Моделирование при проектировании информационно-управляющих систем

Таким образом,



что является искомой математической моделью пуассоновского потока.

5.1.6 Модель для определения времени задержки в виде интегро-дифференциальных уравнений Линди-Такача-Севастьянова

Модель описывает функцию распределения времени задержки в СМО [10].

Пусть Р(,t)- вероятность того, что заявка ожидает в очереди в течение времени (t) при условии, что она поступила во время t, так что Р(,t)=Р{(t)/t}.

Будем рассматривать N идентичных, одновременно действующих одноканальных СМО, на вход каждой из которых поступает пуассоновский поток заявок, а время обслуживания определяется функцией распределения В(t)=Р{b<t}, где b-время обслуживания заявки.

В момент времени t все число N СМО разобьём на две группы:

- СМО, у которых время задержки (t);

- СМО, у которых время задержки (t)>.

Число систем первой группы равно NР(,t), а число систем второй группы равно N-NР(,t).

Рассмотрим изменения, которые могут произойти в момент времени t+t. Задача будет состоять в том, чтобы определить вероятность Р(,t+t) через вероятности Р(,t) и Р(+ t,t).

Для момента времени t+t число систем первой группы становится равным NР(+t,t) минус число тех систем NС, у которых в момент времени t было время ожидания (t), но вследствие поступления заявки за время t, (t) превысит уровень w. Можно записать:



NР(,t+t)=NР(+t,t) - NС.(5.8)

Поставим задачу определения числа систем NС.

Вначале определим число систем, у которых в момент времени t (t) находится внутри интервала (х,х+dх). Так как Р(х,t) - функция распределения вероятностей, то после дифференцирования при х>0 получим ее плотность распределения. Тогда число систем определится

если х>0, или NР(0,t), если х = 0.

Предполагается, что в интервале (t,t+t) время ожидания превзойдет величину , если за время t поступит одна заявка и если время обслуживания y этой заявки, сложенной с величиной х, превзойдет величину , т.е. (х+y>y>-х). Поэтому нужно умножить число систем, у которых время ожидания равно х, на вероятность поступления одного требования за время t, т.е. на t, и на вероятность того, что время обслуживания этой заявки превзойдет величину -х. Если b(y) - плотность распределения времени обслуживания, то вероятность последнего события равна

Для фиксированного значения времени ожидания >0 число систем, которые перейдут из первой группы во вторую, определится выражением

которое должно быть просуммировано по всем х, х<0 . Причем



Если х=0, то число систем, переходящих во вторую группу, определится

Следовательно, уравнение (4.18) будет иметь вид

(5.9)

Применим разложение функции Р(+t,t) в ряд Тейлора

разделим обе части уравнения (5.9) на N, вычтем из обеих частей Р(,t), разделим на t и, перейдя к предельным выражениям, получим

Решение данного интегро-дифференциального уравнения должно удовлетворять условиям: Р(,0)=1 для всех ; Р(,t)=1 для всех t. Интегрируем по частям:

.

Если B(t)=1-BС(t), то

(5.10)

Уравнение (4.20) носит название уравнения Линди-Такача-Севастьянова, и оно является моделью для описания времени ожидания в СМО. Для стационарного режима уравнение (5.10) примет вид:

(5.11)

Математическая модель может быть представлена в виде характеристической функции, если применить к уравнениям (5.9) и (5.11) преобразование Лапласа-Стилтьеса, которое имеет вид

Характеристическая функция распределения Р(,t) из решения уравнения (5.9) определится

где (s) -- характеристическая функция распределения B(t).

Характеристическая функция распределения Р() из решения уравнения (5.11) определится



5.2 Модели стохастических систем в виде вероятностных автоматов

5.2.1 Формальное задание и классификация

Математический аппарат вероятностных автоматов (ВА) применяется для моделирования дискретно-стохастических объектов, у которых подача входных сигналов, изменение состояния и формирование выходных сигналов осуществляется в дискретные моменты времени ti (t0,t1,...,ti…). Состояние объекта определяется через предшествующие состояния и входной сигнал. Выходной сигнал определяется через состояние в данном такте времени, состояние в предшествующем такте, а также через входной сигнал.

Для формального описания ВА следует задать распределение начальных состояний, множество входных сигналов Х={х1,х2,...,хm}, множество состояний Z={z1,z2,...,zn}, множество выходных сигналов Y={y1,y2,...,yr}. Элементы множества Х,Z,Y называют входным, внутренним и выходным алфавитом [4].

Определение. Вероятностным автоматом называется математическая схема, которая задается следующим набором:

ВА=<Z,Y,Р0,{Р(zt,yt/zt-1,хt)}>,

где Р0 - распределение начальных состояний, Р0=||||, - вероятность того, что в такте времени t0 автомат будет находиться в состоянии zi; Р=||Р(zt,yt/zt-1,хt)|| - стохастическая матрица, в которой Р(zt,yt/zt-1,хt)=Р{z(t)=zt, y(t)=yt/z(t-1)=zt-1, х(t)=хt} -- условная вероятность того, что в такте времени t автомат будет в состоянии zt, на выходе будет иметь сигнал yt при условии, что в такте t-1 автомат был в состоянии zt-1, а на вход был подан сигнал хt.

При моделировании следует определить функции переходов и выходов. Функцию переходов следует задать в виде стохастической матрицы ||Р{zt(t)=z(t)/zt-1хt}||.

Функция выходов определяет выходные сигналы и задается в виде стохастической матрицы ||Р(yt/zt-1,хt,zt)||, в которой Р(yt/zt-1,хt,zt)=Р{y(t)=yt/z(t-1)=zt-1,х(t)=хt, z(t)=zt}.

Определим условную вероятность Р(yt/zt-1,хtzt).

Р(zt,yt/zt-1,хt)=Р(zt/zt-1,хt)Р(yt/zt-1,хt,zt).

Просуммируем правую и левую части по всем значениям yi и получим

Сумма в правой части равна единице, так как это сумма вероятностей полной группы событий. Тогда вероятность Р(yt/zt-1,хt,zt) определится формулой

.

Классификация ВА зависит от способов определения вероятности Р(yt/zt-1,хt,zt) функции выходов и вероятности Р(yt/zt-1,хt) функции переходов.

Вероятностный автомат называется автоматом первого рода, если функция выходов зависит только от предшествующего состояния и входного сигнала в данном такте времени:

Р(yt/zt-1,хt,zt)=Р(yt/zt-1,хt), (автомат Мили).

Вероятностный автомат называется автоматом второго рода, если функция выходов зависит только от состояния и входного сигнала в данном такте времени:

Р(yt/zt-1,хt,zt)=Р(yt/хt,zt).

