Цепи постоянного тока. Линейные цепи при гармонических воздействиях

Модель сопротивления остается прежней и связь между напряжением и током определяется законом Ома в виде

. (3.1)

В идеальной индуктивности мгновенные значения напряжения и тока связаны соотношением

. (3.2)

Для постоянного тока его производная по времени равна нулю, следовательно постоянное напряжение на индуктивности равно нулю и ее можно заменить коротким замыканием (проводником).

Аналогично в емкости связь между мгновенными значениями напряжения и тока определяется в виде

. (3.3)

Для постоянного напряжения его производная по времени равна нулю, следовательно постоянный ток через емкость равен нулю и ее можно заменить холостым ходом (разрывом цепи).

Таким образом, в модели цепи постоянного тока присутствуют только сопротивления (модели резисторов) и источники сигнала, а реактивные элементы (индуктивности и емкости) отсутствуют.

3.2 Расчет цепи на основе закона Ома

Этот метод удобен для расчета сравнительно простых цепей с одним источником сигнала. Он предполагает вычисление сопротивлений участков цепи, для которых известна величина тока (или напряжения), с последующим определением неизвестного напряжения (или тока). Рассмотрим пример расчета цепи, схема которой приведена на рис. 3.1, при токе идеального источника А и сопротивлениях Ом, Ом, Ом. Необходимо определить токи ветвей и , а также напряжения на сопротивлениях , и .

Известен ток источника , тогда можно вычислить сопротивление цепи относительно зажимов источника тока (параллельного соединения сопротивления и последовательно соединенных сопротивлений и ),

Рис. 3.1

.

Тогда напряжение на источнике тока (на сопротивлении ) равно

В.

Затем можно найти токи ветвей

А,

А.

Полученные результаты можно проверить с помощью первого закона Кирхгофа в виде . Подставляя вычисленные значения, получим А, что совпадает с величиной тока источника.

Зная токи ветвей, нетрудно найти напряжения на сопротивлениях (величина уже найдена)

В,

В.

По второму закону Кирхгофа . Складывая полученные результаты, убеждаемся в его выполнении.

3.3 Общий метод расчета цепи на основе законов Ома и Кирхгофа

Общий метод расчета токов и напряжений в электрической цепи на основе законов Ома и Кирхгофа пригоден для расчета сложных цепей с несколькими источниками сигнала.

Расчет начинается с задания обозначений и положительных направлений токов и напряжений для каждого элемента (сопротивления) цепи.

Система уравнений включает в себя подсистему компонентных уравнений, связывающих по закону Ома токи и напряжения в каждом элементе (сопротивлении) и подсистему топологических уравнений, построенную на основе первого и второго законов Кирхгофа.

Рассмотрим расчет простой цепи из предыдущего примера, показанной на рис. 3.1, при тех же исходных данных.

Подсистема компонентных уравнений имеет вид

(3.4)

В цепи имеется два узла () и две ветви, не содержащие идеальных источников тока (). Следовательно, необходимо записать одно уравнение () по первому закону Кирхгофа,

, (3.5)

и одно уравнение второго закона Кирхгофа (),

, (3.6)

которые и образуют подсистему топологических уравнений.

Уравнения (3.4)-(3.6) являются полной системой уравнений цепи. Подставляя (3.4) в (3.6), получим

, (3.7)

а, объединив (3.5) и (3.7), получим два уравнения с двумя неизвестными токами ветвей,

(3.8)

Выражая из первого уравнения (3.8) ток и подставляя его во второе, найдем значение тока ,

А, (3.9)

а затем найдем

А.

По вычисленным токам ветвей из компонентных уравнений (3.4) определим напряжения. Результаты расчета совпадают с полученными ранее в подразделе 3.2.

Рассмотрим более сложный пример расчета цепи в схеме, показанной на рис. 3.2, с параметрами Ом, Ом, Ом, Ом, Ом, Ом,

В, А.

Цепь содержит узла (их номера указаны в кружках) и ветвей, не содержащих идеальные источники тока. Система компонентных уравнений цепи имеет вид



Рис. 3.2

(3.10)

По первому закону Кирхгофа необходимо записать уравнения (узел 0 не используется),

(3.11)

По второму закону Кирхгофа составляется уравнения для трех независимых контуров, отмеченных на схеме окружностями со стрелками (внутри указаны номера контуров),

(3.12)

Подставляя (3.11) в (3.13), совместно с (3.12) получим систему шести уравнений вида

 (3.13)

Из второго и третьего уравнений выразим

(3.14)

а из первого

,

тогда подставив и , получим

.

Подставляя токи , и в уравнения второго закона Кирхгофа, запишем систему из трех уравнений

которую после приведения подобных запишем в виде

(3.15)

Обозначим

, (3.16)

и из третьего уравнения системы (3.15) запишем

. (3.17)

Подставляя полученное значение в первые два уравнения (3.15), получим систему из двух уравнений вида

(3.18)

Из второго уравнения (3.18) получим

, (3.19)

тогда из первого уравнения найдем ток

. (3.20)

Вычислив , из (3.19) найдем , из (3.17) вычислим , а затем из уравнений подстановки найдем токи , , .

Как видно, аналитические вычисления достаточно громоздки, и для численных расчетов целесообразней использовать современные программные пакеты, например, MathCAD2001. Пример программы показан на рис. 3.3.

Матрица - столбец содержит значения токов А, А, А. Остальные токи вычисляются согласно уравнениям (3.14) и равны

А, А, А. Вычисленные значения токов совпадают с полученными по приведенным выше формулам.

Общий метод расчета цепи по уравнениям Кирхгофа приводит к необходимости решения линейных алгебраических уравнений. При большом числе ветвей возникают математические и вычислительные трудности. Это означает, что целесообразно искать методы расчета, требующие составления и решения меньшего числа уравнений.



Рис. 3.3

3.4 Метод контурных токов

Метод контурных токов базируется на уравнениях второго закона Кирхгофа и приводит к необходимости решения уравнений, - число всех ветвей, в том числе и содержащих идеальные источники тока.

В цепи выбираются независимых контуров и для каждого -го из них вводится кольцевой (замкнутый) контурный ток (двойная индексация позволяет отличать кон61

турные токи от токов ветвей). Через контурные токи можно выразить все токи ветвей и для каждого независимого контура записать уравнения второго закона Кирхгофа. Система уравнений содержит уравнений, из которых определяются все контурные токи. По найденным контурным токам находятся токи или напряжения ветвей (элементов).

