Моделирование при проектировании информационно-управляющих систем

Допустим, что нужно получить линейное приближение некоторого небольшого участка поверхности отклика при трех независимых переменных. Для решения этой задачи можно ограничиться четырьмя опытами, если в планировании для ПФЭ типа 22 произведение х1х2 обозначить третьим фактором х3. Будет получена матрица планирования, представленная в табл.6.4.

Таблица 6.4 - Матрица планирования

№ опыта	х0	х1	х2	х3=х1х2	Кодовое обозначение	Y
1 2 3 4	1 1 1 1	-1 1 -1 1	-1 -1 1 1	1 -1 -1 1	(1) a b ab	y1 y2 y3 y4

Функция отклика имеет вид

.(6.12)

Эффекты парных и тройного взаимодействия равны нулю, а это позволяет уменьшить число опытов вдвое по сравнению с ПФЭ 23 (N=8) в случае, если бы эти эффекты были бы отличны от нуля.

Матрица плана в этом случае имеет вид



Матрица D3-1 получена из матрицы D3 ПФЭ 23 путем вычеркивания строк (1, -1, 1), (-1, 1, 1), (-1, -1, -1), (1, 1, -1).

Построенный ДФЭ представляет собой полуреплику (1/2 реплику) от ПФЭ 23. Матрица D3-1 обладает, как и матрица D3, свойствами симметрии, нормирования и попарной ортогональности:

,

Таким образом, для построения полуреплики 23-1 взяты не произвольные точки плана 23. Переменная х3 в точках плана удовлетворяет соотношению х3=х1х2, которое называется генерирующим. Еще одна полуреплика может быть построена, если взять генерирующее соотношение х3=-х1х2. Чтобы построить матрицу D2-1, следует сформировать матрицу D2 ПФЭ 22, а затем с помощью генерирующего соотношения построить вектор-столбец Х3.

Матрица Х будет ортогонального планирования

.

МНК - оценки неизвестных параметров j функции (6.12) определяются



.

Оценки {j } некоррелированы и их дисперсия равна

.

Для построения дробного факторного плана при N=4 исходим из полного факторного плана 23 для факторов х1, х2 и х3 и дополняем его столбцами, образованными произведениями столбцов плана 23 х1х2, х1х3, х2х3, х1х2х3. Эти произведения могут использоваться в качестве генераторов для дробных планов. Используя один из четырех возможных генераторов, можно построить четыре различных дробных плана типа 24-1:

х4 = х1х2, -х1х2; х4 = х1х3, -х1х3; х4 = х2х3, -х2х3; х4 = х1х2х3, -х1х2х3.

По сравнению с 24=16 опытами полного факторного эксперимента полученный дробный план состоит из 24 - 1=8 опытов.

Функции отклика (6.10) ПФЭ 23 соответствует матрица независимых переменных



Матрица ДФЭ 24-1 с генерирующим соотношением х4=х1х2 будет иметь вид:

Множество D4-1 обладает свойствами симметрии, нормирования и попарной ортогональности, поэтому оценки функции отклика

имеют единственные решения

Множество всех генерирующих соотношений для полуреплик 2k-1 совпадает со множеством всех взаимодействий до (k-2)-го порядка включительно, взятых со знаком плюс и минус. Число различных полуреплик 2k-1 определится формулой v=2(2k-1-k).

Наряду с дробным факторным планом 2k-1 в исследованиях могут быть использованы также дробные факторные планы 2k-g. Дробный факторный план 2k-2 называется четверть-репликой от ПФЭ 2k.Для построения четверть-реплики ПФЭ 2k используются два генерирующих соотношения.

Рассмотрим построение четверть-реплики 25-2. Матрица плана D5-2 четверть-реплики строится исходя из матрицы плана ПФЭ 23 с применением двух генерирующих соотношений, определяющих переменные х4 и х5.

Для построения дробной реплики 25-2 может быть использовано 24 варианта генерирующих соотношений, а именно:

1) х4 = х1х2, х5 = х1х2 х3;2) х4 = х1х2, х5 = - х1х2 х3;

3) х4 = - х1х2, х5 = х1х2 х3;4) х4 = - х1х2, х5 = - х1х2 х3;

5) х4 = х1х3, х5 = х1х2 х3;6) х4 = х1х3, х5 = - х1х2 х3;

7) х4 = - х1х3, х5 = х1х2 х3;8) х4 = - х1х3, х5 = - х1х2 х3;

9) х4 = х2х3, х5 = х1х2 х3;10) х4 = х2х3, х5 = - х1х2 х3; и т. д.

