Статика. Кинематика

При Q < Q_пр каток находится в покое; при Q > Q_пр - начинается качение.

Величина К называется коэффициентом трения; К измеряется в линейных единицах, например, в сантиметрах.

Понятие о трении верчения

Если к шару, лежащему на горизонтальной плоскости приложить пару сил с моментом М, расположенную тоже в горизонтальной плоскости, то пара будет стремиться повернуть шар вокруг вертикальной оси. Опыт показывает, что шар начнет вращаться только тогда, когда значение М будет больше некоторой предельной величины М_пр, определяемой равенством

,(6.1)

где N - сила нормального давления на плоскость, равная в данном случае весу шара. Объясняется этот результат наличием трения верчения шара о плоскость. Входящий в равенство (6.1) коэффициент л, имеющий размерность длины, называется коэффициентом трения верчения. По величине этот коэффициент меньше трения качения k.

Пример. Определить, какую силу Q, направленную под углом = 30⁰ к горизонту, надо приложить к грузу массой 10кг, лежащему на горизонтальной поверхности, чтобы его сдвинуть с места, если статический коэффициент трения груза о плоскость ₀ = 0,8 (рис. 6.3).

Решение : на данное тело действуют следующие силы:

P - сила тяжести = mg;

N - сила нормальной реакции опоры;

F_тр - сила трения;

Q - действующая сила.

При равновесии тела должно выполнятся условие: N + Q + P + F_тр = 0.

Выберем систему координат и спроектируем это векторное уравнение на оси Х и Y:

Q cos - F_тр = 0; N + Q sin - P = 0;

Отсюда следует, что N = p - Q sin, так как F_тр = ₀N, то

Q cos = ₀N = ₀P - Q*₀ sin или Q(cos + ₀ sin) = ₀P, отсюда

Ответ: Q = 52H.

Центр тяжести.

Центр параллельных сил

Рассмотрим систему параллельных и одинаково направленных сил F₁, F₂, …, F_n приложенных к телу в точках A₁, A₂, …, A_n. Эта система имеет равнодействующую R, направленную как слагаемые силы, а по модулю равна: R = F_i.

Точка С, через которую проходит линия действия равнодействующей силы параллельных сил при любых поворотах этих сил около их точек приложения в одну и ту же сторону и на один и тот же угол, называется центром параллельных сил.

Формулы для определения координат центра параллельных сил:

; ; .

Центр тяжести твердых тел

Твердое тело состоит из набора частиц, которые обладают силой тяжести. Силы тяжести всех этих частиц направлены к центру Земли, но, учитывая, что размеры Земли несоизмеримо больше размеров тела, то эти силы можно считать параллельными.

Таким образом, центром тяжести твердого тела называется неизменно связанная с этим телом точка, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести частиц данного тела при любом положении тела в пространстве.

Координаты центра тяжести тела как центра параллельных сил определяются по формулам:

; ; ,

где Pi - сила тяжести i-ой частицы тела;

P - сила тяжести всего тела: P = P_i.

Координаты центра тяжести однородного тела:

; ; ,

где Vi - объем i-ой частицы тела;

V - объем тела, V = V_i.

Координаты центра тяжести однородной линии:

; ; ,

где li - длина i-ой части линии;

L - длина всей линии, L = l_i.

Определение координат центра тяжести однородной плоской фигуры

Координаты однородной плоской фигуры определяются по формулам:

, (6.2)

,(6.3)

где X_ic, Y_ic - координаты центра тяжести

i - части фигуры,

S_i - площадь i - части фигуры.

Центры тяжести некоторых однородных тел:

1. Треугольник

,(6.4)

,(6.5)

где x₁, x₂, x₃, y₁, y₂, y₃ - соответственно абсциссы и ординаты вершин треугольника.

2. Круговой сектор (рис. 6.4):

Рис. 6.4

(6.6)

Площадь сектора: S = ?R² (6.7)

3. Круговой сегмент (рис. 6.5):

Рис. 6.5

,(6.8)

Площадь сегмента: S = Ѕ R²(2? - sin 2?),(6.9)

Примеры выполнения заданий

Задача 1 (способ разбиения)

Определить координаты центра тяжести плоской фигуры, представленной на рис. 6.6:

Рис. 6.6

Решение

Разбиваем данное плоское тело на части, для каждой из которых положение центра тяжести известно. Тогда координаты центра тяжести всего тела можно вычислить по формулам (1) и (2).

В данном случае тело разбиваем на прямоугольник ABCL, треугольник LFK и полукруг CDF (рис. 6.7):



Рис. 6.7

Рассмотрим отдельно каждую часть фигуры:

1. Прямоугольник ABCL

Центр тяжести (С₁) определяется на пересечении диагоналей АС и BL, т.е.

.

Площадь определяется: S₁ = AL * AB

Подставляя численные значения, получим:

X₁c = 15 мм; Y₁c = 20 мм; S₁ = 1200 мм².

2. Треугольник LFK

Координаты центра тяжести (С₂) определяются по формулам (3); (4).

Из рисунка видно, что координаты вершин являются:

L(30;0); F(30;20); K(45;10)

Площадь

,

где h - высота треугольника, опущенная из вершины К на сторону FL.

Подставляя численные значения, получим:

3. Полукруг CDF.

Координаты центра тяжести (С₃) определяем по формуле (5).

Так как R = 10 мм; b = 20 мм; , то, подставляя численные значения, получим:

X_3C = 34 мм; Y_3C = 30 мм; S₃ = 157 мм².

