Типовой конспект по сопромату

Если два (или все три) главных напряжения равны между собой, то главных площадок не три, а бесчисленное множество. Например, при У₁ = У₂ любая площадка, параллельная У_3, будет главной; на всех этих главных площадках напряжения одинаковые и равны У₁ = У₂.

2. Напряжения ПО наклонныМ сеченияМ при ЛИНЕЙНОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ.

Для полного суждения о прочности материала необходимо уметь определять напряжения, действующие по любому наклонному сечению растянутого (сжатого) элемента (Рис.3.3).

Рис. 3.3. Напряжения по наклонным сечениям при линейном напряженном состоянии.

Нормальные напряжения в поперечном сечении стержня У₁ считаем известными (например, У₁ = P/F). Определим напряжения, возникающие в наклонном сечении ВС, нормаль к которому повернута на угол б к направлению У_1. За положительное направление отсчетов угла б примем направление против часовой стрелки. Обозначим: F-площадь сечения, перпендикулярного оси стержня; F_б-площадь наклонного сечения, при этом

F_б = F / соs б.

В общем случае в наклонном сечении могут действовать нормальные У_б и касательные ф_б напряжения. Их значения найдем из условия равновесия отсеченной части (Рис.3.3, б).

У_б = У₁*соs²б. ф_б = 0,5 У₁*sin 2б.

При положительном значении У (т.е. растягивающем) и при 0 ? б ? 90⁰ получим положительное значение для ф_б. Это означает, что касательное напряжение будет направлено так, как показано на (Рис.3.3,б). Данное направление касательного напряжения характеризуется тем, что внешнюю нормаль n к площадке для совпадения с касательным напряжением необходимо поворачивать по часовой стрелке. Касательные напряжения такого направления принято считать положительными. Если же нормаль к площадке для совпадения с касательным напряжением необходимо поворачивать против часовой стрелки, то касательное напряжение считается отрицательным (Рис.3.3,в).

Максимального значения нормальные напряжения достигают при б = 0, т.е. в сечении, перпендикулярном оси стержня.

При б = 0 касательное напряжение равно нулю.

При б = 90⁰: У = 0 и ф = 0. Таким образом, в продольных сечениях нет ни нормальных, ни касательных напряжений.

Как уже было отмечено, площадки, на которых нет касательных напряжений, называются главными площадками, а нормальные напряжения, действующие по главным площадкам - главными напряжениями. Следовательно, нормальное напряжение в поперечном сечении растянутого (сжатого) стержня есть главное напряжение. Поэтому оно обозначено У_1. Так как в данном случае от нуля отлично только одно главное напряжение, то рассматриваемое напряженное состояние является одноосным (линейным).

Максимальное касательное напряжение имеет место в сечении под углом б = 45⁰ и равно половине главного напряжения: ф_мах= У₁ / 2.

Именно в этих сечениях и начинаются первые сдвиги кристаллов, о чем свидетельствуют линии Людерса-Чернова.

ЗАКОН ПАРНОСТИ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ.

Определим нормальные и касательные напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках.

Для площадки, наклоненной под углом б, имеем: У_б = У₁*соs²б; ф_б = 0,5 У₁*sin2б.

Для взаимно перпендикулярной площадки при значении угла б+р/2 нормальные и касательные напряжения можно определить из условия равновесия верхней или нижней части стержня, или по формулам с заменой б на б+р/2. Получим:

У_б+р/2 = У₁*соs² (б +р/2) = У₁*sin²б,

ф_б+р/2 = 0,5 У₁*sin2(б +р/2) = - 0,5 У₁*sin2б.

Анализируя полученные результаты, видим, что, во-первых,

т.е. сумма нормальных напряжений по двум взаимно перпендикулярным площадкам постоянна и равна главному напряжению;

во-вторых,

т.е. на двух взаимно перпендикулярных площадках действуют равные по величине и обратные по знаку касательные напряжения (закон парности касательных напряжений). При этом касательные напряжения на двух вэаимно перпендикулярных площадках направлены оба либо к ребру пересечения площадок, либо от ребра.

3. плоскоЕ напряженноЕ состояниЕ

Рассмотрим общий случай плоского напряженного состояния, когда отличны от нуля два главных напряжения У₁ и У₂, при этом У₁ ? У₂ (Рис.3.4). Положительный угол б между направлением У₁ и нормалью к произвольной площадке будем отсчитывать против часовой стрелки. Между направлением напряжения У₂ и площадкой угол равен б + р/2.

Напряжения У_б и ф_б в произвольном наклонном сечении можно определить суммируя напряжения от действия У₁ с напряжениями от действия У₂.

В результате получим:

У_б= У₁соs²б + У₂соs²(б+ р/2), откуда

ф_б=0,5 У₁sin2б +0,5 У₂sin2(б +р/2), откуда

Из этой формулы видно, что максимальные касательные напряжения равны полуразности главных напряжений

и имеют место в сечениях, наклоненных под одним и тем же углом к направлениям У₁ и У₂, т.е. при б = 45^о. Это следует из условия, что ф_мах имеет место при sin2б = 1.

4. ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН ГУКА (ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ДЕФОРМАЦИЯМИ И НАПРЯЖЕНИЯМИ).

а) линейное напряженное состояние.

Определим деформации в направлении главного напряжения при линейном напряженном состоянии. Согласно закона Гука:

б) плоское напряженное состояние.

Определим деформации е1

и е2 в направлениях главных напряжений при плоском напряженном состоянии. Для этого используем закон Гука для одноосного напряженного состояния, а также зависимость между продольной и поперечной деформациями и принцип независимости действия сил. От действия одного напряжения У1 относительное удлинение по вертикали равно

е₁₁= У₁/Е

и одновременно в горизонтальном направлении относительное сужение равно

е₂₁=м*У₁/Е

От действия одного только У₂ имели бы в горизонтальном направлении удлинение

е₂₂ = У₂/Е

и в вертикальном направлении - сужение

е₁₂ = м*У₂/Е.

Суммируя деформации, получим

е₁ = е₁₁ + е₁₂ = У₁/Е - м*У₂/Е;

е₂ = е₂₂ + е₂₁ = У₂/Е - м*У₁/Е.

Эти формулы выражают обобщенный закон Гука для плоского напряженного состояния.

Если известны деформации е₁ и е₂, то, решая эти уравнения относительно напряжений У₁ и У₂, получим

У₁ = Е(е₁ + м*е₂)/(1- м²),

У₂ = Е(е₂ + м*е₁)/(1- м²).

в) объемное напряженное состояние.

Эти уравнения представляют собой обобщенный закон Гука для объемного напряженного состояния.

Деформации е₁, е₂ и е₃ в направлении главных напряжений называются главными деформациями.

Зная е₁, е₂ и е_3, можно вычислить изменение объема при деформации.

Вопросы для самопроверки

1. Что из себя представляет напряженное состояние в точке?

2. Что такое главные площадки и главные напряжения?

3. Какое напряженное состояние называется пространственным (трехосным), плоским (двухосным) и линейным (одноосным)?

4. Как определяются нормальные и касательные напряжения по наклонным сечениям при линейном напряженном состоянии.

5. Дайте определение закону парности касательных напряжений.

6. Как определяются нормальные и касательные напряжения при плоском напряженном состоянии.

7. Запишите обобщенный закон Гука для плоского напряженного состояния.

8. Запишите обобщенный закон Гука для объемного напряженного состояния.

ТЕМА 4. МЕСТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ. УСТАЛОСТЬ МЕТАЛЛОВ

1. ВОЗНИКНОВЕНИЕ МЕСТНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

Опыт эксплуатации и специальные исследования показывают, что в тех местах деталей, где имеются резкие изменения размеров, надрезы, острые углы, отверстия, царапины, возникают высокие местные напряжения. В этих местах развиваются трещины усталости, приводящие в итоге к разрушению детали. Некоторые примеры приведены на Рис.4.1.

Напряжения по поперечному сечению растянутого стержня распределены равномерно только в некотором удалении от места приложения силы при условии, что поперечные размеры стержня по длине не изменяются или изменяются очень плавно. Если же контур продольного сечения стержня резко изменяется, то в местах нарушения формы стержня распределение напряжений по его поперечному сечению уже не будет равномерным.

Явление значительного повышения напряжений в местах резкого изменения геометрической формы стержня называется концентрацией напряжений.

Определение напряжений в местах концентрации производится экспериментально. Местные напряжения у_мест по величине обычно значительно превышают те наибольшие значения напряжений, которые получались бы при отсутствии причин, вызывающих концентрацию. Так при растяжении широкой полосы с небольшим отверстием (Рис.4.1) максимальное напряжение у края отверстия в 3 раза больше среднего, возникающего в других сечениях стержня. Зависимость между местными и общими напряжениями имеет вид:

у_мест=б_кт·у,

где б_кт -- теоретический коэффициент концентрации напряжений.

Величина коэффициента концентрации определяется по степени резкости нарушения формы стержня. Если переход от одной формы к другой сделан резко под прямым углом, то коэффициент концентрации имеет наибольшее значение. Если же сечение стержня изменяется постепенно, то величина б_кт резко снижается, а иногда может оказаться равной единице.

Опыты показали, что действительный (эффективный) коэффициент концентрации в деталях зависит не только от их формы, но и от материала из которого они изготовлены. Чем пластичнее материал, тем меньше для него действительный коэффициент концентрации напряжений. Концентрация напряжений для пластичных материалов значительно менее опасна, чем для хрупких. Для хрупких материалов концентрация напряжений приводит к снижению прочности, так как отсутствует фактор, смягчающий влияние концентрации, а именно текучесть. Поэтому различают теоретический коэффициент концентрации б_кт, который учитывает только форму образца, и действительный (эффективный) коэффициент концентрации, который кроме формы детали отражает влияние ее материала и обозначается н_ь. Эффективный коэффициент концентрации обычно меньше теоретического и лишь для очень хрупких материалов равен ему, т.е. н_ь ? б_кт.