Общее число взаимодействий до (k-3)-го порядка включительно определится =2k-3(k-1), а число всех дробных реплик 2k-2 равно .

Воспользуемся генерирующими отношениями х4=х1х2, х5=х1х2х3, построим матрицу дробного факторного плана 25-2

Примем, что функция отклика имеет вид

,

матрица независимых переменных является матрицей ортогонального планирования. Оценки неизвестных коэффициентов функции отклика определятся



Очевидно, что по сравнению с ПФЭ 25 в ДФЭ 25-2 число опытов уменьшено в четыре раза.

Методом математической индукции можно определить, что число дробных реплик 2k-g равно

,

где k-(g-1) - число всех взаимодействий до [k-(g+1)]-гo порядка включительно, причем k-(g-1)=2k-g-[k-(g-1)].

6.4.2 Выбор дробных реплик

При выборе функций отклика предполагалось, что известные коэффициенты при взаимодействиях факторов равны нулю, что далеко не всегда соответствует реальным ситуациям. Если применять регулярные реплики, то в этом случае возможны события, когда число неизвестных параметров функции отклика будет больше числа опытов {Yu}.

В этом случае допускается оценивание коэффициентов при линейных членах, смешанных со взаимодействиями высших порядков. Может быть смешанной часть оценок при парных взаимодействиях.

Рассмотрим пример использования реплик для случая, когда число неизвестных параметров функции отклика больше числа опытов.

Пусть функция отклика имеет вид

=0 + 1х1 +2х2 + 3х3 + 12х1х2 +13х1х3 + 23х2х3.(6.13)

Имеется дробный факторный план D, задаваемый генерирующим соотношением х3 = х1х2 :



.

Число неизвестных коэффициентов в функции отклика р+1=7, число наблюдений N0=4, N0<р+1.

Составим матрицу независимых переменных

Информационная матрица S=ХTХ будет вырожденной, т. к. она матрица порядка 7х7, а rankS=4. Следовательно, уравнение (6.7) будет иметь бесконечное множество решений.

Для рассмотренного примера модель наблюдений M{Y}=Х, D{Y}=21In0 является моделью наблюдений неполного ранга, поскольку rankХ=N0<р+14. Здесь 2 - неизвестный параметр, In0 - единичная матрица порядка N0.

Для получения решений сводят задачу исследований модели наблюдений неполного ранга к задаче исследования модели наблюдений полного ранга M{Y}=Х0r, D{Y}=21In, где Х0=(Хij), - матрица порядка r; r=0+A*, r=(1,2,…,r)T - вектор неизвестных параметров; A=(Х0TХ)-1Х0TХ*,0=(1,2,…,r)T, *=(r+1,r+2,…,р)T, Х=(Х0,Х*).

Свести модель наблюдений неполного ранга к модели наблюдений полного ранга можно, если допустить смешивание неизвестных параметров векторов 0 и *.

Как видно из матриц D3-1 и Х, в точках плана, в которых выполняются наблюдения {Yu}, имеют место следующие равенства:

х1=х2х3, х2=х1х3, х3=х1х2.

Функцию отклика (6.13) запишем в виде

(6.14)

r0=0, r1=1+23, r2=2+13, r3=3+12.

Эта функция отклика будет определена в точках плана D3-1, а матрица Х0 будет иметь вид

Функция отклика (6.14) соответствует модели наблюдений полного ранга, которая называется приведенной моделью

M{Y}=Х0r, D{Y}=2I4, RankХ0=rankХ=4.

Матрица Х0 является матрицей ортогонального планирования U, следовательно, существуют однозначные оценки вектора r

r=(ХOTХO)-1ХOTY=(ХOTY)/N,

или для каждой j-той компоненты



.

Отметим, что

.

Формально определено, что r=0+A*, причем r=(r0,r1,r2,r3)T, 0=(0,1,2,3)T, *=(12,13,23)T, а матрицу A находим из уравнения A=(Х0TХ)-1Х0TХ* и она имеет вид

.