Для вычисления центра тяжести плоской фигуры составим таблицу:

Номер элемента	Si мм2	Xci, мм	Yci, мм	SiXci, мм3	SiYci, мм3
1	1200	15	20	18000	24000
2	150	35	10	5250	1500
3	157	34	30	5350	4700
	1507	-	-	28600	30200

В соответствии с формулами (1), (2) получим, что координаты центра тяжести всей фигуры будут:

Ответ: координаты данной плоской фигуры:

Задача 2 (способ дополнения)

Определить площадь плоской фигуры, изображенной на рис. 6.8

Рис. 6.8

Решение.

Разбиваем данное плоское тело на части согласно рисунку 6.9:

Рис. 6.9

I часть II часть III часть	- - -	прямоугольник ABKN треугольник CDF полукруг LMN

Причем площади дополняющих фигур треугольника CDF и полукруга LMN берутся с отрицательным знаком.

Рассмотрим отдельно каждую часть фигуры:

1. Прямоугольник ABKL

Центр тяжести (С₁) определяется на пересечении диагоналей BN и AK,т.е.

площадь определяется: S₁ = AN * BA

Подставляя численные значения, получим:

X_1C = 30 мм.; Y_1C = 15 мм.; S₁ = 1800 мм²

2. Треугольник CDK

Координаты центра тяжести (С₂) определяем по формулам (3), (4).

Из рисунка видно, что координаты вершин треугольника являются:

С(30;30); F(20;30); D(42;15)

Площадь

где h - высота треугольника, опущенная из вершины D на сторону CF.

Подставляя численные значения, получим:

3. Полукруг MNL.

Координаты центра тяжести (С₃) определяем по формуле (5).

Так как R = 10 мм; b = 20 мм; , то, подставляя численные значения, получим:

Y_3C = 10 мм.

Для вычисления центра тяжести плоской фигуры составим таблицу:

Номер элемента	Si Мм2	Xci, мм	Yci, мм	SiXci, мм3	SiYci, мм3
1	1800	30	15	54000	27000
2	-150	30,7	25	-4605	-3750
3	-157	34,3	10	-5385,1	-1570
	1493	-	-	44009,9	21680

В соответствии с формулами (1), (2) получим, что координаты центра тяжести всей фигуры будут:

Ответ: координаты данной плоской фигуры: X_C = 29,5 мм; Y_C = 14,5 мм.

Определение положения центра тяжести тела

Найти координаты центра тяжести плоской однородной фигуры (варианты 1-75).

Все размеры даны в миллиметрах.

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое трение скольжения? Как определяется коэффициент трения скольжения?

2. Что такое трение качения и верчения? Как определяется коэффициенты трения качения и верчения?

3. Что такое центр тяжести тела?

4. Способы определения плоской фигуры?

Задачи, рекомендуемые для самостоятельного решения: 9.1 - 9.28 [2].

Литература: [1], [3], [4].

Кинематика

Лекция 7

Кинематика точки

Кинематикой называется раздел механики, в котором изучаются геометрические свойства движения тел без учета их инертности (массы) и действующих на них сил.

Для определения положения движущегося тела (или точки) с тем телом, по отношению к которому изучается движение, жестко связывают какую-нибудь систему координат, которая вместе с телом образует систему отсчета. Если координаты всех точек тела в выбранной системе отсчета остаются все время постоянными, то тело по отношению к этой системе отсчета находится в покое. Если координаты каких-нибудь точек тела с течением времени изменяются, то тело по отношению к данной системе координат находится в движении.

Движение тел совершается в пространстве с течением времени. В механике рассматривается трехмерное евклидовое пространство. Время является скалярной величиной, непрерывно изменяющейся величиной. Отсчет времени ведется от некоторого начального (), о выборе которого в каждом случае уславливаются. Разность между двумя последовательными моментами времени называется промежутком времени.

Кинематически задавать движение или закон движения тела (точки) - значит, задать положение этого тела (точки) относительно данной системы отсчета в любой момент времени.

Основная задача кинематики состоит в том, чтобы, зная закон движения данного тела (или точки), определить все кинематические величины, характеризующие тела в целом, так и движение каждой из его точек в отдельности (траектории, скорости, ускорения и т.п.).

Вначале изучим движения точки, а затем перейдем к изучению кинематики твердого тела.

Способы задания движения точки.

Траектория

Чтобы задать движение точки, надо задать ее в любом положении по отношению к выбранной системе отсчета в любой момент времени. Для задания движения точки можно применять один из следующих трех способов:

1. Естественный;

2. Координатный;

3. Векторный.

Естественный способ задания движения

Непрерывная линия, которую описывает движущаяся точка относительно данной системы отсчета, называется траекторией точки. Если траектория - прямая линия, то движение точки называется прямолинейным; а если кривая - то движение точки называется криволинейным.

Пусть кривая является траекторией движения точки относительно системы отсчета , , , , (рис. 1.1.).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 7.1.

Выберем на этой траектории какую-нибудь неподвижную точку , которую примем за начало отсчета; затем, рассматривая траекторию как криволинейную координатную ось, установим на ней положительное и отрицательное направление. Тогда положение точки будет однозначно определяться криволинейной координатой , которая равна расстоянию от точки до точки . Чтобы знать положение точки на траектории, в любой момент времени надо знать зависимость:

(7.1.)

Уравнение (7.1.) выражает закон движения точки вдоль траектории. Таким образом, чтобы задать движения точки естественным способом, надо знать:

1. Траекторию точки;

2. Начало отсчета на траектории;

3. Законы движения точки вдоль траектории в виде .

Координатный способ задания движения

Положение точки по отношению к данной системе отсчета , можно определить ее декартовыми координатами , , (рис. 7.2.).

При движении все эти три координаты будут с течением времени изменяться. Чтобы знать закон движения точки, необходимо знать значения координаты точки для каждого момента времени, т.е. знать зависимости:

;;.(7.2)

Уравнения (7.2) представляют собой уравнения движения точки в декартовых координатах.

В случае плоского движения, например, точка движется в плоскости , ее уравнения движения задаются в виде:

, (7.3)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 7.2.

