Размещено на http://www.allbest.ru/

«УТВЕРЖДАЮ»

ЗАМЕСТИТЕЛЬ НАЧАЛЬНИК ВИ ВС КР

по УЧЕБНОЙ И НАУЧНОЙ РАБОТЕ

полковник Т.МАДЫМАРОВ

«____»________________________2016г

КАФЕДРА ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ ДИСЦИПЛИН

ТИПОВОЙ КОНСПЕКТ

по дисциплине

«СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ»

для курсантов 3-го курса

полковник

КОЗИОНОВ Б.

БИШКЕК 2014

Данное методическое пособие разработано в соответствии с учебной программой и предназначено для преподавателей кафедры ведущих данную дисциплину, а также для курсантов в качестве полного пособия для самостоятельной работы и подготовки к сдаче отчетностей по дисциплине «Сопротивление материалов». Данное пособие включает материал лекций, групповых и практических занятий, а также вопросы для самостоятельной работы курсантов. При рассмотрении материала широко применяются рисунки, справочные таблицы, основные зависимости при различных видах деформации. Материал типового конспекта излагается просто и доступно.

методический сопротивление материал

ОГЛАВЛЕНИЕ

Тема 1. Основные понятия и допущения

Тема 2. Растяжение и сжатие

Тема 3. Теория напряженных состояний

Тема 4 Местные напряжения. Усталость металлов

Тема 5. Геометрические характеристики плоских сечений

Тема 6. Сдвиг и кручение

Тема 7. Изгиб

Тема 8. Расчеты при сложном сопротивлении

Тема 9. Расчеты при динамическом нагружении

Тема 10 Продольный изгиб

Список использованной литературы

ТЕМА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ДОПУЩЕНИЯ.

1. ЗАДАЧИ И СОДЕРЖАНИЕ КУРСА.

Сопротивление материалов - это наука, в которой изложены принципы и методы расчета элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость.

Сопротивление материалов как наука возникло в эпоху Возрождения, когда развитие техники, торговли, мореплавания и военного дела потребовало научных обоснований и расчетов, необходимых для постройки зданий, крупных морских судов, мостов, гидротехнических сооружений и других сложных конструкций. Начало науки о сопротивлении материалов обычно связывают с именем знаменитого физика, математика и астронома Галилео Галилея (1564-1642). В 1660 году Р. Гук сформулировал закон, устанавливающий связь между нагрузкой и деформацией. В XVIII веке необходимо отметить работы Л. Эйлера по устойчивости конструкций. XIX и XX века являются временем наиболее интенсивного развития науки в связи с общим бурным ростом строительства и промышленного производства при безусловно огромном вкладе ученых - механиков России.

Методами сопротивления материалов ведутся практические расчеты и определяются необходимые (надежные) размеры деталей элементов инженерных конструкций.

Основные положения сопротивления материалов опираются на законы и теоремы механики и в первую очередь на законы статики, без знания которых изучение данного предмета становится практически невозможным. В отличие от теоретической механики, сопротивление материалов рассматривает задачи, где наиболее существенными являются свойства деформируемых тел, а законы движения тела, как жесткого целого, не только отступают на второй план, но в ряде случаев являются попросту не существенными.

Задачи сопротивления материалов:

1. Изложение методов расчета элементов конструкций на прочность.

Прочность - это способность материала сопротивляться разрушению под действием внешних нагрузок.

Расчеты на прочность дают возможность определить размеры и форму деталей, выдерживающих заданную нагрузку, при наименьшей затрате материала.

2. Изложение методов расчета элементов конструкций на жесткость.

Жесткость - это способность элемента конструкции сопротивляться деформации под действием внешних нагрузок.

Расчеты на жесткость гарантируют, что изменения формы и размеров конструкций и их элементов не превзойдут допустимых норм.

3. Изложение методов расчета элементов конструкций на устойчивость.

Устойчивость - это способность элемента конструкции сопротивляться возникновению больших отклонений от невозмущенного равновесия при малых возмущающих воздействиях.

Расчеты на устойчивость предотвращают возможность внезапной потери устойчивости и искривления длинных или тонких деталей. Равновесие элемента устойчиво, если малому изменению нагрузки соответствует малое изменение деформаций. Равновесие элемента неустойчиво, если ограниченный рост нагрузки сопровождается неограниченным ростом деформаций.

При выполнении указанных видов расчета необходимо стремиться к максимальной экономии материалов. Для этого необходимо более полное и глубокое изучение свойств применяемых материалов и характера действующих на детали нагрузок. Это достигается всесторонними экспериментальными исследованиями и внимательным изучением накопленного опыта проектирования и эксплуатации конструкций.

2. классификация элементов конструкций

Рис. 1.1. Классификация элементов конструкций.

Брус - это тело, у которого один из размеров (длина) значительно превышает два других. Брус с прямолинейной осью называют стержнем, стойкой, балкой.

Ось бруса - это линия, соединяющая центры тяжести его поперечных сечений.

Оболочка - это тело, один из размеров которого (толщина), во много раз меньше двух других размеров. Оболочка с двумя плоскими поверхностями называется пластиной.

Массивом называется тело, у которого все три размера одного порядка.

3. НАГРУЗКА. классификация нагрузок

Внешними силами (нагрузками) называются любые воздействия на деталь окружающей среды или соседних частей конструкции.

К внешним силам относятся: собственный вес конструкции или реакции опор, если они имеются, давление пара на поршень, давление жидкости на дно бака и т.д.

Сосредоточенными называются силы, действующие на очень малой площадке тела.