Вероятностный автомат называется правильным, если функция выходов зависит только от состояния в предшествующем такте и состояния в текущем такте времени:

Р(yt/zt-1,хt,zt)=Р(yt/zt-1,zt).

Существует правильный ВА первого рода, у которого

Р(yt/zt-1,хt,zt)=Р(yt/zt-1),

и правильный вероятностный автомат второго рода, у которого

Р(yt,zt-1,хt,zt)=Р(yt/zt), (автомат Мура).

Вероятностный автомат называется автоматом с детерминированной

функцией перехода, если состояние в каждый такт времени однозначно определяется через предшествующее состояние и входной сигнал:

Вероятностный автомат будет называться автоматом с детерминированной функцией выходов, если выходной сигнал однозначно задается через предшествующее и текущее состояние и входной сигнал:



Вероятностный автомат первого рода с детерминированной функцией переходов называется автоматом со случайными реакциями.

Вероятностный автомат первого рода с детерминированной функцией выходов называется марковским.

Правильный ВА второго рода с детерминированной функцией выходов называется автоматом с отмеченными состояниями. Каждому состоянию соответствует свой входной сигнал. Причем, если у этого ВА стохастическое отображение элементов множества Z в элементы множества Y задается взаимно однозначно, то ВА называется абстрактным и для него достаточно рассматривать алфавит внутренних состояний. Абстрактный ВА задается в виде набора

ВА=<Х,Z,Р0{Р(zt/zt-1,хt}>.

Если мощность множества Z равна единице, то такой автомат называется автоматом без памяти.

Если мощность множества Х равна единице, то такой автомат называется автономным.

Автономный абстрактный ВА называется дискретной цепью Маркова и задается в следующем виде:

ВА=<Z,Р0{Р(zt/zt-1)}>.

5.2.2 Табличное задание функций переходов и выходов

Задание условных вероятностных мер Р(zt,yt/zt-1,хt) возможно как задание стохастического отображения ZХZY табличным способом. В табл.5.1 приведен общий вид совместного задания функций переходов и выходов.

Таблица 5.1 - Совместное задание функций переходов и выходов

ZХ	ZY
	z1y1	z1y2	…	z1yr	…	zny1	zny2	…	znyr
z1х1			…		…			…
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
z1хm			…		…			…
…	…	…	…	…	…	…	…	…
znх1			…		…			…
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
znхm			…		…			…

Элементы каждой строки табл.5.1 должны быть нормированы, т.е.

Функция переходов может быть представлена как стохастическое отображение элементов множества ZХ в элементы множества Z. В табл.5.2 приведен общий вид задания функции переходов. Элементы каждой строки табл.5.2 также отвечают условию нормирования, т.е.

Таблица 5.2 - Задание функции переходов

ZХ	Z
	z1	z2	…	zn
z1х1			…
…	…	…	…	…
z1хm			…
…	…	…	…	…
znх1			…
…	…	…	…	…
znхm			…

Функция выходов может быть представлена как стохастическое отображение элементов множества ZХZ в элементы множества Y.

В табл.5.3 приведен общий вид задания функции выходов. Элементы каждой строки табл.5.3 отвечают условию нормирования, т.е.

Таблица 5.3 - Задание функции выходов

ZХZ	Y
	y1	y2	…	yn
z1х1z1			…
…	…	…	…	…
znх1zn			…
…	…	…	…	…
znхmz1			…
…	…	…	…	…
znхmzn			…

При применении аппарата вероятностных автоматов для решения задач моделирования сложных систем необходимо определить множества входных параметров, состояний и выходных параметров, определить функции переходов и выходов. Следующим этапом в моделировании будет идентификация значений вероятностей функций переходов и выходов и проверка адекватности найденной модели.

5.2.3 Автоматные модели адаптивных систем управления

(СУ). Рассмотрим возможность применения ВА для задач моделирования адаптивных СУ, в частности систем, в которых реализован принцип обучаемости в поведении, исходя из анализа сигналов обратной связи. Особенность данного моделирования состоит в том, что оно осуществляется в условии отсутствия априорных сведений о модели объекта [11].

Моделирование целесообразного поведения автоматов в случайных средах. Структура взаимодействия автоматной системы с внешней средой приведена на рис.5.2.

Выходные сигналы yt автоматной СУ, которую в дальнейшем будем называть автоматом, подаются на вход внешней среды. В терминологии теории игр эти сигналы называются действиями. Входные сигналы хt для автомата называются реакциями среды. Весь класс реакций подразделяется на два подкласса: класс положительных реакций и класс отрицательных реакций.

Рис.5.2

Модель случайной среды представим в виде вектора С=(a1,a2,...,ar), физический смысл элементов которого раскроем немного позже. Если автомат совершил действие yj(t) (j=1,2,…,r) в такте времени t, то с вероятностью qj он получит сигнал поощрения х1 либо с вероятностью рj сигнал наказания х2 в такте времени (t+1), причем вероятности определяются следующим образом:



Вероятности отвечают условию нормирования, а исходя из определения qj-рj=aj, мы видим, что аj есть математическое ожидание выигрыша автомата за действие yj.

Функционирование системы "автомат-среда" описывается марковской моделью. Доказать это можно следующим образом.

Смена состояний автомата определяется матрицами переходных вероятностей, которые зависят от входного сигнала. Пусть в такте t автомат находился в состоянии zt, а на выходе был сигнал yt. Вероятность перехода автомата из состояния zр в состояние zk определится

ррk=qjрk(х1)+рjрk (х2),

где рk - вероятность перехода из состояния zр в состояние zk при соответствующем входном сигнале х. Причем

Строки стохастической матрицы ||ррk|| являются нормированными, следовательно, поведение системы "автомат-среда" описывается марковским процессом.

Если конструкция автоматов такова, что цепь Маркова будет эргодической, то существуют финальные вероятности состояний, не зависящие от начальных состояний.

Пусть финальные вероятности состояний - rj, а финальные вероятности действий - j. Финальная вероятность действия yj будет определяться суммой финальных вероятностей тех состояний, в которых автомат осуществляет действие yj.

Математическое ожидание выигрыша автомата в среде СМ(А,С) за один шаг будет определяться по формуле [12]

причем

Если автомат выбирает любое из действий равновероятно, то математическое ожидание выигрыша определится по формуле

Говорят, что автомат обладает целесообразным поведением, если математическое ожидание выигрышей за один шаг отвечает условию

М(А,С)>М0.

Задача построения автомата, обладающего целесообразным поведением, на первый взгляд тривиальна.

