Преобразование (4) может быть выполнено функцией ss2ss

[ Sys_can] = ss2ss (Sys, M).

Отметим, что преобразование (2) не изменяет качественных свойств модели и все результаты, полученные для преобразованной модели (4), полностью справедливы и для исходной модели (1).

4.2 Канонические формы моделей

Отличаются простотой и определённостью структуры, минимальностью связей между её элементами. Минимальностью числа ненулевых элементов матриц модели и в первую очередь матрицы А, особенностями их размещения. Иозможностью очевидного выявления некоторых свойств объекта.

Каждую каноническую форму можно охарактеризовать:

1. указанием вида матриц A, B, C

2. структурной схемой моделирования или сигнальным графом

3. указанием алгоритма вычисления матрицы преобразования произвольной модели объекта в каноническую форму

4. способом записи передаточной функции с переходом к структурной схеме

4.3 Присоединённые (сопровождающие) формы моделей

Широко используется присоединённые или сопровождающие канонические формы в силу их прямой связи с характеристическим уравнением.

Каноническим формам соответствуют определенные структуры моделей. Основу структуры присоединенных канонических форм представляет собой последовательную цепочка интеграторов (в матрице А диагональ единиц над или под главной диагональю). Цепочка интеграторов жёстко связана со входом (управляемые формы) или выходом (наблюдаемые формы). Интеграторы охвачены отрицательными обратными связями, исходящими из одной точки (столбцовая форма), или сходящимися в одной точке (строчная форма). Коэффициенты a_i обратных связей являются коэффициентами характеристического уравнения, образующими столбец или строку матрицы А. Таким образом объект с одним входом и одним выходом может иметь четыре сопровождающие канонические формы.

Матрица управляемости и наблюдаемости в качестве матрицы преобразования приводит к присоединённым каноническим формам. Матрица управляемости приводит к управляемой столбцовой форме, матрица наблюдаемости -- к наблюдаемой строчной форме.

У строчной управляемой сопровождающей (в фазовых переменных) канонической формы матрицы А и В имеют вид

, (5)

где а_i, i = 1,n, являются коэффициентами характеристического уравнения

det(E-A) = ⁿ +a₁^n-1 + a₂^n-2 + a₃^n-3 +... a_n = 0. (6)

Поэтому прежде чем приводить модель к управляемой сопровождающей форме, следует убедиться в управляемости объекта, соответственно к наблюдаемой форме можно привести только полностью наблюдаемый объект.

Матрицу преобразования М_с к сопровождающей форме можно найти несколькими способами:

1) М_с = [ m₁, m₂ ... m_n], (7)

где m_i - столбцы и определяются рекуррентными вычислениями

m₁ = b

m_i+1 = Am_i + a_ib, i = 1, 2 ... n-1, (8)

где b - столбец входной матрицы; a_i - коэффициенты характеристическго уравнения (6).

2) М_с = Q_у Q_ус^-1

где Q_у - матрица управляемости исходной модели; Q_ус - матрица управляемости сопровождающей формы.

Матрица Q_ус^-1 вычисляется через коэффициенты характеристического уравнения

.

3) если модель объекта задана одним уравнением высокого порядка

,

или соответствующей ему передаточной функции в полиномиальной форме, то в сопровождающей форме матрицы A и B соответствуют (5), а матрица C - строка коэффициентов правой части уравнения

C=[c₁ c_{2 …} c_n].

4.4Модальная форма модели

Модальная каноническая форма представляется параллельно соединенными интеграторами, каждый из которых охвачен обратной связью. Коэффициент обратной связи равен значению полюса р_i и совпадает с собственным значением л_i модальной матрицы А. Коэффициент передачи каждой из параллельных цепей равен r_i. Это соответствует разложению передаточной функции W(s) на сумму простых дробей с помощью команды residue.

Модальная форма легко выявляет ряд свойств модели объекта: неустойчивость - положительным диагональным элементом матрицы А, неуправляемость - нулевой строкой в матрице В, ненаблюдаемость - нулевым столбцом в матрице С.

1. Диагонализация сопровождающей формы модели может быть проделана преобразованием с матрицей V Вандермонда. Элементы столбцов матрицы Вандермонда вычисляются как степени (от 0 до n-1) образующих чисел, в качестве которых берутся собственные числа матрицы А.

, .

2. Диагонализация произвольной модели с одним входом, полностью управляемой

.

То же самое в Матлабе для объекта Sys

Sys_mod=ss2ss(canon(Sys,'com'),rot90(vander(pole(Sys)),2))

3. Диагонализация модели, заданной в виде передаточной функции для системы с одним входом и одним выходом.

Передаточная функция системы с одним входом и одним выходом.

,

где N(s) и D(s) - некоторые полиномы.

В случае простых корней _i полинома знаменателя уравнения состояний записываются в виде

;

,

где .

Такое разложение передаточной функции на сумму простых дробей может быть проделано функцией residue:

[c, , k] = residue (N, D),

где k(s) - целая часть от деления N(s) на D(s), если она имеется.

Преобразование к диагональной или присоединённой каноническим формам может производиться одной и той же функцией canon с указанием вида формы modal или companian.

Для объекта с кратными полюсами модальная форма имеет в качестве матрицы А жорданову матрицу (блочно-диагональную), а не диагональную, и функция canon не давала правильного результата, пока ошибку не исправли в 7-м Матлабе. Следует использовать функцию residue.

Для объекта в форме ss функция canon возвращает матрицу Т преобразования к соответствующей канонической форме

[Sys_can, T] = canon (Sys, 'type').

При преобразовании к присоединённой канонической форме используется матрица управляемости. Поэтому необходима полная управляемость объекта Sys по первому входу.

Присоединённая (сопровождающая) каноническая форма чаще всех других оказывается плохо обусловленной. Поэтому её применения для объектов высокого порядка следует избегать или тщательно масштабировать задачу во времени, чтобы среднегеометрическое значение собственных чисел матрицы А было близко к единице.