К сосредоточенным силам относятся, например, давление вала на опоры, силы, действующие на узлы крепления двигателя и т.д.

Распределенными нагрузками называют силы, приложенные непрерывно на некоторой длине или площади.

К распределенным нагрузкам относятся, например, вес здания на фундамент, силы давления жидкости на днище бака и т.д.

Статическими нагрузками называются такие, которые не изменяются во времени или изменяются очень медленно. Например, давление колеса на грунт во время стоянки.

Динамическими нагрузками называются такие, которые изменяются очень быстро.

Например, нагрузка на поршень и шатун поршневого двигателя.

Повторно-переменная нагрузка изменяется с течением времени, обычно по периодическому закону. Например, знакопеременные нагрузки испытывают валы, вращающиеся оси, штоки поршневых машин и т.д.

Сопротивление элементов конструкций и прочность материала при статическом, динамическом и повторно-переменном воздействиях нагрузки различны. В сопротивлении материалов устанавливаются общие условия прочности элементов конструкции: сначала в предположении статического воздействия нагрузок, а затем - динамического и повторно-переменного воздействия.

Постоянными нагрузками называются такие, которые действуют в течение всего времени работы конструкции, например, собственный вес.

Временными нагрузками называются такие, которые действуют в течение относительно коротких периодов времени, например, вес машины, едущей по мосту.

4. ДЕФОРМАЦИЯ. понятие об основных видах деформаций

Деформация - это изменение размеров и формы тела при действии внешних сил.

Деформация бывает упругой и остаточной.

Упругая деформация - это деформация, которая исчезает после снятия нагрузки.

Остаточная деформация - это деформация, которая остается полностью или частично после снятия нагрузки.

Деформации отдельных элементов могут быть сложными, но любую деформацию всегда можно представить как сочетание нескольких простейших деформаций.

Рассмотрим возможные простейшие случаи деформаций.

5. внутренние усилия и вычисление их методом сечений

Растягивая руками резиновый жгут или сгибая толстую стальную проволоку, мы ощущаем сопротивление этих тел; иногда силы наших рук оказывается недостаточно, чтобы еще больше растянуть жгут или согнуть проволоку. Способность тела сопротивляться изменению первоначальной формы определяется силами сцепления между частицами тела, которые в отличие от внешних сил, приложенных к телу, называются внутренними силами.

Внутренние силы (иногда их называют силами упругости), как показывают опыты, возрастают вместе с увеличением нагрузок, но до известного предела, после чего сцепление между частицами тела прекращается и тело разрушается. Чтобы правильно рассчитать конструкцию на прочность или на жесткость, необходимо уметь определять внутренние силы по нагрузке.

Чтобы численно установить величину внутренних сил, возникающих в результате деформации, вызванной внешними силами, пользуются методом сечений.

Метод сечений сводится к 4-м действиям:

1. Мысленно разрезают тело плоскостью в месте, где необходимо определить внутренние силы;

2. Отбрасывают любую отрезанную (желательно наиболее сложную) часть тела;

3. Действие отброшенной части заменяют внутренними силами, чтобы оставшаяся исследуемая часть находилась в равновесии;

4. Составляют уравнения равновесия для рассматриваемой части.

Продемонстрируем сказанное выше на брусе, приложив к нему произвольное число сил, удерживающих тело в равновесии (Рис.1.2).

Мысленно разделим брус плоскостью по некоторому произвольному сечению abcd на две части (Рис.1.2.а)). Для сохранения равновесия левой части необходимо приложить к ней по сечению abcd силы, уравновешивающие силы Р₁, Р₂ и Р₃. Данные силы в проведенном сечении заменяют действие на левую часть отброшенной правой части тела. Эти силы представляют взаимодействие по сечению abcd левой и правой частей при деформации тела под действием на него внешних сил; их и называют внутренними силами (внутренними усилиями) (Рис.1.2.б)).

Внешние силы, приложенные к отсеченной части тела, уравновешиваются внутренними силами, возникающими по плоскости сечения. Это позволяет применить к любой отсеченной части бруса условия равновесия, дающие в общем случае пространственной системы шесть уравнений равновесия (Рис.1.2.в)):

С помощью этих уравнений можно определить статический эквивалент системы внутренних сил, т.е. определить главный вектор и главный момент внутренних сил.

В наиболее общем случае из уравнений равновесия можно найти возникающие в поперечном сечении три составляющие силы N_z, Q_x и Q_y (составляющие главного вектора внутренних сил), направленные по координатным осям, и три составляющих момента M_x, M_y и M_z (составляющие главного момента внутренних сил).

Составляющая N_z главного вектора внутренних сил, направленная перпендикулярно плоскости поперечного сечения бруса, называется продольной силой.

Составляющие Q_x и Q_y , лежащие в плоскости поперечного сечения, называются поперечными силами.

Составляющий главного момента внутренних сил момент М_z, возникающий в плоскости поперечного сечения бруса, называется крутящим моментом.

Составляющие моменты М_х и М_у, возникающие в плоскостях перпендикулярных поперечному сечению бруса, называются изгибающими моментами.

В частных случаях отдельные силовые факторы могут быть равны нулю.

Внутренние силовые факторы, возникающие в поперечном сечении бруса, полностью определяют характер его деформации. Деформации отдельных элементов могут быть сложными, но любую деформацию всегда можно представить как сочетание нескольких простейших деформаций.

Рассмотрим частные случаи:

1. В сечении возникает только продольная сила N. В этом случае это деформация растяжения (если сила N направлена от сечения) или деформация сжатия (если сила N направлена к сечению).