Действительно, это автомат с одним состоянием и он выполняет одно действие, за которое получает максимальный выигрыш. Но это автомат с "априорной целесообразностью", который заранее знает действие, за которое получает наибольший выигрыш. Такие автоматы исследовать не имеет смысла.

Будем рассматривать автоматы, не обладающие "априорной целесообразностью".

Модель среды задается в виде вектора С=(a1,a2,...,ar). Следовательно, автомат будет обладать целесообразным поведением тогда, когда его поведение целесообразно в r! средах, получаемых из среды С. Это говорит о том, что функция М(А,С) является симметрической функцией параметров аi. Автомат, обеспечивающий такую функцию, называется симметрическим автоматом.

Известны две модификации симметрических автоматов [12]. При выигрыше автомат сохраняет свое состояние, а при проигрыше автомат изменяет свое состояние с вероятностью либо сохраняет свое состояние с вероятностью 1-. Рассмотрим графы, которые отображают переходы автомата.

Для первой модификации автомата смена состояний при проигрыше осуществляется циклически, как это показано на рис.5.3, а для второй модификации автомата при сигнале проигрыша возможен равновероятный переход в любое другое состояние.

Рис.5.3

Граф переходов автомата второй модификации приведен на рис.5.4.

Матрица вероятностей функции переходов автомата первой модификации автомата (см. рис.5.3) при получении сигнала наказания имеет вид



Рис.5.4

Матрица вероятностей функции переходов автомата второй модификации автомата (см. рис.5.4.) при получении сигнала наказания имеет вид:

Доказано [12], что симметрический автомат при любых 0 обладает в стационарной среде целесообразным поведением.

Математическое ожидание выигрышей симметрического автомата можно увеличить, если применить автомат, представляющий собой композицию двух автоматов: автомата памяти B и симметрического автомата Tr, как это показано на рис.5.5.

Рис.5.5



Семейство асимптотически оптимальных автоматов. Рассмотрим построение автоматов, обладающих асимптотической оптимальностью.

Автомат с линейной тактикой символически обозначается как Lmr-автомат. В этом обозначении m - емкость памяти автомата, r - число действий. Структура данного автомата приведена на рис.5.6.

Рис.5.6

Автомат памяти B, как это видно из рис.5.6, состоит из r изоморфных подавтоматов, определенных «ветвями» состояний . Симметрический автомат Tr реализован на состояниях . Если автомат находится в состояниях , то он выдает действие yj.

При сигнале х1 (поощрение) автомат меняет состояние в сторону увеличения нижнего индекса, а если он находился в крайнем наибольшем по нижнему индексу состоянии zm, то сохраняет свое состояние.

При сигнале х2 (наказание) автомат, если он находился не в крайнем наименьшем по нижнему индексу состоянии, меняет свое состояние в сторону уменьшения нижнего индекса. Если же автомат находился в состоянии , то автомат переходит в состояние , а при ir - в состояние .

На рис.5.7 приведен граф переходов автомата В.И.Кринского (доверчивый автомат), условно обозначаемого Dmr. При получении сигнала х1 (поощрение) он переходит в глубокое состояние. В остальном алгоритм работы соответствует автомату с линейной тактикой.

Рис.5.7

Известны асимптотически-оптимальные последовательности автоматов, в которых смена состояний осуществляется по рандомизированным правилам.

На рис.5.8 приведен граф переходов автомата В.Ю.Крылова, обозначаемого символом Kmr. При выигрыше автомат Kmr ведет себя так, как и автомат Lmr, а при проигрыше автомат с вероятностью р+=0.5 увеличивает индекс состояния в большую сторону либо с вероятностью р-=0,5 уменьшает индекс состояния (ir). При j=1 автомат с вероятностью р- может изменить действие на yi+1, если ir, и на y1, если i=r.

На рис.5.9 приведен граф смены состояний для автомата, известного под названием «квазилинейный автомат». Этот автомат имеет символическое обозначение Qmr.

При сигнале х1 смена состояний осуществляется в соответствии с вероятностями q+ (в сторону увеличения индекса) и q-(в сторону уменьшения индекса). При сигнале х2 смена состояний осуществляется с вероятностями р+ и р- так же, как и у автомата Kmr.

Рис.5.8

Формально смена состояний осуществляется следующим образом. Если в такте t-1 автомат был в состоянии и поступил в такте t сигнал х1, то при j= автомат с вероятностью q- перейдет в состояние zij-1 и с вероятностью q+ перейдет в состояние .

Из состояния автомат с вероятностью q- перейдет в состояние и с вероятностью q+ останется в состоянии . Из состояния с вероятностью q+ перейдет в состояние и с вероятностью q- сменит действие, т.е. при ir перейдет в состояние, а при i=r перейдет в состояние .

Рис.5.9

Если в такте t-1 автомат был в состоянии и в такте t поступил сигнал «наказание», то при j= автомат с вероятностью р- переходит в состояние и с вероятностью р+ переходит в состояние . Из состояния автомат с вероятностью р- переходит в состояние и с вероятностью р+ останется в состоянии . Из состояния автомат с вероятностью р+ переходит в состояние и с вероятностью р- сменит действие. Если ir, то автомат переходит в состояние , а при i=r в состояние .

5.2.4 Модели адаптивных обучаемых систем управления

Модель управляемого случайного процесса. Пусть для моделируемого объекта считаются заданными измеримые пространства (Х,M) - фазовое и (Y,N) - управления. Элементы y0,y1,y2, ... множества Y называются действиями, осуществляемыми в такты времени t0, t1, t2, ... .

Модель изменения во времени элементов фазового пространства описывается в виде семейства управляемых условных вероятностей

рt+1(M/хt,yt)=Р{х t+1M/х1, х2,..., хt, y0, y1,..., yt}, MM, t0.

Семейство стохастических функций подчиняется условиям:

а) каждая функция является распределением вероятностей на Х при всех последовательностях хt,yt;

б) каждая функция рt+1( . /хt,yt) измерима по совокупности (хt,yt), т.е. на ХtYt+1.

Пусть на измеримом пространстве (,F) определены случайные функции t(), , t1, принимающие значения в Х.

Управляемым случайным процессом (СП) называется класс K необрывающихся СП на (, F) со значениями в фазовом пространстве (Х,M), характеризуемом семейством управляемых условных вероятностей рt+1( . /хt,yt).

В классе СП, образующих управляемый СП, содержится бесконечное множество элементов. Чтобы выделить из этого класса какой-нибудь один СП, следует задать способ выбора в каждый момент времени t управления yt.

Правило выбора действий представляет собой условное распределение Ft(N/хt,yt), NN, t1, заданное на Y, которое стохастически зависит от предшествующих значений фазового пространства и управлений.

