Теорія автоматичного керування

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Луцький державний технічний університет

Редакційно-видавничий відділ

Луцького державного технічного університету

Теорія автоматичного керування конспект лекцій

для студентів факультету комп'ютерних наук та інформаційних технологій денної та заочної форми навчання із спеціальності “Автоматизоване управління технологічними процесами”

Луцьк 2006

УДК 621.658

ББК 30.5

Викладено основи теорії лінійних систем автоматичного керування, розглянуто загальні питання автоматизації, методи математичного описання. Наведено приклад.

Теорія автоматичного управління. Конспект лекцій (частина 4) для студентів факультету комп'ютерних наук та інформаційних технологій денної та заочного форми навчання із спеціальності “Автоматизоване управління технологічними процесами” (6.092501)/Т.П. Маркова - Луцьк: ЛДТУ, 2006 - 88 с.

Укладач: Т.П. Маркова

Рецензент: В.М. Подоляк, доцент, к.т.н.

Відповідальний за випуск: Л.О. Гуменюк

Затверджено науково-методичною радою ЛДТУ,

Протокол № від 2005 р.

Рекомендовано до друку методичною радою ННВ ІІ та ІТ

Протокол №2 від 21.12.2005р.

Розглянуто на засіданні кафедри АУВП

Протокол № від 2005 р.

1. Підвищення якості і синтез лінійних САК

Помилки в САР

Точність САР є одним із найважливіших показників якості систем, що має особливе значення для електромеханічних систем.

Точність САР визначається величиною помилок(похибок). Залежно від режиму роботи системи існують два основних види помилок - статичні і динамічні.

Статична помилка системи є відхилення усталеного значення регульованої величини , яке виникає після закінчення перехідного процесу , від заданого значення , коли всі параметри в системі збурення є сталими величинами:

.

Відхилення дійсного значення регульованої величини від заданого під час перехідного процесу називають перехідною динамічною помилкою

.

Вона змінюється під час перехідного процесу.

На графіках показано статичні і перехідні динамічні помилки систем стабілізації(- початкове розузгодження). Позначивши програму зміни регульованої величини , дістанемо перехідну динамічну помилку . Відхилення регульованої величини від заданого значення перехідного процесу в процесі слідкування називають усталеною помилкою в режимі слідкування із сталою швидкістю.

Завдання замкнутих САР (стабілізації, слідкуючих, програмних) у загальному випадку полягає в забезпеченні такої зміни регульованої величини , при якій відхилення від потрібного значення не перевищувало б допустимих відхилень за технологічними умовами. З цією метою параметри і вид регулятора мають бути узгоджені з параметрами і динамічними характеристиками об'єкта.

Основними причинами виникнення помилок в САР є: включення САР в роботу (при появі початкового розузгодження); переналагодження системи; зміни величини і виду збурення (збурень).

Статичну помилку лінійної САР, на об'єкт якої діють збурення , з врахуванням принципу суперпозиції можна визначити як суму помилок: , де - статичні помилки вимірювального і заданого елементів.

Якщо , то система є статичною, при - астатичною.

Як розглянуто нами раніше для слідкуючої (програмної) системи рівняння процесу регулювання у відхиленнях має вигляд: , де і -добутки поліномів лівої і правої частини без врахування ланки об'єкта.

Помилку програмної системи за збуренням знаходять при умові . При тій самій умові знаходять помилку і в системах стабілізації.

Помилку по заданому сигналу визначають при умові .

Помилки слідкуючої системи, записані через передаточні функції за збуренням і завданням, матимуть вигляд: або

,

де - передаточні функції відповідно об'єкта за збуренням і системи за завданням; - передаточна функція розімкнутої системи.

Статичну помилку в цьому разі можна знайти при

.

У слідкуючих (програмних) системах дослідження здебільшого ведуть стосовно величини розузгодження на виході вузла порівняння, яку в цьому випадку називають помилкою слідкування .

Оскільки вузол порівняння ВП є безінерційною ланкою з коефіцієнтом передачі, що дорівнює одиниці, то передаточна функція слідкуючої системи по помилці матиме вигляд: . Рівняння помилки у цьому випадку записується так:

.

Типові режими роботи і знаходження помилок САР

Як видно з наведених вище виразів для помилок, і статична , і динамічна помилки залежать від відповідних передаточних функцій, зовнішніх збурень і задаючих сигналів.

Типові режими роботи САР

За характером зовнішніх збурень розрізняють такі типові режими роботи САР:

Статичний режим - режим, при якому всі зовнішні дії на систему і всі координати системи не змінюються, тобто

Усталений динамічний режим - режим, при якому зовнішні дії на систему змінюються за деяким законом. Такі режими характерні для слідкуючих і програмних САК. Залежно від характеру дії збурення існують відповідні закони зміни збурення:

дія (збурення) змінюється із сталою швидкістю:

або .

У цьому випадку .

дія на систему змінюється зі сталим прискоренням: , при цьому .

задаюча дія змінюється за гармонічним законом , де - амплітудне значення задаючого сигналу, - частота сигналу.

В усталеному динамічному режимі помилка слідкуючої(програмної) системи змінюватиметься з тією самою частотою, але із зсувом по фазі : .

Знаходження помилок САР

Для знаходження помилок САР, які діють в умовах зміни зовнішніх збурень і сигналів завдань, значне поширення дістав метод коефіцієнтів помилок. Цей метод базується на тому положенні, що функції зовнішніх збурень диференційовані і похідні збурень з часом зменшується, а процес є затухаючим.

Нехай зображення відхилення регульованої величини від заданого (початкового) значення, яке є, по суті помилкою системи стабілізації, має вигляд

.

Розкладемо передаточну функцію в показниковий ряд Маклорена:

.

Помилка при цьому запишеться у вигляді

.

Переходячи до оригіналу помилки, дістанемо

З цієї залежності видно, що помилка системи має кілька складових, які, крім першої , існують лише при зміні збурення. Коефіцієнти називають коефіцієнтами помилок:

- коефіцієнт статичної помилки;

- коефіцієнт швидкісної помилки;

- коефіцієнт помилки за прискоренням;

- коефіцієнт помилки за ривком.

Для слідкуючої (програмної) системи величина розугодження матиме вигляд

.

Коефіцієнти помилок можна обчислити за допомогою передаточної функції замкнутої системи діленням многочлена чисельника передаточної функції на многочлен знаменника. Для системи стабілізації матимемо

.

