Статика. Кинематика

.

При t = 1c (м/с); м/с.

Вращательное движение точки М вокруг оси ОО₁ является переносным движением. Траектория переносного движения является окружность с радиусом r. Определим положение точки М на прямой АВ при t = 1c.

(см); см.

Из треугольника MDK следует, что

(см);

см.

Так как точка М совершает в переносном движении вращение по окружности с радиусом r, то скорость в переносном движении будет:

,

где - угловая скорость переносного движения.

;

.

Тогда

(см/с);

см/с.

Вектор скорости направлен по касательной к траектории в точке М, т.е. перпендикулярно плоскости чертежа.

Так как при сложном движении точки:

,

то вследствие того, что

, тогда см/с.

Абсолютная скорость точки М при t = 1c по модулю равна 43,1 см/с и направлена перпендикулярно плоскости чертежа (на нас).

Определим абсолютное ускорение точки М согласно теоремы сложения ускорений:

.

Так как в относительном движении точка движется по прямой, то:

.

При t = 1c, (см/с²);

см/с².

Вследствие движения точки М в переносном движении по окружности (рис. 12.4а):

,

где - нормальная составляющая ускорения в переносном движении.

(см/с²);

см/с²., вектор нормальной составляющей ускорения направлен по радиусу к оси вращения.

;

- угловое ускорение в переносном движении;

; .

Тогда ; .

Вектор касательной составляющей ускорения направлен в сторону направления вектора скорости (так как движение ускоренное, вследствие того, что ), т.е. перпендикулярно плоскости чертежа (на нас).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

а)б)

Рис. 12.4

Определим кориолисово ускорение:

или в скалярной форме:

,

где - угол между векторами и .

Так как , то и кориолисово ускорение равно нулю, т.е.:

см/с².

В результате проведенных вычислений установлено, что на точку М в момент времени t = 1c действует три составляющих ускорения: (рис. 12.4б). Векторы лежат в плоскости чертежа и угол между ними составляет 45⁰, тогда модуль суммы этих двух векторов будет:

,

(см/с²);

см/с².

Вектор находится в плоскости чертежа, а вектор - перпендикулярен плоскости чертежа, тогда результирующий вектор - вектор абсолютного ускорения будет:

или в скалярной форме:

(см/с²);

см/с².

Ответ: см/с, см/с².

Пример 2.

Точка М перемещается по окружности диска радиусом R = 2 см по закону из положения А. Диск вращается вокруг неподвижной оси по закону . Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t = 1c.

Решение

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 12.5

R = 2см;

l = 5см.

Анализ характера движения точки М (рис. 12.5) свидетельствует, что движение по окружности диска радиусом R является относительным, а движение диска вокруг неподвижной оси - переносное движение.

Определим положение точки М на окружности диска в момент t = 1c:

(см).

Длина дуги, пройденная точкой М за 1с, составляет см. Определим длину дуги в радианах:

(рад.)

Отсюда следует, что дуга, пройденная точкой М за 1с, составляет рад., или 90⁰ (положение М). Направление вектора скорости будет направлено по касательной к окружности в этой точке (рис. 12.5).

Определим абсолютную скорость точки М в момент t = 1c. По правилу сложения скоростей:

.

Модуль скорости в относительном движении будет:

; при t = 1c.

(см/с) см/с.

В переносном движении точка М совершает вращательное движение по окружности с радиусом вокруг неподвижной оси (рис. 12.6а).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

а)б)в)

Рис. 12.6

Направление вектора переносной скорости перпендикулярно плоскости чертежа в сторону «от нас».

Модуль скорости определим:

,

где - угловая скорость вращения диска вокруг оси.

; при t = 1c .

Тогда

(см/с);

см/с.

Векторы скоростей и ортогональны, так как расположены в двух взаимно пересекающихся плоскостях. Поэтому модуль результирующего вектора определим:

(см/с);

см/с.

Определим абсолютное ускорение точки М в момент времени t = 1c. Согласно правилу сложения ускорений:

.

