Вычислительная техника в измерительных информационных системах

,

Где

.

Пассивные цепи осуществляют операцию суммирования с точностью, определяемой погрешностью задания входных сигналов и погрешностью элементов схемы. Недостаток таких схем - зависимость результатов суммирования от числа слагаемых и сопротивления нагрузки, входящего в коэффициент. Это сильно ограничивает возможности варьирования коэффициентами передачи схемы по каждому входу. Поэтому пассивные суммирующие цепи применяют в неответственных вычислительных устройствах.

Активное суммирующее устройство. Суммирование электрических напряжений можно выполнить на основе операционного усилителя. При использовании в различных вычислительных устройствах ОУ охватывается глубокой отрицательной обратной связью, а на входе могут включаться различные функциональные элементы. Такие устройства получили название активных, так как используют операционный усилитель. На рис. 2.5.3. показана схема активного суммирующего устройства.



Рис. 2.5.3. Схема суммирующего усилителя.

На рисунке и далее приняты следующие обозначения: e_i(t) - входные сигналы (напряжение); R_i - резисторы, стоящие на входе ОУ; R₀ - резисторы обратной связи; u(t) - выходное напряжение; е₀(t) -напряжение, действующее на входе ОУ, напряжение в суммирующей точке усилителя; i_вх - входной ток в усилитель; К_у - коэффициент усиления ОУ.

Для обеспечения нормальной работы решающего усилителя к ОУ предъявляется ряд требований:

для снижения общей погрешности схемы он должен иметь большой коэффициент усиления К_у;

для осуществления отрицательной обратной связи ОУ должен инвертировать знак входного напряжения;

входные токи усилителя должны быть сведены к минимуму (i_вх0);

при нулевом входном сигнале напряжение на выходе ОУ должно быть равно нулю. В противном случае смещение или дрейф нуля выходного напряжения увеличивает общую погрешность схемы.

С учетом этих требований на основании закона Кирхгофа сумма токов, протекающих через входные резисторы R_i, равна току, протекающему через резистор обратной связи R₀:

.

Напряжение на выходе ОУ равно:

.

Совместное решение обоих уравнений в результате исключения величины e₀(t) дает выражение для выходного напряжения схемы:

. (2.7)

Так как К_у очень велик (для реальных усилителей он выбирается в пределах от нескольких десятков тысяч до нескольких миллионов), то при одинаковом порядке сопротивлений резисторов на входе и в обратной связи можно принять, что

.

Окончательная формула активного суммирующего устройства имеет вид:

, (2.8)

где u₀(t) - выходное напряжение идеального сумматора; K_i=R₀/R_i - коэффициент передачи суммирующего усилителя по i - му входу.

Формула (2.8.) показывает, что рассматриваемая схема удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к суммирующим цепям. Она имеет одинаковый изменяющийся в широких пределах диапазон входных и выходных напряжений, позволяет легко осуществлять вариацию передаточных коэффициентов изменением сопротивления входного резистора независимо по каждому входу. При этом знак выходного напряжения всегда противоположен знаку входного. В схеме, показанной на рис. 2.5.3., изменение коэффициента передачи по каждому входу осуществляется дискретно в соответствии с номинальными значениями резисторов R₀ и R_j. Плавное изменение коэффициента передачи производится в усилителе, построенном в усилителе, построенном по схеме рис. 2.5.4. На входе резистора R_j поступает часть j входного напряжения e_j(t), снимаемого с потенциометра П_j. Формула (2.4.) для схемы с одним входом имеет вид:

u(t) = -(r₀/R_j) _j e_j(t) = - K_j e_j(t), (2.9.)

где _j - коэффициент, лежащий в пределах 0 < _j <1.

Коэффициент передачи K_j = (r₀/R_j) _j принимает любые значения в пределах от нуля до r₀/R_j в зависимости от значения _j , т.е. от положения движка потенциометра.

Рис. 2.5.4. Решающий усилитель с плавным изменением коэффициента передачи.

Точность операции суммирования определяется погрешностями, возникающими из-за конечного значения коэффициента усиления ОУ, дрейфа нуля ОУ, неточностей изготовления резисторов, входного тока ОУ и динамическими погрешностями.

Погрешности от конечного значения коэффициента усиления ОУ. Выражение 2.7. показывает, что чем больше коэффициент усиления К_у, тем с большей точностью схема, приведенная на рис. 2.5.4. выполняет операцию суммирования. Предельное значение коэффициента выбирается на основании заданной точности работы усилителя. Абсолютная погрешность схемы определяется разностью двух значений выходного напряжения - точного (2.7.) и приближенного - (2.8.).

u_k(t) = u₀(t) - u(t), (2.10)

а относительная погрешность

u_k = u_k / u₀, (2.11.)

После подстановки в (2.7. формул (2.3. и 2.4.) и преобразований получим:

u_k = . (2.12)

Одну из основных погрешностей работы решающего усилителя создает дрейф нуля ОУ. Это возникновение медленно меняющегося напряжения на выходе схемы усилителя при постоянном входном сигнале, в том числе и при входном напряжении, равном нулю. Он целиком обусловлен внутренними явлениями, протекающими в схеме ОУ. Оценку влияния дрейфа нуля усилителя на точность выходного напряжения ОУ рассмотрим на примере схемы, изображенной на рис. 2.5.4, предполагая для простоты, что j = 1. Тогда уравнение токов внешней цепи усилителя и уравнение усилителя имеет вид:

[e_j (t) - e_c (t)] / R_j = [e_c (t) - u (t)] / R_o. (2.13.)

u (t) = - K_у[e_c(t) e_др(t)],

где e_др - приведенный ко входу дрейф нуля. Это такое напряжение, которое следует подавать на вход усилителя в каждый данный момент, чтобы компенсировать погрешность в выходном напряжении.

В первое уравнение токов дрейф e_др(t) не входит, так как он действует только внутри принципиальной схемы ОУ. Совместно решая два последних уравнения и исключая e_c(t), получим выходное напряжение схемы:

Имея в виду, что коэффициент усиления К_у имеет большое значение, пренебрегая в знаменателях членами, содержащими К_у, получим:

u (t) = - (R_o/R_j) e_j(t) (R_o/R_j) e_др(t) e_др(t) (2.14)

откуда, сравнивая с (2.9.), видно, что погрешность выходного напряжения от дрейфа нуля усилителя:

u_др(s) = (R_o/R_j) e_др(t) e_др(t). (2.15.)

