Моделирование при проектировании информационно-управляющих систем

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования Российской Федерации

Таганрогский государственный радиотехнический университет

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ ИНФОРМАЦИОННО-УПРАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМ

В.И. Финаев

Таганрог 2002



УДК 518.5.001.57(075.8)

В.И. Финаев. Моделирование при проектировании информационно-управляющих систем: Учебное пособие. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2002. 118 с.

ISBN 5-8327-0105-4

Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по направлению 552800 «Информатика и вычислительная техника». В пособии изложены сведения, особо полезные для студентов специальности 2002 «Автоматизированные системы обработки информации и управления», изучающих дисциплины «Моделирование систем», «Теоретические основы построения автоматизированных систем управления», «Проектирование автоматизированных систем обработки информации и управления», «Системы реального времени», а также другие инженерные курсы. В учебном пособии приведены основные теоретические положения и методы моделирования, знание которых необходимо при проектировании информационно-управляющих систем.

Табл. 20. Ил. 30. Библиогр.: 28 назв.

Печатается по решению ред.-изд. совета Таганрогского государственного радиотехнического университета.

Рецензенты

Региональный (областной) центр новых информационных технологий, директор центра д.т.н., профессор В.М.Курейчик

А.В.Маргелов, д.т.н., профессор, ведущий научный сотрудник ТНИИС.

ISBN 5-8327-0105-4Таганрогский государственный

Радиотехнический университет, 2002

моделирование информация управление время



Содержание

Введение

1. Основные определения

1.1 Цель и задачи моделирования

1.2 Модель и объект

1.2.1 Понятие системы

1.2.2 Понятие модели

1.2.3 Классификация моделей

1.3 Имитационное моделирование

2. Модели динамических систем

2.1 Классификация моделей динамических систем

2.2 Формализация

2.3 Применение дифференциальных уравнений при моделировании систем

2.3.1 Общий вид динамической системы, определяемой обыкновенными дифференциальными уравнениями

2.3.2 Модели в виде обыкновенных дифференциальных уравнений

2.4 Инерционные модели

2.4.1 Дифференциальные уравнения с запаздывающими аргументами

2.4.2 Модели в виде сумм и интегралов свертки

2.5 Модели на основе передаточных функций

2.6 Конечные автоматы

2.6.1 Понятие конечного автомата

2.6.2 Конечный автомат с последействием

2.6.3 Нестационарные автоматы

2.7 Примеры составления моделей в виде дифференциальных уравнений

2.7.1 Модель электрического колебательного контура

2.7.2 Модель размножения микроорганизмов

2.7.3 Модель динамики боя

2.7.4 Модель движения ракеты

2.8 Пример идентификации параметров передаточной функции по частотным характеристикам автоматизированной системы

3. Стохастические модели объектов

3.1 Математические модели случайных процессов в широком смысле

3.1.1 Определение случайных функций

3.1.2 Корреляционные функции

3.1.3 Классификация моделей случайных процессов

3.1.4 Модели марковских процессов

3.2 Методы имитации случайных факторов

3.2.1 Датчики случайных чисел

3.2.2 Имитация случайных событий

3.2.3 Имитация непрерывных случайных величин

3.2.4 Имитация марковского процесса

4. Алгоритмизация процессов функционирования систем

4.1 Моделирующие алгоритмы

4.2 Принципы построения моделирующих алгоритмов для сложных систем

4.3 Фиксация и обработка результатов моделирования

4.4 Точность. Количество реализаций

5. Моделирование систем с использованием типовых математических схем

5.1 Модели систем массового обслуживания

5.1.1 Общие сведения

5.1.2 Модель входного потока заявок

5.1.3 Модель времени обслуживания

5.1.4 Модель Эрланга

5.1.5 Исследование модели пуассоновского процесса с помощью производящих функций

5.1.6 Модель для определения времени задержки в виде интегро-дифференциальных уравнений Линди-Такача-Севастьянова

5.2 Модели стохастических систем в виде вероятностных автоматов

5.2.1 Формальное задание и классификация

5.2.2 Табличное задание функций переходов и выходов

5.2.3 Автоматные модели адаптивных систем управления (СУ)

5.2.4 Модели адаптивных обучаемых систем управления

5.3 Агрегатные системы

5.3.1 Понятие агрегата

5.3.2 Пример функционирования агрегата

6. Линейные модели наблюдений

6.1 Основные определения

6.2 Формализация линейной модели наблюдений

6.2.1 Формальное описание модели

6.2.2 Оценивание параметров модели

6.3 Полный факторный эксперимент

6.3.1 Определение эксперимента

6.3.2 Определение полного факторного эксперимента

6.3.3 Полный факторный эксперимент 22

6.3.4 Полный факторный эксперимент 23

6.3.5 Полный факторный эксперимент 2k

6.4 Дробный факторный эксперимент

6.4.1 Определение дробных реплик

6.4.2 Выбор дробных реплик

6.5 Поиск экстремума функции отклика

6.5.1 Определение стратегии поиска

6.5.2 Метод крутого восхождения

6.5.3 Метод Бокса и Уильсона

6.5.4 Пример расчета крутого восхождения

Библиографический список



Введение

Нельзя объять необъятное. Козьма Прутков

При проектировании как автоматизированных систем управления, так и любых информационных систем важно правильно поставить задачу проектирования, исходя из назначения системы и выполняемых ее функций. Постановка задачи проектирования соответствует требованиям системного анализа и, в первую очередь, связана с изучением предметной области, т.е. обследованием и формализацией самого объекта, для которого предназначена автоматизированная система, условий его функционирования и связей со средой, в которой функционирует объект. Формализация объекта, разработка адекватных математических моделей - начальная часть работ при проектировании информационно-управляющих систем самого разного назначения.

Совокупность методов и приемов исследований называется системным анализом. Рассмотрение изучаемого объекта как системы, состоящей из взаимодействующих элементов, построение математической модели для объекта и исследование ее методами математического моделирования составляет сущность системного подхода. Постановка задачи проектирования требует знаний методов и средств системного анализа. Таким образом, в арсенал средств системного анализа входит моделирование объекта.

