. (2)

Оскільки пряма і відбита хвилі є когерентними, вони інтерферують між собою, в результаті чого виникає стояча хвиля. Скориставшись тригонометричною рівністю

,

виходячи з рівнянь (1) і (2), знайдемо рівняння стоячої хвилі:

. (3)

Величина є амплітудою стоячої хвилі.

При виведенні рівності (3) ми припустили, що відбиття хвилі є повним. Розглянемо більш загальний випадок. Нехай маємо деяку трубу, в середині якої може переміщуватися поршень з пружною стінкою (рис.1). Збудимо коливання біля відкритого кінця труби, викликавши появу в ній хвилі (1). Дійшовши до поршня, хвиля відбиватиметься від його пружної стінки, породжуючи зустрічну хвилю. У випадку часткового відбиття амплітуда відбитої хвилі В < А; крім того, відбита хвиля зазнає стрибка фази коливань, що залежить від властивостей пружної стінки поршня. Отже, відбита хвиля буде описуватись рівнянням

, (4)

а рівняння результуючої хвилі матиме вигляд

. (5)

У рівностях (4) і (5) д початкова фаза відбитої хвилі, що залежить від довжини труби, а також від властивостей пружної стінки поршня. Розгорнувши косинуси за формулами

та згрупувавши відповідні члени, рівність (5) легко звести до вигляду

. (6)

Прирівнюючи отриманий результат (6) з формулою (3), робимо висновок, що хвиля, яка поширюється в трубі, є суперпозицією двох стоячих хвиль частоти щ з амплітудами, фази коливань яких в кожній точці зміщені на одна відносно одної.

(7)

Скористуємось методом векторних діаграм і виразимо амплітуду результуючої хвилі:

. (8)

Підставивши в рівність (8) значення ист.1 та uсm2 з (7), знайдемо амплітуду хвилі на стінці поршня, тобто в точці х = l, де l довжина труби:

. (9)

Отже, як видно з формули (9), при переміщенні поршня вздовж труби амплітуда хвилі на стінці поршня буде періодично змінюватись від найменшого до найбільшого її значення. Максимум амплітуди досягатиметься, коли частота збуджуваних коливань збігатиметься з однією з власних частот коливань повітря в трубі, тобто при настанні явища резонансу. Очевидно, в цьому випадку початкова фаза д не залежатиме від довжини труби l, а визначатиметься лише властивостями пружної стінки поршня, тобто буде величиною сталою:

.

Максимуми амплітуди (9) виникатимуть при умові cos(2kl+д0) = 1 або 2kl+д0=2nр, n = 1,2,3,..., звідки довжина труби при настанні резонансу дорівнюватиме

. (10)

. (11)

Виразивши л через швидкість звуку буде дорівнювати

, (12)

де н - частота генератора;

т - довільний резонансний стан (максимум);

lт - відповідна довжина труби.

Очевидно, результат експерименту не зміниться при заміні максимумів амплітуди звукової хвилі мінімумами.

Опис установки

Установка для вимірювання швидкості звуку в повітрі (рис. 1) складається зі скляної труби 1, біля кінця якої знаходиться телефон 2, гучність і тон звучання якого задаються звуковим генератором 3. З мікрофону 4, який можна переміщувати вздовж труби 1, за допомогою підсилювача 5 сигнал подається на осцилограф 6.

При русі мікрофону 4 вздовж труби 1 максимумам звучання сигналу відповідають найдовші світні лінії на екрані осцилографа 6, фіксуючи які, визначають довжину труби 1 при настанні резонансу, за допомогою лінійки 7.

Хід роботи

1. Скласти установку згідно з рис.1 та після перевірки готовності вімкнути прилади в мережу.

2. Встановити певну частоту генератора з діапазону 500...1000 Гц та відрегулювати прийняту гучність звучання.

3. Віддаляючи мікрофон від телефону вздовж труби, послідовно знайти можливі резонансні стани за максимумами сигналу на екрані осцилографа, вимірюючи кожного разу довжину труби l1, l2 ...

4. Виконати експеримент з мінімумами амплітуди звукової хвилі.

5. Повторити вимірювання для інших частот вище вказаного діапазону (пп. 2...4).

6. Виміряти температуру в лабораторії.

7. Дані занести в таблицю

Номер п/п	н, Гц	l1, м	l2, м	l3, м	l4, м	Т, К	х, м/с	хтеор, м/с

Обробка результатів експерименту

1. Для кожного значення частоти вимірювань визначити величини швидкості звуку за формулою (12) відповідно до числа знайдених максимумів, мінімумів. Отримані результати усереднити.

2. Знайти середнє значення швидкості звуку в повітрі для всього частотного діапазону. Методом логарифмування та диференціювання обчислити похибки експерименту.

3. Визначити теоретичне значення швидкості звуку за формулою:

,

де г = 1.4 показник адіабати для повітря;

R = 8,31 - універсальна газова стала;

м = 0,029 кг/моль - молярна маса повітря;

Т абсолютна температура повітря.

4. Порівняти експериментальне значення швидкості звуку з теоретичним. Зробити висновок.

Додаткове завдання

Дослідити залежність експериментально визначених значень швидкості звуку від частоти та порівняти з даними теорії. Функцію х = f(г) зобразити графічно. Результати пояснити.

Контрольні запитання для допуску до виконання лабораторної роботи

1. Мета роботи.

2. Як практично утворюється механічна хвиля в пружному середовищі?

3. Що таке довжина хвилі?

4. Які хвилі називають повздовжніми та в яких пружних середовищах вони утворюються?

5. Які хвилі називають поперечними та в яких пружних середовищах вони утворюються?

6. Записати та охарактеризувати рівняння плоскої біжучої хвилі.

7. Що таке фаза хвилі, циклічна частота, хвильове число?

8. В яких випадках при накладанні плоских біжучих хвиль виникає стояча хвиля? Що таке амплітуда стоячої хвилі?

9. Як залежить швидкість звукових хвиль від частоти й довжини хвилі?

Контрольні запитання для захисту лабораторної роботи

1. Як практично виявляють координати пучностей в цій лабораторній роботі?

2. Чому недоцільно проводити необхідні вимірювання за допомогою вузлів стоячої хвилі?

3. Як визначалась швидкість звуку в повітрі за результатами вимірювання координат пучностей в цій лабораторній роботі?

4. Як теоретично можна визначити швидкість звуку в повітрі?

5. Порівняйте експериментальне значення швидкості звуку в повітрі з теоретичним значенням.

6. Яким методом були визначені відносна та абсолютна похибки в цій роботі?

1.8 Лабораторна робота № 4.8 Визначення швидкості звуку в повітрі методом інтерференції

Мета роботи: вивчити методи визначення швидкості звуку в повітрі методом інтерференції.

Прилади і матеріали: генератор звукових коливань, телефон, прилад Квінке.

Теоретичні відомості

1. Рівняння біжучої хвилі.