Погрешность от неточностей изготовления резисторов. Погрешность выходного напряжения суммирующего усилителя в зависимости от отклонения сопротивления входных резисторов R_j и резистора обратной связи R_o от номинальных значений определяется по формуле:

u_R(t) = - .

Принимая за основу формулу (2.8.) идеального суммирующего усилителя, получим:

u_R(t) = - . (2.16.)

Погрешность выходного напряжения схемы усилителя прямо пропорциональна первичным погрешностям резисторов, включенных на входе и в цепи обратной связи. Уменьшение этой погрешностей достигается постановкой прецизионных, как правило, проволочных резисторов, имеющих точность порядка 0,03-0,05 % при небольших значениях температурного коэффициента.

Инвертирующий усилитель. При анализе различных схем предположим, что входные токи по инверсному и неинверсному входам равны нулю. Следовательно, для схемы (рис. 2.5.5.), считая входной ток усилителя i_вх = 0,имеем I₁ = I₀ или e₁(t) / R₁ = - u (t) / R₀. Отсюда u (t) = - e₁(t) R0 / R₁ = - Ke (t). Поскольку выходное напряжение имеет знак, противоположный входному, то такая схема называется инвертирующим усилителем.



Рис. 2.5.5. Схема дифференциального ОУ с заземленным неинвентирующим входом.

Инвертирующий сумматор. В практических схемах аналогичных устройств используется схема, в которой к инверсному входу дифференциального ОУ подсоединить несколько входных резисторов (рис. 2.5.6.). Образуется схема инвертирующего суммирующего усилителя - сумматора. Напряжение на инверсном входе u равно потенциалу земли. По закону Кирхгофа I₀ = I₁ = I₂ = ... = I_n. Поскольку I₀ = - u (t) / R₀; I₁ = e₁ (t) / R₁; I₂ = e₂ (t) / R₂ и т.д., то

u (t) = - [e₁ (t)R₀/R₁ + e₂ (t) R₀/ R₂ + ... + e_n (t) R₀/ R_n] или

u (t) = - K_je_j(t), то есть получили формулу, аналогичную (2.8)

Рис. 2.5.6. Схема инвертирующего суммирующего усилителя.

Неинвертирующий усилитель (рис. 2.5.7.). Напряжение на инверсном входе u^- = u (t) R₁ /(R₁ +R₀). Поскольку должно выполняться условие равенства сигналов на инверсном и неинверсном входах, т. е. e (t) = u

и можно записать

u (t) = e (t) (I + R₀/R₁). (2.17)

Из полученного выражения видно, что происходит усиление входного напряжения без изменения знака с коэффициентом усиления

К = l + R₀/R₁. В частном случае, если R₀ = 0, то напряжение на выходе

u (t) = e (t), т. е. усилитель работает в режиме повторителя.

Рис. 2.5.7. Схема неинвертирующего усилителя.

Неинвертирующий сумматор. (рис. 2.5.8.). Напряжение на инверсном и неинверсном входах равны, т.е.

= u⁺ = u (t) R_вх/ (R_вх + R₀). (2.18.)

Поскольку считаем, что неинвертирующий вход не потребляет тока, можно записать:

[[e₁ (t) - u⁺] / R₁ + e₂ (t) - u⁺] + ... + [e_n (t) - u⁺] / R_n = 0.

Поэтому:

. (2.19.)

Подставляя в (2.19.) равенство (2.18.) и решая относительно выходного напряжения, получим:

Если сопротивление входных резисторов равны, т.е. R_i = R, то (2.20.) можно записать в виде:

u (t) = .

R_вх R₀

R₁ u^(-)

e₁(t)

R₂

e₂(t) u(t)

u⁽⁺⁾

e_n(t)

R_n

Рис. 2.5.8. Схема неинвертирующего сумматора.

Сумматор-вычислитель. Схема, показанная на рис. 2.5.9. осуществляет вычитание сумм напряжений, подаваемых на инверсный и неинверсный входы ОУ.

При равенстве нулю входных токов усилителя для неинверсного входа в соответствии с законом Кирхгофа имеем:

.

После преобразований получим

.

Для инверсного входа справедливо выражение:

.

Дифференцирующие устройства.

Дифференцирующие устройства выполняют операцию дифференцирования. Принципиальная возможность выполнения этих операций с помощью конденсатора вытекает из формулы:

,

т.е. ток через конденсатор i_c(t) зависит от величины емкости С и производной от напряжения на ней u_с(t). Следовательно, для пассивной дифференцирующей цепи (рис. 2.6.1.) можно записать в соответствии с законами Кирхгофа:

i₁(t)=i₂(t).

Рис. 2.6.1. Пассивная дифференцирующая цепь.

Предположим, что R в цепи значительно меньше сопротивления нагрузки, тогда можно записать:

.

Решив это уравнение получим:

. (2.21.)

Полученное выражение показывает, что выходной сигнал содержит собственно производную и ошибку, которая вычитается из нее и связана с влиянием выходного сигнала на входные цепи:

.



U

U_вых

U_{вых 0}

U

U_вых(t)

t

Рис. 2.6.2.

Анализ погрешности показывает, что она соизмерима с основным сигналом.

Для условий, когда U_вх =kU(t), U(0)=0 решение дифференциального уравнения при имеет вид:

В соответствии с произведенным выше анализом видно, что выражение содержит собственно производную, а выражение - это ошибка.

U(t)=

Эта формула позволяет определить время, начиная с которого относительная погрешность не превышает заданной величины:

t=RClnU(t).

Таким образом, погрешность уменьшается с уменьшением величины, но это понижает и уровень выходного сигнала.

Из рисунка (2.6.2.) видно, что при подаче на вход линейно нарастающего сигнала U_вх идеальная производная должна была быть равна постоянной величине U_вых, однако , формируется ошибка U и сигнал U_вых (t) имеет вид экспоненты.

