Цепи постоянного тока. Линейные цепи при гармонических воздействиях

,

из которого определяется ток индуктивности

.

Остальные токи равны

,

.

В результате вычислений (проделайте их самостоятельно) получим

мА,

мА,

мА.

По закону Ома (из компонентных уравнений) нетрудно вычислить напряжения на элементах цепи,

В,

В,

В.

Как видно напряжения на индуктивности и сопротивлении одинаковы, так как они соединены параллельно. Кроме того, начальные фазы токов и напряжений в сопротивлениях совпадают, а разность фаз между напряжением и током индуктивности равна

или, прибавив 3600, получим , то есть напряжение на индуктивности опережает ток через нее на 900.

Подставьте полученные результаты в уравнения первого и второго законов Кирхгофа и убедитесь, что они выполняются. Постройте векторную диаграмму токов и напряжений в цепи рис. 6.3.

6.4 Метод контурных токов

Как уже отмечалось в подразделе 3.4, метод контурных токов базируется на уравнениях второго закона Кирхгофа для независимых контуров, где - общее число ветвей цепи. Для выбранных независимых контуров вводятся обозначения и задаются положительные направления комплексных амплитуд кольцевых контурных токов , - номер контура (используется двойная индексация, чтобы не путать контурные токи с токами ветвей).

Через контурные токи выражаются токи всех ветвей цепи и по закону Ома определяются напряжения ветвей, а затем записываются уравнения второго закона Кирхгофа для контуров, не содержащих идеальные источники тока. Для контуров с идеальными источниками тока записываются уравнения связи контурных токов и тока источника.

Система содержит уравнений для комплексных амплитуд контурных токов. По найденным контурным токам определяются искомые токи или напряжения ветвей.

В качестве примера рассмотрим цепь на рис. 6.3 при тех же исходных данных. В ней имеется ветви и узлов. Схема цепи с обозначенными контурными токами показана на рис. 6.4.

Выразим токи ветвей через кон турные токи.

Рис. 6.4

Ток ветви образуется одним контурным током , ток - разностью контурных токов (он совпадает по направлению с и противоположен ), аналогично ток создается разностью контурных токов , а контурный ток совпадает с током источника ,

,

тогда получим

По закону Ома можно записать

тогда по второму закону Кирхгофа для первого и второго контуров получим

Для третьего контура с идеальным источником тока уравнение второго закона Кирхгофа не составляется.

В результате система уравнений метода контурных токов примет вид



Преобразуя, получим

Выразим из первого уравнения ток и подставим его во второе уравнение, из которого определим ток , в результате найдем контурные токи

,

Как видно, выражение для тока совпадает с полученной ранее формулой для тока ветви , для которого получаем

,

а для остальных токов ветвей можно записать

,

.

Полученные токи ветвей совпадают с токами, полученными ранее общим методом расчета по уравнениям Кирхгофа. Вычислив их, можно найти напряжения на элементах цепи. Проведите самостоятельно все необходимые вычисления.

Решить систему уравнений метода контурных токов численно можно с помощью пакета программ MathCAD. Листинг программы показан на рис. 6.5. Расчет проводится с помощью символических вычислений MathCAD, так как коэффициенты системы уравнений комплексные.

Результаты расчета - значения контурных токов - содержатся в векторе , , . Далее проводится вычисление комплексных амплитуд токов ветвей. Полученные значения совпадают с полученными ранее общим методом расчета по уравнениям Кирхгофа.

Метод контурных токов приводит к системе из уравнений, число которых всегда меньше числа ветвей . Таким образом, метод контурных токов эффективнее общего метода расчета цепи по уравнениям Кирхгофа.

6.5 Метод узловых напряжений (потенциалов)

Как уже отмечалось в подразделе 3.5 (повторите этот материал), метод узловых напряжений базируется на первом законе Кирхгофа. В цепи выделяются потенциальных узлов, последний -й узел объявляется базисным (ему присваивается нулевой потенциал, он отмечается символом «земля»), а для остальных задаются узловые напряжения (потенциалы) с положительным направлением в базисный узел.

Рис. 6.5

Через узловые напряжения с помощью закона Ома и второго закона Кирхгофа выражаются токи всех ветвей цепи, которые подставляются в уравнений первого закона Кирхгофа, в результате получается система уравнений метода узловых напряжений.