4.5 Сбалансированная форма модели

Модель устойчивого, полностью управляемого и наблюдаемого объекта (Sys) может быть приведена к сбалансированной форме (Sysb) с одинаковыми грамианами управляемости и наблюдаемости. Преобразование производится функцией balreal

[Sysb, g, T, Ti]=balreal (Sys).

Функция возвращает также вектор g диагональных элементов грамианов, характеризующий степень управляемости и наблюдаемости переменных вектора состояния сбалансированной модели, а также матрицу Т преобразования к сбалансированной форме и ей обратную Ti.

Сбалансированная форма имеет симметричную структуру, одинаковые связи переменных состояния с входами и выходами. В простейшем случае столбцы матрицы В совпадают по модулю со строками матрицы С. Матрица А симметрическая, т.е. связи от Хi к Хj по модулю такие же как от Хj к Хi. ` Её диагональные элементы отрицательны и нарастают по модулю. Т.е. компонента Х1 самая медленная и вносит наибольший вклад в переходную характеристику. Доля каждой последующей компоненты Хi в переходной характеристике резко уменьшается по сравнению c предыдущей. Сравнительная доля каждой компоненты вектора состояния x(t) в переходной характеристике определяется квадратом соответствующего числа вектора g.

Для разных целей целесообразно использование моделей в различных канонических формах. Хотя все формы представляют собой модели в пространстве состояний, т.е. наиболее желательную форму, в присоединённых формах явно прослеживается модель подкласса tf - передаточной функции полиномиального типа. Такие модели в вычислительном отношении плохо обусловлены, расчеты на ЭВМ для моделей порядка 10 и более не точны и могут быть численно неустойчивыми. Для модальной формы вычислительные проблемы могут возникнуть при близких по модулю полюсах. Сбалансированная форма наилучшим образом приспособлена для вычислений с ограниченной разрядностью чисел.

4.6 Упрощение сбалансированной модели

Сбалансированная форма позволяет упростить модель с минимальными изменениями её переходных характеристик путём удаления её последних переменных вектора состояния. Количество безболезненно удаляемых переменных легко оценить по соотношению чисел вектора g. Удаление производится функцией modred.

Sred = modred(Sysb,idel,)

Здесь idel индексы удаляемых переменных Xi вектора состояния, в данном случае - последних, как мало влияющих на переходные процессы.

ЛАХ упрощенной модели будет отличаться от первоначальной уменьшением наклона в высокочастотной области вплоть до нулевого. В передаточной функции появятся дополнительные нули, в том числе и положительные, соответствующие положительным изломам ЛАХ. Увеличение числа отброшенных переменных приближает излом на нулевой наклон к среднечастотной области. Упрощенная модель может перейти в класс неминимально-фазовых объектов за счёт положительных нулей.

Предостережение: Вышеизложенная методика упрощения моделей неприменима к объектам, функционирующим в контуре управления. Уменьшение вектора состояния сбалансированной формы минимально изменяет форму переходной характеристики, но существенно искажает фазовую характеристику, что обычно создаёт проблемы с устойчивостью. Уменьшение порядка корректирующего устройства по сбалансированной форме почти наверняка приведёт к потере устойчивости контура управления.

5. КОРРЕКЦИЯ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ. БЫСТРЫЙ РАСЧЁТ ПО АСИМПТОТИЧЕСКИМ ЛАХ

Построение ЛАХ

ЛАХ строится в двойных логарифмических шкалах. Графики всех степенных функций в двойных логарифмических шкалах отображаются прямыми линиями, наклоны которых равны показателю степенной зависимости. Наклоны 1, 2, 3 соответственно определяют линейную, квадратичную, кубическую зависимости изменения коэффициента передачи от изменения частоты. Наклонам - 1, - 2, - 3 соответствуют обратные линейная, квадратичная и кубическая зависимости изменения коэффициента передачи от изменения частоты. По одной логарифмической оси откладывается круговая частота, по другой, также логарифмической, коэффициент передачи. Традиционно коэффициент передачи откладывают в логарифмических единицах - децибелах, что чрезвычайно неудобно для вычислений из-за необходимости вычисления логарифмов и потенцирования. Во избежание ошибок не следует искуствено переводить в децибелы коэффициенты передачи! В естественной форме коэффициент передачи легко вычисляется как степенная функция от частоты.

Традиционная нелинейная разметка логарифмической шкалы неудобна из-за неравномерной точности. Разметку логарифмических шкал удобно производить для равноотстоящих точек умножением на любое число, больше единицы. Достаточно подробная шкала получается умножением на два. Т.е. точки маркируются как ј Ѕ 1 2 4 8 16 и т.д. Между размеченными таким образом точками шкала практически равномерная. Срединная точка логарифмической шкалы - 1.41, равномерной - 1.5. Чего нельзя сказать для разметки логарифмической шкалы умножением на десять.

Для удобства зрительного восприятия наклонов ЛАХ обычно масштаб оси коэффициента передачи делают в два раза меньше масштаба оси частот.

Вычисление значения коэффициента передачи на произвольной частоте

Асимптотическая ЛАХ представляется кусочно-цельностепенной функцией, т.е. состоящей из отрезков прямых линий с наклонами кратными единице. Вычисление значения коэффициента передачи на произвольной частоте производится последовательным переходом по точкам изломов ЛАХ от точки с известным коэффициентом передачи, например от частоты среза, где коэффициент передачи равен единице. В силу логарифмических масштабов длины отрезков ЛАХ характеризуются отношениями частот или коэффициентов передачи (не разностями). Суммированию отрезков графиков соответствует операция умножения величин, вычитанию отрезков - операция деления, делению отрезка пополам - вычислению квадратного корня, делению отрезка на три - извлечению кубического корня и т.д.

Переход по линии ЛАХ с наклоном n от частоты w1 с коэффициентом передачи к1 к частоте w2 соответствует изменению коэффициента передачи в (w2/w1)^n раз. Т.е. различие частот в (w2/w1) раз возводим в степень наклона n и умножаем на исходный коэффициент к1

к2 = к1 * (w2/w1)^n.

