Математические основы преобразования формальной информации

Размещено на http://www.allbest.ru

Математические основы преобразования формальной информации

Андрейчиков Николай Иосифович,

кандидат экономических наук



1. ВВЕДЕНИЕ

Начнем с определения понятия «формальная информация». Для этого укажем на отличие существующего понятия «информация» от понятия «формальная информация».

Наиболее распространенное определение информации дано В. В. Лидовским в учебном пособии для студентов, изучающих курс «Теории информации».

«Информация -- нематериальная сущность, при помощи которой с любой точностью можно описывать реальные (материальные), виртуальные (возможные) и понятийные сущности. Информация -- противоположность неопределенности». формальный информация алгоритм

Как видим, под информацией понимается наличие знаний (смысла) в информации. При отсутствии знаний (смысла) в информации считается, что такая информация обладает неопределенностью (или является бессмысленной). Но с другой стороны, бессмысленная информация строится точно так же, как осмысленная информация. Вот эта общность осмысленной и неосмысленной информации и является сущностью формальной информации. Для этого формальная информация не учитывает наличие или отсутствие смысла в информации. Такой подход позволил обнаружить новые закономерности построения и преобразования формальной информации. Мы изучаем только дискретную формальную информацию. Построение формальной информации описано автором в статье «Математические основы построения информационных сообщений. Конструктивный подход» (Андрейчиков Н.И.).

В связи с отказом от учета смысла в информации, в формальной информации не используется такое понятие, как:

а) энтропия информации (Шеннон К.), так как этот показатель применим только к осмысленной в информации;

б) избыточность информации (Шеннон К.), так как этот показатель применим только к осмысленной информации.

Размер формальной информации определяется естественным образом, как количество элементов или символов в формальной информации. Причем под символом понимается любой объект материального и/или нематериального мира.

ФОРМАЛЬНАЯ ИНФОРМАЦИЯ - это конечное упорядоченное множество символов, которые являются копиями произвольных объектов материального и/или нематериального мира. Упорядочение состоит в том, что в формальной информации обязательно существует первый символ и последний символ. Каждый символ формальной информации, кроме первого символа, имеет предыдущий символ. Каждый символ формальной информации, кроме последнего символа, имеет последующий символ. Рядом расположенные символы формальной информации могут совпадать, однако один из них будет для другого последующим или предыдущим. Обмен местами двух различных символов формальной информации влечет изменение формальной информации. Обмен местами двух одинаковых символов формальной информации не изменяет формальную информацию.

Две формальные информации являются равными, если они имеют одинаковый размер, одинаковые символы и порядок следования этих символов совпадает. Во всех остальных случаях две формальные информации различны. Формальная информация является пустой, если она не содержит ни одного символа.

Символы, пригодные для использования в качестве элементов формальной информации должны обладать следующими свойствами:

а) Символы должны иметь общее свойство (характеристику) позволяющее однозначно идентифицировать символ.

б) Символы должны иметь общее свойство (характеристику) позволяющее однозначно устанавливать различие между символами. В частности, возможно совпадение свойства идентификации и свойства отличительного.

в) Количество различных символов должно быть не менее двух.

С математической точки зрения, формальная информация лучше всего описывается одномерным вектором, который в качестве элементов вектора содержит копии символов. Длина формальной информации - это количество символов во множестве или в векторе. Поскольку формальная информация конечна, то символы формальной информации можно пронумеровать натуральными числами от 1 до m - длины формальной информации. Причем первый символ формальной информации имеет номер 1, последний символ формальной информации имеет номер m. Все остальные символы формальной информации имеют номера от 2 до m-1. Каждый последующий символ формальной информации имеет больший номер, каждый предыдущий символ формальной информации имеет меньший номер. Номера символов в формальной информации назовем адресами символов в формальной информации. Таким образом, адрес символа в формальной информации изменяется от 1 до m. Начало отсчета номеров символов можно производить слева направо, как в европейских языках, или справа налево, как в арабских языках.