2. В сечении возникает только поперечная сила Q. В этом случае это деформация сдвига.

3. В сечении возникает только крутящий момент M_к (M_z). В этом случае это деформация кручения.

4. В сечении возникает только изгибающий момент M_и (M_х, M_у). В этом случае это деформация чистого изгиба. Если в сечении одновременно возникает изгибающий момент M_и и поперечная сила Q, то изгиб называют поперечным.

5. Если в сечении одновременно возникает несколько внутренних силовых факторов (например, изгибающий и крутящий моменты или изгибающий момент и продольная сила), то в этих случаях имеет место сочетание основных деформаций (сложное сопротивление).

6. напряжения. ВИДЫ НАПРЯЖЕНИЙ

Определив внутренние силы и их равнодействующую, еще нельзя говорить об условии прочности рассматриваемого тела, так как прочность зависит не только от материала и величины равнодействующей внутренних сил, но также от характера их распределения и размеров тела - от величины того сечения, к которому приложена равнодействующая.

Поэтому вводится основное понятие сопротивления материалов - напряжение, которое характеризует интенсивность внутренних сил, действующих в сечении

Напряжение - это внутренняя сила, действующая на единицу площади сечения.

р = ,

Основной единицей для измерения напряжений в Международной системе единиц (СИ) является Паскаль: [р] = = = = Паскаль (Па).

Поскольку эта единица напряжения очень мала, то применяется более крупная единица - мегаПаскаль (МПа): 1 МПа = 10⁶ Па = 1 Н/мм².

Числовые значения напряжения, выраженного в МПа и Н/мм², совпадают. В системе МКГСС для измерения напряжений применяют единицы: кГ/см², кГ/мм².

Так как сила имеет направление, то и напряжение будет векторной величиной. В общем случае полное напряжение р на площадке сечения будет составлять с этой площадкой некоторый угол б. Разложим напряжение р на две составляющие: по нормали к площадке и по касательной к ней (Рис.1.3).

Составляющую напряжения по нормали называют нормальным напряжением в данной точке сечения и обозначают греческой буквой у (сигма).

Составляющую по касательной называют касательным напряжением и обозначают греческой буквой ф (тау). Напряжение р называют полным напряжением в данной точке.

Полное напряжение р и его составляющие у и ф являются векторами. Рассматривая нормальное или касательное напряжение по какому-либо определенному сечению, мы тем самым точно фиксируем их направление. Поэтому эти напряжения не требуется обозначать как векторы. Нормальные напряжения возникают при сближении или отрыве частиц тела, а касательные напряжения - при скольжении или сдвиге частиц.

Нормальные и касательные напряжения можно выразить через полное напряжение:

у = р•cosб ; ф = p?sinб.

Если известны составляющие полного напряжения, то полное напряжение равно

р = .

Произведение величины нормального или касательного напряжений на величину площади поперечного сечения дает величину внутренних сил:

N = у?F -нормальной к сечению, Q = ф?F -касательной к сечению.

Вопросы для самопроверки.

1. Дайте определение науки о сопротивление материалов.

2. Что называется прочностью конструкции?

3. Что называется жесткостью элемента конструкции?

4. Что называется устойчивостью элемента конструкции?

5. В чем состоит принцип независимости действия сил?

6. Дайте определение внутренним силам.

7. Что называется брусом, стержнем?

8. Что называется оболочкой?

9. Что называется массивным телом?

10. Что из себя представляет сосредоточенная сила?

11. Какую размерность имеет погонная или распределенная нагрузка?

12. Что представляют собой внутренние силовые факторы?

13. Какие внутренние силовые факторы в общем случае могут возникать в поперечных сечениях бруса?

14. В чем сущность метода сечений?

15. Что называется полным, нормальным и касательным напряжениями? Какова их размерность?

16. Какова зависимость между полным, нормальным и касательным напряжениями в точке в данном сечении?

ТЕМА 2. РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ.

1. ДЕФОРМАЦИЯ РАСТЯЖЕНИЯ И СЖАТИЯ

Растяжением или сжатием называется такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении бруса возникает только продольная сила.

Прямой брус, работающий на растяжение (сжатие), называется стержнем.

Брус растянут, если внешние силы Р, приложенные к его концам, действуют вдоль оси и направлены в стороны от бруса (Рис.2.1). При действии осевых нагрузок Р, направленных к брусу, он сжат. На растяжение и сжатие работают штоки цилиндров, подкосы, шатуны поршневых двигателей. Растяжение возникает в тросах управления, цепях, стяжных болтах, стенки баллонов со сжатым газом. Сжатие воспринимают элементы шасси при стоянке.

ПАРАМЕТРЫ РАСТЯЖЕНИЯ (СЖАТИЯ).

При растяжении стержня его длина увеличивается, а при сжатии уменьшается. Если первоначальная длина стержня равна l, а длина после растяжения стала равной l₁ (Рис.2.2), то

величина Дl = l₁- l является полным изменением длины стержня и называется абсолютным удлинением стержня (при сжатии стержня она называется полным или абсолютным укорочением). Абсолютное удлинение (укорочение) измеряется в единицах длины - см, мм.

Абсолютное удлинение зависит от первоначальной длины стержня. Поэтому более удобной мерой деформации является отношение абсолютного удлинения к первоначальной длине стержня, которое называется относительным удлинением, или продольной деформацией:

е =

Относительное удлинение не имеет размерности, это отвлеченное число. Оно часто выражается в процентах от первоначальной длины

е = •100%

2. продольная сила и напряжения в поперечном сечении бруса.