Если решить при этих условиях уравнение r=0+A*, то получим систему параметрических функций

r0=0, r1=1 + 23, r2= 2 +13, r3=3 + 12.

Для получения правила смешивания, с помощью которого можно было определить, совокупность каких линейных эффектов и эффектов взаимодействия оценивается, введено понятие контраста плана или определяющего контраста. Правила смешивания с помощью определяющего контраста отображаются в системе линейно независимых параметрических функций, допускающих посмещенное оценивание.

Определяющим контрастом полуреплики 2k-1 называют ее генерирующее соотношение, умноженное на свою левую часть [13].

Если генерирующее соотношение полуреплик 2k-1 задано соотношением , где 1<i1<i2<…<im<k-1, 1<m<k-2, то, умножив его на хk, получим .

Так как хk[-1,+1], то определяющий контраст имеет вид

.

Умножая данные уравнения последовательно на переменные , получим систему равенств, на базе которой составляется система параметрических функций.

Например, для дробной реплики 23-1, задаваемой генерирующим соотношением х3=х1х2, определяющий контраст имеет вид 1=х1х2х3.

Умножим его на переменные х1, х2 и х3 и получим систему равенств:

, , .

Эта система равенств устанавливает соответствие для составления системы параметрических функций

r1=1 + 23 <===> х1=х2х3;

r2= 2 +13 <===> х2=х1х3;

r3=3 + 12<===> х3=х1х2.

Но данный подход не позволяет получить несмещенные (раздельные) оценки параметров 1, 2, 3. Чтобы решить эту задачу, достаточно построить еще полуреплику 23-1, которая будет задаваться генерирующим соотношением х2=-х1х3. Система равенств, отображающих смешивание, будет иметь вид х1=-х2х3; х2=-х1х3; х3=-х1х2.

Следовательно, возможно МНК - оценка следующих неизвестных коэффициентов:

r*1=1+23, r*2=2+13, r*3=3+12.

На основе оценок полуреплик 23-1 (х4=х1х3) и 23-1 (х4=-х1х3) находим несмещенные оценки

.

Рассмотрим аналогичную задачу нахождения смещенных оценок для полуреплики 24-1. Пусть функция отклика имеет вид

Матрица плана ДФЭ 24-1 построена с использованием генерирующего соотношения х4=х1х2. Определяющий контраст имеет вид 1=х1х2х4.

Умножим его последовательно на переменные х1, х2, х3, х4. Получим следующую систему равенств:

1=х1х2х4; х1=х2х4; х2=х1х4; х3=х1х2х3х4; х4=х1х2; х1х3=х2х3х4; х2х3=х1х3х4; х3х4=х1х2х3.

Исходя из этой системы равенств, построим систему параметрических функций, допускающих несмещенное оценивание параметров функции отклика

r0=0 +124, r1=1 + 12, r2= 2 +14, r3=3 + 1234.

r4=4 + 12, r5= 13 +234, r6=23 + 134, r7=34 + 123.

Если для оценивания параметров функции отклика применяется (1/4)-реплика или реплики более высокой дробности, то система смешивания линейных эффектов и эффектов взаимодействий между собой будет более сложной, поскольку для задания (1/g)-реплик (g>2) необходимо не менее двух генерирующих соотношений.

Пусть четверть-реплика 25-2 задается генерирующими соотношениями х4=х1х2 и х5=х1х2х3. Умножив их на х4 и х5 соответственно, получим определяющие контрасты 1=х1х2х4; 1=х1х2х3х5.

Если их перемножим, то получим еще один определяющий контраст 1=х3х4х5. Затем получаем обобщенный определяющий контраст

1=х1х2х4=х1х2х3х5=х3х4х5.

Для получения системы равенств, отображающих систему смешивания независимых переменных и взаимодействий, следует умножать отображенный определяющий контраст последовательно на независимые переменные х1, х2, х3, х4, х5. Система уравнений будет иметь следующий вид:

х1=х2х4=х2х3х5=х1х3х4х5;

х2=х1х4=х1х3х5=х2х3х4х5;

х3=х1х2х3х4=х1х2х5=х4х5;

х4=х1х2=х1х2х3х4х5=х3х5;

х5=х1х2х4х5=х1х2х3=х3х4;

х1х3=х2х4х3=х2х5=х1х4х5;

х1х5=х2х4х5=х2х3=х1х3х4.