Розглянемо методику визначення коефіцієнтів помилок на конкретному прикладі.

Нехай об'єкт , регулятор є аперіодичними ланками першого порядку: ; . Знайдемо передаточну функцію слідкуючої системи за помилкою . Підставивши значення іі розділивши многочлен чисельника на многочлен знаменника, знайдемо коефіцієнти помилок у заданій системі:

Коефіцієнти статичної помилки

;

Коефіцієнти швидкісної помилки

Коефіцієнти помилки за прискоренням

.

Підставивши знайдені значення коефіцієнтів помилок в рівняння помилки і продиференціювавши функцію завдання , дістанемо відповідні складові помилки, за якими можна знайти її результуючу величину .

1.1 Основні шляхи підвищення точності керування. Замикання систем

Розглянемо найбільш відомі напрямки вирішення проблем підвищення точності САК:

Використання замкнутих САК і збільшення коефіцієнта підсилення регулятора (системи);

Формування потрібних законів регулювання (введення астотіуму, регулювання по похідних та ін. );

Використання спеціальних структур САР, які реалізують принципи керування, що забезпечують підвищення точності (комбіноване керування, системи із змінною структурою) ;

Реалізація принципів інваріантності ;

Використання різного виду керуючих пристроїв.

Замикання САК і можливості підвищення точності

Як приклад розглянемо спрощену функціональну схему САР стабілізації, яка складається з об'єкта 1 і регулятора 2.

Рівняння замкнутої системи у відхиленнях має вигляд . Нехай об'єкт - аперіодична ланка першого порядку, а регулятор - проста підсилювана ланка. Рівняння об'єкта і регулятора відповідно матимуть вигляд ; . При цьому

- передаточний коефіцієнт об'єкта за збуренням.

Знайдемо помилки, які з'являються в розімкнутій і замкнутих системах. Запишемо рівняння розімкнутої системи в загальному вигляді .

Для нашої системи воно матиме вигляд , звідки . Статична помилка цієї системи запишеться у вигляді , а розв'язок рівняння - у вигляді .

При замиканні системи її рівняння матиме вигляд , звідки . Bизначимо статичну помилку замкнутої системи ()

і розв'язок рівняння замкнутої системи

.

Порівняння знайдених значень статичних помилок і розв'язків рівнянь динаміки розімкнутих систем дозволяє зробити такі висновки:

Замикання САР дає можливість зменшити статичну помилку і сталу часу в разів.

Тривалість перехідного процесу зменшується в разів.

Зі збільшенням коефіцієнта підсилення регулятора при замиканні системи можна зменшити статичну помилку системи.

Замикання системи дозволяє також кардинально змінити динамічні властивості деяких об'єктів. Як було показано раніше, об'єкти з від'ємним коефіцієнтом самовирівнювання, які мають нестійкі часові характеристики, без регулятора є роботонездатними.

Рівняння такого об'єкта можна записати у вигляді . Розв'язок його визначає нестійку роботу об'єкта без регулятора(при розімкнутому стані системи). При введенні цього об'єкта в замкнуту систему з регулятором (див.*), рівняння якого . Рівняння замкнутої системи матиме вигляд де;.

Позначивши дістанемо характеристичне рівняння замкнутої системи у вигляді . Умови стійкості системи такі: , . З викладеного вище видно, що нестійкий об'єкт при певному настроюванні замкнутої системи може забезпечити стійку роботу системи.

1.2 Типові закони керування і регулятори

Введення астотизму і керування за похідними

Розглянуті вище приклади показують, що об'єкти в замкнутій системі дістають нові динамічні і статичні властивості і характеристики. Властивості замкнутих систем залежать не тільки від характеристик об'єкта і діючих збурень, а й від особливостей і характеристик регуляторів.

Регулятори поділяють за різними ознаками:

· за видом енергії, що використовується, - пневматичні, механічні, гідравлічні, електричні;

· за принципом керування - керування за відхиленням (помилкою), за збуренням , комбіновані;

· за характером зв'язків між елементами системи - зі сталою і змінною структурами.

В ТАК однією з особливостей регулятора є можливість впливу на статичні і динамічні помилки САР, що залежить від характеристик регулятора, які визначаються його законом керування (регулювання).

Під законом регулювання розуміють залежність вихідної величини регулятора від його вхідної величини при нехтуванні інерцією самого регулятора . Залежно від вигляду функції існують три основних принципових закони(відповідні типи регуляторів):пропорційний, який реалізується за допомогою пропорційного регулятора (П-регулятор); інтегральний (І-регулятор); диференційний (Д-регулятор).

Пропорційний закон регулювання - найпростіший закон керування, який описується залежністю .

Переваги: простота і надійність.

Недоліки: неможливість впливу на динамічні похибки і неможливість повної ліквідації статичної помилки.

Інтегральний закон регулювання (І-регулятор).

Інтегральний регулятор виконує регулювання за інтегральним законом . В операторній формі він має вигляд: Інтегрування вихідної величини об'єкта в інтегральному регуляторі виконується за допомогою серводвигуна, що відповідає введенню в структурну функцію САР інтегруючої ланки з передаточною функцією . При цьому треба мати на увазі, що інтегруючу ланку слід вводити в структурну схему на вхід об'єкта, до точки прикладання збурення, яке діє на об'єкт.

Введення інтегруючої ланки з метою ліквідації статичної помилки і перетворення статичної системи в астотичну називають введення астотизму в систему.

При одній інтегруючій ланці кажуть про введення астотиуму першого порядку, при двох - астотиуму другого порядку. Проте, слід пам'ятати, що введення в систему з аперіодичними і підсилювальними ланками двох і більше інтегруючих ланок веде до структурної нестійкості системи. Для усунення структурної нестійкості системи інтегруючу ланку охоплюють прямим зв'язком. Таку нову ланку називають ізодромно-інтегруючою ланкою.

Рівняння ізодромної ланки матиме вигляд . Оскільки рівняння вихідної інтегруючої ланки

, то

.

Передаточна функція ізодромної інтегруючої ланки має вигляд:

.

Переваги інтегральних регуляторів: можливість усунення різних помилок; підвищення динамічної і статичної точності системи.

