Прямолинейные осесимметричные движения упруговязкопластических сред

Размещено на http://www.allbest.ru/

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

ДАЛЬНЕВОСТОЧНОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

ИНСТИТУТ АВТОМАТИКИ И ПРОЦЕССОВ УПРАВЛЕНИЯ

Мазелис Андрей Львович

ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ДВИЖЕНИЯ УПРУГОВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИХ СРЕД

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Научный руководитель

чл.-корр. РАН, д.ф.-м.н.,

профессор Буренин А.А.

Владивосток - 2010



Содержание

упругопластический деформация продавливание цилиндрический

Введение

Глава 1. Основные соотношения теории больших упругопластических деформаций

1.1 Обратимые и необратимые деформации и уравнения их переноса

1.2 Зависимость напряжений от деформаций в процессах упругого деформирования и процессах разгрузки

1.3 Законы пластического течения

1.4 Конкретизация модели

Глава 2. Продавливание упруговязкопластического материала между жесткими коаксиальными цилиндрическими поверхностями

2.1 Постановка задачи. Начальное упругое равновесие

2.2 Деформирование при одностороннем пластическом течении

2.3 Расчет процесса продавливания

2.4 Течение при постоянном перепаде давления

2.5 Разгрузка среды

Глава 3. Вязкопластическое течение: развитие, торможение, остановка и полная разгрузка

3.1 Прямолинейное осесимметричное вязкопластическое течение упруговязкопластического материала между жесткими коаксиальными цилиндрическими поверхностями

3.2 Прямолинейное осесимметричное вязкопластическое течение упруговязкопластического материала, ослабленного слоем более податливого материала

Заключение

Список литературы

Введение

При моделировании вязкопластических течений материалов используется, главным образом, представление Шведова - Бингама [4, 29, 42, 99, 109, 119]. Считается, что течение в точках тела возникает лишь в случае, когда напряженное состояние в них достигает поверхности нагружения, а до этого их окрестность не деформируется. Таким способом все тело в условиях нагружения разбивается на области, где либо материал не деформируется и покоится (застойные зоны), либо не деформируется, но движется (жесткие ядра), либо интенсивно деформируется (течет). При этом границы этих областей продвигаются по материалу деформируемого тела, вовлекая в движение новые частицы среды при развитии, или, останавливая их при торможении течения. Построенная на основе подхода Шведова - Бингама теория оказывается существенно нелинейной, а подвижность границ областей течения еще более усложняет необходимый для решения задач данного класса математический аппарат. Тем не менее, современная механика располагает достаточно разработанным для этой цели математическим аппаратом. В этой связи, прежде всего, следует отметить вариационный подход, разработанный П.П. Мосоловым и В.П. Мясниковым [100, 101]. Интересен и перспективен эвристический метод расчета вязкопластических течений, предложенный А.В. Резуновым и А.Д. Чернышевым [125]. Такие методы, приспособленные для решения задач вязкопластического течения, в настоящее время можно отнести к первым из ныне широко представленных в научной литературе методов вариационных неравенств. Отметим некоторые точные решения [4, 6, 30, 100, 110, 127, 128], полученные в теории вязкопластических материалов. Такие точные решения можно получить только при существенных ограничениях на геометрию течения, поэтому это, в основном, прямолинейные и вискозиметрические течения вязкопластических материалов.

Вязкопластические течения часто связывают с течениями неньютоновских жидкостей [4]. Но в рамках данной модели могут рассматриваться и твердые деформируемые тела, в которых на стадии их пластического течения существенно проявление вязких свойств [38, 43, 56, 60, 61, 72, 74, 75 , 76, 90, 156, 187, 206], могут также рассчитываться на прочность конструкционные элементы [29, 40, 41, 46, 104-107, 110, 154, 155, 196, 207, 209]. Следовательно, модель является достаточно универсальной. Очевидно, что в областях вязкопластического течения деформации необратимы и не могут считаться малыми. Последнее не вызывает дополнительных математических трудностей, так как задача решается в скоростях, что является обычным для жесткопластического анализа. По иному складывается ситуация, если предположить, что в областях застойных зон и жестких ядер материал деформируется, но только обратимо (упруго). В этом случае в зоне течения задача решается снова в скоростях, но там где необратимые деформации отсутствуют или не накапливаются, соответствующую краевую задачу приходится ставить в перемещениях (как в теории упругости). Тогда на упругопластической границе обязаны быть равными не только напряжения и скорости, но и перемещения. Вычисление же перемещений в областях пластического течения может оказаться самостоятельной и не простой задачей [44, 45, 49]. Более того, уровень напряжений и их распределение по областям течений из-за учета упругих свойств материала обязан зависеть от распределения и уровня обратимых деформаций в этих же областях. В случае жесткопластических тел такие деформации отсутствуют, но как только учитываются упругие свойства, то и напряженное состояние в материале, главным образом, будет задаваться упругими (обратимыми) деформациями. Все это с неизбежностью приводит к модели больших упругопластических деформаций, в которой при течении среды учитываются ее вязкие свойства. Заметим, что до настоящего времени такой общепризнанной теорией современная механика деформирования не располагает. Отчего сложилась такая ситуация и каков выход из этой ситуации?