Стратегией управляемого СП называется совокупность правил выбора действий.

Каждая стратегия выделяет конкретный СП из класса, порождаемого семейством управляемых условных вероятностей.

Простейшим классом управляемого СП являются процессы с независимыми значениями, у которых семейство управляемых условных вероятностей имеет вид рt+1(M/хt,yt)рt+1(M/yt), т.е. существует зависимость только от последнего управления.

Для однородных процессов с независимыми значениями (ОПНЗ) семейство управляемых условных вероятностей имеет вид рt+1(./,yt)р(./y), т.е. вероятности не зависят от времени. Частным случаем ОПНЗ являются марковские цепи (Х,Р,Y), Р=||рij||.

Определение цели управления. Цель управления состоит в том, что объект должен обладать некоторыми предписываемыми свойствами.

Формулировку целей для стохастических систем относят к свойствам функционалов на траекториях движения в фазовом пространстве, причем рассматривают математические ожидания функционалов. Для их вычисления предварительно выбирается стратегия , с помощью которой на траекториях СП задается вероятностная мера. Математическое ожидание функционала t=(хt,yt), как «накапливающего» выигрыш за совершаемые действия, определится

.

Математическое ожидание функционала Et+1 является функцией предшествующего управления. Значение t называется выигрышем в момент времени t, а Et - средним выигрышем за время t.

Пусть цель управления состоит в максимизации выигрыша. Если множество допустимых стратегий для всех СП, то максимальный предельный средний доход (выигрыш) определится по формуле

Цель управления представляет собой задачу синтеза стратегии, которая для любого СП из K обеспечивает неравенство

, либо

Говорят о цели -оптимальности, если фиксировано. Если произвольно, то целью служит асимптотическая оптимальность, причем

Определение модели обучаемой адаптивной системы управления. Рассматривается класс K управляемых СП и класс Ф функционалов на траекториях процессов из K. Задано ={} для всех СП из K, порождающее вероятностные меры на пространстве элементарных событий. Сформулирована цель управления, относящаяся к произвольной паре (,) из (KФ) и достижимая на всем этом множестве.

Адаптивной системой управления называется стратегия, которая приводит к цели управления для всякой пары (,) из (KФ) за конечное время.

Таким образом, при моделировании ставится задача поиска стратегии, а наблюдаемым случайным процессом может быть взят функционал t=(t,yt-1).

Определим понятие обучаемой системы, которая взаимодействует с любым управляемым СП, имеющим фазовое пространство Х и пространство управления Y.

Зададим правило управления F, т.е. вероятностное отображение элементов множества ХlYl-1 в элементы множества Y, где l -- целое число.

В вырожденном случае F есть функция , а в рандомизированном -- условное распределение .

Модель элементарной обучаемой системы задается в виде тройки UF=(Х,Y,F) и реализует стационарную стратегию .

По определению элементарная обучаемая система UF управляет СП t, если после ее действия yt-1 процесс принимает значения хt из множества MM с вероятностью рt (M/хt-1,yt-1). В тот же момент времени хt попадает на вход UF и вызывает, согласно правилу F, очередное действие yt. Временные диаграммы представляются следующим образом:

Fy01х1 UFFy12х2UFy23х3 FFy4...

.

Обозначим через Dl совокупность всех условных распределений на Y вида , измеримых на множестве ХlYl-1, и пусть D={Dl}. Непустое подмножество DD является множеством допустимых правил, фигурирующих в рассматриваемых стратегиях.

Обозначим через U* множество всех элементарных управляющих систем, которое сопоставлено множеству D допустимых правил

(UFU*)(UF=(Х,Y,F), FD),

т.е. U*=(Х,Y,D).

Пусть на управляемом СП t заданы m1 функционалов, а именно: измеримое отображение t: ХtYtRm, где Rm - m-мерное евклидово пространство. Это отображение называется статистикой процесса.

Символом T обозначим отображение DD, т.е. T:DD.

Рассматривается двухпараметрическое семейство таких отображений, параметрами которых служат статистика и время. определено на множестве U* обучаемых систем. Зависимость T от говорит о том, что в каждый момент времени вид T определяется предысторией.

Модель обучаемой системы L задается в виде двойки

L=[U*,].

Функционирование обучаемой системы L отображается временными диаграммами:

хttFt+1=Ftyt+1хt+1Ft+2=Ft+1yt+2 ... .

Стохастическая модель обучаемости Буша - Мостеллера. Модель задается в виде тройки

U=(Х,Y,D), D={р1,р2,…,рr}, .

Элементы вектора D={р1,р2,…,рr} называются поведением модели Буша-Мостеллера, причем рi есть вероятность действия yi. Элементы вектора Р изменяются в зависимости от сигналов реакции по следующим правилам. При сигнале поощрения х1 вероятности рi пересчитываются по формулам:

При сигнале поощрения х2 вероятности рi пересчитываются по формулам:



где выбирается меньше единицы, а -- больше единицы.

Понятие обучаемой системы тесно связано с понятием автомата. Обучаемая система может быть представлена в автоматном виде

,

где S=(F,R,ХY) - множество состояний.

Функция переходов указывает, как преобразуются правила выбора действий, статистика и содержимое памяти. Так как есть функция времени, то следует говорить о модели в виде вероятностного автомата с перестраиваемой структурой.

5.3 Агрегатные системы

5.3.1 Понятие агрегата

Рассмотренные выше математические схемы не решают всех задач, возникающих в теории моделирования сложных систем. Единое математическое описание получают те системы, элементы которых в результате формализации либо все оказываются конечными автоматами, либо все СМО, либо все ДС и т.п., т.е. приходим к узким классам сложных систем. Отсутствие единого формального метода описания элементов не позволяет создать общие методы исследования в целом, единый подход к классификации, изучить общие свойства важнейших классов систем, производить их анализ и синтез. Поэтому введение унифицированной абстрактной схемы (УАС), позволяющей единообразно описывать все элементы сложных систем, имеет существенное значение [2].

УАС должна охватывать все известные математические модели как частный случай, иметь динамический характер, описывать обмен сигналами со внешней средой и учитывать случайные факторы.

Рассмотрим УАС, называемую агрегатом (А). Формальное определение А дадим позже, а сейчас опишем А и его функционирование.

Пусть Т -- фиксированное подмножество множества действительных чисел. Пусть T,Х,Г,Y,Z -- множества любой природы. Элементы множеств будем называть: tT - моментом времени; хХ - выходным, gГ - управляющим, yY - выходным сигналами; zZ - состоянием. Состояния, входные, управляющие и выходные сигналы будем рассматривать как функции времени.