Моделирование любых систем и процессов требует знаний из области естественно гуманитарных дисциплин, в первую очередь знаний математики и физики.

При исследовании любых систем методами системного анализа необходимо построить модель, т.е. реальному объекту ставится в соответствие некоторый математический объект, называемый его моделью. Исследование модели методами системного анализа позволяет получить рекомендации относительно поведения реального объекта. Таким образом, модель (modulus (лат.) - мера) есть объект-заменитель объекта-оригинала. Модель обеспечивает изучение свойств оригинала, а моделирование есть замещение одного объекта другим объектом с целью получения информации о свойствах объекта-оригинала [1,2]. Теория замещения объектов называется теорией моделирования.

Моделирование как метод исследования сравнительно давно применяется при решении задач исследовательского характера.

Моделирование -- это прежде всего творческий процесс, требующий определенного искусства, математических знаний, практических навыков и умения предвидеть результат исследований.

В процессе обучения на общетехническом факультете студент получает достаточно глубокие теоретические знания в различных областях математики и физики, но возможность применения этих знаний в практической деятельности для студента остается далеко не ясной.

Цель курса "Моделирование систем" состоит в том, чтобы научить применять знания математики и физики для решения задач исследования производственных и социально-экономических систем.

Основные задачи курса "Моделирование систем" следующие:

- ознакомление студента с некоторыми математическими языками, применение которых возможно при решении задач моделирования;

- изучение возможностей и особенностей применения математических языков для решения практических задач моделирования;

- изучение особенностей и получение практических навыков в области имитационного моделирования сложных систем;

- выполнение комплекса лабораторных работ с целью проведения исследований и получения навыков в обработке статистических данных.

В первом разделе изложен материал, дающий представление о целях и задачах моделирования. Приведены основные определения и классификация моделей, которая соответствует классификации систем. Определено назначение аналитического и имитационного моделирования.

Во втором разделе рассмотрены виды моделей динамических систем. Под динамической системой понимается объект, совершающий «движение» в пространстве состояний, т.е. способный переходить во времени из одного состояния в другое под действием внешних и внутренних причин. Рассмотрена классификация динамических систем.

Определено понятие формализации объекта как метода построения модели. Рассмотрены три этапа формализации: содержательное описание, построение формализованной схемы процесса, построение математической модели процесса.

Математический аппарат дифференциальных уравнений - один из известных и широко применяемых инструментов для решения задач моделирования динамических систем. Поэтому уделено внимание ряду дифференциальных уравнений, заданных в общем виде, которые наиболее часто могут быть применены для моделирования динамических систем. Это обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, линейные дифференциальные уравнения q-го порядка, многомерные уравнения в форме Коши, дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, применимые для моделирования инерционных динамических систем.

Рассмотрены уравнения в виде сумм и интегралов свертки, определен вид модели, задаваемый импульсной характеристикой системы, представляющей собой отклик системы в данный момент времени на входное воздействие, приложенное на i интервалов раньше и имевшее характер единичного мгновенного импульса в виде функции Дирака.

Применение преобразований Лапласа позволяет получать модели в виде передаточной функции, а применение преобразования Фурье - в виде комплексного частотного коэффициента передачи системы. Определено задание в общем виде передаточной функции и комплексного частотного коэффициента передачи.

Для моделирования динамических систем, функционирующих в дискретном времени, применяется аппарат конечных автоматов. Приведено определение конечного автомата. Рассмотрено задание моделей систем в виде конечного автомата, автомата с последействием и нестационарного автомата.

В третьем разделе рассмотрены модели объектов, которые функционируют во времени случайным образом.

Определены виды моделей - модель случайного процесса в виде n-мерного конечномерного распределения, модель в виде плотности функций распределения случайных величин, модель в виде характеристической функции конечномерного распределения, модель в виде корреляционных функций.

Приведена классификация моделей случайных процессов и аналитическое задание моделей гауссовых процессов; процессов с независимыми приращениями; стационарных процессов в широком смысле; марковских процессов.

Рассмотрены генераторы случайных величин. Приведены методы имитации случайных факторов. Для марковского процесса показаны приемы его имитации при дискретном и случайном времени перехода из состояния в состояние.

В четвертом разделе приведено описание моделирующих алгоритмов, уделено внимание операторным схемам моделирующих алгоритмов, как удобному средству формального представления алгоритма в виде последовательной записи, а не рисунка.

Рассмотрены принципы построения моделирующих алгоритмов для сложных систем: t - способ, принцип "особых состояний" и способ последовательной проводки заявок.

Фиксация и обработка результатов имитационного моделирования -важная часть процесса исследования. Приведены упрощенные формулы для получения статистических оценок результатов моделирования. Рассмотрены существующие критерии оценки точности в исследованиях, в том числе и при имитационном моделировании.

В пятом разделе приведено описание схем моделирования, получаемых путем применения теории систем массового обслуживания, вероятностных автоматом. Рассмотрена универсальная схема моделирования системы как агрегата.

Многие объекты могут быть представлены как системы массового обслуживания. Поэтому рассмотрены модели входного потока заявок, модель времени обслуживания, модели в виде уравнений Эрланга, модель пуассоновского процесса с помощью производящих функций, модель для определения времени задержки в виде интегро-дифференциальных уравнений Линди-Такача-Севастьянова.

Рассмотрено применение вероятностных автоматов для задач моделирования адаптивных систем управления, в которых реализован принцип обучаемости в поведении. Показано применение симметрических автоматов в задачах моделирования процессов обучаемости. Приведено задание стохастической модели обучаемости Буша - Мостеллер.

В шестом разделе уделено внимание линейным моделям наблюдений как средству исследования функционирующих систем. Приведены основные определения, показана возможность оценивания параметров модели. Приведено описание полных и дробных факторных экспериментов.