Для определения внутренних усилий в поперечных сечениях применим метод сечений:

брус, растягиваемый двумя силами Р, рассечем плоскостью, перпендикулярной его оси (Рис.2.3).

Отбросим правую часть. Для равновесия левой части заменим действие отброшенной части внутренними силами. Равнодействующая внутренних сил N направлена вдоль оси бруса и называется продольной силой. Составим для левой части уравнение равновесия и определим величину N. При этом используется правило знаков: проекции внешних сил, направленных от сечения, положительны и, наоборот, проекции внешних сил, направленных к сечению, отрицательны.

Таким образом, равнодействующая внутренних сил равна силе Р. При растяжении продольная сила положительна, а при сжатии - отрицательна. При растяжении продольная сила направлена от сечения, а в случае сжатия - к сечению.

В общем случае, когда, стержень подвергается действию системы внешних сил, приложенных не только к его торцам, но и в промежуточных сечениях, значение продольной силы N может быть разным по величине и знаку для различных поперечных сечений. В этом случае продольная сила в произвольном сечении бруса численно равна алгебраической сумме проекций на его продольную ось Z всех внешних сил, приложенных по одну сторону от сечения.

Напряжения ПРИ РАСТЯЖЕНИИ И СЖАТИИ.

Для определения напряжений в поперечном сечении растянутого стержня применим метод сечений. Разрежем стержень плоскостью перпендикулярной к его оси (Рис.2.4).

Правую часть отбросим, а ее действие на левую заменим продольной силой N, которая направлена перпендикулярно к плоскости сечения.

Отношение величины внутренних сил к величине площади поперечного сечения называется напряжением при растяжении (сжатии). Так как продольная сила направлена перпендикулярно к плоскости сечения, то напряжения будут нормальными:

у = ( Н/м², Н/мм², кГ/см²)

эпюры продольных сил и напряжений

Наглядное представление об изменении величины продольной силы в сечениях по длине бруса может быть дано в виде диаграммы.

Диаграмма, показывающая величину продольной силы в каждом поперечном сечении бруса, называется эпюрой продольных сил.

Если брус растягивается или сжимается двумя равными силами, приложенными по его торцам, то эпюра будет представлять собой прямоугольник, с высотой пропорциональной величине продольных сил в сечении (Рис.2.5).

Для построения эпюры проводят параллельную оси бруса линию (нулевую или базовую линию), перпендикулярно которой откладывают в масштабе величины продольных сил.

Положительные значения продольной силы (при растяжении) откладывают справа (сверху) от нулевой линии, а отрицательные (при сжатии) - слева (снизу) от нулевой линии. Если на брус будут приложены в разных местах внешние силы, то на эпюре будут скачки, по величине равные приложенным в этих точках бруса внешним силам.

Эпюра напряжений в случае растяжения (сжатия) бруса двумя равными силами (Рис.2.5.) будет такой же, как и эпюра продольной силы, так как площадь сечений одинакова, а напряжение зависит от силы и площади сечения. Если на брус будут приложены в разных местах внешние силы, или будет меняться площадь поперечного сечения бруса, то в этих точках также будут скачки (Рис.2.6).

3. закон гука при растяжении.

Нагрузки и деформации, возникающие в брусе, тесно связаны между собой. Эта связь между нагрузкой и деформацией была сформулирована впервые Робертом Гуком в 1660 году, но только в 1678 году закон был опубликован.

Согласно закону Гука деформация пропорциональна нагрузке. Этот закон является одним из основных в сопротивлении материалов. При растяжении или сжатии бруса закон Гука выражает прямую пропорциональность между напряжением и относительной деформацией:

у = Е?е

Пропорциональность эта нарушается, когда напряжение переходит за некоторый предел, называемый пределом пропорциональности. Предел пропорциональности для материалов устанавливается опытным путем.

Коэффициент Е, входящий в формулу, называется модулем продольной упругости или модулем Юнга. Из формулы видно, что размерность модуля упругости Е такая же, как и напряжения. Если е = 1, то Е = у, т.е. модуль Юнга - это такое напряжение, при котором относительное удлинение равно 1 (тело удлинилось в 2 раза). При одном и том же напряжении относительная деформация будет меньше у того материала, для которого Е будет больше. Следовательно, модуль упругости характеризует жесткость материала, т.е. способность сопротивляться деформации, что и следует из формулы:

е =

Величина модуля упругости материалов устанавливается экспериментально. В таблице 2.1. даны средние значения Е для некоторых материалов при комнатной температуре.

Таблица 2.1. Значения модуля упругости для различных материалов.

Материалы	Е, кГ/см2
Сталь	2•106 - 2,2•106
Чугун	0,75•106 - 1,6•106
Медь и ее сплавы	1,0•106 - 1,3•106
Титан	1,0•106
Алюминий и его сплавы	0,7•106 -0,72•106
Дерево	0,9•105 - 1,6•105
Кладка из кирпича	2,5•104 -3,0•104
Бетон	1,5•105 - 2,3•105

Для некоторых материалов (чугун) величина модуля упругости различна при растяжении и сжатии.

Для практических расчетов часто применяется формула, которая называется формулой Гука.

.

Из этой формулы следует, что удлинение (укорочение), получаемое брусом, прямо пропорционально растягивающей (сжимающей) силе, длине бруса и обратно пропорционально площади поперечного сечения и величине модуля упругости материала.

Произведение EF называется жесткостью сечения бруса при растяжении (сжатии). Чем жесткость бруса будет больше, тем при одной и той же длине он получит меньшую деформацию. Жесткость характеризует одновременно физические свойства материала и геометрические размеры сечения.

