Прямолинейные осесимметричные движения упруговязкопластических сред

Построение изотермической теории течения пластических сред связано с предположением, что при напряжениях , удовлетворяющих некоторому условию

(1.42)

в пространстве напряжений, среда деформируется обратимо (упруго). Пластическое течение связывается с выходом напряженного состояния в точке среду на поверхность нагружения ( - некоторые задаваемые параметры истории деформирования). При этом активный процесс накопления необратимых деформаций осуществляется при условии

при .

Параметры истории задаются принятием для них кинетических уравнений вида

.

Одним же из основных постулатов теории идеальной пластичности является принцип максимума Мизеса

(1.43)

В (1.43) - любое статически допустимое напряжение, то есть напряжение, удовлетворяющее условию

Следствие принятия, по существу, термодинамического принципа максимума (1.43) приводит к тому, что поверхность нагружения оказывается термодинамическим потенциалом [47] и выполняется ассоциированный закон пластического течения

. (1.44)

Можно убедиться, что выписанные в настоящем параграфе соотношения представляют собой замкнутую систему уравнений, если только термодинамический потенциал и пластический потенциал будут заданы.

1.5. Конкретизация модели

Конкретизация модельных соотношений, выписанных в предыдущих параграфах, связана, как только что отмечалось, с конкретизацией термодинамического потенциала, задающего консервативный механизм деформирования, и заданием пластического потенциала, определяющего диссипативный механизм деформирования. Относительно термодинамического потенциала, в качестве которого была выбрана плотность распределения свободной энергии , ранее была выбрана гипотеза о его независимости от необратимых деформаций. Данная гипотеза принимается здесь не только из-за того, что в таких условиях соотношения модели приобретают наиболее простой вид, но и для того, чтобы удовлетворить классическому требованию об определимости напряжений в среде по уровню и распределению только обратимых деформаций.

Введем в рассмотрение упругий потенциал деформирования соотношением

. (1.45)

Когда в деформируемом поле необратимые деформации отсутствуют, данная функция, где - плотность среды в недеформированном состоянии, а - комнатная температура изотермического деформирования, полностью определяет механические свойства деформируемой упруго (обратимо) среды. Напряжения в среде будут вычисляться формулой Мурнагана, непосредственно следующей из (1.34)

, . (1.46)

Функция задается в каждой точке деформируемой среды шестью значениями своих аргументов. В случае изотропных механических свойств среды число независимых аргументов рассматриваемой функции сокращается до трех, в качестве которых выступают инварианты тензора деформаций Альманси

(1.47)

Конкретный вид зависимости можно установить для каждого из испытуемых материалов только после серии специально поставленных экспериментов. Наиболее часто используется [37, 93] следующее представление данной функции

(1.48)

Правая часть в (1.48) есть не что иное, как разложение функции в ряд Тейлора в окрестности свободного состояния с ограничением в таком ряду слагаемых до третьей степени включительно по компонентам тензора градиента перемещений . Отсутствие в (1.48) слагаемого с первой степенью вытекает из требования об отсутствии напряжений в среде при отсутствии деформаций. Чаще всего в (1.48) постоянные и отождествляются [94] с параметрами Ламе, а постоянные называют упругими модулями третьего порядка [37] или коэффициентами Мурнагана [94]. Последние, также как и параметры Ламе, экспериментально измерены [94] для широкого класса материалов. Зависимостью (1.48) по существу задача определения экспериментальной функции сводится к определению по данным опытов постоянных . Напряжения в среде при отсутствии в ней необратимых деформаций находятся согласно формуле Мурнагана (1.46).

Когда в среде присутствуют необратимые деформации, то упругий потенциал является функцией обратимых деформаций , а не полных . В этом случае по аналогии с (1.48) будем считать

(1.49)

а напряжения в среде вычислять по формуле (1.32)

В настоящей диссертации будут рассматриваться квазистатические движения несжимаемых упруговязкопластических сред. В таком случае формулы Мурнагана (1.32) и (1.46), как обычно [94], дополняются слагаемыми, содержащими неизвестные функции и соответственно, добавочного гидростатического давления

Условие несжимаемости позволяет исключить из числа независимых переменных функции инвариант (при ) или инвариант обратимых деформаций (при ). Условие осуществимости движения среды, стесняемой жёсткими границами, при наложении жёсткой внутренней геометрической связи, каким является условие сохранения объема (несжимаемость), накладывает [2, 94] дополнительные ограничения на вид функции . Далее будут рассматриваться антиплоское движение несжимаемой (и обратимой, и необратимой среды). В данном случае возможно использование следующей трехконстантной зависимости

(1.52)

В (1.52) , - постоянные материала. При этом константа отождествляется с модулем сдвига деформируемого материала и выбирается согласно табличным данным сопротивления материалов или теории упругости. Постоянные - дополнительные постоянные, требующие своего опытного определения.

Подстановка (1.52) в (1.50) приводит к следующей связи между напряжениями и деформациями в условиях, когда обратимые деформации в среде отсутствуют .

(1.53)

Заметим, что в (1.52) и, как следствие в (1.53), перед некоторыми слагаемыми поставлен знак «минус». Таким образом добиваемся того, чтобы все три постоянные материала , были положительными. Действительно, для несжимаемой среды можно показать [14], что всегда , а , что и приводит к тому, что , из-за неотрицательности обязаны быть положительными.

Когда в процессах деформирования изменяются, как в условиях активного нагружения, так и условиях разгрузки , тогда в (1.52) следует вместо инвариантов тензора полных деформаций Альманси использовать инварианты тензора обратимых деформаций . В соответствие с этим иначе запишется определяющая зависимость напряжений от деформаций:

(1.54)

Заметим, что при стремлении пластических деформаций к нулю зависимости (1.53) и (1.54) совпадают.

