заряженной частицей в поле такого усеченного импульса показывало бы приемлемость такого упрощения.

Рис. 2.11. Возможная схема эксперимента, демонстрирующего поперечное смещение электронов в поле импульса.

Следует отметить, что всё вышесказанное по п.2.3.4 относилось к импульсам с векторным потенциалом, сводящимся к знакопеременному. В п.2.3.3.3 был рассмотрен импульс со знакопостоянным векторным потенциалом (2.83). Т.к. на каждом полупериоде колебаний такого импульса не происходит компенсации площади под графиком потенциала, то поперечное смещение частицы (2.88) оказывается очень большим (в сравнении со случаем знакопеременного потенциала) и даже превосходит продольный сдвиг.

В качестве краткого заключения по п.2.3.4 можно указать следующее. Было показано, что после прохождения электромагнитных импульсов с симметричными фронтами изначально покоящаяся частица может быть смещена в поперечном направлении. Величина смещения быстро убывает с частотой и длительностью импульса, поэтому максимальный эффект следует ожидать для так называемых half-cycle и few-cycle импульсов. Поперечное смещение имеет место и для импульсов с асимметричными фронтами, при этом его величина намного больше, чем в симметричном случае. Аналитически были рассчитаны некоторые наглядные виды импульсов. Предложена схема эксперимента для проверки теоретических расчетов.



3. Движение заряженной частицы в поле неплоской электромагнитной волны

3.1 Движение частицы в неплоской волне

3.1.1 О неплоских электромагнитных волнах

Плоская монохроматическая электромагнитная волна бесконечна в пространстве, нигде не начинается и нигде не обрывается, амплитуда ее колебаний не зависит от времени, следовательно, она является идеальным объектом. В природе же все электромагнитные волны имеют некоторый источник, имеют начало, ранее которого их не было, а значит, имеют область пространства и времени, в которой их когда-то не было, то есть формально их амплитуда зависит как от времени, так и от координаты. Такие волны, конечно же, не являются плоскими. Плоские электромагнитные волны -- суть нестационарные поля, которые могут быть представлены в декартовой прямоугольной системе координат так, что будут иметь периодичность вдоль одной из координат и обладать непрерывной трансляционной симметрией по двум другим координатам. Поскольку, как уже замечено, случай плоских волн идеален, то интерес представляют неплоские волны, которые также хорошо могли бы описываться математически и возникали бы в некоторых специальных, модельных условиях.

По определению напряженность электрического и магнитного поля электромагнитной волны выражаются через векторный потенциал (2.2). В отсутствие источников и среды скалярный потенциал волны удобно положить равным нулю ([5, с. 5], [23]), тогда на векторное поле будет наложена кулоновская калибровка , при которой сам векторный потенциал, напряженность электрического и магнитного поля все вместе удовлетворяют волновому уравнению [52] (2.3), где на месте могут быть компоненты полей , и .

Последующий вывод неплоской волны в вакууме возможен двумя путями: либо из уравнения (2.3) отыскивается потенциал , а затем по нему строятся напряженности и , исходя из определений (2.2), либо из (2.3) сразу ищутся поля и . И в первом, и во втором случае система координат выбирается так, чтобы по максимальному числу осей наличествовала симметрия, т.к. в этом случае лапласиан в уравнении (2.3), естественно, упрощается.

Известно, что вообще решение одномерной краевой задачи для уравнения гиперболического типа задаётся с помощью формулы Даламбера [25, с. 50-52]:

, , ,

.

Однако, обычно, решение требуется не в интегральном виде, поэтому приходится прибегать к различным аналитическим маневрам. При попытке рационального выбора системы координат лишь сравнительно небольшое их число дает простые решения.

Лапласиан в криволинейных не ортогональных системах координат называется оператором Лапласа-Бельтрами [53]:

,

где -- метрический тензор, , . С его помощью волновое уравнение (2.3) для компонент записывается в форме

(3.1)

На практике, как правило, чаще выбирают ортогональные системы координат, поэтому волновое уравнение (3.1) решать не приходится. Решения дифференциальных уравнений в ортогональных координатах принято искать в виде функций, получивших наименование специальных. Наиболее удобоупотребимы сферическая, цилиндрическая, сфероидальная системы координат. Оператор Лапласа в ортогональных координатах записывается сравнительно просто:

,

где , и -- коэффициенты Ламэ. Очевидно, для цилиндрических и параболических координат, а также для биполярных координат на плоскости, одна из осей которых совпадает с какой-нибудь осью декартовой системы, вдоль этой совпадающей оси всегда возможна плоская волна:

.

