Полноразмерный наблюдатель. k = n.

Матрица Т - квадратная. Тогда естественно сделать её единичной, T = E. Наблюдателем оцениваются непосредственно все переменные x(t) вектора состояния объекта. Полноразмерный наблюдатель обладает фильтрующими свойствами и имеет структуру, не позволяющую измерительным шумам датчиков попадать непосредственно на вход регулятора

u(t) = - K x(t).

Редуцированный наблюдатель. k = n - r.

Порядок наблюдателя меньше порядка наблюдаемого объекта на число выходов. Очевидно, что выходы наблюдателя z(t) вместе с выходами объекта y(t) образуют комплекс из n сигналов, необходимых для полноценного управления объектом, например, с помощью модального регулятора

u(t) = - K x(t) = - G y(t) - H z(t),

где G и H -- матрицы соответствующих размерностей при выходах y(t) объекта и z(t) наблюдателя. Редуцированный наблюдатель сам по себе не обладает фильтрующими свойствами, так как в его структуре есть каналы непосредственной связи входов и выходов, что позволяет измерительным шумам датчиков попадать непосредственно на вход регулятора в составляющих H z(t). Фильтрующие свойства редуцированного наблюдателя вряд-ли имели бы смысл, так как измерительные шумы датчиков могут попадать непосредственно на вход регулятора в составляющих Gy(t)

Наблюдатель минимального порядка. k= v - 1.

Наименьший порядок наблюдателя на единицу меньше индекса наблюдаемости. Он позволяет сформировать любой линейный закон управления от переменных вектора состояния, используя совместно со своим выходным сигналом H z(t) сигналы датчиков y(t).

u(t) = - K x(t) = - G y(t) - H z(t),

где G и H -- матрицы соответствующих размерностей при выходе y(t) объекта и z(t) векторе состояния наблюдателя. Но в отличие от редуцированного наблюдателя, выходом наблюдателя минимального порядка. является сигнал H z(t), т.е. часть закона управления. Поэтому наблюдатель минимального порядка сразу проектируется под определённый закон управления. Изменение закона управления может потребовать перерасчёт наблюдателя, что не всегда удобно. Наблюдатель минимального порядка, являясь упрощенным вариантом редуцированного наблюдателя, фильтрующими свойствами не обладает всилу тех же причин.

7.4 Полноразмерный наблюдатель

Если порядок наблюдателя равен порядку объекта, то целесообразно положить T = Е. Тогда из (28) имеем

F = A - LC. (31)

Таким образом, полноразмерный наблюдатель однозначно определяется матрицей L размерностью n x r:

, (32)

при этом L необходимо выбирать таким образом, чтобы собственные числа матрицы (A - LC) отличались бы от собственных чисел матрицы А. Для полностью наблюдаемого объекта это всегда возможно.

Как видно из уравнения (32) полноразмерного наблюдателя, структура наблюдателя включает модель объекта плюс обратную связь через матрицу L от разности выходных сигналов y(t) объекта и его модели Cz(t). Структурная схема замкнутой системы, состоящей из объекта управления, полноразмерного наблюдателя и регулятора К по переменным вектора состояния изображена на рис.2.

Полноразмерный наблюдатель и фильтр Калмана имеют одинаковую структуру. Если матрицу L выбрать из условия наилучшего в средне квадратичном смысле подавления измерительных шумов при воспроизведении в оценках переменных вектора состояния не измеряемых случайных возмущений объекта управления, то полноразмерный наблюдатель будет фильтром Калмана.

7.5 Динамика системы объект - наблюдатель - регулятор

Динамика замкнутой системы с полноразмерным наблюдателем и регулятором с матрицей К описывается следующей системой уравнений:

(33)

Вычитая из первого уравнения третье и учитывая, что e(t) = x(t) - z(t), после преобразования получим

(34)

Матрица замкнутой системы

(35)

блочная треугольная. Характеристические числа матрицы (35) определяются диагональными блоками (A - BK) и (A - LC). Налицо две группы корней характеристического уравнения. Первая определяется объектом с регулятором K, вторая - наблюдателем. Таким образом, наблюдатель не влияет на корни замкнутой системы, а лишь добавляет свои.