АЛФАВИТ формальной информации - это формальная информация, в которой все символы различны и встречаются ровно один раз. Длина алфавита - это количество символов в алфавите. Обозначим длину алфавита через N. Адреса символов в алфавите изменяются от 1 до N. Поскольку все символы в алфавите различны, то любая перестановка двух символов в алфавите влечет изменение алфавита в целом. С математической точки зрения алфавит - это одномерный вектор.

ИНВАРИАНТ формальной информации - это одномерный числовой вектор, в котором расположены адреса символов формальной информации в алфавите. Первое число в инварианте - это адрес первого символа формальной информации в алфавите. Второе число в инварианте - это адрес второго символа формальной информации в алфавите. Последнее число в инварианте - это адрес последнего символа формальной информации в алфавите. Таким образом, длина инварианта формальной информации равна длине формальной информации m, а каждое число в инварианте - это натуральное число от 1 до N. Числа инварианта формальной информации находятся во взаимно-однозначном соответствии с символами формальной информации. Таким образом, математической сущностью формальной информации является инвариант формальной информации. В дальнейшем в рамках этой стать вместо термина «инвариант формальной информации» будем использовать термин «инвариант». Два инварианта являются равными, если имеют одинаковый размер и все числа инвариантов, находящиеся по одному и тому же адресу в инвариантах, равны.

Если две формальные информации имеют различные инварианты, то эти две формальные информации различны. Если две формальные информации имеют равные инварианты, то эти две формальные информации равны в случае построения этих информаций с использованием одного и того же алфавита, и эти две информации не равны в случае построения этих информаций с использованием двух различных алфавитов.

В настоящей работе рассматривается преобразование одной формальной информации в другую формальную информацию. Поскольку математическим содержанием формальной информации является инвариант, то под преобразованием одной формальной информации в другую формальную информацию понимается вычисление чисел одного инварианта из чисел другого инварианта и, наоборот. Вычисление чисел производится путем прибавления или вычитания приращения - разницы между соответствующими числами двух инвариантов. На этой основе выводятся формулы алгоритмов преобразования формальной информации.

Основные результаты изучения преобразований формальной информации:

а) Произвольная формальная информация всегда преобразовывается в любую другую произвольную формальную информацию, в том числе в себя, независимо от размеров формальных информаций не менее чем двумя способами. Представлены математические методы и математические формулы преобразования формальной информации.

б) Произвольная формальная информация всегда имеет обратное преобразование.

в) Повторное преобразование формальной информации производится точно так же, как и первое преобразование, но с удвоенным приращением. Количество повторных преобразований формальной информации не ограничено.

Если рассматривать настоящую работу в целом, то в ней решены две укрупненные задачи:

а) По известным двум инвариантам двух формальных информаций вычисляется вектор приращений, с помощью которого преобразовывается одна формальная информация в другую формальную информацию.

б) По известному инварианту одной формальной информации вычисляется инвариант второй формальной информации путем задания (генерирования) чисел вектора приращений, что позволяет преобразовывать одну формальную информацию во вторую формальную информацию.

Результаты нашего исследования не противоречат ни одной существующей науке и не отрицают их достижения, так как ни одна наука не изучает формальную (бессмысленную) информацию.

Результаты формальной информации могут найти применение в генетике, биологии и других прикладных науках, где изучается формальная информация без наличия знаний в этой информации.



2. АЛГОРИТМ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФОРМАЛЬНОЙ ИНФОРМАЦИИ

2.1 Общие обозначения

Пример двух алфавитов представлен ниже на рисунках 1-9. Эти алфавиты мы в дальнейшем будем постоянно использовать для демонстрации примеров.

Рис. 1. Два алфавита, символы с номерами от 1 до 20.

Рис. 2. Продолжение двух алфавитов, символы с номерами от 21 до 40.

Рис. 3. Продолжение двух алфавитов, символы с номерами от 41 до 60.

Рис. 4. Продолжение двух алфавитов, символы с номерами от 61 до 80.

Рис. 5. Продолжение двух алфавитов, символы с номерами от 81 до 100.

Рис. 6. Продолжение двух алфавитов, символы с номерами от 101 до 120.

Рис. 7. Продолжение двух алфавитов, символы с номерами от 121 до 140.

Рис. 8. Продолжение двух алфавитов, символы с номерами от 141 до 160.