Когда искомая функция допускает разделение переменных , то волновое уравнение приводится к уравнению Гельмгольца

,

И, например, функции Бесселя и сферические функции Бесселя в этом случае являются радиальными частями решений этого уравнения [54, с. 11] в цилиндрической и сферической системах координат, а просто сферические функции -- это угловая часть решений уравнения Гельмгольца в сферической системе координат. Уравнение Гельмгольца в сферической системе координат со своими решениями [55, л. 5]:

,

, , ,

где -- присоединенные полиномы Лежандра, -- функции Бесселя полуцелого номера, -- сферические радиальные функции, а то, что в квадратных скобках -- шаровая сферическая функция, обозначаемая . Поскольку для точечного источника волн наличествует центральная симметрия, то вторую и третью производную следует положить равными нулю, что в общем решении можно осуществить закреплением углов и на какую-либо величину, тогда в качестве решения останется только сферическая радиальная компонента.

В цилиндрической системе координат решением уравнения Гельмгольца [56, с. 78-79]

,

не зависящими от , являются стоячие волны, представимые произведением синусоиды (косинусоиды) по углу и линейной комбинации функций Бесселя и Неймана :

или ,

где и -- произвольные постоянные (вообще говоря, комплексные). Чтобы решение сходилось при , обычно подразумевают, что [52]. См. также по этой теме [25, с. 523-527].

В сфероидальных координатах угловая и радиальная часть решения уравнения Гельмгольца оказываются взаимосвязанными. Оператор Лапласа с сфероидальных вытянутых (верхний знак) и сплюснутых (нижний знак) координатах [54, с. 20-21]:

.

Множители решения уравнения Гельмгольца и подчиняются дифференциальным уравнениям с решениями

,

,

, , ,

где -- константа разделения, -- фокусное расстояние в эллиптической системе координат, . Напомним, что сфероидальные координаты связаны с декартовыми прямоугольными формулами (ось совмещена с осью вращения):

, , ,

, , .

Отметим, что решать одно-единственное векторное волновое уравнение (2.3) гораздо проще, чем систему уравнений Максвелла в комплексных амплитудах [57]

, ,

которая даже просто в ортогональных координатах для монохроматических полей в отсутствие источников записывается в очень громоздком виде [58, с. 7]

, ,

, ,

где векторы напряженности электрического и магнитного поля записаны в виде , , а , , -- орты вдоль, соответственно, координат , , .

Вывод неплоских волн в различных криволинейных системах координат формально допустим не только из волнового уравнения (2.3). Запись уравнений Максвелла все же может быть проще, чем волновое уравнение, если ввести комплекснозначный вектор Римана-Зильберштейна . С ним уравнения Максвелла записываются компактно [55, л. 2]

и включают в себя лишь частные производные первого порядка. Вектор носит характер комплексной амплитуды, причем -- есть плотность энергии электромагнитного поля. Весьма просто с помощью вектора находятся волны, например, в цилиндрической системе координат [55, л. 2].

Таким образом, вывод той или иной неплоской волны в криволинейных системах координат связан с формой уравнения, представляющего эту волну. Так, напряженности электрического и магнитного поля могут находиться непосредственно из волнового уравнения (2.3) или уравнений Максвелла, либо опосредованно через векторный потенциал, получаемый из (2.3). В обоих случаях выбор удобной системы координат позволяет, в силу наличия симметрий по определённым направлениям, резко упростить задачу поиска вычислимых аналитически случаев.