Для брусьев с несколькими участками, в пределах которых Е, N и F имеют постоянные значения, полное удлинение (укорочение) бруса определяют алгебраическим суммированием удлинений (укорочений) всех его участков:

?l = ?

Если величины N и F (или одна из них) переменны по длине участков бруса, то полное абсолютное удлинение определяется по формуле:

?l = ?dz.

При этом интегрирование производят в пределах каждого участка, а суммирование - по всем участкам бруса.

Вследствие изменения длины отдельных участков нагруженного бруса его поперечные сечения получают линейные перемещения вдоль оси z.

4. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ (СЖАТИИ).

Условие прочности при растяжении (сжатии) бруса имеет вид:

у_мах = ;

где N - абсолютная величина продольной силы;

F -- площадь поперечного сечения;

[ у ] -- допускаемое напряжение при растяжении или сжатии.

По данному условию прочности можно решить три вида задач.

1 задача. Проверка прочности.

По известным нагрузке и площади поперечного сечения, определяют наибольшие действующие напряжения, затем сравнивают их с допускаемыми. Если действующие напряжения меньше допускаемых, т.е. у_мах ? [ у ], то прочность бруса соблюдается.

2 задача. Подбор сечения.

По известным нагрузке и допускаемом напряжении (материале) определяют безопасную площадь поперечного сечения, т.е. F ? .

3 задача. Определение допускаемой нагрузки.

По известным площади поперечного сечения и допускаемом напряжении (материале) определяют допускаемую нагрузку, т.е.

N ? F•[ у ].

5. РАСЧЕТНО - ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА № 1.

«РАСЧЕТ БРУСА НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ И СЖАТИИ».

Расчетно-графические работы являются индивидуальными для каждого курсанта. Они выполняются в определенные сроки, предусмотренные учебным планом. Законченные работы проверяются преподавателем и защищаются курсантами. Прием и защита заданий проводится во время самоподготовки.

Оформление заданий должно соответствовать требованиям ЕСКД. С образцом оформления РГР можно ознакомиться на кафедре. Задание оформляется на одной стороне бумаги стандартного формата (А4) белого цвета. Чертеж выполняется на ватмане, допускается выполнять чертеж на миллиметровой бумаге.

Задача. Для двухступенчатого бруса (Рис.2.7):

1. Определить величину и построить эпюру продольных сил;

2. Определить величину и построить эпюру нормальных напряжений;

3. Определить величину и построить эпюру перемещений бруса. Определить общее удлинение (укорочение) бруса;

4. Проверить прочность бруса.

Вариант 0.

Р₁ = 40 кН; Р₂ = 50 кН;

d₁ = 20 мм; d₂ = 40 мм;

а = 1,2 м; b = 0,6 м;

с = 1,0 м;

Е = 2,1·10⁵ Н/мм²;

[у] = 160 Н/мм².

РЕШЕНИЕ:

1. Определение величины продольных сил и построение эпюры продольных сил.

Разделим брус на участки, границы которых определяются сечениями, где изменяется площадь поперечного сечения или приложены внешние нагрузки.

Мысленно рассечем брус в пределах первого участка и отбросим верхнюю часть бруса (Рис.2.7.б)). Действие отброшенной части заменим продольной силой N₁, которая уравновешивается силой Р₁:

N₁ = Р₁ = 40 кН.

Аналогично, в пределах второго участка (Рис.2.7.в)) отбросим верхнюю часть бруса и рассмотрим оставшуюся часть бруса с действующей силой Р₁, которая уравновешивается силой N₂: N₂ = Р₁ = 40 кН

Продольная сила на третьем участке N₃, уравновешивается внешними силами Р₁ и Р₂ (Рис.2.7.г)) и равна их алгебраической сумме:

N₃ = Р₁ - Р₂ = 40 кН - 50кН = - 10 кН.

В пределах каждого участка нагружения продольная сила постоянна и, поэтому на эпюре изобразится линией, параллельной оси бруса.

Для построения эпюры продольных сил (Рис.2.7.д) проводим линию, параллельную оси бруса. С левой стороны от нее откладываем значение продольной силы, вызванной сжатием (т.е. отрицательные значения продольной силы), а с правой стороны от нее откладываем значение продольной силы, вызванной растяжением (т.е. положительные значения продольной силы). В пределах участка III брус сжат, а в пределах участков I - II брус растянут.

2. Определение величины напряжений и построение эпюры напряжений.

Для определения напряжений в поперечных сечениях бруса необходимо значение продольной силы разделить на площади соответствующих сечений:

у =

Площадь поперечного сечения бруса первого участка:

F₁ =

Площадь поперечного сечения бруса на участках II и III:

F₂ = F₃ =

Находим напряжения на участках бруса:

у₁ = = 127 Н/мм; у₂ = = 31,8 Н/мм;

у₃ = = - 7,9 Н/мм.

По полученным данным строим эпюру нормальных напряжений (Рис.2.7.д)). Для построения эпюры напряжений проводим линию, параллельную оси бруса. С левой стороны от нее откладываем отрицательные значения напряжений, а с правой - положительные значения напряжений.

3. Определение величины и построение эпюры перемещений бруса.

Для построения эпюры определим перемещения характерных сечений бруса B - B, C - C, D - D. Перемещение сечения А-А равно нулю, т.к. это сечение крепления бруса.

Сечение В -В будет перемещаться вверх, поскольку верхняя часть бруса сжимается:

? l _b = - 0,038мм.