Уравнения (7.2), (7.3) представляют одновременно уравнения траектории точки в параметрической форме, где роль параметра играет величина . Исключив параметр , можно найти уравнение траектории в обычной форме, т.е. в виде, дающем зависимость между ее координатами:

- для пространственного движения;

- для плоского движения.

Векторный способ задания движения

Пусть точка движется по отношению к некоторой системе отсчета . Положение этой точки можно определить, задав вектор , проведенный из начала координат в точку . Вектор называется радиусом - вектором точки . При движении точки вектор будет с течением времени изменяться и по модулю и по направлению. Следовательно, можно задать вектором-функцией, зависящим от аргумента :

(7.4.)

Геометрическое место концов вектора , т.е. годограф этого вектора, определяет траекторию движущейся точки. Проектируя уравнение (7.4.) на оси координат получим:

;;.(7.5).

Пример 1.

Заданы уравнения движения точки в координатной форме:

; (плоское движение). Значения и в сантиметрах. Определить траекторию движения точки.

Решение.

Для определения траектории движения точки, необходимо исключить параметр из уравнений движения, заданных в координатной форме. Для этого возведем в квадрат данные уравнения:

, отсюда:.

Сложим соответственно левые и правые части полученных уравнений:

,

Отсюда следует: , так как .

Это есть каноническое уравнение эллипса с полуосями 5 и 8 см. Таким образом, данная точка совершает движение по эллипсу (рис.7.3.)

Ответ: траектория движения точки - эллипс.

Пример 2.

Уравнения движения точки на плоскости задано:

, .

Определить траекторию движения точки.

Решение.

Исключим параметр из уравнений. Для этого из первого уравнения определим, что и подставим во второе уравнение:

.

Таким образом, получим: .

Графиком траектории движения точки является парабола (рис. 7.4.).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 7.4

Ответ: - уравнение движения точки.

Пример 3.

Задано уравнение движения точки в векторной форме:

.

Составить уравнение движения точки в координатной форме.

Решение.

Вследствие того, что , то отсюда следует:

;;

Ответ: уравнение движения точки: ; ; .

Вопросы для самоконтроля

1. Что изучает кинематика?

2. Способы задания движения точки?

Задачи, рекомендуемые для самостоятельного решения: 10.1 - 10.23 [2].

Литература: [1], [3], [4].

Лекция 8

Вектор скорости точки

Скоростью называется векторная величина, модуль которой определяется изменением пройденного пути за единицу времени. Скорость будем обозначать символом , а ее модуль - , тогда:

; .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.8.1.

Так как скорость - вектор, то кроме модуля скорость имеет точку приложения и направление. Направление вектора скорости совпадает с направлением касательной к траектории движения точки в каждый момент времени.

Размерная скорость в СИ - м/с.

Вектор ускорения точки

Ускорением называется векторная величина, определяемая как изменение скорости в единицу времени.

(рис.8.2.)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 8.2

Размерность ускорения - м/с.

Определение скорости и ускорения точки при векторном способе задания движения (рис. 8.3)

Скорость точки определяется:

.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 8.3

Ускорение точки определяется:

.

Определение скорости и ускорения точки при

координатном способе задания движения

Определение скорости точки

Так как вектор скорости точки определяется: , отсюда, учитывая уравнения, ; ; , получим:

; ; или

; ; .

Модуль скорости определяется:

.

Направление вектора скорости определяется через направляющие углы , , :

;; .

Определение ускорения точки

Так как вектор ускорения точки , то, проектируя это уравнение на оси координат, получим:

; ; ;

или ; ; .

Модуль и направление вектора ускорения определим соответственно по формулам:

;

; ; ,

где: , , - углы, образованные вектором ускорения с осями координат.

В случае плоского движения, например, в плоскости проекции скорости и ускорения на ось равны нулю. При прямолинейном движении, например, вдоль оси уравнение движения задается в виде: , тогда:

; .

Определение скорости при естественном способе задания движения

Пусть даны (рис. 8.4.) траектория точки и закон движения вдоль этой траектории в виде: .



Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

За промежуток времени точка проходит расстояние , перемещаясь из положения в , тогда скорость на этом участке можно определить:

.

Модуль скорости в данный момент времени определяется первой производной от расстояния точки по времени.

Направлен вектор скорости по касательной к траектории и приложен к точке траектории, соответствующей данному моменту времени.

Касательное и нормальное ускорения точки

Касательное ускорение точки равно первой производной от модуля скорости или второй производной от расстояния по времени. Касательное ускорение обозначается - .

.

Касательное ускорение в данной точке направлено по касательной к траектории движения точки; если движение ускоренное, то направление вектора касательного ускорения совпадает с направлением вектора скорости; если движение замедленное - то направление вектора касательного ускорения противоположно направлению вектора скорости. (рис. 8.5.)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 8.5

Нормальным ускорением точки называется величина, равная квадрату скорости, деленному на радиус кривизны.

Вектор нормального ускорения направлен от данной точки к центру кривизны, (рис.8.6.). Нормальное ускорение обозначается .

- нормаль к данной точке на траектории движения.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 8.6.

Полное ускорение точки определяется из векторного уравнения:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 8.7

Зная направление и модули и , по правилу параллелограмма определим ускорение, соответствующее данной точке траектории движения. Тогда модуль ускорения определим:

.

Пример 1.

Определить траекторию, скорость и ускорение середины шатуна кривошипно-шатунного механизма, если , а угол при вращении кривошипа растет пропорционально времени: (рис. 8.8.)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 8.8

Решение.

Определим уравнение движения точки . Для этого определим координаты точки в произвольном положении:

;

.

Получим уравнения движения точки :

или, учитывая, что : .

Представим полученные уравнения в виде:

.