В относительном движении ускорение точки М разложим на две составляющие и , так точка движется по окружности (рис. 12.6б):

,

где - нормальная составляющая вектора ускорения точки М в относительном движении.

(см/с); см/с.

Вектор направлен по радиусу к центру окружности О.

- касательная составляющая вектора ускорения точки М в переносном движении.

(см/с²); см/с².

Вектор направлен по касательной и окружности и совпадает с направлением вектора скорости, так как движение ускоренное.

Так как в переносном движении точка М движется по окружности вокруг неподвижной оси, то ускорение разложим на составляющие (рис. 12.6а):

,

где - нормальная составляющая вектора ускорения в переносном движении.

(см/с²); см/с².

Вектор направлен к неподвижной оси.

- касательная составляющая вектора ускорения в переносном движении.

;

- угловое ускорение диска в переносном движении:

; .

(см/с²); см/с².

Вектор направлен перпендикулярно плоскости чертежа и совпадает с направлением вектора скорости переносного движения (так как движение ускоренное).

Определим кориолисово ускорение:

.

Модуль кориолисова ускорения равен:

,

где - угол между векторами и .

Согласно «правила буравчика» в данном случае вектор угловой скорости переносного движения направлен параллельно неподвижной оси, вокруг которой вращается диск. Тогда расположение векторов и будет таким, как представлено на рис. 12.6в. В этом случае вектор кориолисова ускорения, согласно правила Жуковского, будет направлен перпендикулярно плоскости чертежа «на нас».

Модуль будет равен:

(см/с²);

см/с².

Таким образом, на точку М действуют пять составляющих ускорений (рис. 12.7).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 12.7

Векторы и лежат вдоль одной прямой в одну сторону, поэтому сумма этих векторов будет:

,

(см/с²).

Векторы и направлены вдоль одной прямой, но в противоположные стороны, тогда результирующий вектор будет:

,

(см/с²).

Получившаяся система векторов , и образуют ортогональную систему, т.е. взаимноперпендикулярны, поэтому результирующий вектор можно представить:

,

(см/с²)

см/с².

Ответ: см/с, см/с².

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое сложное движение точки?

2. Что такое относительное движение? Его кинематические характеристики?

3. Что такое переносное движение? Его кинематические характеристики?

4. Что такое абсолютное движение? Его кинематические характеристики?

5. Как определяется абсолютная скорость точки?

6. Теорема Кориолиса?

7. Как определяется величина и направление кориолисова ускорения?

Задачи, рекомендуемые для самостоятельного решения: 22.1 - 22.24, 23.1 - 23.66 [2].

Литература: [1], [3], [4].

Приложения

Приложение 1

Программа по теоретической механике (извлечение)

Статика твердого тела

Основные понятия и аксиомы статики

Предмет статики. Основные понятия статики: материальная точка, система материальных точек, абсолютно твердое тело, сила, система сил, эквивалентные системы сил, равнодействующая, уравновешенная система сил, силы внешние и внутренние. Аксиомы статики. Связи и реакции связей. Основные виды связей и их реакции: гладкая плоскость, поверхность и опора, идеальный стержень, идеальная нить, цилиндрический и сферический шарниры (подпятник), жесткое защемление.

Система сходящихся сил

Геометрический и аналитический способы сложения сил. Сходящиеся силы. Равнодействующая сходящихся сил. Геометрические и аналитические условия равновесия пространственной и плоской систем сходящихся сил. Теорема о равновесии трех непараллельных сил.

Теория пар сил

Момент силы относительно точки (центра) как вектор. Пара сил. Момент пары сил как вектор. Теорема об эквивалентности пар. Сложение пар, произвольно расположенных в пространстве. Условия равновесия системы пар.

Приведение произвольной системы сил к данному центру

Теорема о параллельном переносе силы. Основная теорема статики о приведении системы сил к данному центру. Главный вектор и главный момент системы сил.