Розглянемо процес розповсюдження коливань, джерелом якого є точка О (рис.1), яка коливається за гармонічним законом

. (1)

Нехай коливання точки почалось в момент t = 0. Сусідні точки почнуть коливання з тією самою амплітудою та частотою щ, що і точка 0, але з деяким запізненням. Початок коливань точки В, яка знаходиться на відстані х від джерела, запізниться від початку коливань точки 0 на час

,

де х --швидкість хвилі в даному середовищі.

Якщо величина відхилення точки 0 від положення рівноваги в момент t дорівнює y(0, t ) = y0 cos щt, то внаслідок запізнення відхилення точки В в той же момент t буде таке, яке було відхилення точки 0 раніше на час ф, тобто,

(2)

Рівняння (2) називається рівнянням біжучої хвилі. Таким чином, з рівняння (2) виходить, що зміщення довільної точки залежить від двох змінних відстані х від точки до джерела та часу спостереження t.

Відстань, на яку розповсюджуються коливання за один період, називається довжиною хвилі л :

л = хT, (3)

де Т період коливань.

Оскільки

,

то рівняння біжучої хвилі можна записати у вигляді:

. (4)

Якщо порівняти останній вираз з рівняння (1), то можна побачити, що коливання точки з координатою х зсунуті по фазі відносно коливань у точці 0 на .

Швидкість розповсюдження коливань можна подати у вигляді

, (5)

де

- частота коливань.

2. Інтерференція хвиль. Поняття про когерентність.

Розглянемо додавання двох синусоїдальних хвиль одного періоду (частоти), які виникають в однорідному та ізотропному середовищі від точкових джерел S1 та S2, циклічні частоти гармонічних коливань яких дорівнюють щ1 та щ2, а початкові фази відповідно а1 та a2. Нехай коливання, які спричиняються ними в довільній точці М однаково направлені та задовольняють рівняння

За принципом суперпозиції, результуюче коливання в точці М буде описуватись формулою

.

Для знаходження результуючих амплітуди А та фази ц скористаємося методом векторних діаграм (рис.3). З рисунка бачимо:

Оскільки

де х фазова швидкість хвилі, то

(7)

З формули (6) бачимо, що при накладанні синусоїдальних хвиль, для яких, амплітуда А результуючого коливання в довільній точці середовища залежить від часу, тобто результуючі коливання будуть негармонічними. Амплітуда А буде змінюватись в межах від |А1 А2| до А1 + А2, та циклічна частота коливань амплітуди збігається з циклічною частотою зміни фаз і дорівнює .



Якщо ця частота досить велика, то прилад реєстрації не буде встигати реагувати на зміни величини А і буде показувати лише деяке середнє значення.

Знайдемо середнє значення квадрата амплітуди за час, що дорівнює періоду ф її зміни:

Оскільки за час ф різниця ц2 - ц1 змінюється на 2р, то

та (8)

Таким чином, при накладанні так званих некогерентних синусоїдальних хвиль, для яких середнє значення квадрата амплітуди результуючої хвилі дорівнює сумі квадратів амплітуд вихідних хвиль.

Розглянемо тепер накладання когерентних хвиль.

Когерентними називаються хвилі, які характеризуються однаковою частотою щ та різниця фаз яких не залежить від часу. Тобто, якщо та враховуючи, що при цьому в однорідному ізотропному середовищі

х1= х2= х, отримуємо:

Тому формулу (6) можна переписати:

. (9)

Величина

Дr = r2 r1,

називається геометричною різницею ходу хвиль (від їх джерел S1 та S2 до довільної точки М ).

Оскільки б2 - б1 = const та k = const, то бачимо, що різниця фаз ц2 - ц1 та амплітуда А не залежать від часу.

Амплітуда результуючого коливання максимальна (А = А1 + А2 ) в усіх точках М, для яких аргумент косинуса дорівнює парному числу п:

(10)

чи, замінивши k на , одержимо

.

Якщо = 0, то

.

Очевидно, що амплітуда результуючого коливання мінімальна (А=\А1+ а2 |) в усіх точках М, для яких

, (11)

Якщо , то умова мінімуму амплітуди запишеться так

При накладанні когерентних хвиль квадрат амплітуди та енергія результуючої хвилі відрізняються від суми відповідно квадратів амплітуд та енергій вихідних хвиль. Так, в усіх точках М, які задовольняють умову (10)

,

а в точках М, які задовольняють умову (11)

Явище накладання хвиль, при якому виникає стійке в часі їх взаємне підсилення в одних точках простору та послаблення в інших, в залежності від співвідношення між фазами цих хвиль, називається інтерференцією.

Інтерферувати можуть тільки когерентні хвилі, якщо їм відповідають коливання, які проходять вздовж одного і того чи близьких напрямів.

Отже, якщо в різниці ходу когерентних хвиль вкладається парне число півхвиль, то в результаті їх накладання отримаємо максимальну амплітуду результуючого коливання, тобто в точці спостереження будемо спостерігати максимум інтерференції. Якщо ж в різниці ходу вкладається непарне число півхвиль, то отримаємо мінімальну амплітуду, тобто спостерігаємо мінімум інтерференції.

Розглянемо явище інтерференції на прикладі розповсюдження звукових хвиль від одного джерела Т вздовж труби К (рис.4).

Нехай довжина шляху вздовж труби 1 до довільної точки дорівнює х, а вздовж труби 2 х + d.

Очевидно, правіше цієї точки обидві хвилі розповсюджуються з постійною різницею ходу, яка дорівнює d. Запишемо рівняння хвиль, які виходять з труб 1 та 2:

; (12)



(13)

Якщо порівняти рівняння (12) та (13), можна побачити, що постійна різниця ходу d спричиняє постійну різницю фаз . Результуюче коливання в точці Р буде дорівнювати сумі коливань у 1 та у 2 :

(14)

Останнє рівняння описує біжучу хвилю, амплітуда якої дорівнює . Якщо = 0, то амплітуда коливань рівна нулю, оскільки хвилі повністю гасять одна одну (якщо амплітуда коливань y 1 та у 2 різні, то в таких випадках одержимо мінімум коливань). Очевидно, умова мінімумів має вигляд:

,

тобто

. (15)

Якщо = 1, то амплітуда коливань буде максимальна, тобто будемо спостерігати підсилення хвиль. Отже, умова максимумів має вигляд

,

Тобто

. (16)

Таким чином, максимум інтерференції одержимо тоді, коли перша труба довша другої на парне число півхвиль.

Опис установки

Схема установки для визначення швидкості звуку методом інтерференції зображена на рис.4. До стіни нерухомо прикріплена вигнута труба В, в яку зверху входить подібна їй труба С меншого діаметра. Трубу С можна всувати в трубу В та висувати. В лівому коліні труби зроблено отвір О, через який вона з'єднується за допомогою гумової трубки К з телефоном Т, який підключено до звукового генератора ГНЧ. Цей генератор являє собою електронний прилад, що збуджує синусоїдальний змінний струм, частоту останнього можна змінювати в межах від 500... 1500 Гц. На лицьовій панелі звукового генератора знаходяться три рукоятки:

Z1 перемикач діапазонів частот,

Z2 рукоятка для регулювання гучності звуку (амплітуди коливань),

Z3 рукоятка плавного настроювання на частоту.

