Типовой конспект по сопромату

3. Расчет допускаемой нагрузки:

Определив полярный момент сопротивления сечения бруса и, зная [ф], находим допускаемое значение крутящего момента: [М_К] = W_Р·[ф]

4. Расчет на жесткость.

Для нормальной работы бруса и связанных с ним деталей он должен иметь достаточную жесткость, т.е. наибольший относительный угол закручивания бруса не должен превышать допускаемого значения.

Условие жесткости бруса: и =? [ и ] или и⁰ =? [ и⁰] ,

где [и] = (0,45-1,75)·10^-2 рад/м, и [и⁰] = 0,25-1,0 ⁰/м -- допускаемые относительные углы закручивания.

Пользуясь условием жесткости, можно выполнить следующие виды расчетов на прочность:

1. Проверка жесткости (проверочный расчет):

В этом случае заданы крутящий момент, размеры и материал бруса, а также допускаемый угол закручивания. Расчет производится по одной из вышеприведенных формул. Если полученный относительный угол закручивания бруса меньше допускаемого, то жесткость бруса соблюдается.

2. Подбор сечения по условию жесткости (проектный расчет):

Определив крутящий момент в поперечном сечении бруса и, зная относительный угол закручивания, найдем полярный момент инерции, и затем диаметр бруса: I_Р ? .

Из двух значений диаметра, определенных по условиям прочности и жесткости, принимается большее.

3. Определение допускаемого крутящего момента:

Из условия жесткости находим величину допускаемого крутящего момента: [М_К] = G·I_Р·[и].

9. Расчетно-графическая работа № 2. «Расчет стержня на прочность и жесткость при кручении»

Задача. Для стального бруса постоянного круглого сечения (Рис.6.9.а)):

1. Определить величину и построить эпюру крутящих моментов;

2. Определить требуемый диаметр бруса из расчета на прочность и жесткость;

3. Определить величину и построить эпюру максимальных касательных напряжений;

4. Определить величину и построить эпюры абсолютных и относительных углов поворота поперечных сечений.

Вариант 0.

m₁ = 60 кГ·м; m₂ = 50 кГ·м; m₃ =30 кГ·м; а = 300мм; b = 300мм; с = 400 мм; d = 100 мм

G = 8·10⁵ кГ/см²; [ф] = 500 Н/мм²; [?⁰] = 1 град/м; В = 0,52.

Решение:

1. Определение величины и построение эпюры крутящих моментов.

Из условия равновесия ? m_i = 0 найдем реактивный момент в защемлении:

m₀ - m₁ + m₂ - m₃ = 0; m₀ = m₁ - m₂ + m₃ = 60 - 50 + 30 = 40 кГ·м.

Пользуясь методом сечений, определим крутящие моменты в произвольном сечении каждого из участков бруса (Рис.6.9.б)).

По полученным данным строим эпюру М_К (Рис.6.9.в)), из которой видно, что участок I бруса является наиболее опасным, т.к. в поперечных сечениях этого участка крутящий момент имеет максимальное значение:

М_{К МАХ} = 40 кГ·м = 4000 кГ·см

2. Определение требуемого диаметра бруса из расчета на прочность и жесткость.

Определяем диаметр бруса:

а) из условия прочности по формуле: = ;

б) из условия жесткости по формуле:

Окончательно принимаем большее из полученных значений с некоторым округлением в большую сторону

Определим полярный момент сопротивления и полярный момент инерции сечения:

W_с = I_с =

3. Определение величины и построение эпюры максимальных касательных напряжений.

Величина максимальных касательных напряжений, возникающих в поперечных сечениях отдельных участков бруса будет равна:

= ; =

= ; = .

По полученным данным строим эпюру (Рис.6.9г)).

4. Определение величины и построение эпюр абсолютных и относительных углов поворота поперечных сечений.

Углы поворота граничных сечений участков относительно неподвижного сечения О определяются по формуле:

ц =

В пределах между границами участков величины углов поворота изменяются по линейному закону. Жесткость поперечного сечения рассчитываемого бруса: G·I_с = 8·10⁵ ·30,6 = 245·10⁵ кГ·см².

Угол поворота сечения А относительно сечения О:

ц_А,О = .

Угол поворота сечения В относительно сечения А:

ц_В,А = .

Угол поворота сечения В относительно сечения О:

ц_В,О = ц_В,А + ц_А,О = - 0,14 + 0,28 = 0,14⁰.

Угол поворота сечения С относительно сечения В:

ц_С,В = .

Угол поворота сечения С относительно сечения О:

ц_С,О = ц_С,В + ц_В,О = 0,14 + 0,28 = 0,42⁰.

Угол поворота сечения D относительно сечения С и сечения D относительно сечения О:

ц_D,C = 0; ц_D,О = ц_С,О = 0,42⁰.

По полученным данным строим эпюру абсолютных углов поворота поперечных сечений (Рис.6.9.д)).

Определяем относительные углы закручивания на отдельных участках бруса:

?^I = град/м; ?^II = град/м;

?^III = град/м; ?^IV = град/м.

По полученным данным строим эпюру относительных углов поворота поперечных сечений (Рис.6.9.е)).

10. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР КРУТЯЩИХ МОМЕНТОВ.

Построить эпюру крутящих моментов для вала, если шкив 1 получает от двигателя мощность N₁ = 52 л.с. при частоте вращения вала n = 240 об/мин, а шкивы 2, 3 и 4 соответственно снимают мощности N₂ = 15 л.с., N₃ = 17 л.с. и N₄ = 20 л.с. (Рис.6.10)

Решение:

Вычисляем значение моментов, передаваемых шкивами.

