Математические основы преобразования формальной информации

Положим для определенности m < s.



2.4.1 Способ вычисления вектора приращений для вычисления чисел p₁, p₂, …, p_m из чисел k₁, k₂, …, k_s:

Первый вариант вычисления приращений:

k₁ + d₁ = p₁ > d₁ = p₁ - k₁ Если d₁ < 1, то d₁ = p₁ - k₁ + N

k₂ + d₂ = p₂ > d₂ = p₂ - k₂ Если d₂ < 1, то d₂ = p₂ - k₂ + N

…………..

k_m + d_m = p_m > d_m = p_m - k_m Если d_m < 1, то d_m = p_m - k_m + N

Далее существует два варианта продолжения вычислений:

а) естественный порядок вычислений, заключающийся в повторении выбора значений инварианта I₁() с самого начала. Так может повторяться не единожды. Мы условно считаем, что одного повторения достаточно. Максимальное количество повторных считываний может достигать s-1 при m=1.

k₁ + d_m+1 = p_m+1 > d_m+1 = p_m+1 - k₁ Если d_m+1 < 1, то d_m+1 = p_m+1 - k₁ + N

k₂ + d_m+2 = p_m+2 > d_m+2 = p_m+2 - k₂ Если d_m+2 < 1, то d_m+2 = p_m+2 - k₂ + N

…………

k_s-m + d_s = p_s > d_s = p_s - k_s-m Если d_s < 1, то d_s = p_s - k_s-m + N

б) рациональный порядок вычислений, заключающийся в использовании адреса одного и того же символа, например, адрес пробела. Обозначим адрес этого символа k₀.

k₀ + d_m+1 = p_m+1 > d_m+1 = p_m+1 - k₀ Если d_m+1 < 1, то d_m+1 = p_m+1 - k₀ + N

k₀ + d_m+2 = p_m+2 > d_m+2 = p_m+2 - k₀ Если d_m+2 < 1, то d_m+2 = p_m+2 - k₀ + N

…………

k₀ + d_s = p_s > d_s = p_s - k₀ Если d_s < 1, то d_s = p_s - k₀ + N



Второй вариант вычисления приращений:

k₁ - d₁ = p₁ > d₁ = k₁ - p₁ Если d₁ < 1, то d₁ = k₁ - p₁ + N

k₂ - d₂ = p₂ > d₂ = k₂ - p₂ Если d₂ < 1, то d₂ = k₂ - p₂ + N

…………..

k_m - d_m = p_m > d_m = k_m - p_m Если d_m < 1, то d_m = k_m - p_m + N

Далее существует два варианта продолжения вычислений:

а) естественный порядок вычислений, заключающийся в повторении выбора значений инварианта I₁() с самого начала. Так может повторяться не единожды. Мы условно считаем, что одного повторения достаточно. Максимальное количество повторных считываний может достигать s-1 при m=1.

k₁ - d_m+1 = p_m+1 > d_m+1 = k₁ - p_m+1 Если d_m+1 < 1, то d_m+1 = k₁ - p_m+1 + N

k₂ - d_m+2 = p_m+2 > d_m+2 = k₂ - p_m+2 Если d_m+2 < 1, то d_m+2 = k₂ - p_m+2 + N

…………

k_s-m - d_s = p_s > d_s = k_s-m - p_s Если d_s < 1, то d_s = k_s-m - p_s + N

б) рациональный порядок вычислений, заключающийся в использовании адреса одного и того же символа, например, адрес пробела. Обозначим адрес этого символа k₀.

k₀ - d_m+1 = p_m+1 > d_m+1 = k₀ - p_m+1 Если d_m+1 < 1, то d_m+1 = k₀ - p_m+1 + N

k₀ - d_m+2 = p_m+2 > d_m+2 = k₀ - p_m+2 Если d_m+2 < 1, то d_m+2 = k₀ - p_m+2 + N

…………

k₀ - d_s = p_s > d_s = k₀ - p_s Если d_s < 1, то d_s = k₀ - p_s + N



2.4.2 Способ вычисления вектора приращений для вычисления чисел k₁, k₂, …, k_m из чисел p₁, p₂, …, p_s:

Первый вариант вычисления приращений:

p₁ + d₁ = k₁ > d₁ = k₁ - p₁ Если d₁ < 1, то d₁ = k₁ - p₁ + N

p₂ + d₂ = k₂ > d₂ = k₂ - p₂ Если d₂ < 1, то d₂ = k₂ - p₂ + N

…………..

p_m + d_m = k_m > d_m = k_m - p_m Если d_m < 1, то p_m = k_m - p_m + N

Далее существует два варианта продолжения вычислений:

а) естественный порядок вычислений, заключающийся в повторении выбора значений инварианта I₁() с самого начала. Так может повторяться не единожды. Мы условно считаем, что одного повторения достаточно. Максимальное количество повторных считываний может достигать s-1 при m=1.

p_m+1 + d_m+1 = k₁ > d_m+1 = k₁ - p_m+1 Если d_m+1 < 1, то d_m+1 = k₁ - p_m+1 + N

p_m+2 + d_m+2 = k₂ > d_m+2 = k₂ - p_m+2 Если d_m+2 < 1, то d_m+2 = k₂ - p_m+2 + N

…………

p_s + d_s = k_s-m > d_s = k_s-m - p_s Если d_s < 1, то d_s = k_s-m - p_s + N

б) рациональный порядок вычислений, заключающийся в использовании адреса одного и того же символа, например, адрес пробела. Обозначим адрес этого символа k₀.

p_m+1 + d_m+1 = k₀ > d_m+1 = k₀ - p_m+1 Если d_m+1 < 1, то d_m+1 = k₀ - p_m+1 + N

p_m+2 + d_m+2 = k₀ > d_m+2 = k₀ - p_m+2 Если d_m+2 < 1, то d_m+2 = k₀ - p_m+2 + N

…………

p_s + d_s = k₀ > d_s = k₀ - p_s Если d_s < 1, то d_s = k₀ - p_s + N



Второй вариант вычисления приращений:

p₁ - d₁ = k₁ > d₁ = p₁ - k₁ Если d₁ < 1, то d₁ = p₁ - k₁ + N

p₂ - d₂ = k₂ > d₂ = p₂ - k₂ Если d₂ < 1, то d₂ = p₂ - k₂ + N

…………..

p_m - d_m = k_m > d_m = p_m - k_m Если d_m < 1, то d_m = p_m - k_m + N

Далее существует два варианта продолжения вычислений:

а) естественный порядок вычислений, заключающийся в повторении выбора значений инварианта I₁() с самого начала. Так может повторяться не единожды. Мы условно считаем, что одного повторения достаточно. Максимальное количество повторных считываний может достигать s-1 при m=1.

p_m+1 - d_m+1 = k₁ > d_m+1 = p_m+1 - k₁ Если d_m+1 < 1, то d_m+1 = p_m+1 - k₁ + N

p_m+2 - d_m+2 = k₂ > d_m+2 = p_m+2 - k₂ Если d_m+2 < 1, то d_m+2 = p_m+2 - k₂ + N

…………

p_s - d_s = k_s-m > d_s = p_s - k_s-m Если d_s < 1, то d_s = p_s - k_s-m + N

б) рациональный порядок вычислений, заключающийся в использовании адреса одного и того же символа, например, адрес пробела. Обозначим адрес этого символа k₀.

p_m+1 - d_m+1 = k₀ > d_m+1 = p_m+1 - k₀ Если d_m+1 < 1, то d_m+1 = p_m+1 - k₀ + N

p_m+2 - d_m+2 = k₀ > d_m+2 = p_m+2 - k₀ Если d_m+2 < 1, то d_m+2 = p_m+2 - k₀ + N

…………

p_s - d_s = k₀ > d_s = p_s - k₀ Если d_s < 1, то d_s = p_s - k₀ + N

Случай m > s рассматривать не будем, так как симметричен случаю m < s.

2.5 Преобразование одной формальной информации в другую неизвестную формальную информацию по заданному вектору приращения

В этом случае нам известен один или два алфавита и один инвариант, например, I₁(). Мы можем сами произвольно или по какому-либо закону генерировать вектор приращения D(). Задача состоит в вычислении чисел инварианта I₂() при условии, что нам известен инвариант I₁(), вектор приращения D() и один или два алфавита длиной N.

