Математические основы преобразования формальной информации

Для того чтобы определить какие свойства формальной информации (какие гены в геноме) относятся к свойствам класса (относятся к свойствам вида организма) необходимо проанализировать оба алфавита и найти одинаковые символы имеющие одинаковый адрес в обоих алфавитах (проанализировать спираль ДНК и найти одинаковые гены, расположенные напротив друг друга). Все остальные символы (гены в двойной спирали) характеризуют индивидуальные свойства формальной информации (индивидуальные свойства организма).

Простейший способ изменения расположения символов в алфавите заключается в обмене местами двух символов. Эти два символа становятся носителями индивидуальных свойств.

Для того чтобы изменить адреса всех символов второго алфавита можно первый символ в алфавите поместить на место последнего символа в алфавите, а все вышестоящие символы сдвинуть вверх на единицу. В результате все символы в обоих алфавитах станут носителями индивидуальных свойств. Этот метод можно применять для любого подмножества символов в алфавите. Для этого первый символ в подмножестве символов в алфавите следует поместить на место последнего символа в подмножестве символов в алфавите, а все вышележащие символы в подмножестве алфавита сдвинуть на единицу вверх. В результате символы в подмножестве символов в алфавите станут носителями индивидуальных свойств. Можно не первый символ подмножества символов в алфавите перемещать на место последнего символа в подмножестве символов в алфавите, а последний символ в подмножестве символов в алфавите перемещать на место первого символа в подмножестве символов в алфавите. В этом случае, нижележащие символы в подмножестве символов в алфавите следует сдвинуть на единицу вниз.

Если два алфавита имеют разные размеры, то наибольший алфавит усекается до наименьшего алфавита.



3. ПРИМЕРЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ АЛГОРИТМА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФОРМАЛЬНОЙ ИНФОРМАЦИИ

3.1 Преобразование одной формальной информации в другую формальную информацию

Возьмем для примера слова формальной информации: 1) Война; 2) Песец. Инвариант слова «Война» - это вектор, содержащий адреса букв слова «Война» в первом алфавите. Для слова «Песец» инвариант определяется точно также.

Введем обозначение инвариантов:

I₁₁() - инвариант для слова «Война» по первому алфавиту. Это вектор длиной 5, содержащий адреса букв из слова «Война» в первом алфавите. Первая цифра индекса обозначает номер алфавита, а вторая - номер слова.

I₂₂() - инвариант для слова «Песец» по второму алфавиту. Это вектор длиной 5, содержащий адреса букв из слова «Песец» во втором алфавите. Первая цифра индекса обозначает номер алфавита, а вторая - номер слова.

D₁() - вектор приращений для преобразования слова «Война» в слово «Песец» при использовании первого варианта вычисления приращений (суммирования) и первого алфавита для слова «Война» и второго алфавита для слова «Песец».

D₂() - вектор приращений для преобразования слова «Война» в слово «Песец» при использовании второго варианта вычисления приращений (вычитания) и первого алфавита для слова «Война» и второго алфавита для слова «Песец».

D₃() - вектор приращений для преобразования слова «Песец» в слово «Война» при использовании первого варианта вычисления приращений (суммирования) и первого алфавита для слова «Война» и второго алфавита для слова «Песец».

D₄() - вектор приращений для преобразования слова «Песец» в слово «Война» при использовании второго варианта вычисления приращений (вычитания) и первого алфавита для слова «Война» и второго алфавита для слова «Песец».

Конкретные значения инвариантов взяты нами из алфавитов на рисунках 1-9.

I₁₁() = {99, 143, 138, 142, 129}

I₂₂() = {74, 145, 11, 145, 17}

Вычислим вектор приращений D₁() для вычисления чисел I₂₂() из чисел I₁₁() путем прибавления приращения.