Недоліки: при інтегральному законі дія регулювання регулятора проявляється лише через деякий час. Тому помилка, яка виникла, усувається не одночасно з її появою. Це може привести до небажаних коливань у системі, погіршення характеру перехідного процесу і навіть витрати стійкості системи.

1.3 Диференціальний закон регулювання (Д-регулятор)

За допомогою Д-регулятора забезпечується подання на вхід об'єкта величини, пропорційної швидкості зміни вихідної величини(помилки) , або в операторній формі запису .

Диференціальний закон керування реалізується за допомогою диференціюючих ланок.

При появі в системі внаслідок відповідної дії збурень помилок по швидкості, прискоренню, ривку для її усунення на вхід об'єкта потрібно подати вхідні величини, які пропорційні відповідному степеню похідних вихідної величини об'єкта (відхилення). Таке регулювання називають регулюванням за похідними.

Практично регулювання по похідних від помилки полягає в тому, що система має реагувати, крім самої помилки, також на тенденції їх зміни (швидкість і знак зміни відхилення).

Перевагою регулювання по похідних є швидкодія і можливість зменшення швидкісних помилок.

Недоліками диференціальних законів керування і відповідно Д-регуляторів є:

1)не можливість усунути вплив сталих складових помилки;

2)в системах не забезпечується повна компенсація швидкісних помилок.

Пропорційно-інтегральний закон регулювання (ПІ-регулятор)

Цей закон записується у вигляді , в операторній формі . Інтегральна складова в системах з ПІ-регулятором, забезпечує введення астотизму, а пропорційна - визначає швидкодію системи.

Якщо продиференціювати обидві частини виразу, то з рівності , можна зробити висновок, що ПІ-регулятор забезпечує швидкість зміни величини на виході об'єкта, що веде до поліпшення динамічних властивостей САР.

Недоліки регуляторів даного типу: неможливість оперативно компенсувати швидкісні помилки.

Пропорційно-диференціальний закон регулювання (ПД-регулятор)

Рівняння даного закону має вигляд . Регулятор оперативно реагує не тільки на саму помилку, але й на швидкість її зміни. Якщо -дія регулятора зростає, при- спадає.

Особливість ПД-регулятора полягає в можливості мати значний сигнал на виході при незначній помилці, оскільки при досить малих величинах помилки швидкість її зміни може бути значною. Недоліком ПД-регулятора є неможливість повного усунення статичної помилки.

Пропорційно-інтегрально-диференціальний закон регулювання (ПІ-регулятор)

Математичний вираз цього закону має три складові:

.

ПІД-регулятори найскладніші, проте вони об'єднують у собі переваги всіх трьох розглянутих вище простих законів керування, забезпечуючи астотизм системи, оперативне реагування на появу відхилень на їх похідні.

Технічна реалізація коригуючих пристроїв у схемах автоматизованого електроприводу

Найпростішими і досить поширеними коригуючими пристроями у схемах автоматизованого електроприводу є пасивні чотириполюсники, побудовані на RC-елементах (резисторах та конденсаторах). В книгах з ТАК є спеціальні таблиці, які містять схеми пасивних коригуючих пристроїв, передаточні функції, логарифмічні характеристики й формули для розрахунку параметрів, що відповідають цим пристроям.

Передаточні функції пасивних чотириполюсників найпростіше визначати таким чином: опори ділянок кола слід записати в операторній формі, тобто прийняти: для ємності , для активного опору .

Після цього електричне коло слід перетворити в еквівалентний Г- подібний чотириполюсник.

Якщо припустити, що навантаження відсутнє, тобто знехтувати струмом вихідного кола коригуючої ланки порівняно зі струмом вхідного кола, то передаточну функцію можна визначити як відношення:

.

Вибір відповідних значень дає можливість на базі операційного підсилювача, які останнім часом застосовуються в схемах автоматизованого електроприводу, створити різноманітні типи регуляторів (коригуючих пристроїв).

При визначенні передаточної функції кола з операційним підсилювачем припустимо, що коефіцієнт підсилення і вхідний опір приблизно дорівнюють нескінченності; підсилювач вважається безінерційним. Операційний підсилювач має інвертуючий та неінвертуючий входи. При збільшенні напруги на інвертуючому вході вихідна напруга зменшується. Інвертуючий вхід дає можливість створювати від'ємний зворотній зв'язок.

З прийнятого припущення про те, що , випливає, що вхідний струм дорівнює нулю, тому струм зворотного зв'язку дорівнює вхідному струму . Напруга на інвертуючому вході операційного підсилювача дорівнює нулю. Це пояснюється тим, що при будь-яке відхилення від нульового значення було б нескінченно підсилене, передано через коло зворотного зв'язку на вхід підсилювача і, будучи інвертоване відносно напруги , скомпенсувало б її. За цих умов досить просто визначити передаточну функцію кола з операційним підсилювачем.

але, якщо врахувати, що , , то

.

Звідси передаточна функція матиме вигляд

(*),

де - повні опори в операторній формі. З виразу (*) випливає, що вибір відповідних значень дає можливість на базі операційного підсилювача створити різноманітні типи регуляторів (коригуючих пристроїв).



Пропорційний регулятор(П-регулятор)

Його передаточна функція має вигляд

.

Інтегральний регулятор (І-регулятор)

Вважаючи, що

передаточна функція

,

де - стала інтегрування.

Пропорційно-інтегральний регулятор (ПІ-регулятор)

Для цієї схеми:

.

Передаточна функція має вигляд

,

де

коефіцієнт передачі пропорційної складової, - стала інтегрування.

Диференціальний регулятор (Д-регулятор)

Для цієї схеми

Передаточна функція

, де .

Розглянута схема не забезпечує якісне диференціювання через те, що вона має властивість підсилювати високочастотні перешкоди, які є у вхідному сигналі. Дещо обмежити струм перешкоди можна, якщо послідовно з конденсатором ввімкнути резистор з невеликим опором (цей резистор зображено штриховою лінією).

Високоякісний Д-регулятор можна дістати, якщо в коло зворотного зв'язку ввімкнути інтегратор.

Підсилювач ДА2, який працює в режимі інвентора, призначений для збереження від'ємного знака зворотного зв'язку.

Передаточна функція регулятора має вигляд

.

Поклавши дістанемо , де .

Пропорційно-диференціальний регулятор(ПД-регулятор)

Для нього

.

Тому

,

де ,.