Рассмотрим цепь, показанную на рис. 6.3 при тех же исходных данных и зададим в ней узловые напряжения, как показано на рис. 6.6. Из имеющихся двух узлов нижний объявляется базисным, а верхний - потенциальным (он отмечен номером 1 в кружке), и задано узловое напряжение .

Рис. 6.6

Для расчета цепи методом узловых напряжений необходимо определить комплексные амплитуды источников и комплексные сопротивления элементов.

Найдем ток через сопротивление . По второму закону Кирхгофа напряжение на этом сопротивлении равно , тогда ток через него равен

.

По закону Ома для комплексных амплитуд токов и можно записать

,

.

По первому закону Кирхгофа для узла 1 получим

.

Подставляя в это уравнения токи ветвей, выраженные через узловое напряжение, получим уравнение метода узловых напряжений в виде

.

Решая уравнение, получим

.

Подставляя численные значения параметров и частоты, получим численное значение узлового напряжения

В.

С помощью найденной величины нетрудно вычислить токи ветвей и напряжения на элементах цепи. Проведите эти расчеты самостоятельно, сравните результаты с полученными ранее значениями.

Метод узловых напряжений требует составления и решения уравнений, тогда он будет эффективней метода контурных токов, если

,

то есть при условии

. (6.1)

В рассмотренных примерах (рис. 6.4 и рис. 6.6) , , следовательно

и целесообразнее использовать метод узловых напряжений.

6.6 Метод (принцип) наложения

Метод (принцип) наложения можно сформулировать следующим образом.

Реакция цепи (ток или напряжение) на воздействие нескольких источников сигнала равна сумме реакций цепи на воздействие каждого источника в отдельности, при этом остальные источники должны быть выключены - заменены своими внутренними сопротивлениями. Выключенный идеальный источник напряжения заменяется коротким замыканием, а идеальный источник тока - разрывом (холостым ходом) содержащей источник ветви.

Метод наложения применим только к линейной цепи. Исходная цепь с несколькими источниками представляется несколькими более простыми цепями с одним источником, что упрощает расчеты.

Рассмотрим цепь, показанную на рис. 6.3. В ней два источника сигнала, тогда в соответствии с методом наложения, последовательно отключая источники, получим две цепи, показанные на рис. 6.7а и рис. 6.7б соответственно.



Рис. 6.7

Определим напряжение на индуктивности в исходной цепи. По принципу наложения можно записать

,

где - комплексная амплитуда напряжения на индуктивности в схеме на рис. 6.7а, а - в схеме на рис. 6.7б. Их можно определить с помощью закона Ома в виде

,

.

Складывая полученные реакции цепи на действие каждого источника в отдельности, получим

,

что соответствует результатам, полученным ранее по методам контурных токов и узловых напряжений (убедитесь в этом самостоятельно).

6.7 Теорема об эквивалентном источнике

Теорема об эквивалентном источнике (теорема Тевенена) формулируется в двух вариантах применительно к источникам напряжения и тока и применима только к линейному активному двухполюснику (двухполюсной цепи, содержащей пассивные элементы R, L,C и источники сигнала). Любой линейный активный двухполюсник можно заменить эквивалентным реальным источником напряжения с ЭДС, равной напряжению холостого хода (на разомкнутых выводах) активного двухполюсника, и с внутренним сопротивлением, равным сопротивлению пассивной части активного двухполюсника (его сопротивлению при выключенных источниках, когда идеальный источник напряжения заменяется коротким замыканием, а идеальный источник тока - разрывом цепи).

Любой линейный активный двухполюсник можно заменить эквивалентным реальным источником тока, ток которого равен току короткого замыкания (при замкнутых выводах) активного двухполюсника, а внутреннее сопротивление равно сопротивлению пассивной части активного двухполюсника.

Теорема об эквивалентном источнике является мощным методом расчета линейных цепей. Методика ее применения заключается в следующем. В исходной цепи выделяется ветвь (элемент), в которой определяется ток или напряжение. Вся остальная часть цепи рассматривается как активный двухполюсник, который в соответствии с теоремой заменяется эквивалентным источником тока или напряжения. Для этого любым из рассмотренных методов определяются напряжение холостого хода (или ток короткого замыкания) двухполюсника и его внутреннее сопротивление, затем двухполюсник заменяется эквивалентным источником и проводится расчет упрощенной цепи.