В случае точной модели объекта управления, отсутствия измерительных шумов и случайного воздействия на объект управления рассогласование сигналов объекта и наблюдателя исчезает вскоре после включения. И в дальнейшем динамические свойства наблюдателя не оказывают какого-либо влияния на переходные процессы системы объект-регулятор. Т.е. в контуре управления по управляющему воздействию наблюдатель не наблюдаем. Но в процессах от возмущающих воздействий динамика наблюдателя проявляется в полной мере.

Так как точная модель объекта управления и отсутствие измерительных шумов вряд ли может иметь место на практике, динамика наблюдателя варьируется: от динамики наблюдаемого объекта до «достаточно быстрой». Медленная динамика наблюдателя подходит для фильтрации измерительных шумов. В случае их практического отсутствия корни наблюдателя стараются расположить левее корней замкнутой системы объекта с регулятором, чтобы динамика наблюдателя не сильно сказывалась на динамике всей системы.

7.6 Проектирование полноразмерного наблюдателя

Расчет матрицы L полноразмерного наблюдателя удобно производить методом модального управления для сопряженного объекта управления.

Собственные числа матрицы A - LC замкнутого наблюдателя не изменятся после ее транспонирования. Матрица соответствует сопряженной системе, где - входная матрица, а - матрица обратных связей по вектору состояния. Используя функции acker или place, решаем задачу модального управления для полноразмерного наблюдателя

Здесь _н - столбец желаемых корней наблюдателя.

Используя вычисленную матрицу L наблюдателя создаем функцией estim наблюдатель Est объекта Sys

Est = estim (Sys, L)

Такое обращение к функции estim используют, если не предполагается (например, невозможно) подключать входные сигналы объекта к входу наблюдателю. Тогда в наблюдателе не формируются входы, подключаемые к входам объекта. Выходы наблюдателя Est [y_e ; x_e] - оценки выходов и вектора состояния объекта Sys.

В более общем случае используется обращение

Est2 = estim (Sys, L, sen, known).

Здесь объект Sys имеет измеряемые (known) воздействия u и неизмеряемые возмущения w, возможно стохастические воздействия. Строка known содержит номера входов с измеряемые сигналами, которые предполагается использовать в наблюдателе. Строка sen содержит номера выходов объекта Sys, подключаемых к наблюдателю, т.е. сигналы реальных датчиков. Остальные выходы -- неизмеряемые, т.е. чисто математические. Таким образом индексы входов known и выходов sen указывают на физически возможные связи объекта Sys и наблюдателя Est2. Вектор [u; y], составленный с индексами known, sen, будет входным наблюдателя Est. Выходной вектор [y_e ; x_e] наблюдателя Est2 составлен из оценок выходного вектора и вектора состояния объекта Sys.

Соединение наблюдателя с объектом и регулятором в контур управления

Наблюдатель нужно подсоединить к входам (known) и выходам (sen) объекта управления. Наиболее просто это сделать, проведя входы known на выход объекта управления Sys. Пусть 1-й вход - управляющий, 2-й - неизмеряемое возмущение, т.е. known=1. В наблюдателе будут использованы сигналы обоих имеющихся датчиков, т.е. sen = [1,2]

Sys2 = [ [1 0];Sys]

У оъекта Sys2 первый вход одновременно становится и первым выходом. Теперь объект с наблюдателем объединяются последовательным соединением

Sys_nab = Est2*Sys2

Наблюдатель Est2 с регулятором K также объединяются последовательным соединением, но матрица K дополняется слева r столбцами из нулей

nab_reg = [ [0 0], K]*Est2,

так как первые r выходов наблюдателя - оценки выходного вектора и лишь последующие n - оценки вектора состояний. Отсюда разомкнутый контур управления

Sys_nab_reg = [ [0 0], K]*Est2*[ [1 0];Sys]

и соответствующий замкнутый контур управления

Sys_nab_reg_z = feedback(Sy[ [1 0];Sys], [ [0 0], K]*Est2, 1, 1:3)

Здесь последние аргументы указывают, что обратная связь подключаеся к к первому входу и выходам 1, 2 и 3 объекта Sys2.