Пропорційно-інтегрально-диференціальний регулятор(ПІД-регулятор)

Коригуючі пристрої на базі операційних підсилювачів мають такі позитивні властивості, як незалежність коефіцієнта передачі від розкиду параметрів внаслідок стабілізуючої дії від'ємного зворотного зв'язку, малий вхідний струм, що забезпечує близький до холостого ходу режим роботи пристрою, ввімкненого до входу операційного підсилювача.

Комбіновані регулятори (ПІ;ПД;ПІД) звичайно отримують за рахунок паралельного з'єднання відповідних простих регуляторів (П;І;Д).

1.4 Способи підвищення запасу стійкості

Способи підвищення запасу стійкості, або демпфування, досить різноманітні. В деяких випадках для цього достатньо, не змінюючи структуру системи, змінити коефіцієнт передачі прямого каналу, коефіцієнти зворотних зв'язків або сталі часу елементів САК. Більш поширеним способом демпфування є введення в САК додаткових коригуючих ланок. Їх можна вмикати послідовно в пряме коло системи, паралельно окремим ланкам, або охоплювати зворотним зв'язком одну або кілька ланок САК.

Найпростіше простежити вплив на частотні характеристики послідовних коригуючих ланок, тому саме для них розглядатимуться способи підвищення запасу стійкості.

Додаткові ланки змінюють частотні характеристики САК, тому їх вплив на зміну запасу стійкості можна простежити за допомогою будь-якого частотного критерію стійкості. Найзручнішим для цієї мети є критерій стійкості Найквіста в логарифмічній формі.

Існують чотири основні способи змінювання частотних характеристик. Розглянемо деякі з них:

Демпфування з придушенням високих частот

Якщо передаточна функція розімкнутої системи становить добуток передаточних функцій мінімально-фазових ланок (безінерційних, аперіодичних, коливальних, форсуючих), то достатній запас стійкості можна забезпечити, ввімкнувши послідовно в коло регулювання аперіодичну ланку з великою сталою часу і коефіцієнтом передачі .

Передаточна функція такої ланки запишеться так :

(*)

Розглянемо дію цієї ланки на прикладі статичної системи, передаточна функція якої в розімкнутому стані має вигляд

(**), де .

Логарифмічну амплітудну характеристику і логарифмічну фазову характеристику покажемо графічно:

Система нестійка, бо на частоті зрізу зсув по фазі менше . Початкова частина ЛАХ статичної системи має нахил і проходить на рівні . Тому при будь-яких значеннях сталих часу передаточної функції (**) завжди можна вказати таку частоту , що для всіх частот значення буде дуже мало відрізнятись від , а значення - від нуля. Якщо тепер вибрати сталу часу передаточної функції (*) такою, щоб частота зрізу нової ЛАХ була меншою за , то в результаті дістанемо стійку систему з достатнім запасом стійкості. Це пояснюється тим, що передаточну функцію розімкнутої системи з коригуючою ланкою наближено, але з досить великою точністю можна подати у вигляді , оскільки частоти сполучення, які відповідають решті сталих часу передаточної функції(**), знаходиться значно правіше від частоти зрізу , визначають лише високочастотні частини ЛАХ і ЛФХ і практично не впливають на стійкість системи.

Отже, ефект демпфування досягається за рахунок того, що введення великої сталої часу робить решту сталих часу відносно малими.

Запас стійкості не зміниться й при збільшенні , якщо одночасно збільшувати і залишати незмінним співвідношення

Також самостійно: Демпфування з придушенням середніх частот і демпфування з введенням від'ємних зсувів по фазі .

Демпфування з підняттям високих частот

Стійкість і потрібний запас стійкості за рахунок розширення смуги пропускання розімкнутої системи при введенні послідовно в коло регулювання формуючої ланки з передаточною функцією:

Ця ланка створює додатний зсув по фазі , який у зоні високих частот наближається до 900. Крім того ланка збільшує здатність системи пропускати високочастотний сигнал, бо модуль частотної передаточної функції ланкизростає при збільшенні частоти.

Якщо вплив однієї формуючої ланки на підвищення запасу стійкості буде недостатнім, то можна ввести ще одну ланку. Приклад вибору ланок (див. літературу таб. 6.1). Це можна показати на прикладі ЛАФХ.(Самостійно!)

1.5 Синтез корегуючих пристроїв методом ЛАХ

Одним з найефективніших методів синтезу систем автоматичного керування є метод, в основу якого покладено використання ЛАХ розімкнутої системи. Ідея методу ґрунтується на тому, що для стійких мінімально-фазових систем існує однозначний зв'язок між перехідною характеристикою замкнутої системи і виглядом ЛАХ відповідної розімкнутої системи. Виходячи з бажаного вигляду перехідного процесу, будують ЛАХ, яка відповідає такому процесу.

Далі, знаючи вигляд бажаної ЛАХ, до неї наближують ЛАХ вихідної системи, запроваджуючи різні корегуючи пристрої.

Будь-яка САК з електроприводом складається з незмінної частини, до якої належать: об'єкт регулювання, електродвигун, силовий керований перетворювач, а також елементи головного зворотного зв'язку та порівняння.

Об'єкт регулювання вважається відомим при проектуванні САК, двигун і перетворювач вибирають, виходячи з технологічних характеристик об'єкта. Природно, що ці елементи не підлягають зміні при корекції динамічних властивостей САК. Незмінними звичайно також вважаються елементи, що забезпечують потрібну точність роботи системи в уставленому режимі - підсилювач, а в астатичній системі - інтегруючий елемент. Елементи САК, що не змінюються, визначають ЛАХ вихідної (нескорегованої) системи. Бажану ЛАХ, яка визначає потрібну якість САК. Умовно поділяють на три частини: низькочастотну Lн.ч.(щ), середньочастотну Lс.ч.(щ), високочастотну Lв.ч.(щ). Можливий вигляд бажаної ЛАХ показано графічно.

До низькочастотної частини ЛАХ належить ділянка характеристики, нахил якої не змінюється при . Вона проходить через точку з координатами , де k - коефіцієнт передачі розімкнутої системи, і має нахил 0 ДБ/дек для статичних систем, - 20 ДБ/дек - для астатичних систем першого порядку, - 40 ДБ/дек - для астатичних систем другого порядку.