99 + d₁ = 74 > d₁ = 74 - 99 = -25 < 1 > d₁ = 74 - 99 + 161 = 136

143 + d₂ = 145 > d₂ = 145 - 143 = 2

138 + d₃ = 11 > d₃ = 11 - 138 = -127 < 1 > d₃ = 11 - 138 + 161 = 34

142 + d₄ = 145 > d₄ = 145 - 142 = 3

129 + d₅ = 17 > d₅ = 17 - 129 = -112 < 1 > d₅ = 17 - 129 + 161 = 49

D₁() = {136, 2, 34, 3, 49}

Вычислим вектор приращений D₂()для вычисления чисел I₂₂() из чисел I₁₁() путем вычитания приращения.

99 - d₁ = 74 > d₁ = 99 - 74 = 25

143 - d₂ = 145 > d₂ = 143 - 145 = -2 < 1 > d₂ = 143 - 145 + 161 = 159

138 - d₃ = 11 > d₃ = 138 - 11 = 127

142 - d₄ = 145 > d₄ = 142 - 145 = -3 < 1 > d₄ = 142 - 145 + 161 = 158

129 - d₅ = 17 > d₅ = 129 - 17 = 112

D₂() = {25, 159, 127, 158, 112}

Как видим, сумма чисел, имеющих одинаковый индекс в векторах D₁() и D₂() равна N = 161.

D₁() = {136, 2, 34, 3, 49}

D₂() = {25, 159, 127, 158, 112}

Вычислим вектор приращений D₃() для вычисления чисел I₁₁() из чисел I₂₂() путем прибавления приращения.

74 + d₁ = 99 > d₁ = 99 - 74 = 25

145 + d₂ = 143 > d₂ = 143 - 145 = -2 < 1 > d₂ = 143 - 145 + 161 = 159

11 + d₃ = 138 > d₃ = 138 - 11 = 127

145 + d₄ = 142 > d₄ = 142 - 145 = -3 < 1 > d₄ = 142 - 135 + 161 = 158

17 + d₅ = 129 > d₅ = 129 - 17 = 112

D₃() = {25, 159, 127, 158, 112}

Вычислим вектор приращений D₄() для вычисления чисел I₁₁() из чисел I₂₂() путем вычитания приращения.

74 - d₁ = 99 > d₁ = 74 - 99 = -25 < 1 > d₁ = 74 - 99 + 161 = 136

145 - d₂ = 143 > d₂ = 145 - 143 = 2

11 - d₃ = 138 > d₃ = 11 - 138 = -127 < 1 > d₃ = 11 - 138 + 161 = 34

145 - d₄ = 142 > d₄ = 145 - 142 = 3

17 - d₅ = 129 > d₅ = 17 - 129 = -112 < 1 > d₅ = 17 - 129 + 161 = 49

D₄() = {136, 2, 34, 3, 49}

Как видим, сумма чисел, имеющих одинаковый индекс в векторах D₃() и D₄() равна N = 161.

D₃() = {25, 159, 127, 158, 112}

D₄() = {136, 2, 34, 3, 49}

Кроме того, D₁() = D₄() и D₂() = D₃(), что соответствует изложенной выше теории преобразования одной формальной информации в другую и, наоборот.

Вычислим числа инварианта I₂₂() при условии, что известен инвариант I₁₁() и вектор приращений D₁().

I₁₁() = {99, 143, 138, 142, 129}

D₁() = {136, 2, 34, 3, 49}

p₁ = 99 + 136 = 235 > 161 > p₁ = 99 + 136 - 161 = 74

p₂ = 143 + 2 = 145

p₃ = 138 + 34 = 172 > 161 > p₃ = 138 + 34 - 161 = 11

p₄ = 142 + 3 = 145

p₅ = 129 + 49 = 178 > 161 > p₅ = 129 + 49 - 161 = 17

I₂₂() = {74, 145, 11, 145, 17}

Как видим, числа вектора I₂₂() вычислены правильно.

Вычислим числа инварианта I₂₂() при условии, что известен инвариант I₁₁() и вектор приращений D₂().