Рассмотрен метод Бокса и Уильсона, предназначенный для идентификации параметров модели и поиска экстремума функции отклика. Метод Бокса и Уильсона - последовательный «шаговый» метод изучения поверхности отклика. Рассмотрен пример поиска экстремума.

Изложенный в пособии материал достаточен для понимания целей и задач построения моделей объектов при проектировании информационно-управляющих систем. Вместе с тем, следует отметить, что, так как моделирование - процесс творческий и результат всегда неоднозначный, то существуют еще другие (не изложенные в данном пособии) возможности для решения задач моделирования.



1. Основные определения

1.1 Цель и задачи моделирования

Модель объекта необходима для проектирования и проведения исследований разного назначения, особенно при решении задач, связанных с проектированием информационно-управляющих систем. Например, с помощью модели можно осуществить поиск некоторых входных параметров и состояния объекта, которые обеспечат экстремальное значение выходного параметра. Примером является задача поиска максимального значения прибыли предприятия. Так как экспериментировать непосредственно на объекте для поиска необходимых входных параметров и параметров состояний экономически невыгодно, то модель полезна с этой точки зрения.

Любая модель объекта - это некоторое приближение к объекту, т.е. его субъективное восприятие исследователем. Поэтому можно утверждать, что сколько существует исследователей, столько и можно получить разных моделей. Модель, несмотря на некоторую приближенность к реальному объекту, позволяет достаточно точно изучить поведение объекта, получить наглядные представления о его характеристиках.

Цель моделирования объектов многосторонняя. Это получение обоснованного представления о характеристиках объекта, его поведении при действии возмущающих и управляющих воздействий, а также при изменении структуры объекта.

Задачи при моделировании систем носят исследовательский характер, независимо от назначения модели.

Наиболее часто решаемые задачи при моделировании систем связаны с оптимальной организацией функционирования систем, проектированием и конструированием в различных областях техники и жизнедеятельности. С помощью управляющих моделей решаются задачи оптимального статистического синтеза управления некоторым объектом или процессом. Модели используются для решения задач анализа многофакторных объектов, систем и процессов.

Построение модели связано с формализацией, т.е. математическим, алгоритмическим или каким-либо другим видом формального задания модели.

Начало формализации объекта состоит в следующем. Объект функционирует в некоторой среде. Среда воздействует на объект. Объект также воздействует на среду. На объект могут подаваться управляющие параметры (сигналы). Формально это отображают схемой, приведенной на рис.1.1, где Х, Y, F -- векторы входных, выходных и возмущающих сигналов.

Рис.1.1

Моделирование объекта может быть математическим, в виде построения некоторого макета объекта, натурным и имитационным.

Математическое моделирование связано с нахождением некоторой математической схемы, описывающей функционирование объекта и его взаимодействие с внешней средой. Математическое моделирование имеет ряд достоинств. Это точная воспроизводимость численных экспериментов, их гибкость и экономичность, возможность значительного сокращения времени моделирования по сравнению с временем выполнения реальных экспериментов на промышленном объекте. Наличие случайных возмущений, а также потребность в математическом описании движения объектов при построении оптимальных систем управления промышленными объектами указывает на важное научное и прикладное значение проблем моделирования.

При математическом моделировании применяются концепции сложных систем [2], а именно:

- рассматриваемая система расчленяется на подсистемы, которые в свою очередь могут быть расчленены на конечное число более мелких подсистем и т.д. до уровня элементов, относительно которых существует договоренность о неделимости;

- элементы сложных систем функционируют во взаимодействии и свойства каждого элемента зависят от условий, определяемых поведением других элементов;

- свойства сложной системы определяются не только свойствами элементов, но и характером их взаимодействий.

Моделирование объекта может предусматривать построение его макета. Макет объекта может быть реализован в виде принципиальной электрической схемы, изготовления некоторого действующего устройства, отображающего функционирование объекта или построение макетов (самолеты), моделей одежды и прочее. Данный вид моделирования не является предметом исследования в данной работе.

Натурное моделирование предусматривает проведение экспериментов непосредственно на объекте. Высокая стоимость натурных экспериментов с промышленными объектами ограничивает возможность этого вида моделирования при проведении исследований.

Имитационное моделирование является методом моделирования объектов и процессов на ЭВМ. При моделировании на ЭВМ вырабатывается информация, описывающая элементарные явления исследуемого процесса с учетом их связей и взаимных влияний. Получаемая информация о состояниях процесса используется для определения тех характеристик процесса, которые нужно получить в результате моделирования.



1.2 Модель и объект

1.2.1 Понятие системы

Любой производственный комплекс, учреждение, социальный объект и прочее можно представить как систему, на вход которой подано управление Х, а с выхода снимается выходной параметр Y. Состояние системы описывается вектором Z, как это показано на рис.1.2.

Рис.1.2

Вектор входных сигналов ={х1,х2,…,хm}, а компонента входного сигнала хiХi,, (), где Хi, - заданные дискретные или непрерывные множества. Прямое произведение вида Х=Х1Х2…Х m называется пространством входных сигналов, а входной сигнал представляет собой точку пространства Х.

Отображение Х=L(t), сопоставляющее каждому моменту времени t некоторый сигнал хХ, называется входным процессом L(t).

Вектор выходных сигналов Y - множеству выходных сигналов. Выходной сигнал, выдаваемый системой в момент времени tT, обозначим . Если выходной сигнал описывается набором характеристик y1, y2,…,yr, таких, yjYj, (), где Yj - заданные множества, то прямое произведение Y=Y1Y2…Yr называется пространством выходных сигналов. По аналогии с входным процессом определяется понятие выходного процесса Y=M(t).

В теории управления выходные сигналы называются фазовыми координатами (переменными состояния).

Состояние системы определяется как совокупность состояний элементов. Состояние системы описывается некоторым набором характеристик zkZk, (), где Zk -- заданные множества, а пространство состояний Z определяется как прямое произведение Z=Z1Z2…Zn.