Рассмотрим пример цепи на рис. 3.1. На рис 3.4 приведена схема с указанием обозначений и положительных направлений двух контурных токов и (, , ).

Рис. 3.4

Через ветвь протекает только контурный ток и его направление совпадает с , поэтому ток ветви равен

. (3.21)

В ветви протекают два контурных тока, ток совпадает по направлению с , а ток имеет противоположное направление, следовательно

. (3.22)

Для контуров, не содержащих идеальные источники тока, составляем уравнения второго закона Кирхгофа с использованием закона Ома, в данном примере записывается одно уравнение

. (3.23)

Если в контур включен идеальный источник тока, то для него уравнение второго закона Кирхгофа не составляется, а его контурный ток равен току источника с учетом их положительных направлений, в рассматриваемом случае

. (3.24)

Тогда система уравнений принимает вид

. (3.25)

В результате подстановки второго уравнения в первое получим

, (3.26)

тогда ток равен

А, (3.27)

а ток А. Из (3.21) А, а из (3.22) соответственно А, что полностью совпадает с полученными ранее результатами. При необходимости по найденным значениям токов ветвей по закону Ома можно вычислить напряжения на элементах цепи.

Рассмотрим более сложный пример цепи на рис. 3.2, схема которой с заданными контурными токами показана на рис. 3.5.

В этом случае число ветвей , количество узлов , тогда число независимых контуров и уравнений по методу контурных токов равно .

Для токов ветвей можно записать

Рис. 3.5

(3.28)

Первые три контура не содержат идеальных источников тока, тогда с учетом (3.28) и использованием закона Ома для них можно записать уравнения второго закона Кирхгофа,

(3.29)

В четвертом контуре присутствует идеальный источник тока, поэтому для него уравнение второго закона Кирхгофа не составляется, а контурный ток равен току источника (они совпадают по направлению),

. (3.30)

Подставляя (3.30) в систему (3.29), после преобразования получим три уравнения для контурных токов в виде

(3.31)

Систему уравнений (3.31) можно решить аналитически (например, методом подстановки - проделайте это), получив формулы для контурных токов, а затем из (3.28) определить токи ветвей. Для численных расчетов удобно использовать пакет программ MathCAD, пример программы показан на рис. 3.6. Результаты вычислений совпадают с расчетами, приведенными на рис. 3.3. Как видно, метод контурных токов требует составления и решения меньшего числа уравнений по сравнению с общим методом расчета по уравнениям Кирхгофа.

Рис. 3.6

3.5 Метод узловых напряжений

Метод узловых напряжений базируется на первом законе Кирхгофа, при этом число уравнений равно .

В цепи выделяются все узлов и один из них выбирается в качестве базисного, которому присваивается нулевой потенциал. Потенциалы (напряжения) … остальных узлов отсчитываются от базисного, их положительные направления обычно выбираются стрелкой в базисный узел. Через узловые напряжения с использованием закона Ома и второго закона Кирхгофа выражаются токи всех ветвей и для узлов записываются уравнения первого закона Кирхгофа.

Рассмотрим пример цепи, показанной на рис. 3.1, для метода узловых напряжений ее схема показана на рис. 3.7. Нижний узел обозначен как базисный (для этого используется символ «земля» - точка нулевого потенциала), напряжение верхнего узла относительно базисного обозначено как . Выразим через него токи ветвей

Рис. 3.7

(3.32)

По первому закону Кирхгофа с учетом (3.32) запишем единственное уравнение метода узловых напряжений (),

. (3.33)

Решая уравнение, получим

, (3.34)

а из (3.32) определим токи ветвей

(3.35)

Полученные результаты совпадают с полученными рассмотренными ранее методами.

Рассмотрим более сложный пример цепи, показанной на рис. 3.2 при тех же исходных данных, ее схема показана на рис. 3.8. В цепи узла, нижний выбран базисным, а три остальные обозначены номерами в кружках. Введены положительные направления и обозначения узловых напряжений , и .



Рис. 3.8

По Закону Ома с использованием второго закона Кирхгофа определим токи ветвей,

(3.36)

По первому закону Кирхгофа для узлов с номерами 1, 2 и 3 необходимо составить три уравнения,

(3.37)

Подставляя (3.36) в (3.37), получим систему уравнений метода узловых напряжений,

 (3.38)

После преобразования и приведения подобных получим

(3.39)

Программа расчета узловых напряжений и токов ветвей приведена на рис. 3.9. Как видно, полученные результаты совпадают с полученными ранее другими методами расчета.

Проведите аналитический расчет узловых напряжений, получите формулы для токов ветвей и вычислите их значения.



Рис. 3.9

3.6 Метод наложения

Метод наложения заключается в следующем.

Реакция цепи (ток или напряжение) на воздействие нескольких источников равна сумме реакций на действие каждого из них в отдельности, при этом остальные источники должны быть выключены

Выключение идеальных источников означает замену:

- идеального источника напряжения коротким замыканием, так как его внутреннее сопротивление равно нулю;

- идеального источника тока холостым ходом (разрывом цепи) так как его внутреннее сопротивление стремится к бесконечности.

Расчет проводится следующим образом. В цепи, содержащей несколько источников, поочередно выбирается каждый из них, а остальные отключаются. При этом образуются цепи с одним источником, число которых равно количеству источников в исходной цепи. В каждой из них проводится расчет искомого сигнала, а результирующий сигнал определяется их суммой. В качестве примера рассмотрим расчет тока в цепи, показанной на рис. 3.2, ее схема показана на рис. 3.10а.

Рис. 3.10

При выключении идеального источника тока (его цепь разрывается) получается цепь, показанная на рис. 3.9б, в которой любым из рассмотренных методов определяется ток . Затем выключается идеальный источник напряжения (он заменяется коротким замыканием) и получается цепь, показанная на рис. 3.9а, в которой находится ток . Искомый ток равен

.

Проведите аналитические и численные расчеты самостоятельно, сравните с полученными ранее результатами, например, (3.20).

3.7 Сравнительный анализ методов расчета

Метод расчета, основанный на законе Ома, пригоден для сравнительно простых цепей с одним источником. Его нельзя использовать для анализа цепей сложной структуры, например, мостового типа вида рис.3.9.

Общий метод расчета цепи на основе уравнений законов Ома и Кирхгофа универсален, но требует составления и решения системы из уравнений, которая легко преобразуется в систему из уравнений. При большом числе ветвей резко возрастают вычислительные затраты, особенно при необходимости аналитических расчетов.