Заметим прежде, что поставленная задача учета упругих свойств материала застойных зон и жестких ядер подразумевает изначально использование теории пластического течения, а не деформационной теории пластичности. Уже математическая модель жесткопластического тела является моделью пластического течения. Деформационную теорию пластичности иногда называют теорией упругопластических процессов. Основополагающая заслуга в формулировке основных подходов в построении такой теории принадлежит замечательному русскому механику Алексею Антоновичу Ильюшину [51 - 54] и его ученикам [34, 55, 91, 92, 113]. Эта теория зарекомендовала себя положительно применительно ко многим прикладным расчетным проблемам. Иногда ее называют теорией малых упругопластических процессов, но, несмотря на это, имеются удачные попытки обобщения ее на случай конечных необратимых деформаций [34, 97, 98, 113-115, 132, 134, 202, 203]. Особо следует отметить монографию А.А. Поздеева, П.В. Трусова и Ю.И. Няшина [114], которая является итогом объемного цикла исследований, посвященных теории больших необратимых деформаций при малых обратимых. В своей теоретической части в данной монографии обобщается теория упругопластических процессов А.А. Ильюшина на случай, когда пластические деформации нельзя считать малыми. В рамках такого подхода даются постановки краевых задач термоупругопластичности, обсуждаются методы их решения, представлены расчеты в ряде технологических задач. В основу расчетной методики положен метод Галёркина и соответствующие разрешающие конечноэлементные соотношения.

Основополагающие принципы построения теории пластического течения содержатся в [8 - 10, 13, 32, 33, 47, 50, 56, 58, 62, 116 - 123, 131, 133, 135-138]. Здесь остановимся, главным образом, на случае, когда деформации, как необратимые, так и обратимые является большими.

Принято считать, что первой публикацией, в которой обсуждается проблема больших упругопластических деформаций является монография Л.И. Седова [129]. Разделение деформаций на необратимую и обратимую составляющие связывалось с представлением вектора перемещений частицы среды в виде суммы обратимого (упругого) и вектора необратимого (пластического) перемещения. Отсюда суммой упругих и пластических деформаций представлялись полные деформации в теле. Легко показать, что такие представления геометрически несостоятельны. На это было обращено внимание сразу после публикации монографии. Оказалось, что обобщение классических подходов теории идеальных упругопластических сред (тело Прандтля - Рейса) на случай больших деформаций встречает принципиальные трудности. Причем эти трудности возникают уже в кинематике упругопластической среды. Первой и основной из них оказывается само определение упругих и пластических деформаций. Построение математической модели теории течения упругопластических материалов требует разделения полных деформаций в каждой точке не составляющие: обратимую или упругую и необратимую, иначе пластическую. Но если полные деформации поддаются опытному измерению, то упругие и пластические деформации экспериментально неизмеримы. Введение их в рассмотрение диктуется только нуждами в построении теории и любое определение для них связано с произволом конструктора модели. Следствием этого является наблюдаемое многообразие в моделях больших упругопластических деформаций и отсутствие общепринятых подходов в моделировании столь сложного механического процесса, каким является процесс интенсивного формоизменения материала при изготовлении изделий из него.

Но таким же следствием оказалось то, что до конца 1969 г. не существовало математической модели больших упругопластических деформаций, построенной в рамках теории течения. Однако, конец прошлого века отметился тем, что редкий выпуск любого из основных журналов по механике обходился без представлений новых подходов в моделировании больших упругопластических деформаций. Отчего 1969 год является годом начала развития теории? Это оттого, что именно в 1969 году была опубликована статья Е. Ли [177], в которой впервые была построена непротиворечивая кинематика упругопластических материалов. Предложение Е. Ли заключалось в том, чтобы представить градиент полной деформации в виде произведения:

Здесь - радиус-векторы начального и текущего положения точки интенсивно (как обратимо, так и необратимо) деформируемой среды, -радиус-вектор этой же точки в состоянии полной разгрузки. Гипотеза существования такого состояния, не зависящего от того, результатом какого процесса активного деформирования было достигнуто актуальное (текущее) состояние и, главное, от условий реализации процесса разгрузки, является основополагающей. Приведенное выше соотношение иллюстрирует взаимно однозначное соответствие между точками сплошной среды в ее актуальном состоянии и состоянии, объявляемым в качестве разгрузочного. При этом последнее не уточняется, ведь после снятия внешнего воздействия на интенсивно и необратимо продеформированное тело, в нем остаются как необратимые, так и обратимые деформации, следствием которых являются остаточные напряжения. Только в сравнительно поздней работе А.Д. Чернышова [140] находим, что в качестве такого разгрузочного состояния следует принять состояние, лишенное внутренних связей при предельном изменении тела. Вопрос о зависимости данного предельного состояния от пути разгрузки в пространстве напряжений не обсуждается. Несмотря на имеющиеся противоречия, подход Е. Ли оказал значимое влияние на развитие теории, что было связано с прозрачностью основных допущений, их относительной простотой и соответствием представлениям классической теории, когда деформации остаются малыми. Данный подход использовался в абсолютном большинстве последующих публикаций, посвященных теории пластического течения при больших деформациях [39, 75, 84, 85, 112, 139, 140, 149 - 153, 157, 162, 163, 174, 184 - 193, 200]. Так же как и у Е. Ли, в большинстве таких работ постулируемое разгрузочное состояние определяется с точностью до жёсткого вращения, на котором возможно нарушение принципа индифферентности. Часто не обсуждается, а иногда и нарушается принцип термодинамической допустимости. Оказалось, что непосредственный перенос представлений Е. Ли на случай анизотропии механических свойств деформируемой среды невозможен.

Недостатки в подходе Е. Ли и последователей по разделению полных деформаций на обратимую и необратимую составляющие описал Р. Клифтон [157]. Им было показано, что постулированное разгрузочное состояние необходимо зависит от пути разгрузки в пространстве напряжений, а напряжения в областях, где необратимые деформации накоплены или изменяются, необходимо зависят от уровня таких деформаций и скоростей их изменения. В качестве способа разделения деформаций на составляющие в [157] предложено разложение, отличающееся от разложения Е. Ли порядком сомножителей

.

К недостатку данного разложения следует отнести показанную Р. Нахди [190] невозможность образовать в таком случае тензор необратимых деформаций так, чтобы он не менялся в процессе разгрузки. Но данное обстоятельство характерно и для кинематики Е. Ли [170].