Рис. 9. Продолжение двух алфавитов, символ с номером 161.

Таблица на рисунках имеет 3 строки. В первой строке указаны адреса (или номера) символов в алфавитах. Во второй строке приводятся символы алфавита в порядке возрастания кода от наименьшего кода к наибольшему коду. В третьей строке приводится тот же самый алфавит, что и во второй строке, но со случайным расположением символов. Каждый алфавит содержит:

а) прописные и строчные буквы английского языка;

б) прописные и строчные буквы русского языка;

в) цифры от 0 до 9;

г) пробел;

д) знаки препинания;

е) знаки окончания предложения;

ж) прочие знаки.

Для целей изложения совершенно неважно различие между буквами, знаками, цифрами и прочими знаками. Поэтому в качестве общего термина будем употреблять термин «символ». При необходимости будем также использовать термины «буква» и «знак». Первый алфавит содержит упорядоченные по величине кода символы, поэтому буквы одинакового начертания на русском и английском языках находятся в разных местах. Буквы английского языка находятся вначале алфавита. Буквы русского языка находятся в конце алфавита.

Второй алфавит содержит случайную смесь букв и знаков из первого алфавита. Поэтому возникает проблема распознавания букв одинакового начертания. Русские буквы, одинакового начертания с буквами английского алфавита, во втором алфавите мы выделили подчеркнутым шрифтом, то есть русская буква «С» во втором алфавите изображена как С. Обращаем внимание на то, что это проблема исключительно для изложения настоящей работы, а не проблема науки.

Наши алфавиты насчитывают 161 символ, то есть N = 161. С помощью этих алфавитов можно создавать тексты на английском языке, тексты на русском языке, тексты, содержащие английские и русские слова и предложения. В принципе можно алфавит дополнить, например, строчными и прописными буквами испанского языка. В этом случае, с помощью такого алфавита можно создавать тексты на трех языках. Можно добавить прописные и строчные буквы всех стран мира. В этом случае, с помощью такого алфавита можно создавать тексты на всех языках мира. Обращаем внимание на то, что содержание этого абзаца не является какой-то научной новизной. Этот подход реализован во всех компьютерах.

Пусть имеются следующие данные:

A(1 до N) = {a₁, a₂, …, a_N}

Где:

A() - алфавит, единица измерения - количество копий символов;

a₁, a₂, …, a_N - копии символов;

N - длина алфавита, количество копий символов в алфавите.

T₁(1 до m) = {a_i, …}

Где:

T₁() - некоторая формальная информация, состоящая из копий символов алфавита A(), единица измерения - количество копий символов в формальной информации;

a_i - копия символа из алфавита с некоторого адреса;

m - длина формальной информации, единица измерения - количество копий символов в формальной информации.

T₂(1 до m) = {a_j, …}

T₂() - некоторая формальная информация, состоящая из копий символов алфавита A(), единица измерения - количество копий символов в формальной информации. T₂() может отличаться от T₁() или может совпадать с T₁();

a_j - копия символа из алфавита с некоторого адреса;

m - длина формальной информации, единица измерения - количество символов в формальной информации. Длина T₁() может совпадать с длиной T₂() или может не совпадать. В случае различия в длине мы будем указывать на это специально.

I₁(1 до m) = {k₁, k₂, …, k_m}

Где:

I₁() - инвариант формальной информации T₁(). Первое число инварианта - это адрес первого символа формальной информации T₁() в алфавите A(). Второе число инварианта - это адрес второго символа формальной информации T₁() в алфавите A(). Последнее число инварианта - это адрес последнего символа формальной информации T₁() в алфавите A();

k₁, k₂, …, k_m - конкретные величины адресов символов формальной информации T₁() в алфавите A();

m - длина инварианта формальной информации, равная длине информации T₁().

I₂(1 до m) = {p₁, p₂, …, p_m}

Где:

I₂() - инвариант формальной информации T₂(). Первое число инварианта - это адрес первого символа формальной информации T₂() в алфавите A(). Второе число инварианта - это адрес второго символа формальной информации T₂() в алфавите A(). Последнее число инварианта - это адрес последнего символа формальной информации T₂() в алфавите A();

p₁, p₂, …, p_m - конкретные величины адресов символов формальной информации T₂() в алфавите A();

m - длина инварианта формальной информации, равная длине информации T₂().