Методы контурных токов и узловых напряжений более эффективны, так как приводят к системам с меньшим числом уравнений, равным соответственно и . При условии метод контурных токов эффективнее, а иначе целесообразно применять метод узловых напряжений.

или (3.40)

Метод наложения удобен, когда при отключении источников происходит резкое упрощение цепи.

В системах схемотехнического моделирования цепей, например, MicroCAP или OrCAD в основном применяют метод узловых напряжений.

3.8 Задания для самостоятельного решения

Задание 3.1 С помощью закона Ома определите напряжение в цепях, схемы которых показаны на рис. 3.11 при В, мА, кОм, кОм, кОм.

Рис. 3.11

Задание 3.2 Общим методом расчета на основе законов Ома и Кирхгофа определите ток в цепях, схемы которых показаны на рис. 3.11 при В, В, мА, мА, кОм, кОм, кОм.

Задание 3.3 Методами контурных токов, узловых напряжений и наложения определите ток в цепях, схемы которых показаны на рис. 3.12, параметры цепи возьмите из задания 3.1, сравните полученные результаты.

Рис. 3.12

Задание 3.4. Методами контурных токов и узловых напряжений определите ток в цепи, схема которой показана на рис. 3.13 при В, мА, мА, кОм, кОм,

кОм.

Рис. 3.13

Задание 3.5. Общим методом расчета, методами контурных токов и узловых напряжений определите в цепи рис. 3.14 напряжение при мА кОм, кОм, кОм, кОм, кОм. Проведите сравнительный анализ методов расчета.

Рис. 3.14

4. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ТОКИ И НАПРЯЖЕНИЯ В ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ

4.1 Гармонические ток и напряжение в элементах цепи

В элементах цепи R, L, и C взаимосвязь произвольных мгновенных значений тока и напряжения определяется законом Ома, необходимые соотношения приведены в табл. 1.1.

Рассмотрим гармонические ток и напряжение на элементе Э (рис. 4.1) в виде

(4.1)

Рис. 4.1

Для сопротивления R можно записать

. (4.2)

Сравнивая полученный результат с выражением для напряжения из (4.1), получим выражение закона Ома для амплитуд тока и напряжения.

, (4.3)

и соотношение для начальных фаз

. (4.4)

Как видно из (4.3), амплитуды (и действующие значения) гармонических тока и напряжения в сопротивлении связаны законом Ома в классической формулировке прямой пропорциональности.

Начальные фазы тока и напряжения в сопротивлении одинаковы, сдвиг фаз между напряжением и током равен нулю,

. (4.5)

Мгновенная мощность (1.6) гармонических сигналов в сопротивлении равна

, (4.6)

где .

Ее зависимость от времени показана на рис. 4.2. Величина всегда положительна, то есть сопротивление только потребляет мощность от источника сигнала. Это гармоническая функция времени с периодом повторения в два раза меньше периода сигнала.

Средняя мощность (1.8) гармонических сигналов в сопротивлении определяется выражением



Рис. 4.2

, (4.7)

где и - действующие значения тока и напряжения,

. (4.8)

Это значение показано пунктирной линией на временной диаграмме рис. 4.2.

В емкости C мгновенные значения тока и напряжения связаны соотношением (табл.1.1)

. (4.9)

После преобразования тригонометрической функции к канонической форме гармонического сигнала получим

. (4.10)

Сравнивая (4.10) с формулой тока из (4.1), можно записать

, (4.11)

. (4.12)

Введем обозначения

, (4.13)

, (4.14)

где - модуль реактивного сопротивления емкости (Ом), а - реактивная проводимость емкости (См=1/Ом). Позднее увидим, что реактивное сопротивление емкости отрицательно.

Из (4.11) получим уравнения связи амплитуд (и действующих значений) гармонических тока и напряжения в емкости

, (4.15)

которые представляют собой выражение закона Ома для емкости в классической формулировке прямой пропорциональности.

Из (4.12) следует, что гармонический ток в емкости опережает по фазе приложенное к ней напряжение (напряжение отстает по фазе от тока) на угол радиан или 900. Сдвиг фаз между напряжением и током в емкости равен

. (4.16)

На рис. 4.3 показаны временные диаграммы тока и напряжения в емкости. Ток опережает по фазе напряжение на 900, что отражается на временной диаграмме смещением кривой тока влево на четверть периода.

Рис. 4.3

Мгновенная мощность в емкости из (4.1) и (4.9) равна

,

а после тригонометрических преобразований получим

. (4.17)

Временная диаграмма мгновенной мощности показана на рис. 4.4

Мгновенная мощность электрических сигналов в емкости может быть положительной (емкость накапливает энергию электрического поля) и отрицательной (емкость отдает во внешнюю цепь ранее накопленную энергию). Средняя мощность гармонических сигналов в емкости равна нулю, то есть емкость не потребляет мощность от гармонического источника.



Рис. 4.4

Для индуктивности L мгновенные значения тока и напряжения связаны соотношением закона Ома из табл.1.1, тогда с учетом выражения для тока из (4.1) получим

,

а после преобразований

. (4.18)

Сравнивая (4.18) с выражением для напряжения (4.1), получим уравнения связи для амплитуд (действующих значений) тока и напряжения

(4.19)

и их начальных фаз

. (4.20)

Введем обозначения

, (4.21)

, (4.22)

где - реактивное сопротивление индуктивности (Ом), а - модуль реактивной проводимости индуктивности (См=1/Ом). Позднее увидим, что реактивная проводимость индуктивности отрицательна.

Тогда получим выражения закона Ома для амплитуд (действующих значений) тока и напряжения в индуктивности

. (4.23)

Согласно (4.20) гармонический ток в индуктивности отстает по фазе от напряжения (напряжение опережает по фазе ток) на угол радиан или 900. Сдвиг фаз между напряжением и током в индуктивности равен

. (4.24)

Временные диаграммы тока и напряжения в индуктивности показаны на рис. 4.5. В отличие от аналогичных графиков для емкости на рис. 4.3 ток и напряжение меняются местами, кривая напряжения смещена вправо относительно тока на четверть периода, что соответствует опережению по фазе на 900.



Рис. 4.5

Мгновенная мощность гармонических сигналов в индуктивности равна

, (4.25)

а после тригонометрических преобразований получим

. (4.26)

Временная диаграмма мгновенной мощности в индуктивности совпадает с показанной на рис. 4.4 для емкости.

Средняя мощность гармонических сигналов в индуктивности (как и в емкости) равна нулю, то есть индуктивность не потребляет мощность от гармонического источника.