Своей конкретизации требует и задание пластического потенциала . Наиболее просто это достигается в теории идеальной пластичности, когда поверхность нагружения свое положение в пространстве напряжений. В этом случае пластический потенциал оказывается функций только напряжений и не зависит и от пластических деформаций , ни от параметров истории :

. (1.55)

Классическая теория идеальной пластичности чаще всего оперирует с тремя конкретными функциями

в (1.55):

1) Условие пластичности максимального касательного напряжения

(1.56)

2) Условие максимального приведенного напряжения

. (1.57)

3) Условие максимального октаэдрического напряжения

. (1.58)

В (1.56) - (1.58) обозначено: - главные значения тензора напряжений , - среднее гидростатическое давление, - компоненты тензора девиатора напряжений, - предел текучести для испытуемого материала. Условие пластического течения (1.58), называемое еще и как условие Мизеса [33, 47] в трехмерном пространстве главных напряжений , представляет собой круговую цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной гидростатической оси . Сечением данной поверхности девиаторной плоскостью является окружность (рис 1).

Условие пластического течения (1.56) в литературе называется условием Треска - Сен-Венана [33, 47]. Геометрической интерпретацией этого условия является призма, вписанная в цилиндр Мизеса, или вписанный в окружность шестиугольник, расположенный в девиаторной плоскости (рис. 1), который также часто называют шестиугольником Треска. Наконец, условие (1.57) интерпретируется в девиаторной плоскости шестиугольником, описанным около круга Мизеса (рис.1) и в пространстве главных напряжений представляет собой наклонную призму, описанную около цилиндра (1.58). Данное условие называют в литературе условием пластического течения А.Ю. Ишлинского - Д.Д. Ивлева [47, 56]. Следствием (1.56) - (1.58) оказывается условие несжимаемости материала при его пластическом течении. Если требуется модельно учесть необратимое изменение объема, то зависимости (1.56) - (1.58) следует дополнить соответствующими слагаемыми, например, для (1.58) можно записать

(1.59)

В (1.59) - новая постоянная материала, определяющая свойства данного материала необратимо изменять свой объем в процессе деформирования. Если (1.58) в пространстве главных напряжений задает цилиндр Мизеса, то (1.59) интерпретируется конусом с вершиной на гидростатической оси. Данный конус называют конусом Мизеса - Шлейхера [54, 60]. По аналогии с (1.59) условия пластичности необратимо сжимаемых материалов можно представить в форме пирамид Кулона - Мора и Ишлинского - Ивлева соответственно

, (1.60)

. (1.61)

В (1.60) и (1.61) и - новые постоянные материала, требующие своего экспериментального измерения.

Уже отмечалось, что при деформировании любое твердое тело проявляет свои упругие, вязкие и пластические свойства. Свойство реальных материалов, связанное с их упругостью, определяет обратимую составляющую процесса деформирования или, как говорят в неравновесной термодинамике, консервативный механизм деформирования. Вязкие и пластические свойства проявляются в процессе накопления необратимых деформаций - деформаций ползучести и пластических деформациях соответственно. Но если пластические деформации растут только в условиях соответствия напряжений в некоторой области тела поверхности нагружения, то необратимые деформации ползучести возникают как в областях пластического течения, так и в областях, где напряженные состояния еще не достигли поверхности нагружения. В теории упругопластического тела деформациями ползучести, как правило, пренебрегают [2, 35]. В теории течения неньютоновских (вязкопластических) жидкостей в областях, где течение отсутствует, пренебрегается не только деформациями ползучести, но и упругими (обратимыми) деформациями. Однако в областях течения наряду с пластическими свойствами материалов учитывается их вязкость. Классическим примером этого является математическая модель Шведова - Бингама [4, 100 -- 102, 110]. В нашем случае упругими свойствами пренебрегать не станем, но деформациями ползучести на стадии деформирования, предваряющей пластическое течение, будем так же, как и в классических теориях, пренебрегать. Для того чтобы учесть вязкие свойства материалов при их пластических течениях достаточно [43, 72] принять условие пластичности в форме

(1.62)

Здесь - коэффициент вязкости.

Очевидно, что условие пластического течения (1.62) обобщает условие пластичности Треска - Сен-Венана (1.56) на случай учета вязкости при пластическом течении. Совершенно аналогично [72] могут быть обобщены и другие классические поверхности нагружения (1.57) и (1.58). Подчеркнем еще раз, что принципиальное отличие рассматриваемой модели от модели Шведова - Бингама будет заключаться теперь в том, что жесткие ядра и застойные зоны в рассматриваемом случае будут содержать в себе распределенные поля упругих деформаций и напряжений.



Глава 2. Продавливание упруговязкопластического материала между жесткими коаксиальными цилиндрическими поверхностями

2.1. Постановка задачи. Начальное упругое равновесие

Пусть упруговязкопластический материал, свойства которого описаны в модельных соотношениях первой главы, образует пробку высоты между двумя жесткими коаксиальными цилиндрическими поверхностями, которые в используемой в дальнейшем цилиндрической системе координат , , задаются уравнениями и (рис. 2). Решение будем искать в классе функций и .

Выясним условия, при которых созданием перепада давления на граничных поверхностях пробки и ее можно будет продвигать вдоль цилиндрических поверхностей за счет пластического течения материала пробки в окрестностях этих поверхностей. Пусть на жестких стенках выполняются условия прилипания материала

. (2.1)

При выбранной кинематике движения компоненты тензора напряжений , и (их значения будут вычислены ниже) на обеих граничных поверхностях пробки не являются постоянными. Поэтому изменение перепада давления на граничных поверхностях зададим в виде

(2.2)

где - переменная координата максимального перемещения граничных точек пробки . Согласно второй зависимости (2.2) сопротивление продавливанию на свободном конце пробки при предполагается отсутствующим. Его можно было бы считать заданной отличной от нуля постоянной величиной, принципиально задача от этого не изменится. В остальных точках граничных поверхностей напряжения в любой момент времени вычисляются по найденному полю перемещений.