8 РЕДУЦИРОВАННЫЙ НАБЛЮДАТЕЛЬ

Полноразмерный наблюдатель оценивает все компоненты вектора состояния x(t). В то же время часть компонентов x(t) можно определить по результатам непосредственного измерения y(t). Избыточность полноразмерного наблюдателя устраняется в редуцированном наблюдателе. Если выходной вектор y(t) имеет размерность r, то порядок редуцированного наблюдателя - n - r. Таким образом выходы наблюдателя z(t) вместе с выходами объекта y(t) образуют комплекс из n сигналов, необходимых для полноценного управления объектом, например, с помощью модального или линейно-квадратичного регулятора.

8.1 Проектирование редуцированного наблюдателя

Пусть заменой переменных матрица С модели объекта управления приведена к блочному виду

, (36)

где Е - единичная матрица (rxr); 0 - нулевая матрица [rx(n - r)]. Т.е. первые r переменных вектора состояния x(t) совпадают с выходными переменными y(t).

Тогда вектор состояния x(t) можно разделить на две части

, (37)

и оцениванию подлежит только его вторая часть w(t). Матрицы A и B модели объекта управления следует разделить на части и представить в блочном виде

, (38)

где А₁₁ - (rxr) матрица; A₂₂ - (n-r)x(n-r) матрица.

Соответственно изменится запись уравнений объекта управления

(39)

Второе уравнение системы (39) будем рассматривать как уравнение наблюдаемого объекта. Редуцированный наблюдатель проектируют как полноразмерный для оценки вектора w(t) состояния второго уравнения. При этом А₂₁ y(t) + B₂ u(t) рассматривают как входное воздействие. Первое уравнение (39) используют как уравнение связи вектора w состояния с выходным вектором y. Рассчитывают редуцированный наблюдатель так же, как полноразмерный наблюдатель с той разницей, что роль матриц A, C играют соответственно А₂₂, А₁₂, а роль выходного сигнала y₁(t) выполняет

. (40)

Получим уравнение наблюдателя (n - r) порядка

.(41)

Приведенному уравнению соответствует схема, изображенная на рис.4.

Рис.4

Чтобы избежать дифференцирования y(t), точку суммирования на рис.4 следует перенести через интегратор. Преобразованная схема редуцированного наблюдателя изображена на рис.5.

Рис.5

Структурная схема наблюдателя легко запоминается, так как ее матрицы имеют сходную структуру. Динамические свойства наблюдателя определяются матрицей A₂₂ - LA₁₂ обратных связей. Выбором матрицы L размерности rx(n - r) можно придать любые значения корням _н характеристического уравнения наблюдателя:

det (E - A₂₂ + LA₁₂) = 0. (42)

Расчет матрицы L производим методом модального управления для сопряженного объекта

9 ФИЛЬТР КАЛМАНА

Фильтр Калмана используется для получения оптимальных по точности оценок вектора x(t) состояния объекта управления, подверженного случайным возмущениям w(t) по входу и измерительным шумам v(t) по выходу. Модель такого объекта управления имеет вид

где w(t) - внешнее возмущение и v(t) - измерительные шумы дачиков представляют собой центрированные, стационарные процессы типа белого шума, интенсивность которых задана соответственно матрицами Q,R и N, симметричными и положительно определенными.

E{ww'} = Q, E{vv'} = R, E{wv'} = N

Фильтр Калмана описывается уравнением

,

совпадающим с уравнением полноразмерного наблюдателя (рис.2).

Т.е. структурно фильтр Калмана и полноразмерный наблюдатель одинаковы и отличаются способами вычисления матрицы L, называемой иногда матричным коэффициентом усиления фильтра Калмана. Хотя логичней называть её регулятором, модальным - для наблюдателя или линейно-квадратичным - для фильтра.