В табл. 4.1 приведены сводные результаты для гармонических сигналов в элементах цепи.

Таблица 4.1

Элемент	Ток	Напряжение	Средняя мощность
R
C
L

4.2 Средняя мощность гармонических сигналов в линейном двухполюснике

Рассмотрим двухполюсник (ДП) на рис. 4.6, через который протекает гармонический ток и к которому приложено напряжение вила (4.1).

Мгновенная мощность равна

(4.27)

а после тригонометрических преобразований получим

Рис.4.6

. (4.28)

Как видно, мгновенная мощность изменяется по гармоническому закону с частотой и содержит постоянную составляющую.

Средняя мощность равна

, (4.29)

где

- сдвиг фаз между напряжением и током. Величину называют коэффициентом мощности.

Как видно, потребляемая двухполюсником мощность определяется амплитудами (действующими значениями) тока и напряжения и коэффициентом мощности. Для максимизации потребляемой мощности (например, электродвигателем) необходимо обеспечить условие , то есть нулевой сдвиг фаз между напряжением и током (). Это означает, что двухполюсник должен вести себя как сопротивление .

В чисто реактивной цепи, содержащей только индуктивности и емкости, сдвиг фаз , при этом потребляемая мощность будет рана нулю при любых амплитудах тока и напряжения.

Полученное выражение (4.29) для средней мощности полностью согласуется со значениями в элементах цепи R, L и C (табл. 4.1), так как в сопротивлении , а в индуктивности и емкости .

Для расчета потребляемой двухполюсником мощности необходимо определить амплитуды (действующие значения) тока и напряжения и сдвиг фаз между ними, а затем воспользоваться выражением (4.29).

4.3 Тригонометрический метод расчета

Тригонометрический метод расчета гармонических токов и напряжений в линейной цепи базируется на законах Ома и Кирхгофа для мгновенных значений сигналов в тригонометрической форме.

В качестве примера рассмотрим цепь на рис. 4.7 при , В, рад/с, , кОм и нФ. Обозначим гармонический ток в виде



Рис. 4.7

, (4.30)

тогда с учетом свойств гармонических напряжений в сопротивлении и емкости на основе второго закона Кирхгофа получим

. (4.31)

Левая часть (4.31) может быть преобразована в тригонометрическую функцию,

, (4.32)

тогда, уравнивая коэффициенты в правой и левой частях уравнения, получим

, (4.33)

. (4.34)

Из полученных выражений нетрудно определить амплитуду и начальную фазу тока в цепи,

А,

.

При найденном токе нетрудно определить напряжение на емкости (проведите расчет самостоятельно).

Как видно, тригонометрический метод требует суммирования гармонических функций с неизвестными параметрами, что приводит к громоздким расчетам, если число слагаемых функций более двух. Этот метод применим для расчета очень простых цепей.

4.4 Векторная диаграмма цепи

Гармонический сигнал можно представить проекцией на горизонтальную ось вектора, вращающегося против часовой стрелки вокруг начала координат с круговой (угловой) частотой , как показано на рис. 4.8. Длина (модуль) вектора равна амплитуде гармонического сигнала и в момент начала вращения (при ) угол его наклона к горизонтальной оси равен начальной фазе сигнала (отсчет положительных значений проводится против часовой стрелки).



Рис. 4.8

Все гармонические токи и напряжения в цепи с одинаковой частотой, равной частоте источников сигнала, можно представить совокупностью синхронно вращающихся векторов вида рис. 4.8. Так как все векторы вращаются синхронно и между ними сохраняются амплитудные и угловые соотношения, то вращение можно остановить и рассматривать неподвижную совокупность векторов. Если вращение остановлено в момент времени , то угол наклона каждого вектора к горизонтальной оси равен начальной фазе соответствующего вектору гармонического сигнала.

Векторная диаграмма электрической цепи - это совокупность векторов, соответствующих гармоническим токам и напряжениям цепи, длина каждого вектора равна амплитуде (или действующему значению) сигнала, а угол наклона вектора к горизонтальной оси - начальной фазе сигнала.

Для векторного представления гармонических сигналов выполняются законы Кирхгофа в классической формулировке.

В качестве примера рассмотрим векторную диаграмму цепи, показанной на рис. 4.7. Результаты ее расчета тригонометрическим методом приведены в табл. 4.2 (проведите соответствующие расчеты).

Таблица 4.2

Сигнал	Амплитуда	Начальная фаза
	В
	мА
	В
	В

Векторная диаграмма цепи приведена на рис. 4.9. Векторы тока и напряжений построены по данным табл. 4.2, длина вектора равна амплитуде сигнала, а угол отклонения от горизонтальной оси равен начальной фазе (отсчет положительных значений угла против часовой стрелки). Вектор тока совпадает по направлению с вектором напряжения на сопротивлении, их длины (модули) не одинаковы, так как масштабы штабы (например, В/см и мА/см) токов и напряжений различны (ток и напряжение не сравнимы между собой).

Рис. 4.9

Напряжение на сопротивлении опережает по фазе напряжение на емкости на 900. Это обусловлено тем, что в последовательной цепи рис. 4.7 через сопротивление и емкость протекает один и тот же ток, причем напряжение на сопротивлении совпадает по фазе с током, а на емкости - отстает по фазе от тока на 900.

Сумма векторов напряжений на сопротивлении и емкости в цепи рис. 4.7 по второму закону Кирхгофа (в векторной форме) равна ЭДС источника, что и показано на векторной диаграмме рис. 4.9.

Как видно, векторная диаграмма цепи может быть построена по результатам расчета всех гармонических токов и напряжений. Однако ее можно построить «качественно» (без знания точных параметров векторов, но с правильными соотношениями между ними) и не проводя численных расчетов.

Рассмотрим пример RC цепи, показанной на рис. 4.10, в которой заданы положительные направления и условные обозначения всех токов и напряжений. Прежде всего, необходимо проанализировать структуру цепи. В ней присутствует параллельный фрагмент (соединение элементов C и R2), который соединен последовательно с сопротивлением R1 и источником напряжения . Тогда построение необходимо начать с напряжения на параллельном фрагменте, при этом , этот вектор проведем произвольно по модулю и направлению, например, горизонтально, векторная диаграмма показана на рис. 4.11.