Момент, передаваемый шкивом 1:

М₁ = 716,2 ·N₁ / n = 716,2 ·52 / 240 = 155 кГ·м.

Моменты, передаваемые остальными шкивами:

М₂ = 716,2 ·N₂ / n = 716,2 ·15 / 240 = 44,8 кГ·м;

М₃ = 716,2 ·N₃ / n = 716,2 ·17 / 240 = 50,7 кГ·м;

М₄ = 716,2 ·N₄ / n = 716,2 ·20 / 240 = 59,5 кГ·м.

Чтобы система находилась в равновесии, сумма моментов должна быть равна нулю.

М₁ + М₂ + М₃ + М₄ = 0; 155 - 44,8 - 50,7 - 59,5 = 0.

Для построения эпюры крутящих моментов проведем поперечное сечение на участке между шкивами 1 - 2 и рассмотрим действие левой отброшенной части на правую. Слева в сечении а - а возникает крутящий момент Мк_1-2 = М₁ = 155 кГ·м.

Далее находим крутящий момент в поперечных сечениях участков между шкивами 2 - 3 и

3-4: Мк_2-3 = М₁ - М₂ = 155 - 44,8 = 110.2 кГ·м.

Мк_3-4 = М₁ - М₂ - М₃ = 155 - 44,8 - 50,7 = 59,5кГ·м = М₄.

Для построения эпюры крутящих моментов проведем горизонталь О-О и от нее отложим ординаты, пропорциональные величинам крутящих моментов в поперечных сечениях соответствующих участков вала. Эпюра крутящих моментов наглядно показывает, что наиболее нагруженным участком данной системы шкивов будет участок между первым и вторым шкивом. Применяя правило знаков, увидим, что крутящие моменты по длине системы положительны.

11. решение задач по расчету элементов конструкций на прочность и жесткость при сдвиге, смятии и кручении

Вопросы для самопроверки

1. В чем заключается сущность деформации сдвига?

2. Какие внутренние усилия возникают при сдвиге?

3. Закон Гука при сдвиге.

4. Расчет на прочность при сдвиге.

5. При каком нагружении стержень испытывает деформацию кручения?

6. Что называется валом? Какие внутренние силовые факторы возникают в поперечном сечении скручиваемого стержня и как они вычисляются?

7. Как вычисляется момент, передаваемый шкивом, по заданной мощности и числу оборотов в минуту?

8. Какие напряжения возникают в поперечном сечении круглого бруса при кручении, как они направлены и как вычисляются?

9. В чем заключается условие прочности при кручении?

10. Что называется жесткостью поперечного сечения при кручении?

11. Сформулируйте условие жесткости для скручиваемого стержня.

ТЕМА 7. ИЗГИБ

1. Сущность явления изгиба. ВИДЫ ИЗГИБА.

Изгиб - это явление, состоящее в том, что первоначально прямая ось бруса искривляется, причём волокна у выпуклой стороны бруса удлиняются, а у вогнутой - укорачиваются (Рис.7.1).

Чистым изгибом называется такой вид нагружения бруса, при котором в его поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор - изгибающий момент.

Поперечным изгибом называется такой вид нагружения бруса, при котором в его поперечных сечениях возникают изгибающий момент и поперечная сила.

Если плоскость действия изгибающего момента проходит через одну из главных центральных осей поперечного сечения бруса, то изгиб называется простым или плоским или прямым. Все внешние силы при прямом изгибе бруса действуют в его главной плоскости (Рис.7.2), искривление бруса происходит в той же плоскости.

Если плоскость действия изгибающего момента не совпадает ни с одной из главных центральных осей поперечного сечения бруса, то изгиб называется косым (Рис.7.3).

2. Типы балок и их опор. Определение опорных реакций.

Брусья, работающие на изгиб, называются балками.

3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПОРНЫХ РЕАКЦИЙ

В общем случае на балку могут действовать следующие нагрузки, вызывающие изгиб балки (Рис.7.4).

где Р - сосредоточенная сила; q = const - равномерно распределенная нагрузка;

m - сосредоточенный момент; q = f(z) - неравномерно распределенная нагрузка.

Для определения опорных реакций необходимо составить два уравнения равновесия: равенство нулю алгебраической суммы вертикальных сил и равенство нулю суммы моментов этих сил относительно любой точки оси балки (или равенство нулю сумм моментов сил относительно двух точек). Определение опорных реакций - первый и самый ответственный момент расчета балки на прочность и жесткость. Во избежание ошибки при определении опорных реакций следует составить третье контрольное уравнение равновесия.

4. ВНУТРЕННИЕ УСИЛИЯ ПРИ ИЗГИБЕ И ИХ ОПРЕДЕЛЕНИЕ.

При плоском поперечном изгибе в поперечных сечениях балки возникают два внутренних силовых факторов -- изгибающий момент М и поперечная сила Q (Рис.7.5).

Для их определения применим метод сечений: на расстоянии z от левой опоры сделаем мысленно разрез, отбросим правую часть, а её действие на левую заменим внутренними усилиями.

Для определения М и Q составим два уравнения равновесия:

1. УУ = 0; V_A-Р₁+ Q = 0; Q = Р₁- V_A; Q = У(Р_i)_у.

2. УМ₀ = 0; V_A z-Р₁(z-а)-М = 0; М = V_A z-Р₁(z-а); М = Уm₀(Р_i).