Под А понимается объект, определенный множествами T,Х,Г,Y,Z и операторами (в общем случае случайными) Н и G:

A=<T,Х,Г,Y,Z,Н,G>.

Операторы Н и G называются операторами переходов и выходов и реализуют функции z(t) и y(t). Структура операторов, выделяющая А среди прочих систем, будет описана ниже.

Введем понятие пространства параметров агрегата B. Элемент имеет вид =(1,...,р)B. Значение фиксировано в рамках каждой конкретной задачи, =(1,...,р) обычно называют конструктивными параметрами, управляющий сигнал g называют еще параметром управления.

Рассмотрим реализацию операторов выходов G. Представим его в виде совокупности операторов G* и G**. Оператор G* вырабатывает очередные моменты выдачи непустых входных сигналов, а оператор G** - содержание сигналов. Строятся эти операторы следующим образом.

В пространстве Z состояний А для каждого значения B и gГ определим некоторое множество Zy(g,)Z, вид которого зависит от (g,). Причем, множество Zy(g,) изменяется при изменении параметров А (когда мы переходим к условиям другой задачи), а в рамках данной задачи - в моменты поступления новых управляющих сигналов g(t). В интервалах времени между поступлениями g(t) множество Zy(g,) не изменяется и остается таким, каким оно оказалось в момент поступления последнего управляющего сигнала. Множество Zy(g,) определяет моменты выдачи выходных сигналов y(t).

В момент t, в который происходит вхождение траектории z(t) во множество Zy(g,), происходит выдача непустого выходного сигнала

y=G**{t,z(t),g(t),}.(5.12)

В общем случае оператор G** является случайным оператором, т.е. множеству {t,z(t),g(t),} ставится в соответствие множество значений Y с соответствующим распределением вероятностей.

Работа оператора G* заключается в определении очередного момента достижения траекторией z(t) подмножества Zy(g,), который является моментом выдачи y(t).

Выходной сигнал y(t) зависит от последнего управляющего сигнала g(t) непосредственно через оператор G**, а также через множество Zy(g,), влияющее на момент выдачи выходного сигнала.

Рассмотрим оператор переходов Н. Вместе с состоянием z(t) будем рассматривать состояние z(t+0), в которое А переходит за небольшой интервал времени. Вид оператора Н зависит от того, поступают или не поступают в течение рассматриваемого интервала времени входные и управляющие сигналы. Поэтому оператор Н представим в виде совокупности случайных операторов U, V* и V**.

Пусть - момент поступления в А входного сигнала . Тогда

,(5.13) 

где - последний управляющий импульс, поступивший в момент t<.

Если - момент поступления управляющего сигнала gn, то

.(5.14)

Если tn = момент одновременного поступления в А входного хn и управляющего gn сигналов, то

.(5.15)

В уравнении (5.15) под выражением понимается не оператор, а результат его действия на аргументы , являющийся элементом множества Z. Т.е. вместо формулы (5.15) можно записать

,

где определяется соотношением (5.15) для .

Состояние z(t) внутри полуинтервала (tn, tn+1] определится

z(t)=U[t,tn,z(tn+0),g(tn),}.(5.16)

5.3.2 Пример функционирования агрегата

Опишем процесс функционирования А в терминах рассматриваемой реализации операторов Н и G. Пусть в некоторый начальный момент времени t0 А находится в состоянии z0=(z(t0),g0) и пусть в моменты и поступают входные сигналы и , а в момент - управляющий сигнал и для определенности .

Рассмотрим в начале полуинтервал (t0,]. Состояние z(t) А изменяется во времени по закону

z(t)=U{t,t0,z(t0),g0,}.(5.17)

Предположим, что в момент t1 такой, что t0<t1<, состояние z(t1) достигает множества Zy(g0,), в момент t1 А выдает выходной сигнал

y(t1)=G**{t1,z(t1),g0,},

причем z(t1) определяется из (5.17).

В момент в А поступает входной сигнал , состояние А определится формулой

,

причем z() также определяется из (5.17).

Функционирование агрегата в полуинтервале (, ] можно описать по аналогии с функционированием агрегата в полуинтервале (t0, ]. Состояние z(t) определяется как

.(5.18)

Если в момент tk, такие, что t*<tk<, состояния z(tk) достигают множества Zy(g0,), в каждый из моментов tk выдается выходной сигнал

y(tk)=G**{tk,z(tk),g0,},



где z(tk) определяется из (5.18).

В момент в А поступает управляющий сигнал . Тогда состояние А определится формулой:

,

где z() также определяется из (5.18).

Далее, в полуинтервале (,t2] состояние А изменяется по закону

,

и т.д. можно проследить функционирование агрегата.

Формальное описание некоторых реальных систем приводит к А с обрывающимся процессом функционирования. Для этих А характерно наличие среди координат состояния z1(t),z2(t),...,zn(t) такой координаты [обычно z1(t)], которая имеет смысл интервала времени t, оставшегося до момента, когда процесс функционирования А обрывается, если за это время не поступает очередной входной или управляющий сигнал.



6. Линейные модели наблюдений

6.1 Основные определения

Одной из распространенных задач научно-исследовательского характера является задача исследования вектора выходных параметров Y=(y1,y2,…,yn) некоторого объекта, на вход которого подается вектор входных воздействий Х=(х1,х2,…,хn). Исследование может осуществляться с целью поиска экстремумов функции выходных параметров.

Математической моделью объекта является система уравнений:

.

Входные переменные хj, j= называют факторами, а функции fj(…) - функциями отклика.

Фактором называется измеряемая переменная величина, подаваемая на вход объекта и принимающая в некоторый момент времени определенное значение.

Каждый фактор будет задан, если вместе с его названием указана область определения. Под областью определения понимается множество значений Хj, которые может принимать i-й фактор. Факторы определяют как сам объект, так и его состояние. Поэтому к факторам предъявляют такие требования, как управляемость и однозначность.

Управлять фактором - значит установить нужное значение и поддерживать его постоянным в течение опыта или изменять по заданной программе. Планировать эксперимент можно только тогда, когда уровни факторов подчиняются воле экспериментатора.

В планировании эксперимента могут участвовать сложные факторы или совокупность факторов, к которым предъявляются требования совместимости и отсутствия линейной корреляции. При этом выбранное множество факторов должно быть полным, а точность фиксации факторов - высокая.