Змінний струм, що збуджується генератором, проходить через котушки телефону Т, внаслідок чого його мембрана почне коливатись.

Звукові хвилі, які розповсюджуються вздовж труби, попадають у прилад Квінке та розгалужуються: частина їх розповсюджується вздовж коротшого коліна, частина вздовж довшого. Далі ці хвилі знов сходяться біля отвору Р. Для того, щоб збільшити точність вимірів, установка обладнана мікрофоном, що розташований в точці збігу звукових хвиль Р. Мікрофон з'єднаний з входом підсилювача. На лицьовій панелі підсилювача розташований стрілковий прилад, покази якого дозволяють чітко спостерігати максимуми та мінімуми інтерференції.

Оскільки звукові хвилі утворилися одним джерелом, то вони будуть когерентними. Тому внаслідок інтерференції в отворі Р в залежності від різниці ходу розповсюдження хвиль за допомогою індикатора будемо спостерігати максимум та мінімум інтерференції.

Якщо ми будемо всувати чи висувати трубу С, то можна добитися того, щоб різниця ходу хвиль була рівна парному числу півхвиль, тоді в отворі Р отримаємо максимум інтерференції. При цьому на індикаторі ми спостерігаємо максимальне відхилення стрілки від нуля. При непарному числі півхвиль отримаємо мінімум інтерференції. Таким чином, можемо визначити довжину звукової хвилі, якщо будемо знати на скільки перемістився покажчик на трубі при переході від одного максимуму до другого.

Позначимо через d відстань, на яку перемістився покажчик при переході від одного максимуму до другого. Тоді для першого максимуму(16)

а для другого

Оскільки при зміщенні покажчика N на величину l довжина шляху по верхній трубі збільшилась на 2l, то d2 = d1 + 2l, звідки

Отже, л = 2l.

Якщо підставимо значення л в формулу (5), одержимо вираз для визначення швидкості звуку в повітрі:

х = 2lv. (17)

Хід роботи

1. Ввімкнути генератор ГНЧ тумблером "Сеть".

2. Заглибити кнопку "х10" та ручкою "Частота Гц" встановити частоту звуку 1000 Гц.

3. Ввімкнути підсилювач тумблером "ВКЛ", що розташований на лицьовій панелі підсилювача. Ручкою "Чувствительность" стрілку приладу виставити в середнє положення.

4. Переміщувати трубу С, визначити за положенням стрілки та покажчика n точне положення максимумів та мінімумів інтерференції. Записати поділку шкали, проти якої при цьому стоїть покажчик n.

5. Записати положення всіх максимумів.

6. Вимірювання повторити для частот 800 і 1200 Гц.

Обробка результатів експерименту

1. Розрахувати значення li, які дорівнюють l1 = n2 - п1, l2 = n3 - n2,…

2. За формулою (17) визначити швидкість звуку для даної температури.

3. Визначити середнє значення хср.

4. Оцініть точність вимірювання.

Додаткові завдання

1. Дослідити залежність швидкості звуку в повітрі від частоти задаючого генератора.

2. Порівняти одержаний результат з теоретичними виразами для швидкості звуку в адіабатичному наближенні

та в ізотермічному наближенн

та проаналізувати одержані результати.

Контрольні запитання для допуску до виконання лабораторної роботи

1. Мета роботи.

2. Як можна одержати рівняння біжучої хвилі? Охарактеризуйте всі фізичні величини, які входять в це рівняння.

3. Що таке період коливань хвилі, довжина хвилі?

4. Як визначається швидкість поширення в пружному середовищі?

5. Що таке інтерференція хвиль? Які хвилі здатні інтерферувати?

6. Назвіть умови творення максимумів і мінімумів інтерференції хвиль? Запишіть вираз для різниці ходу двох хвиль при утворенні максимумів та мінімумів інтерференції.

Контрольні запитання для захисту лабораторної роботи

1. Як практично створювались в лабораторній роботі умови виникнення максимумів інтерференції.

2. Як виявлялись в лабораторній установці випадки створення максимумів інтерференції?

3. Як практично вимірювалась довжина хвилі для заданої в лабораторній роботі частоти?

4. Як було визначено в цій лабораторній роботі швидкість поширення звукових хвиль в повітрі?

5. Як можна визначити середню швидкість поширення звукових хвиль в повітрі?

6. Запропонуйте формулу для розрахунку швидкості звукових хвиль в повітрі в адіабатичному наближенні. Які фізичні величини входять в цю формулу?

7. Як були оцінені абсолютна та відносна похибки вимірювання швидкості звуку в лабораторній роботі?

1.9 Лабораторна робота № 4.9 Вивчення резонансу напруг і струмів

Мета роботи: дослідження вимушених електричних коливань в найпростіших колах, які містять реактивні і активні опори; спостереження резонансу напруг і струмів.

Прилади і матеріали: амперметри, вольтметри, батарея конденсаторів, котушки змінної індуктивності, понижувальний трансформатор, реостат, з'єднувальні провідники.

Теоретичні відомості

В електричних колах, до складу яких поряд з омічним опором входять реактивні елементи, а саме: конденсатори, котушки індуктивності можливе виникнення коливань сили струму, напруги. Ці коливання обумовлені тим, що в колі відбуваються періодичні перетворення енергії: енергія магнетного поля котушки індуктивності перетворюється в енергію електричного поля конденсатора і навпаки. Наявність активного опору приводить до необоротних втрат енергії на нагрівання провідників внаслідок чого коливання врешті решт затухають. Якщо в коло ввімкнути джерело змінної напруги, то поряд з власними будуть відбуватися також коливання, частота яких збігається з частотою зовнішньої ЕРС, тобто так звані вимушені коливання.

Оскільки власні коливання згасають, а втрати енергії вимушених коливань компенсуються за рахунок зовнішнього джерела, то після згасання власних коливань в колі здійснюватимуться лише вимушені коливання, які можуть супроводитися резонансними явищами.

Характер і особливості резонансу суттєво залежать від способу з'єднання реактивного і омічного опорів.

В нерозгалуженому колі, яке зображене на рис.1, тобто при послідовному з'єднані котушки індуктивністю L, конденсатора ємністю С і спостерігається резонанс напруг.

Нехай зовнішня напруга, яка і забезпечує вимушені коливання, змінюється за гармонічним законом з частотою щ і амплітудою u0, тобто:

(1)

Оскільки частота коливань збігається з частотою зовнішньої періодичної сили, то для сили струму можемо записати:

, (2)

де І0, ц - відповідно сила струму і зсув фаз між струмом і напругою в колі. Для знаходження І0 і ц звернемось до закону Ома, за яким:

. (3)

Тут UC, UL - напруга між обкладинками конденсатора, спад напруги на активному опорі, а еі - електрорушійна сила самоіндукції.