Таким образом,

1) поперечная сила Q в поперечном сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций на плоскость сечения всех внешних сил, действующих по одну сторону от сечения;

2) изгибающий момент в поперечном сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов внешних сил относительно центра тяжести сечения, действующих по одну сторону от данного сечения.

ПРАВИЛО ЗНАКОВ ДЛЯ ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ.

Поперечная сила в сечении балки считается положительной, если равнодействующая внешних сил слева от сечения направлена вверх, а справа от сечения вниз, и отрицательной - в противоположном случае (Рис.7.6).

Изгибающий момент в сечении балки считается положительным, если равнодействующий момент внешних сил слева от сечения направлен по часовой стрелке, а справа - против часовой стрелки (т.е. балка изгибается выпуклостью вниз), и отрицательным - в противоположном случае (т.е. балка изгибается выпуклостью вверх) (Рис.7.7).

5. НОРМАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЯХ БАЛКИ ПРИ ЧИСТОМ ИЗГИБЕ

Найдём зависимость между величиной нормальных напряжений, возникающих в поперечных сечениях балки, и внешними силами, вызывающими изгиб балки. Найдём величину удлинения волокна балки при чистом изгибе.

При изгибе все волокна, кроме принадлежащих нейтральному слою, изменяют свою длину (Рис.7.8).

Эта зависимость определяет закон распределения нормальных напряжений по поперечному сечению балки:

Величина нормальных напряжений в какой-либо точке сечения прямо пропорциональна расстоянию от этой точки до нейтральной оси (Рис.7.9).

Для практических расчетов при определении нормальных напряжений применяются формулы:

- для определения напряжений в любой точке поперечного сечения балки

у =

где у - нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения;

М_Х - изгибающий момент в поперечном сечении балки;

у - расстояние от нейтральной оси до данной точки;

I_Х - момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси.

- для определения максимальных нормальных напряжений в наиболее удаленных от нейтральной оси точках

где W_Х - осевой момент сопротивления сечения.

6. ПОНЯТИЕ О НАПРЯЖЕНИЯХ ПРИ ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ.

При поперечном изгибе в поперечных сечениях балки наряду с изгибающим моментом возникает и поперечная сила. Поэтому в поперечных сечениях кроме нормальных напряжений также возникают и касательные напряжения. Касательные напряжения в балках симметричного сечения определяются по формуле Д.И.Журавского:

где Q - поперечная сила в сечении;

S_Х - статический момент относительно нейтральной оси части поперечного сечения, расположенной по одну сторону от рассматриваемых волокон;

I - момент инерции сечения относительно нейтральной оси;

b - ширина сечения на уровне волокон, где определяются напряжения.

Наибольшее значение имеет вычисление наибольших по величине касательных напряжений, которые возникают на высоте нейтрального слоя балки. Их величина определяется по формуле:

где S_мах - статический момент относительно нейтральной оси части поперечного сечения, лежащей по одну сторону (выше или ниже) от этой оси.

7. ПЕРЕМЕЩЕНИЕ ПРИ ИЗГИБЕ

Под действием внешних сил, вызывающих чистый изгиб балки, её первоначально прямая ось искривляется, превращаясь в кривую линию, которая называется изогнутой осью или упругой линией балки. По форме, которую при нагружении балки принимает ее упругая линия, можно судить об угловых и линейных перемещениях при изгибе. Рассмотрим консоль, нагруженную силой Р (Рис.7.10)

Под действием нагрузки Р, перпендикулярной оси балки, ось балки искривляется, сечение А перемещается вниз на величину у и поворачивается на угол и.

Перемещение центра тяжести сечения по направлению, перпендикулярному оси балки, называется прогибом балки в данной точке и обозначается у.

Угол и, на который сечение поворачивается по отношению к своему первоначальному положению, называется углом поворота сечения. Ему будет равен угол между касательной к данной точке изогнутой оси и первоначальной осью балки, который определяется более просто.

Максимальный прогиб называется стрелой прогиба, и обозначают f.

При чистом изгибе кривизна изогнутой оси определяется по формуле:

,

где ЕI_х - жесткость поперечного сечения балки при изгибе.

Если ось у направлена вниз, то правая часть равенства берется со знаком минус.

8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ИЗОГНУТОЙ ОСИ БАЛКИ И ЕГО ИНТЕГРИРОВАНИЕ. УСЛОВИЕ ЖЕСТКОСТИ

При малых перемещениях . Таким образом,

приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси имеет вид: у^II = .

После первого интегрирования данного уравнения получается уравнение углов поворота поперечных сечений:

и = у^I = ;

после второго интегрирования - получается уравнение прогибов:

у = .

где С и D постоянные интегрирования, которые определяются из условий опирания балки (граничных условий). Например, для консоли, в месте заделки, равны нулю и прогиб, и угол поворота сечения. Определив постоянные интегрирования из уравнений можно определить угол поворота и прогиб любого сечения.

Во многих случаях при эксплуатации максимальные прогибы балок ограничиваются определенной величиной - допускаемым прогибом [ y ]. Допускаемый прогиб зависит от назначения конструкции. В машиностроении норма допускаемого прогиба колеблется в широких пределах, и в зависимости от назначения детали принимают

[ y ] = ( 1/1000 ч 1/300)l, где l - пролет балки.

Условие жесткости при изгибе имеет вид: у ? [ y ].

9. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФОРМЫ СЕЧЕНИЯ БАЛОК.

Наиболее выгодными сечениями балок с точки зрения затрат материала являются такие, у которых наибольшая доля материала размещена в верхней и нижней частях сечения, где напряжения наибольшие и материал поэтому наиболее полно используется (Рис.7.11).