В расчет вводят эффективный коэффициент концентрации. На практике он может быть от 1,1 до 2,5. Значение действительного коэффициента концентрации напряжений определяется опытным путем. При отсутствии экспериментальных данных применяют эмпирические формулы. Когда деталь не имеет резких изменений формы сечения и поверхность ее обработана чисто, но не полирована, н_ь = 1,2+0,2 . Когда имеются резкие переходы, надрезы или выточки, то н_ь = 1,5+1,5 .

2. КОНТАКТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ

Высокие местные напряжения возникают также в местах передачи давления от одного тела другому. Если начальный контакт тел происходит в одной точке или по линии, напряжения называют контактными, а если начальный контакт происходит по некоторой площадке конечных размеров, то напряжения называют напряжениями смятия (Рис. 4.2). В результате деформации контактирующих тел начальный точечный или линейный контакт переходит в контакт по некоторой малой площадке. Давление, передаваемое от одной детали к другой, распределено по контактной площадке неравномерно. Силы давления по площадке контакта распределяются по закону поверхности эллипсоида, а площадка контакта в общем случае имеет форму эллипса. Максимальное давление имеет место в центре площадки контакта.

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ КОНТАКТНОЙ ДЕФОРМАЦИИ:

Модули упругости контактирующих тел приняты одинаковыми

Е₁ = Е₂ = Е, коэффициент Пуассона м = 0,3.

1. Внешний контакт 2-х упругих шаров (Рис.4.2, а)).

При взаимном давлении двух упругих шаров с диаметрами d₁ и d₂ максимальное давление (сжимающее напряжение) у поверхности контактирующих тел в центре площадки определяется по формуле:

2. Внутренний контакт 2-х упругих шаров (Рис.4.2, б)).

Шар диаметром d₁ лежит на вогнутой шаровой поверхности диаметром d₂. Сжимающее напряжение у поверхности контактирующих тел в центре площадки определяется по формуле:

у_мах= 0,62•

3. Контакт шара с плоскостью (Рис.4.2, в)).

При давлении шара на плоскость напряжения вычисляют по предыдущей формуле, если принять d₂ бесконечно большим: у_мах= 0,62• . Для пластичных материалов наиболее опасны не нормальные напряжения, а касательные. Наибольшие касательные напряжения имеют место в точке, расположенной на глубине, примерно равной половине радиуса контактной площадки. Они равны: ф_мах = 0,31? у_мах.

4. Контакт 2-х цилиндров (Рис.4.2, г)).

При контакте цилиндрических тел с параллельными образующими максимальное напряжение определяется по формуле:

у_мах= 0,59• ;

где q--нагрузка, равномерно распределенная по длине цилиндров.

Если в формуле изменить знак плюс на минус, то получим формулу напряжения в случае давления цилиндра на вогнутую цилиндрическую поверхность:

у_мах= 0,59• .

Для других случаев формулы определения контактных напряжений приводятся в справочниках

3. ПЕРЕМЕННЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ. УСТАЛОСТЬ МЕТАЛЛОВ

Многим элементам конструкций и машин приходится работать при периодически меняющихся (по величине и знаку) напряжениях. В подобных условиях работы находятся оси вагонов, рессоры, поршневые штоки, валы и многие другие детали машин.

Переменные напряжения, как показывает практика и специальные исследования, вредно сказываются на прочности конструкции. Случаи поломки поршневых штоков, осей, рессор и т.д. после продолжительной службы, но при напряжениях, далеко не достигших предела прочности, были еще до недавнего времени достаточно частым явлением. Между тем, влияние переменных напряжений, постепенно приближающих материал к разрушению, совершенно не обнаруживается обычными применяемыми методами испытания материалов. Более того, если вырезать из такой поломавшейся детали образец и испытать его, то обычно оказывается, что ни прочность его, ни пластичность не изменились. Характерным является лишь излом образца - он подобен разрушению образца из хрупкого материала.

Разрушение, вызванное многократным действием переменных напряжений, называют усталостным разрушением или усталостью материала.

Исследования процесса разрушения от переменных напряжений показали, что при этом в материале возникает трещина, которая, развиваясь, постепенно проникает вглубь изделия. Переменные напряжения способствуют быстрому росту трещин, так как во время работы края трещины то сближаются, то расходятся. По мере роста трещины усталости поперечное сечение ослабляется все сильнее, и в некоторый момент времени ослабление достигает такой величины, что случайный толчок или удар вызывает разрушение. При этом разрушение происходит резко, мгновенно, т.е. имеет ярко выраженный хрупкий характер даже для пластичных материалов. Поверхность излома от развития трещины усталости имеет две различные зоны (Рис.4.3). Первая зона (1) обычно примыкает к наружной поверхности и имеет мелкозернистую структуру - это область постепенного развития трещины. Вторая зона (2) располагается где-либо в центре излома и имеет крупнозернистое строение - это область мгновенного излома.

Трещины усталости в изделии, как правило, имеют местный характер, не затрагивающий всего материала конструкции в целом. Тем не менее, во многих случаях трещины усталости - явление очень опасное, которое может привести к серьезной катастрофе (поломка оси вагона, разрушение крыла или шасси самолета и т.д.)