Аналогично, переход по той же линии ЛАХ от коэффициента передачи к1 к к2 соответствует изменению частоты в (к2/к1)^(1/n) раз. Т.е. из различия коэффициентов (к2/к1) извлекаем корень степени наклона n и умножаем на исходную частоту w1

w2 = w1 * (к2/к1)^(1/n)

Пример: Пусть ЛАХ имеет наклоны 0, -1, -3, -4, с изломами на частотах 0.5, 2, 15 и частоту среза wc = 5. Вычислить значения асимптотической ЛАХ и точные значения ЛАХ в точках изломов. Вычисляем последовательно к(w), начиная от wc. Т.е. к(5)=1.

Наклон ЛАХ на wc равен -3, т.е. обратная кубическая зависимость изменения усиления от изменения частоты. Увеличим частоту в 3 раза и получим

к(15) = к(5) / 3^3=1/27;

Уменьшим частоту в 2.5 раза и получим

к(2) = к(5) * 2.5^3=2.5^3= 15.625;

По линии с наклоном - 1 перейдём от w =2 к w = 0.5 т.е. в 4 раза.

К(0.5) = к(2) * 4 =2.5^3 * 4 = 62.5.

Точные значения ЛАХ скругляют асимптотическую ЛАХ в точках изломов и отличаются от асимптотической ЛАХ в 1.41 раза при единичном изломе, и в 2 раза при двойном изломе и т.д. Положительные изломы увеличивают фактическую ЛАХ по отношению к асимптотической, отрицательные изломы - уменьшают, т.е.:

К(0.5) = 62.5 / 2^.5=44.2; к(2) = 15.625 / 2=7.8; к(15) = 1/27 / 2^.5=0.0262.

Вычисление установившегося значения переходной характеристики

Установившегося значения переходной характеристики равно значению ЛАХ на частоте, равной нулю. Вычисление производится по асимптотической ЛАХ. В предыдущем примере - к(0) = 62.5.

Вычисление запаса устойчивости по фазе разомкнутого контура по ЛАХ.

Приближённое вычисление запаса устойчивости основано на замене для малых углов функции арктангенса значением угла в радианах. Методика сведения к малым углам вкладывается в последовательность вычислений. Вначале вычисляем запас устойчивости, заменяя ЛАХ её единственной асимптотой, проходящей через wc, т.е. запас устойчивости равен (наклон + 2)*90. Затем к асимптоте добавляем изломы ЛАХ. Влияние излома, удалённого от wc в m раз, учитываем слагаемым 57/m. Число m, по определению, всегда больше единицы и вычисляем отношением большей частоты к меньшей независимо от того слева или справа излом от частоты среза. Знак слагаемого положительный, если излом поворачивает ЛАХ в положительном направлении (против часовой стрелки), и добавление излома к предыдущему варианту ЛАХ увеличивает запас устойчивости по фазе. В противном случае знак слагаемого отрицательный. Двойному излому соответствует двойной фазовый сдвиг.

Вычисление запаса устойчивости по фазе для предыдущего примера: последовательно учитываем наклон на wc, изломы (на частотах: [2, 0.5, 15]) и растояние изломов от wc [5/2, 5/0.5, 15/5]

(-3 +2)*90 +2*57/2.5 +57/10 - 57/3 = -57.7 град.

Результат отличается меньше чем на 2 градуса от точного, равного 59.1215 град. Если в приближённых вычислениях 57 заменить на 55 или 54, то погрешность вычислений снизится до долей градуса

(-3 +2)*90 +2*55/2.5 +55/10 - 55/3 = -58.8333

Отражение значений нулей и полюсов на ЛАХ

Частоты изломов ЛАХ вверх численно равны модулям нулей, частоты изломов ЛАХ вниз -модулям полюсов. О знаках нулей и полюсов можно судить по фазовым характеристикам. У минимально-фазовых объектов все нули и полюса отрицательны (или отрицательны действительные части комплексных пар). В форме zpk значение коэффициента К характеризует высокочастотную асимптоту ЛАХ. Значение коэффициента К равно частоте пересечения высокочастотной асимптоты ЛАХ с осью, возведённую в степень наклона асимптоты ЛАХ с противоположным знаком. Вычисление коэффициента К для формы zpk удобно производить по ЛАХ следующим образом. Частота среза возводится в степень наклона ЛАХ с противоположным знаком. Результат умножается на все частоты изломов вниз и делится на все частоты изломов вверх, больших частоты среза. Изломы на частотах меньших частоте среза при вычислении коэффициента К формы zpk не учитываются.

Запись передаточной функции по ЛАХ

Передаточная функция по заданной ЛАХ записываем последовательно, начиная с любой известной точки. Чаще всего известна точка, характеризующая низкочастотную асимптоту ЛАХ или частота среза. Сначала записываем передаточную функцию известной асимптоты, проходящей через частоту среза wc в виде

(wc/s)^-n,

где n наклон ЛАХ на частоте среза, или низкочастотной

k(1) / s^no,

где no - порядок астатизма (наклон ЛАХ на нулевой частоте), k(1) - коэффициент усиления на частоте равной единице.

Затем дописываем множители, соответствующие каждому излому ЛАХ. Перемещаясь направо, на более высокие частоты, добавляем множители, не изменяющие низкочастотную часть. Излому вниз на частоте wr соответствует множитель

wr / (s+wr)

излому вверх на той же частоте wr соответствует обратный множитель

(s+wr) / wr.

Перемещаясь налево, на более низкие частоты, добавляем множители, не изменяющие высокочастотную часть. Излому вниз на частоте wl соответствует множитель

s / (s+wl),

излому вверх на той же частоте wl соответствует обратный множитель

(s+wl) / s

Записанная таким образом передаточная функция имеет форму zpk.

Отражение влияния обратных связей на ЛАХ

Изображаем график (Lo) ЛАХ объекта управления - график усиления сигналов объектом. Все обратные связи отображаем обратными характеристиками. Добавляем график (Loc) ЛАХ обратной величины обратной связи, т.е. график ослабления сигналов обратной связью. Точки пересечения графиков (Lo и Loc) являются точками равенства усиления объектом и ослабления обратной связью, т.е. точками частоты среза разомкнутого контура соответствующей обратной связи. Влияние обратной связи проявляется как отсечение части графика Lo, расположенной выше графика Loc. В точках пересечения Lo и Loc (на частотах среза) возникают резонансные пики при малом запасе устойчивости соответствующего контура. Проблема с устойчивостью возникает, если разница наклонов Lo и Loc в точках пересечения составляет две и более единицы. Полосе пропускания разомкнутого контура соответствует диапазон частот, где Lo выше Loc. Разность графиков Lo и Loc образует ЛАХ разомкнутого контура.