I₁₁() = {99, 143, 138, 142, 129}

D₂() = {25, 159, 127, 158, 112}

p₁ = 99 - 25 = 74

p₂ = 143 - 159 = -16 < 1 > p₂ = 143 - 159 + 161 = 145

p₃ = 138 - 127 = 11

p₄ = 142 - 158 = -16 < 1 > p₄ = 142 - 158 + 161 = 145

p₅ = 129 - 112 = 17

I₂₂() = {74, 145, 11, 145, 17}

Как видим, числа вектора I₂₂() вычислены правильно.

Вычислим числа инварианта I₁₁() при условии, что известен инвариант I₂₂() и вектор приращений D₃().

I₂₂() = {74, 145, 11, 145, 17}

D₃() = {25, 159, 127, 158, 112}

p₁ = 74 + 25 = 99

p₂ = 145 + 159 = 304 > 161 > p₂ = 145 + 159 - 161 = 143

p₃ = 11 + 127 = 138

p₄ = 145 + 158 = 303 > 161 > p₄ = 145 + 158 - 161 = 142

p₅ = 17 + 112 = 129

I₁₁() = {99, 143, 138, 142, 129}

Как видим, числа вектора I₁₁() вычислены правильно.

Вычислим числа инварианта I₁₁() при условии, что известен инвариант I₂₂() и вектор приращений D₄().

I₂₂() = {74, 145, 11, 145, 17}

D₄() = {136, 2, 34, 3, 49}

p₁ = 74 - 136 = -62 < 1 > p₁ = 74 - 136 + 161 = 99

p₂ = 145 - 2 = 143

p₃ = 11 - 34 = -23 < 1 > p₃ = 11 - 34 + 161 = 138

p₄ = 145 - 3 = 142

p₅ = 17 - 49 = -32 < 1 > p₅ = 17 - 49 + 161 = 129

I₁₁() = {99, 143, 138, 142, 129}

Как видим, числа вектора I₁₁() и вектора I₂₂() вычислены правильно.

С точки зрения знаний человека слово «Война» и слово «Песец» абсолютно разные понятия и связи между ним нет. Формальная информация ничего не знает о знаниях и рассматривает эти слова как формальную информацию, не имеющую никакого смысла. Поэтому в формальной информации ничего нет не естественного в преобразовании слова «Война» в слово «Песец» и, наоборот. Да еще не одним единственным образом.

3.2. Повторное преобразование формальной информации.

В предыдущем примере мы из чисел инварианта I₁₁() вычислили числа инварианта I₂₂() с использованием вектора приращений D₁(). Повторное преобразование формальной информации означает, что необходимо из чисел инварианта I₂₂() вычислить числа нового инварианта I₃() = {q₁, q₂, q₃, q₄, q₅}c использованием того же самого вектора приращений D₁().

I₂₂() = {74, 145, 11, 145, 17}

D₁() = {136, 2, 34, 3, 49}

q₁ = 74 + 136 = 210 > 161 > q₁ = 74 + 136 - 161 = 49

q₂ = 145 + 2 = 147

q₃ = 11 + 34 = 45

q₄ = 145 + 3 = 148

q₅ = 17 + 49 = 66

I₃() = {49, 147, 45, 148, 66}

Теория гласит, что тот же самый инвариант I₃() можно вычислить из инварианта I₁₁() с использованием того же самого вектора приращений D₁(), но с умножением чисел вектора приращений на 2. Это утверждение мы и проверим.

I₁₁() = {99, 143, 138, 142, 129}

D₁() = {136, 2, 34, 3, 49}

q₁ = 99 + 2Ч136 = 371 > 161 > q₁ = 99 + 2Ч136 - 161 = 210 > 161 > q₁ = 99 + 2Ч136 - 161 -161 = 49

q₂ = 143 + 2Ч2 = 147

q₃ = 138 + 2Ч34 = 206 > 161 > q₃ = 138 + 2Ч34 - 161 = 45

q₄ = 142 + 2Ч3 = 148

q₅ = 129 + 2Ч49 = 227 > 161 > q₅ = 129 + 2Ч49 - 161 = 66

I₃() = {49, 147, 45, 148, 66}

Как видим, теоретические положения полностью подтверждаются практикой.