Причины, влияющие на возникновение и развитие трещин усталости:

- дефекты строения материала (внутренние трещины, пустоты, шлаковые включения);

- дефекты обработки поверхности детали (царапины, сколы, следы от режущих инструментов);

- эксплуатационные повреждения (риски, забоины, царапины).

Способность материалов сопротивляться разрушению при действии циклических нагрузок называется выносливостью материала.

4. ИСПЫТАНИЯ НА УСТАЛОСТЬ. КРИВАЯ УСТАЛОСТИ.

Для расчета на прочность при действии повторно-переменных напряжений необходимо знать механические характеристики материала. Они определяются путем испытания образцов на специальных машинах. Наиболее простым и распространенным является испытание образцов при симметричном цикле напряжений. Принципиальная схема машины для испытания образцов на изгиб показана на рисунке 4.4.

Образец 1 закрепляется в патроне 2 шпинделя машины, вращающегося с некоторой угловой скоростью. На конце образца посажен подшипник 3, через который передается сила Р постоянного направления. При этом образец подвергается действию изгиба с симметричным циклом. В сечении 1-1 образца в наиболее опасной точке А действует растягивающее напряжение у, т.к. консоль изгибается выпуклостью вверх. Однако, после того как образец повернется на половину оборота, точка А окажется внизу, в сжатой зоне, и напряжение в ней станет - у. После следующей половины оборота образца точка А окажется снова наверху и т.д. При переходе через нейтральную ось напряжение в точке А будет равно нулю.

Для испытания берут 10 одинаковых образцов диаметром 6-10мм с полированной поверхностью. Первый образец нагружают до значительного напряжения у₁, для того чтобы он разрушился при сравнительно небольшом числе N₁ оборотов (циклов). Затем испытывается второй образец, создавая в нем меньшее напряжение у_2, при этом он разрушится при большем числе циклов N₂. Испытав все образцы, результаты испытаний наносят на диаграмму, которая строится в координатах у_мах - N (Рис.4.5). Соединив полученные точки плавной линией, получим кривую, которая называется кривой усталости. Эта кривая характерна тем, что, начиная с некоторого напряжения, она идет практически горизонтально (участок Д-Е). Это означает, что при определенном напряжении образец может, не разрушаясь, выдержать бесконечно большое число циклов.

Наибольшее значение максимального по величине напряжения цикла, которому материал может сопротивляться без разрушения неограниченно долго, называется пределом выносливости (пределом усталости) и обозначается у-₁.

Практически образец из углеродистой стали, выдержавший 10⁷циклов (это число называется базой испытаний), может выдержать их неограниченно много. Поэтому после прохождения 10⁷циклов для стальных образцов опыты прекращают. Напряжение у-_1, соответствующее 10⁷циклов, принимается за предел выносливости. Для цветных металлов и для закаленных сталей не удается установить такое число циклов, выдержав которое, образец не разрушился бы в дальнейшем. Для этих случаев введено понятие предела ограниченной выносливости, как наибольшего по величине максимального напряжения цикла, при котором образец способен выдержать определенное число циклов (обычно 10⁸).

ФАКТОРЫ, ВЛИЯЮЩИЕ НА ВЕЛИЧИНУ ПРЕДЕЛА ВЫНОСЛИВОСТИ

Опыты показывают, что на величину предела выносливости существенно влияют следующие факторы:

-концентрация напряжений;

-размеры детали;

-состояние поверхности;

характер технологической обработки.

Влияние концентрации напряжений.

Резкие изменения формы детали, отверстия, выточки, резьба значительно снижают предел выносливости по сравнению с пределом выносливости для гладких цилиндрических образцов. Это снижение учитывается эффективным коэффициентом концентрации напряжений н_ь, который определяется опытным путем.

Влияние абсолютных размеров тела.

Опыты показывают, что чем больше абсолютные размеры детали, тем меньше предел выносливости. Это влияние учитывается коэффициентом влияния абсолютных размеров сечения (масштабным фактором) н_d, который равен отношению предела выносливости детали размером d к пределу выносливости образца подобной конфигурации, имеющего малые размеры (d₀ = 6 -12мм). Для стали н_ь = 0,55 - 1.

Влияние качества поверхности.

Опыты показывают, что на предел выносливости влияют шероховатость поверхности и поверхностное упрочнение.

С увеличением шероховатости поверхности предел выносливости понижается. Отношение предела выносливости образцов с заданной шероховатостью поверхности к пределу выносливости образца с полированной поверхностью называется коэффициентом влияния шероховатости поверхности и обозначается н_F. Обычно н_F = 0,25 - 1,0.

Для повышения сопротивления усталости широко применяются различные виды упрочнения поверхности деталей (наклеп, термохимическая обработка, поверхностная закалка и т. д.). Отношение предела выносливости упрочненных образцов к пределу выносливости неупрочненных образцов называется коэффициентом влияния поверхностного упрочнения и обозначается н_v. Обычно н_v = 1,1 - 2,8.