Назначение жёстких и гибких ОС

Жёсткая обратная связь - пропорциональная, описывается коэффициентом Кос. Гибкая обратная связь - обратная связь по производной, т.е. включает операцию дифференцирования и описывается передаточной функцией Косg*s. Главная обратная связь - обычно жёсткая, чтобы точно контролировать выходную переменную объекта. Контур с жёсткой обратной связью часто не имеет достаточный запас устойчивости по фазе. Контур с гибкой обратной связью вводится для увеличения запаса устойчивости по фазе основного контура с жёсткой обратной связью. Дополнительной проблемой может быть проблема устойчивости контура с гибкой обратной связью, обычно решаемой последовательной коррекцией форсирующими звеньями.

Последовательность отражения влияния жёсткой и гибкой обратных связей на ЛАХ объекта управления

Отражение влияния жёсткой и гибкой обратных связей на ЛАХ объекта управления можно исследовать в любой последовательности. Но если из ЛАХ объекта Lo отсечь лишнее Lgoc (обратной характеристикой гибкой обратной связи) получится Lr - ЛАХ разомкнутого основного контура. Отсечением Loc (обратной характеристикой жёсткой обратной связи) из Lr получится ЛАХ замкнутой системы.

Вычисление частоты среза контура с жёсткой ОС

Частота среза wc контура с жёсткой ОС вычисляется умножением частоты wco среза объекта на Кос в степени обратной наклону n ЛАХ на wco. Т.е. wc = wco*Koc^(1/-n).

Оценка возможной длительности переходной характеристики

Оценку длительности переходной характеристики tnn замкнутой, хорошо скорректированной системы управления можно произвести, ориентируясь на частоту среза wc контура с жёсткой обратной связью

tnn = (3 - 10)/wc,

где минимальный коэффициент (3) соответствует объектам, похожим на объекты первого порядка. Объектам четвёртого порядка ближе оценка с коэффициентом 6 и т.д. Оценки соответствуют переходным характеристикам с небольшим перерегулированием до 5 %, т.е. экономной и умелой коррекции системы гибкой обратной связью.

Выбор коэффициента гибкой обратной связи

Дополнительный контур с гибкой обратной связью отсекает часть ЛАХ объекта Lo линией с наклоном - 1 в близи wc - частоты среза контура с жёсткой обратной связью. Линию обратной характеристики гибкой обратной связи обычно проводят через точку на линии 1/Кос с частотой (0.2 -:- 1)*wc в зависимости от наклона ЛАХ объекта на wc. Наклону - 2 соответствует коэффициент 0,7 - 1, наклону - 3 соответствует коэффициент 0.5 -:- 0.7 наклону - 4 соответствует коэффициент 0.3 -:- 0.5. Для более крутого наклона равного n коэффициент определяется выражением 0.5/(-n - 2). Таким образом, достигается достаточный запас (60 - 65 град.) устойчивости по фазе основного контура с жёсткой обратной связью.

На оси частот линия обратной характеристики гибкой обратной связи укажет обратную величину коэффициента гибкой обратной связи. Т.е. Kgoc = Koc/((0.2 -:- 1)*wc)

Последовательная коррекция контура гибкой обратной связи

Возникают проблемы с устойчивостью контура с гибкой обратной связью, если разница наклонов Lo и Loc в точках пересечения составляет две и более единицы. Проблему решаем введением форсирующих звеньев в контур гибкой обратной связи. Количество звеньев выбираем таким, чтобы свести разницу наклонов Lo и Loc к единице, т.е. число форсирующих звеньев равно (-n-2). Частоту излома форсирующих звеньев выбираем между wc и частотой среза контура с гибкой обратной связью без коррекции.

Запас по фазе контура с гибкой обратной связью желательно иметь не менее 50 - 70 град. Затем часть его израсходовать на решение задач физической реализуемости коррекции и микропроцессорной реализаций коррекции, после которых должно остаться 20 - 30 град.

Рекомендуется выбирать частоту изломов форсирующих звеньев как 0.7 - 0.9 от частоты среза контура с гибкой обратной связью без коррекции. Если запас устойчивости контура с гибкой обратной связью недостаточный, то частоту излома следует уменьшить. При этом запас устойчивости в контуре с гибкой обратной связью увеличится, а в контуре с жёсткой обратной связью - уменьшится. Если запасов устойчивости не хватает в обоих контурах, следует увеличить коэффициент гибкой ОС.

Решение задачи физической реализуемости коррекции

Для достижения физической реализуемости передаточной функции коррекции необходимо устранить превышение порядка числителя над порядком знаменателя. Чтобы выровнять порядки числителя и знаменателя передаточной функции гибкой обратной связи, добавляем апериодические звенья в количестве Nап. Частоту излома звеньев выбираем в m раз больше частоты среза wcg контура с гибкой обратной связью. При этом каждое добавленное апериодическое звено уменьшит запас устойчивости на 57/m град., а все вместе - на Nап*57/m. Выбираем значение m достаточно большим, чтобы запас устойчивости не опустился ниже 30 - 45 град. Т.е. из запаса устойчивости контура гибкой обратной связи вычитаем 30 - 45 град. и делим на количество звеньев Nап. Полученную таким образом потерю запаса устойчивости от каждого апериодического звена пересчитываем в значение m.

Микропроцессорная реализация коррекции.