Низькочастотна частина ЛАХ визначається коефіцієнтом передачі розімкнутої системи k і порядком астатизму, отже вона характеризує точність роботи системи в установлених режимах. Якщо до незмінюваної частини системи належать елементи, що забезпечують потрібну точність роботи САК в установленому режимі, то низькочастотні частини бажаної ЛАХ і ЛАХ вхідної системи збігаються.

До середньочастотної частини належить ділянка ЛАХ з однаковим нахилом, що проходить через частоту зрізу щ3. Ця частина ЛАХ є найважливішою, бо вона визначає переважно якість перехідних процесів. Основними параметрами, які характеризують середньочастотну частину, є її нахил і частота зрізу. Для задовільної якості перехідних процесів замкнутої системи необхідно, щоб нахил ЛАХ на частоті зрізу дорівнював - 20 ДБ/дек. Якщо нахил на частоті зрізу становить - 40 ДБ/дек, то перехідний процес має велике перерегулювання, а при нахилі - 60 ДБ/дек система, як правило буде нестійкою. Частота зрізу щ3 визначає швидкодію САК. Швидкодія зростає при збільшенні щ3.

Високочастотна частина ЛАХ Lв.ч.(щ) знаходиться в зоні від'ємних децибелів, тому майже не позначається на якості перехідного процесу і впливає лише на його початок. Краще мати якомога більший нахил асимптот високочастотної частини, бо це зменшує вплив високочастотних перешкод.

Для побудови бажаної ЛАХ, виходячи із заданих вимог до якості перехідних процесів, використовують різні методи. Розглянемо найпоширеніші з них.

Метод В.В. Солодовнікова

Розглянемо цей метод стосовно астатичної системи першого порядку, в якої низькочастотні асимптоти з нахилом - 20 ДБ/дек вихідної Lв.(щ) і бажаної ЛАХ Lб(щ) збігаються і проходять через точку з координатами L(щ)=20lgk , lgщ=0.

Вихідними даними для побудови бажаної ЛАХ є час регулювання tp перерегулювання у. Можуть бути задані також максимальне прискорення amax та початкове розходження вихідної координати x0. Бажану ЛАХ Lб(щ) будують у такій послідовності.

1. Вибираємо частоту зрізу, виходячи з умови

щ31?щ3?щ32 , де

щ31 - мінімальне значення частоти зрізу, при якому час регулювання не перевищує заданий.

щ32 - максимальне значення частоти зрізу, яке визначають, виходячи із заданого максимального прискорення x0.



Значення щ31 визначають за монограмою у такому порядку.

Виходячи із заданого значення у, за графіком у(Umax) визначають відповідне значення Umax. Потім за цим значенням Umax за графіком tp(Umax) знаходять ср/щ31. Цю величину порівнюють із заданим значенням tp і із знайденого рівняння визначають

;

Частоту щ32 обчислюють за формулою

Якщо щ31>щ32 , то слід вибрати щ3?щ32. Якщо значення amax і x0 не задані , то щ3?щ31 .

2. Після визначення частоти зрізу будують середньочастотну асимптоту бажаної ЛАХ, яка

проходить через частоту зрізу з нахилом - 20 Дб/дек.

3. За графіком, виходячи із знайденого значення Umax визначають LДц і Дцmin.

4. Після цього сполучають середньочастотну асимптоту з низькочастотною так, щоб в інтервалі частот, для якого 0?Lу(щ)?LДц надлишок фази був більшим або дорівнював мінімальному надлишку:

Дц?Дцmin (**)

Сполучення здійснюють асимптотою з нахилом - 40 Дб/дек або - 60 Дб/дек для систем першого порядку і - 60 Дб/дек для систем другого порядку.

Надлишок фази при частоті ща можна визначити за такою наближеною формулою :

, де

н - порядок астатизму ;

щі - частоти сполуки бажаної ЛАХ, які містяться ліворуч від ща;

m і l - кількість частот сполуки, на яких нахил бажаної ЛАХ змінюється на - 20 Дб/дек або + 20 Дб/дек відповідно.

Надлишок фази , де ц(щ)<0, перевіряють лише для тієї частоти ща (див рис.*), для якої Lб(щ) =LДц . Частоті ща може відповідати точка сполуки асимптот або точка на одній з цих асимптот.

Задоволення умов (*) і (**) означає, що бажаній ЛАХ відповідає типова частотна характеристика U(щ), у якої і для якої складено використані раніше залежності у(Umax) і tp(Umax).

Якщо на частоті ща надлишок фази Дца<Дцmin , то асимптоту сполуки необхідно зсунути вліво або збільшити її нахил. Отже, потрібне положення асимптоти сполуки відбувається методом спроб. При цьому різниця Дца -Дцmin не повинна перевищувати кількох градусів.

5. Середньочастотну асимптоту сполучають з високочастотною так, щоб в інтервалі частот, для якого 0?Lб(щ)?LДц надлишок фази становив Дц?Дцmin.

Надлишок фази досить перевірити при частоті щу (див рис. *) за такою наближеної формою:

, де

qсер - відносний нахил середньо частотної асимптоти (при нахилі - 20 Дб/дек qсер =2)

r - кількість частот сполуки бажаної ЛАХ, що перевищують частоту зрізу щ3 ;

щі - частоти сполуки бажаної ЛАХ, що перевищують щ3;

Якщо Дц<Дцmin; то асимптоту сполуки треба зсунути вправо або зменшити її нахил, якщо Дц>Дцmin - то зсунути вліво або зменшити її нахил. Дц - Дцmin не повинна перевищувати кількох градусів.

При сполученні середньочастотної частини ЛАХ з низькочастотною та високочастотною слід прагнути до того, щоб бажана ЛАХ якомога менше відрізнялась від ЛАХ вихідної системи. Це спрощує корекцію.

Метод Санковського - Сігалова

В основу цього методу покладено дев'ять типів бажаних ЛАХ розімкнутої системи, які наведені в довідковій літературі.

Той чи інший тип ЛАХ вибирається залежно від вимог до САК, що синтезуються. Ці вимоги є вихідними даними для синтезу.

До них належать:

- максимальне значення швидкості та прискорення зміни завдання.

tp - час регулювання;

у - перерегулювання.

При виборі ЛАХ рекомендується керуватися такими положеннями:

1) якщо завдання змінюється з великим прискоренням, а рівень перешкод незначний, то слід вибирати ЛАХ типу 1 для статичних систем і типу 2 для астатичних.