ПУТИ ПОВЫШЕНИЯ ВЫНОСЛИВОСТИ

Применение возможно более однородных материалов с мелкозернистой структурой, свободных от внутренних очагов концентрации напряжений (трещин, газовых пузырьков, неметаллических включений).

Придание деталям плавных очертаний, при которых была бы уменьшена концентрация напряжений.

Необходимо тщательно обрабатывать поверхность детали, вплоть до полировки, устраняя малейшие царапины, риски.

Применение специальных методов повышения выносливости материала (поверхностное упрочнение, тренировка деталей кратковременными повышенными нагрузками).

Поверхностная обработка деталей с целью улучшения качества поверхности (насыщение поверхности детали различными элементами, поверхностная закалка).

Вопросы для самопроверки

1. Что такое концентрация напряжений?

2. В чем отличие теоретического коэффициента концентрации от действительного коэффициента концентрации?

3. Дать понятие о местных напряжениях.

4. Дать понятие о контактных напряжениях и от чего они зависят?

5. Дать понятие о кривой усталости.

6. Что такое предел выносливости (усталости).

7. Факторы, влияющие на величину предела выносливости.

ТЕМА 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ

1. ПОЛОЖЕНИЕ ЦЕНТРОВ ТЯЖЕСТИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ

Сила, с которой тело притягивается к Земле, называется силой тяжести.

Центром тяжести тела называется центр параллельных сил тяжести всех элементарных частиц тела.

Основные положения:

Если однородное тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести тела лежит в этой плоскости;

Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела лежит на этой оси;

Если однородное тело имеет две оси симметрии, то центр тяжести находится в точке их пересечения;

Центр тяжести однородного тела вращения лежит на оси вращения.

Положение центров тяжести некоторых фигур:

Центр тяжести квадрата, ромба и параллелограмма также находится в точке пересечения их осей симметрии.

2. СТАТИЧЕСКИЕ МОМЕНТЫ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ.

При некоторых деформациях прочность деталей зависит не только от площади поперечного сечения, но и от его формы. До сих пор мы изучали деформации, у которых напряжения зависели только от площади поперечного сечения. В дальнейшем для изучения деформаций кручения и изгиба нам потребуется знание некоторых других геометрических характеристик плоских фигур.

Статическим моментом плоского сечения относительно оси, лежащей в плоскости сечения, называется взятая по всей площади сечения сумма произведений площадей элементарных площадок на их расстояние до этой оси.

Статический момент обозначается буквой S c индексом, указывающим ось (Рис.5.5).

где - F- площадь всего сечения; х_с и у_с -координаты центра тяжести площади сечения.

Измеряются статические моменты в единицах длины в третьей степени (мм³, см³ или м³).

Площадь сечения всегда имеет положительное значение, а координата центра тяжести сечения может быть положительной или отрицательной. Значит, статические моменты могут быть как положительными, так и отрицательными.

Ось, проходящая через центр тяжести сечения, носит название центральной оси.

Статический момент сечения относительно любой центральной оси равен нулю.

Очевидно, статический момент симметричного сечения относительно его оси симметрии всегда равен нулю. При вычислении статического момента сложного сечения его разбивают на простые части и алгебраически суммируют статические моменты этих простых частей сечения:

S_х = S_1х+ S_2х+ *** + S_nх,

где S_х--статический момент относительно оси х всей фигуры;

S_1х, S_2х, …, S_nх -- статические моменты отдельных простых частей фигуры относительно оси х.

Координаты центров тяжести сложных сечений вычисляются по формулам:

x_с = ;

y_с = .

где F₁, F₂,…, F_n - площади простых частей, на которые разбито сложное сечение. Очевидно, что сумма этих площадей равна площади всего сечения: F= F₁+ F₂+…+ F_n.

3. МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ.

Осевым моментом инерции сечения называется взятая по всей площади сечения сумма произведений площадей элементарных площадок на квадраты их расстояний до данной оси (см. Рис.5.5).

Осевые моменты инерции всегда положительны и не могут быть равны нулю. Осевые моменты инерции измеряются в единицах длины в четвертой степени (см⁴, мм⁴, м⁴).

Центробежным моментом инерции сечения называется взятая по всей площади сечения сумма произведений площадей элементарных площадок на их расстояния до двух взаимно перпендикулярных осей.

Центробежный момент инерции, так же как и осевой, измеряется в единицах длины в четвертой степени. Центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным или может быть равным нулю. Если взаимно перпендикулярные оси х и у или одна из них являются осью симметрии плоской фигуры, то относительно таких осей центробежный момент инерции равен нулю.

Полярным моментом инерции плоской фигуры относительно полюса, лежащего в той же плоскости, называется взятая по всей площади сумма произведений площадей элементарных площадок на квадраты их расстояний до полюса (Рис.5.6).

Полярный момент инерции сечения относительно его центра тяжести характеризует с геометрической стороны жесткость брусьев, имеющих круглое или кольцевое сечение и работающих на кручение.

Полярный момент инерции обозначим:

Единица полярного момента инерции

[I_с] = [с²]*[F] = м²*м² = м⁴.