При увеличении со временем давления первоначально происходит только упругое деформирование. При достижении продавливающим усилием значения в окрестности внутренней жесткой стенки , как увидим, начинается пластическое течение. Таким образом, момент времени является начальным для последующего процесса пластического течения. В дальнейшем примем . Вычислим параметры напряженно-деформированного состояния в этот момент времени.

Для отличных от нуля компонент тензора деформаций в рассматриваемом случае имеем

. (2.3)

Воспользовавшись зависимостью (1.53), для компонент напряжений найдем с точностью до слагаемых второго порядка малости по компонентам тензора градиента перемещений

Из уравнений равновесия

(2.5)

следует, что является только линейной функцией : . Интегрируя первое уравнение равновесия, в рассматриваемом случае получаем

(2.6)

Постоянные интегрирования и определим из условий прилипания (2.1) на жестких стенках, постоянную и давление - из условий нагружения (2.2). В результате получим

,

, (2.7)

, , , .

Для вычисления постоянной воспользуемся условием пластичности (1.62), которое в нашем случае принимает форму

, (2.8)

или, в рассматриваемом приближении

.

Окончательные зависимости для компонент напряжений имеют вид

Согласно (2.9) данное напряженно-деформированное состояние выполняется при следующих значениях напряжений на граничных поверхностях:

на поверхности :

,

;

на поверхности :

,

.

Распределение компонент напряжения здесь и далее (сплошная линия) и (штриховая линия) на поверхности при , и приведено на рис. 3.

Как только напряженное состояние материала будет удовлетворять зависимостям (2.9), от границы начинает развиваться область пластического течения.

Для определения компонент упругих деформаций согласно (1.26) получим систему уравнений

(2.10)

Таким образом, через найденное поле перемещений (6.9) упругие деформации выражаются зависимостями

(2.11)

2.2. Деформирование при одностороннем пластическом течении

При дальнейшем росте нагружающего давления развивающаяся область необратимого деформирования будет занимать слой между жесткой стенкой и поверхностью , которая отделяет область вязкопластического течения от упругого ядра (рис. 4).

Такая ситуация будет сохраняться до момента времени , в который появится и начнет свое развитие от граничной поверхности новая область необратимого деформирования. Укажем параметры напряженно-деформированного состояния материала в этот промежуток времени.

Оставаясь в рамках квазистатического подхода (пренебрегая силами инерции), из уравнений равновесия (2.5) найдем для области обратимого деформирования

В (2.12) , и - неизвестные функции. При интегрировании уравнений равновесия учитывалось условие .

В области пластического течения напряжения определяются зависимостью (1.54). Оставляя в ней согласно рассматриваемому приближению слагаемые до второго порядка только по компонентам , найдем

В силу непрерывности компонент упругих деформаций на границе зависимости (2.11) будут справедливы и в области вязкопластического течения. Таким образом, из (2.13) получим

С другой стороны, интегрированием уравнений равновесия можно получить

Условия непрерывности напряжений на упругопластической границе заставляют считать

, , , .

Условие пластического течения (1.62) в рассматриваемом случае () запишется в форме

. (2.16)

Следуя ассоциированному закону пластического течения (1.44), из соотношения (2.16) найдем

, . (2.17)

Сравнение формул (2.16) и (2.17) позволяет вычислить скорость пластических деформаций

. (2.18)

Для компоненты тензора полных деформаций Альманси и компонент тензора скоростей пластических деформаций из соотношений (1.26), (1.15), (1.40) в рассматриваемом случае соответственно следует

.

Подстановка соотношений (2.15), (2.17) и (2.18) в соотношения (2.19), позволяет вычислить скорости точек и их перемещения в области вязкопластического течения

Условия равенства перемещений (2.12) и (2.20) и их производных и на упругопластической границе приводят к соотношениям

Функция , как и задается условиями нагружения (2.2): . Для неизвестных функций и из соотношений (2.21) получаем

(2.22)

Из соотношений (2.21) и (2.22) следует дифференциальное уравнение, определяющее положение границы пластической области ,

. (2.23)

По найденной кинематике движения определим компоненты тензора напряжений (зависимости справедливы как в упругой, так и в вязкопластической области)

На граничных поверхностях пробки для компонент напряжений получаем зависимости:

в упругой области

на поверхности :

на поверхности :

в области вязкопластического течения

на поверхности :

на поверхности :

Напряжение определяется второй зависимостью из (2.12).

Полученное решение справедливо только до момента времени , когда в окрестности внешней граничной поверхности выполнится условие пластического течения , которое в используемых обозначениях записывается в форме

. (2.25)

Соотношение (2.25) является, по существу, уравнением, определяющим по задаваемому нагружению момент времени .

Распределение компонент напряжений и на поверхности приведено на рис. 5 в момент начала пластического течения на поверхности . Функция нагружения при этом полагалась линейной: , , , тогда .

2.3 Расчет процесса продавливания

Начиная с момента времени , в деформируемом материале присутствуют две области вязкопластического течения, ограниченные поверхностями и . В области продавливаемый материал остается в упругом состоянии (рис. 6). Параметры напряженно-деформированного состояния в этой области вычисляются вполне аналогично предыдущим зависимостям (2.12)

, , , (2.26)

, .