Рис. 4.10

Ток совпадает по фазе с напряжениями , а ток опережает их по фазе на 900. Соответствующие векторы изображены на диаграмме рис. 4.11 с произвольной длиной и указанными угловыми соотношениями относительно вектора . Векторная сумма этих токов по первому закону Кирхгофа равна току , то есть этот вектор строится исходя из векторов и . Вектор напряжения на сопротивлении R1 совпадает по направлению с вектором тока и имеет произвольную длину, а вектор ЭДС по второму закону Кирхгофа Кирхгофа равен сумме векторов и . На этом построение «качественной» векторной диаграммы цепи заканчивается.



Рис. 4.11

Если цепь содержит последовательный фрагмент, входящий в смешанное соединение, то построение целесообразно начинать с вектора тока этого фрагмента.

Векторная диаграмма электрической цепи может использоваться для иллюстрации амплитудных и фазовых соотношений между токами и напряжениями, и для формирования аналитических выражений, связывающих их амплитуды (действующие значения) и начальные фазы.

Например, для диаграммы рис. 4.11 амплитуды (действующие значения) токов , и по теореме Пифагора связаны выражением

.

Для других соотношений можно использовать теорему косинусов (пример приведите самостоятельно).

Для сложной цепи построение «качественной» векторной диаграммы требует вдумчивого подхода при выборе начального вектора и способов построения остальных векторов.

4.5 Особенности расчета цепи с гармоническими сигналами

Мгновенные значения токов и напряжений в электрической цепи связаны между собой уравнениями законов Ома и Кирхгофа. Последние предполагают суммирование гармонических функций времени с неизвестными амплитудами и начальными фазами, например, с помощью теоремы косинусов, а это приводит к громоздким расчетам даже в относительно простых цепях.

Существенно упростить расчеты можно, отказавшись от описания сигналов с помощью тригонометрических функций времени и заменив его числами, на зависящими от времени. На эту возможность указывает векторная диаграмма цепи, которая полностью отражает свойства гармонических сигналов и не зависит от времени.

Известно, что вектор, выходящий из начала координат, можно представить комплексным числом. Таким образом, в теории электрических цепей при расчете гармонических процессов возникает метод комплексных амплитуд.

4.6 Расчет средней (потребляемой) мощности

По результатам расчета гармонических токов и напряжений можно определить мощность, потребляемую цепью от источника сигнала.

В качестве примера используем цепь на рис. 4.7, результаты расчета приведены в табл. 4.2. Рассматривая цепь относительно зажимов источника как двухполюсник, при амплитуде напряжения В, тока мА и сдвиге фаз между ними , получим

мВт.

С другой стороны, в рассматриваемой цепи емкость не потребляет мощность гармонического сигнала, и она может выделяться только в сопротивлении. Тогда получим

мВт.

Как видно результаты совпадают.

Если в цепи имеется несколько сопротивлений, то общая потребляемая цепью мощность будет равна сумме мощностей, потребляемых каждым сопротивлением в отдельности.

4.7 Задания для самостоятельного решения

Задание 4.1. Тригонометрическим методом определите амплитуды и начальные фазы токов и напряжений на элементах цепей, показанных на рис. 4.12, при В, мА, кОм, мГн и нФ.

Рис. 4.12

По результатам расчета постройте полные векторные диаграммы цепей, проверьте выполнимость законов Кирхгофа.

Задание 4.2. Постройте «качественные» векторные диаграммы цепей, показанных на рис. 4.12. Сравните их с расчетными диаграммами из задания 4.1. Задание 4.3. Определите мощность, потребляемую от источника сигнала в цепях, показанных на рис. 4.12. Проведите расчеты, рассматривая цепь как двухполюсник или выделив в ней энергопотребляющие элементы.

Задание 4.4. Постройте «качественные» полные векторные диаграммы цепей, показанных на рис. 4.13.



Рис. 4.13

Задание 4.5. Тригонометрическим методом определите амплитуды и начальные фазы токов и напряжений на элементах цепи, показанной на рис. 4.10, при кОм, нФ и В.

Постройте полную векторную диаграмму цепи, сравните ее с приведенной на рис. 4.11. Определите мощность, потребляемую цепью от источника.

5. МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД

5.1 Комплексная амплитуда гармонического сигнала

Для гармонического сигнала (тока или напряжения) комплексная амплитуда равна

, .

Комплексная амплитуда является комплексным числом ( - мнимая единица), определяется только амплитудой и начальной фазой сигнала и не зависит от его частоты.

Комплексная амплитуда обозначается тем же символом, что и амплитуда сигнала, но с точкой сверху (в литературе используются и другие маркирующие отметки, например, горизонтальная черта сверху символа).

Например, если мгновенное значение гармонического напряжения равно В, то его комплексная амплитуда имеет вид В или В.

Для определения комплексной амплитуды гармонический сигнал должен быть записан в канонической форме

. (5.1)

Если запись сигнала отличается от формы (5.1) то необходимо провести соответствующие тригонометрические преобразования, представленные в табл. 5.1.

Таблица 5.1

Если гармоническое напряжение имеет вид мВ, то после преобразования получим мВ, а комплексная амплитуда будет равна мВ.

5.2 Операции с комплексными числами

Комплексные числа могут быть записаны в двух формах: алгебраической и показательной.

В алгебраической форме комплексное число записывается в виде

, (5.2)

где - действительная, а - мнимая части комплексного числа, .

В показательной форме комплексное число представляется выражением

, (5.3)

величину называют модулем, а - аргументом комплексного числа.

От алгебраической формы можно перейти к показательной, модуль комплексного числа равен

, (5.4)

а аргумент

(5.5)

Аргумент комплексного числа, как и начальная фаза гармонического сигнала (подраздел 2.2), величина многозначная, к ней можно добавить (или вычесть) любое число раз. Для обеспечения однозначности аргумента комплексного числа его значения выбирают в диапазоне, например, от до или от 0 до .

Показательную форму комплексного числа можно заменить алгебраической с помощью соотношений

(5.6)

Они вытекают из известной в математике формулы Эйлера,

(5.7)

Например, если комплексное число в алгебраической форме равно , то в показательной форме его можно записать в виде

.

Если комплексное число равно , то в показательной форме получим

.

Для комплексного числа в показательной форме в виде его алгебраическая форма имеет вид

.

С комплексными числами проводятся все четыре арифметические действия.

При сложении и вычитании комплексных чисел и в алгебраической форме получим

. (5.8)

Если числа заданы в показательной форме, то перед сложением или вычитанием их необходимо преобразовать в алгебраическую форму.