Система сил, произвольно расположенных на плоскости

(плоская система сил)

Алгебраическая величина момента силы. Вычисление главного вектора и главного момента плоской системы сил. Частные случаи приведения плоской системы сил: приведение к паре сил, к равнодействующей и случай равновесия. Аналитические условия равновесия плоской системы сил. Три вида условий равновесия системы сил на плоскости. Условия равновесия плоской системы параллельных сил. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей относительно точки.

Сосредоточенные силы и распределенные нагрузки

Силы, равномерно распределенные по отрезку прямой, их равнодействующая. Реакция жесткого защемления. Равновесие системы тел. Статически определимые и статически неопределимые системы. Равновесие при наличии сил трения. Коэффициент трения. Предельная сила трения. Угол и конус трения.

Система сил, произвольно расположенных в пространстве

(пространственная система сил)

Момент силы относительно оси и его вычисление. Зависимость между моментами силы относительно оси, проходящей через этот центр. Формулы для вычисления моментов сил относительно трех координатных осей. Вычисление главного вектора и главного момента пространственной системы сил. Частные случаи приведения пространственной системы сил: приведение к паре сил, к равнодействующей, к динамическому винту и случай равновесия. Аналитические условия равновесия произвольной пространственной системы сил. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей относительно оси.

Центр параллельных сил и центр тяжести

Центр параллельных сил. Формулы для определения координат центра параллельных сил. Центр тяжести твердого тела, формулы для определения его координат. Координаты центров тяжести однородных тел (центры тяжести объема, площади, линии). Способы определения положения центров тяжести тел. Центры тяжести дуги окружности, треугольника, кругового сектора.

Кинематика

Введение в кинематику

Предмет кинематики. Пространство и время в классической механике. Относительность механического движения. Система отсчета. Задачи кинематики.

Кинематика материальной точки

Векторный способ задания движения материальной точки. Траектория движения точки. Скорость движения точки, как производная по времени ее радиус-вектора. Ускорение движения точки, как производная по времени ее вектора скорости.

Координатный способ задания движения материальной точки (в прямоугольных декартовых координатах). Определение траектории движения точки. Определение скорости и ускорения точки по их проекциям на координатные оси.

Естественный способ задания движения материальной точки. Естественный трехгранник. Алгебраическая величина скорости точки. Определения ускорения точки по его проекциям на оси естественного трехгранника, касательное и нормальное ускорение точки. Равномерное и равнопеременное криволинейное движение материальной точки, законы этих движений.

Кинематика твердого тела

Поступательное движение

Поступательное движение твердого тела. Теорема о траекториях, скоростях и ускорениях точек твердого тела при поступательном его движении.

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

(вращательное движение)

Уравнение или закон вращательного движения твердого тела. Угловая скорость и угловое ускорение твердого тела. Законы равномерного и равнопеременного вращения. Скорость и ускорение отдельной точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Векторы угловой скорости и углового ускорения вращающегося твердого тела. Выражение скорости точки вращающегося тела и ее касательного и нормального ускорений в виде векторных произведений. Передача вращательного движения. Передаточное отношение и передаточное число.

Плоскопараллельное (плоское) движение твердого тела

Плоское движение твердого тела и движение плоской фигуры в ее плоскости. Уравнение движения плоской фигуры. Разложение движения плоской фигуры на поступательное вместе с полюсом и вращательное вокруг полюса. Независимость угловой скорости и углового ускорения фигуры от выбора полюса. Определение скорости любой точки плоской фигуры как геометрической суммы скорости полюса и скорости этой точки при вращении фигуры вокруг полюса. Теорема о проекциях скоростей двух точек фигуры (тела) на прямую их соединяющую. Мгновенный центр скоростей. Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей. Определение ускорения любой точки плоской фигуры как геометрической суммы ускорения полюса и ускорения этой точки при вращении фигуры вокруг полюса. Понятие о мгновенном центре ускорений.