В области вязкопластического течения перемещения и скорости точек вычисляются по тем же зависимостям (2.20), в которых функции времени , , , следует заменить их последующими значениями , , , . В записи пластического потенциала в области следует учитывать, что и . Тогда в рассматриваемом случае согласно (1.44)

, . (2.27)

Кинематика вязкопластического течения в рассматриваемой области находится тем же способом, каким ранее были получены соотношения (2.20). В результате для данной области найдем

Произвольную функцию определим из условия совпадения перемещений в момент времени

. (2.29)

Условия непрерывности перемещений, скоростей, производных от перемещений по на упругопластических границах и приводят к уравнениям

Из уравнений (2.30) определим неизвестные функции , , и запишем уравнения движения границ: дифференциальное для и алгебраическое для

..

Функции , и определяются условиями нагружения.

Таким образом, окончательное решение поставленной краевой задачи теории упруговязкопластического деформирования связано с зависимостями:

в области упругого ядра :

(2.32)

в областях вязкопластического течения:

:

(2.33)

в области перемещение и скорость определяются зависимостями (2.28).

Напряжения во всех трех областях определяются зависимостями

, , ,

(2.34)

Из соотношений (2.34) определим компоненты напряжений на граничных поверхностях.

В упругой области

на поверхности :

на поверхности

в области вязкопластического течения : (2.35)

на поверхности :

,

;

на поверхности :

,

;

в области вязкопластического течения :

на поверхности :

на поверхности :

Распределение напряжений на граничной поверхности в текущий момент времени иллюстрирует рис. 7. Как видно на этом рисунке, компоненты напряжения и на граничных поверхностях с течением времени становятся практически одинаковыми. Отличие заметно только в области обратимого деформирования (рис. 8).

2.4 Течение при постоянном перепаде давления

Пусть, начиная с некоторого момента времени , нагружающее давление становится постоянным

.

Для перемещений и скорости частиц упругого ядра в данном случае получаем

(2.36)

В областях вязкопластического течения

:

(2.37)

:

(2.38)

Произвольные функции и определим из условия совпадения перемещений (2.33) и (2.37) и (2.28) и (2.38) в момент времени .

(2.39)

Условия непрерывности перемещений, скоростей и производных от перемещений по на упругопластических границах и служат определению неизвестных функций , и , а так же дают возможность записать уравнения изменения границ и . Все эти функции определяются зависимостями (2.32), в которых функцию необходимо заменить функцией

.

Такую же замену необходимо сделать в первой зависимости (2.32) для перемещений в области упругого ядра, в зависимостях для напряжений (2.34) и в выражениях для значений компонент напряжений на граничных поверхностях (2.35). Перемещения в областях вязкопластического течения находятся соотношениями (2.37) и (2.38) с учетом выражений (2.39). Кроме того, во всех перечисленных соотношениях функции и необходимо заменить их последующими значениями и .

Для компонент упругих деформаций в любой точке среды, как и ранее, получим зависимости

(2.40)

Пластические деформации в конечный момент нагрузки найдутся решением системы уравнений

(2.41)

Компонента пластических деформаций будет вычисляться зависимостями

в области :

; (2.42)

в области :

(2.43)

Развитие зон вязкопластического течения со временем показано на рис. 9. Распределение компоненты напряжения на поверхности при не изменяющемся давлении иллюстрирует рис. 10. В масштабе, выбранном на рис. 10, отличие компоненты от практически не заметно (как и на рис. 8). Отличие этих компонент в области обратимого деформирования показано на рис. 11.

Зависимость перемещения от радиуса в момент времени , соответствующий возникновению течения на поверхности , представлена на рис. 12. На рис. 13 перемещения представлены в момент времени , когда нагружающее давление становится постоянным (сплошная кривая) и в некоторый текущий момент времени (штриховая кривая).

Зависимости скорости от радиуса в моменты времени , (сплошная кривая) и (штриховая кривая) приведены на рис. 14 и 15 соответственно.

2.5. Разгрузка среды

Пусть, начиная с момента времени , нагружающее давление меняется по закону

, , . (2.44)

Аналогично предыдущим случаям интегрированием уравнений равновесия в области, где пластические деформации отсутствуют, найдем

(2.45)

В областях вязкопластического течения в процессе разгрузки компонента накопленных необратимых деформаций (2.42) и (2.43) не изменяется. Учитывая, что упругие деформации по известным напряжениям определяются зависимостью

,

из соотношения , воспользовавшись условиями прилипания (2.1), для перемещений получим зависимости

в области :

(2.46)

в области :

(2.47)

Равенства перемещений (2.45) и (2.46) при и (2.45) и (2.47) при позволяют найти неизвестные функции и

(2.48)

Согласно зависимостям (2.45) и (2.48) компоненты напряжений и в процессе разгрузки изменяются согласно выражениям

,

(2.49)

Тогда для распределений этих компонент на граничных поверхностях получаем:

на поверхности :

в упругой области

;

в области вязкопластического течения :

в области вязкопластического течения : (2.50)

на поверхности :

.

Компонента напряжений на обеих граничных поверхностях определяется второй зависимостью (2.49), - вторым соотношением (2.45).

При полной разгрузке (при ) компоненты остаточных напряжений согласно выписанным соотношениям определяются зависимостями

.

Для компоненты полных деформаций согласно (2.45) - (2.47) получаем

в упругой области

;

в области вязкопластического течения :

;

в области вязкопластического течения :

Компонента деформаций .

Остаточные пластические деформации в областях вязкопластического течения определяются зависимостями (2.42) и (2.43).

Координата максимального перемещения в соотношениях (2.49) и (2.50) до некоторого момента времени определяется зависимостью

,

то есть . Начиная с момента времени ни в одной точке области, поэтому координата максимального перемещения равна - значению границы вязкопластической области в конечный момент нагрузки (и разгрузки). При выбранных для численного решения значениях постоянных .