Операции умножения и деления удобнее выполнять в показательной форме, когда и , при этом при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются,

, (5.9)

а при делении делятся модули и вычитаются аргументы,

. (5.10)

Умножение можно провести и с алгебраической формой сомножителей по известным правилам с учетом того, что ,

. (5.11)

При делении комплексных чисел в алгебраической форме используется операция устранения комплексности в знаменателе путем умножения числителя и знаменателя дроби на число, комплексно сопряженное знаменателю. Для заданного числа комплексно сопряженное число равно , то есть отличается от противоположным знаком при мнимой части. Произведение двух комплексно сопряженных чисел всегда равно квадрату их модуля,

. (5.12)

Тогда при делении в алгебраической форме получим

(5.13)

Рассмотрим пример и , тогда

,

Эти операции можно провести и в показательной форме, тогда

,

,

,

.

Как видно, полученные результаты совпадают.

Полезно запомнить следующие равенства, вытекающие из формулы Эйлера (5.7),

Вычисления с комплексными числами удобно проводить на персональной ЭВМ с помощью пакета программ MathCAD.

5.3 Законы Ома и Кирхгофа для комплексных амплитуд токов и напряжений

Законы Ома и Кирхгофа применимы в своих классических формулировках для комплексных амплитуд токов и напряжений.

Закон Ома: комплексная амплитуда напряжения на участке цепи прямо пропорционально комплексной амплитуде протекающего через него тока. Для двухполюсного участка цепи его можно записать в виде

или , (5.14)

где - полное комплексное сопротивление, а - полная комплексная проводимость участка цепи. Первый закон Кирхгофа; алгебраическая сумма комплексных амплитуд сходящихся в узле токов равна нулю,

. (5.15)

Второй закон Кирхгофа; алгебраическая сумма комплексных амплитуд падений напряжения на элементах замкнутого контура равна алгебраической сумме комплексных амплитуд ЭДС идеальных источников напряжения, включенных в этот контур,

. (5.16)

Знаки в алгебраических суммах определяются выбранными положительными направлениями токов и напряжений и направлением обхода контура.

5.4 Комплексные сопротивления и проводимости элементов цепи

Значения комплексных сопротивлений и проводимостей элементов цепи R, L и C приведены в табл. 5.2 (запомните эти формулы).

Таблица 5.2

	R	L	C
Комплексное сопротивление
Комплексная проводимость

Комплексные сопротивление и проводимость сопротивления всегда действительны (мнимая часть равна нулю), а индуктивности и емкости - мнимые (действительная часть равна нулю).

Для комплексного сопротивления из закона Ома (5.14) можно записать

, (5.17)

где - сдвиг фаз между напряжением и током в элементе. Для сопротивления напряжение и ток совпадают по фазе, то есть и из (5.17) величина действительна.

В индуктивности напряжение опережает по фазе ток на 900 (на радиан), следовательно

, тогда

и величина комплексного сопротивления индуктивности оказывается с нулевой действительной и положительной мнимой частями. В емкости

,

и ее комплексное сопротивление имеет нулевую действительную и отрицательную мнимую части.

Аналогичный анализ проводимости элементов цепи проведите самостоятельно.

5.5 Комплексные сопротивление и проводимость участка цепи

Полные комплексные сопротивления (и проводимости) двухполюсного участка цепи с произвольным соединением элементов определяются по тем же правилам, что и для цепи постоянного тока:

- комплексное сопротивление последовательного соединения двухполюсников равно сумме их комплексных сопротивлений;

- комплексная проводимость параллельного соединения двухполюсников равна сумме их комплексных проводимостей.

Например, сопротивление последовательной цепи, показанной на рис. 5.1а при кОм и пФ на частоте кГц равно

кОм,

а проводимость параллельной цепи на рис 5.1б -

Рис. 5.1

Сим.

Зная комплексное сопротивление цепи, можно определить ее комплексную проводимость и наоборот,

(5.18)

Например, для последовательной цепи на рис. 5.1а ее проводимость равна

Расчет проведен методом устранения комплексности знаменателя путем умножения числителя и знаменателя дроби на множитель, комплексно-сопряженный знаменателю.

Можно провести вычисление проводимости путем преобразования комплексного сопротивления из алгебраической формы в показательную,

.

Тогда для проводимости получим

Комплексное сопротивление цепи со смешанным соединением элементов определяется следующим образом:

- в цепи выделяется фрагмент с простым (последовательным или параллельным) соединением элементов и определяется его сопротивление или проводимость;

- фрагмент заменяется эквивалентным элементом, в полученной цепи вновь выделяется простой фрагмент и повторяется предыдущее действие;

- эти действия повторяются до тех пор, пока цепь не трансформируется в один элемент с соответствующим сопротивлением или проводимостью.

Рассмотрим цепь, схема которой показана на рис. 5.2 при кОм, нФ, рад/с и определим ее комплексное сопротивление . В цепи выделяется простой параллельный фрагмент из элементов и определяется его сопротивление , равное

Рис. 5.2

.

Тогда параллельный фрагмент заменяется эквивалентным элементом с сопротивлением и схема цепи принимает вид, показанный на рис. 5.3.

Для полученной последовательной цепи ее сопротивление равно

.

Подставляя исходные данные, получим

Рис. 5.3

Ом.

5.6 Характеристики комплексного сопротивления и проводимости

Полное комплексное сопротивление в показательной форме можно записать в виде

. (5.19)

Модуль комплексного сопротивления равен отношению амплитуд (действующих значений) напряжения и тока,

. (5.20)

Аргумент комплексного сопротивления равен сдвигу фаз между напряжением и током,

, (5.21)

Комплексная проводимость в показательной форме имеет вид

, (5.22)

ее модуль равен отношению амплитуд (действующих значений) тока и напряжения,

, (5.23)

а аргумент - сдвигу фаз между током и напряжением,

. (5.24)

Таким образом, комплексное сопротивление и проводимость характеризуют взаимосвязь амплитуд и начальных фаз напряжения и тока.

Представим комплексное сопротивление в алгебраической форме,

, (5.25)

где - активная а, - реактивная составляющие комплексного сопротивления. Все величины в (5.25) измеряются в Омах.

Рассмотрим в качестве примера сопротивление цепи, показанной на рис. 5.2.

. (5.26)

Как видно, активная составляющая сопротивления равна

, (5.27)

а реактивная

, (5.28)

и обе зависят от частоты сигнала.