Пусть имеются инварианты:

I₁(1 до m) = {k₁, k₂, …, k_m}

I₂(1 до m) = {p₁, p₂, …, p_m}

Создадим вектор приращения D(). Поскольку нам известно, что числа вектора приращения изменяются от 1 до N, то каких-либо проблем с созданием вектора приращения нет. Длина вектора приращения может изменяться от 1 до m.

Рассмотрим три размера вектора отображения вектора D():

2.5.1 D(1 до m) = {d₁, d₂, …, d_m}

Этот вариант мы исследовали выше очень подробно. В этом случае числа любого инварианта I₁(1 до m) преобразовываются в числа любого инварианта I₂(1 до m) двумя способами.

Первый вариант вычисления приращений:

p₁ = k₁ + d₁ Если p₁ > N, то p₁ = k₁ + d₁ - N

p₂ = k₂ + d₂ Если p₂ > N, то p₂ = k₂ + d₂ - N

…………..

p_m = k_m + d_m Если p_m > N, то p_m = k_m + d_m - N

Второй вариант вычисления приращений:

p₁ = k₁ - d₁ Если p₁ < 1, то p₁ = k₁ - d₁ + N

p₂ = k₂ - d₂ Если p₂ < 1, то p₂ = k₂ - d₂ + N

…………..

p_m = k_m - d_m Если p_m < 1, то p_m = k_m - d_m + N

Обратная задача: вычисление чисел инварианта I₁() из чисел инварианта I₂() при известном векторе приращений D() также решена нами выше. Результат решения обратной задачи следующий:

Первый вариант вычисления приращений:

k₁ = p₁ + d₁ Если k₁ > N, то k₁ = p₁ + d₁ - N

k₂ = p₂ + d₂ Если k₂ > N, то k₂ = p₂ + d₂ - N

…………..

k_m = p_m + d_m Если k_m > N, то k_m = p_m + d_m - N

Второй вариант вычисления приращений:

k₁ = p₁ - d₁ Если k₁ < 1, то k₁ = p₁ - d₁ + N

k₂ = p₂ - d₂ Если k₂ < 1, то k₂ = p₂ - d₂ + N

…………..

k_m = p_m - d_m Если k_m < 1, то k_m = p_m - d_m + N

2.5.2 D(1 до m) = {d₁}, то есть вектор приращений содержит одно число

Алгоритм вычисления чисел вектора I₂() из чисел вектора I₁() почти ничем не отличается от предыдущего. Поскольку у нас одно значение вектора приращений, то оно одно и используется для вычисления всех чисел.

Первый вариант вычисления приращений:

p₁ = k₁ + d₁ Если p₁ > N, то p₁ = k₁ + d₁ - N

p₂ = k₂ + d₁ Если p₂ > N, то p₂ = k₂ + d₁ - N

…………..

p_m = k_m + d₁ Если p_m > N, то p_m = k_m + d₁ - N

Второй вариант вычисления приращений:

p₁ = k₁ - d₁ Если p₁ < 1, то p₁ = k₁ - d₁ + N

p₂ = k₂ - d₁ Если p₂ < 1, то p₂ = k₂ - d₁ + N

…………..

p_m = k_m - d₁ Если p_m < 1, то p_m = k_m - d₁ + N

Обращаем внимание на следующее обстоятельство. Одинаковые числа в инварианте I₁() переходят в одинаковые числа в инварианте I₂(). Если d₁ = N, то все числа первого инварианта равны соответствующим числам второго инварианта. Если d₁ < N, то все равные между собой числа первого инварианта переходят в другие равные между собой числа второго инварианта. А все неравные между собой числа первого инварианта переходят в другие неравные между собой числа второго инварианта. Иными словами, при d₁ < N реализуется, так называемый механизм подстановки. Первая формальная информация преобразовывается во вторую формальную информацию путем однозначной замены одних символов другими символами.