Оскільки

, (4)

, (5)

, (6)

то підстановкою (4)…(6) в (3) одержуємо

. (7)

Зауваживши, що

(8)

та врахувавши залежність сили струму від часу (2) для зарядження обкладинок конденсатора, знаходимо:

. (9)

Вважаючи, що співвідношення (2) є розв'язком рівняння вимушених коливань (7) після підстановки (2) і (9) в (7) повинні отримати тотожність. Ця підстановка дає:

. (10)

Отже, підібравши І0 і ц так, щоб рівність (10) виконувалась тотожно, ми переконаємось, що вимушені коливання в даному колі справді описуються рівнянням (2). Згідно з (10) ліва частина - сума гармонічних коливань з рівними частотами. А тому для складання коливань зручно використати діаграми. Враховуючи, що різниця фаз між першим і другим доданком складає , одержуємо, векторну діаграму (рис.2).



Тут

, . (11)

Очевидно, що

, . (12)

Підстановкою (11) в (12) одержуємо:

, (13)

. (14)

Із співвідношення (13) випливає, що при зростанні частоти амплітуда сили струми спочатку зростає, проходить через максимум, після чого зменшується, прямуючи до нуля. Максимальне значення амплітуди досягається, якщо частота

. (15)

Зростання амплітуди сили струму в нерозгалуженому колі при частоті, яка визначається умовою (15) називається резонансом напруг.

З векторної діаграми (рис.2) бачимо, що при резонансі напруг

tgц=0 і u0l=u0c .

В силу того, що напруги ul і uc змінюються в протилежних фазах, то спад напруги u0l + u0c на реактивних елементах схеми (рис.1) при резонансі дорівнює нулю. Застосовуючи закон Ома для ділянки, яка містить L і С, переконуємось, що виконання умови (15) забезпечує рівність нулю реактивного опору цієї ділянки. В цьому і полягає причина резонансу напруг. Легко переконатись, що при певних співвідношеннях між L, С і R, амплітуди u0l і u0c можуть перевищувати u0. Саме з цією обставиною пов'язана як назва резонансу в послідовному з'єднанні L, С і R, так і обширна область застосування резонансу напруг в радіотехніці і електротехніці.

Якісно інший характер резонансу в колі з паралельним з'єднанням котушки індуктивності і конденсатора, яке зображене на рис.3.

Як і в попередньому випадку потрібно найти амплітуду сили струм і зсув фаз між струмом і напругою Перш за все зауважимо, що при паралельному з'єднанні. Врахувавши зв'язок між амплітудами напруг і струмів:

UL = UC

; , (16)

одержуємо співвідношення між амплітудними значеннями струмів:

. (17)

З рівності (17) випливає, що

. (18)

Застосуємо до вузла а перше правило Кірхгофа. При цьому приймемо до уваги, що струм через котушку індуктивності відстає, а струм через конденсатор випереджає напругу по фазі на . Внаслідок цього струми IL і IC змінюються в протилежних фазах. А тому

, (19)

де враховано співвідношення (18).

Запишемо тепер для ділянки RаLb закон Ома

, (20)

Кожен з доданків у лівій частині (20) - гармонічне коливання частоти щ, а тому для їх додавання побудуємо відповідну діаграму (рис.4).

Тут U0R=RI0,

. (21)

де u0r,,u0l - амплітуди напруг на активному опорі і котушці індуктивності.

З векторної діаграми маємо:

. (22)

Підстановка (21) в (22) після простих перетворень дає:

, (23) . (24)

Очевидно, що при збігу частоти зовнішнього джерела з резонансною, яка визначається рівністю (15), відбувається різке зменшення сили струму I0, причому згідно з (22) I0 = 0. Із співвідношення (19) отримуємо, що амплітуди I0C і I0R при резонансі рівні між собою. Тому резонанс при паралельному з'єднанні L і С елементів називається резонансом струмів. Зменшення I0 при резонансі струмів спричиняється тим, що на резонансній частоті реактивний опір кола досягає максимуму. Практичне використання резонансу струмів значною мірою обумовлене тим, що при певному співвідношенні між параметрами амплітудні значення IL, ІC можуть набагато перевищувати I0.

Хід роботи

Завдання 1. Резонанс напруг.

1. Скласти схему згідно з рис. 1.

2. Ввімкнути реостат на повний опір.

3. Підібрати оптимальну величину ємності батареї конденсаторів.

4. Перемістити осердя котушки до упору.

5. Ввімкнути схему, висовуючи сердечник з котушки через кожні 5мм. Виміряти значення сили струму.

6. Побудувати графік залежності сили струму від переміщення осердя для трьох різних значень опору.

7. Обчислити індуктивність котушки, враховуючи, що щ = 2рv, де v частота промислового струму.

8. Виміривши UL , Uc, U, встановити співвідношення між амплітудами напруг.

Завдання 2. Резонанс струмів.

1. Скласти схему за рис.3.

2. Ввімкнути схему так, як і в завданні 1.

3. Переміщуючи осердя на 5 мм, виконати вимірювання струмів І, IL,IC.

4. Побудувати графіки залежності сили струму від переміщення осердя для трьох різних опорів.

5. Знайти індуктивність котушки за формулою (15).

6. Встановити співвідношення між І, IL, IC при резонансі.

Контрольні запитання для допуску до виконання лабораторної роботи

1. Мета роботи.

2. При яких умовах в коливальному контурі може виникнути резонанс?

3. Як можуть бути з'єднанні індуктивність та ємність в коливальному контурі для виникнення резонансу напруг?

4. Що таке резонансна частота? Запишіть вираз для резонансної частоти і поясніть цю формулу?

5. Що таке резонанс струмів? При яких умовах в коливальному контурі можливий резонанс струмів?

6. При резонансі струмів реактивний опір кола досягає максимуму чи мінімуму? Дайте аргументоване пояснення.

Контрольні запитання для захисту лабораторної роботи

1. Як практично був отриманий резонанс напруг в коливальному контурі?

2. Як практично був отриманий резонанс струмів в коливальному контурі?

3. Що таке параметричний резонанс? Наведіть приклади параметричного резонансу?

1.10 Лабораторна робота № 5.1 Визначення головної фокусної віддалі оптичних систем

Мета роботи: оволодіти методикою визначення головної фокусної віддалі лінзи та оптичних систем.

Прилади і матеріали: оптична лава, набір лінз, екран, освітлювач.

Теоретичні відомості

Для точного визначення головної фокусної відстані збірної лінзи чи системи лінз користуються методом Гауса Бесселя. Розглянемо формулу тонкої збірної лінзи:

, (1)

де d відстань від предмета до оптичного центра лінзи;

f відстань від оптичного центра лінзи до чіткого зображення його на екрані;

F головна фокусна відстань лінзи.