1.2.2 Понятие модели

Существует большое количество определений понятия «модель». Определим математическую модель как упрощенное отображение существенных сторон реальной системы, выраженное в математической форме и позволяющее математически описать правило (оператор) преобразования входных Х сигналов в выходные Y:

Y=W(Х),

где W - некоторая математическая модель системы.

Под символом W(.) понимаются любые математические действия (алгебраические операции, дифференцирование, интегрирование, решение функциональных уравнений и т.д.). Оператор W представляет собой совокупность математических и логических операций, позволяющих установить соответствие между входными и выходными сигналами.

В большинстве случаев не удается непосредственно наблюдать или измерять сигналы на выходе системы. Можно наблюдать сигналы лишь на выходе измерительного устройства, последовательно соединенного с системой, как это показано на рис.1.3.

Рис.1.3

Выходные сигналы системы и дополнительные воздействия, которым соответствует r-мерный вектор дополнительных сигналов (связанных также с ошибками измерения) ={1,2,…,r}, являются входными сигналами для измерительного устройства.

Наблюдаемый вектор состояний измерительной системы (вектор откликов) записывается в виде V={v1,v2,…,vr}. Математическая модель измерительного устройства имеет вид

V=B(Y),

где B(Y) - некоторый оператор, преобразующий сигналы Y и на входе измерительного устройства в сигналы-отклики V.

1.2.3 Классификация моделей

Наиболее общей формой классификации моделей является рассмотрение зависимостей между состояниями и параметрами сложной системы.

Математические модели делятся на два класса: детерминистические и стохастические.

Детерминистические модели -- модели тех систем, в которых существует однозначное соответствие для каждого момента времени между входными сигналами, состояниями и выходными сигналами.

Стахостические модели -- модели тех объектов, в которых изменение состояния и выхода задается в виде вероятностного распределения.

Исходя из способа использования математических моделей для изучения сложных систем, модели делятся на аналитические и имитационные.

Аналитические модели представляют собой некоторые математические схемы (алгебраические, дифференциальные, конечно-разностные уравнения и т.д.). Аналитическая модель исследуется следующими способами:

- аналитически, когда стремятся получить в явном виде зависимости для искомых величин;

- численно, когда нет метода решения уравнения в общем виде, но можно получить результаты при конкретных начальных условиях;

- качественно, когда нет решения в явном виде, но можем найти некоторые свойства решения (оценить устойчивость и т.п.).

В тех случаях, когда аналитическое описание системы получить не удается, применяется алгоритмическое описание процесса ее функционирования или строится моделирующий алгоритм, предназначенный для реализации на ЭВМ.

1.3 Имитационное моделирование

Моделирующий алгоритм приближенно воспроизводит реальный процесс, функционирующий во времени. Имитируются элементарные явления, составляющие процесс, с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени. Этот тип моделирования наиболее близок к натурному эксперименту [3].

Сущность рассматриваемого метода моделирования состоит в реализации на ЭВМ специального алгоритма, который воспроизводит формализованный процесс в сложной системе. Моделирующий алгоритм позволяет по исходным данным получить сведения о состоянии процесса в произвольные моменты времени.

Такие модели называются имитационными, а процесс исследования систем на их основе с помощью ЭВМ - имитационным моделированием.

Имитационное моделирование представляет собой определенную последовательность этапов решения задач:

- изучение реальных систем;

- составление содержательного описания процесса функционирования;

- формулировка цели исследования; выбор основных критериев функционирования;

- разбиение сложной системы на подсистемы;

- построение формализованной схемы процесса функционирования;

- построение математической модели системы;

- планирование эксперимента и сбор исходных данных;

- составление рабочей программы с учетом особенностей машины;

- отладка программы;

- осуществление моделирования;

- обработка результатов;

- выработка рекомендаций.



2. Модели динамических систем

2.1 Классификация моделей динамических систем

Определение. Под динамической системой понимается объект, находящийся в каждый момент времени tT в одном из возможных состояний Z и способный переходить во времени из одного состояния в другое под действием внешних и внутренних причин.

Динамическая система как математический объект содержит в своем описании следующие механизмы:

- описание изменения состояний под действием внутренних причин (без вмешательства внешней среды);

- описание приема входного сигнала и изменения состояния под действием этого сигнала (модель в виде функции перехода);

- описание формирования выходного сигнала или реакции динамической системы на внутренние и внешние причины изменения состояний (модель в виде функции выхода).

Аргументами входных и выходных сигналов системы могут служить время, пространственные координаты, а также некоторые переменные, используемые в преобразованиях Лапласа, Фурье и других.

В простейшем случае оператор системы преобразует векторную функцию Х(t) в векторную функцию Y(t). Модели подобного типа называются динамическими (временными).

Динамические модели делятся на стационарные, когда структура и свойства оператора W(t) не изменяются со временем, и на нестационарные.

Реакция стационарной системы на любой сигнал зависит только от интервала времени между моментом начала действия входного возмущения и данным моментом времени. Процесс преобразования входных сигналов не зависит от сдвига входных сигналов во времени.

Реакция нестационарной системы зависит как от текущего времени, так и от момента приложения входного сигнала. В этом случае при сдвиге входного сигнала во времени (без изменения его формы) выходные сигналы не только сдвигаются во времени, но и изменяют форму.

Динамические модели делятся на модели безынерционных и инерционных (модели с запаздыванием) систем.

Безынерционные модели соответствуют системам, в которых оператор W определяет зависимость выходных величин от входных в один и тот же момент времени - y=W(Х,t ).

В инерционных системах значения выходных параметров зависят не только от настоящих, но и предыдущих значений переменных

Y=W(Z,хt,хt-1,…,хt-k).

Инерционные модели еще называют моделями с памятью. Оператор преобразований может содержать параметры, которые обычно неизвестны - Y=W(,Z,Х), где ={1,2,…,k} - вектор параметров.