3.3 Преобразование формальной информации в себя

Возьмем для примера слова формальной информации: 1) Война; 2) Песец. Инвариант слова «Война» - это вектор, содержащий адреса букв слова «Война» в первом алфавите (базисе). Для слова «Песец» инвариант определяется точно также.

I₁₁() = {99, 143, 138, 142, 129}

I₂₂() = {74, 145, 11, 145, 17}

Вычислим вектор приращений D₁() для вычисления чисел инварианта I₁₁() из чисел инварианта I₁₁() путем прибавления приращения.

99 + d₁ = 99 > d₁ = 99 - 99 = 0 < 1 > d₁ = 99 - 99 + 161 = 161

143 + d₂ = 143 > d₂ = 143 - 143 = 0 < 1 > d₂ = 143 - 143 + 161 = 161

138 + d₃ = 138 > d₃ = 138 - 138 = 0 < 1 > d₃ = 138 - 138 + 161 = 161

142 + d₄ = 142 > d₄ = 142 - 142 = 0 < 1 > d₄ = 142 - 142 + 161 = 161

129 + d₅ = 129 > d₅ = 129 - 129 = 0 < 1 > d₅ = 129 - 129 + 161 = 161

D₁() = {161, 161, 161, 161, 161}

Вычислим вектор приращений D₂() для вычисления чисел инварианта I₁₁() из чисел инварианта I₁₁() путем вычитания приращения.

99 - d₁ = 99 > d₁ = 99 - 99 = 0 < 1 > d₁ = 99 - 99 + 161 = 161

143 - d₂ = 143 > d₂ = 143 - 143 = 0 < 1 > d₂ = 143 - 143 + 161 = 161

138 - d₃ = 138 > d₃ = 138 - 138 = 0 < 1 > d₃ = 138 - 138 + 161 = 161

142 - d₄ = 142 > d₄ = 142 - 142 = 0 < 1 > d₄ = 142 - 142 + 161 = 161

129 - d₅ = 129 > d₅ = 129 - 129 = 0 < 1 > d₅ = 129 - 129 + 161 = 161

D₂() = {161, 161, 161, 161, 161}

Вычислим вектор приращений D₃() для вычисления чисел инварианта I₂₂() из чисел инварианта I₂₂() путем прибавления приращения.

74 + d₁ = 74 > d₁ = 74 - 74 = 0 < 1 > d₁ = 74 - 74 + 161 = 161

145 + d₂ = 145 > d₂ = 145 - 145 = 0 < 1 > d₂ = 145 - 145 + 161 = 161

11 + d₃ = 11 > d₃ = 11 - 11 = 0 < 1 > d₃ = 11 - 11 + 161 = 161

145 + d₄ = 145 > d₄ = 145 - 145 = 0 < 1 > d₄ = 145 - 145 + 161 = 161

17 + d₅ = 17 > d₅ = 17 - 17 = 0 < 1 > d₅ = 17 - 17 + 161 = 161

D₃() = {161, 161, 161, 161, 161}

Вычислим вектор приращений D₄() для вычисления чисел инварианта I₂₂() из чисел инварианта I₂₂() путем вычитания приращения.

74 - d₁ = 74 > d₁ = 74 - 74 = 0 < 1 > d₁ = 74 - 74 + 161 = 161

145 - d₂ = 145 > d₂ = 145 - 145 = 0 < 1 > d₂ = 145 - 145 + 161 = 161

11 - d₃ = 11 > d₃ = 11 - 11 = 0 < 1 > d₃ = 11 - 11 + 161 = 161

145 - d₄ = 145 > d₄ = 145 - 145 = 0 < 1 > d₄ = 145 - 145 + 161 = 161

17 - d₅ = 17 > d₅ = 17 - 17 = 0 < 1 > d₅ = 17 - 17 + 161 = 161

D₄() = {161, 161, 161, 161, 161}

Мы вычислили вектора для двух различных слов «Война» и «Песец» по разным алфавитам. Результат один и тот же. Это означает, что при использовании единственного алфавита все виды информации одинаковой длины преобразовываются в себя одним и тем же вектором приращений.