Движение твердого тела вокруг неподвижной точки

(или сферическое движение)

Углы Эйлера. Уравнение движения твердого тела вокруг неподвижной точки. Мгновенная ось вращения тела. Векторы угловой скорости и углового ускорения тела. Определение скоростей и ускорений точек твердого тела, имеющего одну неподвижную точку.

Общий случай движения свободного твердого тела

Разложение движения свободного твердого тела на поступательное и вращательное. Уравнение движения свободного твердого тела. Определение скоростей и ускорений точек свободного твердого тела в общем случае.

Сложное движение материальной точки и твердого тела

(составное движение)

Абсолютное и относительное движение точки, переносное движение точки. Относительная, переносная и абсолютная скорость и относительное, переносное и абсолютное ускорение материальной точки. Теорема о сложении скоростей. Теорема Кориолиса о сложении ускорений. Модуль и направление ускорения Кориолиса. Случай поступательного переносного движения.

Сложное движение твердого тела. Сложение поступательных движений. Сложение мгновенных вращений твердого тела вокруг пересекающихся и параллельных осей. Пары мгновенных вращений. Кинематический винт. Мгновенная винтовая ось.

Приложение 2

Вопросы, выносимые на модульный контроль.

1. Аксиомы статики. Основные типы балок и их реакции.

2. Система сходящихся сил. Условия равновесия системы сходящихся сил.

3. Момент силы относительно точки и оси. Их взаимозависимость.

4. Пара сил. Теоремы об эквивалентности и сложении пар сил.

5. Приведение силы и системы сил к заданному центру.

6. Вычисление главного вектора и главного момента пространственной системы сил.

7. Случаи приведения пространственной системы сил. Условия равновесия пространственной системы сил.

8. Приведение пространственной системы сил к равнодействующей.

9. Теоремы Вариньона для плоской и пространственной системы сил.

10. Приведение пространственной системы сил к двум скрещивающимся силам или силовому винту (динаме).

11. Случаи приведения плоской системы сил к заданному центру. Условия равновесия плоской системы сил.

12. Сосредоточенные силы и распределенные нагрузки. Реакция жесткой заделки.

13. Центр тяжести твердого тела, плоской фигуры, материальной линии.

14. Равновесие при наличии сил трения.

15. Основные понятия кинематики. Способы задания движения точки.

16. Определение вектора скорости и ускорения при векторном способе задания движения точки.

17. Определение вектора скорости и ускорения при координатном способе задания движения точки.

18. Определение вектора скорости и ускорения при координатном способе задания движения точки.

19. Теорема о траекториях, скоростях и ускорениях точек поступательно движущегося тела.

20. Вращательное движение твердого тела.

21. Линейные характеристики точек вращающегося твердого тела и их векторное представление.

22. Угловые характеристики точек вращающегося твердого тела и их векторное представление.

23. Разложение плоского движения твердого тела.

24. Теорема о скоростях точек плоской фигуры и ее следствия.

25. Мгновенный центр скоростей. Определение с помощью МЦС скорости любой точки плоской фигуры.

26. Теорема об ускорениях точек плоской фигуры и ее следствия.

27. Мгновенный центр ускорений. Определение с помощью МЦУ ускорения любой точки плоской фигуры.

28. Сложное движение точки. Разложение сложного движения на переносное и относительное.

29. Теорема о сложении скоростей при сложном движении.

30. Теорема Кориолиса.

31. Модуль и направление кориолисова ускорения.

Список литературы

1. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. Учебник. - М.: Наука. 1974 - 478с.

2. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. Учебное пособие. - М.: Наука. 1986. - 448с.

3. Костюченко В.А., Булгаков А.М., Березовый Н.Г. Теоретическая механика. Кинематика. Учебное пособие. Методические указания и задания для выполнения расчетно-графических работ. - Киев. НАУ. 2001. - 126с.

4. Максимов А.Б. Теоретическая механика. Кинематика. Методические указания к выполнению практических занятий. Керчь. КГМТУ. 2009. - 122с.

Размещено на Allbest.ru

...