Модели, содержащие неизвестные параметры, называются параметрическими (например, обычные дифференциальные уравнения с неизвестными коэффициентами), в отличие от непараметрических моделей (например, модели типа интеграла свертки).

Важнейшим признаком структуры оператора является линейность или нелинейность по отношению к входным сигналам.

Для линейных систем всегда справедлив принцип суперпозиции, который состоит в том, что линейной комбинации произвольных входных сигналов ставится в соответствие та же линейная комбинация сигналов на выходе системы

(2.1)



Математическую модель с использованием линейного оператора можно записать в виде Y=WХ.

Если условие (2.1) не выполняется, модель называется нелинейной.

Классифицируются динамические модели в соответствии с тем, какие математические операции используются в операторе. Можно выделить: алгебраические, функциональные (типа интеграла свертки), дифференциальные, конечно-разностные модели и др.

Одномерной моделью называется такая, у которой и входной сигнал, и отклик одновременно являются величинами скалярными.

В зависимости от размерности параметра модели подразделяются на одно- и многопараметрические. Классификация моделей может быть продолжена также в зависимости от видов входных и выходных сигналов.

2.2 Формализация

Как было отмечено выше, проектирование автоматизированных систем, построение моделей начинается с формализации объекта.

Формализация любого реального объекта или процесса содержит три этапа: содержательное описание, построение формализованной схемы процесса, построение математической модели процесса.

Содержательное описание в словесном выражении концентрирует сведения о физической природе и количественных характеристиках элементарных явлений исследуемого объекта или процесса, о степени и характере взаимодействия между ними, о месте и значении каждого элементарного явления в общем процессе функционирования рассматриваемой реальной системы.

Необходимо тщательное изучение объекта. Изучение сводится к наблюдению и фиксации количественных характеристик при проведении натурного эксперимента. Если система проектируется, то при описании используют накопленный опыт и результаты наблюдения за процессами функционирования аналогичных систем. Дополнительные материалы описания содержат постановку прикладной задачи моделирования, перечень искомых величин с указанием их практического предназначения и требуемой точности, исходные данные, необходимые для исследования.

Формализованная схема процесса является промежуточным звеном между содержательным описанием и математической моделью. Разрабатывается в том случае, когда из-за сложности исследуемого процесса или трудностей формализации некоторых его элементов непосредственный переход от содержательного описания к математической модели оказывается невозможным или нецелесообразным.

Для построения формализованной схемы необходимо выбрать характеристики процесса, установить систему параметров, определяющих процесс, вполне строго определить все зависимости между характеристиками и параметрами процесса с учетом тех факторов, которые принимаются во внимание при формализации.

На этом этапе построения формализованной схемы должна быть дана точная математическая формулировка задачи исследования с указанием перечня искомых величин и оцениваемых зависимостей. К формализованной схеме прилагается систематизированная и уточненная совокупность всех исходных данных, известных параметров процесса и начальных условий.

Формализованная схема полностью подводит итог изучению и экспериментальному исследованию процесса. Формализованная схема преобразовывается в математическую модель без притока дополнительной информации о процессе. Необходимо на этом этапе записать в аналитической форме все соотношения, выразить логические условия.

2.3 Применение дифференциальных уравнений при моделировании систем

Наиболее «разработанным» математическим аппаратом, который применяется для моделирования динамических систем, является аппарат дифференциальных уравнений. Модели в виде дифференциальных уравнений находят применение в системах автоматического управления (станки с число программных управлением, самонаводящиеся системы, электронные схемы, блоки управления оборудованием и прочее), а также применяют при моделировании социальных и биологических процессов. Ограничение в применении этих моделей определяется трудностью получения решений в реальном времени для моделей, которые описываются нелинейными или стохастическими дифференциальными уравнениями третьего и больших порядков. Рассмотрим виды дифференциальных уравнений, которые могут быть применены для решения задач моделирования.

2.3.1 Общий вид динамической системы, определяемой обыкновенными дифференциальными уравнениями

Дифференциальные уравнения описывают процесс перехода динамической системы из одного состояния в другое. Существенное значение имеет описание взаимодействия системы с внешней средой.

Входные и выходные сигналы описываются соответствующими наборами характеристик (координат):

Х(t)={х1(t),х2(t),...,хm(t)}; Y(t)={y1(t),y2(t),..., yr(t)}.

Модель динамической системы, определяемая обыкновенными дифференциальными уравнениями в общем случае, задается следующими соотношениями:

а) дифференциальными уравнениями (движения) в пространстве состояний



(2.2)

б) соотношениями для выходных сигналов

в) начальными условиями при

г) значениями входного процесса

Если для (2.2) выполнены условия существования и единственности решений, то они имеют вид

(2.3)

Обозначим решение системы дифференциальных уравнений (2.2), проходящее в момент времени t0 через точку , символом F. Тогда

определяется функцией переходов динамической системы.

Эта функция каждому набору ставит в соответствие то состояние Z(t), в которое переходит система за время перехода t-t0 из фазы (t0,Z0) под действием фрагмента .

Функцию

которая каждому набору сопоставляет выходной сигнал yt=y(t), называют функцией выходов динамической системы.

2.3.2 Модели в виде обыкновенных дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения классифицируются на линейные и нелинейные, стационарные и нестационарные, уравнения первого и более высокого порядка, а также одномерные и многомерные. Рассмотрим наиболее характерные виды моделей.

Модель системы в виде обыкновенного линейного дифференциального уравнения q-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью, выраженной через производные от управляющих функций, задается в следующем виде:

(2.4)

Введем оператор дифференцирования . С использованием этого оператора и с учетом аддитивной ошибки v(t) уравнение (2.4) запишется в виде

z(р)=-1(р)(р)х(р)+v(р),



где -1(р)=рq - 1рq-1 - 2рq-2 -… - q, (р)=0рr + 1рr-1 + … + r.

Модели в виде многомерных дифференциальных уравнений в форме Коши находят наибольшее применение. Они описываются системами обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка в форме Коши, т.е. разрешенными относительно первых производных.