Рис. 2.6.3. Активное дифференцирующее устройство

Активное дифференцирующее устройство, построено на основе операционного усилителя. Схема с ОУ и RC-цепью имеет вид:

Для такой схемы в соответствии с законами Кирхгофа можно записать:

,

(2.22)

.

Преобразовав эту формулу, получим:

и далее

.

При К_у 0 первый член уравнения достаточно точно описывает операцию дифференцирования, а второй член описывает погрешность равную

,

которая в (К_у+1) раз меньше, чем погрешность для пассивной дифференциальной цепи.

Решение уравнения (2.22) дает

или при K_y

,

,

а относительная погрешность:

,

где - результат идеального дифференцирования.

Отсюда при заданной U t₁ = ln U доп .

В практических целях информационно - измерительной технике часто диффренцирующие устройства используются для формирования сигналов управления из различных импульсов.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2.6.4.

При использовании дифференцирующих устройств для решения уравнений возникает опасность формирования ложных сигналов из импульсных помех, поэтому их применение в этих схемах ограничено.

Интегрирующие устройства

Интегрирующие устройства, как и дифференцирующие устройства используют свойства конденсатора. Электрический ток, протекающий через конденсатор, пропорционален скорости изменения напряжения на нем:

,

отсюда

.

Это описание процессов дифференцирования и интегрирования справедливо при идеальных условиях (внутреннее сопротивление источника напряжения стремится к 0, источника тока стремится к бесконечности).

Однако, особенно в пассивных цепях, это не так. Рассмотрим пассивную интегрирующую RC-цепь (рис.2.7.1.).

Рис. 2.7.1. Схема интегрирующей RC-цепи.

Для такой цепи можно записать:

i₁(t)=i₂(t)+i₃(t)

и далее, с учетом параметров цепи:

(2.23.)

или

(2.24)

или иначе:

,

где u₀(t) - идеальное интегрирование, а второй член абсолютная ошибка интегрирования.

При u_вх(t)=const=E, идеальное решение определяется выражением

.

Общее решение уравнения ( 2.23.) имеет вид:

.

Если = К_у - коэффициент усиления схемы,

=Т - постоянная времени цепи.

U₀(t) = К_у



U

U₀=

U_вх =

U U_вых(t)

t

Пользуясь приведенной выше методикой можно определить время работы цепи, в пределах допустимой ошибки.

Недостатки интегрирующей RC - цепи прежде всего определяются:

1. Малым временем интегрирования.

2. Слишком малым выходным напряжением при заданной погрешности.

3. Цепь может работать на высокоомную нагрузку.

Активное интегрирующее устройство использует операционный усилитель, охваченный глубокой отрицательной обратной связью и выполняющий математические операции интегрирования. Активный интегратор широко используется в аналоговых вычислительных устройствах и информационно-измерительной технике, его схема имеет вид,

приведенный на рис. 2.7.2:

Рис. 2.7.2. Активное интегрирующее устройство.

На основании законов Кирхгофа можно записать:

.

Совместно решаем систему уравнений, исключив

,

получим:

,

или

и далее

.

Полученное выражение можно проинтегрировать и получить:

(2.25.)

результат ошибка

При К_у, стремящимся к бесконечности,

стремится к 1,

а стремится к 0,

тогда. (2.26.)

Первый член выражения (2.25.) в раз меньше, чем правый член выражения пассивной цепи (2.24). Следовательно, выражение (2.26) обеспечивает выполнение операции интегрирования с точностью в К_у раз большей, чем пассивная RC-цепь.

При выполнении интегрирования необходимо установить начальное условие при t=0.

Это обеспечивает схема, показанная на рисунке 2.7.3. До подачи входного сигнала на интегратор с помощью коммутатора К на емкость С подается заранее определенное напряжение U₀,которое формируется цепью +/- Е, R₂, C, R₃. После отключения этой цепи на емкости остается исходное напряжение, с уровня которого и ведется интегрирование.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2.7.3.

На практике часто используются интеграторы со многими входами и одновременным выполнением операций интегрирования и суммирования. Выходной сигнал определяется формулой:

U_вых(t)=

Для многовходового интегратора, использующего инвертирующий и неинвертирующий входы (рис. 2.7.4.) выражение для U_вых имеет вид:

U_вых=

Величина емкости выбирается обычно равной С₁ = С₂ = С. Суммарная проводимость цепей по инверсному и неинверсному входам:

g ^- = ; g ⁺ = должны быть равны.

Если этого нет, то требуется соединить с землей дополнительный резистор по соответствующему входу, чтобы выполнилось условие:

g ^- = g ⁺ .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2.7.4.

Контрольные вопросы

Какие примеры использования методов моделирования для решения практических задач Вам известны?

На чем основана система аналогий?

Какие методы построения аналоговых вычислительных устройств Вам известны?

Какие виды погрешности характеризуют точность работы аналоговых вычислительных устройств?

Каково назначение основных дифференциальных устройств, используемых в аналоговой технике?

Чем определяется погрешность пассивных суммирующих устройств?

Проведите сравнительный анализ погрешностей пассивного и активного суммирующих устройств. Какие факторы оказывают наибольшее влияние на точность работы суммирующих устройств?

Выведите формулу определения времени дифференцирования пассивной дифференцирующей цепи при заданной относительной ошибке: при R = 1 Ом, C = 0,1 мкф, u = 2 %.

Какие примеры применения активного дифференцирующего устройства Вам известны? Приведите схемы и их характеристики.

Обоснуйте по формулам, описывающих работу пассивной интегрирующей цепи, ее недостатки.

Как задать начальные условия при t = 0 для активного интегрирующего устройства?

Какие основные источники погрешностей у пассивной интегрирующей цепи и активного интегрирующего устройства?

Раздел III. Цифровые вычислительные устройства

Основные понятия и определения цифровой вычислительной техники

Вычислительные устройства, выполняющие вычислительные и логические операции на основе представления информации в цифровых, или иначе, дискретных кодах, называют цифровыми. На их основе строят вычислительные машины, которые используют, как правило, электронные компоненты в качестве элементной базы. Такие электронные вычислительные машины получили широкое применение в конце 50-х годов.