С учетом обобщенного определяющего контраста получено восемь равенств, которые однозначно определяют систему параметрических функций смешивания эффектов:

r0=0+ 124 + 335 + 1235;r1=1 + 24 + 235 + 1345;

r2=2+ 14 + 135 + 2345;r3=3 + 45 + 125 + 1234;

r4=4+ 12 + 35 + 12345;r5=5 + 34 + 123 + 1245;

r6=13+ 25 + 145 + 234;r7=15 + 13 + 134 + 245.

Получен вектор , оценивание которого возможно по данным вектора наблюдений Y=(y1,y2,…,y8) T и данным матрицы Х0

,

которая является матрицей ортогонального планирования и ее rankХ0=8.

Проблема выбора дробных планов является основной при планировании факторных экспериментов. Ее решение направлено на нахождение таких дробных реплик 2k-g, которые бы позволили получить несмещенные МНК-оценки для всех неизвестных параметров функции отклика. Отметим особенности применения дробных реплик:

- число опытов N0<р+1 - числа неизвестных параметров модели;

- модель наблюдений является моделью неполного ранга, равного N0;

- матрица независимых переменных приведенной модели полного ранга является матрицей ортогонального планирования;

- система параметрических функций, допускающих оценку, выводится из определяющих контрастов.

6.5 Поиск экстремума функции отклика

6.5.1 Определение стратегии поиска

Если линейная модель наблюдений описывает некоторые процессы, то ставится задача нахождения набора входных параметров, при которых выходной параметр будет экстремальным либо будет находиться в определенной области значений. Например, линейная модель описывает технологический процесс и необходимо определить набор условий (входных факторов), при которых производительность процесса будет максимальной, либо набор условий, при которых выход бракованных изделий сведен к минимуму. Формально задача сводится к отысканию вектора Х=(х1,х2,...,хk)G при условии

Для нахождения экстремума функции отклика необходимо исследовать поверхность отклика посредством проведения изменений поверхности в различных точках факторного пространства.

Стратегия поиска состоит в том, чтобы число измерений (опытов) было сведено к минимальному значению, т. к. каждый опыт - это эксперимент на функционирующем объекте.

Наибольшее распространение получили градиентные методы поиска экстремума, при которых движение по поверхности отклика происходит в направлении оценки градиента. Оценка градиента gradf(х1,х2,...,хk) в точке (х1,х2,...,хk) происходит по результатам измерений, проводимым в окрестностях этой точки в факторном пространстве.

Бокс и Уильсон [15, с. 410] предложили использовать последовательный «шаговый» метод изучения поверхности отклика. При этом ставится небольшая серия опытов для локального описания поверхности отклика полиномом первой степени. Далее движение осуществляется по поверхности отклика в направлении градиента линейного приближения. Если одного линейного приближения достаточно, то ставится новая небольшая серия опытов и находится новое направление движения по поверхности отклика. Такой процесс движения продолжается, пока исследователь не попадет в почти стационарную область, где линейное приближение оказывается недостаточным. В этой области ставится большая серия опытов и поверхность отклика описывается полиномом второго и третьего порядка.

Метод Бокса и Уильсона состоит в повторении процедуры:

- построение факторного эксперимента в окрестности некоторой точки;

- вычисление оценки градиента в этой точке по результатам эксперимента;

- крутое восхождение в направлении оценки градиента;

- нахождение оценки экстремального значения функции отклика по этому направлению.

6.5.2 Метод крутого восхождения

Метод крутого восхождения предполагает, что функция отклика =f(х1,х2,...,хk) непрерывна, имеет непрерывные частные производные первого порядка на множестве GR - k-мерному евклидову пространству и унимодальна, т.е. в области G имеет единственный экстремум.

Основу метода отыскания экстремума функции =f(х1,х2,...,хk) составляет метод подъема (или спуска) по поверхности функции . При этом находится последовательность точек Х0,Х1,...,Хm в области G, таких, что f(Х0)>f(Х1)>...>f(Хm)>... (или f(Х0)<f(Х1)<...<f(Хm)<... ).