Экспериментатор ставит опыты с целью идентификации параметров модели. Каждый из факторов хj может принимать в u-м опыте, проводимом экспериментатором, одно из возможных (задаваемых) значений , называемых условиями. Значения факторов задаются в виде дискретных уровней. Фиксированный набор уровней факторов определяет одно из возможных состояний черного ящика zj. Если перебрать все наборы состояний, то получим полное множество Z состояний объекта. Соответствие кортежей (х1,х2,…,хk) и элементов множества Z устанавливается отображением Ф, задаваемым в виде таблицы, причем в таблице указывается число возможных различных опытов, которое определяется сложностью принятой модели.

Оценка числа состояний объекта соответствует числу уровней факторов Р, возведенных в степень числа факторов K. Очевидно, что даже такая простая система с р=4 и k=4 требует 256 опытов для оценки 256 состояний.

Очевидно желание сократить число экспериментов с объектом, т.к. каждый эксперимент стоит денег и времени. Задача определения требуемого числа опытов решается методами планирования экспериментов.

Планирование эксперимента - это процедура выбора числа условий протекания опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью.

При этом существенным являются:

- стремление к минимизации общего числа опытов;

- одновременное варьирование всеми переменными, определяющими процесс, по специальным правилам - алгоритмам;

- использование математического аппарата, формализующего действия эксперимента;

- выбор четкой стратегии, позволяющей принимать обоснованные решения после каждой серии экспериментов.

Задачи, для решения которых может использоваться планирование эксперимента чрезвычайно разнообразны, а там, где есть эксперимент, имеет место и наука о его проведении - планирование эксперимента.

При планировании экстремального эксперимента определяется параметр, который нужно оптимизировать (например, найти его экстремум). Параметр оптимизации - это реакция (отклик) на воздействия факторов, которые определяют поведение изучаемой системы. Параметры оптимизации бывает экономическими, технико-экономическими, технико-технологическими и т. д. Параметр оптимизации должен быть измеримым, т.е. мы должны уметь его измерить при любой возможной комбинации выбранных уровней факторов.

При исследованиях должны быть определены существенные факторы, оказывающие влияние на функционирование объекта. Ошибка опыта возрастет, если какой-либо из существенных факторов окажется не учтенным. Обычно на практике, если число опытов больше пятнадцати, следует обратиться к методам отсеивания несущественных факторов.

6.2 Формализация линейной модели наблюдений

6.2.1 Формальное описание модели

В задачах планирования эксперимента нашли применение линейные модели наблюдений.

Выбор модели - процесс творческий и итеративный. Выбрать модель - значит выбрать вид некоторой аналитической функции в виде определенного уравнения. На рис.6.1 показана графическая интерпретация модели (называемой функцией отклика) в виде поверхности в трехмерном пространстве. На горизонтальной плоскости определена область изменения факторов х1 и х2. Каждому состоянию объекта соответствует точка y на поверхности, которой, в свою очередь, соответствуют точка на горизонтальной плоскости, определяемая факторами х1 и х2.

Рис.6.1

Понятие линейной модели наблюдений является фундаментальным в математической статистике, т.к. многие статистические зависимости описываются функциями регрессии, линейными по неизвестным параметрам и в общем случае нелинейными по независимым переменным (факторам в теории планирования эксперимента).

Рассмотрим понятия линейной модели наблюдений.

Пусть имеется n измерений y1, y2,…, yn случайной величины Y, для которых

(6.1)

(6.2)

={1,2,…,n}- вектор неизвестных параметров; 2 - дисперсия, Х=(хij), i= j= - матрица известных коэффициентов порядка nр; сov{yi,yj}=M(yi-M{yi})(yj-M{yj})- ковариация между yi и yj; M{…} - операция математического ожидания.

Формула (6.1) задает априорный вид связи результатов наблюдений {yi} и величин {хij}, а формула (6.2) определяет требование некоррелированности случайных величин {yi} и одинаковости дисперсий 2 для всех yi.

В векторной форме эти уравнения примут вид:

где Y={y1,y2,…,yn}T - вектор-столбец наблюдений; ={1,2,…,n}T - вектор-столбец неизвестных параметров; M{Y}- математическое ожидание вектор-столбца Y, причем

,

M{Y}=(сov{yi, yj})=2In - ковариационная матрица вектора наблюдений Y; In - единичная матрица порядка n.

Определим погрешность измерений в виде вектора:

E={E1,E2,…,En}T.

Тогда для i-го наблюдения

E=yi-M{yi), Yi=хi11+хi22+…+хiрр+Ei

M{Ei}=0 сov{Ei,Ej}=сov{yi,yj}

В матричной форме это запишется в виде



Y=Х+E(6.3)

M{E}=0, D{E}=Н(EET)=2In, (6.4)

где D{E}- ковариационная матрица; 0 - нулевой вектор-столбец.

Формулой (6.3) с условиями (6.4) определена линейная модель с некоррелированными наблюдениями.

Модель наблюдений (6.3) называется моделью полного ранга, если ранг матрицы Х равен числу неизвестных параметров j в уравнении (6.1) (rankХ=р).

6.2.2 Оценивание параметров модели

Неизвестные параметры 1,2,…,n называются коэффициентами регрессии и подлежат оцениванию по наблюдениям y1,y2,…,yn.

Оценивание неизвестных коэффициентов осуществляется методом наименьших квадратов, суть которого состоит в минимизации суммы квадратов отклонений наблюдаемых величин yi и теоретических оценок

(6.5)

Значения , , минимизирующие функционал (6.5) при наблюдаемых значениях yi, i=, называются оценками метода наименьших квадратов (МНК - оценками) неизвестных параметров i [13].

Необходимые условия существования МНК-оценки параметра =(1,2,…,р) определяются при

.

Тогда

Отсюда ,

или в матричной форме ХTХB=YTХ.(6.6)

Если ранг матрицы Х равен р, т.е. числу известных параметров {j} то уравнение (6.6) имеет единственное решение, т. к. ранг матрицы S=ХTХ также равен р и она является невырожденной. Матрица S=ХTХ называется информационной. Для нее существует обратная матрица. Вектор оценок неизвестных параметров {j} определяется формулой

=S-1YTХ.(6.7)

После вычисления коэффициентов модели, необходимо проверить ее пригодность, т.е. убедиться в адекватности модели. Это осуществляется путем применения известных критериев статистических оценок [7,8].

Вводится понятие числа степеней свободы. Числом степеней свободы называется разность между числом опытов и числом коэффициентов, которые уже вычислены по результатам этих опытов независимо друг от друга. Если, например, проведен полный факторный эксперимент 22, т.е. все факторы комбинируются друг с другом, то число степеней свободы

f=N-(k+1)=8-(3+1)=4,

где N - число комбинаций (экспериментов), k - число входных факторов модели.

Остаточная сумма квадратов, деленная на число степеней свободы, называется дисперсией адекватности, которая имеет вид



.