Далее рассмотрим преобразование слова формальной информации «Война» в слово «Война» с использованием двух алфавитов. Для этого необходимо знать инвариант слова «Война» по первому алфавиту и инвариант слова «Война» по второму алфавиту. Ранее мы уже эти инварианты использовали в п. 3.1.

I₁₁() = {99, 143, 138, 142, 129} - это по первому алфавиту.

I₂₁() = {56, 20, 39, 128, 63} - это по второму алфавиту.

Вычислим вектор приращений D₁() для вычисления чисел инварианта I₂₁() из чисел инварианта I₁₁() путем прибавления приращения.

99 + d₁ = 56 > d₁ = 56 - 99 = -43 < 1 > d₁ = 56 - 99 + 161 = 118

143 + d₂ = 20 > d₂ = 20 - 143 = -123 < 1 > d₂ = 20 - 143 + 161 = 38

138 + d₃ = 39 > d₃ = 39 - 138 = -99 < 1 > d₃ = 38 - 138 + 161 = 62

142 + d₄ = 128 > d₄ = 128 - 142 = -14 < 1 > d₄ = 128 - 142 + 161 = 147

129 + d₅ = 63 > d₅ = 63 - 129 = -66 < 1 > d₅ = 63 - 129 + 161 = 95

D₁() = {118, 38, 62, 147, 95}

Вычислим вектор приращений D₂() для вычисления чисел инварианта I₂₁() из чисел инварианта I₁₁() путем вычитания приращения.

99 - d₁ = 56 > d₁ = 99 - 56 = 43

143 - d₂ = 20 > d₂ = 143 - 20 = 123

138 - d₃ = 39 > d₃ = 138 - 39 = 99

142 - d₄ = 128 > d₄ = 142 - 128 = 14

129 - d₅ = 63 > d₅ = 129 - 63 = 66

D₂() = {43, 123, 99, 14, 66}

Как видим, сумма чисел, имеющих одинаковый индекс в векторах D₁() и D₂() равна N = 161.

D₁() = {118, 38, 62, 147, 95}

D₂() = {43, 123, 99, 14, 66}

Вычислим вектор приращений D₃() для вычисления чисел I₁₁() из чисел I₂₁() путем прибавления приращения.

56 + d₁ = 99 > d₁ = 99 - 56 = 43

20 + d₂ = 143 > d₂ = 143 - 20 = 123

39 + d₃ = 138 > d₃ = 138 - 39 = 99

128 + d₄ = 142 > d₄ = 142 - 128 = 14

63 + d₅ = 129 > d₅ = 129 - 63 = 66

D₃() = {43, 123, 99, 14, 66}

Вычислим вектор отображения D₄() для вычисления чисел инварианта I₁₁() из чисел инварианта I₂₁() путем вычитания приращения.

56 - d₁ = 99 > d₁ = 56 - 99 = -43 < 1 > d₁ = 56 - 99 + 161 = 118

20 - d₂ = 143 > d₂ = 20 - 143 = -123 < 1 > d₂ = 20 - 143 + 161 = 38

39 - d₃ = 138 > d₃ = 39 - 138 = -99 < 1 > d₃ = 69 - 138 + 161 = 62

128 - d₄ = 142 > d₄ = 128 - 142 = -14 < 1 > d₄ = 128 - 142 + 161 = 147

63 - d₅ = 129 > d₅ = 63 - 129 = -66 < 1 > d₅ = 63 - 129 + 161 = 95

D₄() = {118, 38, 62, 147, 95}

Как видим, сумма чисел, имеющих одинаковый индекс в векторах D₃() и D₄() равна N = 161.