Выходной сигнал фильтра Калмана является наилучшей, в среднеквадратическом смысле, оценкой вектора x(t) состояния объекта, если матрица L вычисляется, как

L = PC'R^-1,

где P(t) - ковариационная матрица ошибок оценки (t) является решением матричного уравнения Риккати:

,

записанного для случая N = 0.

Проанализируем свойства фильтра Калмана на примере объекта 1-го порядка. Все матрицы становятся просто числами, а уравнение Риккати - алгебраическим 2-го порядка

Проектирование фильтра Калмана в Матлабе

Целесообразно воспользоваться Матлабом для решения матричного уравнения Риккати и проектирования фильтра.

Функция kalman возвращает наблюдатель (фильтр Калмана) Kest, матрицу L наблюдателя и ковариационную матрицу Р ошибок оценивания как решение уравнения Риккати для непрерывного или дискретного объекта Sys

[Kest,L,P] = kalman(Sys,Q,R,N)

Входами наблюдателя являются сигналы [u;y], выходами - оптимальные оценки выходного вектора и вектора состояния [y;x]. Все входы u(t) объекта Sys рассматриваются как стохастические.

Объект Sys составляется по матрицам объекта управления как

Sys = ss(A, [B G], C, D).

Обращение к функции kalman в виде

[Kest,L,P] = kalman(Sys,Q,R,N, sens, known)

позволяет выделить измеряемые выходы sens объекта Sys, а также разделить его входы на известные known и стохастические. Здесь sens, known индексы соответствующих выходов и входов объекта управления, которые реально могут быть использованы в структуре наблюдателя.

Цифровое управление непрерывным объектом достаточно широко распространено на практике. Функция kalmd предназначена для проектирования дискретного фильтра Калмана Kest c периодом дискретизации Tsj для непрерывного объекта Sys

[Kest,L,P,M,Z] = kalmd (Sys,Q,R, Ts)

Матрица М используется в уравнении обновления оценок для моментов времени получения новых измерений от датчиков. Разностные уравнения фильтра Калмана имеют вид

x[n+1|n] = Ax[n|n-1] + Bu[n] + L(y[n] - Cx[n|n-1] - Du[n])

y[n|n] = Cx[n|n] + Du[n]

x[n|n] = x[n|n-1] + M(y[n] - Cx[n|n-1] - Du[n]).

Функция возвращает также матрицу Z ошибок оценивания.

Реализацию фильтра Калмана также можно прооизвести функцией estim или совместно с обратной связью K по состоянию функцией reg, формируя полноразмерный наблюдатель в котором используется вычисленная командой kalman матрица L .

10. ОПТИМАЛЬНЫЙ ПО КВАДРАТИЧНОМУ КРИТЕРИЮ РЕГУЛЯТОР

10.1 Постановка задачи оптимизации режима стабилизации

Любую задачу оптимального управления начинают с определения понятия оптимальности. Этому служит критерий качества. Совокупность характеристик качества управления путем некоторого функционального преобразования представляется скалярной величиной, называемой критерием качества.

В теории оптимального управления доказано что оптимизация по квадратичному критерию всегда приводит к линейному закону управления. Поэтом задачу синтеза регулятора для линейного объекта часто решают по квадратичному критерию качества.

Для решения задачи стабилизации состояния объекта управления или его выходов используют уравнения объекта в отклонениях от желаемого режима

Для модели объекта в отклонениях необходимо найти линейный регулятор в обратной связи по переменным состояния

u = -K•x,

который бы обеспечил минимум интегрального критерия качества

.

Здесь Q и R - симметричные неотрицательно определенные матрицы весовых коэффициентов. Обычно Q и R выбирают диагональными матрицами. Причём матрица R не должна иметь нулей в главной диагонали. Подынтегральная функция представляет собой штрафную функцию, первое слагаемое которой характеризует потери, связанные с отклонением от желаемого режима, второе - затраты на управление.