Для цієї мети можна використати формулу (1). Однак величини d і f на практиці визначити точно неможливо, тому що у загальному випадку положення оптичного центра лінзи невідоме. Тому поступаємо таким чином. Спочатку відмітимо, що формула (1) не змінює свого вигляду, якщо d і f поміняти місцями. Це означає, що коли на місці чіткого зображення предмета помістити сам предмет, то його зображення одержимо в тому місці, де раніше знаходився предмет. Говорять, що відстань d і f самоспряжені.

В дійсності переміщувати предмет не обов'язково. Одержавши, наприклад, чітке обернене і збільшене зображення предмета на екрані А'В', вимірюють відстань D від предмета до екрана, а потім, не змінюючи їх положення, переміщують лінзу L в положення L1 так, щоб одержати чітке обернене й зменшене зображення предмета А'В', що зображено на рис. 1.

Тобто, за допомогою лінзи можна одержати два чітких зображення. Одне з них, збільшене, що знаходиться на відстанні f від лінзи, а друге, зменшене на відстані d від неї.

Позначимо зміщення оптичного центра лінзи О через а. Величину б можна виміряти переміщенням будьякої точки лінзи L, оскільки при її рухові положення оптичного центра відносно лінзи не змінюється. Ця обставина дозволяє подолати відмічене вище утруднення, оскільки переміщення самого оптичного центру лінзи можна замінити переміщенням будь-якої мітки на штативі цієї лінзи.

З рис.1 випливає:

;

Звідси знаходимо:

Підставивши значення d і f в формулу (1), одержуємо:

. (2)

Установка для виконання роботи змонтована на оптичній лаві, де розташовані освітлений предмет, екран та рухомий штатив для закріплення лінз.

Хід роботи

Завдання 1. Визначення головної фокусної віддалі збиральної лінзи.

1. Закріпити досліджувану лінзу в штативі.

2. Ввімкнути освітлювач. Переміщуючи лінзу, добитись чіткого зображення предмета на екрані і зафіксувати положення мітки на штативі лінзи.

3. Переміщуючи лінзу в іншу сторону, добитись нового чіткого зображення предмета на екрані і зафіксувати це положення мітки.

4. Знайти віддалі D і а. Результати занести в таблицю.

5. Виконати пункти 1...4 для другої збірної лінзи.

Завдання 2. Визначення головної фокусної віддалі системи лінз та розсіювальної лінзи.

1. Скласти разом досліджувані в першому завданні дві збиральні лінзи, і закріпити їх в штативі.

2. Виконати пп. 1...4 завдання 1.

3. Скласти разом розсіювальну лінзу з такою збиральною лінзою, щоб одержана оптична система давала на екрані дійсне зображення.

4. Виконати пп. 1...4 завдання 1.

Обробка результатів експерименту

1. За формулою (2) знайти головні фокусні відстані обох досліджуваних збиральних лінз.

2. За формулою (2) знайти головну фокусну відстань оптичної системи двох збиральних лінз.

3. Переконатись, що при дотику двох тонких лінз загальна оптична сила системи дорівнює сумі оптичних сил обох лінз:

. (3)

4. За формулою (2) розрахувати головну фокусну відстань оптичної системи з розсіювальною лінзою.

5. Використовуючи співвідношення (3), вирахувати головну фокусну відстань розсіювальної лінзи.

6. Результати всіх розрахунків занести в таблицю; знайти похибки вимірювань; зробити висновки.

Дослід	, см	, см	, см	е, %
1 збиральна
2 збиральна
3 розсіювальна
система 1 2
система 1 - 3

Дослідницьке завдання

1. Знайти світлосилу лінз.

2. Знайти збільшення лінз.

Контрольні запитання для допуску

до виконана лабораторної роботи

1. Мета роботи.

2. Охарактеризувати метод ГаусаБесселя точного визначення фокусної відстані збиральної лінзи.

3. Що таке головна фокусна відстань лінзи?

4. Що таке оптична сила лінзи та в яких одиницях вона вимірюється?

5. Чому для визначення фокусної відстані розсіювальної лінзи експериментальним методом її беруть разом із збиральною лінзою?

6. Як пов'язані між собою оптичні сили двох або більше оптичних лінз?

7. Яка фокусна відстань називається головною?

Контрольні запитання для захисту лабораторної роботи

1. Яке означення можна дати: тонкій лінзі, оптичному центру, оптичній осі; фокальній площині; головним фокусам та оптичній силі лінзи?

2. Побудувати зображення предмета в тонкій збиральній лінзі, розмітивши предмет перед фокусом лінзи і між фокусом та лінзою.

3. Побудувати зображення предмета в тонкій розсіювальній лінзі.

4. Чому можна визначити фокусну відстань лише одним способом?

1.11 Лабораторна робота № 5.3 Визначення показника заломлення скляної пластинки за допомогою мікроскопа

Мета роботи: освоїти методику визначення показника заломлення плоскопаралельних прозорих пластинок; визначити показник заломлення скла.

Прилади і матеріали: мікроскоп з мікрометричним гвинтом, мікрометр, набір скляних пластинок різної товщини з двома взаємно перпендикулярними штрихами на верхній та нижній поверхнях, освітлювач.

Теоретичні відомості

Промінь, що падає на границю двох прозорих середовищ оптичної густини, розділяється на два промені -- відбитий і заломлений.

Синус кута падіння i відноситься до синуса кута заломлення r як швидкість світла в першому середовищі х1 до швидкості світла в другому середовищі х2

. (1)

Із співвідношення (1) випливає, що швидкість світла неоднакова в різних середовищах і для променю деякої хвилі справедливі рівності:

. (2)

Величина n21 називається відносним показником заломлення другого середовища відносно першого. Якщо одним із середовищ є вакуум, то показник заломлення другого середовища називається абсолютним показником заломлення. Це записується як:

, (3)

де с і х швидкості світла відповідно у вакуумі і в даному середовищі.

Показник заломлення залежить від довжини хвилі світла і від властивостей середовища. Абсолютні показники заломлення більші одиниці, тому що швидкість розповсюдження світла в будьякому середовищі менша, ніж у вакуумі.

Якщо відомі абсолютні показники заломлення двох середовищ п1 і п2, то їх відносний показник заломлення визначається за формулою:

. (4)

Оскільки швидкість світла в повітрі наближається до швидкості світла в вакуумі, то показник заломлення, що вимірюється відносно повітря, практично дорівнює абсолютному показнику.

Показник заломлення як оптична характеристика прозорих середовищ (твердих, рідких і газоподібних) має велике значення для практики. Наприклад, за значеннями показника заломлення можна визначити структуру складних молекул і встановити типи хімічного зв'язку між атомами, визначити з великою точністю (0,01 - 0,1 %) процентний склад газоподібних і рідинних сумішей, вимірювати їх густини і т.д.

Для визначення показників заломлення різних речовин відомі різні методи. Одним з них є метод визначення показників заломлення плоскопаралельних прозорих пластинок за допомогою мікроскопа.