Стационарная линейная непрерывная модель динамической системы в общей форме имеет вид

(2.5)

где W - вектор шума системы, - вектор производных от переменных состояния, матрицы Ф, G, Н и Г для стационарной системы не зависят от времени и включают параметры, подлежащие оцениванию. Параметры могут входить и в начальное условие, которое необходимо добавить для решения первого уравнения (2.5).

Модель для нестационарной линейной непрерывной системы отличается от (2.5) тем, что матрицы Ф, G, Н и Г будут зависеть от времени.

Непрерывная нелинейная система может быть описана моделью

Вектор функций (…), (…) и матрица Г(...) предполагаются известными с точностью до параметров, подлежащих оцениванию.

Применяя преобразования Лапласа, можно перенести описание из временной области в область изображений по Лапласу. Для определения параметров таких моделей широко используются методы планирования (управления) экспериментом.



2.4 Инерционные модели

Динамические системы с последействием (с предысторией) могут быть формализованы с применением дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.

2.4.1 Дифференциальные уравнения с запаздывающими аргументами

В общем случае дифференциальные уравнения n-го порядка с запаздывающим аргументом имеют вид

.(2.6)

Так же как и дифференциальные уравнения без запаздывания дифференциальное уравнение (2.6) может быть сведено к системе дифференциальных уравнений первого порядка

Из рассмотрения даже простейшего дифференциального уравнения

(2.7)

где >0, =сonst, трудно понять, какие начальные условия надо задать, чтобы определить решение z(t) для t>t0.

Перейдем к эквивалентному интегральному уравнению



(2.8)

Для решения данных уравнений необходимо задать z0=z(t0), функцию z(t) в полуинтервале t0-t<t0. Действительно, если задать начальные условия в виде функции z(t)=W(t), называемой начальной функцией t[t0-,t0), то правая часть (2.8) будет определена для любого >t0

Задача для решения уравнения (2.7) формулируется следующим образом.

Следует определить непрерывное решение z(t) для t>t0, при условии, что z(t)=W(t) для t[t0-,t0). Если функции f и W непрерывны и первая из них удовлетворяет условию Липшица по z, то искомое решение существует и единственно. Это решение может быть найдено методом последовательного интегрирования, сущность которого заключается в том, что, зная W(t) для t0-t<t0, найдем z(t) для t0t<t0+. Примем это z(t) за начальную функцию W(t) для t0t<t0+. Определим z(t) для t0+t<t0+2 и т.д.

Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом применяются для составления моделей динамической системы с последствием, т.е. систем, для определения состояний z(t) которых при t>t0 недостаточно задать z0=z(t0).

2.4.2 Модели в виде сумм и интегралов свертки

Если динамическая система функционирует в дискретные моменты времени, то ее модель может быть описана в виде суммы свертки.

Математические модели, выражаемые суммой свертки или интеграла свертки, задаются следующим образом. Для однооткликовой стационарной динамической системы, на вход которой действует управляющая функция х(t), а наблюдения над входом и выходом производятся только в дискретные моменты времени с интервалом квантования t, математическая модель может быть выражена с помощью суммы свертки

Определив t=1, получим

(2.9)

Модель (2.9) является моделью импульсной системы, н(i) есть импульсная характеристика системы, представляющая собой отклик системы в данный момент времени на входное воздействие, приложенное на i интервалов раньше и имевшее характер единичного мгновенного импульса в виде функции Дирака. Импульсная характеристика играет здесь роль весовой функции.

Если линейная динамическая система нестационарна, то вместо выражения (2.9) можно воспользоваться моделью

где н(k,i) - реакция системы в момент k на единичный импульс в момент i.

В модели типа суммы свертки роль величин, подлежащих определению из экспериментальных данных, играют значения импульсной характеристики, т.к. данная модель является непараметрической.

Если в динамической системе измерения управляющей функции и отклика носят непрерывный характер, то модель линейной системы может быть записана в виде интеграла свертки:

для линейной системы:

для нестационарной системы:

Модель представлена в виде функционала с аддитивной ошибкой. Интеграл называется интегралом свертки, или интегралом Дюамеля.

На практике для определения весовой функции используется (для стационарных систем) представление весовой функции в форме Релея-Ритца путем разложения функций в ряд по системе известных ортогональных функций

где Фi(t) - функции системы ортогональных функций. Это позволяет сделать модель параметрической, которая содержит ограниченное число параметров i, подлежащих определению.

Модели типа свертки могут использоваться и для описания многооткликовых линейных инерционных систем.

2.5 Модели на основе передаточных функций

Рассмотрим однооткликовую импульсную систему с дискретными сигналами на ее входе и выходе, модель которой может быть выражена с помощью импульсной характеристики (весовой функции) в виде уравнения (2.9).

Применяя одностороннее Z-преобразование к левой и правой части этого выражения, получаем

(2.10)

Z-преобразование однозначно связано с дискретным преобразованием Лапласа. Взаимосвязь комплексной переменной z и комплексной переменной преобразования Лапласа выражается соотношением z=es, которое используется для перехода от дискретного преобразования Лапласа к Z-преобразованию и наоборот.

Модель импульсной системы (2.10) устанавливает связь между Z-преобразованием отклика z(k) выходного сигнала и Z-преобразованием входного сигнала х(k). - передаточная функция импульсной системы (дискретная передаточная функция), являющаяся Z-преобразованием импульсной характеристики н(k). - Z-преобразование случайной составляющей v(k).

Если применять преобразование Лапласа к обеим частям модели (2.9) для непрерывной однооткликовой системы, то можно записать z(s)=н(s)х(s)+v(s). В этом уравнении z(s), н(s), х(s), v(s) -- преобразования Лапласа соответственно от z(t), н(t), х(t), v(t); н(s) -- передаточная функция непрерывной системы, представляющая собой преобразование Лапласа от импульсной характеристики.