Попытку исправить недостатки кинематики, основанной по гипотезе существования единственно возможного разгрузочного состояния, предприняли А. Грин и Р. Нахди [163, 164]. Позднее Р. Нахди [190] было указано, что в кинематике [163], призванной исправить недостатки кинематки Е. Ли [177 - 179], вводимые тензоры деформаций не определяются однозначно через метрический тензор, что заставляет сомневаться в продуктивности теории, построенной на основе заведомо сомнительного положения. Вводимое же в [190] по примеру Л.И. Седова разделение перемещений на обратимую и необратимую составляющие привело к тому, что следующие при таком разделении тензоры деформаций оказались не инвариантными при жестких вращениях. Таким образом, исправление Р. Нахди привело к другим, не менее нежелательным свойствам модели.

Еще одним недостатком моделей, построенных на основе кинематики Е. Ли, является зависимость напряжений в пластически деформируемых телах от уровня и распределения необратимых деформаций. Конкретизировать посредством опытов такую зависимость не представляется возможным, поэтому практическое использование модели для расчетов интенсивного деформирования проблематично. Заметим здесь, что классическая модель упругопластической среды (тело Прандтля - Рейса) не содержит в себе других постоянных, кроме упругих модулей и предела текучести, и поэтому удобна для практического использования.

Построения теории пластического течения чаще всего использует связь тензора скоростей пластических деформаций с пластическим потенциалом, в качестве которого выступает условие пластичности. Теперь, определив (разделив) обратимые и необратимые деформации, следует указать тензор скоростей изменения необратимых. В классической теории при малых деформациях такой проблемы не возникает. С этой целью достаточно вычислить полную производную по времени от тензора необратимых деформаций. Когда же деформации большие, то для этой цели следует использовать объективную производную. Но объективная производная по времени не является единственной, их бесконечно много. Наиболее часто используются производные Яумана, Олдройда, Коттера - Ривлина, Трусделла. Таким образом, выбор производной не однозначен и диктуется, по существу, вкусом автора создаваемой теории. Так В. Прагер считал [116 - 118], что для теории пластичности предпочтение следует отдать производной Яумана. Целый ряд авторов [77, 103] отдают предпочтение производной Коттера - Ривлина из-за того, что данное дифференцирование связывает тензор деформаций Альманси с тензором скоростей деформаций Эйлера. В [4, 78, 124] предлагается использовать иные производные, но, главное, неоднозначность подобного выбора всегда присутствует. Великий Р. Хилл полагал [167, 168], что такой выбор не существенен, то есть может быть произвольным. В более поздних работах [148, 158, 159, 161 и др.] предлагается осуществлять данный выбор, следуя данным специально для этого проведенных опытов. Очевидно, что в таком случае будет отсутствовать полная уверенность, что «наилучшая» производная была использована и что выбранная в результате обработки экспериментов производная не приведет к противоречию с экспериментами для иных видов деформаций.

В работе [75] Кондауров В.И. и в работе [68] Кондауров В.И. и Кукуджанов В.Н. обобщают кинематику Е. Ли на случай учета вязких свойств материалов в условиях их пластического течения. Им удается конкретизировать модельные зависимости, изучить закономерности распространения волн напряжений в рамках модели и предложить методы расчетов в нестационарных задачах механики деформирования [76, 81].

Обобщение кинематики Е. Ли на термоупругопластические среды проводилось в [139, 182 - 183], а в работе [195] на такие же материалы обобщается кинематика А. Грина и Р. Нахди. Несомненно, что имеющиеся в данных подходах отмеченные недостатки не могут быть устранены добавлением еще и температурных и реологических эффектов.

Результаты исследования Киевской школы механиков [84 - 89, 104 - 108] суммированы в монографии В.И. Левитаса [89]. Построенная в отмеченных работах кинематика больших упругопластических деформаций свободна от неточностей предшественников, однако основополагающей гипотезой построений, по существу, остается предложение Е. Ли о существовании разгрузочного состояния. Для выполнения условия независимости обратимых деформаций от необратимых в процессах разгрузки оказались необходимыми дополнительные ограничения. Существенное внимание в [89] уделяется проблеме «выбора» объективной производной по времени от тензоров деформаций. Один из параграфов [89] так и называется: «Постановка и решение задачи выбора объективной производной». Из-за того, что также как и у Е. Ли разделение полных деформаций на обратимую и необратимую составляющие производится алгебраически с использованием предположения о существовании единственного, соответствующего данному актуальному состоянию разгрузочного состояния, проблема «выбора» объективной производной с целью определения тензора скоростей необратимых деформаций возникает с необходимостью. Теория пластического течения строится таким образом, что напряжения в среде связываются как раз со скоростями пластических деформаций. Попытка обойти неоднозначность в таком выборе связана в [89] с введением в рассмотрение новой объективной производной, названной В.И. Левитосом R-производной. При помощи данной производной решается задача обобщения определяющих соотношений при исключенных конечных поворотах на общий случай. Таким способом предлагается строить теорию, исключая вращения при деформировании, и затем обобщать ее строго на случай конечных поворотов. В таком случае проблема неоднозначного выбора объективной производной из общетеоретических проблем переносится в задачу конкретизации определяющих соотношений модели на уровне простых нагружений. Известно, что последние задачи являются неполными и, следовательно, предложение В.И. Левитаса позволяет только «спрятать» проблему, а не дать ее полное разрешение.