3.1.2 Движение заряженной частицы в сферической волне

В п.3.1.1 была упомянута сферическая система координат. Следуя [52], рассмотрим волновое уравнение в этой системе для поля, не зависящего от углов и . Это уравнение записывается очень просто:

(3.2)

Подстановка

(3.3)

приводит к уравнению

эквивалентному (2.3) с общим решением в виде линейной комбинации

,

где a и b -- действительные числа, -- соответствует волне, распространяющейся в направлении возрастания r, -- в направлении убывания r.

Если под понимать компоненты векторного потенциала , то напряженности электрического и магнитного поля, согласно определению (2.2) равны

, . (3.4)

Напряженность электрического поля (3.4) имеет зависимость, подобную векторному полю (3.3). Выражение для магнитного поля упрощается в так называемой дальней (волновой) зоне, т.е. на большом расстоянии r>>cф от центра сфер. В этом случае второй член в выражении для магнитного поля (3.4) пренебрежимо мал в сравнении с первым, и магнитное поле становится по форме записи похожим, как и электрическое поле, на векторное поле. Противоположному случаю r<<cф отвечает так называемая ближняя зона (зона индукции), в ней, наоборот, можно пренебречь первым членом в выражении для магнитного поля [59]. Посередине располагается промежуточная зона, в которой важны оба члена в выражении магнитного поля (3.4).

Далее попробуем рассмотреть движение заряженной частицы в сферической электромагнитной волне. Будем действовать аналогично п.2.1.3. Переменную определим теперь как

, ().

Здесь и далее, если r будет встречаться без вектора, то подразумевается его модуль. Запишем гамильтониан частицы в поле векторного потенциала :

(3.5)

где , , -- компоненты обобщенного импульса. Для частных производных имеем:

,

,

, (3.6)

где штрихом обозначена производная по . Когда частица движется в ближней зоне, приближенно можно считать, что

,

,

. (3.7)

Канонические уравнения:

,

,

, (3.8)

, , , (3.9)

где точкой обозначена производная по времени . С учетом (3.7) уравнения (3.8)-(3.9) примут вид:

, ,

, (3.10)

, , . (3.11)

Напрямую из (3.5), дифференцируя, получаем

(3.12)

Если обозначим

,

то тогда из (3.10)

, , ,

. (3.13)

Для модуля мгновенной силы, действующей на частицу, из (3.10) получаем выражение:

(3.14)

Из (3.11) и (3.13) находим

. (3.15)

Дифференцируя выражения (3.10) по времени, с учетом (3.12), (3.11) и (3.13), получаем дифференциальные уравнения, описывающие импульс частицы

либо, с учетом (3.15),

,

после аккуратного упрощения

(3.16)

Таким образом, уравнения (3.5), (3.13) и (3.16) полностью определяют динамику заряженной частицы в поле сферической электромагнитной волны в допущении (3.7), т.е. в ближней зоне. По наличию в уравнении (3.16) импульса самого по себе, а также его первой и второй производной, можно лишь предположить, что движение частицы будет представлять собой вынужденные затухающие колебания. В то же время, можно подумать, что движение по оси z из-за одинаковой формы уравнения для всех трёх координат будет подобно движению по x и y, но в действительности это нельзя сказать утвердительно, т.к. движение по оси z очень сильно зависит от компоненты A_z векторного потенциала.

Из (3.8) без использования допущения (3.7) получаем уравнение,

,

которое вместе с (3.5) и (3.9) описывает поведение заряженной частицы в сферической волне более точно, чем система уравнений (3.5), (3.13), (3.16), но более сложно.

Теперь поговорим о движении частицы в дальней (волновой) зоне, когда расстояние от центра r велико. Частные производные (3.6) с учетом (3.4) и пренебрежением вторыми слагаемыми принимают вид

,

,

, (3.17)

а канонические уравнения для импульсов (3.8), соответственно,

,

,

, (3.18)

Если обозначим

,

то тогда из (3.18)

, , ,

, , . (3.19)

Для модуля мгновенной силы, действующей на частицу, из (3.18) получаем выражение:

(3.20)

Из (3.9) и (3.19) имеем

. (3.21)

Дифференцируя выражения (3.18) по времени, с учетом (3.9), (3.12), (3.19) и (3.21), получаем дифференциальные уравнения, описывающие импульс частицы

либо, с учетом (3.19),

.