D(1 до m) = {d₁, d₂, …, d_m}

Где:

D() - вектор приращений или вектор преобразования, содержит числа, с помощью которых из чисел инварианта I₁() вычисляются числа инварианта I₂() или, наоборот, из чисел инварианта I₂() вычисляются числа инварианта I₁();

d₁, d₂, …, d_m - конкретные значения чисел вектора D();

m - длина вектора D(), равная длине большей формальной информации из T₁() и T₂(), если формальные информации имеют различную длину.

Формулировки основных задач, подлежащих разрешению:

а) найти числа D(), если известны числа I₁(1 до m), I₂(1 до m) и длина алфавита N;

б) найти числа I₂(1 до m), если известны числа I₁(1 до m), D() и длина алфавита N;

в) найти числа I₁(1 до m), если известны числа I₂(1 до m), D() и длина алфавита N;

г) найти числа D(), если известны числа I₁(1 до m), I₂(1 до s) и длина алфавита N;

д) найти числа I₂(1 до s), если известны числа I₁(1 до m), D() и длина алфавита N;

в) найти числа I₁(1 до m), если известны числа I₂(1 до s), D() и длина алфавита N.



2.2 Обоснование алгоритма (метода, способа) вычисления чисел одного инварианта из чисел другого инварианта

Пусть имеется два инварианта:

I₁(1 до m) = {k₁, k₂, …, k_m}

I₂(1 до m) = {p₁, p₂, …, p_m}

Найдем способ вычисления чисел p₁, p₂, …, p_m из чисел k₁, k₂, …, k_m. Рассмотрим, например, два числа p₁ и k₁. Поскольку это целые числа, то для вычисления числа k₁ необходимо к числу p₁ прибавить или отнять приращение d₁, которое также является целым числом от 1 до N. Для каждой пары чисел из инвариантов существует свое собственное приращение d_i. Все вычисленные приращения поместим в отдельный вектор D(1 до m) = {d₁, d₂, …, d_m}. Этот вектор играет исключительную роль в нашем исследовании. Поскольку приращение можно прибавлять или вычитать, то всегда существует два варианта преобразования одной и той же формальной информации в другую формальную информацию. Условно, в качестве первого варианта преобразования мы приняли вычисление чисел инварианта путем прибавления приращений. Соответственно, условно, в качестве второго варианта преобразования мы приняли вычисление чисел инварианта путем вычитания приращений.

Рассмотрим более подробно оба варианта вычисления приращений. При этом мы, полагаем, что оба инварианта нам известны. Неизвестным является только приращение. Наша цель состоит в вычислении чисел вектора приращений.

Первый вариант вычисления приращений:

k₁ + d₁ = p₁ > d₁ = p₁ - k₁

k₂ + d₂ = p₂ > d₂ = p₂ - k₂

…………..

k_m + d_m = p_m > d_m = p_m - k_m

Второй вариант вычисления приращений:

k₁ - d₁ = p₁ > d₁ = k₁ - p₁

k₂ - d₂ = p₂ > d₂ = k₂ - p₂

…………..

k_m - d_m = p_m > d_m = k_m - p_m

Как видим, абсолютная величина приращения в обоих вариантах одна и та же. Различие между ними только в знаке. В одном варианте, неизвестно каком, приращение положительное, а другом варианте, неизвестно каком, приращение отрицательное. Формулы для вычисления приращений в таком виде малопригодны для использования. Существует очень древний метод использования отрицательных чисел в виде дополнений положительного числа. Этот метод применялся во времена, когда люди не знали отрицательных чисел. Если приращение больше нуля и не превосходит N, то это приращение оставляем без изменений. Если приращение меньше единицы, то приращение заменяем дополнением приращения до числа N, то есть к приращению прибавляем N.