В работах А.А. Рогового с учениками [80, 109, 126] в качестве разгрузочного состояния принимается то же, что и в [140]. Отмечается, что так же, как и в разложении Е. Ли [177 - 179] и многочисленных последователей Е. Ли [75, 140, 189 - 193, 209] разгрузочное состояние может не быть единственным, подчеркивается необоснованность принимаемого условия зануления неупругих конечных поворотов. Для целей уточнения кинематики больших упругопластических деформаций А.А. Роговой предлагает рассматривать процесс накопления деформаций в качестве последовательного наложения малых упругопластических деформаций на конечные. Это позволяет перенести все сложности, связанные с разделением полных деформаций на обратимую и необратимую составляющие, на уровень приращений деформаций. Для последних появляется возможность считать их малыми и в своей сумме составляющими приращение полных деформаций. При этом считается, что упругие деформации не влияют на процесс накопления необратимых деформаций в малом из промежуточной конфигурации. Отметим, что в общем случае это противоречит данным экспериментов. Таким образом, процесс деформирования по А.А. Роговому представляется в форме бесконечно малых попеременных переходов из некоторой фиксированной конфигурации до некоторой промежуточной, когда необратимые деформации накапливаются при неизменных напряжениях, соответствующих поверхности нагружения, а упругие деформации связываются с переходом из промежуточной конфигурации в актуальную. В таком случае не возникает проблема выбора объективной производной и имеется возможность в получении замкнутой модели.

В.П. Мясников предложил общий подход к построению моделей больших упругопластических деформаций, основанный только на формализме неравновесной термодинамики [103]. Объявляя обратимые и необратимые деформации термодинамическими параметрами состояния, следует потребовать формулирования для них соответствующих уравнений изменения (переноса). Эти уравнения как раз обязаны связывать скорости составляющих деформаций с соответствующими тензорами деформаций, учитывать возможное взаимовлияние необратимых деформаций и обратимых и скоростей их изменения и наоборот. Именно на этапе записи дифференциальных уравнений переноса определяется механический смысл источников в этих уравнениях и потоковых слагаемых.

При таком подходе оказывается, что способ разделения деформаций на составляющие не принципиален, а является только способом задания потоков в уравнениях изменения тензоров упругих и пластических деформаций. Проблема «выбора» объективной производной отсутствует, так как сами дифференциальные уравнения переноса для тензоров составляющих полных деформаций выполняют связующую роль между этими тензорами и тензорами скоростей их изменения, которые в уравнениях переноса выполняют роль источников. Очевидно, что в таком случае основные допущения обязаны быть сформулированы при записи уравнений переноса, то есть на таком уровне и таким способом обязаны быть определены как обратимые, так и необратимые деформации. Таким образом, работой [103] В.П. Мясников указал механический и термодинамический смысл всех допущений, связанных с определениями модели упругопластической сплошной среды, определил место данных допущений при выписывании соотношений модели и, главное, показал, что определение обратимых и необратимых деформаций следует задавать дифференциальными уравнениями их изменения, а уже следствием этого предстают и способ разделения полных деформаций на составляющие и необходимая объективная производная для связи тензоров со скоростями их изменения. Это тем более важно, так как до сих пор публикуются статьи дискуссионного содержания об аддитивном и мультипликативном разделении полных деформаций на обратимые и необратимые [112, 148, 150 - 152] и о проблеме «выбора» объективных производных [152, 196, 208].

В замечательной работе Г.И. Быковцева и А.В. Шитикова [31] определение обратимых и необратимых деформаций основывается, по существу, на постулировании для них дифференциальных уравнений их изменения. Пусть данное обстоятельство в [31] прямо не декларируется, но оно находится как раз в полном соответствии с формализмом неравновесной термодинамики [103, 138]. В отличие от [103] в [31] конкретизируются и источники в данных дифференциальных уравнениях, и потоковые слагаемые.

Авторы работ [14, 15] в качестве их цели обозначают возможность построения наиболее простых и конкретных математических моделей больших упругопластических деформаций. Следуя формализму неравновесной термодинамики, обратимые и необратимые деформации определяются соответствующими уравнениями переноса. Полагается, что необратимые деформации в процессах разгрузки неизменны, а компоненты тензора необратимых деформаций меняются так же, как и при жестком вращении тела. Для того чтобы напряжения в среде определялись бы только уровнем и распределением обратимых деформаций, в [14, 15] вводится дополнительная гипотеза о независимости термодинамических потенциалов (внутренняя энергия, свободная энергия) от необратимых деформаций. Предполагается, что последние определяют только диссипативный механизм деформирования. Следующее при таких допущениях разделение деформаций на обратимую и необратимую составляющие оказывается более сложным, чем в кинематике Е. Ли, но в отличие от [103] вполне конкретным. Проблема же выбора объективной производной разрешается на пути задания дифференциальных уравнений изменения тензоров обратимых и необратимых деформаций. В настоящей работе при записи модельных соотношений будем следовать этому же пути.

Описанный подход получил дальнейшее развитие. Так, впоследствии математическая модель больших упругопластических деформаций, предложенная в [14, 15], Л.В. Ковтанюк была обобщена [67] на неизотермический случай, а работой [72] Л.В. Ковтанюк и А.В. Шитиков обобщили данную модель на случай учета реологических эффектов. В [22] вязкость материала учитывается только на стадии деформирования, предшествующей пластическому течению. Вариационные методы для построения моделей больших упругопластических деформаций использовались в работах [77, 145, 160].