После аккуратных преобразований

(3.22)

Система уравнений (3.5), (3.19) и (3.22) полностью определяют динамику заряженной частицы в поле сферической электромагнитной волны в допущении (3.17), т.е. в дальней (волновой) зоне. В отличие от уравнений на компоненты импульса в ближней зоне (3.16) уравнения на компоненты в дальней зоне (3.22) содержат в себе в явном виде координату (в знаменателе), а избавление от неё в ближней зоне и было смыслом дифференцирования выражений (3.10) по времени. Поскольку в дальней зоне отделить импульсную зависимость от координатной не удалось, то более оправданным является использование и более простой системы уравнений (3.5), (3.9) и (3.18).

Сравнение выражений (3.14) и (3.20) для мгновенной силы, действующей на частицу, показывает, казалось бы, что в ближней и дальней зоне несколько различается характер зависимости силы от расстояния r, т.к. в знаменателе выражения (3.14) для ближней зоны есть дополнительный множитель r. Однако если увидеть, что , то выражения (3.14) и (3.20) становятся аналогичными.

3.2 Движение заряженной частицы в квазиплоской электромагнитной волне

3.2.1 О различных способах представления неплоской волны

Известно, что хорошо заданный вопрос содержит половину ответа. В этом нередко можно убедиться в различных задачах математической физики, когда заранее предполагается форма решения дифференциального уравнения, и лишь затем по ней отыскивается ответ. В каждом ответе к задаче можно увидеть влияние стартовых величин. Это относится и к задаче о движении частицы во внешних полях. Например, в представлении поля пользуются разложением по малому безразмерному параметру и вводят безразмерные параметры [60]-[61].

Попробуем ввести векторный потенциал электромагнитного поля, зависящий от некоторых безразмерных (в пределах п.3.2.1) пространственных координат и и координаты как ряд Тейлора:

, (3.23)

, (3.24)

где -- остаточный член в форме Лагранжа, и частные производные от некоторой функции

(3.25)

Из (3.24) с учетом (2.2) и (2.4) электрическое и магнитное поля равны:

,

, (3.26)

где () обозначает соответствующую j-ую компоненту. Легко увидеть, что формально

(3.27)

где остатки и равны друг другу только в первом приближении n=1. Уже при n=2:

.

Между прочим, можно заметить, что , .

Минимальный учет пространственной неоднородности по и возможен при n=1:

,

,

.

Логично предположить, что при осевой симметрии (относительно z) . Видеть, чем сложен случай неплоской электромагнитной волны, можно хотя бы по тому, что для плоской электромагнитной волны все компоненты, обведённые сейчас серой пунктирной рамкой, были тогда равны нулю. Из (3.26) и (3.24) следует, что электрическое поле в пространстве отсутствует тогда, когда векторное поле стационарно по величине , т.е. не меняется как по времени , так и по координате , а отсутствие магнитного поля (вихрь векторного поля (3.24) тождественно равен нулю) автоматически требует обнуления всех частных производных по и , начиная с первых и . Следовательно, нулевому полю отвечает вектор констант . Согласно (3.26) постоянному электрическому полю, направленному вдоль оси , должно отвечать векторное поле с , , ().

Векторное поле (3.24) можно переписать в матричной форме, расцепив x и y,

,

где матрица над полем 3-компонентных векторов равна

, , , ,

т.е. все элементы под побочной диагональю матрицы равны . Разложение векторного поля в ряд Тейлора не по двум переменным (3.24), а по трём должно приводить уже не к матричной, а тензорной записи с тензором третьего ранга над полем 3-компонентных векторов .

Введём теперь векторное поле с явным осциллирующим множителем:

(3.28)

Электрическое и магнитное поля равны

,

. (3.29)

Формально запись (3.28) отличается от (3.24) только умножением на экспоненту и взятием действительной части, но в действительности эти два дополнительных действия приводят к появлению новых слагаемых в электрическом поле, обведённых синей пунктирной рамкой.

При n=1 из (3.28) и (2.2), с учетом (2.4), получаем

, (3.30)

,

.

Из (3.29) можно вычислить значения частных производных, при которых электрическое поле равно нулю, . Чтобы магнитное поле также равнялось нулю, требуется, как и ранее, ().