Возводя эти равенства почленно в квадрат и складывая, получим:

.

Траектория точки представляет эллипс с полуосями и .

Определим проекции скорости точки на оси координат:

.

Модуль скорости точки :

.

Определим проекции ускорения точки на оси координат:

.

Модуль ускорения определится как:

,

где - длина радиуса вектора, проведенного из начала координат в точку .

Для определения направления ускорения точки найдем направляющие косинусы:

,

.

Отсюда следует, что вектор ускорения все время направлен от точки к центру эллипса. ( Рис. 8.8. )

Пример 2.

Даны уравнения движения точки: ; .

Определить уравнение траектории точки для момента времени . Найти положение точки, скорость и ускорение точки, а также ее касательное ускорение и радиус кривизны траектории в этой точке.

Решение.

1. Определим траекторию движения точки по уравнениям:

.

Отсюда, возведя в квадрат обе части уравнений и складывая отдельно левые и правые части, получим:

Траектория движения точки представляет эллипс с полуосями 2 и 4 с центром в точке с координатами (0,6) (рис. 8.9).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 8.9

2. В момент времени точка находится в положении с координатами: ; , т.е. (8.2).

Определим проекции скорости точки :

При получим:

; .

Модуль скорости при будет:

Отсюда следует, что точка движется по траектории по часовой стрелке. Вектор скорости направлен по касательной к траектории.

3. Определим проекции ускорения:

,

.

При проекции ускорений будут:

,

.

Модуль ускорения:

,

.

Определим касательное ускорение точки при .

Так как ,

.

Тогда .

Вследствие того, что ,

.

Отсюда:

.

Подставляя численные значения, получим:

.

Нормальное ускорение точки в данный момент времени:

,

.

Радиус кривизны в точке при будет:

,

.

Вопросы для самоконтроля

1. Определение скорости точки при различных способах задания движения?

2. Определение ускорения точки при различных способах задания движения?

Задачи, рекомендуемые для самостоятельного решения: 11.1 - 11.18, 12.1 - 12.39 [2].

Литература: [1], [3], [4].

Лекция 9

Поступательное движение твердого тела

В кинематике рассматривается, что тело абсолютно твердое, т.е. расстояние между любыми двумя точками остается постоянным.

Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается, оставаясь параллельной самой себе.

При поступательном движении все точки тела описывают одинаковые траектории и имеют в каждый момент одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения.

Рис. 9.1

Из рис. 9.1 видно, что

Продифференцируем это уравнение по времени:

.

Так как постоянный по величине и по направлению, тогда

, отсюда следует, что .

Это означает, что скорости любых точек тела в данный момент одинаковые. Продифференцируем последнее равенство:

или .

Это означает, что ускорения любых точек твердого тела при поступательном движении одинаковые в данный момент времени.

Вращательное движение твердого тела

Вращательным называется такое движение твердого тела, при котором какие-нибудь две точки, принадлежащие телу, остаются во все время движения неподвижными.

Проходящая через неподвижные точки А и В прямая АВ называется осью вращения (рис. 9.2).

Рис. 9.2

Все точки твердого тела, принадлежащие оси АВ остаются неподвижными, а все остальные точки описывают окружности.

Для определения положения твердого тела проведем неподвижную плоскость I и плоскость II, связанную с вращающимся телом. Положение тела будет определяться углом ц, образованным между неподвижной и подвижной плоскостями и назовем его углом поворота тела. Угол ц измеряется в радианах. для определения положения тела в любой момент времени необходимо знать зависимость угла ц от времени, т.е.

,(9.1)

Если за промежуток времени тело совершает поворот на угол , то средняя угловая скорость тела за этот промежуток времени будет равна:

.

Угловой скоростью тела в данный момент времени t называется величина, к которой стремиться значение при стремящемуся к нулю:

,(9.2)

Угловая скорость тела в данный момент времени численно равна первой производной от угла поворота по времени.

Угловую скорость тела можно изобразить в виде вектора , который направлен вдоль оси вращения тела в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против хода часовой стрелки (рис. 9.3).

Таким образом, угловая скорость определяет изменение угла поворота тела в единицу времени. Размерность угловой скорости [с^-1].

Угловым ускорением называется величина, характеризующая изменение угловой скорости в единицу времени:

,(9.3)

Размерность углового ускорения [с^-2].

Если модуль угловой скорости возрастает со временем, то вращение тела называется ускоренным, а если убывает - замедленным. При ускоренном движении векторы угловой скорости и углового ускорения направлены в одну сторону (рис. 9.3а), при замедленном движении - в противоположные стороны (рис. 9.3б).

Скорости и ускорения точек вращающегося тела

Рассмотрим какую-нибудь точку М твердого тела, находящуюся на расстоянии h от оси вращения A_z. При вращении тела точка М будет описывать окружность радиусом h, плоскость которой перпендикулярна к оси вращения. Если за время dt происходит элементарный поворот тела на угол dц, то точка М при этом совершает вдоль своей траектории элементарное перемещение , тогда скорость точки будет равна:

или .(9.4)

Таким образом, скорость точки вращающегося твердого тела равна произведению угловой скорости тела на расстояние от этой точки до оси вращения. Направлена скорость по касательной к описываемой точке М окружности.

Для нахождения ускорения точки М воспользуемся формулами:

; .

В нашем случае . Подставляя значение V из формулы (9.4), получим:

; .

После преобразований получим:

; .(9.5)

Рассмотрим сечение твердого тела: точка М совершает движение по окружности (рис. 9.4) (движение ускоренное).

Рис. 9.4

Ускорение точки М будет равно:

,

или.

Угол между ускорением точки М и радиусом, проведенным в эту точку, составляет м, который можно найти по формуле:

Пример 1:

По заданному уравнению движения груза 3, , определить его скорость и ускорение, а также скорость и ускорение точки А механизма в момент времени t = t₁.