В 1948 году американский ученый Дж. Фон Нейман сформулировал общие принципы построения ЭВМ, которые легли в основу построения вычислительных машин и не потеряли своего значения и в настоящее время. Блок-схема неймановской структуры ЭВМ содержит блоки памяти, управления, вычисления и отображения. На рис. 2.1 представлен вариант формирования такой структуры.

Рис. 3.1.1. Общая структура ЭВМ.

В ЭВМ неймановской структуры вычислительный процесс при решении любой задачи разворачивается во времени. Это означает, что любая сложная задача, которую нужно решить на ЭВМ, разбивается на более простые шаги - операции, выполняемые последовательно во времени. Для выполнения этих операций используется специальный блок: арифметико-логическое устройство, или АЛУ. Для хранения исходных и промежуточных данных, результатов вычислений, а так же инструкций, определяющих когда и в каком порядке необходимо выполнять те или иные операции, используется оперативная память (ОП). Набор инструкций, указывающих порядок выполнения операций, носит название алгоритма вычислений. Алгоритм вычислений, представленный в виде, пригодном для записи в ОП ЭВМ, носит название программы вычислений. Каждая отдельная инструкция, представленная в виде, пригодном для записи в ЭВМ, носит название команды. Таким образом, программа вычислений представляет собой упорядоченную последовательность команд.

Команды программы поочередно выбираются из ОП и поступают в центральное устройство управления (ЦУУ), которое инициирует выполнение указанных в команде действий. Например, если в команде указана операция, которая должна быть выполнена в АЛУ, то ЦУУ выберет из ОП величины, участвующие в операции, называющиеся операндами. Операндами могут быть не только числовые данные, но и символьная информация, логические данные и сами команды.

Все основные процессы по обработке информации протекают в ЦУУ и АЛУ. В связи с этим указанные устройства рассматривают как самостоятельное устройство, называемое процессором. В настоящее время практически не различают понятия ЭВМ и ЦВМ, поэтому мы будем пользоваться обоими обозначениями.

Для того чтобы ЭВМ решила некоторую задачу, необходимо в ОП записать программу вычислений и исходные данные. Для ввода в ОП указанной информации, а так же для вывода из ОП результатов вычислений используются специальные устройства, получившие название устройств ввода-вывода (УВВ). В качестве УВВ чаще всего выступают клавиатура, манипулятор типа «мышь», печатающие устройства, электронные устройства отображения - дисплеи, графопостроители и другие устройства.

Выполнение операций ввода-вывода возлагается на специализированное устройство - канал ввода-вывода (КВВ). В некоторых ЭВМ функции КВВ выполняет сам процессор. Для хранения информации, не участвующей в текущий момент времени в обработке, используется внешняя память, которая состоит из внешних запоминающих устройств (ВЗУ), подключаемых к ОП через каналы ввода-вывода. В ВЗУ хранится информация, периодически вступающая в обработку и для этого пересылаемая в ОП. Чаще всего в качестве ВЗУ в ЦВМ используются накопители на магнитных дисках. УВВ и ВЗУ часто объединяют в общую группу внешних устройств ЭВМ.

Характеристики ЭВМ

В ЭВМ хранится, передается и перерабатывается цифровая информация. Единицами количества дискретной информации являются бит, поле, байт, слово и массив слов.

Битом называется двоичная переменная, принимающая значение «0» или «1». Последовательность битов, имеющая определенный смысл, называется полем. Каждое поле имеет длину, равную количеству битов в поле. Поле, имеющее длину 8 бит, называется байтом. Последовательность битов и байтов, имеющая некоторый смысл, называется словом. Последовательность полей, байтов и слов имеющих одинаковый смысл, образует массив.

К основным характеристикам цифровых вычислительных машин обычно относят номинальное быстродействие, емкость памяти, среднее время решения задач, производительность, стоимость.

Номинальное быстродействие под этим понимают количество простейших операций типа “сложение”, выполняемых последовательно АЛУ за 1 секунду. Будем обозначать номинальное быстродействие символом . Так, например, в паспортных данных ЦВМ указывается ее = 200 тыс. оп/сек. Это означает, что АЛУ ее процессора за 1 секунду может выполнить подряд 200 тыс. операций типа “сложение”. Иногда быстродействие ЭВМ определяют во флопах. Один флоп равен 1 млн. операций в секунду. Для оценки быстродействия используется также такой параметр, как тактовая частота - это частота тактовых импульсов синхронизации, вырабатываемых специальной схемой тактового генератора.

Емкость памяти, особенно ОП, во многом определяет класс решаемых на ЦВМ задач. Чем больше емкость памяти ЦВМ, тем более сложные алгоритмы можно записывать в нее. Обычно емкость памяти измеряется в битах, килобитах, мегабитах, словах, килословах и т.д.

Необходимо помнить, что 1 кБайт = 2¹⁰ байт = 1024 байт. Если емкость измеряется в килобайтах, то слово “байт” часто опускается. Так, например, если говорят, что емкость памяти некоторой ЦВМ равна 32 К, то это равносильно 32 Кбайт. Емкость памяти будем обозначать символом Е.

Среднее время решения задачи Т_ср - интегральная характеристика ЭВМ. Эта величина складывается из времени счета Т_сч и времени простоя Т_пр.

Рис. 3.2.1. Зависимость Т_сч от сложности ЦВМ.

Как видно из рисунка, время счета существенно зависит от сложности ЦВМ (вернее, от сложности ее процессора). Усложнение с одной стороны позволяет уменьшить время решения задачи. С другой стороны, с усложнением ЭВМ уменьшается ее надежность, увеличиваются простои, связанные с ремонтными работами, профилактическими осмотрами, проверками правильности функционирования. Время простоя Т_пр примерно линейно возрастает с увеличением сложности машины, причем угол ее наклона существенно зависит от технологии изготовления элементной базы ЭВМ. Величина Т_ср=Т_сч+Т_пр имеет минимальное значение при некоторой оптимальной сложности ЭВМ (точка С_опт на рисунке). Это означает, что дальнейшее усложнение ЭВМ с целью уменьшения Т_сч нецелесообразно, так как при этом значительно в большей степени возрастает величина Т_пр. В итоге Т_ср не только не уменьшится, но наоборот, возрастет.