Для количественной оценки рациональности сечения (по затрате материала) может служить безразмерная величина : щ_х = , называемая осевым удельным моментом сопротивления. Величина щ_х зависит только от формы сечения. В таблице 7.1. приведены значения щ_х для некоторых наиболее распространенных сечений.

Таблица 7.1.

Тип сечения	щх
Круг	0,14
Квадрат	0,167
Кольцо с = d/D = 0,9	0,58
Швеллер	0,57 - 1,35
Двутавр обыкновенный	1,02 - 1,51

Наименее выгодными являются круглое, квадратное и подобные им сечения (Рис.7.12), у которых большое количество материала расположено у нейтральной оси, где материал напряжен весьма мало.

Поэтому в машиностроении редко применяют металлические балки прямоугольного, круглого сечений, но весьма широко распространены прокатные профильные балки таврового, двутаврового, углового, швеллерного и других сечений. Геометрические характеристики прокатных профилей приведены в таблицах нормального сортамента ГОСТ 8239-89 «Балки двутавровые», ГОСТ 8240-89 «Швеллеры», ГОСТ 8509-86 «Сталь прокатная угловая равнополочная».

10. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ИЗГИБЕ

При изгибе проверку прочности и подбор сечений балок обычно производят исходя из условия, чтобы наибольшие нормальные напряжения в поперечных сечениях не превосходили допускаемых напряжений [у].

Для балок из материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию (сталь, дерево), следует выбирать сечения, симметричные относительно нейтральной оси (прямоугольное, круглое, двутавровое), чтобы наибольшие растягивающие и сжимающие напряжения были равны между собой. В этом случае условие прочности имеет вид:

.

Если балки изготовлены из материалов, не одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию (чугун), то выгодны сечения, несимметричные относительно нейтральной оси. В этом случае условия прочности имеют вид:

где у_РАСТ и у_СЖ -- расстояния от нейтральной оси Х до наиболее удаленных точек в растянутой и сжатой зонах сечения;

[у_Р] и [у_СЖ] -- допускаемые напряжения на растяжение и сжатие.

С помощью условий прочности при изгибе можно решать следующие три задачи:

1. Проверка прочности (проверочный расчет), когда известны размеры сечения балки, наибольший изгибающий момент и допускаемое напряжение. При этом, чтобы соблюдалась прочность, действующие в сечении напряжения должны быть меньше допускаемых.

2. Подбор сечения (проектный расчет), когда заданы действующие на балку нагрузки и допускаемое напряжение. Необходимо, чтобы . По необходимому моменту сопротивления W_Х, задавшись формой сечения, подбирают его размеры.

3. Определение наибольшего допускаемого изгибающего момента, когда заданы размеры сечения балки и допускаемое напряжение |M_И|_МАХ ? [у]·W_Х

11. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО РАСЧЕТУ БАЛОК НА ИЗГИБ

Задача 1. Подобрать сечение стальной балки в четырех вариантах:

1. Прокатный двутавр;

2. Прямоугольник с соотношением высоты к ширине как 4:3;

3. Квадрат;

4. Круг.

Определить соотношение весов балок, если М_ИМАХ = 37,5 кН·м, [у] = 160 Н/мм².

Подбираем сечения:

1. Прокатный двутавр.

По таблице ГОСТ 8239-89 подходит двутавровый профиль № 24: W_Х = 289 см³, F₁ = 34,8 см².

2. Прямоугольник с соотношением высоты к ширине как 4:3.

h : b = 4:3; > b = 3h / 4; для прямоугольника .

Определим высоту прямоугольника ; b = 3h / 4 = 3·13,2 / 4 = 9,9 см

Площадь поперечного сечения будет равна: F₂ = h · b = 13,2 · 9,9 = 130,7 см².

3. Квадрат

Момент сопротивления квадрата определяется по формуле: .

Определим сторону квадрата: ;

Площадь поперечного сечения будет равна: F₃ = b² = 12² = 144 см².

4. Круг.

Момент сопротивления круга определяется по формуле: .

Определим диаметр круга: ;

Площадь поперечного сечения будет равна: F₄ = рr² = 3,14·7,1² = 158,3 см².

Соотношение весов профилей будет равно соотношению их площадей:

F₂ / F₁ = 130,7 / 34,8 = 3,76; F₃ / F₁ = 144 / 34,8 = 4,13; F₄ / F₁ = 158 / 34,8 = 4,5

Таким образом, балка прямоугольного сечения в 3,76 раз, балка квадратного сечения в 4,13 раз и балка круглого сечения в 4,5 тяжелее чем балка двутаврового сечения.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется прямым изгибом?

2. Что называется чистым и поперечным изгибом?

3. Что называется балкой?

4. Какие внутренние силовые факторы возникают в сечении балки при поперечном изгибе и как они вычисляются?

5. Какие правила знаков приняты для поперечной силы и изгибающего момента?

6. Какие типы опор применяются для закрепления балок к основанию?

7. Какие уравнения равновесия используются для определения значений опорных реакций простой балки?

8. Что представляют собой эпюры поперечных сил и изгибающих моментов? Что представляет собой каждая ордината этих эпюр?

9. Как изменяется поперечная сила в сечении, в котором к балке приложена сосредоточенная внешняя сила, перпендикулярная к оси балки?

10. Как изменяется изгибающий момент в сечении, в котором к балке приложен сосредоточенный внешний момент?

11. Какой вид имеет эпюра изгибающих моментов для балки, заделанной одним концом, от сосредоточенной силы, перпендикулярной к оси балки, приложенной на ее свободном конце?