Обратная задача: вычисление чисел инварианта I₁() из чисел инварианта I₂() при известном векторе отображения D() имеет следующее решение:

Первый вариант вычисления приращений:

k₁ = p₁ + d₁ Если k₁ > N, то k₁ = p₁ + d₁ - N

k₂ = p₂ + d₁ Если k₂ > N, то k₂ = p₂ + d₁ - N

…………..

k_m = p_m + d₁ Если k_m > N, то k_m = p_m + d₁ - N

Второй вариант вычисления приращений:

k₁ = p₁ - d₁ Если k₁ < 1, то k₁ = p₁ - d₁ + N

k₂ = p₂ - d₁ Если k₂ < 1, то k₂ = p₂ - d₁ + N

…………..

k_m = p_m - d₁ Если k_m < 1, то k_m = p_m - d₁ + N

2.5.3 D(1 до m) = {d₁, d₂, …, d_N}, то есть вектор приращений содержит количество чисел, равное длине алфавиту N, причем все числа встречаются ровно один раз. Порядок следования чисел - произвольный

Алгоритм вычисления чисел вектора I₂() из чисел вектора I₁() почти ничем не отличается от предыдущего. Положим для определенности m > N и m < 2N - для вычисления номера последнего числа.

Первый вариант вычисления приращений:

p₁ = k₁ + d₁ Если p₁ > N, то p₁ = k₁ + d₁ - N

p₂ = k₂ + d₂ Если p₂ > N, то p₂ = k₂ + d₂ - N

…………..

p_N = k_N + d_N Если p_N > N, то p_N = k_N + d_N - N

p_N+1 = k_N+1 + d₁ Если p_N+1 > N, то p_N+1 = k_N+1 + d₁ - N

p_N+2 = k_N+2 + d₂ Если p_N+1 > N, то p_N+1 = k_N+1 + d₂ - N

…………..

p_m = k_m + d_m-N Если p_m > N, то p_m = k_m + d_m-N - N

Второй вариант вычисления приращений:

p₁ = k₁ - d₁ Если p₁ < 1, то p₁ = k₁ - d₁ + N

p₂ = k₂ - d₂ Если p₂ < 1, то p₂ = k₂ - d₂ + N

…………..

p_N = k_N - d_N Если p_N < 1, то p_N = k_N - d_N + N

p_N+1 = k_N+1 - d₁ Если p_N+1 < 1, то p_N+1 = k_N+1 - d₁ + N

p_N+2 = k_N+2 - d₂ Если p_N+2 < 1, то p_N+2 = k_N+2 - d₂ + N

…………..

p_m = k_m - d_m-N Если p_m < 1, то p_m = k_m - d_m-N + N

Обращаем внимание на следующее обстоятельство. Одинаковые числа в инварианте I₁() переходят в различные числа в инварианте I₂(). И только в одном случае из N случаев число в первом инварианте переходит в себя. Различные числа в инварианте I₁() переходят в различные числа в инварианте I₂(). И только в одном случае из N случаев различные числа в первом инварианте переходят в себя. Поэтому частоты распределения чисел во втором инварианте нивелируются. Распределение чисел во втором инварианте примерно соответствует закону равномерного распределения вероятностей. Очевидным примером, подтверждающим это утверждение, является инвариант I₁() содержащий все одинаковые числа и имеющим длину N. Вычисленный инвариант I₂() будет иметь N различных чисел. И, следовательно, инвариант I₂() будет иметь числа с идеальным равномерным законом распределения вероятностей. Это не что иное, как идеальный шум. Строгого доказательства реализации равномерного закона распределения вероятностей мы не имеем и оставляем доказательство последующим исследователям.

Обратная задача: вычисление чисел инварианта I₁() из чисел инварианта I₂() при известном векторе приращения D() имеет следующее решение:

Первый вариант вычисления приращений:

k₁ = p₁ + d₁ Если k₁ > N, то k₁ = p₁ + d₁ - N

k₂ = p₂ + d₂ Если k₂ > N, то k₂ = p₂ + d₂ - N

…………..

k_N = p_N + d_N Если k_N > N, то k_N = p_N + d_N - N

k_N+1 = p_N+1 + d₁ Если k_N+1 > N, то k_N+1 = p_N+1 + d₁ - N

k_N+2 = p_N+2 + d₂ Если k_N+2 > N, то k_N+2 = p_N+2 + d₂ - N

…………..

k_m = p_m + d_m-N Если k_m > N, то k_m = p_m + d_m-N - N

Второй вариант вычисления приращений:

k₁ = p₁ - d₁ Если k₁ < 1, то k₁ = p₁ - d₁ + N

k₂ = p₂ - d₂ Если k₂ < 1, то k₂ = p₂ - d₂ + N

…………..