D₃() = {43, 123, 99, 14, 66}

D₄() = {118, 38, 62, 147, 95}

Кроме того, D₁() = D₄() и D₂() = D₃(), что соответствует изложенной выше теории.

Кроме того, самое главное: преобразование формальной информации в себя с использованием двух алфавитов производится по индивидуальному вектору приращений. Преобразование формальной информации в себя с использованием одного алфавита производится по одному единственному вектору приращений.



4. ВЫВОДЫ

Для того чтобы не учитывать знания в формальной информации, необходимо исследовать математическую сущность формальной информации - инвариант формальной информации. Преобразование одной формальной информации в другую формальную информацию заменяется вычислением натуральных чисел одного инварианта из натуральных чисел другого инварианта. Для вычисления чисел инварианта используется приращение (разница между числами инвариантов) или дополнение приращения до длины алфавита. Применение дополнения приращения выявляется формальным образом: путем проверки вычисленных значений на условие «больше длины алфавита» и на условие «меньше единицы». Если вычисленное значение больше длины алфавита, то из вычисленного значения необходимо вычесть длину алфавита. Если вычисленное значение меньше единицы, то к вычисленному значению необходимо прибавить длину алфавита.

Произвольная формальная информация преобразуется в другую произвольную формальную информацию, кроме преобразования в себя, двумя способами при одном алфавите независимо от размеров обеих формальных информаций. При использовании другого алфавита произвольная формальная информация преобразовывается в другую произвольную формальную информацию, кроме преобразования в себя, с помощью другого вектора приращений независимо от размеров обеих формальных информаций.

Произвольная формальная информация при использовании произвольного одного алфавита преобразуется в себя одним единственным способом - вектором приращений, все числа которого равны длине алфавита.

При использовании двух алфавитов, когда одна формальная информация строится по одному алфавиту, а вторая формальная информация строится по другому алфавиту, и символы алфавитов совпадают, но имеют разные порядки следования в алфавитах, преобразование формальной информации в себя осуществляется различными векторами приращений. Иными словами, при использовании двух алфавитов преобразование формальной информации в себя не отличается от преобразования формальной информации в другую формальную информацию.

Каждое преобразование одной формальной информации в другую формальную информацию обязательно имеет обратное преобразование другой формальной информации в первую формальную информацию.

Повторное преобразование формальной информации - это первое преобразование формальной информации, но с удвоенным приращением. Повторное преобразование повторного преобразования формальной информации осуществляется с утроенным приращением. Этот процесс можно неограниченно продолжать.

Преобразование формальной информации при одном единственном значении приращения создает новую формальную информацию, в которой символы заменяются однозначно на другие символы. То есть реализуется однозначная замена одних символов на другие символы.

Преобразование формальной информации в случае, когда вектор приращений содержит N различных чисел, где N - длина алфавита, создает новую формальную информацию, в которой символы подчинены равномерному закону распределения вероятностей.

Описанные в настоящей работе алгоритмы преобразования формальной информации применимы в любых системах.



ЛИТЕРАТУРА

1. Андрейчиков Н. И., Андрейчикова В. Н. Математические основы построения информационных сообщений (конструктивный подход). Объединенный научный журнал, Москва, Агентство научной печати, 2009, N12 (230), 78 с.

2. Лидовский В. В. Теория информации. М., Компания Спутник+, 2004, 111 с.

3. Тарантул В. З. Геном человека: Энциклопедия, написанная четырьмя буквами. М., Языки славянской культуры, 2003, 392 с.

4. Шеннон К. Работы по теории информации и кибернетике. Перевод с английского. Под редакцией Р.Л. Добрушина и О.Б. Лупанова. С предисловием А.Н. Колмогорова. Издательство иностранной литературы, Москва, 1963, 827 с.

Размещено на Allbest.ru

...