Для микропроцессорной реализации коррекции модель непрерывной гибкой обратной связи трансформируется в дискретную и учитывается дополнительное запаздывание на время расчёта алгоритма микропроцессором. Длительность расчёта алгоритма управления кроме запаздывания определяет период дискретизации Ts модели. Дискретная модель не пропускает сигналы на частотах больше пи/Ts. Поэтому значение Ts не должно превышать 1/wc обратной величины частоты среза непрерывного контура управления, в котором предполагается микропроцессорная реализация какой либо функции управления. Большое значение Ts ухудшает качество управления и может привести к неустойчивости, малое значение Ts потребует высокоскоростных микропроцессоров.

Оценка допустимой длительности расчёта алгоритма управления.

Выбор Ts, допустимой длительности расчёта алгоритма управления, производим из условия сохранения запаса устойчивости на минимальном, приемлемом уровне 20 - 30 град. Расчёт потерь запаса устойчивости аналогичен расчёту в задаче физической реализуемости. Потери запаса устойчивости от запаздывания равны 57*wc*Ts. Потери от дисретизации меньше потерь от запаздывания в два, три раза и зависят от метода экстраполяции

Выбор типа дискретной модели

Неудачный выбор метода экстраполяции из имеющихся:

`zoh' - фиксатор нулевого порядка,

'foh' - фиксатор первого порядка,

'tustin' - билинейная аппроксимация Тастина,

'prewarp' - аппроксимация Тастина с коррекцией,

'matched' - метод соответствия нулей и полюсов,

Неудачный выбор метода экстраполяции может стать причиной неадекватности дискретной модели коррекции её непрерывному аналогу. Адекватность следует оценивать по близости ЛАХ и особенно ФЧХ непрерывного и дискретного объектов. Метод `zoh' имеет наибольшие искажения ФЧХ и не подходит для реализации корректирующих устройств с дифференцирующими функциями в законе управления. Хотя его применение для создания дискретных моделей объектов управления не создаёт проблем.

Для объектов с равными порядками числителя и знаменателя передаточной функции рекомендуются методы экстраполяции: 'foh', 'tustin', 'prewarp'. Для метода экстраполяции 'prewarp' частотой согласования характеристик непрерывной и дискретной моделей следует брать частоту среза соответствующего контура управления.

Для наиболее точного моделирования непрерывного объекта в дискретном контуре следует выбрать'prewarp' с частотой согласования характеристик 1/Ts.

Переход от непрерывной модели гибкой ОС (Goc) к дискретной модели (Gocd) алгоритма микропроцессорной реализации с экстраполяцией 'foh' производится командой с2d

Gocd = d2d(Goc,Ts, 'foh').

Число операций умножения цикла счёта алгоритма

Операции умножения, как самые медленные, в основном определяют возможность реализации алгоритма с помощью определённого микропроцессора за отведённое время Ts. Количество операций умножения определяется числом коэффициентов в модели алгоритма по модулю не равных нулю или единице. Модель алгоритма отличается от дискретной модели микропроцессорной реализации отсутствием запаздывания на Ts. Переход от дискретной модели (Gocd) алгоритма к дискретной модели (Gocdd) микропроцессорной реализации производится командой d2d

Gocdd = d2d(Gocd,[],1).

Моделью алгоритма может служить система разностных уравнений или дискретная передаточная функция. В канонических формах уравнений минимизировано число связей и ненулевых коэффициентов. Число коэффициентов канонической формы n-го порядка не превышает (2*n+1). Отсюда длительность Tmul операции умножения с плавающей точкой выбранного микропроцессора должна быть меньше

Tmul < Ts/(2*n+1).

Передаточная функция, в зависимости от её вида (zpk или tf), отражает одну из канонических форм уравнений.

6. МОДАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ

6.1 Постановка задачи

Качественные характеристики линейных систем определяются расположением на комплексной плоскости корней характеристического уравнения. Поэтому, помещая корни замкнутой системы в некоторые, заранее заданные положения, можно получить требуемое качество переходных процессов. Задача размещения корней характеристического полинома производит его замену на любой желаемый и тем самым кардинально решает задачу управления. Задача размещения корней решается в рамках теории модального управления [6].

Ниже будут даны некоторые сведения о решении одной из задач модального управления - обеспечение требуемого качества полностью управляемого и наблюдаемого объекта управления

(8)

со скалярным управлением u(t) с помощью регулятора P безинерционных обратных связей

u(t) = - Py(t). (9)

Задача сводится к отысканию матрицы Р таким образом, чтобы для замкнутой системы

(10)

с характеристическим уравнением замкнутой системы (10) в виде

det(E - A + BPC) = ⁿ +a₁^n-1 + a₂^n-2 + a₃^n-3 +... a_n = 0 .(11)

иметь все корни характеристического уравнения в заранее заданных точках комплексной плоскости. При этом нужно знать, какому расположению корней на комплексной плоскости соответствует необходимое качество системы.

Таким образом матрица P регулятора (9) представляет собой матрицу коэффициентов безинерционных обратных связей, физическая реализация которых не вызывает сомнения. Если количество обратных связей не меньше числа корней, задача имеет решение, например, при индексе v наблюдаемости объекта управления равном единице. Однако при индексе v наблюдаемости модели объекта больше единицы, когда суммарное количество входов m и выходов r не будет превышать на единицу порядок n модели объекта

m + r < n +1,

обратных связей не хватит для решения задачи модального управления в вышеизложенной постановке. Тогда задачу разделяют на две.

1. Расчёт матрицы К регулятора

u(t) = -Кх(t)

гипотетических обратных связей по переменным x(t) вектора состояния. Для полностью управляемого объекта задача всегда имеет решение, так как даже при скалярном входе количества обратных связей будет достаточно.

2. Получение сигналов похожих на переменные x(t) вектора состояния с помощью физического устройства, обычно называемого наблюдателем. Наблюдатель подключается к выходам и входам объекта и вырабатывает сигналы в аналоговой или цифровой форме. Наблюдатель представляет собой динамическую систему, структурно состоящую из модели объекта и собственного регулятора, чаще всего модального или линейно-квадратичного.

6.2 Эталонные модели без нулей

6.2.1 Типовые расположения корней

Рассмотрим варианты расположения корней, характеризуемых геометрическим расположением (I и II), интегральным критерием по переходному процессу (III), минимальной длительностью переходного процесса без перерегулирования (IV).