Производительность ЭВМ обычно оценивают количеством задач, решаемых на ЭВМ за достаточно большой промежуток времени. Производительность ЭВМ зависит не только от быстродействия процессора. На нее так же большое влияние оказывает организация вычислительного процесса в ЭВМ, степень загруженности процессора в ходе решения задач.

Стоимость ЭВМ - главный фактор, влияющий на сферы применения цифровой вычислительной техники. Чем меньше стоимость средств вычислительной техники тем шире их рынок сбыта, тем больше область применения ЭВМ.

Поколения ЭВМ

История развития цифровой вычислительной техники - история борьбы разработчиков за улучшение основных характеристик ЭВМ. Несмотря на свою относительную молодость (первые электронные ЭВМ появились в 1946-1950 гг.) ЭВМ в своем развитии сменили последовательно несколько поколений. Первое поколение охватывало ЭВМ, построенные на электронных лампах. Начиная с середины 50-х годов на смену ламповым ЭВМ пришли ЭВМ второго поколения, в которых основными элементами были полупроводниковые триоды - транзисторы. Транзисторные ЭВМ обладали значительно более высокой надежностью, меньшим потреблением энергии, более высоким быстродействием и значительно меньшей стоимостью. Однако век транзисторных ЭВМ оказался недолгим. Начиная с середины 60-х годов, на смену транзисторным ЭВМ пришли ЭВМ третьего поколения, элементной базой которых были микросхемы малой степени интеграции. За счет интегральной технологии значительно улучшились все основные характеристики ЭВМ: уменьшились габариты, повысилась надежность, возросло быстродействие и резко снизилась их стоимость.

Дальнейшее развитие интегральной технологии привело к тому, что в начале 70-х годов электронная промышленность освоила выпуск интегральных схем повышенной степени интеграции. Каждая такая интеграция заменяет собой довольно сложную электронную схему на лампах и транзисторах.

Применение таких элементов характеризует четвертое поколение ЭВМ, которые стали выпускаться с конца 70-х годов. ЭВМ четвертого поколения еще более улучшили все основные свои характеристики, однако борьба за улучшение основных качественных далеко не закончилось.

Оказалось, что неймановская структура с разворачиванием вычислительного процесса во времени практически исчерпала свои возможности, особенно в области повышения производительности ЭВМ и быстродействия процессора.

На смену ЭВМ с неймановской структурой начинают приходить многопроцессорные ЭВМ. В таких ЭВМ вычислительный процесс разворачивается не только во времени, но и в пространстве, что приводит к значительному сокращению времени решения задачи, т.е. повышению производительности ЭВМ.

Контрольные вопросы

1. Опишите общую структуру ЭВМ неймановской архитектуры.

2. Перечислите основные характеристики ЭВМ.

3. Перечислите основные поколения ЭВМ и их элементную базу.

Раздел IV. Математическое введение в цифровую вычислительную технику.

Системы счисления, используемые в ЭВМ

Для изображения чисел используются определенные приемы и правила, называемые системами счисления. Все известные системы счисления делятся на две группы: позиционные системы счисления и непозиционные системы счисления.

Непозиционной системой счисления называется такая система, в которой значение символа, цифры, знака или иероглифа не зависит от позиции этого символа в изображаемом числе. В позиционных системах наоборот, значение символа зависит от позиции этого символа в изображаемом числе. Непозиционные системы, как более простые, появились исторически гораздо более раньше позиционных систем. Ими пользовались древние славяне, китайцы и другие народы.

До наших дней дошла одна из разновидностей непозиционных систем - римская система счисления. В ней используются так называемые римские цифры: I - 1, V - 5, X - 10, L - 50, C - 100, D - 500, M - 1000. Значение числа вычисляется суммированием всех чисел с учетом правила, что если цифра меньшего веса стоит слева от следующей за ней цифрой большего веса, то она имеет знак минус, а если справа - то знак плюс. Например, число MCCXXXIV определяется следующим образом:

1000 + 100 + 100 + 10 + 10 + 10 - 1 + 5 = 1234

Непозиционные системы счисления обладают двумя существенными недостатками. Во-первых, при увеличении диапазона представленных чисел увеличивается число различных символов в изображаемых числах. Во-вторых, очень сложны правила выполнения даже самых простых арифметических действий.

Позиционные системы счисления обладают тем чрезвычайно важным свойством, что все числа, и малые, и большие, могут быть записаны с помощью конечного набора различных символов. Кроме того, правила действия с числами могут быть резюмированы в виде таблиц сложения и умножения. Изобретение позиционных систем счисления имело неоценимые последствия для дальнейшего развития человеческой цивилизации. Впервые такие системы счисления стали использовать древние шумерийцы и индусы.

В позиционных системах счисления любое число X изображается в виде полинома

. (4.1)

B этом выражении aj называются коэффициентами, а S - основанием системы счисления. Значение любого коэффициента в изображаемом числе может лежать в диапазоне 0...(S-1). В настоящее время во всех странах мира используется десятичная система счисления, представляющая собой позиционную систему счисления с основанием S=10. Коэффициенты при изображении чисел в десятичной системе счисления могут принимать значения в диапазоне от 0....9. Для краткости вместо записи числа в виде полинома записывают только последовательность коэффициентов этого полинома. Когда мы пишем десятичное число X=87,56 , то подразумеваем величину

Значение первой цифры слева от запятой, отделяющей целую часть числа от его дробной части, соответствует значению изображенной цифры (говорят, что ее “вес” равен единице); значение следующей цифры слева равно десятикратному значению изображаемой цифры (“вес” цифры - 10) и т.д. Значение цифры справа от запятой равняется десятой части написанной цифры, (ее “вес” равен 0,1) следующей - сотой части и т. д.

В принципе, роль основания способно играть любое целое число, большее единицы. Возьмем, например, десятичное число 327. Вполне логично записать это число и как

где индекс 8 у числа 507 указывает, что мы имеем дело с числом, при записи которого вместо обычного основания S=10 используется основание S=8. Числа, записанные в системе счисления с основанием 8, называются восьмеричными.