Если не зависят от , то из (3.30)

, (3.31)

и параксиальное приближение (3.31) дает выражения для частных производных:

, , ().

Для электромагнитной волны можно задавать напрямую выражения напряжённостей электрического и магнитного поля, минуя векторный потенциал. Будем следовать в этом работе [52]. При этом теперь будем полагать , и размерными:



, . (3.33)

Если и постоянны, то (3.33) задаёт монохроматическую плоскую волну, бегущую вдоль оси z. В немонохроматической волне и меняются во времени и пространстве. Пусть ф_b и l_b -- такие время и длина, на которых функции и существенно изменяются, но при и меняются всё же медленно в сравнении с комплексной экспонентой . Аналогично (2.47) можно ввести параметры, которые удовлетворяют сильным неравенствам:

, , (3.34)

где . Поле (3.33) при выполнении (3.34) называется квазимонохроматической квазиплоской электромагнитной волной. Когда , электромагнитную волну на интервале удобно считать монохроматической квазиплоской волной. Когда , её удобно считать плоской квазимонохроматической волной в области с поперечными размерами к направлению распространения.

Подстановка (3.33) в уравнения Максвелла с вычислениями в первом порядке по малым параметрам (3.34) даёт выражения для компонент и :

, ,

, , (3.35)

где произвольные и меняются медленно, так что их старшие производные высших порядков пренебрежимо малы. Учитывая (3.33):

,

,

,

, (3.36)

где , , , .

Видно, что между (3.33) и (3.29) существует глубокая связь, особенно если пренебречь суммами и .

3.2.2 Движение частицы в квазиплоской электромагнитной волне

При рассмотрении движения заряженной частицы в квазиплоской электромагнитной волне будем следовать работам [19]-[22].

Релятивистское уравнение движения заряженной частицы имеет форму (2.8). Импульс частицы задается уравнением (2.9), а энергия -- уравнением (2.10). Магнитное поле электромагнитной волны не совершает непосредственной работы над частицей, поэтому энергия частицы меняется только под действием электрического поля (2.11). С учетом (2.2) запишем отличные от нуля компоненты электромагнитного поля в виде:

, ,

, . (3.37)

где .

Из (3.37) находим векторный потенциал:

, . (3.38)

Уравнение движения (2.8) в покомпонентном виде:

, (3.39)

,

(3.40)

С учетом (2.11) уравнение (3.40) можно переписать в виде

(3.41)

где . В параксиальном приближении (3.31) из (3.41) хорошо видно, что величина , которая для плоской волны была постоянной (2.24), теперь осциллирует

(3.42)

т.е. для квазиплоской волны не применима теорема Лоусона-Вудварда [26-27]. В конечном итоге это приводит к тому, что заряженная частица может ускоряться полем квазиплоской электромагнитной волны.

Фактически система (3.39)-(3.41) с пренебрежением частными производными по пространственным координатам (2.13*)-(2.14*) была решена в п.2.1.1. Когда амплитуда волны является константой, распространяющаяся волна по определению является строго монохроматической. Движение заряженной частицы в такой монохроматической волне было изучено, например, в работах [13], [11]. Энергия и импульс заряженной частицы тогда равны [19]-[22]:

, , , . (3.43)

Согласно [5, с. 13], энергия и компоненты импульса (3.43) первоначально покоившейся заряженной частицы (,), усредненные по периоду осцилляций частицы (2.53), равны

, , . (3.44)

Средняя сила, действующая на электрон вдоль оси z, равна

, .

Наличие малых частных производных по пространственным координатам в (3.39)-(3.40) приводит к малым поправкам к средней энергии и средним компонентам импульса (3.44). Согласно [20] и [22] поправками к и можно пренебречь, т.к. они в общем случае отличны от нуля и при плоской волне. Поэтому, целесообразно отыскать поправки к поперечным компонентам импульса, которые в среднем равны нулю. Согласно [19] с учётом (3.34) эти поправки в компактной записи равны:

. (3.45)

Соответствующее значение средней силы, действующей на заряженную частицу в поперечных направлениях:

().