Когда математическая модель процесса дополняется постановками и решениями в ее рамках краевых задач, тогда данную совокупность называют теорией. Уже подчеркивалось, что математическая модель больших упругопластических деформаций, предложенная А.А. Бурениным и Л.В. Ковтанюк [14, 15], является конкретной в том смысле, что не содержит новых постоянных материала, кроме упругих модулей и предела текучести. Это позволило в рамках данной модели поставить и решить ряд краевых задач. Прежде всего, следует отметить здесь решения одномерных задач о пластическом течении и формировании полей остаточных напряжений в окрестностях неоднородностей упругопластического материала [16 - 19, 22, 63 - 66, 73]. Обнаруженный эффект «приспособляемости» идеального упругопластического материала к циклическим эксплуатационным нагрузкам по типу «нагрузка-разгрузка» [17] заставил изучить реологические механизмы, ответственные за развитие дефектов и их «залечивание» [22]. В цикле работ А.А. Буренина, Л.В. Ковтанюк и А.С. Устиновой [23, 25, 26, 28] изучались вискозиметрические течения упруговязкопластической среды. Заметим, что в этих работах использовалась та же математическая модель, что и в настоящей диссертации. Именно обнаруженная возможность получить точные решения в задачах прямолинейного вязкопластического течения с учетом упругих свойств материалов жестких ядер [21, 67, 69 - 71], чему посвящена настоящая работа, позволила перенести методы решения задач на вискозиметрические течения.

Задача о чистом сдвиге упругопластической среды рассматривалась в [196], в [208] рассмотрены задачи кручения стержней, в [175] получено точное решение в задачах равновесия полой толстостенной сферы под действием либо внешнего, либо внутреннего давления. Далее в простейших модельных задачах из-за их существенной нелинейности приходится обращаться к численным методам. Среди таких методов наиболее популярным остается метод конечных элементов [86, 105, 108, 161, 165].

Динамические задачи теории больших упругопластических деформаций рассматривались в [27, 74]. Оказалось, что движение среды за волной разгрузки можно описать уравнением в перемещениях. Скорость распространения волны разгрузки по несжимаемой упругопластической среде совпадает со скоростью распространения упругой эквиволюминальной волны. Для простейшего одномерного случая получено точное решение задачи.

Первая глава настоящей диссертационной работы является, по существу, вводной. В ней, следуя основным идеям [15, 72], выписываются основные соотношения модели больших упруговязкопластических деформаций. Считается, что вязкие свойства среды проявляются только при ее пластическом течении.

Во второй главе поставлена и решена краевая задача в рамках данной модели о продавливании на конечное расстояние упруговязкопластической пробки, расположенной в зазоре между жесткими коаксиальными цилиндрическими поверхностями, за счет изменяющегося со временем перепада давления. Считается, что продавливание осуществляется за счет возникновения вязкопластического течения в приграничных областях продавливаемой пробки. Первоначально решается упругая задача с определением места зарождения течения. Оказывается, что такое течение возникает в окрестности внутренней жесткой цилиндрической поверхности и развивается при росте перепада давления. При достижении данным перепадом некоторого нового критического значения вязкопластическая область начинает развиваться со стороны внешней жесткой поверхности, и пробка начинает движение как упругое ядро (аналог жесткого ядра в теории Шведова - Бингама). После некоторого такого продвижения перепад давления снижается и пробка останавливается. После полного снятия нагружающих усилий рассчитывается уровень и распределение возникших остаточных напряжений. Вся серия описанных краевых задач теории решается в квазистатической постановке, то есть силами инерции пренебрегается.

В третьей главе рассмотрены вполне аналогичные задачи. Теперь только упруговязкопластическая среда заполняет всю область между цилиндрическими поверхностями, а ее движение вызывается перемещением жестких границ. Так же как и во второй главе рассмотрен последовательный ряд задач от упругого равновесия к возникновению приграничного течения, развитию последнего и торможения до полной остановки и разгрузки. Изучено влияние присутствия в зазоре слоя с отличными от основного материала механическими свойствами. Рассмотрен случай, когда материал слоя является более податливым по сравнению с основным материалом.

Глава 1. Большие деформации материалов в условиях их интенсивного формоизменения

Технологическая практика обработки материалов давлением на современном этапе ставит перед фундаментальной механикой деформирования ряд задач, направленных на оптимизацию технологических режимов. Среди таких задач присутствуют задачи, связанные с упругим откликом материала при разгрузке (в процессах снятия технологической оснастки). Именно такое упругое последействие ответственно за неконтролируемые и недопустимые изменения в геометрических размерах готовых изделий, за формирующийся недопустимый уровень остаточных напряжений в них, за разупрочнение (поврежденность) приповерхностных слоёв материалов изделий и др. Заметим, что в настоящее время используемые расчетные методики процессов обработки металлов давлением основаны либо на теории идеального пластического течения, либо на теории упругопластических процессов. В первом случае сама конструкция математической модели исключает упругое последействие, так как обратимыми (упругими) деформациями пренебрегается. Вторая теория даже в случае ее опытно выверенной приспособленности к описанию процесса активного деформирования оказывается беспомощной для адекватного модельного представления процесса разгрузки. Преимущество теории течения материалов с пластическими (вязкопластическими) и упругими свойствами здесь очевидно, так как такая математическая модель по своей сути предназначена для целей не только описания течений при активном формоизменении деформируемых тел, но и для поведения их в условиях разгрузки. Однако воспользоваться классически вариантом теории (тело Прандтля - Рейса) в рассматриваемом случае не представляется возможным, поскольку основным допущением классических моделей является предположение о малости деформаций, в то время как в процессах интенсивного формоизменения (прокатка, волочение, штамповка и др.) они необходимы большие. Итак, для математического моделирования упругого отклика после вязкопластического течения следует воспользоваться теорией больших упруговязкопластических деформаций. Здесь будем опираться на модель, предложенную в [15], и на ее обобщение, описанное в [72]. Продиктовано это тем, что данная модель согласована с общим формализмом неравновесной термодинамики, когда, объявляя обратимые (упругие) и необратимые (вязкопластические) деформации параметрами состояния среды, для них строятся соответствующие уравнения изменения (переноса). Иначе, разделение деформаций на обратимую и необратимую составляющие связывается с определением данных составляющих дифференциальными уравнениями их изменения. Основные принципы построения модели больших упругопластических деформаций согласно формализму неравновесной термодинамики изложены в статье В.П. Мясникова [103]. Другим обстоятельством, предопределившим выбор, являлось свойство модели, заключающееся в неизменности необратимых деформаций в процессах разгрузки и в зависимости напряжений в среде только от уровня и распределения обратимых деформаций. Отметим, что такие свойства вполне аналогичны свойствам классической модели упругопластической среды типа Прандтля - Рейса и соответствуют принятым представлениям об упругопластическом деформировании.