То же самое десятичное число 327 можно записать в виде

.

Числа, записанные в системе счисления с основанием 16, называются шестнадцатеричными.

Простейшей позиционной системой счисления является система с основанием S=2. В этой системе число

.

Преимущество использования двойки в качестве основания системы счисления состоит в том, что требуются только две различные цифры для записи любого числа - 0 и 1. Недостаток двоичной системы в том, что для изображения числа в двоичной форме требуется примерно в 3,3 раза больше цифр, чем в десятичной.

Подобно тому, как для записи десятичных чисел используют десять различных цифр (09), для написания двоичных чисел применяют две различные цифры (0 и 1), восьмеричных - восемь (07) и шестнадцатеричных - 16. Так как только десять цифр из шестнадцати имеют общепринятые обозначения арабскими цифрами 09, то для записи остальных цифр 1015 шестнадцатеричных чисел используют символы латинского алфавита AF (A соответствует цифре 10, В - 11, C - 12, D - 13, E - 14, F - 15). Так, например, шестнадцатеричное число 2Е соответствует десятичному числу 46, так как .

С дробными числами при любом основании обращаются так же, как и в десятичной системе. Необходимо лишь учитывать то обстоятельство что конечная дробь в одной системе счисления может стать периодической в другой. Так, например,

но

.

В ЭВМ используются позиционные системы счисления с основаниями 2, 8, 16, 10. Основной системой счисления является двоичная. Во-первых, в этой системе счисления, как уже говорилось, для изображения чисел необходимы только комбинации двух цифр: 0 и 1. Эти две цифры можно изображать элементами, имеющими два различных состояния. Одному состоянию, причем любому, можно поставить в соответствие цифру 0, а другому - 1. Такие элементы называются двухпозиционными (две позиции - два состояния) и они исключительно легко изготавливаются технически.

Для сравнения укажем, что для изображения одной десятичной цифры необходимо иметь элемент, имеющий 10 четко выраженных различных состояний. В принципе, логика выполнения арифметических операций в двоичной системе счисления наиболее проста. Это наглядно на примере сравнения таблиц умножения десятичных цифр с одной единственной таблицей умножения двоичных цифр имеющей вид:

00=0; 01=0; 10=0; 11=1.

Из приведенных примеров видно, что десятичная система счисления крайне неудобна для использования в ЭВМ, но она общепринята, и поэтому, не смотря на свои недостатки, так же нашла применение в вычислительной технике. Для того чтобы ввести в ЭВМ десятичные числа, отобразить их состояниями двухпозиционных элементов, используется так называемая двоично-десятичная форма представления десятичных чисел. В этой форме каждая цифра десятичной записи числа изображается в виде четырехразрядного двоичного числа (двоичной тетрады). Например, десятичное число X₁₀=183,65 в двоично-десятичной форме будет иметь вид:

1 8 3, 6 5

X_2-10= 0001 1000 0011, 0110 0101.

Нельзя путать двоично-десятичную форму записи числа с двоичной записью того же числа! В первом случае основание системы счисления остается равным десяти - только коэффициенты при основании выражены в двоичной форме.

Восьмеричная и шестнадцатеричная форма записи в основном используются при программировании задач для ЭВМ и введения компактных записей во время отладки программ. Достоинства этих форм записи числа - легкость перевода из двоичной формы в восьмеричную (шестнадцатеричную) и наоборот, с одной стороны, и компактность изображения чисел, с другой стороны. Например, чтобы перевести шестнадцатеричное число X₁₆=1FA,0F в двоичную форму, необходимо каждую шестнадцатиричную цифру представить эквивалентным четырехразрядным двоичным числом. В итоге получим:

1 F A, 0 F

0001 1111 1010, 0000 1111.

Аналогично для восьмеричного 34:

3 4

011 100.

В таблице 4.1 приведены различные формы записи двадцати чисел натурального ряда.

Таблица 4.1.

Десятичное число	Двоичное число	Восьмеричное число	Шестнадцати-ричное число	Двоично-десятичное число
0	0	0	0	0000
1	1	1	1	0001
2	10	2	2	0010
3	11	3	3	0011
4	100	4	4	0100
5	101	5	5	0101
6	110	6	6	0110
7	111	7	7	0111
8	1000	10	8	1000
9	1001	11	9	1001
10	1010	12	A	0001 0000
11	1011	13	B	0001 0001
12	1100	14	C	0001 0010
13	1101	15	D	0001 0011
14	1110	16	E	0001 0100
15	1111	17	F	0001 0101
16	10000	20	10	0001 0110
17	10001	21	11	0001 0111
18	10010	22	12	0001 1000
19	10011	23	13	0001 1001
20	10100	24	14	0010 0000

Необходимо особо подчеркнуть, что правила выполнения арифметических операций над многоразрядными числами представленными в позиционных системах счисления с различными основаниями, одни и те же. Отличие составляют лишь правила сложения и умножения одноразрядных чисел (для каждой системы счисления - свои таблицы умножения и сложения).

Рассмотрим пример. Пусть нам необходимо найти произведение двух восьмеричных чисел: X₈=3512 (эти числа соответствует десятичным 29 и 10 соответственно).

Будем умножать “столбиком”:

Ответ: X₈=3512=442=4+4

Умножая 2 на 5 в восьмеричной системе, получаем результат 12₈ (это соответствует 10 в десятичной системе). Следовательно, согласно правилам, в данном разряде записывается число 2, а единица переноса запоминается. Умножая далее 2 на 3 получаем, так же как и в десятичной системе, результат - цифру 6, а с учетом единицы переноса - цифру 7. Таким образом, результатом умножения восьмеричного числа 35 на цифру 2 будет восьмеричное число 72. Аналогично умножается множимое 35 на следующую цифру множителя 351=35. При сложении полученных таким образам частичных сумм необходимо пользоваться соответствующими таблицами сложения. Так, например, при сложении 7+5 получаем результат 14 (это соответствует числу 12 в десятичной системе счисления), поэтому в соответствующем разряде записывается цифра 4 и запоминается единица переноса в соседний старший разряд. Окончательный ответ в восьмеричной форме 442 соответствует десятичному числу 2910=290.