Таким образом, формулы вычисления приращения будут следующими:

Первый вариант вычисления приращений:

k₁ + d₁ = p₁ > d₁ = p₁ - k₁ Если d₁ < 1, то d₁ = p₁ - k₁ + N

k₂ + d₂ = p₂ > d₂ = p₂ - k₂ Если d₂ < 1, то d₂ = p₂ - k₂ + N

…………..

k_m + d_m = p_m > d_m = p_m - k_m Если d_m < 1, то d_m = p_m - k_m + N

Второй вариант вычисления приращений:

k₁ - d₁ = p₁ > d₁ = k₁ - p₁ Если d₁ < 1, то d₁ = k₁ - p₁ + N

k₂ - d₂ = p₂ > d₂ = k₂ - p₂ Если d₂ < 1, то d₂ = k₂ - p₂ + N

…………..

k_m - d_m = p_m > d_m = k_m - p_m Если d_m < 1, то d_m = k_m - p_m + N

Теперь приращения больше нуля и не превосходят N. Остается найти метод использования дополнения приращений до числа N.

Далее мы будем полагать, что нам известен первый инвариант и вектор преобразования с приращениями и/или дополнениями приращений. Поскольку нам неизвестно где приращение, а где дополнение приращения, то мы дважды вычислим числа второго инварианта: 1) при условии, что во всех случаях используется приращение; 2) при условии, что во всех случаях используется дополнение приращений.

Вычислим числа второго инварианта при условии, что во всех случаях используется приращение.

Первый вариант вычисления приращений:

p₁ = k₁ + d₁ > p₁ = k₁ + p₁ - k₁ > p₁ = p₁

p₂ = k₂ + d₂ > p₂ = k₂ + p₂ - k₂ > p₂ = p₂

…………..

p_m = k_m + d_m > p_m = k_m + p_m - k_m > p_m = p_m

Второй вариант вычисления приращений:

p₁ = k₁ - d₁ > p₁ = k₁ - k₁ + p₁ > p₁ = p₁

p₂ = k₂ - d₂ > p₂ = k₂ - k₂ + p₂ > p₂ = p₂

…………..

p_m = k_m - d_m > p_m = k_m - k_m + p_m > p_m = p_m

Как видим, уравнения превратились в тождества, то есть выполняются при всех значениях.

Вычислим числа второго инварианта при условии, что во всех случаях используется дополнение приращений.

Первый вариант вычисления приращений:

p₁ = k₁ + d₁ > p₁ = k₁ + p₁ - k₁ + N > p₁ = p₁+ N, что невозможно

p₂ = k₂ + d₂ > p₂ = k₂ + p₂ - k₂ + N > p₂ = p₂+ N, что невозможно

…………..

p_m = k_m + d_m > p_m = k_m + p_m - k_m + N > p_m = p_m+ N, что невозможно

Второй вариант вычисления приращений:

p₁ = k₁ - d₁ > p₁ = k₁ + p₁ - k₁ - N > p₁ = p₁ - N, что невозможно

p₂ = k₂ - d₂ > p₂ = k₂ + p₂ - k₂ - N > p₂ = p₂ - N, что невозможно

…………..

p_m = k_m - d_m > p_m = k_m + p_m - k_m - N > p_m = p_m - N, что невозможно

Рассмотрим выражение p₁ + N. Поскольку 1 <= p₁ <= N, то p₁ + N > N. Поэтому результат вычисления следует проверять на условие «больше N». Если условие выполняется, то использовано не приращение, а дополнение приращения. Поэтому для получения правильного результата необходимо вычесть N. Аналогично, поступаем для остальных случаев вычисления чисел второго инварианта.

Рассмотрим выражение p₁ - N. Поскольку 1 <= p₁ <= N, то p₁ - N < 1. Поэтому результат вычисления следует проверять на условие «меньше 1». Если условие выполняется, то использовано не приращение, а дополнение приращения. Поэтому для получения правильного результата необходимо прибавить N. Аналогично, поступаем для остальных случаев вычисления чисел второго инварианта.