I - все корни действительные, равные с модулем w_{_}. Переходные процессы в замкнутой системе - монотонные.

II - все корни располагаются на полуокружности радиусом w_{_}--в левой полуплоскости симметрично относительно действительной оси. Расстояние между соседними корнями , где n - порядок системы. Такое расположение - система Баттерворта [6, 7] - характеризуется частотной характеристикой без выбросов, т.е. показателем колебательности М = 1.

III - систему с оптимальным переходным процессом по критерию минимума функционала J

(12)

предложили Грехем и Латроп [6, 7]. Переходные процессы идут быстро и с малым перерегулированием.

В работе Яворского [7] приводятся семейства уравнений до восьмого порядка с характеристиками переходных процессов. Выбранные из семейства уравнения с переходными процессами без перерегулирования с минимальной длительностью образовали вариант IV.

6.2.2 Нормированное характеристическое уравнение

Для сравнения вариантов вводим нормированное время t--:

t--=--w₀t ; (13)

где w₀ является среднегеометрическим модулем корней.

Тогда характеристическое уравнение (11) будет иметь нормированные коэффициенты , i = 1,…,n, умноженные на w₀ в соответствующей степени.

ⁿ +a₁w₀ ^n-1 + a₂w₀ ^2n-2 + a₃w₀ ^3n-3 +...+a_n-1w₀ ^n-1+w₀ ⁿ = 0. (14)

Набор коэффициентов , i = 1,…,n задает форму переходного процесса, а изменение w₀ приводит к изменению длительности переходного процесса без изменения его формы. Таким образом, варианты уравнений удобно сравнивать по нормированной длительности ?₀t_n переходного процесса и величине перерегулирования .

Так как всегда , то , а остальные коэффициенты уравнений (11) и (14) связаны соотношением

, i = 1, 2, 3,…, n-1. (15)

Значения нормированных коэффициентов характеристического уравнения систем до восьмого порядка для всех вариантов расположения корней приведены в табл. 3. Там же приведены значения длительности ?₀t_n нормированных переходных процессов и величин перерегулирования, минимальным значениям которых соответствуют варианты III и IV.

Отметим, что приведенные в табл.3 характеристики переходных процессов соответствуют передаточным функциям, имеющим полюса и не имеющим нулей. В противном случае вид переходных процессов будет несколько иным, будет иметь, как правило, большее перерегулирование. Однако и в этом случае можно пользоваться приведенными вариантами размещения корней характеристического уравнения, т.е. полюсами передаточной функции, принимая их за некоторые исходные.

Если желаемое расположение задано не коэффициентами характеристического уравнения, а непосредственно корнями , то переход от корней к коэффициентам можно осуществить по формулам Виетта:

Функция poly вычисляет строку a коэффициентов a_i , если задан столбец корней _i:

a = poly().

6.2.3 Составление нормированной модели

Исходя из желаемой формы переходной характеристики, частотных свойств замкнутой системы или требований к интегральной характеристике останавливаемся на одном из четырёх вариантов типовых расположений корней. Коэффициенты нормированных уравнений для систем до 8-го порядка и параметры переходных процессов приведены в таблице 3.

Таблица 3

Ва-ри-	По-ря-	Переходный процесс	Коэффициенты нормированных уравнений
ант	док	?0tn	%
I	2 3 4 5 6 7 8	4,8 6,3 7,5 9,1 10,6 11,8 12,7		2 3 4 5 6 7 8	3 6 10 15 21 28	4 10 20 35 70	5 15 35 70	6 21 56	7 28	8
II	2 3 4 5 6 7 8	2,8 5,9 6,9 7,8 8 10,8 11,5	4,5 7,1 12 9,5 12 17,2 18	1,4 2 2,6 3,24 3,86 4,5 5,12	2 3,4 5,24 7,46 10,1 13,14	2,6 5,24 9,13 14,6 21,84	3,24 7,46 14,6 25,69	3,86 10,1 21,84	4,5 13,14	5,12
III	2 3 4 5 6 7 8	2,8 3,6 4,7 5,2 5,4 7,7 10	4,5 3 10,2 2,5 3 6,4 12,1	1,4 1,75 2,1 2,8 3,25 4,475 5,2	2,15 3,4 5 6,6 10,42 12,8	2,7 5,5 8,60 15,08 21,6	3,4 7,45 15,54 25,75	3,95 10,64 22,2	4,58 13,3	5,15
IV	2 3 4 5 6 7 8	4 4,3 5,2 5,9 7,4 8,1 9		1,78 1,98 3,37 4,04 4,07 6,17 6,04	2,38 4,87 8,03 8,75 16,45 18,16	3,48 8,07 11,4 25 32,6	4,43 9,4 24,1 42,7	4,61 15,05 36,1	5,72 20,2	6,73
V	2 3 4 5 6 7 8	5,2 8,64 10,2 12,4 16,04 15,7 14,85	16,3 7,26 14,2 11,46 12,6 13,5 14,3	1 1 1 1 1 1 1	2 3 4 5 6 7	2 3 4 5 6	3 6 10 15	3 6 10	4 10	4

По строке коэффициентов аi из табл.3 (обязательно добавив по единице слева и справа) составляем нормированную модель замкнутого объекта Sn_z

Sn_z = tf(1, аi).

6.2.4 Масштабирование моделей во времени

Множитель w_{_}, связывающий характеристическое уравнение с нормированным уравнением, одновременно является множителем для перехода от нормированных корней к желаемым, также как от нормированных частот к частотам желаемых характеристик. Множитель w₀, равен среднегеометрическому значению модулей корней характеристического уравнения.

Определяем масштабирующий множитель w₀ как отношение нормированной длительности переходного процесса к желаемой.

w₀ = tпп_норм. / tпп_жел.

Желаемые корни (полюса передаточной функции) вычисляем умножением на w₀ корни нормированного характеристического уравнения.

Масштабирование во времени модели в форме tf производится делением на w₀ всех коэффициентов при s (постоянных времени).

Масштабирование во времени модели в форме zpk производится извлечением нулей и полюсов

[z, p, k] = zpkdata(Sn_z, `v').