Порядок вычислений на ЭВМ обычно таков. Исходные числовые данные вводятся в ЭВМ в обычной для человека десятичной форме (например, с помощью клавиатуры - устройства ввода). ЭВМ имеют в своем составе специальные устройства, называемые шифраторами, которые осуществляют автоматический перевод вводимой десятичной информации в двоично-десятичную форму. По специальной подпрограмме или схеме (разработаны специальные большие интегральные схемы, осуществляющие автоматический перевод чисел из двоично-десятичной записи в двоичную запись и наоборот) числовая информация из двоично-десятичной формы переводится в двоичную запись. Затем производятся необходимые вычисления в двоичной системе счисления. Если необходимо выдавать какие-то результаты вычислений в десятичной форме, то эти данные, программно или схемно, переводятся сначала в двоично-десятичную форму, а затем с помощью устройств вывода выдаются непосредственно в десятичной форме (например, печатаются на бланке или высвечиваются на экране дисплея).

Такой порядок вычислений используется при решении научно-технических задач. В таких задачах количество исходных числовых данных и результатов вычислений сравнительно невелико по сравнению с количеством операций, необходимых для решения задач.

В то же время имеется достаточно большой класс задач, отличающийся обилием входных и выходных данных и требующих для своего решения небольшого числа вычислительных операций (например начисление зарплаты рабочим и служащим, расчет квартплаты). Для таких задач описанный выше порядок вычислений не является оптимальным из-за низкой производительности ЭВМ - слишком много времени она будет тратить на переводы числовой информации из двоично-десятичной формы в двоичную и наоборот. Для решения указанных задач разработаны оптимальные методы вычислений непосредственно в двоично-десятичной форме. В современных ЭВМ в системе команд обязательно присутствуют как группа команд, выполняющих операции в двоичной системе счисления (команды двоичной арифметики), так и группа команд, выполняющих операции в двоично-десятичной системе счисления (команды десятичной арифметики).

Формы представления числовой информации в ЭВМ

В ЭВМ используются две формы представления числовой информации: естественная форма (с фиксированной запятой) и полулогарифмическая форма (с плавающей запятой).

Естественная форма характеризуется тем, что местоположение запятой, отделяющей целую часть числа от его дробной части строго фиксировано. Это означает, что если n-разрядное число в каком-то узле ЭВМ представлено комбинациями состояний n двухпозиционных элементов, то запятая всегда строго фиксирована после k-ого элемента. k-ым элементом может быть, в принципе, любой по порядку элемент. На практике с целью максимального упрощения правил выполнения арифметических операций, используются две разновидности естественной формы представления числовой информации. В первом случае запятая фиксируется перед самым левым цифровым разрядом числа. В этом случае все числа, представленные в машине, должны быть меньше единицы. Это означает, что, прежде чем ввести исходную числовую информацию, необходимо ее предварительно масштабировать. Делается это так. Любое число Х представляется в виде , где M_х носит название масштаба, а - масштабированного числа. М_х выбирается так, чтобы выполнилось условие <1. Масштаб запоминается вне ЭВМ, а в машину вводится лишь . В другом случае запятая фиксируется после самого первого цифрового разряда числа. В этом случае все числа, представляемые в машине, должны быть целыми, т.е. не иметь дробной части. Чтобы это имело место при решении задач, как и в первом случае, исходную числовую информацию масштабируют. Однако в последнем случае масштаб М_х подбирают таким, чтобы масштабное число не имело дробной части.

Естественная форма представления числовой информации обладает рядом недостатков. Отметим основные из них.

1. При вводе исходной информации в ЭВМ необходимо масштабировать все данные и запомнить все выбранные масштабы вне ЭВМ.

2. При выполнении операций сложения и вычитания необходимо следить за тем, чтобы масштабы чисел, участвующих в операции, были бы одинаковыми, так как в противном случае результат операции будет неверным. Так как машина не имеет информации о масштабах чисел, участвующих в операции, выравнивание масштабов человек должен проводить вручную. При выполнении операции умножения порядок масштаба произведения равняется сумме порядков масштабов сомножителей, а при выполнении операции деления порядок масштаба частного есть разность порядков масштабов делимого и делителя. Это так же должен учитывать человек, решающий задачу на ЭВМ c использованием естественной формы представления числовой информации. Кроме того, необходимо внимательно следить, чтобы в процессе решения задачи ни один из промежуточных результатов не выходил бы за пределы тех двухпозиционных элементов, которые отведены в машине для записи цифровых разрядов результатов.

Рассмотрим простой пример. Пусть на ЭВМ необходимо вычислить величину y по формуле y=ax+b при следующих возможных значениях a, b, x: a=1,2; b=3,5; 0x7,5. Введем масштабы: , , и .

В ЭВМ будем вводить масштабные числа: =0,12; =0,35 и , величина которого будет лежать в пределах 00,75.

Проверим, все ли мы учли. Для этого подставим выбранные масштабы в исходное уравнение

У первого слагаемого масштаб 10², а у второго слагаемого - 10¹. Чтобы правильно сложить, необходимо выравнить масштабы. Поэтому для коэффициента b выберем масштаб не 10¹ как раньше, а 10²:

, где .

Получаем

.

Теперь необходимо проверить, а не будет ли какой-нибудь промежуточный результат по абсолютной величине превышать допустимый диапазон (в данном случае диапазон дробных чисел должен лежать в пределах от 0 до 1, но ни в коем случае не равняться 1).

Итак, все необходимые требования соблюдены. Остается теперь ввести в ЭВМ масштабированные числа , и и запомнить масштаб M_y=10². ЭВМ по программе рассчитает выражение и выдаст в качестве результата вычислений. Зная масштаб M_y=10², находят истинный результат .

Даже такой простой пример позволяет оценить естественную форму представления числовой информации с точки зрения человека, решающего задачи на ЭВМ , как весьма неудобную. Положительным свойством такой формы представления информации является малый расход оборудования на представление числовой информации и высокая производительность арифметико-логического устройства процессора, вытекающая из простоты логики производства операции в естественной форме (значительная часть работы заранее проделана вручную при составлении масштабных уравнений).