Рис. 9.5

Решение:

5. Определим скорость и ускорение груза 3:

,

при t = 2c: (м/с)

при t = 2c: (м/с²).

6. Определим скорость точки А:

Скорость точки А равна скорости V₃, так как нить нерастяжимая: ; где щ₂ - угловая скорость второй системы колес, отсюда .

Точка С принадлежит одновременно большому колесу первой системы и малому колесу первой системы.

Тогда .

С другой стороны, ; отсюда .

Точка А принадлежит большему колесу первой системы:

.

Подставляя численные значения, получим:

(м/с),

м/с.

Определим ускорение точки А. Так как точка А вращается по окружности, то

,

;

,

где - угловое ускорение первой системы колес.

Тогда ;

т.е..

Подставляя численные значения, получим:

м/с²

м/с^2.

Так как , то м/с².

м/с².

Ответ: В момент t = 1c скорость груза V₃ = 52 м/с; ускорение груза а₃ = 16м/с², скорость точки А: V_A = 728 м/с; ускорение точки А: а_А = 424 м/с².

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое поступательное движение твердого тела?

2. Какие характеристики определяют поступательное движение твердого тела?

3. Какие характеристики определяют вращательное движение твердого тела?

Задачи, рекомендуемые для самостоятельного решения: 13.1 - 13.20, 14.1 - 14.9. [2].

Литература: [1], [3], [4].

Лекция 10

Плоскопараллельное движение твердого тела.

Уравнения плоскопараллельного движения

Плоскопараллельное (или плоское) называется такое движение твердого тела, при котором все его точки перемещаются параллельно некоторой неподвижной плоскости П (рис. 10.1).

Рис. 10.1.

Рассмотрим сечение S тела какой-нибудь плоскостью О_ху, параллельной плоскости П (рис. 10.1). При плоскопараллельном движении все точки тела, лежащие на прямой ММґ, перпендикулярной к сечению S, т.е. плоскости П движутся одинаково. Поэтому для изучения движения всего тела достаточно изучить, как движется сечение S в плоскости О_ху.

На рис. 10.2 представлено сечение S тела в плоскости О_ху. При плоском движении тела, сечение S тела перемещается в плоскости О_ху. Выберем две произвольные точки в плоскости сечения тела А и В. Тогда положение отрезка АВ будет определяться координатами точки А и углом ц, АВ будет определяться который образует отрезок АВ с осью х. Точку А, выбранную для определения положения сечения S будем называть полюсом. При движении тела величины Х_А, У_А и ц будут изменяться. Для определения положения тела при движении необходимо знать зависимости:

, , ,(10.1)

Рис. 10.2.

Уравнения 10.1, определяющие закон движения называются уравнениями плоскопараллельного движения твердого тела.

Плоскопараллельное движение твердого тела слагается из поступательного движения, при котором все точки тела движутся так же, как полюс А, и из вращательного движения вокруг этого полюса. Причем вращательное движение тела происходит вокруг оси, перпендикулярной к плоскости П и проходящей через полюс А.

На рис. 10.3 показано поступательное движение тела и его вращение вокруг полюса А.

Рис. 10.3.

Теорема. Вращательная часть движения от выбора полюса не зависит.

Из этого следует, что любую точку, принадлежащую телу можно выбрать за полюс, т.е. характеристики вращательного движения тела щ и е не зависят от выбора полюса.

Определение траекторий точек тела

Рассмотрим точку М, положение которой в сечении S определяется рассмотрением от полюса А и углом (рис. 10.4). Если движение тела задано уравнениями (10.1), то координаты х и у точки М в осях О_ху будут:

,(10.2)

где х_А, у_А и ц - известные по уравнениям (10.1) функции времени t. Уравнения (10.2), определяющие закон движения точки М в плоскости О_ху, дают одновременно уравнение траектории этой точки в параметрической форме. Уравнение траектории получается, исключив из системы (10.2) параметр t.

Пример 1.

Для кривошипно-шатунного механизма (рис. 10.4) определить уравнения плоского движения шатуна АВ. Угол поворота кривошипа изменяется согласно закону , где k - постоянный коэффициент. Длина кривошипа ОА = r, шатуна АВ = l.

Решение



Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 10.4.

Выбираем неподвижную систему координат с началом в точке О. Подвижную систему координат берем с началом в точке А, принадлежащей и кривошипу и шатуну.

Ось х₁ проводим по шатуну АВ, ось у₁ - перпендикулярно к нему. Пусть точка А будет полюсом, тогда уравнения движения полюса имеет вид:

Для нахождения третьего уравнения движения зависимости угла поворота шатуна от времени, спроектируем отрезок АВ на ось у. Обозначая через ц угол между осями х₁ и х₂, находим:

, отсюда

.

Определение скоростей точек тела

Плоскопараллельное движение твердого тела слагается из поступательного движения, при котором все точки тела движутся со скоростью полюса V_A, и из вращательного движения вокруг этого полюса.

Рис. 10.4.

Положение любой точки М, лежащей в сечении (S) тела определяется соотношением: , где - радиус-вектор полюса; - вектор, определяющий положение точки М относительно осей Ахґуґ, перемещающихся вместе с полюсом А поступательно. Тогда

.

В полученном равенстве величина есть скорость полюса А; величина равна скорости , которую точка М получает при , т.е. относительно осей Ахґуґ или, иначе говоря, при вращении тела вокруг полюса А. Таким образом, из предыдущего равенства следует, что

.(10.2)

При этом скорость точки М во вращательном движении вокруг полюса А будет:

, (),(10.3)

где: - угловая скорость вращения тела.

Таким образом, скорость любой точки М тела геометрически складывается из скорости какой-нибудь другой точки А, принятой за полюс, и скорости точки М в ее вращении вместе с телом вокруг этого полюса.