k_N = p_N - d_N Если k_N < 1, то k_N = p_N - d_N + N

k_N+1 = p_N+1 - d₁ Если k_N+1 < 1, то k_N+1 = p_N+1 - d₁ + N

k_N+2 = p_N+2 - d₂ Если k_N+2 < 1, то k_N+2 = p_N+2 - d_N+2 + N

…………..

k_m = p_m - d_m-N Если k_m < 1, то k_m = p_m - d_m-N + N

2.6 Преобразование одной формальной информации в другую формальную информацию в случае, когда первая формальная информация включает символы, отсутствующие в алфавите

Речь идет о возможности преобразования формальной информации, символы которой отсутствуют в имеющемся алфавите. Конечно, можно проанализировать формальную информацию, найти все символы, отсутствующие в имеющемся алфавите, дополнить алфавит отсутствующими символами и преобразовать формальную информацию по алгоритмам, рассмотренным выше. Этот вариант мы рассматривать не будем. Существует еще один вариант действий, который позволяет несколько по иному взглянуть на процесс преобразования формальной информации.

Мы предлагаем создать дополнительный алфавит из символов, отсутствующих в имеющемся алфавите. Адреса символов в дополнительном алфавите, которые будем помещать в инвариант, нумеровать следующим образом: N+1, N+2, …, N+R, где R - количество символов в дополнительном алфавите.

Введем обозначения:

A(1 до N) = {a₁, a₂, …, a_N} - имеющийся алфавит, длиной N символов.

B(b₁, b₂, …, b_R} - дополнительный алфавит, длиной R символов. Символы дополнительного алфавита отсутствуют в имеющемся алфавите A().

Преобразование формальной информации производится в следующей последовательности:

а) Произвести анализ формальной информации, подлежащей преобразованию, на наличие символов, не входящих в алфавит A(). Найденные символы поместить в дополнительный алфавит B(), причем символы в дополнительном алфавите должны встречаться ровно один раз.

б) Построить инвариант I₁(1 до m) для формальной информации, подлежащей преобразованию. Если символ из формальной информации имеется в алфавите A(), то адрес этого символа записать в инвариант в обычном порядке, то есть в виде числа от 1 до N. Если символ из формальной информации отсутствует в алфавите A(), то найти адрес этого символа в дополнительном алфавите B(), прибавить к нему число N и записать в инвариант I₁().

в) Произвести преобразование формальной информации, при этом необходимо проверять величину числа в инварианте I₁(). Если число больше N, то его без преобразования записывать в инвариант I₂(). Если число не превосходит N, то его использовать в преобразовании.

г) Из инварианта I₂() построить преобразованную формальную информацию. При этом необходимо помнить, что если число в инварианте I₂() больше N, то из этого числа необходимо вычесть N и по этому адресу считать число из дополнительного алфавита символ. Если число в инварианте I₂() не превосходит N, то по этому адресу необходимо считать символ из алфавита A().

Изложенный алгоритм позволяет из любой формальной информации получить причудливую смесь из преобразованных и не преобразованных символов.

Пример приводить не будем в силу громоздкости. Отметим только то, что реализация описанного алгоритма на языке программирования очень лаконична и наглядна. Это для описания алгоритма необходимо создавать дополнительный алфавит, а на языке программирования достаточно осуществлять проверку на наличие символа в алфавите A(). Если символ в алфавите отсутствует, то его без преобразования поместить в преобразованную формальную информацию.

2.7 Повторное преобразование формальной информации

Пусть имеются инварианты:

I₁(1 до m) = {k₁, k₂, …, k_m}

I₂(1 до m) = {p₁, p₂, …, p_m}

I₃(1 до m) = {q₁, q₂, …, q_m}

Где:

q₁ - число от 1 до N;

q₂ - число от 1 до N, может быть равно q₁;

q_m - число от 1 до N, может быть равно любому предыдущему числу;

m - длина инварианта, равная длине информации.

D(1 до m) = {d₁, d₂, …, d_m} - вектор приращений.

Вычислим числа инварианта I₂() из чисел инварианта I₁() с использованием вектора приращений D(). Затем вычислим числа инварианта I₃() из чисел инварианта I₂() с использованием вектора приращений D().