1.1. Обратимые и необратимые деформации и уравнения их переноса

Формулировку основных соотношений модели больших упруговязкопластических деформаций проведем в настоящей главе, используя прямоугольную систему декартовых координат. В качестве независимых координат будем использовать пространственные переменные Эйлера . Таким образом, движение деформируемого континуума задается законом

. (1.1)

Здесь - начальные (материальные) координаты точки среды, которая в момент времени имеет координаты . Вводя вектор перемещений с компонентами , закон движения (1.1) можно записать в форме

. (1.2)

Тензор с компонентами называют тензором дисторсии. То обстоятельство, что в прямоугольной декартовой системе девять величин в своей совокупности образуют тензор, показано, например, в [36]. Уравнение изменения данного тензора следует из условия :

Последним соотношением из (1.3) введен вектор скоростей точек среды с компонентами . Для тензора , называемого тензором градиента перемещений, следует уравнение переноса в форме

. (1.4)

Под индексом, стоящим после запятой, в дальнейшем, как и в (1.3), принимаем дифференцирование по соответствующей пространственной координате, так что .

В качестве тензора деформаций выбираем тензор деформаций Альманси, для компонент которого следует

. (1.5)

В (1.5) - компоненты единичного тензора (составленного из символов Кронекера), - компоненты метрического тензора. Следуя (1.3) и (1.4), для тензора деформаций и метрического тензора можно получить уравнения переноса в виде

(1.6)

Когда все компоненты тензора скоростей деформации Эйлера равны нулю, то тело движется как жесткое целое (без изменения деформируемых состояний). Заметим, что при этом полная производная от компонент тензора деформаций Альманси оказывается отличной от нуля и только производная равна нулю при неизменных деформациях. Дифференциальный оператор, обозначенный символом и представляемый выражением, расположенным между знаками равенства в (1.6), называют конвективной производной в смысле Коттера - Ривлина. В то время как тензор с компонентами не является объективным, то есть его компоненты изменяются при повороте системы координат, то тензор с компонентами объективен, поэтому производные, сохраняющие при дифференцирование объективность тензора, называют объективными производными. То есть - объективная производная тензора деформаций Альманси в смысле Коттера - Ривлина. Отметим для дальнейшего важное обстоятельство, состоящее в том, что объективных производных может быть бесконечно много. Действительно, второе равенство из (1.6), используя разложение тензора на симметричную и кососимметричную составляющие , можно переписать в форме

. (1.7)

Соотношения (1.7) показывают, что все выше приведенное оказывается в силе, если в качестве скорости изменения тензора деформаций Альманси считать все, что стоит справа от последнего знака равенства (не тензор скоростей деформаций Эйлера), а символом обозначить иную, отличную от Коттера - Ривлина, объективную производную. Данная производная называется объективной производной Яумана [117, 118]. Наряду с упомянутыми употребляются иные объективные производные (Олдройда, Трусделла и др.), но для дальнейшего важно, что их много и их выбор в рамках кинематики сплошных сред произволен.

Отметим, что соотношения

(1.8)

следует воспринимать в качестве уравнений изменения тензора Альманси, в котором тензоры и играют роль источников деформаций в данных уравнениях. При построении теории упругости, где кроме внутреннего термодинамического параметра состояния (температуры) имеется еще только шесть компонент тензора деформаций , принимаемых в качестве параметров состояния, зависимости (1.8) можно считать в качестве определения тензора деформаций . Иная ситуация складывается при моделировании упругопластического деформирования. Построение теории течения требует разделения полных деформаций на обратимую и необратимую составляющие и обе такие составляющие невозможно измерить в экспериментах. Следовательно, данное разделение является условным; является произволом исследователя, строящего математическую модель. Именно данное обстоятельство способствовало появлению широкого многообразия моделей больших упругопластических деформаций. При построении ассоциированной теории течения используется тензор скоростей изменения необратимых (пластических) деформаций. Когда деформации малые, данный тензор вполне определен дифференцированием по времени тензора малых деформаций. Если же деформации большие, то тензор скоростей их изменения должен являться источником в уравнениях их переноса. Уравнения переноса, как показывают равенства (1.8), могут записываться по-разному в зависимости от того, какую объективную производную по времени мы выбрали. Так возникает проблема «выбора» [89] объективной производной; в единственной отечественной монографии, посвященной теории течения при больших деформациях [89] соответствующий параграф так и озаглавлен: «Проблема выбора объективной производной…». Заметим далее, что присутствие необратимых деформаций может влиять на скорость изменения обратимых и наоборот, то есть в уравнениях переноса составляющих полных деформаций могут присутствовать потоковые слагаемые [103], отражающие подобное взаимовлияние.

Отмеченные трудности в записи уравнений изменения (переноса) для тензоров обратимой и необратимой составляющих полных деформаций обойдем так же, как это было сделано в [15].