Модуль и направление скорости находятся построением соответствующего параллелограмма (рис. 10.5).

Рис. 10.5

Теорема о проекциях скоростей двух точек тела

Теорема. Проекции скоростей двух точек твердого тела на прямую, соединяющую эти точки, равны друг другу (рис. 10.6):

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 10.6

Определение скоростей точек с помощью мгновенного центра скоростей

Мгновенным центром скоростей (м.ц.с.) называется точка сечения S тела, скорость которой в данный момент времени равна нулю.

Пусть в некоторый момент времени точки А и В сечения S тела имеют скорости V_A и V_B, непараллельные друг другу (рис. 10.7).

Рис. 10.7

Для определения мгновенного центра скоростей в данном случае необходимо из точки А восстановить линию а, перпендикулярную направлению вектора , а из точки В восстановить линию в, перпендикулярную направлению вектора скорости . Точка пересечения линий а и в является мгновенным центром скоростей для данного тела в этот момент времени. Таким образом, точка Р является м.ц.с. и поэтому скорость этой точки равна нулю в данный момент времени.

Если точку Р взять за полюс, то по формуле (10.2):

, так как .

Учитывая соотношение (10.3) получим

, ()

, (),

отсюда следует:

,(10.4)

Некоторые частные случаи определения мгновенного центра скоростей

1. Если плоскопараллельное движение осуществляется путем качения без скольжения одного цилиндрического тела по поверхности другого, причем второе тело неподвижное, то точка касания Р является мгновенным центром скоростей (рис. 10.8а).

а)б)в)

Рис. 4.8

2. Если скорости точек А и В тела параллельны друг другу, причем линия АВ не перпендикулярна к , то мгновенный центр скоростей лежит в бесконечности и скорости всех точек равны V_A и параллельны ей. Следовательно, все точки тела имеют одинаковую скорость по величине и направлению, т.е. тело имеет мгновенное поступательное движение. Угловая скорость тела в этот момент равна нулю (рис. 10.8б).

3. Если скорости точек А и В тела параллельны друг другу и при этом линия АВ перпендикулярна к , то мгновенный центр скоростей Р определяется построением показанным на рис. 10.8в.

Пример 1. (16.17).

Определить скорость точки к механизма, изображенного на рис. 4.9 если известно, что ОА = 20см, АВ = ВО₁, <ВАО₁ = 30⁰, угловая скорость кривошипа ОА = 2с^-1. Точка к является серединой звена ВО₁.

Решение

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 10.9

Точка к принадлежит звену ВО₁. Звено ВО₁ вращается вокруг неподвижного центра О₁. Поэтому направление вектора скорости в точке к будет перпендикулярно направлению звена ВО₁.

Так как угловая скорость кривошипа известна, то скорость в точке А будет равна:

.

Вектор скорости будет перпендикулярен к ОА, так как кривошип вращается вокруг неподвижного центра О.

Направление вектора скорости в точке В известно: вектор скорости будет перпендикулярен ВО₁.

Точки А и В принадлежат звену АВ: в точке А известны направление и модуль скорости; в точке В известно направление вектора скорости. Поэтому можно построить мгновенный центр скоростей для звена АВ. Для этого проводим через точку А линию, перпендикулярную направлению вектора , а через точку В проведем линию, перпендикулярную направлению вектора . Точка пересечения этих линий - Р является м.ц.с. для звена АВ в данный момент времени.

Используя соотношение (10.4) получим:

, отсюда следует, что

.

Из треугольника АРВ вследствие того, что <РАВ = 60⁰ и <РВА = 60⁰ следует, что данный треугольник равносторонний.

Поэтому РВ = РА, а это значит, что , т.е.

.

Так как О₁ - центр вращения звена ВО₁, поэтому точка О₁ является м.ц.с. для этого звена. Так как точка к является серединой звена ВО₁, то:

, или:

см/с.;

см/с.

Ответ: см/с.

Пример 2. (16.22).

Определить направления и значения скоростей точек обода колеса в положении I, II, III, IV, если колесо радиуса R = 0,5м катится без скольжения со скоростью V₀ = 10 м/с (рис. 10.10).

Решение

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 10.10

1. Определим скорость точки обода колеса в положении I. Так как точка МI принадлежит одновременно колесу и неподвижной плоскости, по которой это колесо перемещается, то эта точка является м.ц.с. Следовательно, ее скорость равна нулю, т.е. V₁ = 0.

2. Определим скорость точки М в положении II. Определим направление скорости, для этого соединим точки МI и МII прямой линией и проведем через точку МII линию, перпендикулярную ей. Это будет направление вектора скорости в точке MII. Тогда составим соотношение (10.4):

, отсюда .

Отрезок MIMII из треугольника MIOMII равен , тогда

(м/с).

4. Определим скорость точки М в положении III.

Так как точка MI является м.ц.с., то составим соотношение:

, отсюда ,

тогда (м/с).

5. Определим скорость точки М в положении IV.

Составим соотношение:

, отсюда

(м/с);

м/с.

Ответ:V₁ = 0, м/с, м/с, м/с.

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое плоскопараллельное движение твердого тела?

2. Определение скорости тела при плоском движении?

3. Что такое мгновенный центр скоростей твердого тела?

4. Метод построения мгновенного центра скоростей?

Задачи, рекомендуемые для самостоятельного решения: 16.1 - 16.39 [2].

Литература: [1], [3], [4].

Лекция 11

Определение ускорений точек тела при плоском движении

Положение точки М по отношению к осям Оху (рис. 11.4) определится радиусом вектора:

, где .

Дифференцируя дважды уравнение по времени, получим:

, отсюда следует, что

,(11.1)

где - ускорение точки А (полюс);

- ускорение точки при вращении вокруг точки А.