В основі цього методу лежить явище уявного зменшення товщини пластинок внаслідок заломлення світових променів, що проходять крізь неї при розгляданні пластинки перпендикулярно до її поверхні.

Нехай точка А розглядається через плоскопаралельну пластину К (рис.1). Промені АВ і АС, що йдуть з точки А після заломлення на границі склоповітря будуть розповсюджуватись відповідно по напрямах BD і СЕ. Продовження цих променів перетинаються в точці а1. В цій же точці перетнуться також продовження всіх променів, що виходять з точки А. Таким чином, спостерігачеві здається, що промені виходять не з точки А, а з її уявного зображення А1, тобто точка А здається розміщеною ближче до спостерігача на величину а = АА1 .

Встановимо зв'язок між показником заломлення скла і товщиною пластинки K.

З ДAFC i ДA1 FC маємо:

, (5)

. (6)

Перемножуючи рівності (5) і (6), знайдемо:

. (7)

Враховуючи співвідношення

Залежність (7) зводимо до вигляду:

(8)

При спостереженні вертикально зверху i = 0. Тому співвідношення (8) приймає вигляд:

. (9)

На рис. 2 показано загальний вигляд мікроскопа: Ок - окуляр, Ттубус, В1 кремальєра, В2 мікрометричний гвинт, Об об'єктив, С предметний столик, К конденсор, Дз дзеркало.

Хід роботи

1. За допомогою мікрометра заміряти товщину скляних пластинок в точці перетину штрихів.

2. Покласти скляну пластинку на предметний столик мікроскопа так, щоб точка перетину штрихів знаходилася у центрі поля зору.

3. Повертаючи рукоятку B1 грубого фокусування проти годинникової стрілки та рукоятку В2 механізму мікрометричного фокусування в тому ж напрямі до упору, підняти тубус мікроскопа в крайнє верхнє положення. Зняти показання на відліковому барабані механізму мікрометричної орієнтації і записати його, прийнявши за нульову поділку. Потім повільно повертаючи за годинниковою стрілкою рукоятку B1 грубого фокусування, опускають тубус мікроскопа до тих пір, поки в полі зору не з'явиться найбільш чітке зображення штриха, нанесеного на верхню поверхню пластинки.

4. Повертаючи рукоятку В2 механізму мікрометричного фокусування до тих пір, поки не з'явиться найбільш чітке зображення штриха, нанесеного на нижню поверхню, знову зняти показання на барабані. Знайти переміщення тубуса мікроскопа, яке рівне d а.

5. Дані вимірювань занести в табл. 1.

6. Вказані вимірювання провести для всіх пластинок.



Обробка результатів експерименту та їх аналіз

1. За формулою (9) обчислити значення показників заломлення кожної з пластинок.

2. Результати обчислень занести в табл. 1 .

3. Обчислити похибки вимірювань і також занести в табл. 1.

Номер пластинки				, %
1. 2. 3.

Дослідне завдання

Вивчити вплив товщини пластинки на точність визначення показника заломлення.

Контрольні запитання для допуску до виконання лабораторних робіт

1. Мета роботи.

2. Як пов'язані між собою швидкості світла в різних середовищах?

3. Що таке відносний показник заломлення?

4. В якому випадку показник заломлення буде абсолютним?

5. Чому абсолютні показники заломлення світла в середовищах завжди більші за одиницю?

6. Яким методом визначають показник заломлення прозорих середовищ? Наведіть приклади.

7. Дайте пояснення методу визначення показника заломлення в цій роботі.

Контрольні запитання для захисту лабораторної роботи

1. Сформулювати основні закони геометричної оптики. Дати графічне пояснення цим законам.

2. Як практично були визначені абсолютні показники заломлення скляних пластинок в цій роботі?

3. Як можна оцінити похибки вимірювань в цій роботі?

1.12 Лабораторна робота № 5.4 Визначення довжини світлової хвилі за допомогою біпризми Френеля

Мета роботи: вивчити один із способів одержання інтерференційної картини біпризму Френеля, засвоїти методику визначення довжини світлової хвилі за допомогою цього способу.

Прилади і матеріали: оптична лава, біпризма Френеля, джерело світла, конденсор, світлофільтри, мікроскоп з окулярним мікрометром, лінза з відомою фокусною відстанню, щілина.

Теоретичні відомості

Біпризма Френеля є оптичною системою, що складається з двох призм з дуже малими кутами заломлення (~ 30'). Призми складені своїми основами (рис.1).

Якщо промені від джерела світла проходять через щілину S, що розміщена паралельно ребру біпризми Френеля, і падають на неї, то, внаслідок заломлення в останній, вони розділяються на два пучки променів, що перетинаються. Продовження цих променів перетинаються в точках S1 і S2, які є уявними зображеннями щілини і служать когерентними джерелами. В області перетину променів можна спостерігати інтерференційну картину у вигляді світлих та темних смуг, що чергуються.

Розглянемо інтерференцію світла від двох когерентних джерел S 1 і S2 (рис.2). Нехай екран Р паралельний уявним зображенням S1 і S2 щілини S і знаходиться від них на відстані L >> l, де l=S1S2. Позначимо через у відстань МО1 від довільної точки М екрана до площини ОО1, перпендикулярної до екрана і що проходить через середину S1S2. З прямокутних трикутників S1МА і S2 МВ маємо:

Замінивши на одержимо рівність

Звичайно чітка інтерференційна картина спостерігається тільки біля середини екрана. Тому можна вважати, що

у<<L i r2 + r2 ? 2L

(1)

Співвідношення (1) дозволяє знайти геометричну різницю ходу променів S1М і S2M. Тепер встановимо положення kго мінімуму. Умова мінімуму при інтерференції має такий вигляд

, (2)

де л довжина хвилі світла.

Тоді

,

.

Аналогічно положення mго мінімуму визначається за формулою

.

Відстань між k ою і т ою темними смугами

.

Звідси довжина хвилі

. (3)

Можна переконатись, що такий же вираз одержимо і для визначення довжини хвилі л, якщо знайти відстань між k им і т им максимумами.

Для визначення l і L використовується збірна лінза з відомою фокусною відстанню F, яка встановлюється між біпризмою Френеля і мікроскопом (рис.3).

Якщо спроектувати за допомогою цієї лінзи джерела S1 і S2 на площину окулярного мікрометра мікроскопа, то за шкалою мікрометра можна безпосередньо визначити відстань її між зображеннями S1 і S2. Для знаходження справжньої відстані використаємо подібність ДАКО і ДKO1B1.

Маємо

.

Звідси

. (4)

З рис. 3 видно, що

. (5)

З виразів (4) і (5) після перетворень можна одержати:

.

Однак (рис. 3), тому

. (6)

Підставивши значення l і L у формулу (3), одержимо кінцеву формулу для визначення довжини світлової хвилі:

. (7)

Хід роботи

1. Встановити всі прилади на однаковому рівні по вертикалі так, щоб оптичні осі біпризми Френеля і мікроскопа з окулярним мікрометром збігалися. Вибрати ширину щілини 1 мм і встановити її вертикально.