Полярный момент инерции - величина всегда положительная и не равная нулю.

Зависимость между осевыми и полярными моментами инерции.

Сложим моменты инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей х и у.

Следовательно,

Полярный момент инерции относительно какой-либо точки равен сумме осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей, проходящих через эту точку.

МОМЕНТЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ.

Полярным моментом сопротивления плоской фигуры относительно какого-либо центра (полюса), лежащего в плоскости фигуры, называется отношение момента инерции относительно того же центра к расстоянию от центра до наиболее удаленной точки фигуры. Для фигуры, показанной на Рис.5.6.

W_с=.

где W_с- полярный момент сопротивления фигуры относительно центра О;

с_max- расстояние от центра до наиболее удаленной точки фигуры.

Осевым моментом сопротивления плоской фигуры относительно какой-либо оси, лежащей в плоскости фигуры, называется отношение момента инерции относительно той же оси к расстоянию от оси до наиболее удаленной точки фигуры.

Для фигуры, показанной на Рис.5.6,

W_х=; W_у=.

где W_х и W_у- соответственно моменты сопротивления фигуры относительно осей х и у;

х_max и у_max- расстояния от осей до наиболее удаленных точек фигуры.

Моменты сопротивления измеряются единицами длины в третьей степени (см³, м³,мм³).

4. МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ПРОСТЫХ СЕЧЕНИЙ: ПРЯМОУГОЛЬНИКА, КРУГА, КОЛЬЦА, КВАДРАТА, ТРЕУГОЛЬНИКА.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется статическим моментом сечения относительно оси? Какую размерность он имеет?

2. Что называется осевым, полярным и центробежным моментами инерции сечения? Какую

размерность они имеют?

3. Чему равен статический момент относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения? Какие оси называются центральными?

4. Что называется центром тяжести сечения?

5. Как определяются координаты центра тяжести простого и сложного сечения?

6. Как в некоторых случаях без расчетов можно определить знак центробежного момента инерции для заданного сечения.

7. Какие оси называются главными центральными? В каких случаях без вычисления можно установить положение главной центральной оси инерции?

8. Чему равны главные центральные моменты инерции для прямоугольника и круга?

9. Что называется моментом сопротивления фигуры (сечения).

ТЕМА 6. СДВИГ И КРУЧЕНИЕ

1. ДЕФОРМАЦИЯ СДВИГА. Параметры сдвига.

Деформация сдвига образуется при смещении одного сечения тела относительно другого при неизменном расстоянии между ними. В частности, сдвиг может быть вызван действием двух равных, параллельных и противоположно направленных сил, расположенных на близком расстоянии друг от друга перпендикулярно к оси стержня (Рис.6.2). Детали, служащие для соединения отдельных элементов машин и механизмов (шпильки, заклепки, болты, сварные швы, врубки и др.) во многих случаях воспринимают нагрузки, перпендикулярные к их продольной оси, т.е. испытывают деформацию сдвига (Рис.6.1).

Чистым сдвигом называется плоское напряженное состояние, при котором по граням выделенного из тела прямоугольного элемента действуют только касательные напряжения.

Деформация сдвига, доведенная до разрушения материала, называется срезом (применительно к металлическим деталям) или скалыванием (применительно к неметаллическим конструкциям).

Рассмотрим деформацию бруса при сдвиге под воздействием двух противоположно направленных сил (Рис.6.2).

При деформации сдвига прямоугольник аbсd превращается в параллелограмм аbc₁d₁. Сечение сd под действием силы Р сдвигается вниз относительно сечения аb.

Величина, на которую одно сечение сдвигается относительно другого, очень близко расположенного, сечения называется абсолютным сдвигом. Он обозначается Дh. Абсолютный сдвиг зависит от расстояния h между линиями действия сил. Чем больше это расстояние, тем больше будет и величина абсолютного сдвига. Более удобной мерой определения деформации сдвига является относительный сдвиг, который не зависит от расстояния между силами.

Относительный сдвиг - это отношение абсолютного сдвига к расстоянию между действующими силами, он выражается в радианах: tgг = ? г, где г-угол сдвига, численно равный относительному сдвигу, т.к. он очень мал, то tgг ? г.

2. Внутренние усилия и напряжения при сдвиге.

При деформации сдвига возникают внутренние силы, которые препятствуют сдвигу одной плоскости сечения относительно другой. Эти внутренние силы характеризуют напряжение. Для определения величины напряжения применим метод сечений. Мысленно рассечем брус между двумя срезывающими силами и отбросим вторую часть (Рис.6.3). Ее действие на оставшуюся часть заменим внутренними силами, в сумме равными Р. При сдвиге возникает поперечная сила Q = Р. Она направлена перпендикулярно оси бруса, лежит в плоскости сечения, следовательно, напряжения будут касательными:

3. ЗАКОН ГУКА ПРИ СДВИГЕ

При сдвиге, как и при растяжении, справедлив закон Гука: Касательное напряжение при сдвиге прямо пропорционально относительному сдвигу:

ф = G· г

Коэффициент G называется модулем упругости при сдвиге или модулем сдвига. Он характеризует жесткость сечения при сдвиге и имеет размерность напряжения. Между величинами модуля упругости Е и модуля сдвига G для одного и того же материала существует зависимость

G =. Для стали м?0,25, получим G_ст? 0,4Е_ст.