Пусть тензор дисторсии имеет полярное разложение

. (1.9)

Данное разложение, как известно, единственно. С помощью тензора попытаемся задать для метрического тензора следующее представление

(1.10)

Для алгебраического разбиения (1.10) тензора препятствий не возникает; для этой цели достаточно считать в (1.10) тензор симметричным с компонентами

. (1.11)

Подстановка (1.10) в первое равенство из (1.6) предоставляет возможность записать две дифференциальные зависимости

(1.12)

Всегда ли возможно разделение одного уравнения переноса (1.6) метрического тензора на два уравнения изменения (1.12) тензоров и ? Это возможно, если только выполняется тензорное уравнение

(1.13)

Требование (1.13) связано с необходимостью выполнить принятое условие симметрии тензора . Только при выполнении (1.13) первое равенство из (1.12) будет согласовано с условием симметрии тензора . Будем рассматривать (1.13) в качестве уравнения для определения тензора . Предыдущее изложение будет непротиворечивым, если принять в виде [93, 94]

(1.14)

В (1.14) - компоненты симметричного, а во всем другом произвольного тензора. Тензор является кососимметричным с компонентами

(1.15)

Если произвольный тензор положить тождественно равным нулю, то в уравнении изменения тензора из (1.12) исчезают источники и все изменение компонент данного тензора сведется к случаю вращения системы координат с угловой скоростью . Уравнение переноса (1.12) принимает вид

. (1.16)

Или, вводя объективную производную по правилу

, (1.17)

будем иметь, что данная производная равна нулю всегда, если только в (1.14):

. (1.18)

Можно показать [67], что дифференциальное условие (1.18) эквивалентно следующему алгебраическому

. (1.19)

В (1.19) - значения компонент тензора в состоянии, предваряющем поворот тела как жесткого, осуществляемый с помощью ортогонального тензора . Следовательно, условие (1.18) означает неизменность тензора, когда его компоненты изменяются так же, как и в движениях тела как жесткого целого. В своей линейной части тензор поворота в (1.17) и (1.18) является чисто тензором поворота , нелинейная часть указывает на зависимость в уравнениях изменения тензора (1.17) и (1.18) тензора поворота от тензора и тензора скоростей деформаций Эйлера . Таким образом, в случае имеем следующие уравнения переноса для тензоров и :

Заметим, что ранее в [15] было показано, что при определении тензоров и их уравнениями переноса (1.20) и (1.21) соответственно, значения компонент этих тензоров определяются состоянием среды в конечной для этого состояния конфигурации деформируемого тела и не зависит от пути в пространстве деформаций, по которому приходим в это состояние. При этом компоненты тензора изменяются так же, как если бы тело не деформировалось. Также свойства тензора позволяют принять, что именно его следует назвать тензором необратимых (пластических) деформаций, а процесс деформирования в условиях, когда , следует назвать процессом разгрузки.

Когда , тогда следуя выше изложенному, будем считать, что осуществляется активное пластическое деформирование, при котором необратимые деформации накапливаются и

.

Учитывая (1.14), уравнения изменения тензоров и (1.12) можно переписать в форме

Заметим, что до настоящего времени введенный решением (1.14) уравнение (1.13) произвольный симметричный тензор выступает в (1.22) в качестве источника пластических деформаций. Однако называть его тензором скоростей пластических деформаций повременим в надежде, что удобнее будет ввести тензор скоростей необратимых деформаций при формулировке законов термодинамики для необратимого процесса пластического течения. Таким образом, кинематика деформирования оказалось у нас вполне определенной только при обратимом деформировании, когда , или в процессах разгрузки, когда . Процесс активного пластического течения оставляем кинематически неопределенным.

Разделение деформаций на обратимую и необратимую составляющие, как уже отмечалось, относится к основным гипотетическим проблемным вопросам при построении математической модели больших упругопластических деформаций. В классической теории считается, что тензор малых деформаций является суммой своих упругой и пластической составляющих. В.П. Мясников [103] предлагает использовать такое же разделение и в случае больших деформаций, то есть считать, что тензор деформаций Альманси является суммой своих обратимой и необратимой составляющих. При этом данные составляющие определяются формулированием для них соответствующих дифференциальных уравнений их изменения. Принятие аддитивного разделения полных деформаций на составляющие с необходимостью приводит к взаимозависимости потоковых слагаемых для обратимых деформаций от необратимых и наоборот. Это означает, что даже в процессах разгрузки пластические деформации будут изменяться в зависимости от достигнутого разгрузочного уровня обратимых деформаций и от скоростей их изменения и, наоборот, для скорости изменения упругих деформаций характерным становится влияние уровня, распределения и скорости изменения необратимых деформаций. Сложность заключается еще и в том, что значимая оценка такого взаимовлияния обязана закладываться в уравнения изменения тензоров упругих и пластических деформаций при записи потоковых слагаемых, для чего окажется необходимой серия направленных высокоточных измерений в специально проведенных экспериментах.

Наиболее широко используемым для целей разделения полных деформаций на составляющие является предложение Ли [177], которое, казалось бы имеет ясный механический смысл. Заключается оно в том, что любой актуальной конфигурации интенсивно и необратимо продеформированного тела ставится в соответствие другая его конфигурация, называемая разгрузочной. Тогда однозначное соответствие недеформированного состояния тела его разгрузочному состоянию объявляется в качестве необратимых деформаций, а сравнение разгрузочного состояния с актуальным задает обратимую составляющую полных деформаций. Можно показать, что в наших обозначениях принятие предложения Ли сводится к соотношениям

Поменяв местами сомножители в первом соотношении (1.24), Клифтон записал

Следуя (1.24) и (1.25), отмечаем, что при использовании гипотезы Ли осуществляется предельный переход к классическому разделению малых деформаций на упругие и пластические. При этом следует считать и компонентами упругих и пластических деформаций.