Применяя к обеим частям уравнения (2.9) дискретное преобразование Фурье, получим z(jw)=н(jw)х(jw)+v(jw), где z(jw), х(jw), v(jw) - преобразования Фурье соответственно от отклика, входного сигнала и помехи, н(jw) - частная характеристика системы (комплексный частотный коэффициент передачи), которая есть не что иное, как преобразование Фурье от импульсной характеристики.

В рассмотренных моделях, использующих преобразования по Лапласу и Фурье, в роли аргументов выступает уже не время, а соответствующие параметры преобразований z, s, j.

Все модели линейны по входным сигналам, но, как правило, нелинейны по параметрам.

2.6 Конечные автоматы

2.6.1 Понятие конечного автомата

Для моделирования динамических систем, функционирующих в дискретном времени, применяется аппарат конечных автоматов.

Теория конечных автоматов и их модели используются при синтезе и анализе вычислительных устройств, дискретных устройств управления.

Конечный автомат функционирует в дискретные моменты времени t, причем в каждый момент ti автомат находится в одном из возможных состояний z(ti), принадлежащем множеству состояний автомата Z [4].

В каждый момент ti (i=1,2,...) на вход конечного автомата поступает входной сигнал -- одна из букв х входного алфавита Х.

При поступлении сигнала х состояние конечного автомата изменяется в соответствии с одношаговой функцией переходов, например

z(t)= [z(t-1),х(t)],

на выходе конечного автомата появляется выходной сигнал y(t) -- буква выходного алфавита Y, определяемая функцией выходов, например

y(t)= [z(t-1), х(t)].

Функции переходов и выходов могут быть заданы теоретико-множественным способом, табличным способом и в виде графов.

2.6.2 Конечный автомат с последействием

На практике, выполняя формальное описание ряда динамических систем с дискретным временем, используя приемы, характерные для конечных автоматов, можно иногда прийти к модели, которая не является конечным автоматом.

Автомат с последействием -- это объект A(Х,Z,Y,,,k), определяемый следующими характеристиками: Х,Y -- входной и выходной алфавиты, Z -- множество состояний, k -- натуральное число, называемое порядком начального множества, -- одношаговая функция переходов

: ZkхХ Z,

которая ставит в соответствие паре {[z(t-k),z(t-k+1),...,z(t-1)],х(t)} состояние z(t) в момент t, т.е. z(t)= {[z(t-k),z(t-k+1),...,, z(t-1)],х(t)}, -- одношаговая функция выходов - : ZхХ Y или y(t)= [z(t-1),х(t)].

Набор [z(t-k),z(t-k+1),...,z(t-1)] называется предысторией автомата с последействием, а набор моментов t-k,t-k+1,...,t-1 -- начальным множеством относительно момента t-1 и обозначается Bt-1.

При k=1 автомат с последействием превращается в обычный конечный автомат. Моделирование автомата с последействием может быть осуществлено при помощи так называемого присоединения автомата A* к автомату с последействием.

Построение A* выполняется следующим образом. Для момента t-1 задается начальное множество Bt-1, которое имеет вид

Bt-1={t-k,t-k+1,...,t-1},

а предыстория будет задана расширенным состоянием

z*(t-1) ={z(t-k),z(t-k+1),...,z(t-1)}.

Для момента t начальное множество B содержит элементы 

Bt={t-k+1,...,t-1,t},

а предыстория будет задана в виде множества

z*(t)={z(t-k+1),z(t-k+2),...,z(t-1),z(t)}.

Возьмем в качестве состояния z*(t) набор состояний автомата с последействием, входящих в предысторию.

Определим функцию переходов * присоединенного автомата A* как

z*(t)= *[z*(t-1),х(t)].

Покажем связь между функциями переходов * и :

z*(t)= * [z*(t-1),х(t)]=

={z(t-k+1),z(t-k+2),...,z(t-1),z(t)}=

={z(t-k+1),z(t-k+2),...,z(t-1), [z(t-k),z(t-k+1),..., z(t-1)],х(t)}.

2.6.3 Нестационарные автоматы

Функции переходов и выходов конечного автомата не зависят от времени. Это модели реальной аппаратуры, работающей в стационарном режиме. Более естественна модель общего вида, когда функции переходов и выходов зависят от времени:

z(t)= [(t-1),z(t-1),х(t)]; y(t)= [(t-1),z(t-1),х(t)].

Данная модель относится к случаю непостоянства функционирования аппаратуры (изменение факторов внешней среды, сруктуры технических средств, расходование ресурсов и т.п.).

Одним из приемов изучения нестационарного автомата может служить переход к стационарному конечному автомату, который будет соответствовать данному нестационарному автомату.

Пусть имеется нестационарный автомат A(Х,Z,Y,,,t). Чтобы и перестали явно зависеть от t, нужно время t включить в состояние автомата как еще одну координату, т.е. состояние стационарного конечного автомата надо выбрать в виде расширенного состояния z*=(t,z).

Состояние z*(t)=[t,z(t)], а состояние z*(t-1)=[t-1,z(t-1)]. Функция переходов присоединенного автомата определится

z*(t)= *{z(t-1),х(t)} или [t,z(t)]= *{[t-1,z(t-1)]}.

Очевидно, что {t,[t-1,z(t-1),х(t)]} = *{z*(t-1),х(t)}.

Полученный автомат, хотя и стационарный, но уже не является конечным. Поскольку множество моментов времени t - счетное множество, то число пар (t,z) тоже будет не менее, чем счетное множество. Однако при моделировании систем на конечном интервале времени будем иметь дело с конечным числом моментов t. Поэтому (для конечного исходного автомата A) поведение соответственного стационарного автомата будет аналогично поведению обычного конечного автомата.

2.7 Примеры составления моделей в виде дифференциальных уравнений

2.7.1 Модель электрического колебательного контура

Пусть известны параметры колебательного контура: С - емкость, L - индуктивность, UС(t) - напряжение на конденсаторе, IL(t) - ток в катушке, U(t) - напряжение внешнего источника. На рис.2.1 иллюстрирован колебательный контур.