Для практических расчетов по определению компонентов сдвига применяется формула Гука:

где: Р - сдвигающее усилие;

h - расстояние между сдвигающими силами;

G - модуль сдвига;

F - площадь поперечного сечения.

Произведение G•F называется жесткостью сечения при сдвиге.

Расчет на сдвиг элементов конструкций.

4. ЗАКОН ГУКА ПРИ СДВИГЕ.

Условие прочности детали заключается в том, что наибольшее возникающее в ней напряжение (рабочее напряжение) не должно превышать допускаемое. Расчетная формула при сдвиге:

По этой формуле проверяют прочность, подбирают поперечное сечение и определяют допускаемую нагрузку.

1. Проверка прочности. При этом определяют максимально действующие рабочие напряжения и сравнивают их с допускаемыми. Если действующие напряжения меньше допускаемых, то прочность бруса соблюдается.

2. Определение безопасного поперечного сечения. По известным допускаемым напряжениям и действующей нагрузке определяется безопасное поперечное сечение: F ? Q ? [ф_c ]

3. Определение допускаемой нагрузки. По известным допускаемым напряжениям и площади поперечного сечения определяют максимально допускаемую нагрузку: Q ? F·[ф_c].

5. СМЯТИЕ И РАСЧЕТ НА СМЯТИЕ.

Расчет на сдвиг является приближенным, т.к. сдвиг всегда сопровождается смятием.

Смятием называется местная деформация сжатия, которая возникает в месте соприкосновения двух сжимаемых тел. Смятие возникает только на поверхности заклепок, болтов и не распространяется на большую глубину. Рассмотрим возникновение смятия в заклепочном соединении (Рис.6.4).

На листы будут действовать противоположно направленные силы Р, которые сминают стержень заклепки. Если материал заклепки более твердый чем материал листов, то сминаться будут листы.

При смятии возникают нормальные напряжения у_смят, которые для простоты расчета считают равномерно распределенными по плоскости контакта:

у_смят=

где F_смят = d•д•n -- площадь смятия.

n, d - число заклепок и диаметр заклепки;

д - толщина листа;

Условие прочности при смятии имеет вид:

у_смят=? [у_смят]

где [у_смят] - допускаемое напряжение на смятие

- для стали [у_смят]= (2-2,5) [у];

- для дерева [у_смят] = (0,25-0,8) [у].

Расчет заклепочного или болтового соединения выполняется с учетом одновременного действия сдвига и смятия. Прочность соединения будет обеспечена, если выполняются условия:

ф = Q/F ? [ф_c] и у_смят = Р / F_смят ? [у_смят].

6. ДЕФОРМАЦИЯ кручения, скручивающий и крутящий моменты

Кручением называется такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении бруса возникает только крутящий момент. Деформации кручения возникают, если к прямому брусу в плоскостях, перпендикулярных оси, приложить пары сил (Рис. 6.5).

Моменты внешних пар называют скручивающими (вращающими) моментами и обозначают - m (М). Деформации кручения подвергаются валы, пружины, рессоры и т. д.

Рассмотрим деформацию кручения круглого стержня.

При скручивании стержня образующая АВ превратилась в винтовую линию АВ₁, концевое сечение повернулось относительно закрепленного сечения вокруг оси ОО₁ на угол ц, радиус О₁В занял положение О₁В₁. Деформация кручения круглого цилиндра заключается в повороте поперечных сечений относительно друг друга вокруг оси кручения, причем углы поворота их прямо пропорциональны расстояниям от закрепленного сечения. Угол поворота сечения равен углу закручивания части цилиндра, заключенной между данным сечением и заделкой.

Угол поворота концевого сечения называется полным углом закручивания. Относительным углом закручивания ц_о называется отношение угла закручивания ц к расстоянию данного сечения от заделки.

При кручении также возникает деформация сдвига, но не за счет поступательного, а в результате вращательного движения одного поперечного сечения относительно другого. Для нахождения внутренних усилий и напряжений, возникающих в сечениях бруса при кручении, применим метод сечений. Мысленно рассечем брус в любом месте и отбросим правую его часть, а к левой части приложим внутренние силы. Для равновесия левой части внутренние силы упругости в сечении должны уравновешивать внешнюю пару с моментом М.

Результирующий момент внутренних касательных сил, действующий в плоскости сечения, называется крутящим моментом в сечении М_к (Рис.6,6).

Условие равновесия: М_к - М = 0 или М_к = М. Итак, при кручении бруса внешней парой сил, крутящий момент в поперечных сечениях численно равен моменту внешних сил.

Зависимость между величиной момента, действующего на вал и передаваемой мощностью N:

- если мощность измеряется в лошадиных силах (л.с.), а обороты - в оборотах в минуту, то

М_к = М = 716,2 N/n ; кг•м;

- если мощность измеряется в киловаттах (кВт), а обороты - в оборотах в минуту, то

М_к = М = 97400 N/n ; кг•см.