Таким образом, использование дополнения приращения вместо приращения выявляется путем проверки результата вычисления на условие «больше N» и условие «меньше 1». Общий алгоритм вычисления чисел второго инварианта из чисел первого инварианта следующий:

Первый вариант вычисления приращений:

p₁ = k₁ + d₁ Если p₁ > N, то p₁ = k₁ + d₁ - N

p₂ = k₂ + d₂ Если p₂ > N, то p₂ = k₂ + d₂ - N

…………..

p_m = k_m + d_m Если p_m > N, то p_m = k_m + d_m - N

Второй вариант вычисления приращений:

p₁ = k₁ - d₁ Если p₁ < 1, то p₁ = k₁ - d₁ + N

p₂ = k₂ - d₂ Если p₂ < 1, то p₂ = k₂ - d₂ + N

…………..

p_m = k_m - d_m Если p_m < 1, то p_m = k_m - d_m + N

Иными словами, необходимо вычисленные числа второго инварианта проверять на условие «меньше 1» и на условие «больше N», не вдаваясь в вопрос об использовании дополнений приращений или приращений. Таким образом, для наших целей различие между приращением и дополнением приращения оказалось несущественно. Поэтому в дальнейшем мы будем употреблять термин приращение и в случаях, когда речь идет о дополнениях приращений. Если выполняется условие «больше N», то необходимо вычесть N. Если выполняется условие «меньше 1», то необходимо прибавить N. Заметим, что один и тот же результат вычислений не может одновременно удовлетворять обоим условиям.

Обращаем внимание на следующее: изложенное не является использованием теории вычетов (остатков от деления), так как остатки изменяются от 0 до N - 1, а у нас адреса изменяются от 1 до N. Если адрес равен нулю, то формулы и алгоритм не работают.

Выше нами установлено, что приращение, вычисленное по первому варианту, равно по абсолютной величине приращению, вычисленному по второму варианту. Если приращение положительно, то оно остается без изменения. Если приращение меньше 1, то мы заменяем его дополнением до N. Поэтому каждая пара приращений из первого и второго вариантов вычисления приращений обязательно содержит приращение и дополнение приращения до N. Следовательно, сумма, соответствующих пар приращений по первому и по второму варианту равна N. Это очень важное свойство, имеющее большое практическое значение.

Рассмотрим вариант, при котором приращение или дополнение приращения равно N. Поскольку в общем случае приращение вычисляется по формуле d₁ = p₁ - k₁ или d₁ = k₁ - p₁, то d₁ = N только в одном случае, при p₁ = k₁. Только в этом случае, d₁ = 0 и поэтому необходимо прибавлять N. Равенство соответствующих чисел инвариантов означает, что равны адреса символов в алфавите. Если используется один алфавит, то равенство адресов символов означает совпадение символов в двух формальных информациях. Поскольку соответствующие символы в одной формальной информации полностью совпадают с символами во второй формальной информации, то формальные информации идентичны. Следовательно, равенство отдельных чисел вектора приращения числу N означает преобразование этих символов самих в себя. Равенство всех чисел вектора приращения числу N означает преобразование всей формальной информации в себя. Таким образом, преобразование различных видов формальной информации в себя осуществляется одним и тем же вектором приращения различной длины. Этот вывод действителен только при использовании одного алфавита. Как мы покажем далее, при использовании двух алфавитов d₁ = N означает совпадение адресов, но, не обязательно, хотя и возможно, совпадение символов.

Найдем способ вычисления чисел k₁, k₂, …, k_m из чисел p₁, p₂, …, p_m. Для этого найдем способ вычисления вектора приращений. Ранее мы нашли способ вычисления вектора приращений при вычислении чисел p₁, p₂, …, p_m из чисел k₁, k₂, …, k_m. Воспользуемся симметрией и в способе вычисления вектора приращений и заменим символ «p» символом «k», а символ «k» заменим символом «p». Получим следующий результат:

Способ вычисления вектора приращений при вычислении чисел k₁, k₂, …, k_m из чисел p₁, p₂, …, p_m.