В рассматриваемом случае из (1.5) и (1.20) можно получить

(1.26)

Если - компоненты необратимых деформаций, то в качестве обратимых следует принять . В этом случае полные деформации Альманси будут совпадать с обратимыми при равенстве нулю необратимых . Использование же тензора в дальнейшем окажется более удобным, поэтому иногда и данный тензор будем называть тензором обратимых деформаций. Завершая данный параграф, еще раз подчеркнем, что кинематика активного процесса накопления необратимых деформаций задана здесь только с точностью до произвольного симметричного тензора . В определении тензора обратимых деформаций (1.23) также входит этот до настоящего момента неизвестный тензор. И только в случае, когда необратимые деформации неизменны (компоненты данного тензора изменяются так же, как и при жестком движении тела), что характерно для процессов разгрузки или обратимого деформирования, подобная неопределенность отсутствует .

1.2. Зависимость напряжений от деформаций в процессах упругого деформирования и процессах разгрузки

Рассмотрим первоначально процессы, когда необратимые деформации в деформируемом теле не накапливаются. К таким процессам относятся процессы обратимого (упругого) деформирования и процессы разгрузки. В этом случае и кинематика деформируемой среды вполне определена, а уравнения изменения (переноса) для тензоров и записываются в форме (1.20) и (1.21).

Следуя закону сохранения энергии [128], запишем

. (1.27)

Здесь - плотность деформируемой среды, - массовая плотность распределения внутренней энергии, - компоненты тензора напряжений Эйлера - Коши, - компоненты вектора теплового потока. Всюду в дальнейшем будем рассматривать только квазистатические (медленные) процессы, где силами инерции пренебрегается. Поэтому в качестве термодинамического потенциала оказывается удобнее использовать свободную энергию. Если через обозначить массовую плотность распределения свободной энергии, то

. (1.28)

Используя зависимость (1.28), где - плотность распределения энтропии, а - абсолютная температура, перейдем от независимых термодинамических параметров , , к параметрам , , . Это позволяет переписать (1.27) в форме

С целью исключения из (1.29) полных производных и по времени воспользуемся уравнениями их изменения (1.20) и (1.21) соответственно. В результате будем иметь

(1.30)

Если теперь учесть связь между тензорами и (1.15), то равенство (1.30) можно будет переписать в форме

Параметры и процесса деформирования независимы, поэтому отсюда вытекает

(1.31)

,

.

Если в первом равенстве из (1.31) учесть второе, то требование симметрии тензора напряжений позволят записать его в окончательной форме

. (1.32)

Таким образом, имеем полную аналогию с теорией упругости, когда первое начало термодинамики приводит к формуле Мурнагана (аналог (1.32)) и к уравнению баланса энтропии (последнее соотношение из (1.31)). Заметим, что формула Мурнагана в нелинейной теории упругости [92, 93] записывается иначе, чем (1.32). Связано это с тем, что в теории упругости не рассматриваются необратимые деформации и для тензора Альманси тождественна зависимость

. (1.33)

Рассмотрим этот случай, который в наших предположениях реализуется при . Согласно (1.32) запишем

.

Учитывая, что из (1.33) непосредственно следует, что

,

окончательно найдем

. (1.34)

Последняя зависимость и есть известная в нелинейной теории упругости формула Мурнагана. Данная формула связывает напряжения с деформациями в случае отсутствия в среде необратимых деформаций . Когда это не так , что характерно для процессов разгрузки или повторного нагружения, то следует пользоваться формулой (1.32).

1.3. Законы пластического течения

1.4.

Пусть . В этом случае необратимые деформации могут накапливаться в среде. В качестве уравнений изменения тензоров обратимых и необратимых деформации теперь следует использовать не зависимости (1.20) и (1.21) как ранее, а уравнения переноса (1.22) и (1.23). Их подстановка в (1.29) позволяет записать

,

(1.35)

Равенство (1.35) является локальным следствием закона сохранения энергии, переписанным в форме уравнения баланса энтропии. В правой части данного уравнения располагается источник энтропии, определенный необратимым процессом деформирования. В теории идеальной пластичности [33, 47, 56] такое производство энтропии называют диссипативной функций и задают зависимостью

. (1.36)

Здесь - скорость пластических деформаций. Соотношение (1.36) позволяет установить механический смысл до сих пор произвольного симметричного тензора . Если, как и ранее, принять, что свободная энергия является функцией только обратимых деформаций и температуры, то из (1.35) следует

. (1.37)

Подстановка (1.32) в (1.36) позволяет получить окончательную зависимость

. (1.38)

Таким образом, введенный решением уравнения (1.13) произвольный симметричный тензор , обретает, следуя (1.38), вполне определенный механический смысл. Соотношение (1.14) с помощью (1.38) упрощается

. (1.39)

Уравнение переноса для тензора необратимых деформаций (1.22) теперь приобретает свою окончательную вполне определенную форму

(1.40)

С одной стороны на равенство (1.40) можно смотреть как на определение необратимых деформаций , считая его в качестве сформулированного уравнения изменения данного тензора. С другой стороны можно считать, что зависимостью (1.40) вводится объективная производная, связывающая тензор необратимых деформаций с тензором скоростей их изменения. Заметим, что в нашем случае (1.40) не есть предмет «выбора» [75, 89, 177], а следствие законов термодинамики.

Уравнение переноса для тензора в обозначениях (1.40), следуя (1.23), можно записать в виде

(1.41)

К уравнениям переноса (1.40) и (1.41) пришли, таким образом, в результате некоторых тождественных преобразований, предположив, и это главное, что компоненты тензора необратимых деформаций в процессах разгрузки обязаны меняться так же, как и при жестких (без деформирования) движениях тела, а также, что производство энтропии в уравнении ее баланса определяется классической зависимостью . Возможен обратный путь с постулирования уравнений переноса (1.40) и (1.41), но очевидно, что заранее предвидеть следствия, к которым приведут только что сформулированные требования, было бы затруднительно.

...