Произвол критерия заключается в выборе значений матриц Q и R весовых коэффициентов. Не существует универсального подхода к заданию матриц весовых коэффициентов. Обычно они выбираются на основе инженерного опыта и последующей проверки моделированием САУ. Можно показать, что увеличение Q также как и уменьшение R приводят к увеличению матрицы К регулятора и расширению полосы пропускания САУ.

Искомая матрица K(t) вычисляется через решение уравнения Риккати:

,

или для установившегося режима

Таким образом, структура вышеизложенного линейно-квадратичного регулятора полностью совпадает со структурой модального регулятора и отличается лишь способом вычисления чисел матрицы K, более сложным, чем для модального регулятора. И хотя в готовом виде линейно-квадратичный и модальный регуляторы неразличимы, не существует методик пересчёта одного регулятора в другой. Одна из причин этого в различие количества числовых параметров критериев качества. Для модального регулятора их n - число размещаемых полюсов, для линейно-квадратичного регулятора их n+m - число весовых коэффициентов квадратичного критерия качества (диагональных элементов матриц Q и R). Т.е. полное совпадение линейно-квадратичного и модального регуляторов возможно как случайное событие, но не как результат целенаправленных действий.

10.2 Связь задач оптимального фильтра и оптимального регулятора

Если сравнить задачи расчета матрицы К оптимального регулятора и расчета матрицы L фильтра Калмана, то очевидно, что эти задачи сопряженные. Расчет матрицы К оптимального регулятора может быть заменен расчетом матрицы L фильтра Калмана для сопряженного инверсного объекта и наоборот.

Процедура замены расчета производится следующим образом. Объект управления с матрицами (А,В,С) заменяется на сопряженный инверсный с матрицами (A',C',B'). В качестве характеристик входных шумов берутся весовые коэффициенты Q критерия качества регулятора по вектору состояния, а в качестве характеристик выходных шумов - весовые коэффициенты R по входному сигналу. Вычисленная для таких условий матрица L фильтра Калмана совпадает с транспонированной матрицей К' оптимального регулятора исходного объекта.

Обе задачи также связаны принципами разделения. Для линейного объекта, подверженного Гауссовому случайному возмущению и Гауссовыми шумами датчиков, оптимальная по квадратичному критерию система управления состоит из оптимального фильтра и оптимального регулятора для детерминированного случая. Параметры фильтра и регулятора рассчитываются отдельно и независимо друг от друга. Для обозначения такой системы управления часто использают абривиатуру - ЛКГ-регулятор, которая расшифровывается как “Линейный закон управления, Квадратичный критерий качества, Гауссовы случайные воздействия”.

ЛКГ-регулятор представляет собой динамическую систему n-порядка. Формируется ЛКГ-регулятор функцией reg или lqgreg и подключается к объекту управления функцией feedback.

Модель замкнутой системы, состоящей из объекта управления, фильтра Калмана и оптимального по квадратичному критерию линейного регулятора, вычисляется с учётом того, что отрицательная обратная связь уже заложена в матрицу К регулятора. Поэтому замкнутую систему формируют как бы с положительной обратной связью, без дополнительной инверсии сигнала в точке замыкания обратной связи.

При проектировании линейно-квадратичного регулятора, также как и модального регулятора, требование к точности замкнутой системы не фигурирует. Ещё одной проблемой является зависимость коэффициента передачи замкнутой системы от коэффициентов регулятора. Поэтому объект управления желательно дополнить интегральным регулятором с единичной отрицательной обратной связью от выхода, и проектировать регулятор для расширеного объекта. Число дополнительных интегральных регуляторов ограничено числом выходов, но может быть и меньшим, например одним. При этом для проектирования наблюдателя используют модель объекта без интегрального регулятора. Пример такой программы приводится ниже.

10.3 Вычисление матрицы К линейно-квадратичного регулятора

Так как вычисление матрицы К линейно-квадратичного регулятора подразумевает решение матричного уравнения Риккати, подразумевается использование Матлаба.

Для непрерывных объектов используются функции: lqr, lqry, lqrd, lqi.

Функция lqr возвращает матрицу К регулятора, ковариационную матрицу Р ошибок и столбец Е собственных чисел матрицы замкнутой системы