В планировании эксперимента число степеней свободы для дисперсии адекватности равно числу различных опытов, результаты которых используются при подсчете коэффициентов регрессии минус число определяемых коэффициентов.

Для проверки гипотезы адекватности модели часто используется F-критерий Фишера, который определяется следующей формулой:

,

где S2{y} - дисперсия воспроизводимости, в случае двух повторных опытов вычисляемая по формуле

,

где yg - значение параметра оптимизации в каждом опыте; y* - среднее значение параметра оптимизации из N повторных наблюдений.

Удобство использования критерия Фишера состоит в том, что проверку гипотезы можно свести к сравнению гипотетических значений с табличными. Фрагмент такой таблицы приведен в работе [14].

Таблица построена следующим образом.

Столбцы связаны с определенным числом степеней свободы для числителя f1, строки - для знаменателя f2. На пересечении соответствующей Х строки и столбца стоят критические значения F-критерия. Если рассчитанное значение F-критерия не превышает табличного, то модель считается адекватной.

6.3 Полный факторный эксперимент

6.3.1 Определение эксперимента

Моделью объекта будем считать одномерную функцию отклика. Если y - случайная одномерная величина, то ее математическое ожидание при фиксированном значении вектора Х определится

M{y/Х}=M{y(Х)}=F(Х).

Функция 2k есть функция отклика и представляет собой среднее значение выходной переменной y при фиксированном значении вектора контролируемых параметров Х=(х1, х2,…, хk), задающих точку в k-мерном векторном пространстве.

Одномерная регрессионная модель эксперимента представима в виде

,

где =(1, 2,…, n)T - р-мерный вектор неизвестных параметров; {fj=(х1, х2,…, хр)} - известные функции. Функция линейна по неизвестным параметрам j.

При планировании эксперимента необходимо определить границы областей определения факторов. При этом должны учитываться принципиальные ограничения для значений факторов, а также ограничения, определяющиеся существующей аппаратурой, технологией, организацией производства и управления.

При оптимизации обычно используется априорная информация, т. е. информация, содержащаяся в результатах предыдущих опытов.

Наилучшим условием, определенным из анализа априорной информации, соответствует комбинация уровней факторов. Каждая комбинация факторов является многомерной точкой в факторном пространстве, которую можно рассматривать как исходную точку для построения плана эксперимента. Эту точку называют основным (нулевым) уровнем. Построение плана эксперимента сводится к выбору экспериментальных точек, симметричных относительно нулевого уровня.

После того как выбран основной уровень, необходимо перейти к выбору интервала варьирования, представляющего собой некоторое число (свое для каждого фактора), прибавление которого к основному уровню дает верхний, а вычитание - нижний уровни факторов.

При выборе интервала варьирования полезны следующие сведения априорной информации: точность, с которой экспериментатор фиксирует значения факторов, кривизна поверхности отклика и диапазон изменения параметра оптимизаций в разных точках факторного пространства.

Рассмотрим эксперимент, в котором проводится N измерений зависимой переменной y в некоторых точках факторного пространства. Пусть в u-м опыте в точке Х=(х1u, х2u,…, хku) определено значение переменной Yu. В результате будет получена совокупность измерений Y1,Х1; Y2, Х2 ;…; YN, ХN.

На рис.6.2 приведена схема эксперимента, который носит название N- эксперимент.

Рис.6.2

Набор точек называется планом эксперимента. Точки при этом необязательно должны быть различными. Матрица

называется матрицей плана эксперимента (N). Совокупность точек Х1, Х2,…, ХN плана называется спектром плана. Для каждого u-го наблюдения

или в векторной форме M{Y}=Х, где Х={Хju} - матрица известных коэффициентов, называемая матрицей независимых переменных, или матрицей планирования.

6.3.2 Определение полного факторного эксперимента

Эксперимент, в котором уровни каждого фактора комбинируются со всеми уровнями других факторов, называются полным факторным экспериментом (ПФЭ). Если - число уровней фактора хi , то число точек спектра плана

N=S1S2S3…Sk.

План (N) называется неполным или дробным факторным планом, если число точек его спектра

N< S1S2S3…Sk.

План (N) называется симметричным, если все факторы имеют одинаковое число уровней S1=S2=S3=…=Sk.

Рассмотрим построение ПФЭ 2k.

Запись 2k соответствует тому, что число уровней каждого фактора равно двум, а число точек спектра плана N=2k.

Определим понятие кодированных переменных.

Будем рассматривать функцию отклика =(х1, х2,…, хk), определенную в области GR. Задана матрица плана (N) - . Пусть каждая переменная хi во всех опытах может принимать два значения Хiu{хi1,хi2}, где хi1 - верхний уровень фактора, хi2 - нижний уровень фактора, хi2 > хi1. Определим основной уровень

.

Интервал варьирования фактора равен

.

Введем кодированные переменные

хi=,

которые на верхних уровнях принимают значения +1, а на нижних уровнях -1. Функция отклика запишется через кодированные переменные =(х1, х2,…,хk).

6.3.3 Полный факторный эксперимент 22

Рассмотрим случай при k=2. Этот эксперимент определим как ПФЭ 22. Функция отклика имеет вид



=f(х1, х2).

Матрица планирования для двух факторов приведена в табл. 6.1.

Таблица 6.1 - Комбинации уровней двух факторов

№ опыта	х1	х2	y	Буквенные обозначения
1	-1	-1	y1	(1)
2	+1	-1	y2
3	-1	+1	y3
4	+1	+1	y4

Каждый столбец в матрице планирования называют вектор-столбцом, а каждую строку - вектор-строкой. То, что записано в столбце, можно изобразить геометрически. Для этого в области определения факторов найдем точку, соответствующую основному уровню, и проведем через нее новые оси координат (рис.6.3). Выберем масштаб по новым осям так, чтобы интервал варьирования для каждого фактора равнялся единице. Тогда условия проведения опытов будут соответствовать вершинам квадрата, центром которого является основной уровень.

Рис.6.3

Номера вершин квадрата соответствует номерам опытов. Площадь, ограниченная квадратом, называется областью эксперимента.

Для сокращения записи матрицы планирования удобно ввести условные буквенные обозначения строк. При этом порядковый номер фактора ставится в соответствие букве: х1 - а, х2 - b, х1х2 - ab и т.д.

Буква записывается в случае, если фактор находится на верхнем уровне. Опыт со всеми факторами на нижних уровнях обозначим через (1) (см. табл. 6.1).