Вычисление чисел вектора I₂():

Первый вариант вычисления приращений:

p₁ = k₁ + d₁ Если p₁ > N, то p₁ = k₁ + d₁ - N

p₂ = k₂ + d₂ Если p₂ > N, то p₂ = k₂ + d₂ - N

…………..

p_m = k_m + d_m Если p_m > N, то p_m = k_m + d_m - N

Второй вариант вычисления приращений:

p₁ = k₁ - d₁ Если p₁ < 1, то p₁ = k₁ - d₁ + N

p₂ = k₂ - d₂ Если p₂ < 1, то p₂ = k₂ - d₂ + N

…………..

p_m = k_m - d_m Если p_m < 1, то p_m = k_m - d_m + N

Вычислим числа инварианта I₃():

Первый вариант вычисления приращений:

q₁ = p₁ + d₁ Если q₁ > N, то q₁ = p₁ + d₁ - N

q₂ = p₂ + d₂ Если q₂ > N, то q₂ = p₂ + d₂ - N

…………..

q_m = p_m + d_m Если q_m > N, то q_m = p_m + d_m - N

Второй вариант вычисления приращений:

q₁ = p₁ - d₁ Если q₁ < 1, то q₁ = p₁ - d₁ + N

q₂ = p₂ - d₂ Если q₂ < 1, то q₂ = p₂ - d₂ + N

…………..

q_m = p_m - d_m Если q_m < 1, то q_m = p_m - d_m + N

Обращаем внимание на следующее: при вычислении чисел I₃() имеет смысл вычисление осуществлять в одном и том варианте вычисления приращений.

Заменим числа «p» на значения из предыдущего абзаца:

Первый вариант вычисления приращений:

q₁ = k₁ + d₁ + d₁ = k₁ + 2d₁ Если q₁ > N, то q₁ = k₁ + 2d₁ - N

q₂ = k₂ + d₂ + d₂ = k₂ + 2d₂ Если q₂ > N, то q₂ = k₂ + 2d₂ - N

…………..

q_m = k_m + d_m + d_m = k_m + 2d_m Если q_m > N, то q_m = k_m + 2d_m - N

Второй вариант вычисления приращений:

q₁ = k₁ - d₁ - d₁ = k₁ - 2d₁ Если q₁ < 1, то q₁ = k₁ - 2d₁ + N

q₂ = k₂ - d₂ - d₂ = k₂ - 2d₂ Если q₂ < 1, то q₂ = k₂ - 2d₂ + N

…………..

q_m = k_m - d_m - d_m = k_m - 2d_m Если q_m < 1, то q_m = k_m - 2d_m + N

Обратите внимание на следующее: вычитать число N или прибавлять число N возможно придется дважды в зависимости от результата первого вычисления.

Как видим, повторное преобразование формальной информации - это первое преобразование формальной информации, но с удвоенным приращением. Легко показать, что операция повторного преобразования, примененная к числам инварианта I₃(), сводится к преобразованию чисел инварианта I₁() с утроенным приращением. Процесс повторного отображения можно продолжать неограниченное число раз. Но особого смысла эта операция не имеет, так как тот, же самый результат можно получить из первого преобразования формальной информации при умножении чисел приращения на количество повторных преобразований формальной информации за минусом единицы.

2.8 Специфические свойства преобразования формальной информации в себя применительно к живой природе

Преобразование формальной информации в себя - это воспроизводство организмов в живой природе. Как мы установили выше, в случае использования одного алфавита (или генома в живой природе) все виды формальной информации преобразовываются в себя единственным образом. В случае использования двух алфавитов (двух геномов в живой природе, двойной спирали ДНК) каждая формальная информация преобразовывается в себя множественным образом при условии, что адреса одних и тех же символов в алфавите (генов в двойной спирали в живой природе) не совпадают. Если адреса символов в алфавитах совпадают, то формальная информация преобразовывается в себя единственным образом.

Одни и те же символы (одни и те же гены в живой природе), имеющие один и тот же адрес в обоих алфавитах, можно считать носителями свойств целого класса информации (носителями свойств вида организмов). Одни и те же символы (одни и те же гены в живой природе), имеющие разные адреса в обоих алфавитах, можно считать носителями индивидуальных свойств конкретной информации (носителями индивидуальных свойств каждого конкретного организма).

Таким образом, свойства класса формальной информации (свойства вида организмов) преобразовываются в неизменном виде, а индивидуальные свойства конкретной формальной информации (индивидуальные свойства конкретного организма) во время преобразования изменяются.

...