Перемещение сечения С-С является алгебраической суммой перемещения сечения В-В и удлинения части бруса В-С длиной l = 0,6м:

? l _с = ? l _b + - 0,038 + 0,091 = 0,053мм.

Перемещение сечения D - D является алгебраической суммой перемещения сечения C-C и удлинения части бруса С - В длиной l = 1,2м:.

? l _d = ? l _c + 0,053 + 0,726 = 0,78мм.

Полное удлинение бруса будет равно перемещению сечения D - D, т.е.

? l = ? l _d = 0,78мм.

Для построения эпюры перемещений сечений бруса откладываем в определенном масштабе на эпюре значения ? l _b, ? l _с, ? l _d , (Рис.2.7.ж)) и соединяем полученные точки прямыми линиями.

4. Проверка прочности бруса.

Наибольшие действующие напряжения будут на участке I : у_max = у₁ =127 Н/мм².

Сравним их с допускаемыми:

у_max = у₁ =127 Н/мм² ? [у] = 160 Н/мм².

Прочность бруса соблюдается.

6. коэффициент пуассона.

Поперечные размеры бруса при растяжении или сжатии изменяют свою величину. Так при растяжении поперечные размеры бруса уменьшаются, а при сжатии - увеличиваются. Это характерно для растяжения и сжатия всех материалов (Рис.2.8)

Какой-либо поперечный размер бруса, первоначально равный а, при растяжении уменьшился до а_1.

Абсолютное сужение - это изменение поперечного размера, равно Дa = а₁ - а (мм, см).

Относительное сужение - это поперечная деформация е= . Относительное сужение не имеет размерности, это отвлеченное число. Оно часто выражается в процентах от первоначальной ширины.

Опытным путем установлено, что при одноосном растяжении или сжатии отношение относительных поперечной и продольной деформаций есть для данного материала величина постоянная. Впервые зависимость между относительной поперечной е^ґ и относительной продольной е деформациями была установлена французским ученым Пуассоном (1781 - 1840).

Эта зависимость имеет вид:

где м - коэффициент поперечной деформации, называемой коэффициентом Пуассона. При растяжении, когда продольный размер бруса увеличился, его поперечный размер уменьшается и наоборот, при сжатии продольный размер уменьшается, а поперечный увеличивается.

Коэффициент Пуассона - величина безразмерная. Он зависит только от материала и характеризует его упругие свойства. При растяжении и сжатии коэффициент Пуассона считают одинаковым.

Значение коэффициента Пуассона для всех материалов колеблется в пределах 0 ? м ? 0,5, а для большинства материалов - от 0,25 до 0,35 (Таблица 2.2).

Таблица 2.2. Значение коэффициента Пуассона для материалов.

Наименование материала	м	Наименование материала	м
Сталь	0,25-0,33	Свинец	0,45
Медь	0,31-0,34	Латунь	0,32-0,42
Бронза	0,32-0,35	Алюминий	0,32-0,36
Чугун	0,23-0,27	Цинк	0,21
Стекло	0,25	Камень	0,16-0,34
Бетон	0,08-0,18	Каучук	0,47

7. допускаемые напряжения и коэффициент запаса прочности.

Предельным или опасным напряжением у_пред называется напряжение, при котором образец из данного материала разрушается или в нем возникают недопустимые пластические деформации.

За предельные напряжения принимают:

- для пластичных материалов - предел текучести у_пред = у_т или у_пред = у_0,2;

- для хрупких материалов - предел прочности у_{пред =} у_пч (у_в), (у_пч,р или у_пч,с).

Допускаемым напряжением называется наибольшее напряжение, при котором обеспечивается прочность и долговечность конструкции. Допускаемые напряжения при растяжении и сжатии, в случае, когда они одинаковы, обозначают [у]. Если величины допускаемых напряжений при растяжении и сжатии различны, то принимают следующие обозначения:

[у_р] - допускаемое напряжение на растяжение;

[у_с] - допускаемое напряжение на сжатие.

Величины допускаемых напряжений для некоторых материалов даны в таблице 2.3. Величина допускаемого напряжения должна составлять некоторую часть от величины напряжений, являющихся опасными (предельными) для материала при данных условиях его работы в конструкции.

Число, показывающее во сколько раз допускаемое напряжение меньше предельного напряжения, называется коэффициентом запаса прочности.

k =

Величина k всегда больше единицы. Установление величины коэффициента запаса прочности играет большую роль при проектировании, так как прочность, надежность и экономичность конструкции в сильной степени зависит от назначения допускаемых напряжений.

На величину коэффициента запаса прочности в значительной мере влияет ряд факторов:

1). Качество и степень однородности материала. Чем однороднее материал, тем меньше можно брать запас при прочих равных условиях. Например, сталь достаточно однородна по своему строению, поэтому k принимают в пределах 1,5-3; для бетона ? 3; дерево ? 3-5.

2). Долговечность и значимость сооружения. Для капитальных сооружений коэффициент запаса должен быть больше, чем для временных.

3). Уровень развития техники. С развитием техники повышается качество изготовления материала и точность обработки деталей.

Нормы допускаемых напряжений устанавливаются Техническими условиями и нормами проектирования, которые имеют силу закона и обязательны для всех расчетов. В обычных расчетах принимают k = 1,4-2,0.

Таблица 2.3. Величины допускаемых напряжений для материалов.