Градиентным называется метод, согласно которому точка Хm+1 выбирается из условия [13] Хm+1=Хm+gradf(Хm), где



- вектор-градиент функции f(х1,х2,...,хk) в точке;

- некоторая скалярная величина, > 0.

Различие градиентных методов состоит в разных методиках выбора величин . Рассмотрим суть крутого восхождения (спуска), иллюстрация которого приведена на рис.6.4. На этом рисунке при К=2, задавая различные значения С из уравнения f(х1,х2)=С, получены совокупности линий уровня.

Пусть Х0 - начальная точка при поиске максимума функции отклика =f(х1,х2,...,хk). Вектор-градиент в точке Х0 определится

,

где .

При условии, что все частные производные не равны нулю (точка Х не является стационарной), направление вектор-градиента в этой точке будет направлением наибыстрейшего возрастания функции.

Затем делается шаг в направлении градиента с целью поиска точки Х1, в которой значение функции будет наибольшим.



Рис. 6.4

Новая точка Х1 определяется из решения уравнения при предположении, что функция унимодальна в направлении градиента

.

В точке Х1 функция f(Х1) будет максимальна в направлении градиента из точки Х0, т. е.

.

Затем вычисляется grad f(Х1) и делается шаг в его направлении по поверхности f(Х) с целью поиска точки Х2 и т. д.

В общем случае при наискорейшем подъеме координаты очередной точки Хm+1 находят при решении уравнений

причем, .

В векторной форме Хm+1=Хm+mgradf(Хm).

Так как f(Хm+1)>f(Хm), то последовательность {Хm} сходится к точке максимума функции отклика.

Параметр m (m=1,2,…) находится из решения одномерной задачи максимизации [15]

.

6.5.3 Метод Бокса и Уильсона

Выше было отмечено, что движение по поверхности отклика осуществляется в направлении оценки градиента функции отклика. Рассмотрим нахождение оценки градиента.

Пусть в области определения G R задана функции отклика

=f(х1,х2,...,хk).

Пусть Х0 (см. рис.6.4) произвольно выбранная начальная точка. Используя ее как центр плана, построим ПФЭ или ДФЭ в окрестностях этой точки . Как показано на рис.6.5, для примера введем кодированные переменные , через которые выразим функцию отклика =f(х1,х2,...,хk).



Рис. 6.5

Как видно из рис.6.5, переход к кодированным переменным означает перенос начала координат и растяжение (сжатие) по координатным осям функции отклика.

Разложим функцию в точке в ряд Тейлора:

Введем обозначения

; ; ;

После этого функция отклика примет вид

Т.к. градиент функции отклика gradf(х0)=(1,2,...,k), то оценивание градиента сводится к нахождению МНК - оценок неизвестных параметров 1,2,...,k.

Для простоты предполагают, что функция отклика достаточно точно аппроксимируется гиперплоскостью

Тогда при выбранном плане , МНК - оценки определяются

Таким образом, найдена оценка градиента функций в точке :

Бокса и Уильсона позволяет отыскивать максимум функции отклика при предположении ее строгой унимодальности в области определения G.

После того, как была выбрана начальная точка, введено кодирование переменных и осуществлена оценка градиента функции в точке , для поиска максимума делается шаг из точки Х0 в направлении где - параметр шага, ,

Каждая компонента точки Х1 находится из формулы



От кодированных переменных осуществляется переход к натуральным переменным, причем координаты точки определяются

Затем в точке производится ряд измерений функции и по наблюдениям (измерениям) находится оценка

Если - значения функции отклика в точке Х, то делается еще шаг в направлении градиента.

Для некоторого l-го шага координаты точки Хl определяются . Определяется оценка функции отклика в точке

,

где - множество наблюдений функции отклика в точке Х1.

Если Х1 будет первой точкой, для которой , то считаем, что максимум функции отклика в направлении оценки градиента из точки Х0 будет в найденной точке . На этом оканчивается первый цикл поиска.

Как показано на рис.6.5, этой точкой будет .

Найденная точка из кодированной пересчитывается*в натуральную Х1 с координатами

.

Для точки Х1 повторяем заново рассмотренные выше процедуры оценки градиента gradf(Х1) и поиска максимального значения в направлении оценки градиента.