С последующим умножением на ?₀ нулей, полюсов и коэффициента k

S_z = zpk(z*w_{_,}p*w₀, k*w₀ ^(length(p) - (length(z))).

Для получения желаемой модели замкнутого объекта S_z в форме ss извлекаем матрицы

[a,b,c,d] =ssdata(Sn_z)

и умножаем на масштабирующий множитель ?₀ матрицы a и b

S_z = ss(a*w₀ , b*w₀ , c, d).

6.3 Вычисление матрицы P регулятора

1. Модель объекта управления с одним входом имеет сопровождающую каноническую форму. Кроме того, все компоненты вектора состояния измеряются непосредственно, т.е.

. (16)

Тогда - матрица-строка, B_cP_cC_c

. (17)

Матрица замкнутой системы (10) сохраняет сопровождающую каноническую форму

.(18)

Отсюда элементы матрицы P_c регулятора находятся как разница между желаемыми и действительными a_i значениями коэффициентов характеристического уравнения

, (19)

т.е.

. (20)

2. Произвольная модель объекта с полноразмерным измерением вектора состояния, т.е. индекс наблюдаемости = 1, следовательно, rank C = n.

Требуется вычислить матрицу P регулятора.

Находим матрицу M_c преобразования, приводящую модель объекта к сопровождающей форме

, (21)

. (22)

Сравнивая (22) с (17), запишем

. (23)

Задача сводится к предыдущей: вычисление матрицы P_c по формулам (19) и умножение результата на матрицу (СМ_с)^-1.

Таким образом, алгоритм вычисления модального управления сводитися к следующему:

1. Проверить управляемость и наблюдаемость объекта управления.

2. Вычислить коэффициенты характеристического полинома.

3. Задаться желаемым характеристическим полиномом.

4. Вычислить матрицу управления P_c сопровождающей формы.

5. Вычислить матрицу M_c преобразования к сопровождающей канонической форме.

6. Вычислить матрицу управления P = P_c(СМ_с)^-1.

6.4 Задача размещения полюсов в MATLAB

Задача модального управления может быть решена с помощью функций acker и place. Обе функции вычисляют матрицу K гипотетических обратных связей по переменным x , обеспечивающую желаемое расположение собственных чисел _i матрицы (A - BK) замкнутой системы. Реальные и гипотетические обратные связи совпадают в случае C = E. В противном случае для реализации гипотетических обратных связей используется `наблюдатель' - специальный динамический фильтр для оценивания переменных x.

K = acker(A, B, );

K = place(A, B, ).

Здесь - столбец корней характеристического полинома может быть вычислен по строке a его коэффициентов

 = roots(a) *w₀,

где: w₀ - масштабирующий множитель: а - состоит из строки коэффициентов a_i из табл. 3, соответствующей выбранному варианту, и из двух едениц слева и справа (коэффициента при старшей степени и свободного члена).

Функция acker использует один вход, т.е. B - столбец, в то время как place использует все входы и дополнительно решает задачу минимизации чувствительности к изменению K. Т.е. функция place рассчитывает робастный регулятор. Поэтому предпочтительно пользоваться place. Однако place не может обеспечить кратность корней больше числа входов (варианты I из таб.3) и не гарантирует точность для корней с равными модулями (варианты II из таб.3).

Очевидно, что изменение модели объекта преобразованием с матрицей T (x2 = T*x1) вызывает изменение матрицы К обратных связей умножением справа на ту же матрицу Т (K2 = K1*T).

Если размерность выходного вектора y(t) меньше размерности вектора состояния x(t), то для реализации обратной связи по x(t) можно использовать наблюдатели Люенбергера или фильтр Калмана, изложенные в следующих разделах.

6.5 Задача размещения полюсов для объекта, имеющего нули

Устойчивость замкнутого объекта управления полностью определяется размещением полюсов передаточной функции. Переходные характеристики замкнутого обекта зависят как от полюсов, так и от нулей. Безинерционные обратные связи и, следовательно, модальный регулятор изменяют значения полюсов, но не изменяют значения нулей, а также не могут создавать новых нулей. Нули создаются элементами прямой цепи, в частности её параллельными связями, а также динамическими элементами в обратных связях.

Задачу размещения полюсов для объекта, имеющего нули, следует решать, каким-то образом компенсируя нули.

Прежде всего следут сравнить значения нулей и полюсов объекта просмотром в форме zpk, и выяснить возможность их сокращения, пусть приближённо, командой minreal. Устанавливая аргументом этой функции погрешность на уровне 0.1 и постепенно увеличивая значение погрешности, можно сократить нуль с одним из полюсов. Затем сравнить частотные и переходные характеристики упрощенного и исходного вариантов моделей объекта управления, чтобы решить насколько приемлемо упрощение.

Если упрощенная модель объекта представляется недопустимой, нуль объекта следует сократить с полюсом, совмещённым с нулём модальным регулятором. Такой подход неприменим для нулей в правой полуплоскости из-за опасности потери устойчивости при неточном совмещении нуля и полюса. Таким образом, для объектов с нулями часть желаемых полюсов выбирается равными компенсируемым нулям. Остальные составляют систему, определяющую переходные характеристики. Для их расчёта следует выбрать нормированный полином соответствующего порядка из таблицы 3, вычислить его корни и умножить их на масштабирующий множитель ?₀, как отношение нормированной длительности переходного процесса к желаемой.

6.6 Увеличение точности управления применением интегрального регулятора

Радикальным решением задачи увеличения точности управления будет увеличение порядка астатизма внешнего контура. Чтобы ничего не изменять в алгоритме проектирования модального регулятора, внесём необходимый интегральный регулятор в модель управляемого объекта. На входе интегрального регулятора суммируем сигналы управления и отрицательной обратной связи от соответствующего датчика.

Процедуру расширения управляемого объекта интегральным регулятором удобно производить на уровне матриц. В матрицу А добавляем диагональный элемент равный нулю, так как интегратор не имеет собственной обратной связи. Все остальные элементы столбца также нулевые, так как выход интегратора пока не связан с переменными вектора состояния объекта. В строку записываем со знаком минус коэффициенты строки матрицы С, соответствующей датчику, подключаемому к интегральному регулятору. Дополнительный вход интегрального регулятора отражается дополнительным столбцом матрицы В с единицей в последней строке.