2. Біпризму Френеля встановити на відстані 70...80 см від щілини так, щоб ребро тупого кута біпризми було строго паралельне щілині. Цього можна домогтись поворотом біпризми і щілини навколо горизонтальної осі.

3. Мікроскоп з окулярним мікрометром встановити на відстані 40...50см від біпризми.

4. Провести остаточне установлення на паралельність щілини і ребра біпризми, досягнувши максимальної яскравості і чіткості інтерференційної картини, що спостерігається в полі зору мікроскопа. Цього можна досягнути зміною ширини щілини поворотами її і біпризми навколо горизонтальної осі, а також переміщенням біпризми і мікроскопа один відносно одного.

5. Користуючись окулярним мікрометром, ціна поділки якого вказана на приладі, знайти відстань між k ою і т ою темними смугами.

6. Визначити відстань l між уявними джерелами S1 і S2 . Для цього, не змінюючи положення приладів на оптичній лаві, розташувати між біпризмою і мікроскопом збірну лінзу, фокусна відстань якої вказана. Пересуваючи її вздовж оптичної лави, одержуємо в полі зору мікроскопа два зображення щілини S. За окулярним мікрометром знайти відстань l.

7. Не пересуваючи приладів, за шкалою оптичної лави визначити відстань x1 від лінзи до мікроскопа.

8. Дані вимірювань занести в таблицю, яку потрібно скласти з урахуванням формули (7). Вимірювання провести не менше трьох разів.

Обробка результатів експерименту та їх аналіз

1. За формулою (7) обчислити довжину хвилі л.

2. Результати обчислень занести в таблицю.

3. Обчислити похибки вимірювань л і занести їх в таблицю.

Контрольні запитання для допуску до виконання лабораторної роботи

1. Мета роботи.

2. Як побудована біпризма Френеля? Як за допомогою біпризми Френеля з одного точкового джерела світла можна одержати два когерентних джерела?

3. Як можна одержати геометричну різницю ходу двох променів в системі біпризма Френеля?

4. Що таке інтерференція світла? Запишіть та поясніть умови максимуму і мінімуму інтерференції світла?

5. Наведіть приклади одержання когерентних джерел світла. Як були отримані когерентні джерелі світла в даній роботі?

6. Яке практичне використання має явище інтерференції світла?

Контрольні запитання для захисту лабораторної роботи

1. Запишіть і поясніть кінцеву формулу для визначення довжини світлової хвилі.

2. Як практично знаходиться відстань між інтерференційними мінімумами в цій роботі?

3. Як була виміряна відстань між уявними когерентними джерелами S1 і S2?

4. Як можна оцінити похибки вимірювань в даній лабораторній роботі?

1.13 Лабораторна робота № 5.5 Визначення довжини світлової хвилі за допомогою кілець Ньютона

Мета роботи: вивчити явище інтерференції світла на прикладі кілець Ньютона; освоїти методику вимірювання довжини світлових хвиль за допомогою цього методу .

Прилади і матеріали: установка для спостерігання кілець Ньютона, що складена на базі інструментального мікроскопа, джерело світла, світлофільтр.

Теоретичні відомості

Кільця Ньютона мають форму кільцевих інтерференційних смуг, що виникають у повітряному шарі між плосковипуклою лінзою великого радіуса і плоскою скляною пластинкою. Якщо освітити систему монохроматичним світлом, світлові хвилі, що відбиваються від верхньої та нижньої границь повітряного шару, є когерентними. Внаслідок їх інтерференції на поверхні шару у відбитому світлі спостерігається ряд світлих і темних кілець з центром у точці дотику лінзи і скляної пластинки



При спостереженні кілець Ньютона у відбитому світлі центральна пляма буде темною, тому що в цьому випадку геометрична різниця ходу променів дорівнює нулю і втрачається півхвилі при відбитті від плоскої скляної пластинки. У світлі, що проходить, завжди виникає інтерференційна картина, що доповнює ту, яка з'являється у відбитому світлі.

При освітленні системи білим світлом спостерігаються райдужні кільця Ньютона. Різниця ходу променів, що утворюють kте темне кільце Ньютона, дорівнює подвоєній товщині повітряного шару плюс (при відбитті світла від скляної пластинки фаза хвилі змінюється на ):

 (1)

Умова мінімуму .

Таким чином, умова виникнення темних кілець Ньютона виражається рівнянням:

. (2)

Виразимо dk через радіус кривизни R лінзи і радіус темного кільця rk . З ?ВОА маємо

, (3)

.

Якщо R >> d, то

. (4)

Зіставивши (2) і (4), одержимо

(5)

Однак формула (5) не може бути використана для визначення довжини хвилі. Це пояснюється тим, що між лінзою і скляною пластинкою в дійсності є незначний проміжок товщиною б, який практично неможливо виміряти. Внаслідок цього виникає додаткова різниця ходу променів 2б.

Тому умова виникнення темних кілець, приймає вигляд:

,

.

Підставивши вираз, що одержали в (4), знайдемо

. (6)

Хоч величину б неможливо виміряти безпосередньо, її можна виключити таким чином. Радіус mго темного кільця Ньютона відповідно (6) дорівнює

. (7)

Віднімемо від виразу (7) вираз (6):

.

Звідси

,

. (8)

Отже, знаючи радіус кривизни лінзи і радіуси rm і rk темних інтерференційних кілець, можна обчислити довжину світлової хвилі л.

Схема установки зображена на рис. 3.

S - джерело світла,

K - монохроматичний світлофільтр, що пропускає світло, довжина якого вимірюється,

L1 - лінза, що направляє світло на напівпрозору пластинку M,

E - скляна пластинка,

L - плосковипукла лінза,

D - мікроскоп.

Хід роботи

1. Ввімкнути джерело світла. Одержати в полі зору окуляра мікроскопа чітке зображення інтерференційної картини.

2. Пересуваючи столик за допомогою мікрометричного пристрою, сумістити центр інтерференційної картини з візирною міткою окуляра.

3. Виміряти діаметри відповідно 5, 7 і 11 темних кілець. Вимірювання повторити 3 рази для кожного з кілець по взаємо перпендикулярних напрямках.

4. Результати вимірювання записати в таблицю.

Обробка результатів експерименту та їх аналіз

1. Знайти середні значення радіусів окремих темних кілець Ньютона r5, r7, r11, якщо кожне з них вимірювалось по кілька разів.

2. Обчислити довжину хвилі за формулою (8).

3. Знайти похибки вимірювань.

4. Результати обчислень занести в таблицю.



Дослідницьке завдання

Розглянути інтерференційну картину, якщо проміжок між лінзою та пластиною заповнений рідиною.

Контрольні запитання для допуску до виконання лабораторної роботи

1. Мета роботи.