Зависимость перемещений от радиуса при полной разгрузке приведена на рис. 16. Отличие перемещений в конечный момент нагрузки (верхний график на рис. 13) от перемещений, представленных на рис. 16 заметно только в упругой области. Изменение перемещений в процессе разгрузки в области обратимого деформирования иллюстрирует рис. 17. Изменение компоненты напряжения в процессе разгрузки показано на рис. 18. Компонента остаточных напряжений приведена на рис. 19. Изменение компоненты в процессе разгрузки на поверхности иллюстрирует рис. 20. В масштабе, выбранном на данном рисунке, изменение компоненты на этой поверхности практически не отличается. Изменение и отличие этих компонент в области обратимого деформирования показано на рис. 21.



Глава 3. Вязкопластическое течение: развитие, торможение, остановка и полная разгрузка

3.1. Прямолинейное осесимметричное вязкопластическое течение упруговязкопластического материала между жесткими коаксиальными цилиндрическими поверхностями

Постановка задачи. Упругое равновесие. Пусть несжимаемый упруговязкопластический материал находится между двумя жесткими коаксиальными цилиндрическими поверхностями: неподвижной внешней поверхностью, радиус которой равен , и внутренней радиусом , которая движется вдоль оси . Решение данной краевой задачи, как и задачи во второй главе, ищется в цилиндрической системе координат , , в классе функций , . Граничными условиями задачи будут

(3.1)

Полагаем, что до момента времени материал деформировался обратимо, а с этого момента времени в окрестности внутренней жесткой стенки начинается пластическое течение. Параметры упругого равновесного состояния, которое является начальным для последующего процесса необратимого деформирования, найдем, воспользовавшись зависимостями (2.3) - (2.5). Как уже отмечалось, является только линейной функцией : . Однако теперь, для того чтобы напряжения и были конечными при , необходимо положить . Тогда решение упругой задачи получаем в виде

(3.2)

Для нахождения компоненты перемещения использовалось первое граничное условие (3.1). Для определения постоянной воспользуемся условием пластичности (1.62), которое в нашем случае принимает форму

. (3.3)

Тогда . Постоянная влияет только на распределение компонентов нормальных напряжений (задаваемое обжатие слоя). Поэтому ее можно считать как остающейся постоянной в процессе пластического течения, так и изменяющейся со временем. Величина , на которую, таким образом, необходимо сдвинуть внутреннюю поверхность для начала на ней пластического течения равна

.

Компонента обратимых деформаций по найденному полу перемещений вычисляется соотношением

Для компонент обратимых деформаций и справедливы кинематические зависимости (2.11).

Вязкопластическое течение. Положим далее, что, начиная с момента времени , внутренняя жесткая поверхность движется со скоростью . Развивающаяся область вязкопластического течения будет ограничена поверхностями и . В области материал по-прежнему деформируется обратимо. То есть является движущейся границей области развивающегося вязкопластического течения. Рассчитаем параметры напряженно-деформированного состояния, соответствующего скорости при .

В области обратимого деформирования , интегрируя уравнение равновесия (2.5) (квазистатическое приближение), как и ранее, найдем

. (3.4)

В области вязкопластического течения напряжения вычисляются зависимостями (2.14). Интегрируя уравнения равновесия и используя условие непрерывности компонент напряжений на упругопластической границе , получим, так же как во второй главе, что в области вязкопластического течения для компонент напряжений выполняются те же зависимости, что и в области обратимого деформирования.

Пластический потенциал в нашем случае может быть записан в форме

. (3.5)

Тогда, согласно ассоциированному закону пластического течения

, . (3.6)

Из соотношений (2.14) и (3.6) определим скорость пластических деформаций

. (3.7)

Учитывая, что на упругопластической границе , получим

. (3.8)

Из кинематических зависимостей (2.19) определим скорости точек в области вязкопластического течения

. (3.9)

Из условия равенства скоростей (3.4) и (3.9) на упругопластической границе , получаем уравнение для определения значения , соответствующего значению скорости на поверхности .

. (3.10)

Перемещение в области необратимого деформирования находится интегрированием (3.9) с точностью до произвольной функции

. (3.11)

Функция должна быть такой, чтобы перемещения из (3.4) и (3.11) и их производные были непрерывны при , а также, чтобы перемещения из (3.2) и (3.11) совпадали при . Таким образом, получим

. (3.12)

Окончательное решение задачи о вязкопластическом течении представляется зависимостями (3.4) и (3.8) в упругой области , (3.9), (3.11), (3.12) - в области вязкопластического течения . Напряжения, а, следовательно, и обратимые деформации в области вязкопластического течения вычисляются по тем же зависимостям, что и в упругой области. Необратимые деформации согласно системе (2.41) будут вычисляться зависимостями

(3.13)

Развитие области вязкопластического течения от времени при значениях постоянных

. (3.14)

приведено на рис. 22.

Торможение и разгрузочное состояние. Пусть, начиная с некоторого момента времени , скорость движения внутренней поверхности уменьшается, например, по закону

. (3.15)

до нуля, то есть конечным моментом торможения является . Рассмотрим изменение параметров напряженно-деформированного состояния в каждый момент времени .

Начиная с момента времени , при неизменном напряжении ( - координата границы области вязкопластического течения в конечный момент нагружения ) вязкопластическое течение будет продолжаться в области . В области не изменяются компоненты тензора необратимых деформаций, область является областью обратимого деформирования.

Согласно зависимостям (3.4) при неизменном напряжении компоненты перемещения и скорости в упругой области не изменяются.