Дополнить объект Ou управления интегральным регулятором также можно путём создания lti - объекта и подключенния его к соответствующему выходу Ou.

7. НАБЛЮДАТЕЛИ И АЛГОРИТМЫ ОЦЕНИВАНИЯ

7.1 Назначение и основные свойства

Наблюдающие устройства (наблюдатели) и алгоритмы оценивания реализуют свойство наблюдаемости объекта управления аппаратными или программными средствами соответственно. Т.е. если используются дифференциальные уравнения - устройство, если используются разностные уравнения - алгоритм. Под оцениванием сигнала подразумевается формирование похожего на него другого сигнала.

Полная наблюдаемость объекта управления подразумевается, так как никакой наблюдатель не в состоянии сделать ненаблюдаемый объект наблюдаемым. Если нет наблюдаемости, - нет наблюдателя! Хотя в принципе, ненаблюдаемая часть объекта может стать наблюдаемой после установки дополнительных датчиков.

Для управления объектами в реальном времени наблюдатель реализует свойство восстанавливаемости для несвободного объекта. Свойство восстанавливаемости для задачи фильтрации (оценивания вперёд) тесно связано со свойством наблюдаемости для задачи сглаживания (оценивания назад или внутри интервала наблюдений).

Для наблюдателя обязательно наличие памяти. Т.е. наблюдатели представляют собой динамическую систему, порядок которой равен или меньше порядка объекта. Наименьший порядок наблюдателя на единицу меньше индекса наблюдаемости. Такой наблюдатель позволяет реализовать любой линейный закон управления наблюдаемым объектом, но закон управления встраивается в наблюдатель и для нового закона потребуется изменять наблюдатель.

Наблюдатель проектируется на базе модели наблюдаемого объекта или его части с добавлением обратных связей. В наблюдателе сохраняется структура связей и соотношения между переменными как в реальном объекте.

Наблюдатель объединяет несколько различных датчиков в единую измерительную систему, быть может, оптимальную. Наблюдатели подключаются к выходам и входам наблюдаемого объекта для получения сигналов, близких к переменным вектора x состояния объекта или линейной функции от x_i, i=1,…,n. Разумеется, это возможно только для полностью наблюдаемых объектов.

Выходные сигналы наблюдателя заменяют комплекс датчиков и используются вместо реальных измерений переменных x_i вектора состояния при формировании законов управления модальным или другим регулятором. При этом собственные динамические свойства наблюдателя никак не сказываются на устойчивости системы объект-регулятор.

Динамические характеристики наблюдателя обязательно отличаются от динамических характеристик наблюдаемого объекта. Они могут быть выбраны из условия наилучшего подавления измерительных шумов в оценке вектора состояния объекта (фильтр Калмана) или могут быть выбраны из других соображений, в известной мере, произвольно (наблюдатели Люенбергера).

7.2 Наблюдатели Люенбергера

В качестве наблюдателя Люенбергера может служить динамическая система произвольного порядка. Вектор состояния z(t) наблюдателя линейно связан с вектором состояния x(t) наблюдаемого объекта и служит в качестве его оценки

z(t) = T x(t) + e(t), (24)

где T - матрица kxn; k - порядок наблюдающего устройства; e(t) - вектор ошибок оценки.

Наблюдатель Люенбергера для свободного объекта Считаем что входной сигнал отсутствует, т.е. . Тогда модель объекта управления упростится

. (25)

Выходной вектор y(t) объекта управления является входным для наблюдающего устройства

. (26)

Найдем соотношения между параметрами объекта и наблюдателя. Для этого из уравнения (26) вычтем умноженное на матрицу T уравнение (25):

. (27)

Если будет выполнено условие

FT - TA + LC = 0, (28)

то с учетом (24) можно записать

(29)

уравнение для ошибки оценки e(t). Ошибка асимптотически стремится к 0, если все характеристические числа матрицы F - в левой полуплоскости.

Можно доказать, что из условия (28) матрица T может быть выражена по меньшей мере единственным образом, если все собственные числа матрицы F отличаются от таковых матрицы А и порядок наблюдателя . Здесь v - индекс наблюдаемости.

Вышеизложенная модель наблюдателя соответствует задаче радиолокационного контроля воздушным движением, когда управляющие сигналы летательных аппаратов неизвестны и являются возмущениями. Точность оценок координат можно было бы улучшить если управляющие сигналом объектов наблюдения будет известны.

Наблюдатель Люенбергера для управляемого объекта дополняют компенсационной связью для устранения возмущений от управления. Т.е. наблюдатель подключается не только к выходу, но и ко входу наблюдаемого объекта

.(30)

Вышеизложенные выкладки сохраняют силу для этого наблюдателя. Дополнительным свойством такого наблюдателя является независимость динамических свойств процессов оценивания и управления, т.е. регуляторы наблюдателя и объекта не надо согласовывать и учитывать взаимное влияние контуров управления и оценивания.

Структурная схема соединения наблюдателя Люенбергера с объектом управления и регулятором

Наблюдатель и объект управления подключается параллельно входами к выходу регулятора. Выходные сигналы датчиков объекта управления также подаются на входы наблюдателя. На вход регулятора подаются управляющий сигнал, сигналы обратной связи от наблюдателя и, при необходимости, сигналы датчиков объекта управления.

7.3 Классификация наблюдателей Люенбергера

Наблюдатели Люенбергера проектируются без учёта случайных воздействий и измерительных шумов. Поэтому подразумевается их применение в условиях практического отсутствия измерительных шумов.Для большинства наблюдателей характерно отсутствие фильтрующих свойств всилу особенностей их структуры и схемы включения в систему управления. Назначение и особенности применения наблюдателей Люенбергера могут меняться в первую очередь в зависимости от соотношения его порядка к порядку наблюдаемого объекта. Порядок k наблюдателя Люенбергера может изменяться от n до минимального v - 1 .Выделим три вида наблюдателей:

...