12. Что представляют собой нейтральный слой и нейтральная ось и как они расположены?

13. Какие напряжения возникают в поперечном сечении балки при чистом изгибе, как они направлены, как они изменяются по высоте балки и как вычисляются?

14. Что называется жесткостью поперечного сечения при изгибе?

15. По какой формуле определяются касательные напряжения в поперечных сечениях балки при прямом поперечном изгибе?

16. Какие формы поперечных сечений являются рациональными для балок из пластичных материалов?

17. В чем заключается условие прочности по нормальным напряжениям?

18. Какие перемещения возникают в балке при чистом изгибе?

19. В чем заключается условие жесткости при изгибе?

ТЕМА 8. РАСЧЕТЫ ПРИ СЛОЖНОМ СОПРОТИВЛЕНИИ.

При растяжении (сжатии), сдвиге, кручении и изгибе в поперечных сечениях бруса возникало только одно внутреннее усилие. Даже при поперечном изгибе, когда в поперечном сечении возникало два внутренних силовых фактора, при расчете учитывался только изгибающий момент.

На практике часто встречаются случаи, когда при действии нагрузки в поперечных сечениях бруса одновременно возникает несколько компонентов внутренних сил (Рис. 8.1). В этих случаях создаются комбинации простых деформаций: косой изгиб (изгиб в двух плоскостях одновременно), внецентренное растяжение или сжатие (растяжение или сжатие с изгибом), одновременное действие изгиба и кручения.

Сложным сопротивлением называется такое нагружение, при котором в поперечных сечениях бруса возникает не менее двух внутренних силовых факторов.

При расчетах на сложное сопротивление часто применяется принцип независимости действия сил, т.е. находят напряжения при деформации, соответствующие отдельным простым видам деформаций, а затем их суммируют. Принцип независимости действия сил применяют тогда, когда влиянием деформаций, вызванных одним видом нагрузки, на результаты действия других видов нагрузок можно пренебречь.

Порядок расчета бруса при сложном нагружении:

Определить все действующие силовые факторы и установить характер сложной деформации;

Построить эпюру силовых факторов и найти опасное сечение бруса;

Построить эпюры напряжений в опасном сечении от каждого силового фактора; найти опасную точку в опасном сечении; определить в общем виде напряжение от каждого силового фактора и установить характер напряженного состояния;

Составить аналитическое выражение максимального суммарного напряжения для деформации элемента, выделенного в опасной точке опасного сечения. При простом напряженном состоянии элемента напряжения суммируются алгебраически, а при сложном напряженном состоянии (когда имеют место и нормальные, и касательные напряжения) применяется обобщенная теория прочности;

Определить в общем виде деформацию от каждого силового фактора, найти суммарную деформацию и произвести расчет на прочность и жесткость.

ИЗГИБ В ДВУХ ПЛОСКОСТЯХ (КОСОЙ ИЗГИБ).

Косым изгибом называется такой вид изгиба, при котором плоскость действия изгибающих моментов проходит через ось балки, но не совпадает ни с одной из главных центральных осей инерции поперечного сечения. В этом случае в сечении возникает два изгибающих момента.

Рассмотрим балку прямоугольного сечения, нагруженную силой Р, косо приложенной к свободному концу балки так, что силовая линия проходит через центр тяжести сечения, но не совпадает ни с одной из главных центральных осей инерции (Рис.8.2.).

Разложим силу Р на две составляющие Р_Х и Р_У, расположенные в плоскостях, совпадающих с главными центральными осями инерции.

Таким образом, косой изгиб сводится к двум плоским изгибам по двум взаимно перпендикулярным осям х и у.

Вертикальная сила Р_У вызывает плоский изгиб бруса относительно оси х, а горизонтальная Р_Х - плоский изгиб относительно оси у. Изгибающие моменты в опасном сечении (заделке), вызванные этими составляющими силами, в соответствии с принятыми правилами знаков будут определяться равенствами:

М_Х = - Р_Уl = - РcosЬl; М_У = - Р_Уl = - РsinЬl.

Нормальные напряжения в произвольной точке сечения с координатами х и у, вызванные изгибающими моментами М_Х и М_У, определяются по формулам

По принципу независимости действия сил напряжения, вызванные действием двух составляющих сил, будут равны алгебраической сумме напряжений, вызванных каждой силой в отдельности, т.е. нормальные напряжения в любой точке сечения при косом изгибе можно найти по формулам:

Для угловых точек величины координат х и у приобретают максимальное значение, поэтому напряжения будут определяться по формуле:

Максимальные напряжения растяжения или сжатия будут определяться по формулам:

; .

При произвольной форме балки, для определения максимальных напряжений, сначала необходимо определить положение нулевой линии, а затем наиболее удаленные точки от нее. Положение нулевой линии можно найти по формуле: .

Условие прочности при косом изгибе имеет вид:

.

С помощью условия прочности при косом изгибе можно решать следующие три задачи:

1. Проверка прочности (проверочный расчет), когда известны размеры сечения балки, наибольшие изгибающие моменты и допускаемое напряжение. При этом чтобы соблюдалась прочность, действующие в сечении напряжения должны быть меньше допускаемых напряжений.

2. Подбор сечения (проектный расчет), когда заданы действующие на балку нагрузки и допускаемое напряжение производится подбор безопасного сечения.

3. Определение наибольшей допускаемой нагрузки, когда заданы размеры сечения балки и допускаемое напряжение производится определение максимальной допускаемой нагрузки.

ВНЕЦЕНТРЕННОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ.

Внецентренным растяжением (сжатием) называется такое нагружение бруса при котором на брус действуют растягивающие (сжимающие) силы, параллельные оси бруса, но приложенные не в центре тяжести сечеия (Рис. 8.3).

Рис.8.3. Внецентренное растяжение и сжатие.

Внецентренному сжатию подвергаются опоры мостов, стены и колонны зданий и сооружений. Рассмотрим случай внецентренного нагружения бруса растягивающей силой Р, приложенной в точке с координатами х_Р и у_Р (Рис.8.4). От этой силы в произвольном сечении бруса возникают нормальная растягивающая сила N = Р и два изгибающих момента: относительно оси х М_Х = Ру_Р и относительно оси у М_У = Рх_Р.

Рис.8.4. Внецентренное растяжение

Поэтому напряжение в любой точке поперечного сечения определяется как при растяжении и изгибе в двух плоскостях, т.у. будут определяться по формуле:

Для сечений, имеющих выступающие угловые точки, экстремальные напряжения в общем случае определяются по формуле:

.

При этом знак плюс ставится для точек сечения находящихся в зоне растяжения и знак минус, если точка находится в зоне сжатия от данной нагрузки.

РАСЧЕТ НА ПОЧНОСТЬ ПРИ ВНЕЦЕНТРЕННОМ РАСТЯЖЕНИИ И СЖАТИИ

Условие прочности по растягивающим напряжениям имеет вид:

? [у].

С помощью условия прочности можно решать следующие три задачи:

1. Проверка прочности (проверочный расчет), когда известны размеры сечения балки, нагрузка и допускаемое напряжение. При этом чтобы соблюдалась прочность, действующие в сечении напряжения должны быть меньше допускаемых напряжений.

2. Подбор сечения (проектный расчет), когда заданы действующие на балку нагрузки и допускаемое напряжение производится подбор безопасного сечения.

3. Определение наибольшей допускаемой нагрузки, когда заданы размеры сечения балки и допускаемое напряжение производится определение максимальной допускаемой нагрузки.

ПОНЯТИЕ О ЯДРЕ СЕЧЕНИЯ

Рис .8.5. Понятие о ядре сечения

При внецентренном растяжении (сжатии) в зависимости от места приложения силы в поперечном сечении могут возникнуть напряжения одного или разных знаков. Часто бывает необходимо установить те возможные положения точки приложения силы, при которых напряжения во всех точках поперечного сечения будут одного знака. Площадь контура, внутри которого должна находиться точка приложения силы, чтобы напряжения по всему сечению были одного знака, называется ядром сечения (Рис. 8,5).

Ядро сечения - это часть той плоскости, в которой лежит поперечное сечение бруса, ограниченное замкнутым контуром, и обладающее тем свойством, что продольная сила, приложенная в любой ее точке, вызывает по всему сечению напряжения одного знака.

ТЕОРИЯ ПРОЧНОСТИ

До сих пор рассматривались случаи сочетания основных деформаций, когда в поперечных сечениях бруса возникали только нормальные напряжения, которые в каждой точке можно было складывать алгебраически. Часто встречаются случаи сочетания основных деформаций, когда в поперечных сечениях возникают и нормальные и касательные напряжения, распределенные неравномерно и по разным законам. Для таких случаев опытное определение величин, характеризующих прочность, невозможно, поэтому при оценке прочности детали приходится основываться на механических характеристиках данного материала.

Под коэффициентом запаса в данном напряженном состоянии понимается число, показывающее, во сколько раз следует одновременно увеличить все компоненты напряженного состояния, чтобы оно стало предельным.

Если в двух напряженных состояниях коэффициенты запаса равны, то такие напряженные состояния называются равноопасными или эквивалентными. Это дает возможность сопоставлять различные напряженные состояния по степени их опасности. Для заданного материала сравнение напряженных состояний можно производить по числовой характеристике какого-либо одного напряженного состояния, выбранного в качестве эталона. За такой эталон (эквивалент) удобнее всего принять простое растяжение с главным напряжением у_ЭКВ (Рис. 8.6)

Эквивалентным напряжением называется такое условное напряжение при одноосном растяжении, которое равноопасно заданному случаю сочетания основных деформаций.

Гипотезы прочности - это научные предположения об основной причине достижения материалом предельного напряженного состояния при сочетании основных деформаций.

На основании гипотез прочности выводят формулы для вычисления эквивалентного напряжения, которое затем сопоставляют с допускаемым напряжением на растяжение. Таким образом, условие прочности при сочетании основных деформаций, когда в поперечных сечениях действуют и нормальные и касательные напряжения, будет иметь вид: у_ЭКВ ? [у_Р].

Гипотезы прочности:

Первая гипотеза прочности (гипотеза наибольших нормальных напряжений).

Предельное состояние материала при сложном напряженном состоянии наступает тогда, когда наибольшее нормальное напряжение достигает значения предельного напряжения при одноосном напряженном состоянии, т.е. у₁ = [у_Р]. Прочность материала при сложном напряженном состоянии обеспечивется, если наибольшее нормальное напряжение не превосходит допускаемого нормального напряжения, установленного для одноосного напряженного состояния. Данная гипотеза в настоящее время не применяется.

Вторая гипотеза прочности (гипотеза наибольших линейных деформаций).

Материал независимо от сложности нпряженного состояния разрушается тогда, когда относительное наибольшее удлинение или укорочение в каком-либо направлении достигает такой величины, при которой происходит разрушение при простом растяжении или сжатии. Данная гипотеза в настоящее время не применяется.