Зависимости от частоты активной и реактивной составляющих сопротивления для цепи рис. 5.2 показаны на рис. 5.4. На низких частотах емкость является разрывом цепи и сопротивление Ом. На высоких частотах емкость представляет собой короткое замыкание (ее сопротивление стремится к нулю) и сопротивление цепи равно Ом. И в том и другом случаях реактивное сопротивление стремится к нулю. При рад/с получается ранее вычисленное значение Ом.



Рис. 5.4

Аналогичный анализ проводимости цепи, показанной на рис. 5.2, проведите самостоятельно.

5.7 Комплексная мощность

Полная комплексная мощность определяется выражением

, (5.29)

где - комплексная амплитуда напряжения, а - комплексно-сопряженная амплитуда тока.

Это комплексная величина с действительной и мнимой частями,

. (5.30)

Комплексная мощность измеряется в ВА (вольт-амперах).

Как видно, действительная (активная) составляющая комплексной мощности представляет собой среднюю мощность , потребляемую двухполюсником,

. (5.31)

Как уже отмечалось, активная мощность измеряется в ваттах.

Мнимая (реактивная) составляющая комплексной мощности равна

(5.32)

и характеризует процессы накопления и обмена энергией с источником в реактивных элементах цепи. Эта мощность не расходуется цепью и измеряется в ВАр (вольт-амперы реактивные), она численно равна максимальной скорости запасания энергии в цепи. Реактивная мощность может быть положительной (при ), при этом энергия запасается в магнитном поле индуктивностей, или отрицательной (при ) при накоплении энергии в электрическом поле емкостных элементов.

Модуль комплексной мощности равен

(5.33)

и измеряется в ВА. Величину называют полной мощностью, она определяется активной и реактивной мощностями,

. (5.34)

Можно записать

, (5.35)

величину называют коэффициентом мощности. При потребляемая мощность максимальна и равна полной мощности , а реактивная мощность равна нулю.

Если для вычисления мощности используются действующие значения напряжения и тока, то в приведенных соотношениях удаляется множитель .

5.8 Расчет мощности, потребляемой двухполюсником

Зная комплексные амплитуды напряжения и тока, согласно (5.29), можно определить комплексную мощность, например, при В и А получим, что сдвиг фаз между напряжением и током равен . Тогда комплексная мощность равна

ВА,

активная составляющая (потребляемая мощность)

Вт,

реактивная мощность -

ВАр,

а полная мощность

ВА.

Отрицательная реактивная мощность свидетельствует о том, что цепь накапливает энергию в емкостном элементе. Так как коэффициент мощности равен , то потребляемая мощность существенно меньше полной.

Мощности можно определить, зная комплексную амплитуду напряжения (или тока) и комплексное сопротивление (проводимость) цепи.

Рассмотрим цепь на рис. 5.2 с подключенным к ней идеальным источником гармонического напряжения , показанную на рис. 5.5.при кОм, нФ, В. Комплексная амплитуда ЭДС источника равна В, а комплексное сопротивление цепи было определено ранее,

Рис. 5.5

Ом.

По закону Ома найдем комплексную амплитуду тока ,

мА,

а полная комплексная мощность равна

ВА,

или в алгебраической форме

ВА.

Таким образом, потребляемая цепью мощность равна Вт, реактивная мощность - ВАр, а полная мощность - ВА.

На практике наибольший интерес представляет определение мощности, которую потребляет цепь от одного или нескольких источников. Необходимо помнить, что в электрической цепи мощность потребляется только активными элементами - сопротивлениями.

Потребляемую мощность в цепи, содержащей несколько сопротивлений, можно определить, если известны амплитуды (действующие значения) токов или напряжений на этих элементах.

Мощность, потребляемая цепью, содержащей несколько сопротивлений, равна сумме мощностей, потребляемой каждым из этих элементах в отдельности.

Расчет токов и напряжений на элементах цепи будет рассмотрен в дальнейшем.

В цепи с комплексным сопротивлением при протекании через нее тока с амплитудой потребляемая мощность равна

. (5.36)

Аналогично в цепи с комплексной проводимостью при наличии на ней напряжения с амплитудой потребляемая мощность будет равна

. (5.37)

5.9 Максимизация потребляемой мощности

В инженерной практике часто возникает необходимость обеспечить максимум активной мощности, передаваемой от источника сигнала в нагрузку.

В качестве примеров можно выделить задачу максимизации мощности на валу электродвигателя при питании его от силовой сети. Аналогичная проблема возникает при передаче высокочастотной мощности от выходного усилителя радиопередатчика в антенну для излучения электромагнитных волн (высокочастотная мощность стоит очень дорого как с экономической, так и с технической точки зрения).

Схема электрической цепи показана на рис. 5.6. В цепь включен реальный источник напряжения с комплексной амплитудой ЭДС и внутренним комплексным сопротивлением , к которому подключена нагрузка с комплексным сопротивлением . Необходимо подобрать такое сопротивление нагрузки, при котором она потребляла бы от источника максимальную мощность.

Рис. 5.6

Комплексная амплитуда тока в цепи равна

,

тогда для амплитуды тока получим

, (5.38)

в выражение для потребляемой мощности примет вид

, (5.39)

так как мощность потребляется только в активном сопротивлении .

Необходимо определить максимум (5.39) по двум независимым переменным - активному и реактивному сопротивлениям нагрузки. Как видно, величина присутствует только в знаменателе дроби и сумма возводится в квадрат. Минимум знаменателя будет иметь место при условии

или . (5.40)

Таким образом, реактивное сопротивление нагрузки должно быть по модулю равно реактивному сопротивлению источника и иметь противоположный характер (если у источника сопротивление индуктивно, то у нагрузки оно должно быть емкостным и наоборот). В результате получим

. (5.41)

Максимум (5.41) по можно найти, вычислив производную этой функции и приравняв ее нулю. В результате получим (проделайте это самостоятельно) условия, при которых потребляемая нагрузкой мощность максимальна,

(5.42)

и соответствующую величину мощности

. (5.43)

Зависимости мощности в нагрузке от при (сплошная линия) и Ом (пунктирная линия) показаны на рис. 5.7 при Ом и В.

Как видно, при отклонении от оптимальных условий (5.42) потребляемая нагрузкой мощность замет но снижается.

Рис. 5.7

Рассмотрим коэффициент полезного действия (КПД) - отношение мощности в нагрузке к мощности, потребляемой от источника сигнала, при условии (5.40) равной

. (5.44)

тогда КПД равен

. (5.45)

Зависимость КПД от активной составляющей сопротивления нагрузки показана на рис. 5.8. Как видно, при условии передачи максимума мощности в нагрузку КПД равен 0,5 (50%), то есть половина мощности источника потребляется его же внутренним сопротивлением (происходит нагрев источника). При повышении КПД увеличивается, однако при этом снижается мощность, передаваемая в нагрузку.