В области продолжающегося вязкопластического течения компоненты тензоров пластических деформаций и скоростей пластических деформаций по-прежнему определяются согласно соотношением (3.13) и (3.7), из которых найдем компоненты скорости и перемещения в данной области

(3.16)

В области компоненты тензора необратимых деформаций изменяются в каждой точке слоя согласно зависимостям (3.13) до того момента времени, когда ее достигает поверхность и далее перестают изменяться (не зависят от времени), являясь только функцией координаты . Учитывая неизменность напряжения (упругой деформации ) в процессе торможения, компонента перемещения в данной области из условия представляется в виде . То есть в рассматриваемой области скорость не зависит от координаты . Учитывая, что в области обратимого деформирования , из условия непрерывности скорости на поверхности следует, что скорость будет равна нулю и во всей области . Тогда из условия равенства скоростей на поверхности получим уравнение движения данной поверхности

. (3.17)

Согласно зависимостям (3.13) и (3.17) определим компоненту тензора пластических деформаций в области :

. (3.18)

Тогда

. (3.19)

Интегрируя (3.19), определим перемещение

(3.20)

Функция находится из условия равенства перемещений (3.20) и перемещений (3.4) в области обратимого деформирования при . Окончательно компонента перемещения в области , таким образом, представляется зависимостью

(3.21)

Из условия непрерывности перемещений (3.21) и (3.16) при определим неизвестную функцию и, следовательно, найдем перемещения в области вязкопластического течения

(3.22)

Изменение границы в процессе торможения показано на рис. 23. Как видно, в конечный момент торможения совпадает с поверхностью . Таким образом, компоненты тензора пластических деформаций будут неизменными во всей области .

При разгрузке, с уменьшением напряжения до нуля, компонента тензора необратимых деформаций (3.18) не изменяется. Компоненты , данного тензора (как и компоненты тензора скоростей пластических деформаций и ), согласно уравнением переноса (1.16) изменяются в соответствие с зависимостями (3.13) и (2.19). В конечный момент разгрузки компоненты перемещения, следуя соотношением (3.4) и (3.21), определяются зависимостями:

в области обратимого деформирования

;

в области с накопленными необратимыми деформациями

.

Изменение перемещений в процессе деформирования представлено на рис. 24. Сплошной линией показаны перемещения в конечный момент нагрузки , штриховой - в некоторый текущий момент торможения , штрих-пунктирной - в конечный момент торможения . Различие перемещений в конечный момент нагружения (сплошная линия) и после разгрузки (штриховая линия) иллюстрирует рис. 25. В процессе торможения выбирается равным .

Деформирование при движении внешнего цилиндра. Рассмотрим деформирование упруговязкопластического материала при движении внешнего жесткого цилиндра, в то время как внутренний цилиндр остается неподвижным:

. (3.23)

Пластическое течение в данном случае также начинается в окрестности внутренней жесткой стенки при выполнении условия пластичности (2.8). Компоненты напряжения вычисляются по соотношениям (3.2). В момент начала пластического течения , - значение компоненты напряжений на поверхности . Параметр начала пластического течения , таким образом, равен тому же значению, что и при движении внутренней поверхности.

При дальнейшем увеличении скорости внешней поверхности область вязкопластического течения, всюду в которой выполнены равенства (2.17), определяется неравенствами , в области деформирование обратимо.

В области вязкопластического течения, аналогично зависимостям (3.7) - (3.9), (3.11) - (3.13), используя граничные условия (3.23), найдем

, , ,

, (3.24)

.

В области обратимого деформирования, используя равенство компонент перемещений на упругопластической границе , получим

. (3.25)

Используя условие непрерывности скоростей (3.24) и (3.25) на границе области вязкопластического течения , получим, что, несмотря на то, что компоненты скоростей и перемещений для случаев движения внутреннего и внешнего цилиндров различны, уравнение движения данной границы (3.10) получается одинаковым для обоих случаев.

При торможении, когда скорость движения внешней поверхности уменьшается согласно (3.23), а напряжение , получим, что в области продолжающегося вязкопластического течения справедливы зависимости (3.24).

В области обратимого деформирования

. (3.26)

В области с не изменяющимися необратимыми деформациями , как ранее упоминалось, скорость не зависит от координаты , поэтому, учитывая равенство скорости на границе , во всей области

. (3.27)

Из условия равенства скоростей (3.24) и (3.27) при следует уравнение (3.17), то есть уравнение движения для поверхности получается одинаковым для случаев движения внутреннего и внешнего цилиндров (как и для поверхности ), несмотря на различие компонент скоростей и перемещений в рассмотренных случаях.

Учитывая (3.24) и (3.17), найдем компоненту в области :

. (3.28)

Тогда для перемещения в данной области получим

(3.29)

Неизвестные функции и определим из условий равенства перемещений (3.24) и (3.29) при и (3.26) и (3.29) при . Таким образом, окончательно для компонент перемещений получим

в области

(3.29)

в области

(3.30)

При разгрузке не изменяется компонента (3.28) необратимых деформаций. В конечный момент разгрузки в рассматриваемом случае для компонент перемещений получим

в области обратимого деформирования

;

в области с накопленными необратимыми деформациями

.

Изменение перемещений в процессе деформирования показано на рис. 26, различие перемещений в конечный момент нагружения и после разгрузки - на рис. 27.

3.2. Прямолинейное осесимметричное вязкопластическое течение упруговязкопластического материала, ослабленного слоем более податливого материала

Постановка задачи. Решение в областях обратимого деформирования и в областях вязкопластического течения. Пусть теперь несжимаемый упруговязкопластический материал находится между двумя жесткими коаксиальными цилиндрическими поверхностями: неподвижной внутренней поверхностью, радиус которой равен , и внешней радиусом , которая движется вдоль оси . Полагаем, что в материале, составляющем слой с пределом текучести , расположен слой другого материала с пределом текучести (рис. 28). Граничными условиями задачи будут условия (3.23), компоненты напряжений так же, как и в (3.2) определены с точностью до одной неизвестной постоянной.