Первый вариант вычисления приращений:

p₁ + d₁ = k₁ > d₁ = k₁ - p₁ Если d₁ < 1, то d₁ = k₁ - p₁ + N

p₂ + d₂ = k₂ > d₂ = k₂ - p₂ Если d₂ < 1, то d₂ = k₂ - p₂ + N

…………..

p_m + d_m = k_m > d_m = k_m - p_m Если d_m < 1, то p_m = k_m - p_m + N

Второй вариант вычисления приращений:

p₁ - d₁ = k₁ > d₁ = p₁ - k₁ Если d₁ < 1, то d₁ = p₁ - k₁ + N

p₂ - d₂ = k₂ > d₂ = p₂ - k₂ Если d₂ < 1, то d₂ = p₂ - k₂ + N

…………..

p_m - d_m = k_m > d_m = p_m - k_m Если d_m < 1, то d_m = p_m - k_m + N

Как видим, первый вариант вычисления приращений в случае вычисления чисел p₁, p₂, …, p_m из чисел k₁, k₂, …, k_m совпадает со вторым вариантом вычисления приращений в случае вычисления чисел k₁, k₂, …, k_m из чисел p₁, p₂, …, p_m. Второй вариант вычисления приращений в случае вычисления чисел p₁, p₂, …, p_m из чисел k₁, k₂, …, k_m совпадает с первым вариантом вычисления приращений в случае вычисления чисел k₁, k₂, …, k_m из чисел p₁, p₂, …, p_m.

Таким образом, первый и второй варианты вычисления приращений - это есть вычисление приращений для прямого преобразования формальной информации и обратного преобразования формальной информации.

Общий алгоритм вычисления чисел первого инварианта из чисел второго инварианта следующий:

Первый вариант вычисления приращений:

k₁ = p₁ + d₁ Если k₁ > N, то k₁ = p₁ + d₁ - N

k₂ = p₂ + d₂ Если k₂ > N, то k₂ = p₂ + d₂ - N

……..

k_m = p_m + d_m Если k_m > N, то k_m = p_m + d_m - N

Второй вариант вычисления приращений:

k₁ = p₁ - d₁ Если k₁ < 1, то k₁ = p₁ - d₁ + N

k₂ = p₂ - d₂ Если k₂ < 1, то k₂ = p₂ - d₂ + N

…………..

k_m = p_m - d_m Если k_m < 1, то k_m = p_m - d_m + N

Поскольку при использовании единственного алфавита все виды формальной информации одинаковой длины преобразовываются в себя одним и тем же вектором приращений, то количество различных векторов приращения равно на единицу меньше максимальной длине алфавита, используемого для построения формальной информации. Все вектора приращений перечислены далее: {N, N}, {N, N, N}, {N, N, N, N} …

Если преобразовывается одна формальная информацию в другую не равную формальную информацию при условии отсутствия совпадающих символов, то количество вариантов преобразования вычисляется как (N - 1)^m, где N - длина алфавита; m - длина информации. Один символ в алфавите не учитываем - это преобразование символа в себя.



2.3 Особенности преобразования формальной информации с использованием двух алфавитов

Самой важной характеристикой алфавита является длина алфавита N. От величины этого показателя зависит содержание вектора приращений и содержание инварианта формальной информации. Поэтому для преобразования формальной информации с использованием двух алфавитов необходимо, чтобы второй алфавит имел ту же самую длину N. Содержание второго алфавита может быть произвольным. Мы считаем, что второй алфавит по содержанию может быть следующим:

а) Символы второго алфавита совпадают с символами первого алфавита по содержанию, но порядок следования символов во втором алфавите полностью или частично отличается от порядка следования символов в первом алфавите.

б) Все символы второго алфавита по содержанию отличны от символов первого алфавита.

в) Символы второго алфавита по содержанию частично совпадают с символами первого алфавита.

Рассмотрим более подробно каждый из вариантов содержания символов во втором алфавите.

2.3.1 Второй алфавит отличается от первого алфавита только порядком следования одних и тех же символов

Поскольку у нас два алфавита, то естественно предположить, что одна формальная информация строится по первому алфавиту, а другая формальная информация строится по второму алфавиту. Это предположение соответствует нашим представлениям о создании любой формальной информации при наличии алфавита и инварианта.