2) якщо прискорення з яким змінюється завдання невелике, але рівень перешкод досить значний, то слід вибирати ЛАХ типів 3, 4 або 5.

3) при великих прискореннях зміни завдання і значному рівні перешкод треба вибирати ЛАХ типів6, 7, 8 або 9.

У всіх інших випадках при виборі бажаної ЛАХ слід прагнути до того, щоб бажана ЛАХ якомога менше відрізнялася від ЛАХ вихідної системи.

Після того, як тип бажаної ЛАХ вибрано і, виходячи з вимог до якої САК в установленому режимі, визначено її низькочастотну частину, для побудови решти частин бажаної ЛАХ використовують дані таблиці і такі співвідношення:

частота зрізу

(*)

запас стійкості по фазі

Дц0 =73-у (**)

де с=9 при Дц=300;с=8 при Дц=450 і с=7 при Дц=600

Формули (*) (**) дають похибку, що не перевищує 0,05 0,1 при 600>Дц>300/

При розрахунках можна користуватися й такими співвідношеннями:

;

, де

l=2 або 3 при нахилі асимптоти, що сполучає середньо- та низькочастотні частини ЛАХ, - 40 Дб/дек , або - 60 Дб/дек ;

Значення а (у радіанах) визначають, виходячи з припущення, що

при і=3,4…

.

Спрощена побудова бажаної ЛАХ

Вихідними даними для побудови Lу(щ) є час регулювання tp та перерегулювання у. Частота зрізу бажаної ЛАХ обчислюється за формулою:

, де

k0 - коефіцієнт, що визначається за графіком залежно від перерегулювання

k0=f(у)( по даному графіку )

Для у=1530% вибираємо k0=1,32,5 або по графіку.

Через частоту зрізу щзр проводиться середньочастотна асимптота бажаної ЛАХ з нахилом -20 Дб/дек частоти щ2 і щ3, що обмежують середньочастотну асимптоту ліворуч і праворуч вибирають виходячи з таких наближених рівностей

 .

Для наближеної, але досить точної оцінки показників якості перехідного процесу можна використати графіки (див. літературу).

Перерегулювання у визначається за графіком залежно від коефіцієнтів а2 і а3, що визначають довжину середньочастотної частини ЛАХ:

; .

Запас стійкості по фазі Дц визначається за графіком в залежності від перерегулювання.

Синтез послідовної корегуючої ланки

Послідовна корегуюча ланка вводиться в основний контур регулювання системи і звичайно є пасивним чотириполюсником або регулятором на базі операційного підсилювача.

По можливості ланку слід вводити ближче до входу системи, де сигнали мають найменшу потужність. Передаточна функція вихідної розімкнутої системи

Після введення корегуючої ланки матиме вигляд



Після переходу до логарифмічних характеристик дістанемо

,

Звідки

Цей вираз визначає такий порядок синтезу послідовної корегуючої ланки:

1) виходячи із заданої структури системи і параметрів її ланок будують ЛАХ вихідної розімкнутої системи;

2) за заданими показниками якості будують бажану ЛАХ ;

3) визначають ЛАХ корегуючої ланки як різницю;

4) за ЛАХ корегуючої ланки визначають її передаточну функцію, схему і її параметри.

Синтез паралельної корегуючої ланки

Паралельні корегуючі ланки вводять у вигляді зворотних зв'язків, які охоплюють одну або кілька ланок вихідної системи.

Термін “паралельна корегуюча ланка” тут не зовсім точний, через те, що корегуюча ланка вмикається не паралельно ланкам системи, а створює від'ємний зворотній зв'язок. Передаточна функція вихідної розімкнутої системи має вигляд:

,

де - передаточна функція частини системи, що охоплюється паралельною корегуючою ланкою;

- передаточна функція решти частин розімкнутої системи.

;

.

Після введення корегуючої ланки передаточна функція системи має вигляд. автоматизований диференціальний регулятор дискретний

(*)

Після переходу до логарифмічних характеристик дістанемо :

(**)

Основна складність синтезу паралельної корегуючої ланки зумовлена наявністю одиниці у знаменнику передаточної функції (*). Для подолання цього іноді розглядається тільки інтервал частот, у якому:

, тобто одиницю в знаменнику взагалі не враховують. Проте ця нерівність виконується тільки для високих частот і не зберігається на низьких частотах.

Розглянемо досить точний метод синтезу, який дозволяє враховувати одиницю в знаменнику передаточної функції. Введемо такі позначення:



(***)

і відповідно

;

За формулою (**) будуємо ЛАХ L11(щ), віднявши Lу(щ) від Lв(щ). Залишається перейти від L11(щ) до L12(щ).

Цей перехід можна здійснити так. Виходячи з вигляду L11(щ), визначаємо W11(p) і відповідно до виразу (***) знаходимо передаточну функцію W12(p)=W11(p)-1, за якою будуємо ЛАХ L12(щ) . ЛАХ L11(щ) вибирають по таблицям ( див. літер. ).

Після цих зауважень можна запропонувати такий порядок синтезу паралельної корегуючої ланки.

1. За заданою структурною схемою і параметрами її ланок будуються ЛАХ вихідної розімкнутої системи Lв(щ).

2. За заданими показниками якості будується бажана ЛАХ Lу(щ).

3. Відніманням бажаної ЛАХ Lу(щ) від ЛАХ вихідної системи Lв(щ) визначається ЛАХ

L11(щ)=Lв(щ)-Lу(щ) .

4. За виглядом L11(щ) і будується L12(щ) знаменника передаточної функції (*) без одиниці. У діапазоні частот, де виконується умова L11(щ>11ДБ ЛАХ L11(щ) і L12(щ) збігаються з точністю до 3ДБ. Якщо вважати цю точність достатньою, то перехід від L11(щ) до L12(щ) при L11(щ)>11ДБ не потребує ніяких перетворень. Для переходу від L11(щ) до L12(щ) у діапазоні частот, де L11(щ)<11ДБ , слід користуватися таблицями.

Після побудови L12(щ) необхідно перевірити стійкість внутрішнього контуру системи, який утворюється ланками з передаточною функцією WOX(р) і корегуючою ланкою. Висновок про стійкість внутрішнього контуру можна зробити лише за виглядом L12(щ).