На каждом цикле поиска вычисляется функция отклика f(Х0), f(Х1), f(Х2) и т. д.

Исходя из выбранной погрешности E, поиск осуществляется до тех пор, пока на некотором f-м цикле не будет выполнено условие

f(Хf)-f(Хf-1)<E.

этом случае точка Хf=(хf1,хf2,…,хfk) считается точкой, в которой функция отклика достигает максимума.

Пример. Пусть функция отклика имеет вид =f(х1,х2) и является функцией кодированных переменных.

Матрица плана и результаты наблюдений представлены в следующем виде:

Используя результаты наблюдений и аппроксимацию функции в области T={(х1,х2)T; -1хi1}, заданную в виде 0+1х1+2х2+12х1х2, необходимо найти оценку градиента в центре плана, т.е. в точке , где .

Очевидно, что .

Так как матрица независимых переменных имеет вид



,

и является матрицей ортогонального планирования, то

=(-y1+y2-y3+y4)/4=-3; =(-y1-y2+y3+y4)/4=-10.

Отсюда МНК-оценки градиента в точке имеют вид

6.5.4 Пример расчета крутого восхождения

Предположим, что в результате проведения полного факторного эксперимента типа 22 получены следующие результаты наблюдений yu:

первая серия: y1=95,6; y2=90,6; y3=84,3; y4=83;

вторая серия: y1=94,4; y2=89,4; y3=85,7; y4=81.

В табл.6.4 приведено среднее значение y*.

Таблица 6.4

№ опыта	х0	х1	х2	y*
1 2 3 4	+1 +1 +1 +1	-1 +1 -1 +1	-1 -1 +1 +1	95.0 90.0 85.0 82.0

Для вычисления коэффициентов регрессии определим следующие матрицы:



; ; .

Определим матрицу системы нормальных уравнений и определим оценки коэффициентов:

,

,

.

Следовательно,

y=88-2х1-4.5х2(6.15)

Область определения факторов задана табл.6.5

Таблица 6.5

Уровень	х1	х2
Основной уровень	1.5	7.0
Интервал варьирования	0.5	1.0
Верхний уровень	2.0	8.0
Нижний уровень	1.0	6.0

Для проверки гипотезы адекватности выбранной модели используем F-критерий

,

где - дисперсия адекватности [14, с.201]; - дисперсия воспроизводимости;

, f=N-(k+1)=4-(2-1)=1 - число степеней свободы.

Для расчета составим табл. 6.6 расчета остаточной суммы квадратов. Для вычисления дисперсии воспроизводимости составим расчетную табл.6.7.

Таблица 6.6

№ опыта	х0	х1	х2	y	yi	yi-y*	y-y*
1 2 3 4	1 1 1 1	-1 1 -1 1	-1 -1 1 1	95 90 85 82	94,5 90,5 85,5 81,5	-0,5 0,5 0,5 -0,5	0,25 0,25 0,25 0,25

Таблица 6.7

№ опыта	y'	y''	y	y'	y''
1 2 3 4	95,6 90,6 84,3 83	94,4 89,4 85,7 81	95 90 85 82	0,6 0,6 0,7 1,0	0,36 0,36 0,49 1,0	2,21

Следовательно, [14. С. 162],



.

Вычислим значение F-критерия [14. С.202]

.

Табличное значение критерия Фишера для числа степеней свободы 1,4 и 5-го уровня значимости [14. С.04] равно 7,7. Поэтому гипотеза адекватности линейной модели может быть принята как справедливая [14, с.203].

Проверку значимости величины дисперсии вычислим по формуле [14, с.207]

.

Определим доверительный интервал: bj=tS{bj}=-t S{bj}, где t - табличное значение критерия Стьюдента [14. С.208] при числе степеней свободы, с которыми определялась S2{y}, и выбранном уровне значимости (0,05). При f=N=4 имеем bj=2,7760,37=1,03.

Отсюда видно, что вычисленные коэффициенты значимости, т.е. их абсолютные значения, больше доверительного интервала [14. С. 209].

Рассмотрим этапы расчета крутого восхождения. Результаты расчетов будем фиксировать в табл. 6.8.