Материалы	Допускаемые напряжения, МПа
	[ур]	[ус]
Чугун серый	20 - 80	70 - 200
Сталь Ст0 и Ст2	140	140
Сталь Ст3	160	160
Сталь углеродистая конструкционная	60-250	60-250
Сталь легированная конструкционная	100-400 и выше	100-400 и выше
Медь	30-120	30-120
Латунь	70-140	70-140
Бронза	60-120	60-120
Дюралюминий	80-150	80-150
Сосна вдоль волокон	7-10	10-12
Дуб вдоль волокон	9-13	13-15
Кирпичная кладка	до 0,2	0,6-2,5
Бетон	0,1-07	1-9

8. понятие о температурных напряжениях.

Повышение и понижение температуры материала вызывают в нем удлинение и укорочение. Поэтому при нагреве или охлаждении детали в ней могут возникнуть температурные напряжения.

Причины возникновения температурных напряжений:

1). Нагрев или охлаждение статически неопределимой конструкции;

2). Неравномерный нагрев или охлаждение конструкции или ее элементов;

3). Нагрев или охлаждение конструкций, изготовленных из разных материалов и скрепленных между собой.

Температурные напряжения могут иногда достигать значительной величины в зависимости от разности начальной и конечной температур и упругих свойств материала.

Рассмотрим стальной брус длиной l, который закреплен между двумя неподвижными плоскостями (Рис.2.9).

Если бы один из концов бруса не был закреплен, то брус при изменении температуры мог бы свободно удлиняться и укорачиваться, т.е. изменения температуры не вызывали бы в нем температурных напряжений. В данном случае, вследствие препятствия деформации, оказываемого в местах закрепления, при изменении температуры в брусе появятся напряжения.

Пусть температура, при которой брус был закреплен в плоскостях, была t₁, коэффициент линейного расширения стали б. Найдем напряжение в брусе, если температура изменится и станет равной t₂. Обозначим изменение температуры через Дt = t₂ - t₁.

Абсолютное удлинение бруса в случае одного свободного конца будет равно

Дl = б(t₂ - t₁) l = б Дt l;

где б - коэффициент линейного расширения материалов.

Но плоскости не дают брусу возможности удлиниться. Следовательно, в нем появляется напряжение сжатия, соответствующее относительной деформации сжатия - е.

Относительная деформация бруса будет равна:

-- е = .

По закону Гука нормальное напряжение будет равно:

у_t = Е е = - ЕбДt

Если t₁ › t₂, то в брусе будет появляться напряжение растяжения; если t₁ ‹ t₂, то, наоборот, - напряжение сжатия.

9. диаграмма растяжения, и её характерные параметры

Для выполнения расчетов конструкций на прочность необходимо знать свойства материалов, из которых они изготовлены.

Механические свойства материалов выявляются при испытании их под нагрузкой.

Наиболее распространенным испытанием материалов является испытание их на растяжение. Объясняется это тем, что механические характеристики, получаемые при испытании на растяжение, позволяют во многих случаях достаточно точно судить о поведении материала и при других видах деформации: сжатии, сдвиге, кручении и изгибе. Кроме этого, испытание на растяжение наиболее легко осуществимо.

Материалы, работающие преимущественно на сжатие (камни, бетон, кирпич и др.), требуют и их испытание на сжатие.

Целью испытания на растяжение является определение механических характеристик материала. Большинство испытаний проводится при нормальной (комнатной) температуре.

Механические испытания выполняют на образцах, форма и размеры которых установлены ГОСТами или Техническими условиями. Металлические образцы для испытания на растяжение изготовляют в виде стержней круглого или прямоугольного сечения (плоские). Круглые образцы имеют на концах утолщения (головки), а плоские - расширения (Рис.2.10). При испытании цилиндрических образцов в качестве основных применяют образцы диаметром d = 10 мм.

Современные испытательные машины имеют специальный диаграммный аппарат, при помощи которого в течение всего процесса испытания автоматически вычерчивается кривая между нагрузкой (P), действующей на образец, и его абсолютным удлинением (Дl). Эта кривая называется диаграммой растяжения (сжатия) образца (или характеристикой образца).

Для того чтобы исключить влияние абсолютных размеров образца диаграмму перестраивают в координатах у и е. Характер диаграммы после такой перестройки сохраняется, изменяется лишь ее масштаб. Эта диаграмма называется диаграммой растяжения материала или диаграммой напряжений (Рис.2.11).

Точки получаемой таким образом диаграммы растяжения характеризуют состояние образца в различные моменты испытания, а вся диаграмма дает связь между напряжениями и относительными деформациями образца за все время испытания.

Перейдем к рассмотрению характерных точек диаграммы.

Предел пропорциональности у_пц = --наибольшее напряжение растяжения, при котором еще справедлив закон Гука, т.е. деформации растут пропорционально напряжениям.

Для стали Ст3 предел пропорциональности у_пц? 210 Мпа. При дальнейшем увеличении нагрузки диаграмма становится криволинейной.

Предел упругости у_у - наибольшее напряжение, при котором деформации практически остаются упругими (остаточная деформация достигает 0,05%). При этом материал сохраняет свои упругие свойства, т.е. при разгрузке образец восстанавливает свою первоначальную форму и размеры.

Для стали Ст3 предел упругости у_у ? 220 МПа. Разница между пределом пропорциональ-ности и пределом упругости невелика, и на практике обычно не делают различия между ними.

Если нагрузку увеличивать еще дальше, то наступает такой момент, когда деформации начинают расти практически без увеличения нагрузки. Горизонтальный участок диаграммы CD называется площадкой текучести.

Предел текучести у_т называется напряжение, при котором происходит рост деформаций без увеличения нагрузки.