5. Вибирається місце введення корегуючої ланки і будується LОХ(щ). Звичайно, корегуючою ланкою доцільно охоплювати частину системи, яка має великий коефіцієнт підсилення.

6. Визначається ЛАХ корегуючої ланки LК(щ) як різниця характеристик

L12(щ) і LОХ(щ):

LК(щ)=L12(щ)-LОХ(щ)

7. За виглядом ЛАХ корегуючої ланки визначається її передаточна функція, вибирається схема і обчислюються її параметри.

За допомогою ЛАХ можна синтезувати не тільки одну, а й кілька корегуючих ланок для однієї схеми: як послідовні корегуючі ланки, так і паралельні корегуючі ланки (по табл. підбір пасивні чотириполюсники).

2. Нелінійні системи автоматичного керування

Загальні відомості.

Нелінійними САК називаються системи, математичне описання яких не задовольняє умови лінійності. Ці умови полягають у тому, що при зміні зовнішньої дії на ланку або систему в “а” разів характер перехідного процесу не змінюється, а змінюється лиш масштаб вихідної величини в “а” разів.

Якщо САК містить хоча б одну нелінійну ланку, то у цілому вона є нелінійною.

Нелінійні ланки описуються нелінійними рівняннями. Ознакою нелінійних рівнянь є залежність коефіцієнтів рівнянь від координат системи, або їх похідних, а також наявність у рівняннях добутків деяких координат чи їх похідних.

Усі реальні САК електроприводами нелінійні. Це пояснюється тим, що основним елементом електропривода є електрична машина, яка містить кола з феромагнітними матеріалами. Рівняння, що описують динамічні процеси в електричній машині, нелінійні, бо індуктивність є функцією струму, ЕРС внаслідок насичення магнітної системи нелінійно залежить від струму збудження. Крім того, в електроприводах використовуються підсилювачі з насиченням, елементи механічних передач з люфтами і сухим тертям та інші нелінійні елементи.

Теорію лінійних САК можна застосувати для аналізу і синтезу реальних систем електропривода лише при досить малих відхиленнях від режиму, що досліджується. В цьому разі реальна нелінійна система лінеаризується методами, які ми розглядали раніше. Проте існує велика кількість САК, у яких нелінійні ланки застосовуються спеціально з метою забезпечення обмеження координат.

Задачі аналізу і синтезу нелінійних САК набагато складніші за аналогічні задачі для лінійних систем. Це пояснюється великою різноманітністю та складністю динамічних процесів у нелінійних системах.

Типові не лінійності

Нелінійні ланки САК дуже різноманітні. Нелінійні характеристики деяких з них при обмеженому діапазоні зміни вхідного сигналу мало відрізняються від лінійних. Такі нелінійності називають слабкими, або несуттєвими. Після лінеаризації цих нелінійностей САК зводять до лінійних і для їх дослідження використовують методи теорії лінійних САК. Іншу групу становлять нелінійні елементи, характеристики яких не можна замінити лінійними. Вони надають САК якісно нових властивостей і, як правило, описуються розривними або близькими до них функціями. Такі нелінійності називають суттєвими.

Характеристики суттєво нелінійних елементів часто ідеалізують, тобто реальну нелінійну характеристику замінюють кількома лінійними ділянками, кожна з яких описується своїм рівнянням. У точках переходу від однієї ділянки до іншої спостерігається розрив похідної, тобто похідна має різні значення при підході до точки розриву зліва і справа. Якщо ідеалізувати суттєво нелінійні характеристики, то їх можна звести до обмеженої кількості типових. Розглянемо найбільш поширені з них. У загальному вони мають вигляд

, де - вихідна і вхідна змінні, - нелінійна функція.

2.1 Характеристика із зоною нечутливості

Такі характеристики мають елементи, в яких вихідний сигнал відсутній при змінюванні вхідного сигналу в деякому інтервалі, звичайно справа і зліва від нуля. Цей інтервал називається зоною нечутливості. Характеристика на малюнку а) - Кусково-лінійна. Математично кожна лінійна ділянка описується окремо і має вигляд

 , де

Зона нечутливості для цієї характеристики становить .

Наявність зони нечутливості знижує чутливість системи, тому що система не реагує на сигнали, модуль яких менше , і часто є необмеженою. Але іноді зону нечутливості вводять навмисно, коли необхідно зупинити підвищену чутливість системи до перешкод.

Характеристика із зоною насичення.

Вигляд цієї характеристики зображено на малюнку б). При малих вхідних сигналах вихідний сигнал пропорційний вхідному, при великих - настає насичення, тобто вихідний сигнал сягає максимального рівня і далі не змінюється. Математична характеристика описується так:

.

Такою характеристикою можна подати залежності вхідної величини від вхідної для більшості типів підсилювачів, тиристорних перетворювачів та інших елементів електропривода.

Релейна характеристика

Ця характеристика відрізняється стрибкоподібним змінюванням вихідного сигналу при переході вхідного сигналу через деякий рівень. Для ідеального реле цей рівень приймається нульовим, тобто для стрибкоподібного змінювання вихідного сигналу достатньо зміни знака вхідного сигналу. Математично характеристика ідеального реле описується так:

 .

Неоднозначні характеристики

(характеристики з люфтом або мертвим ходом)

Особливістю цих характеристик є залежність вихідної величини не тільки від вхідної величини в даний момент часу, а й від напрямку її змінювання(зростає вона чи зменшується). Тому при математичному описуванні таких характеристик використовуються не тільки самі вхідні сигнали, але й похідні, знак яких відповідає напрямку змінювання вхідного сигналу. Математично ця характеристика описується рівністю:

Комбіновані нелінійні характеристики

Ці характеристики поєднують властивості кількох типових нелінійностей.

Ця характеристика поєднує властивості із зоною нечутливості і релейної характеристики і математично описується так:

.

Ця характеристика має властивості неоднозначної характеристики і характеристики із зоною насичення. Математично вона описується у вигляді:



Це характеристика реального релейного елемента. Вона поєднує властивості ідеальної релейної та неоднозначної характеристик і математично описується так:

2.2 Стійкість і особливість динаміки нелінійних систем

На відміну від лінійних систем стійкість нелінійних систем залежить не тільки від власних параметрів системи, але й від величини зовнішніх дій та місця їх прикладання. Тому не можна говорити про стійкість або нестійкість нелінійної системи взагалі, а можна розглядати стійкість або нестійкість різних режимів роботи системи при різних за величиною діях.