Третья гипотеза прочности (гипотеза наибольших касательных напряжений).

Опасное состояние материала наступает тогда, когда наибольшие касательные напряжения достигают предельной величины. Прочность материала при сложном напряженном состоянии считается обеспеченной, если наибольшее касательное напряжение не превосходит допускаемого касательного напряжения, установленного для одноосного напряженного состояния: ф_мах ? [ф].

Эквивалентное напряжение вычисляется по формуле:

у_ЭКВIII = у₁ - у₃ = ? [у_Р]

Четвертая гипотеза прочности (гипотеза Мора).

Опасное состояние материала наступает тогда, когда на некоторой площадке осуществляется наиболее неблагоприятная комбинация нормального и касательного напряжений. Эквивалентное напряжение вычисляются по формуле:

, где k = [у_Р] / [у_СЖ].

Пятая гипотеза прочности (энергетическая гипотеза).

Опасное состояние материала в данной точке наступает тогда, когда удельная потенциальная энергия формоизменения для этой точки достигает предельной величины.

Эквивалентное напряжение вычисляются по формуле: у_ЭКВV = . Эта формула для пластичных материалов хорошо подтверждается опытами и в настоящее время получила широкое распространение.

ИЗГИБ С КРУЧЕНИЕМ.

Сочетание деформаций изгиба и кручения испытывает большинство валов, которые обычно представляют собой прямые брусья круглого или кольцевого сечения. В этом случае при расчете валов учитывается только крутящий или изгибающие моменты, действующие в опасном поперечном сечении, и не учитываются поперечные силы, т.к. соответствующие им касательные напряжения малы.

Максимальные нормальные и касательные напряжения у круглых валов вычисляются по формулам: у_МАХ = М_И / W_Х, ф_МАХ = М_К / W_с, причем для круглых валов W_с = 2W_Х (Рис. 8.7). При сочетании изгиба и кручения опасными будут точки опасного поперечного сечения вала, наиболее удаленные от нейтральной оси.

Возникающие эквивалентные напряжения при совместном действии изгиба и кручения будут определяться по формулам:

Применив третью гипотезу прочности получим:

у_ЭКВ = =

Выражение стоящее в числителе называется эквивалентным моментом:

М_ЭКВ =

Условие прочности в этом случае будет иметь вид:

у_ЭКВ = = ? [у].

Применив пятую (энергетическую) гипотезу получим:

у_ЭКВ = =

Условие прочности в этом случае будет иметь вид:

у_ЭКВ = = ? [у].

Результаты расчета по разным гипотезам прочности мало отличаются друг от друга.

Используя условие прочности можно будет решить три задачи:

1. Проверить прочность вала.

2. Определить безопасное сечение вала.

3. Определить допускаемую нагрузку на вал.

Вопросы для самопроверки

1. Дать понятие сложного сопротивления.

2. Какая деформация называется косым изгибом и как определяются напряжения при этой деформации.

3. Условие прочности при косом изгибе.

4. Какая деформация называется внецентренным растяжением (сжатием) и как определяются напряжения при этой деформации.

5. Условие прочности при внецентренном растяжении.

6. Дать понятие об эквивалентном напряжении.

7. Какие гипотезы прочности имеют наибольшее применение и в чем их сущность?

8. Какая деформация называется изгибом с кручением и как определяются напряжения при этой деформации?

ТЕМА 9. РАСЧЕТЫ ПРИ ДИНАМИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ

Статические нагрузки от нуля до конечных значений изменяются настолько медленно, что ускорения, получаемые при этом элементами сооружения, пренебрежимо малы. Однако часто нагрузки имеют динамический характер, так как изменяются во времени с большей скоростью. Действие таких нагрузок сопровождается колебаниями конструкции и ее элементов. Напряжения, возникающие при колебании деталей, могут во много раз превосходить по своему значению напряжения от действия статических нагрузок.

Общий метод расчета на динамическую нагрузку основан на принципе Даламбера. Согласно этому принципу, всякое движущееся тело может рассматриваться как находящееся в состоянии мгновенного равновесия, если к действующим на него внешним силам добавить силу инерции, равную произведению массы тела на его ускорение и направленную в сторону, противоположную ускорению. Поэтому в тех случаях, когда известны силы инерции, без всяких ограничений можно применять метод сечений и для определения внутренних усилий использовать уравнения равновесия. В тех случаях, когда определение сил инерции затруднительно, как, например, при ударе, для определения динамических напряжений и деформаций используется закон сохранения энергии.

Рассмотрим случай продольного удара груза по неподвижному телу (Рис.9.1). Груз весом G падает с высоты h на неподвижный стержень. Скорость тела в момент удара определяется по формуле .эта скорость за очень короткий промежуток времени удара упадет до нуля. Благодаря большому ускорению возникает значительная сила инерции, которая определяет действие удара. Так как в этом случае трудно установить закон изменения скорости и силу инерции, то применяется закон сохранения энергии. Приравняем работу падающего груза потенциальной энергии деформации стержня.

Работа, совершаемая весом падающего груза: W = G(h + Дl_Д).

где Дl_д - динамическое укорочение стержня.

Потенциальная энергия деформации при сжатии:

U = ДlEA / 2l

Приравняем эти значения и получим

G(h + Дl_д) = ДlEA / 2l

После решения данного равенства получим

Дl_Д = Дl_СТ (1+),

где Дl_СТ - Gl / EF - укорочение стержня от статически приложенной нагрузки.

Введем обозначение k_Д = 1+,

где k_Д - динамический коэффициент.