1.Определим составляющие градиента. Для шага варьирования 0,5 и 1,0 имеем b1х1=-20,5=-1; b2х2=-4,51,0=-4,5. Прибавим составляющие градиента к основному уровню факторов х1=1,5-1,0=0,5.

Опыт 5 - х2=7,0-4,5=2.5, х1=0,5-1,0=-0,5.

Опыт 6 - х2=2,5-4,5=-2,0.

Условия опыта 6 не реальны, так как значения хj при этом выходят за границы допуска. Следовательно, шаг движения велик.

Таблица 6.8

	х1	х2	y*
Основной уровень Интервал варьирования Верхний уровень Нижний уровень	1,5 0,5 2,0 1,0	7,0 1,0 8,0 6,0
Кодированные значения переменных	х1	х2
Опыты 1 2 3 4	-1 -1 -1 -1	-1 -1 -1 -1	95,0 90,0 85,0 82,0
bj bj, умноженное на интервал варьирования Шаг при изменении х2 на 0,5 Округление	-2,0 -1,0 -0,11 -0,1	-4,5 -4,5 -0,5 -0,5
Опыты в направлении крутого восхождения
5 6 7 8 9	1,4 1,3 1,2 1,1 1,0	6,5 6,0 5,5 5,0 4,5

2. Воспользуемся условием: умножение составляющих градиента на любое положительное число дает точки, лежащие на градиенте.

В данной задаче удобно изменить х2 на 0,5, т.е. уменьшить составляющую градиента в 9 раз. Во столько же раз уменьшается и составляющая градиента по первому фактору (-0,11). Изменению составляющих градиента соответствует в табл.6.8 строка «Шаг при изменении х2 на 0,5». Округлим шаг до 0.1.

3. Осуществим последовательное прибавление составляющих градиента к основному уровню. Получим серию опытов 5-9 крутого восхождения. Эти опыты часто называют мысленными.

Иногда имеет смысл оценить ожидаемые значения параметров оптимизации в мысленных опытах.

Проведем расчет для опытов 7 и 8 крутого восхождения. Для оценки параметра оптимизации использовано уравнение регрессии (6.15). Однако в табл.6.8 приведены натуральные значения факторов, а в уравнении применяются кодированные значения. Поэтому необходимо натуральные значения перевести в кодированные по формуле

,(6.16)

где хj - кодированное значение фактора; хj - натуральное значение фактора; хj0 - натуральное значение основного уровня; Jj- интервал варьирования; j - номер фактора.

Согласно (6.16) для опытов 7 и 8 соответственно вычислим

х1=-0.6; х2=-1.5;

х1=-0.8; х2=-2.0.

Подставляя эти значения в уравнение регрессии (6.15), получаем y7=95.95; y8=98.6, где yj - значение зависимой переменной, предсказанное с помощью уравнения регрессии.

Все выполненные расчеты по данному примеру сведены в табл. 6.8. Здесь х* - факторы в натуральных единицах; y* - среднее значение из двух параллельных опытов.



Библиографический список

1. Советов Б.Я. Моделирование систем. М.: Высшая школа, 1985.

2. Бусленко Н.П. Моделирование систем. М.: Наука, 1978.

3. Полляк Ю.Г. Вероятностное моделирование на ЭВМ. М.: Статистика, 1971.

4. Чирков М.К. Основы обшей теории конечных автоматов. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1975. 280 с.

5. Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. М.: Наука, 1977. 568 с.

6. Голенко Д.И. Моделирование и статистический анализ псевдослучайных чисел на ЭВМ. М.: Наука, 1965.

7. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Наука, 1969.

8. Смирнов Б.Я., Дунин-Барковский И.В. Краткий курс математической статистики для технических предложений. М: Физматгиз, 1959.

9. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания. М.: Машиностроение, 1979.

10. Саати Т.Л. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения. М.:Сов. радио, 1971.

11. Срагович В.Г. Теория адаптивных систем. М.: Наука, 1976.

12. Варшавский В.И. Коллективное поведение автоматов. М.: Наука, 1973.

13. Асатурян В.И. Теория планирования эксперимента. М.: Радио и связь, 1983.

14. Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. М.: Наука, 1971.

15. Хартман К и др. Планирование эксперимента в исследовании технологических процессов. М.: Мир, 1977.

Размещено на Allbest.ru

...