Для стали Ст.3 у_т ? 240 МПа. Ряд материалов при растяжении дает диаграмму без выраженной площадки текучести; для них устанавливается условный предел текучести.

Напряжение, при котором остаточная деформация равна 0,2%, называется условным пределом текучести у_0,2. К материалам для которых определяется условный предел текучести, относятся дюралюминий, бронза, высокоуглеродистые и легированные стали. Как показывают исследования образцов стали, текучесть сопровождается значительными взаимными сдвигами кристаллов, в результате чего на поверхности образца появляются линии (линии Людерса - Чернова) (Рис.2.12), наклоненные к оси образца под углом примерно 45⁰.

Удлинившись на некоторую величину при постоянном значении силы, т.е. претерпев состояние текучести, материал снова приобретает способность сопротивляться растяжению (упрочняется), и диаграмма за точкой D поднимается вверх, хотя гораздо более полого, чем раньше.

Предел прочности (временное сопротивление) у_пч = условное напряжение, соответствующее наибольшей нагрузке, предшествующей разрушению образца.

Для стали Ст.3 у_пч = 400-500 МПа. Предел прочности (временное сопротивление) также обозначается у_в.

При достижении напряжением величины предела прочности на образце появляется резкое местное сужение (шейка). Площадь сечения образца в шейке быстро уменьшается, и разрыв образца происходит по наименьшему сечению шейки.

Кроме перечисленных выше характеристик прочности материала при испытании на растяжение определяют также относительное остаточное удлинение при разрыве, являющееся важной характеристикой пластичности материала

д = ;

где l₀ - первоначальная расчетная длина образца; l₁ - расчетная длина образца после разрыва.

Для стали Ст.3 д? 21%. У высокопрочных сталей эта величина снижается до 7-10 %. Величина д зависит от соотношения между длиной образца и его поперечными размерами.

Второй характеристикой пластичности материала является относительное остаточное сужение при разрыве

ш = ,

где F₀ -первоначальная площадь поперечного сечения;

F₁ - площадь поперечного сечения в наиболее тонком месте шейки после разрыва.

Величина ш характеризует свойства пластичности более точно, чем д, поскольку она в меньшей степени зависит от формы образца. Для стали Ст.3 ш составляет 50 - 60 %.

10. решение задач на растяжение и сжатие, температурные напряжения.

Вопросы для самопроверки

1. При каком нагружении стержень испытывает деформацию растяжения?

2. Какие внутренние силы возникают в поперечном сечении стержня при его растяжении и как они вычисляются?

3. Какие напряжения возникают в поперечном сечении бруса при растяжении, как они направлены и как вычисляются?

4. В каких сечениях растянутого стержня возникают наибольшие нормальные напряжения?

5. Что называется жесткостью поперечного сечения при растяжении?

6. Какой вид будет иметь закон Гука для растянутого стержня?

7. Сформулируйте условия прочности и жесткости для растянутого стержня.

8. Что называется абсолютной продольной деформацией? Что представляет собой относительная деформация? Каковы их размерности?

9. Что называется коэффициентом поперечной деформации (коэффициентом Пуассона) и в каких пределах он изменяется?

ТЕМА 3. ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕННЫХ СОСТОЯНИЙ

1. ПОНЯТИЕ О НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ В ТОЧКЕ. ВИДЫ НАПРЯЖЕННЫХ СОСТОЯНИЙ

Через любую точку тела может быть проведено бесчисленное множество площадок, различно ориентированных в пространстве.

В общем случае нормальные и касательные напряжения, возникающие на этих площадках при нагружении тела, различны. Совокупность нормальных и касательных напряжений, возникающих на всем бесчисленном множестве площадок, которые можно провести через данную точку тела, характеризует напряженное состояние в этой точке. Напряженное состояние в точке является заданным (т.е. возможно найти напряжение на любой проходящей через эту точку площадке), если известны напряжения на любых трех взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через данную точку. Это исходные площадки и исходные напряжения.

В общем случае вектор полного напряжения на каждой из исходных площадок может быть разложен на три составляющие, параллельные выбранным осям координат (Рис.3.1). Индексы у составляющих (компонентов напряжения) ставят по следующим правилам: первый индекс указывает, какой оси параллельна нормаль к площадке, второй-какой оси параллельно само напряжение. В обозначениях нормальных напряжений один из двух индексов опускают, т.е. вместо У_zz и т.п. пишут У_z и т.д. Обычно изображают напряжения лишь на видимых гранях бесконечно малого параллелепипеда, выделенного в окрестности исследуемой точки (Рис.3.1). Показанные на (Рис.3.1) девять напряжений называются компонентами напряженного состояния в данной точке тела. Парные касательные напряжения направлены либо к линии пересечения площадок, либо от нее.

Среди бесчисленного множества площадок, которые можно провести через данную точку, есть три взаимно перпендикулярные площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения.

Площадки, проведенные через данную точку, на которых отсутствуют касательные напряжения, называются главными площадками, а нормальные напряжения, возникающие на них - главными напряжениями. Главные напряжения обозначают У_1, У_2, У_3.

Индексы расставляют так, чтобы было соблюдено условие У₁ ? У₂ ? У_3. Для данной точки У₁- наибольшее, а У₃- наименьшее (в алгебраическом смысле) нормальные напряжения.

Различают: - объемное (трехосное), - плоское (двухосное) и линейное (одноосное) напряженные состояния (Рис.3.2.).

При первом из них все три главных напряжения отличны от нуля; при втором - одно из главных напряжений равно нулю; при третьем - лишь одно из главных напряжений не равно нулю.

...