Так как точка М вращается вокруг полюса А по окружности, то разложим на составляющие - нормальную и касательную (рис. 11.1):

Тогда с учетом (11.1), получим (рис. 11.1а):

.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 11.1

Если полюс А движется не прямолинейно, то его ускорение будет слагаться из касательного и нормального и тогда

,(11.2)

Пример 1 (18.11).

Для механизма, представленного на рис. 5.2 угловое ускорение кривошипа ОА , ОА = 15см. Определить ускорение звена АВ в данном положении механизма, при t = 1c.

Решение

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 11.2

Вначале определим ускорение точки В, выбрав за полюс точку А:

.(1)

Так как точка А совершает вращательное движение по окружности вокруг неподвижного центра О, тогда:

,

где; - угловая скорость кривошипа ОА.

.

; , тогда: ;

.

Точка В совершает вращательное движение вокруг точки А по окружности, тогда

,

где - нормальная составляющая ускорения точки В при вращении вокруг полюса А;

;

- касательная составляющая ускорения точки В при вращении вокруг полюса А;

.

Для определения и определим скорость в точке В. Построим мгновенный центр скоростей для звена АВ. Точка О является м.ц.с. для звена АВ. Тогда

.

Так как , тогда

, отсюда .

Изобразим отдельно звено АВ с соответствующими ускорениями (рис. 11.3):

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 11.3

С учетом сделанных расчетов уравнение (1) запишем в виде:

.

Спроектируем это векторное уравнение ВА на оси координат:

.

Подставляя полученные значения, получим:

.

Из треугольника ОАВ сторона см.

; .

Тогда

Полученная система двух уравнений имеет две неизвестные: и . Решая эту систему относительно неизвестных, получим: см/с², знак минус (-) означает, что истинное направление ускорения точки имеет противоположное направление выбранному; - угловое ускорение звена АВ.

Так как точки D и В принадлежат одному звену DB, которое совершает возвратно-поступательное движение, поэтому все точки этого звена имеют одинаковые скорости и ускорения по величине и направлению. Вследствие этого ускорение точки D будет: см/с² и направлено вертикально вверх.

Ответ: см/с², .

Пример 2.

На рис. 11.4. представлен механизм в данном положении: , , , , , I₁ = 0,6м, I₂ = 1,2м, I₃ = 1,4м, I₄ = 0,8м, . Определить V_A, V_B, V_D, V_E, , , а_А, а_В, а_D, а_Е, , , , . Точка D является серединой звена I₂.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 11.4

Решение

Определим скорость точки А. Так как точка А движется по окружности, то

м/с.

м/с.

Вектор скорости перпендикулярен I₁.

Вектор скорости точки В направлен перпендикулярно звену I₄, а для вычисления модуля, определим мгновенный центр скоростей звена I₂, которому принадлежат точки А, В и C₂ - является мгновенным центром скоростей звена I₂. Составим соотношение:

, отсюда .

Так как угол С₂ВА = 60⁰, угол ВАС₂ = 180-120 = 60⁰, то угол ВС₂А = 60⁰.

Это означает, что треугольник ВС₂А является равносторонним поэтому

ВС₂ =АС₂, тогда V_B = V_A = 5,4 м/с., т.е. V_B = 5,4 м/с.

Для определения скорости точки D соединим точку С₂ с точкой D и проведем линию, перпендикулярную DC₂. Так как в равнобедренном треугольнике медиана является высотой и биссектрисой, то направление вектора скорости точки D совпадет с направлением звена I₂. Модуль скорости точки D определим из соотношения:

, отсюда .

Из прямоугольного треугольника DC₂A следует, что

(м)

(м/с); м/с.

; .

Направление скорости точки Е совпадает с направляющей ползуна, т.е. имеет вертикальное направление. Зная направления векторов скоростей точек D и Е, принадлежащих звену I₃, определим мгновенный центр скоростей звена I₃. Это будет точка С₃, тогда составим соотношение:

, отсюда .

Рассмотрим треугольник С₃DE. Так как угол С₃ = 30⁰ и угол Е = 30⁰, то этот треугольник равнобедренный, т.е. DE = DC₃;

(м);

Тогда (м/с); м/с.

; .

Определим угловую скорость звена I₄:

; .

Определим ускорение точки А (рис. 11.5).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 11.5

Точка А совершает вращательное движение по окружности вокруг неподвижного центра О₁. Поэтому ускорение точки А разложим на нормальную и касательную составляющие:

,

где (м/с²); м/с².

, так как по условию задачи , а , то , тогда . Поэтому м/с²; м/с².

Определим ускорение точки В, выбрав точку А за полюс. Тогда

,(1)

где - ускорение, связанное с вращением точки В вокруг А.

,(2)

Подставляя (2) в (1), получим:

.(3)

Так как точка В вращается вокруг неподвижного центра О₂, то разложим ускорение точки В на нормальную и касательную составляющие:

.(4)

Подставляя уравнение (4) в уравнение (3), получим:

.(5)

Выберем оси координат таким образом, что ось х будет направлена вдоль звена I₂.

Спроектируем уравнение (5) на оси координат:

на ось х:
на ось у:

(6)

Так как: (м/с²); м/с².

м/с².

(м/с²); м/с².

В системе двух уравнений (6) имеется две неизвестные: и , т.е. система уравнений имеет решение и притом только единственное. Подставим численные значения в систему уравнений (6):

Решая это уравнение, получим:

, отсюда следует, что

В связи с тем, что ,

; .

Ускорение точки В будет:

(м/с²);

м/с².

Определим ускорение точки D, выбрав за полюс точку А. Тогда

,(7)

Так как , а ускорение разложим на составляющие и (рис. 11.6).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 11.6

Учитывая, что , уравнение (7) примет вид:

.(8)

Спроектируем векторное уравнение (8) на выбранные оси координат:

на ось х:

на ось у:.