2. Як практично в лабораторній роботі отримують кільця Ньютона?

3. Що таке інтерференція? Які промені інтерферують в системі кільця Ньютона?

4. Чи є різниця між відбитим променем на межі з оптично більш густим середовищем і відбитим променем на межі з оптично менш густим середовищем?

5. Проведіть виведення радіуса темного кільця Ньютона.

6. Проведіть виведення радіуса світлого кільця Ньютона.

7. Чи залежить радіус будьякого кільця Ньютона від радіуса кривизни опуклої лінзи?

8. Чому для вимірювання радіуса кривизни кілець Ньютона слід використовувати світлофільтр?

9. Як пояснити той факт, що в центрі інтерференційної картини завжди спостерігається мінімум?

Контрольні запитання для захисту лабораторної роботи

1. Чому для одержання задовільних результатів не слід вимірювати радіуси сусідніх кілець Ньютона?

2. Які фактори впливають на точність вимірювання довжини хвилі в даній лабораторній роботі?

3. Чи зміниться картина інтерференції, якщо простір між лінзою і скляною пластинкою заповнити водою?

4. Навести приклади практичного використання явища інтерференції світла?

5. Чому ширина кілець Ньютона зменшується із збільшенням їх радіуса?

1.14 Лабораторна робота № 5.6 Визначення довжини світлової хвилі за допомогою дифракційної решітки

Мета роботи: вивчити явище дифракції на щілині і дифракційній решітці; освоїти методику визначення довжини світлової хвилі за допомогою дифракційної решітки.

Прилади і матеріали: гоніометр, дифракційна решітка, джерело світла.

Теоретичні відомості

Явище дифракції світла полягає у відхиленні світлових хвиль від прямолінійного напрямку при проходженні світла через малі отвори або біля малих перешкод. Дифракція світлових хвиль спостерігається, якщо розміри отворів або перешкод одного порядку з довжиною світлової хвилі, або якщо місце для спостереження дифракційної картини знаходиться на великій відстані від отвору або перешкоди.

Нехай паралельний пучок монохроматичного світла падає нормально на непрозорий екран, в якому є вузька щілина довжиною l і постійної ширини b, причому b << l (рис. 1). Згідно з принципом ГюйгенсаФренеля точки щілини є джерелами вторинних хвиль. Фази цих хвиль будуть однакові, оскільки площина щілин збігається з фронтом хвилі, що падає.

Оскільки закон прямолінійного поширення світла порушується, у фокальній площині збиральної лінзи буде спостерігатися розподіл інтенсивності дифрагованих променів. У побічному фокусі Fц цієї лінзи зберуться всі промені, кут дифракції яких дорівнює ц. Оптична різниця ходу крайніх променів АМ і ВN, що йдуть від щілини в цьому напрямі, а різниця фаз цих коливань

(1)

Знайдемо амплітуду результуючого коливання, що йде від щілини в точку Fц. Для цього подумки розділимо щілину на велике число дуже вузьких прямокутних зон і графічно складемо вектори амплітуд коливань від кожної з цих зон. Всі зони будуть випромінювати в заданому напрямі зовсім однаково.

Тому вектори амплітуд будуть мати однакові значення, а різниця фаз двох коливань від сусідніх зон буде постійною. У ньому випадку одержуємо ламану лінію, яка є частиною правильного багатокутника. При нескінченному зростанні числа зон ця ламана переходить в частину дуги кола (рис.2).



З рис. 2 маємо:

(2)

де ВС - інтервал дуги.

При Дц0 = 0; А0 = ВС, тому співвідношення (2) можна записати у такому вигляді:

. (3)

Інтенсивність світлових хвиль можна визначити за формулою

. (4)

Функція f(?ц0) носить назву фактора розсіювання і характеризує вплив щілини на дифракцію світлових променів.

Мінімум буде спостерігатися в тому випадку, коли , але .

Тоді ;

;

. (5)

Максимуми будуть спостерігати там, де , а також при і при (центральний максимум).

Тому

,

. (6)

Формула (6) визначає положення побічних максимумів. Схематичне зображення розподілу інтенсивності світла в дифракційній картині на щілині (функція f(?ц 0)) показано на рис. 3.

Розглянемо дифракцію на дифракційній решітці. Дифракційна решітка - це прозора пластинка, на якій за допомогою ділильної машини або фотографічним способом нанесені паралельно один одному штрихи і залишені вузькі непошкоджені смужки. Ті місця, де проведені штрихи, непрозорі і служать перешкодами для світлових хвиль.

Нехай ширина прозорої смужки а, а ширина штриха b. Величину d = а + b прийнято називати періодом решітки або постійною решітки (рис.4).

Знайдемо результуючу інтенсивність світлових хвиль в точці Fц, в якій збираються промені від всіх щілин решітки, що падають на лінзу під кутом ц до її головної оптичної осі ОF0 . Скористаємося для цього векторною діаграмою додавання амплітуд:

, (7)

де N число щілин у решітці,

Аi вектор амплітуди коливань, що викликаються у даній точці дією і ї щілини.

У випадку оптичної однорідності середовища в одному і тому напрямі всі щілини випромінюють світло однаково.

Тому всі вектори Аі однакові за модулем . Зсув фаз Дц0 між векторами Д визначається оптичною різницею ходу Д від відповідних точок двох сусідніх щілин до точки Fц. Тому

; (8)

Таким чином, виникла задача додавання N хвиль, що описуються рівнянням

(9)

Скористаємося графічним методом розрахунку. У результаті додавання векторів амплітуд , одержимо результат, показаний на рис. 5. Вершини цього багатокутника лежать на колі (переконатися в цьому самостійно). Знайдемо радіус кола. Нехай точка С є центром шуканого кола. Тоді OCB дорівнює різниці фаз ?ц0 .

Отже,

. (10)

Центральний кут б, на який опирається амплітуда А, дорівнює

б = .

З урахуванням цього кута амплітуда А буде дорівнювати:

. (11)

Поділимо співвідношення (11) на (10), одержимо:

, (12)

а з урахуванням співвідношень (8) одержимо остаточно:

. (13)

Проведемо дослідження одержаного виразу для амплітуди результуючих коливань.

Якщо , то .

Розкриваючи невизначеність за правилом Лопіталя, знайдемо

,

.

Таким чином, у цьому випадку спостерігається максимум дифракційної картини. Його називають максимумом нульового порядку (або нульовим).

Знайдемо умову головних максимумів дифракційної решітки:

(k = 0,1,2, … ) .

(14)

формула (14) є умовою головних максимумів решітки.

Побічні мінімуми будуть спостерігатись, якщо А=0. Це можливо при умові, коли



Звідси одержуємо

Або

- побічні мінімуми, (15)

де k приймає довільні цілі значення, крім 0; N; 2N; 3N ...

З формули (14) видно, що положення дифракційних максимумів залежить від довжини хвиль. Іншими словами, дифракційна решітка є спектральним приладом.

...