Рассмотрим цепь, показанную на рис. 6.3, в которой требуется найти напряжение на индуктивности. Выделяя индуктивность, из оставшейся части образуем активный двухполюсник (АД), как показано на рис. 6.8 (как видно, полученная схема не отличается от исходной).

Схема активного двухполюсника АД показана на рис. 6.9а, а ее пассивная часть (пассивный двухполюсник ПД) - на рис. 6.9б.

Рис. 6.8

Рис. 6.9

Для цепи на рис. 6.9а нетрудно найти комплексную амплитуду напряжения холостого хода , используя для этого метод наложения (проделайте расчеты самостоятельно), тогда получим

.

В соответствии с теоремой комплексная амплитуда ЭДС эквивалентного источника напряжения равна . Внутренне сопротивление пассивной части активного двухполюсника определяем в соответствии со схемой на рис. 6.9б, в результате получим

.

Заменяя активный двухполюсник в схеме на рис. 6.8 реальным эквивалентным источником напряжения, получим цепь, показанную на рис. 6.10. По закону Ома определим комплексную амплитуду напряжения на индуктивности,

Рис. 6.10.

Подставляя параметры эквивалентного источника, можно записать

.

Результат совпадает с полученным ранее другими методами. Приведенный пример свидетельствует о высокой эффективности рассмотренного метода.

6.8. Общие рекомендации по расчету цепей

При расчете токов и напряжений в электрической цепи необходимо прежде всего обратить внимание на тип источников сигнала:

- источники постоянных сигналов;

- источники гармонических сигналов;

- источники переменных негармонических сигналов.

Для цепи постоянного тока составляется эквивалентная схема (индуктивности заменяются коротким замыканием, а емкости - разрывом цепи), а затем производится расчет постоянных токов и напряжений с использованием различных методов.

В цепи с гармоническими сигналами расчет проводится методом комплексных амплитуд, при этом определяются комплексные амплитуды источников тока и напряжения и комплексные сопротивления элементов и ветвей цепи, а затем используются различные методы расчета.

При негармонических сигналах используются уравнения законов Ома и Кирхгофа в интегро-дифференциальной форме (эти методы будут рассмотрены в дальнейшем).

Для постоянных и негармонических сигналов не применимы комплексные амплитуды и комплексные сопротивления элементов цепи, эти понятия можно использовать только в цепях с гармоническими сигналами.

6.9 Задания для самостоятельного решения

Задание 6.1. Рассчитайте все гармонические токи и напряжения в показанных на рисунках цепях, используя

- общий метод расчета по уравнениям Кирхгофа;

- метод контурных токов;

- метод узловых напряжений;

- метод наложения;

- теорему об эквивалентном источнике.

При вычислениях примите равными все сопротивления 1 кОм, индуктивности 1 мГн, емкости 1 нФ, ЭДС источника напряжения В, ток источника тока мА.

Сравните результаты расчетов различными методами, оцените их эффективность.

Рис. 6.11

7. АНАЛИЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ МЕТОДАМИ СХЕМОТЕХНИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

7.1 Моделирующие программы

Исследование свойств напряжений и токов в электрических цепях при освоении теоретического материала можно эффективно проводить методами имитационного моделирования на базе персональных компьютеров с помощью различных пакетов программ, таких, как MicroCAP, WorkBench или OrCAD различных версий..Они обеспечивают хорошее совпадение с результатами расчета и эксперимента, удобный графический интерфейс и широкие возможности анализа различных цепей. Имеется возможность проводить моделирование на постоянном токе, во временной и частотной областях и определять разнообразные характеристики сигналов и цепей.

В процессе моделирования можно определять численные значения параметров сигналов (амплитуды, сдвиги фаз, начальные фазы и т.д.), получать временные диаграммы и частотные характеристики цепей. Графические материалы можно вывести на печать и ввести в текстовый редактор при оформлении отчета.

В качестве примера рассмотрим использование пакета программ MicroCAP.

7.2 Формирование модели

Модель электрической цепи формируется на экране в виде ее схемы, содержащей графические изображения элементов и соединительные линии (проводники). Элементы выбираются из меню Component, в котором содержатся простейшие аналоговые (Analog primitives) и цифровые (Digital primitives) компоненты, а также библиотеки моделей реальных электронных аналоговых (Analog library) и цифровых (Digital library) элементов.