Рис. 5.8

5.10 Задания для самостоятельного решения

Задание 5.1. Определите комплексные амплитуды гармонических сигналов

В, мВ

мА, А.

Задание 5.2. По заданной комплексной амплитуде определите мгновенные значения сигналов, их амплитуды и начальные фазы

В, мВ, В, мВ,

мА, А, мА, мкА.

Задание 5.3. Вычислите сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел и , результаты запишите в алгебраической и показательной формах.

4-j3 7-j4 -j 2 20+j3

-8+j2 -j5 j -1-j 5+j2

Задание 5.4. Для чисел из задания 5.3 вычислите их модуль и аргумент, а также обратную величину .

Задание 5.5. Найдите полное комплексное сопротивление и проводимость показанных на рис. 5.9 цепей при кОм, мГн и пФ на частоте рад/c.



Рис. 5.9

Задание 5.6. Получите общие формулы для полного комплексного сопротивления цепей из задания 5.5. Найдите формулы его модуля, аргумента, активной и реактивной составляющих, постройте их графики в зависимости от частоты сигнала.

Задание 5.7. Вычислите мощность, потребляемую показанной на рис.5.10 цепью при ЭДС источника В, кОм и нФ.

Рис. 5.10

Задание 5.8. Определите мощность, потребляемую показанной на рисунке цепью от источника тока мА при кОм, мГн и нФ.

Рис. 5.11

6. РАСЧЕТ ГАРМОНИЧЕСКИХ ТОКОВ И НАПРЯЖЕНИЙ В ЛИНЕЙНОЙ ЦЕПИ

6.1 Общие замечания

В третьем разделе рассмотрены методы расчета цепей постоянного тока (повторите соответствующий материал). В этом случае цепи были резистивными, индуктивности и емкости отсутствовали.

В цепях с гармоническими сигналами токи и напряжения определяются методом комплексных амплитуд, в рамках которого реализуются различные методы расчета. Все они используют комплексные амплитуды сигналов и комплексные сопротивления (проводимости) элементов цепи.

При расчетах не забывайте обозначать прописными буквами и отмечать точкой сверху комплексные амплитуды токов и напряжений, и записывать мнимую единицу перед реактивными сопротивлениями или проводимостями.

6.2 Расчет токов и напряжений на основе закона Ома

С помощью закона Ома можно определять токи и напряжения в сравнительно простых цепях с одним источником сигнала.

Расчет проводится следующим образом. Прежде всего, определяется комплексное входное сопротивление (или проводимость) цепи относительно точек ее подключения к источнику. Затем при известной ЭДС источника напряжения по закону Ома находится общий ток цепи, а при заданном источнике тока - общее напряжение на ее зажимах.

Далее цепь представляется как последовательное или параллельное соединение двухполюсников, и вычисляются либо напряжения на них, либо протекающие через них токи. Эти расчеты продолжаются до тех пор, пока не будут определены искомые токи или напряжения.

В качестве примера рассмотрим расчет токов и напряжений в цепи, показанной на рис. 6.1 при ЭДС источника

В,кОм и нФ.

Определим общее сопротивление цепи от- носительно полюсов источника (этот расчет проведен для цепи на рис. 5.5),

Рис. 6.1

Ом

и комплексную амплитуду ЭДС источника напряжения

В,

тогда комплексная амплитуда общего тока цепи равна

мА.

По закону Ома комплексная амплитуда напряжения на сопротивлении запишется в виде

В.

Напряжения на параллельно соединенных элементах и одинаковы и их комплексные амплитуды равны

По найденным напряжениям токи в элементах и равны

На рис. 6.2 показана векторная диаграмма токов и напряжений в цепи на рис. 6.1, построенная в пакете программ MathCAD (символические обозначения векторов и пунктирные линии их суммирования добавлены в с помощью программы Paint). Как видно из проведенных расчетов, численные значения напряжений и (в вольтах) и токов и (в миллиамперах) соответственно одинаковы, поэтому отображающие их векторы на диаграмме совпадают. Суммирование векторов (в соответствии с показанными на рис. 6.2 пунктирными линиями) подтверждает первый и второй законы Кирхгофа.



Рис.6.2

6.3 Общий метод расчета по уравнениям Кирхгофа

В исследуемой цепи вводятся обозначения и задаются положительные направления всех токов и напряжений всех ветвей (элементов) цепи. Определяется число узлов , число ветвей , не содержащих идеальные источники тока, и количество уравнений, которые необходимо составить по первому и второму законам Кирхгофа.

Затем для каждого элемента и ветви цепи по закону Ома записываются компонентные уравнения связи токов и напряжений, всего уравнений. Для узлов формируются уравнения первого закона Кирхгофа, а для независимых контуров - уравнения второго закона Кирхгофа, всего топологических уравнений.

Выражая токи ветвей через напряжения из компонентных уравнений, и подставляя их в уравнения первого закона Кирхгофа, получим систему из уравнений для напряжений ветвей (метод напряжений ветвей). Если же выразить из компонентных уравнений напряжения ветвей через их токи и подставить их в уравнения второго закона Кирхгофа, то получим уравнений для токов ветвей (метод токов ветвей).

Решение системы уравнений электрического равновесия цепи позволяет определить комплексные амплитуды всех токов и напряжений. Рассмотрим пример цепи показанной на рис. 6.3 при кОм, мГн, В и мА.В ней введены обозначения и заданы положительные направления всех токов и напряжений. Определим комплексные амплитуды сигналов источников, при этом ЭДС источника напряжения необходимо преобразовать к виду

Рис. 6.3

мА,

Тогда

Запишем подсистему компонентных уравнений цепи,

, , .

В цепи на рис. 6.3 два узла (), поэтому по первому закону Кирхгофа необходимо составить уравнение

.

Имеется три ветви , не содержащих идеальные источники тока, тогда по второму закону Кирхгофа необходимо составить уравнений для контуров и соответственно (обход контура по часовой стрелке),

В результате получим систему уравнений цепи рис. 6.3,

, , ,

,

Подставляя в уравнения законов Кирхгофа компонентные уравнения, получим

,

Из третьего уравнения получим

,

а из первого

.

Подставляя полученные токи во второе уравнение, можно записать соотношение

...