Специфічним динамічним режимом нелінійних систем є режим автоколивань.

Автоколивання - це стійкі незгасаючі періодичні коливання, що виникають у нелінійних системах за умов відсутності зовнішніх періодичних дій. Амплітуда і частота коливань визначаються тільки власними параметрами системи.

Багато особливостей динаміки нелінійних систем можна розглянути на прикладі систем другого порядку, використавши двовимірний простір або площину станів (фазову площину). За координати фазової площини приймають відхилення вихідної величини від її значення, що відповідає усталеному режиму системи, і похідну цього відхилення. Усталеному режиму системи другого порядку відповідає початок координат. Якщо будь-яка дія виводить систему з усталеного режиму, то зображуючи точка рухається у фазовій площині.

Під час перехідного процесу змінюється вихідна величина та її похідна , тому зображуючи точка рухається у фазовій площині по фазовій траєкторії. Початкове положення зображуючої точки відповідає початковим умовам вільного руху системи.

Сукупність фазових траєкторій, що відповідають різним початковим станам системи, називається фазовим портретом. Він дає повне уявлення про динаміку системи.

Динаміка системи другого порядку описується рівнянням:

, де нелінійна функція.

Враховуючи, що , рівняння записуємо у вигляді двох рівнянь:

;

Виключимо з цих рівнянь час, розділивши друге рівняння на перше. Тоді дістанемо рівняння першого порядку:

, (*)

розв'язок якого дає рівняння фазової траєкторії.

Зв'язок між перехідним процесом і фазовою траєкторією проілюструємо на прикладі затухаючого коливального процесу.

Однаковими літерами позначимо точки на графіку перехідного процесу (а) і фазовій траєкторії (б), що відповідають однаковим станам системи. Напрямок руху зображуючої точки при зростанні часу показано стрілкою. Фазові траєкторії мають такі властивості. У верхній напівплощині фазової площини , тому зображаюча точка рухається у бік зростання (зліва направо), у нижній напівплощині, де - у бік зменшення (справа наліво). У точці перетину фазової траєкторії з віссю , тому згідно (*) . Звідси випливає, що дотична до фазової траєкторії у точці її перетину з віссю перпендикулярна до цієї осі.

Рівняння (*) однозначно визначає дотичну до фазової траєкторії в усіх точках, крім тих, для яких одночасно виконуються умови:

і .

У цих точках , тобто не існує певного напряму дотичної до фазової траєкторії, і з них можуть виходити багато фазових траєкторій. Такі точки називають особливими. В них похідні фазових координат дорівнюють нулю, тому особливі точки є точками рівноваги системи.

Фазові портрети нелінійних систем наведені у таблицях довідникової літератури.

Динамічні процеси у нелінійних системах суттєво відрізняються від процесів у лінійних: значно ширше трактується поняття про стійкість, в тій самій системі залежно від початкових відхилень можуть спостерігатися якісно різні перехідні процеси тощо. В цілому за своїми властивостями нелінійні системи значно багатші за лінійні. Наприклад:

Фазовий портрет, який зображено на рисунку, характеризує динаміку системи, нестійкої у малому(особлива точка - нестійкий фокус). Усталеним режимом цієї системи є автоколивання. Прикладом такої системи може бути система, лінійний аналог якої при малих відхиленнях нестійкий. У цій системі спостерігається розбіжний коливальний процес, проте внаслідок насичення окремих елементів системи амплітуда коливань не зростає нескінченно, а встановлюється на деякому змінному рівні, тобто в системі виникає режим автоколивань. Такому режиму відповідає замкнута траєкторія на фазовій площині.

Ця траєкторія називається стійким граничним циклом. Стійкий граничний цикл становить найважливіший для ТАК тип особливих ліній на фазовій площині. Фазові траєкторії, що починаються всередині й ззовні стійкого граничного циклу, з часом асимптотично наближається до нього.

Якщо фазові траєкторії, близькі до граничного циклу, з часом віддаляються від нього, то граничний цикл буде нестійким.

Приклад фазового портрета з нестійким граничним циклом показано на рисунку.

Він відповідає системі, що стійка у малому і нестійка у великому. Нестійкий граничний цикл визначає межу початкових умов, до якої система зберігає стійкість. Він також становить особливу лінію на фазовій площині.

Дослідження нелінійних систем методом фазової площини

Метод фазової площини належить до таких методів дослідження нелінійних систем. Найповніше цей метод розроблений для систем другого порядку. Сукупність фазових траєкторій (фазовий портрет), що відповідають різним початковим положенням зображуючої точки дає повне уявлення про динаміку нелінійної системи. Тому дослідження нелінійних систем методом фазової площини по суті зводиться до побудови фазового портрета і аналізу за його допомогою динамічних режимів системи.

Як зазначалось раніше, рівняння фазової траєкторії є розв'язком рівняння

 першого порядку. (*)

Спосіб розв'язування цього рівняння залежить від типу характеристики нелінійної ланки. Загальним методом розв'язання є чисельне інтегрування за допомогою ЕОМ. Для кусково-лінійних нелінійних характеристик у деяких випадках розв'язок рівняння першого порядку може бути знайдено аналітично для окремих лінійних ділянок нелінійної характеристики. Кожна лінійна ділянка нелінійної характеристики описується своїм рівнянням вигляду (*), отже буде багато різних рівнянь фазових траєкторій. При цьому на фазовому портреті з'являються так звані лінії перемикання, що розділять фазову площину на зони з різними фазовими траєкторіями.

Якщо нелінійну систему зведено до найпростішої і розглядається вільний рух системи , то рівняння ліній перемикання визначається безпосередньо за математичним описанням нелінійної ланки.

Якщо на фазовій площині є лінії перемикання, то при розрахунку фазових траєкторій початкові значення та кожної ділянки визначаються через їх кінцеві значення на попередній ділянці.

Фазові траєкторії можна побудувати й не розв'язуючи рівняння (*), якщо скористатися методом ізоклін. Ізокліни (лінії однакового нахилу) - це лінії, вздовж яких похідна має стале значення. Через те, що ізокліна становить геометричне місце точок з однаковим кутом нахилу дотичних до фазових траєкторій, що проходять через ці точки. Кут нахилу дотичних до осі абсцис визначається із співвідношення

...