При малых (не релятивистских) значениях м это выражение для силы переходит в известную силу Миллера [62]

(),

а в ультрарелятивистском пределе м>>1 зависит от градиента амплитуды поля

().

Т.к. в квазиплоской волне отличны от нуля пространственные частные производные от векторного потенциала, то даже когда импульс прошёл сквозь область, в которой пребывала первоначально покоившаяся частица, у частицы сохраняется ненулевой импульс (т.е. частица приобрела энергию). Численно это явление изучалось, например, в диссертации [63].

Отметим, что попытка использовать адиабатическое приближение была проделана уже в работе [62]. В ней была рассмотрена заряженная частицы, движущаяся в электромагнитном поле вида , в нерелятивистском приближении:

. (3.46)

При достаточно большой частоте щ в [62] было предложено представлять решение уравнения (3.46) в виде суммы медленно меняющейся функции и функции , осциллирующей с частотой щ. В допущении, что намного меньше расстояния L, на котором амплитуда внешнего поля существенно изменяется

, (3.47)

с пренебрежением членами и и усреднением (3.46) по периоду осцилляций поля получается уравнение

, , (3.48)

т.е. средняя по времени сила потенциальна. Выражение (3.48), умноженное на массу частицы и называется силой Миллера.



4. Анализ результатов

В разделе 2 говорится о движении заряженной частицы в поле плоской немонохроматической электромагнитной волны, в частности, квазимононохроматической. Решаются уравнения движения частицы, анализируются выражения для координат частицы, приводятся некоторые аналитические оценки, проводится их сравнение с результатами численного моделирования, рассматриваются наиболее наглядные аналитические случаи.

В п.2.1 представлено решение релятивистского уравнения движения (2.8) заряженной частицы в поле плоской электромагнитной волны (2.6). Это решение было получено в трёх вариантах: непосредственно из уравнения движения с использованием векторного потенциала (п.2.1.1) и без использования векторного потенциала (п.2.1.2), а также через канонические уравнения (п.2.1.3). Наибольшей ясностью обладает решение с помощью векторного потенциала, т.к. требует знания математического аппарата на уровне 2 курса университета. Наибольшей простотой обладает третье решение (п.2.1.3), но оно требует знания специфического аппарата теоретической механики. Необходимость же второго решения (п.2.1.2) продиктована ненаблюдаемостью векторного потенциала и, как следствие, заданием в подобных задачах, как правило, сразу формы напряженности электрического поля. В результате решения задачи были получены выражения для координат (2.22), (2.22*), (2.22**), (2.34)-(2.35); импульса (2.17)-(2.18), (2.17*)-(2.18*); энергии частицы (2.15), (2.15*), (2.31).

В п.2.2 рассказывается более подробно об аналитичности интегралов (2.42) в выражениях для координат (2.22). Поиск аналитически интегрируемых случаев осуществлялся на двух множествах функций, которыми может быть задана огибающая электромагнитного импульса : ряды по ортогональным системам функций (п.2.2.1) и функции, спадающие на бесконечности (п.2.2.2) так, что смещение изначально покоящейся частицы в поле импульса с такой огибающей оказывается финитным (2.43). В первом случае вопрос об аналитической интегрируемости выражений (2.42) решается положительно, если аналитически выразима первообразная подынтегрального выражения преобразования Фурье от элементов ортогонального базиса -- это и происходит для наиболее употребительных в практике рядов, перечисленных в п.2.2.1 (Маклорена, Тейлора и т.д.). Выяснилось, кроме того, что суммирование таких рядов не должно быть слишком сложным -- использование обобщенной суммы через среднее по Колмогорову делает задачу принципиально неаналитической.

Поиск интегрируемых случаев для выражений (2.42) на множестве спадающих функций в п.2.2.2 можно считать, в некотором плане, умозрительным. В данной работе он осуществлялся либо на основании наличия связи с уже хорошо известным интегрируемым случаем, когда огибающая электромагнитного импульса прямоугольная (п.2.3.3.3), либо отбором из плотностей вероятности наиболее известных одномерных распределений. Найдены более и менее элементарно интегрируемые варианты, и один из этих интегрируемых вариантов был изучен в п.2.3.3.2.

...