Пусть функция отклика имеет вид

=M{y}=0х0 + 1х2 + 2х2 + 12х1х2 .(6.8)

где х0=1 - фиктивная переменная; y - выходная переменная. При условии, что в каждом варианте испытаний проводятся по одному наблюдению, матрица D2 ПФЭ 22 запишется в виде

.(6.9)

Если определить 12=3, х1uх2u=х3u, то получим

.

Матрица планирования ПФЭ 22 приведена в табл.6.2.

Матрица независимых переменных Х=(хju), соответствующая матрице плана (6.9) и функции отклика (6.8), имеет вид



Таблица 6.2 - Комбинации уровней ПФЭ 22

№ опыта	х0	х1	х2	х1х2	y
1 2 3 4	+1 +1 +1 +1	+1 -1 -1 +1	+1 +1 -1 -1	+1 -1 +1 -1	y1 y2 y3 y4

Отметим, что, поскольку

,

то планирование является ортогональным. В соответствии с формулой (6.7) МНК - оценки параметров 0, 1, 2, 3 определяется

.

Оценки некоррелированы, и их дисперсия

.

Отметим следующее:

, , ,

где D1 - матрица плана ПФЭ 21.

6.3.4 Полный факторный эксперимент 23

Предположим, что при комбинации уровней переменных х1, х2, и х3 проводится по одному опыту в каждом варианте испытаний. Функция отклика имеет вид

(6.10)

Все различные комбинации уровней переменных х1, х2, х3 приведены в табл. 6.3.

Таблица 6.3 - Комбинации уровней ПФЭ 2

Матрица независимых переменных	Вариант испытаний	Наблюдения
х0	х1	х2	х3	х1,х2	х1,х3	х2,х3	х1,х2,х3
1 1 1 1 1 1 1 1	-1 1 -1 1 -1 1 -1 1	-1 -1 1 1 -1 -1 1 1	-1 -1 -1 -1 1 1 1 1	1 -1 -1 1 1 -1 -1 1	1 -1 1 -1 -1 1 -1 1	1 1 -1 -1 -1 -1 1 1	-1 1 1 -1 1 -1 -1 1	(1) a b ab с aс bс abс	y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8

Произведение хi,хj называется парным взаимодействием (взаимодействием 1-го порядка). Произведение х1,х2,х3 называется тройным взаимодействием (взаимодействием 2-го порядка).

Если определить 4=12, 5=13, 6=23, 7=123, х4u=х1uх2u, х5u=х1uх3u, х6u=х2uх3u, х7u=х1uх2uх3u, то функция отклика (6.10) запишется в виде

.

Планирование является ортогональным (rankХ=8), следовательно, из формулы (6.7) находятся оценки

.

Оценки {j} некоррелированы, т.к. D{j}=2/N, .

Матрица D3 ПФЭ 23 определится

, ,

где E2=(1,1,1,1)T.

6.3.5 Полный факторный эксперимент 2k

Обобщим построение полных факторных экспериментов для случая k независимых переменных, на базе рекуррентных процедур построения матрицы плана и функции отклика.

Из табл.6.2 и 6.3 очевидно, что матрица ПФЭ 23 получается путем повторения матрицы плана ПФЭ 22 при х3=-1 и х3=1. Тогда матрица плана ПФЭ 24 будет получена повторением матрицы плана ПФЭ 23 для х4=-1 и х4=1. Таким образом, матрица плана ПФЭ 2k+1 может быть представлена в рекуррентном виде

,

где Ek=(1,1,…,1)T. - двухмерный единичный вектор, Dk - матрица плана ПФЭ 2k.

Полный факторный эксперимент типа 2k обладает следующими свойствами:

- алгебраическая сумма элементов вектор-столбца каждого фактора равна нулю (свойство симметрии)

,

где N - число опытов, i - номер фактора;

- сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов (условие нормировки), т.е.

,

где Хi - i-й вектор-столбец матрицы Х;

- сумма почленных произведений любых двух вектор-столбцов матрицы Х равна нулю (свойство ортогональности матрицы планирования):

;

- свойства рототабельности, т.е. точки в матрице планирования подбираются так, что точность предсказания значений параметра оптимизации одинакова на равных расстояниях от центра эксперимента и не зависит от направления.

Матрица независимых переменных Хk ПФЭ 2k также может быть построена из матрицы независимых переменных Хk-1 ПФЭ 2k-1 в соответствии с рекуррентной формулой

.

Пусть функция отклика имеет вид

(6.11)

Тогда в соответствии с видом этой функции уравнение регрессии запишется в виде

.

Произведение называется взаимодействием (m-1)-го порядка факторов . Коэффициент регрессии i называется линейным эффектом переменной хi, а коэффициент - эффектом взаимодействия факторов .

Число всех возможных эффектов, включая линейные эффекты и взаимодействия всех порядков, равно числу опытов полного факторного эксперимента. Чтобы найти число возможных взаимодействий некоторого порядка, можно воспользоваться обычной формулой числа сочетаний

,



где k - число факторов; m - число элементов во взаимодействии.

Функцию отклика k ПФЭ 2k можно также записать в виде рекуррентного соотношения [13] k=k-1(1+хk), где k-1 - функция отклика ПФЭ 2k-1.

6.4 Дробный факторный эксперимент

6.4.1 Определение дробных реплик

Число опытов в полном факторном эксперименте превышает число коэффициентов линейной модели, причем тем больше, чем больше факторов. Если можно ограничиться линейным приближением, то число опытов можно сократить, используя для планирования дробные реплики от полного факторного эксперимента [14].

С ростом числа переменных k число опытов N быстро растет, а при большом числе k реализация ПФЭ 2k становится практически невозможной. Также с ростом N увеличивается число взаимодействий и их порядок в формуле (6.11).

Кроме того, при анализе функционирования объекта может быть известно, что в уравнении (6.11) эффектами воздействия высоких порядков можно пренебречь либо они не существуют. Следовательно, число опытов для нахождения оценок неизвестных коэффициентов уравнения (6.11) может быть уменьшено. Это производится с помощью применения дробных факторных экспериментов (ДФЭ), представляющих собой дробные реплики от ПФЭ.

Для построения дробного факторного плана типа 2k-р из множества k отбирают (k-р) основных факторов, для которых строят полный факторный план с матрицей Хk-р.

Этот план дополняют затем р столбцами, соответствующими оставшимся факторам. Каждый из этих р столбцов получается как результат поэлементного перемножения не менее двух и не более (k-р) определенных столбцов, соответствующих основным факторам. Для определения столбца образования каждого из р столбцов дробного факторного плана вводится понятие генератора плана [13]. Генератор представляет собой произведение основных факторов, определяющее значение элементов каждого из дополнительных столбцов матрицы плана. Очевидно, что в случае плана типа 2k-р должно иметься р генераторов.

...