Из библиотек манипулятором «мышь» выбираются (левой кнопкой мыши) и размещаются на экране (перемещаются при нажатой левой кнопке) изображения элементов цепи. В открывающемся окне задаются их параметры (Value). Параметры можно изменить в том же окне после установки маркера на изображении элемента и двойного щелчка левой кнопки мыши. Их размерность указывается с приставками, приведенными в табл. 7.1.

Повторным нажатием левой кнопки мыши устанавливается следующий такой же элемент. Эта последовательность прерывается щелчком правой кнопки или нажатием кнопки в верхней левой части панели инструментов.

Таблица 7.1

Английский символ	p	n	u	m	k	МEG
приставка	пико	нано	микро	милли	кило	мега

Элементы соединяются линиями (проводниками), режим изображения которых включается кнопками или . Для проверки соединений в узловых точках нажмите кнопку и на экране появятся точки узлов с их номерами.

После формирования схемы цепи необходимо задать точку нулевого потенциала с помощью символа «земля», который выбирается из меню Component / Analog primitives / Connectors / Ground.

С помощью меню Analysis выбирается режим моделирования:

- временных диаграмм сигналов (Transient Analysis),

- частотных характеристик (AC Analysis),

- постоянных токов и напряжения (DC Analysis).

7.3 Моделирование цепей постоянного тока

Моделирование цепей постоянного тока можно проводить в режимах DC Analysis и Transient Analysis. В качестве примера рассмотрим рассчитанную ранее цепь, показанную на рис. 3.1. Ее модель в виде перехвата экрана монитора (Print Screen) показана на рис. 7.1, а в укрупненном виде - на рис. 7.2.

Рис. 7.1

В цепи задан идеальный источник постоянного тока А и сопротивления Ом, Ом и Ом. На рис. 7.3 показано задание на моделирования в режиме DC Analysis, а на рис. 7.4 - результаты моделирования в зависимости от температуры (TEMP).

Рис. 7.2



Рис. 7.3

Рис. 7.4

Нетрудно убедиться, что результаты моделирования полностью совпадают с расчетными значениями напряжений и токов.

Можно моделировать значения напряжений и токов в зависимости, например, от тока источника , как показано на рис. 7.5.

Этот вариант использования режима DC Analysis удобен для формирования вольт-амперных характеристик нелинейных элементов и цепей (в линейной цепи токи и напряжения прямо пропорциональны друг другу).

Рис. 7.5

Проведем моделирование цепи, схема которой показана на рис. 3.2, соответствующая модель представлена на рис. 7.6. На рис. 7.7. показано задание на моделирование токов ветвей, а на рис. 7.8 - солученные результаты. Нетрудно убедиться, что они совпадают с расчетными значениями токов ветвей.

Моделирование цепей постоянного тока можно проводить и в режиме временного анализа (Transient Analysis). Задание на моделирование цепи рис. 7.6 показано на рис. 7.9, а полученные зависимости от времени токов ветвей - на рис. 7.10.



Рис. 7.6

Рис. 7.7

Численные значения токов ветвей совпадают с полученными ранеев режиме DC Analysis.



Рис. 7.8

Рис. 7.9



Рис. 7.10

7.4. Моделирование гармонических сигналов

В качестве примера рассмотрим модель последовательного соединения элементов R, L, C, показанную на рис. 7.11.

С помощью команды из меню Windows / Split Text / Drawing Areas Horizontal в нижней части экрана выводится описание моделей элементов в формате Pspise, которое можно редактировать, поместив на него щелчком левой кнопки указатель мыши.

Это относится, например, к амплитуде гармонического источника типа sin (A=5), его частоте (F=40k), постоянной составляющей напряжения (DC=0), начальной фазе (PH=0).

Описание простейших элементов в этой области не приводится.



Рис. 7.11

Двойной щелчок по изображению элемента, например, R1, вызывает меню, в котором можно изменять его параметр Value (1k) или имя Part (R1).

В режиме Transient Analysis выполняется моделирование временных диаграмм сигналов, которое определяется меню, показанным на рис. 7.12. В его нижней части в таблице указываются выбранные временные диаграммы: цвет кривой, номер графика, переменная T, измеряемая величина (напряжение между двумя узлами v(1,2) или между узлом и землей v(3)), диапазон изменения переменных (абсциссы X и ординаты Y). Выше указывается диапазон изменения времени (Time Range) от нуля до 100мс и максимальный шаг изменения времени (Maximum Time Step).

Рис. 7.12

В начале моделирования целесообразно выбрать режим автоматического выбора диапазонов изменения абсциссы и ординаты (отметить Auto Scale Ranges).