ЭПЮРЫ КРУТЯЩИХ МОМЕНТОВ

Для определения напряжений и деформаций вала нужно знать величины крутящих моментов, действующих на отдельных участках. Диаграмма, показывающая величины крутящего момента по длине вала называется эпюрой крутящих моментов.

Рассмотрим вал со шкивами (Рис.6,7). Передаточный вал через ременную передачу и шкив А получает от двигателя крутящий момент М_а. Этот момент через шкивы В, С, Д затрачивается на преодоление сопротивления вращению деталей. Условие равновесия: М_А= М_В+М_С+М_Д

На валу между шкивами действуют крутящие моменты разной величины. Так как равномерно вращающийся вал находится в равновесии, то внутренние силы, возникающие в поперечном сечении должны уравновешивать внешние моменты, действующие на рассматриваемую часть бруса. Отсюда можно сделать вывод, что крутящий момент в любом поперечном сечении численно равен алгебраической сумме внешних моментов, приложенных к брусу справа или слева от сечения.

Правило знаков для крутящего момента:

Если наблюдатель смотрит на поперечное сечение со стороны внешней нормали и видит крутящий момент направленным против часовой стрелки, то момент считается положительным. При противоположном направлении момент считается отрицательным.

Для построения эпюры крутящего момента необходимо следующее:

Провести линию А₁Д₁, параллельную оси вала. В точке А₁ на перпендикуляре отложить величину М_А, т.к. он направлен против часовой стрелки, то величина момента откладывается вверх. Этот момент не изменяется до шкива В. За шкивом В на валу остается момент М_А-М_В. Ему соответствует ордината эпюры в точке В₁. За шкивом С остается момент М_А-М_В-М_С. Ему соответствует ордината эпюры в точке С₁. Этот момент будет равен моменту М_Д. Эпюра крутящих моментов вала показывает, что наиболее нагруженным участком вала будет участок между шкивами А и В, передающий наибольший крутящий момент.

7. НАПРЯЖЕНИЕ И ДЕФОРМАЦИЯ ПРИ КРУЧЕНИИ.

Зная, что при кручении происходит деформация сдвига, можно считать, что в точках поперечного сечения бруса возникают только касательные напряжения, перпендикулярные радиусу, соединяющему эти точки с осью кручения. Зная величину относительного сдвига г, можно по закону Гука определить величину касательного напряжения в любой точке сечения на расстоянии с от центра: ф = Gг = ф_max; где r-радиус бруса.

Из формулы следует, что напряжения по поперечному сечению бруса меняются прямо пропорционально расстоянию от рассматриваемой точки до центра сечения или меняется по длине радиуса по закону прямой линии. Рассмотрим эпюру распределения касательных напряжений при кручении бруса (Рис. 6.8). Так как сдвиг элементов происходит по направлению касательных к окружностям, то касательные напряжения направлены перпендикулярно к соответствующему радиусу.

Для практических расчетов применяется формула для нахождения величины касательных напряжений в любой точке поперечного сечения:

ф = с или для нахождения максимальных напряжений: ф_max =

Если на участке бруса крутящий момент и полярный момент инерции сечения постоянны, то угол закручивания участка (в радианах)- определяется по формуле:

ц = или в градусах ц =

где l -- длина рассматриваемого участка; G•I_с - жесткость поперечного сечения бруса при кручении.

Если брус ступенчатый и крутящий момент скачкообразно изменяется по его длине, то полный угол закручивания бруса может быть определен суммированием углов закручивания по участкам, в пределах которых М_К и I_с постоянны:

ц =

Угол закручивания на единицу длины бруса называется относительным углом закручивания. Он обозначается и и определяется из выражений:

и = , [рад/см, рад/м]; или и⁰ = , [град/м].

8. расчет круглых стержней на прочность и жесткость при кручении.

1. Расчет на прочность.

Условие прочности бруса состоит в том, что наибольшее касательное напряжение в опасном сечении не должно превышать допускаемого напряжения: ф_max = ? [ф]

где [ф] - допускаемое касательное напряжение при кручении, устанавливаемое в зависимости от материала, характера работы конструкции и других условий. Для пластичных материалов принимают [ф] ? (0,55 - 0,6) [у_р].

Пользуясь условием прочности, можно выполнить следующие виды расчетов на прочность.

1. Проверка прочности (проверочный расчет):

Определив максимальный крутящий момент в поперечном сечении бруса и полярный момент сопротивления сечения, находим максимальные касательные напряжения по формуле

ф_max = М_К / W_Р и сравниваем их с допускаемыми [ф]. Если максимальные рабочие напряжения меньше допускаемых, то прочность бруса соблюдается.

2. Подбор сечения (проектный расчет):

Определив крутящий момент в поперечном сечении бруса и, зная [ф], находим требуемое значение полярного момента сопротивления: W_Р = М_К / [ф]. Затем, исходя из формы поперечного сечения, находим диаметр бруса.

...