Необходимо найти аналитическую модель в видек дифференциального уравнения, которая достаточно адекватно описывала колебательный процесс в контуре.

Рис.2.1

Решение. В соответствии с законом Кирхгофа можно записать:

, .

Введем координаты z1=UС и обозначив UИСТ/L=х(t), получим:

, .(2.10)

Если UИСТ=0, то х(t)=0 и система (2.10) описывает свободные колебания. Рассматривая х(t) как сигнал управления, получим описание динамики колебаний в каждый момент времени t. Решая систему (2.10), можно описать функции z1(t) и z2(t).

2.7.2 Модель размножения микроорганизмов

Всем известно, как быстро распространяются заболевания, например грипп. Эпидемия этого заболевания охватывает регионы страны. Но мало кто задумывался, почему столь стремительно размножаются микроорганизмы (вирусы), вызывающие это заболевание. Что представляет собой модель размножения этих вирусов?.

Оказывается, и это стало известно из изучения популяций микроорганизмов, что скорость размножения микроорганизмов пропорциональна числу уже имеющихся. Поставим задачу поиска модели роста популяций микроорганизмов и определим время, через которое число особей удвоится.

Решение. Пусть E(t) число особей в момент времени t. Скорость размножения определим как отношение величины E(t+?t)-E(t) к величине ?t при ?t0. Тогда, исходя из этого условия, получим уравнение в частных приращениях (модель роста популяций в частных приращениях):

Переходим к предельному выражению:

и получаем модель роста популяций микроорганизмов в виде дифференциального уравнения (общий вид):

.(2.11)

Решение дифференциального уравнения (2.11) представляет собой исследование модели.

При начальных условиях t=0, E(t=0)=E0 получим окончательный вид модели роста популяций:

E(t)=E0ekt.(2.12)

Вид уравнения (2.12) показан на рис.2.2.

Если при t=0 E=E0, то определим время Т, за которое число особей удвоится по формуле

2E0=E0ekt, 2=ekT, T=(1/k)ln2.

Заметим, что при получении этой модели не учитывалось ограничение, связанное с требуемым количеством питательных средств для существования микроорганизмов, а также воздействия внешней среды (например, иммунные силы организма).

Рис.2.2

2.7.3 Модель динамики боя

Любое боевое действие - это прежде всего расчет, моделирование боевых действий. Знание математики, теории вероятностей при планировании боевых действий чрезвычайно необходимо. Рассмотрим одну из первых моделей, описывающих динамику боя.

Пусть m1 - число боевых единиц красных; m2- число боевых единиц синих, сохранившихся непораженными к моменту времени t; л1 - средняя скорострельность для одной боевой единицы красных; л2 - -средняя скорострельность для одной боевой единицы синих. Цели поражаются с вероятностью р1 - красными и вероятностью р2 -синими. Разработать модель, отображающую динамику боя.

Решение. Интенсивности успешных выстрелов определятся как

L1= л1р1, L2= л2р2.

Число выведенных боевых единиц красных ? m1 за время ?t составит - л2р2?tm2, а число выведенных из строя боевых единиц синих ? m2 за время ?t составит - л1р1?tm1, Тогда

? m1 = л2р2?tm2, ? m2=л1р1?tm1.(2.13)

Уравнения (2.13) - модель динамики боя в частных приращениях. От уравнения (2.13) осуществим переход к дифференциальным уравнениям.

Разделив правую и левую части на ?t

л2р2m2,л1р1m1.

Взяв пределы при ?t, стремящемся к нулю, получим дифференциальные уравнения, моделирующие динамику боя:

-L2m2, -L1m1.(2.14)

Уравнения (2.4) называются уравнениями Ланчестера.

2.7.4 Модель движения ракеты

Движение ракеты, запускаемой в космос, описывается её координатами Х и Y, проекциями вектора скорости V на координатные оси VХх и VY. Пусть m - масса ракеты; u величина тяги; - угол между направлением тяги и осью 0х; f(u)-секундный расход массы. Разработать модель, отображающую динамику полета.

Решение. Проекции скоростей являются производными от движения по координатам, следовательно:

, .

В соответствии с уравнением Ньютона запишем:

.

Расход массы определится уравнением

.

Таким образом, моделью движения ракеты является система уравнений:

при начальных условиях х(t0)=х0, y(t0)=y0, m(t0)=m0, Vх(t0)=Vх0, Vy(t0)=Vy0.

Управление траекторией ракеты осуществляется за счет регулирования величины и направления силы тяги двигателя, U и - управляющие параметры.



2.8 Пример идентификации параметров передаточной функции по частотным характеристикам автоматизированной системы

Любая часть системы автоматического управления (САУ) может быть представлена как звено, преобразующее входной сигнал в выходной сигнал. Если в качестве звена рассматривается объект управления, то входными сигналами являются управляющие воздействия u(t), а выходными - управляемые величины y(t), как это показано на рис.2.3.

Рис.2.3

Для линейных звеньев зависимость между u(t) и y(t) выражается в виде обыкновенного дифференциального уравнения вида:

(2.15)

или в преобразованиях Лапласа

K(р)U(р) =D(р)Y(р),

где K(р)=kmрm+ km-1рm-1+…+k0, .

Зависимости между частотными спектрами U(j) и Y(j) определятся так:



K(j)U(j)=D(j)Y(j)

Величина называется комплексным коэффициентом передачи (частотной характеристикой системы). Она наиболее удобна для описания примышленных объектов и технологических процессов.

Если на вход подать сигнал U(t)=A1sint, то на выходе будет сигнал y(t)=A2sin(t+), где A2 и зависят от .

В комплексной форме:

(t)=A1ejt,(2.16)

y(t)=A2()ej(t+(w)).

Подставим (2.16) в (2.15), получим после преобразования

или (2.17)

Функция (2.17) называется комплексной частотной характеристикой системы с передаточной функцией (р). W(j) подставим в полярные координаты:

...