Если в колонке P указаны одинаковые цифры (1), то все графики будут построены на общем рисунке, а иначе на экране будет несколько рисунков с разными масштабами по оси ординат. Кнопка Add добавляет в таблицу сигналов очередную строку, а кнопка Delete удаляет выбранную строку.

Кнопка Run запускает процедуру моделирования, и на экран выдаются его результаты, как показано на рис. 7.13.

Рис. 7.13

Различные временные диаграммы выделяются цветом. По сетке можно проводить измерения так же, как и на экране осциллографа. Кроме того, имеются два маркера, которые управляются левой и правой кнопками мыши. Для их вызова необходимо нажать кнопку , закрыть окно и установить в нужные места маркеры левой и правой кнопок. Результат показан на рис. 7.14.



Рис. 7.14

В его нижней части приводятся значения переменных для левого (Left) и правого (Right) маркеров, их цвет соответствует кривой, а ее выбор для размещения маркеров проводится щелчком левой кнопки мыши по символам в левой нижней части экрана.

Кнопки, расположенные левее , позволяют устанавливать маркеры на максимальные или минимальные значения сигнала (на рис. 7.14 для v(3)). Разность абсцисс маркеров в колонке Delta позволяет определить период сигнала (25 мкс), что соответствует частоте источника F=40 кГц.

Возврат к моделируемой цепи осуществляется либо через меню Windows (в его конце перечислены открытые окна), либо завершением режима Transient Analysis кнопкой в правом верхнем углу окна (ниже аналогичной кнопки, закрывающей всю программу).

Рассмотрим цепь, еоказанную на рис. 6.3, ее модель показана на рис. 7.15. Задание на моделирование токов и напряжений представлено на рис. 7.16, а результирующие вре-менные диаграммы - на рис. 7.17.



Рис. 7.15

Рис. 7.16

По полученным временным диаграммам можно определить амплитуды напряжений и токов, которые совпадают с результатами их расчета. По сдвигам во времени одного сигнала относительно другого нетрудно вычислить сдвиги фаз между ними, которые также совпадают с расчетными значениями.

Необходимо лтметить, что определение параметров гармонических сигналов по смоделированным временным диаграммам необходимо проводить, отступив от начала несколько периодов.



Рис. 7.17

В режиме временного анализа можно моделировать мгновенные мощности сигналов в соответствии с выражением , пример показан на рис. 7.18 (нижняя кривая - мгновенная мощность в сопротивлении , а верхняя на зажимах источника напряжения).

Рис. 7.18

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В первой части учебного пособия рассмотрены основные понятия теории электрических цепей, законы Ома и Кирхгофа, токи и напряжения в элементах цепи, методы расчета постоянных и гармонических токов и напряжений в линейных цепях.

В результате изучения теоретического материала требуется практически освоить методы расчета цепей постоянного тока и гармонических сигналов методом комплексных амплитуд. Для этого необходимо выполнить приведенные в пособии задания для самостоятельной работы.

Первая задача по теме решается с большим трудом, над пятой необходимо подумать, а решение десятой не вызывает никаких затруднений.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники / Л.А. Бессонов. М.: Высш. шк., 1996.

2. Попов В.П. Основы теории цепей / В.П. Попов. М.: Высш. шк., 1985.

3. Лосев А.К. Теория линейных электрических цепей. М.: Высш. шк., 1987.

4. Сборник задач по теоретическим основам электротехники / Л.А. Бессонов и др. М.: Высш. шк., 1988.

5. Бирюков В.Н. Сборник задач по теории цепей / В.Н. Бирюков, В.П. Попов, В.И. Семенцов. М.: Высш. шк., 1985.

6. Кирьянов Д.В. Mathcad 13 / Д.В. Кирьянов. СПб: БХВ - Петербург, 2006.

7. Розевиг В.Д. Система схемотехнического моделирования MicroCAP V / В.Д. Розевиг. М.: «Солон», 1997.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Кратные и дольные единицы

Наименоание	Значение	Обозначение	Наименование	Значение	Обозначение
тера	1012	Т	пико	10-12	п
гига	109	Г	нано	10-9	н
мега	106	М	микро	10-6	мк
кило	103	к	милли	10-3	м
гекто	102	г	санти	10-2	с
дека	10	Да	деци	10-1	Д

Размещено на Allbest.ru

...