Полученная система двух уравнений имеет две неизвестные: и , так как м/с²; (м/с²); м/с²; (м/с²); м/с². Тогда полученная система двух уравнений примет вид:

Отрицательное значение указывает, что истинное направление вектора противоположно выбранному.

Ускорение точки D будет:

(м/с²);

м/с².

Определим ускорение точки Е. Направление вектора ускорения точки Е, будет совпадать с направляющей ползуна (рис. 11.7). На рис. 11.7 изображен фрагмент механизма, включающий звено I₃ и ползун Е.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 11.7

Ускорение точки Е будем определять, выбрав за полюс точку D, тогда:

,(9)

Учитывая, что , и , тогда уравнение (9) примет вид:

,(10)

Выберем оси координат, как показано на рис. 11.7, т.е. ось х направим вдоль направления звена I₃ и спроектируем векторное уравнение (10) на оси координат:

на ось х:

на ось у:.

Представленные два уравнения образуют систему двух уравнений с двумя неизвестными: и , так как м/с²; м/с²; (м/с²), т.е. м/с². Подставляя численные значения, получим систему двух уравнений с двумя неизвестными:

После преобразований получим:

отсюда следует

Ускорение точки Е составляет м/с² (знак минус указывает, что истинное направление вектора ускорения имеет противоположное значение выбранному).

Так как , то , т.е. .

Таким образом, определены все значения кинематических характеристик, указанные в вопросе задачи.

Вопросы для самоконтроля

1. Определение ускорений точек твердого тела?

2. Определение углового ускорения твердого тела при плоском движении?

Задачи, рекомендуемые для самостоятельного решения: 18.1 - 18.36 [2].

Литература: [1], [3], [4].

Лекция 12

Сложное движение точки

Если точка движется одновременно по отношению к двум системам отсчета, из которых одна считается условно неподвижной, а другая движется по отношению к первой, то движение, совершаемое при этом точкой, называется составным или сложным.

Например, человек перемещается по вагону поезда (подвижная система отсчета), который движется по отношению к Земле (неподвижная система отсчета).

Рассмотрим сложное движение точки М, перемещающейся по отношению к подвижной системе отсчета ОXYZ, которая в свою очередь как-то движется относительно другой системы отсчета O₁X₁Y₁Z₁ условно названной неподвижной (рис. 12.1).

Рис. 12.1

Движение, совершаемое точкой М по отношению к подвижным осям координат, называется относительным движением. Траектория АВ описываемая в относительном движении называется относительной траекторией. Скорость движения точки М по отношению к осям OXYZ называется относительной скоростью (обозначается ), а ускорение точки в этом движении - относительным ускорением (обозначается ). При вычислении и оси OXYZ можно считать неподвижными.

Движение, совершаемое подвижной системой отсчета OXYZ и всеми неизменно связанными с ней точками пространства по отношению к неподвижной системе O₁X₁Y₁Z₁ является для точки М переносным движением.

Скорость неизменно связанной с подвижными осями OXYZ точки m, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка М, называется переносной скоростью точки М в этот момент времени (обозначается ), а ускорение этой точки - переносным ускорением точки М (обозначается ).

На рис. 12.1 АВ - траектория точки М в относительном движении и к ней касательная в этой точке. Поскольку подвижная система координат OXYZ перемещается со скоростью , то результирующей скоростью будет , называемая абсолютной скоростью, которая является касательной к траектории CD, которая называется абсолютной траекторией. Движение точки М по абсолютной траектории - есть абсолютное движение, а ускорение - абсолютным ускорением.

Сложение скоростей

Теорема. При сложном движении абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей:

,(12.1)



Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 12.2

На рис. 12.2: АВ - траектория точки М в относительном движении;

- относительная скорость точки М;

А₁В₁- положение траектории точки М вследствие переносного движения.

Если угол между и составляет б, то формула (12.1) в скалярном виде будет:

,(12.2)

Сложение ускорений

Теорема Кориолиса. Абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме трех ускорений: относительного, характеризующего изменение относительной скорости в относительном движении; переносного, характеризующего изменение скорости в переносном движении и кориолисово, характеризующего изменение относительной скорости точки в переносном движении и переносной скорости в относительном движении.

,(12.3)

где - кориолисово ускорение.

.(12.4)

Кориолисово ускорение точки равно удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного движения на относительную скорость точки. Если угол между векторами и составляет угол б, то модуль кориолисова ускорения будет равен:

.(12.5)

Частные случаи. Кориолисово ускорение будет равно нулю в следующих случаях:

1. Когда , т.е. переносное движение является поступательным, или, если угловая скорость равна нулю;

2. Когда , т.е. когда относительная скорость равна нулю;

3. Когда и , т.е. когда относительное движение происходит по направлению, параллельному оси переносного вращения или, если в данный момент времени вектор параллелен этой оси.

Определение направления кориолисова ускорения (правило Жуковского Е.Н.):

Для определения направления кориолисова ускорения необходимо выполнить следующее:

5. провести плоскость, перпендикулярную вектору угловой скорости;

6. спроектировать на эту плоскость вектор скорости в относительном движении;

7. повернуть проекцию вектора скорости на 90⁰ по ходу вращения переносного движения.

Пример 1.

Точка М в относительном движении из положения движется по диагонали квадрата BCDA по закону , см. Квадрат BCDA вращается вокруг неподвижной оси по закону , рад. Сторона квадрата CD = 4см. Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение при t = 1c.

Решение

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 12.3

Определим абсолютную скорость точки М в момент времени t = 1c. Точка М перемещается по диагонали прямоугольника из положения . Так как относительное движение прямолинейное, то скорость точки М в относительном движении будет:

...