Обозначим ее через , т.е. теперь . Перемещение в областях обратимого деформирования находится по известным напряжениям интегрированием соотношения из (2.4). Компоненты обратимых деформаций определяются решением системы (2.10) и для них также справедливы кинематические зависимости из (2.11).

Как и ранее, считаем, что, начиная с момента времени , при развивающемся вязкопластическом течении внешняя жесткая поверхность движется со скоростью . Параметры напряженно-деформированного состояния, соответствующего скорости при , рассчитываются в каждый момент времени (квазистатическое приближение).

В областях вязкопластического течения справедливы зависимости (2.16) и (2.17). Компонента скорости пластической деформации определена соотношением

, (3.31)

текущее значение постоянной находится из условия на упругопластической границе внутри слоя. Учитывая (3.31) и кинематические зависимости (2.19), определяется скорость точек в областях вязкопластического течения.

Перемещения в областях необратимого деформирования находятся из зависимости .

Для нахождения постоянных и функций интегрирования, а также для получения уравнений движения упруговязкопластических границ используются граничные условия (3.1) и условия равенства компонент перемещений и скоростей на границах слоев и и на движущихся границах развивающихся областей вязкопластического течения.

Упругое равновесие и развивающееся вязкопластическое течение. В рассматриваемом случае вязкопластическое течение может начаться как на поверхности , так и поверхности при выполнении условия пластичности (1.62) в одной из форм

, . (3.32)

Выберем размеры слоя таким образом, чтобы выполнялось неравенство . Тогда пластическое течение начинается на границе слоя при выполнении первого условия (3.32) и . Перемещение в областях обратимого деформирования в момент начала пластического течения находится по формуле

, (3.33)

причем , или соответственно в слоях с пределом текучести или . Воспользовавшись вначале условием прилипания материала (3.23), а затем условиями совпадения перемещений на границах и для нахождения в каждой области, определим поле перемещений в момент начала пластического течения:

: , ;

: , ; (3.34)

: , .

Таким образом, величина , на которую необходимо сдвинуть внешнюю поверхность для начала пластического течения на границе согласно (3.34) равна .

Развивающаяся с момента времени область вязкопластического течения будет ограничена поверхностями и (рис. 29).

Поле перемещений, соответствующее скорости внешней жесткой цилиндрической поверхности, в областях обратимого деформирования I , III , IV определяется зависимостью (3.33) с разной для каждой области функцией . В области вязкопластического течения согласно (3.31) найдем

(3.35)

Воспользовавшись условиями равенства перемещений и скоростей на границах , , для определения неизвестных функций и , получим зависимости:

в областях обратимого деформирования

I: , ;

III: , , (3.36)

;

IV: , ;

в области вязкопластического течения II:

, .

В (3.36) - коэффициент вязкости материала с пределом текучести .

Из условия равенства скоростей при получаем уравнение движения границы :

. (3.37)

Полученное решение (3.36), (3.37) справедливо в любой текущий момент времени . В момент времени пластическое течение начинается на поверхности при выполнении второго условия (3.32). Таким образом, с момента времени начинает развиваться еще одна область вязкопластического течения , - ее движущаяся граница (рис.30). Аналогично соотношениям (3.33) - (3.36) в промежуток времени при скорости внешней жесткой поверхности получаем:

в областях обратимого деформирования

II: , ,

;

IV: , (3.38)

;

V: ,

;

в областях вязкопластического течения

I: , ,

;

III: , (3.39)

, .

Здесь - коэффициент вязкости материала с пределом текучести . Из условия равенства скорости на внешней поверхности найдем уравнение движения поверхности

. (3.40)

Уравнение движения границы (3.37) изменяется и принимает вид

. (3.41)

Отметим, что условие (3.41) является следствием непрерывности всех параметров рассматриваемого процесса деформирования на упруговязкопластических границах внутри слоев.

В момент времени граница достигает поверхности слоя . Такое значение находится из уравнения (3.40) при . С этого момента в каждый момент времени из промежутка вязкопластическое течение продолжается в слое и в области . Области и остаются областями обратимого деформирования (рис. 31). В любой момент времени при скорости поверхности имеем

в областях обратимого деформирования

II: , ;

IV: ,

; (3.42)

в областях вязкопластического течения

I: , ;

III:, .

Из условия равенства скорости при получим уравнение движения границы и в рассматриваемый промежуток времени

. (3.43)

Из уравнения (3.43) находится момент времени , в который граница совпадает с границей слоя .

В промежуток времени с ростом напряжения вязкопластическое течение продолжается в пределах слоев , (рис. 32) без увеличения размеров областей вязкопластического течения.

Таким образом, согласно (3.42) в любой момент времени из рассматриваемого промежутка при скорости внешней поверхности найдем перемещение и скорость в каждой области:

в области обратимого деформирования III:

,

;

в областях вязкопластического течения

I: , ; (3.44)

II: ,

.

Увеличение напряжения в данный промежуток времени приведет к тому, что в момент времени на границе слоя выполнится условие пластичности в форме

. (3.45)

Значение согласно (3.44) определим из уравнения

(3.46)

С этого момента времени от границы начнет свое развитие новая область вязкопластического течения , где - ее движущаяся граница (рис. 33). В каждый момент времени поля перемещений и скоростей, соответствующие значению скорости движущейся жесткой поверхности , определены соотношениями

в области обратимого деформирования IV

в областях вязкопластического течения

I:

II:

(3.47)

III:

.

Из условия получим уравнение движения поверхности :

. (3.48)

Конечным моментом нагружения (моментом начала торможения) может быть выбран любой момент времени , в том числе и момент времени , когда достигнет внешней поверхности. Рассмотрим даже более общий случай , когда в материале остается область обратимого деформирования .