Тогда формула для определения деформации при ударе будет иметь вид: Дl_Д = k_Д Дl_СТ, т.е. перемещение, вызванное действием ударной нагрузки, равно произведению динамического коэффициента на перемещение от статически приложенной силы, равной силе тяжести падающего груза.

Напряжения при ударе (динамические напряжения) будут определяться по формуле:

у_Д = k_Д у_СТ

определение перемещений и напряжений при ударе сводится к определению перемещений и напряжений, вызванных статически приложенной силой, равной силе тяжести падающего груза, и вычислению динамического коэффициента.

Вопросы для самопроверки

1. Дать понятие о динамическом нагружении конструкции.

2. На чем основан расчет при динамическом нагружении конструкции.

3. Как определяется деформация и напряжения при динамическом нагружении конструкции.

ТЕМА 10. продольный изгиб

При центральном сжатии прямого стержня прямолинейная форма его равновесия устойчива до достижения сжимающей силой критического значения, которое зависит от длины стержня и жесткости его поперечного сечения.

Предельное значение силы, при которой прямолинейная форма равновесия из устойчивой переходит в неустойчивую, называется критической силой. При превышении сжимающей силы критического значения стержень изгибается (выпучивается) и приобретает новую устойчивую форму равновесия - криволинейную. При этом стержень испытывает совместное действие изгиба и сжатия.

Изгиб стержня, происходящий при действии на него силы, больше критической, называется продольным изгибом. Даже незначительное превышение сжимающей силой критического значения связано с появлением весьма значительных прогибов стержня, а, следовательно, с возникновением больших изгибающих моментов и напряжений. Практическая потеря устойчивости прямолинейной формы равновесия стержня (потеря стержнем устойчивости) равносильна выходу конструкции из строя, даже если это явление и не сопровождается разрушением стержня.

Расчет, выполняемый для обеспечения таких соотношений между величиной сжимающей нагрузки, размерами стержня и характеристиками его материала, при которых исключена опасность продольного изгиба, называется расчетом сжатого стержня на устойчивость или расчетом на продольный изгиб.

Проверку сжатого стержня на устойчивость выполняют по формуле

.

где n_У - коэффициент запаса устойчивости;

Р_КР - критическая сила;

[n_У] - допускаемый коэффициент запаса устойчивости.

Величина [n_У] зависит от материала и назначения стержня. Обычно принимают следующие значения [n_У]:

- для стальных конструкций: 1,8 - 3,0;

- для литых чугунных конструкций: 5,0 - 6,5;

- для деревянных стоек: 3,0 - 5,0;

- для алюминиевых конструкций: 2,5 -3,5.

ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА.

При потере устойчивости стержня критическая сила определяется по формуле Эйлера:

где Е - модуль продольной упругости материала стержня;

I_min - минимальный главный центральный момент инерции поперечного сечения стержня;

l - длина стержня;

м - коэффициент приведения длины, величина которого зависит от типа и расположения опор, а также от характера нагрузки.

Величина мl = l_П называется приведенной длиной стержня. На рисунке 10.1 показаны наиболее часто встречающиеся способы закрепления концов стержня и приведены значения м.

Нормальное напряжение, возникающее в поперечном сечении стержня при критическом значении сжимающей силы, называется критическим напряжением: у_КР = Р_КР /F.

Формула для определения критического напряжения имеет вид

.

где - гибкость стержня;

i_min = - минимальный главный центральный радиус инерции поперечного сечения стержня.

Формула Эйлера применима лишь в пределах справедливости закона Гука, т.е. при условии, что критическое напряжение не превышает предела пропорциональности материала стержня.

В том случае, когда критическая сила вызовет возникновение критических напряжений, превышающих предел пропорциональности, формула Эйлера становится неприменимой и напряжение необходимо вычислять по эмпирической формуле Ясинского:

,

где a и b - коэффициенты, зависящие от материала и определяемые по таблицам.

Вопросы для самопроверки

1. Дать понятие критической силы.

2. Дать определение продольного изгиба

3. Как производится расчет на устойчивость сжатого стержня?

4. От чего зависит значение критической силы при потере устойчивости?

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. П.А.Степин, Ссопротивление материалов, М, «Высшая школа», 1988г.

2. В.И.Феодосьев, Сопротивление материалов, М, «Наука», 1986г.

3. А.А.Эрдеди, Теоретическая механика. Сопротивление материалов, М, «Высшая школа»,2002г.

4. А.А.Эрдеди, Техническая механика, М, «Высшая школа», 1991г.

5. М.И.Любошиц, Справочник по сопротивлению материалов, Минск, «Вышэйшая школа», 1969г.

6. Р.С.Кинасошвили, Сопротивление материалов, М, «Наука», 1975г.

7. М.С.Мовнин, Основы технической механики, Л, «Судостроение», 1973г.

8. А.И.Аркуша, М.И.Фролов, Техническая механика, М, «Высшая школа», 1983г.

9. И.А.Тимко, Сопротивление материалов, Харьков, 1970г.

10. Л.В.Агамиров, Сопротивление материалов. Краткий курс, М, Аст, 2003г.

11. А.А.Александров, Сопротивление материалов, М, 2004г.

12. А.Г.Горшков, Сопротивление материалов, М,2005г.

13. В.Н.Скопинский, Сопротивление материалов, М, 2004г.

14. Д.В.Чернилевский, Техническая механика, М, Наука, 1982г.

15. В.П.Олофинская, Техническая механика, М, Форум, 2008г.

Размещено на Allbest.ru

...