При использовании полулогарифмической формы любое число X представляется в виде:

,

где S - основание системы счисления; P_Х - целое число, называемое порядком числа X; m_Х - мантисса числа.

Мантисса m_X, так же как и масштабированное число естественной формы, должна лежать в пределах 0m_X<1. В ЭВМ вводится не только значение мантиссы m_Х числа, но и значение порядка P_Х.

Нетрудно заметить, что представление числа в полулогарифмической форме неоднозначно. Так, например, число X=68,5 можно представить и как X=10²0,685, и как X=10⁴0,00685. В первом случае P_Х=2, m_Х=0,685; во втором случае P_Х=4 и m_Х=0,00685.

Для получения однозначного представления числа в полулогарифмической форме на величину мантиссы числа m_Х накладывают ограничения S^-1m_Х1. Мантиссу, удовлетворяющую указанному неравенству, называют нормализованной мантиссой. Так как в ЭВМ при использовании полулогарифмической формы записывается и величина мантиссы, и величина порядка, то такие операции, как выравнивание порядков при сложении и вычитании, суммирование порядков при умножении, вычитание порядков при делении выполняет сама ЭВМ. На долю человека остается лишь ввод исходной информации в полулогарифмической форме.

Полулогарифмическая форма наиболее удобна при проведении на ЭВМ научно-технических расчетов, в то время как естественная форма предпочтительна при решении задач логического характера. Поскольку задачи логического характера составляют 80-90% от общего числа решаемых на ЭВМ задач, то естественная форма является основной формой представления числовой информации.

В ЭВМ общего назначения используются обе формы представления числовой информации. В системе команд таких машин имеется группа команд, выполняющих операции в естественной форме (команды с фиксированной запятой) и группа команд, выполняющих операции в полулогарифмической форме (команды с плавающей запятой).

Машинные коды чисел

Кодом называется любое обозначение, отличное от общепринятого. Общепринято, например, положительные числа отмечать знаком “+” (или вообще не указывать знак), а отрицательные числа отмечать знаком “-”. Числа разного знака необходимо уметь изображать состояниями двухпозиционных элементов при вводе их в машину. Для изображения знака числа вводится дополнительный двухпозиционный (знаковый разряд), причем состоянию “0” этого разряда изображает знак “+”, а состояние “1” - знак “-”. Такое изображение чисел со знаком называется прямым кодом. Число X в прямом коде будем условно изображать как [X]_пр. В числах, представленных в естественной форме, знаковый разряд помещается непосредственно перед масштабированным числом. Таким образом, прямой код числа, представленного в естественной форме, (это в полной мере относится и к мантиссе числа, представленного в полулогарифмической форме), образуется по правилу: если число X положительно, т.е. X= +X₁, X₂, ... X_n (X₁X_n - цифровые разряды), то X_пр=0, X₁, X₂, ... X_n; если число X отрицательно, т.е. X= -X₁, X₂, ... X_n, то X_пр=1, X₁, X₂, ... X_n.

Примеры: 1) X=+0,1011 X_пр=0,1011,

2) X=-0,1101 X_пр=1,1101.

Как известно, правила сложения многоразрядных чисел отличаются от правил вычитания. Чтобы выполнить эти операции на ЭВМ, необходимо иметь два самостоятельных устройства - сумматор и вычитатель. Но оказалось, что можно обойтись только одним устройством - сумматором, если изображать числа, участвующие в операции, в дополнительных кодах. Дополнительный код положительного числа совпадает с прямым кодом этого числа.

Дополнительный код отрицательного числа получается следующим образом:

а) в знаковом разряде записывается “1”;

б) производится замена в цифровых разрядах “1” на “0” и “0” на “1”;

в) осуществляется прибавление “1” в младший цифровой разряд результата.

Дополнительный код числа будем обозначать как X_g.

Пример: Пусть X=-0,1101101. После выполнения пунктов а) и б) имеем 1.0010010. Прибавляя “1” в младший цифровой разряд, находим дополнительный код числа X: X_g=1,0010011.

Иногда для изображения знака используется не один знаковый разряд, а два. Такие коды называются модифицированными, и они позволяют обнаружить переполнение сети. Различают модифицированные прямой и дополнительный коды. В этих кодах знак “+” изображается комбинацией “00”, а знак “-” - комбинацией “11” в знаковых разрядах.

Примеры: X=+0,1101101, =00,1101101,

X=-0,11011, =11.11011, =11,00101.

Выше указывалось, что при выполнении операций с фиксированной запятой ни в коем случае нельзя допускать, чтобы какой-либо промежуточный результат выходил за пределы разрядной сетки. Разрядная сетка ЭВМ (рис. 4.3.1.) однозначно указывает, сколько двухпозиционных элементов выделено для изображения цифровых разрядов и сколько для изображения знака числа.

0 (или 1)	hn. . . . . . . . . h0
Знак числа	Цифровые разряды масштабированного числа

Переполнение разрядной сетки - полное искажение результата. Поясним это на примерах.

1. Пусть даны числа: =+0,1101 и =+0,1001.

При сложении этих чисел получаем

0 , 1 1 0 1

+ 0 , 1 0 0 1

1 , 0 1 1 0

Несмотря на положительные знаки слагаемых в знаковом разряде результата появилась “1”, т.е. сумма получилась отрицательной. Получилось это потому, что из-за неправильно выбранных масштабов при сложении масштабированных чисел и появился перенос из цифрового разряда в знаковый разряд.

Пусть даны числа: =-0,1101 и =-0,1001.

Тогда

Для самой левой единицы результата в разрядной сетке нет места, поэтому результатом будет . Исходные слагаемые были меньше нуля, а их сумма получилась положительной.

В обоих случаях при переполнении разрядной сетки появляется искажение результата и по величине и по знаку. Естественно, что случаи переполнения разрядной сетки необходимо оперативно обнаруживать с выдачей соответствующего сообщения оператору. Переполнение разрядной сетки легко обнаруживается при сложении чисел в модифицированных кодах.

...