Компоненты тензора необратимых деформаций в областях вязкопластического течения определены соотношениями

I: ;

II: ; (3.49)

III: .

Компоненты и находятся по формулам (3.13). Характерный график изменения границы области развивающегося вязкопластического течения представлен на рис. 34 (на рисунке поверхность ). Расчеты проводились для следующих размеров слоев и постоянных материалов

(3.50)

Распределения перемещений в начальный момент развития вязкопластического течения и в моменты времени , показано на рис. 35. В моменты времени , и в конечный момент нагружения - на рис. 36.

Торможение и разгрузочное состояние. Пусть теперь скорость движения поверхности уменьшается по закону (3.15), начиная с конечного момента нагружения , то есть конечным моментом торможения будет . Так же, как в рассмотренной ранее задаче, изменение параметров напряженно-деформированного состояния будет определять в каждый момент времени .

Начиная с момента времени , в промежуток времени при уменьшении скорости внешней поверхности по закону (3.15) и ее значении в данный промежуток времени при неизменном напряжении ( - значение границы области в конечный момент нагружения) вязкопластическое течение продолжается в областях , , . Область остается областью обратимого деформирования; в области не изменяются компоненты тензора необратимых деформаций (рис. 37).

В области вязкопластического течения I, учитывая соотношение из (3.49) и условие прилипания (3.23), найдем, что перемещение и скорость определяются формулами (3.47) для области I. Используя условия равенства перемещений и скоростей на границах и , аналогично получим, что для областей вязкопластического течения II и III справедливы зависимости (3.47) для областей II и III.

В области IV, как ранее упоминалось, скорость не зависит от координаты . Учитывая, что в области обратимого деформирования V скорость равна скорости движения внешней жесткой поверхности , из условия равенства скоростей при получим, что в области IV скорость также равна . Приравнивая скорости в областях III и IV на движущейся границе , получим уравнение движения данной поверхности

. (3.51)

Уравнение (3.51) и формула в области III для компоненты необратимой деформации (3.49) позволяют записать эту компоненту в области IV

(3.52)

По известным упругим и пластическим деформациям, используя равенство перемещений на границе , в области IV получим

(3.53)

Тогда в области обратимого деформирования согласно (3.33) и условного равенства перемещений (3.33) и (3.53) при найдем

(3.54)

Найденное решение справедливо до момента времени , в который поверхность совпадает с поверхностью , и компоненты тензора необратимых деформаций (3.52) будут неизменными во всей области . Значение находится из уравнения (3.51) при . В момент времени в областях вязкопластического течения I и II справедливы те же зависимости (3.47), в областях и - выражения (3.53), (3.54) при .

С момента времени от границы слоя движется поверхность , которая отделяет область продолжающегося вязкопластического течения от области , в которой компоненты тензора необратимых деформаций не изменяются. Вязкопластическое течение продолжается и в области ; в области компоненты тензора необратимых деформаций не изменяются; область остается областью упругого деформирования (рис. 38).

Найдем напряженно-деформированное состояние в каждый момент времени из интервала , когда при .

В области I, как и ранее, выполняются соотношения (3.47). Скорость в областях IV и V . В области продолжающегося вязкопластического течения III, учитывая равенство скоростей при , получим

.

Тогда для области II, в которой скорость не зависит от координаты, из условия совпадения скоростей при найдем

. (3.55)

Условие равенства скоростей (3.47) и (3.55) на границе позволяет записать уравнение движения поверхности

. (3.56)

Из соотношений (3.56) и (3.49), как и ранее, определим компоненту необратимых деформаций в области II

(3.57)

Используя (3.57) и условие равенства перемещений при , найдем перемещения в области II

(3.58)

Последовательно используя условия равенства перемещений на границах и определим перемещения в остальных областях:

III:

;

IV:

(3.59)

;

V:

.

В момент времени поверхность совпадает с поверхностью и компоненты тензора необратимых деформаций будут неизменными во всей области . Значение определятся из уравнения (3.56) при . В области с не изменяющимися пластическими деформациями в момент времени справедливы зависимости (3.57), (3.58), где , в области вязкопластического течения , в области с не изменяющимися необратимыми деформациями и в области обратимого деформирования выполняются соотношения (3.59) при .

С момента времени от границы начинает развиваться область , в которой не изменяются пластические деформации. Единственной областью вязкопластического течения остается область (рис. 39).

Параметры напряженно-деформированного состояния определим в каждый момент времени при скорости внешней жесткой поверхности .

В области I, также как и в момент времени , согласно (3.55) и (3.58) получим

(3.60)

Скорость в области вязкопластического течения II, как и ранее, используя (3.31) и условие равенства скоростей при , будет определяться соотношением

(3.61)

В областях III, IV, V скорость точек среды равна скорости внешней жесткой поверхности . Из условия равенства скорости при получаем уравнение изменения поверхности

(3.62)

Компонента тензора пластических деформаций в области III согласно (3.49) и (3.62) будет равна

(3.63)

В области вязкопластического течения II согласно (3.59) и условию непрерывности перемещений при получим

(3.64)

Используя (3.63) и (3.64), определим перемещение в области III

(3.65)

Перемещения в областях IV и V найдем, последовательно используя условия равенства перемещений при и :

IV:

(3.66)

V:

В конечный момент торможения поверхность совпадает с поверхностью и далее компоненты тензора необратимых деформаций не изменяется во всех областях. Поле перемещений в момент времени в областях с не изменяющимися накопленными необратимыми деформациями , , задается зависимостями (3.60), (3.65) и (3.66) (IV) при , в области обратимого деформирования - (3.66) (V). Скорость во всех областях деформирования равна нулю.

...