Таким образом, у нас имеются два инварианта:



I₁(1 до m) = {k₁, k₂, …, k_m}

I₂(1 до m) = {p₁, p₂, …, p_m}

Нам необходимо найти числа второго инварианта из чисел первого инварианта и, наоборот, найти числа первого инварианта из чисел второго инварианта. При описании теории в п. 2.2 мы не ограничивали себя рассмотрением преобразования формальной информации только по одному алфавиту. Поэтому изложенная выше теория применима для преобразования формальной информации с использованием двух алфавитов. Преобразование формальной информации с использованием одного алфавита и преобразование формальной информации с использованием двух алфавитов осуществляется по одним и тем формулам. Важность отдельного рассмотрения варианта преобразования формальной информации с использованием двух алфавитов от варианта преобразования формальной информации с использованием трех и более алфавитов состоит в том, что мы рассматриваем преобразование двух формальных информаций между собой.

При использовании двух алфавитов, преобразование формальной информации в себя изменяется. Дело в том, что одна и та же формальная информация имеет два различных инварианта: по первому алфавиту и по второму алфавиту. Поэтому количество различных векторов приращения для преобразования формальной информации изменяется и вычисляется по формуле: (N - 1)^m, где m - длина информации; N - длина алфавита.

Мы много внимания уделяем преобразованию информации в себя по одной единственной причине: закономерности преобразования формальной информации, описанные нами, универсальны и используются в живой природе для воспроизводства себе подобных. При использовании для размножения одного алфавита весь вид размножается по одному единственному алгоритму, что весьма чревато фатальными последствиями при малейшем сбое. При использовании для размножения двух алфавитов (половое размножение) каждый организм воспроизводит себя по своему собственному вектору приращения. Ошибка в воспроизводстве одного организма не сказывается на воспроизводстве всего вида в целом. Вот почему в живой природе господствует половое размножение.

Если предположить, что N - это количество генов в геноме живого организма (не менее 2000), то при m = 100000 (минимальная длина генома живых организмов) количество преобразований одного организма в себя при половом размножении равно 2000¹⁰⁰⁰⁰⁰ = 2*10³⁰⁰⁰⁰⁰. Это чудовищно много. Вот почему из человека почти всегда получается человек. Из мухи почти всегда получается муха. Для вычислений мы использовали данные Тарантул В.З.

2.3.2 Все символы второго алфавита по содержанию отличаются от символов первого алфавита

Этот вариант преобразования практически ничем не отличается от преобразования с использованием одного алфавита. Дело в том, что при равной длине первого и второго алфавитов придется считать, что первый символ первого алфавита соответствует первому символу второго алфавита, второй символ первого алфавита соответствует второму символу второго алфавита и т.д. Инвариант формальной информации по первому алфавиту в этом случае равен инварианту формальной информации по второму алфавиту. А это означает фактическое использование одного алфавита. Второй алфавит является, в этом случае, другим изображением первого алфавита. Поэтому рассматривать подробно этот вариант мы будем.

2.3.3 Символы второго алфавита по содержанию частично совпадают с символами первого алфавита

В этом случае, количество символов в первом алфавите, не совпадающих с символами во втором алфавите, равно количеству символов во втором алфавите, не совпадающих с символами в первом алфавите. Чтобы произвести преобразование формальной информации необходимо установить соответствие между несовпадающими символами в первом и во втором алфавитах. Если адреса символов в алфавитах будут одинаковы, то это является преобразованием с использованием одного алфавита. Если, хотя бы некоторые символы алфавитов имеют различные адреса, то это является преобразованием с использованием двух алфавитов. Эти варианты нами рассмотрены выше.

2.4 Преобразование одной формальной информации в другую формальную информацию в случае различных размеров формальных информаций

Пусть имеется два инварианта:

I₁(1 до m) = {k₁, k₂, …, k_m}

Где: k₁ - число от 1 до N;

k₂ - число от 1 до N, может быть равно k₁;

k_m - число от 1 до N, может быть равно любому предыдущему числу;

m - длина инварианта, равная длине первой формальной информации.

I₂(1 до s) = {p₁, p₂, …, p_s}

Где: p₁ - число от 1 до N;

p₂ - число от 1 до N, может быть равно p₁;

p_s - число от 1 до N, может быть равно любому предыдущему числу;

s - длина инварианта, равная длине второй формальной информации.

Найдем способ вычисления чисел p₁, p₂, …, p_m из чисел k₁, k₂, …, k_s при условии m ? s.

...