* анонимные, обходящиеся без нее и др. При составлении анкеты учитываются:

* содержание вопросов;

* форма вопросов - открытые или закрытые;

* формулировка вопросов (ясность, без подсказки ответов и т.д.);

* количество и порядок следования вопросов. В психолого-педагогической практике количество вопросов обычно соотносится не более, чем с 30-40 мин работы методом анкетирования; порядок вопросов чаще всего определяется методом случайных чисел.

Анкетирование может быть устным, письменным, индивидуальным, групповым, но в любом случае должно отвечать двум требованиям - репрезентативности и однородности выборки. Материал анкетирования подвергается количественной и качественной обработке.

Метод тестирования. В связи со спецификой предмета педагогической психологии одни из названных выше методов используются в ней в большей степени, другие - в меньшей. Однако все большее распространение в педагогической психологии получает метод тестирования.

Тест (англ. test - проба, испытание, проверка) - в психологии - фиксированное во времени испытание, предназначенное для установления количественных (и качественных) индивидуально-психологических различий. Тест - основной инструмент психодиагностического обследования, с помощью которого осуществляется психологический диагноз.

От других способов обследования тестирование отличается:

* точностью;

* простотой;

* доступностью;

* возможностью автоматизации.

Тестирование - далеко не новый, но в недостаточно применяемый в педагогической психологии метод исследования. Еще в 80-90 гг. XIX в. исследователи начали изучать индивидуальные различия людей. Это привело к возникновению так называемого испытательного эксперимента- исследования с помощью тестов (А. Дальтон, А. Кеттел и др.). Применение тестов послужило толчком для развития психометрического метода, основы которого были заложены Б. Анри и А. Бине. Измерение школьных успехов, интеллектуального развития, степени сформированности многих других качеств с помощью тестов стало неотъемлемой частью широкой учебно-воспитательной практики. Психология, предоставив педагогике инструмент для анализа, тесно с ней соединились (отделить тестирование педагогическое от тестирования психологического иногда невозможно).

Если говорить только о педагогических аспектах тестирования, укажем, прежде всего, на использование тестов успеваемости. Широко применяются тесты умений, таких как чтение, письмо, простейшие арифметические операции, а также различные тесты для диагностики уровня обученности - выявления степени усвоения знаний, умений по всем учебным предметам.

Обычно тестирование как метод психолого-педагогического исследования сливается с практическим тестированием текущей успеваемости, выявления уровня обученности, контролем качества усвоения учебного материала.

Наиболее полное и систематизированное описание тестов представлено в труде А. Анастази «Психологическое тестирование». Анализируя тестирование в образовании, ученый отмечает, что в этом процессе используются все типы существующих тестов, однако среди всех типов стандартизированных тестов тесты достижения численно превосходят все остальные. Они создавались для измерения объективности программ и процессов обучения. Обычно они «дают конечную оценку достижений индивида по завершении обучения, в них основной интерес сосредоточен на том, что индивид может делать к настоящему времени».

А.К. Ерофеев, анализируя основные требования к тестированию, выделяет следующие основные группы знаний, которыми должен обладать тестолог:

* основные принципы нормативно-ориентированного тестирования;

* типы тестов и сферы их применения;

* основы психометрики (т.е. в каких единицах измеряются в системе психологические качества);

* критерии качества теста (методы определения валидности и надежности теста);

* этические нормы психологического тестирования. Эксперимент - один из основных (наряду с наблюдением)

методов научного познания вообще, психологического исследования в частности. Отличается от наблюдения активным вмешательством в ситуацию со стороны исследователя, осуществляющего планомерное манипулирование одной или несколькими переменными (факторами) и регистрацию сопутствующих изменений в поведении изучаемого объекта.

Правильно поставленный эксперимент позволяет проверять гипотезы в причинно-следственных казуальных отношениях, не ограничиваясь констатацией связи (корреляции) между переменными. Различают традиционные и факторные планы проведения эксперимента.

При традиционном планировании меняется лишь одна независимая переменная, при факторном - несколько. Достоинством последнего является возможность оценки взаимодействия факторов - изменения характера влияния одной из переменных в зависимости от значения другой. Для статистической обработки результатов эксперимента в этом случае применяется дисперсионный анализ (Р. Фишер). Если изучаемая область относительно неизвестна и система гипотез отсутствует, то говорят о пилотажном эксперименте, результаты которого могут помочь уточнить направление дальнейшего анализа. Когда имеются две конкурирующие между собой гипотезы и эксперимент позволяет выбрать одну из них, говорят о решающем эксперименте. Контрольный эксперимент осуществляется с целью проверки каких-либо зависимостей. Применение эксперимента, однако, наталкивается на принципиальные ограничения, связанные с невозможностью в ряде случаев осуществлять произвольное изменение переменных. Так, в дифференциальной психологии и психологии личности эмпирические зависимости большей частью имеют статус корреляций (т.е. вероятностных и статистических зависимостей) и, как правило, не всегда позволяют делать выводы о причинно-следственных связях. Одна из трудностей применения эксперимента в психологии заключается в том, что исследователь зачастую оказывается включенным в ситуацию общения с обследуемым лицом (испытуемым) и может невольно повлиять на его поведение. Особую категорию методов психологического исследования и воздействия образуют формирующие, или обучающие, эксперименты. Они позволяют направленно формировать особенности таких психических процессов, как восприятие, внимание, память, мышление.

Процедура эксперимента состоит в направленном создании или подборе таких условий, которые обеспечивают надежное выделение изучаемого фактора, и в регистрации изменений, связанных с его воздействием.

Чаще всего в психолого-педагогических экспериментах имеют дело с 2 группами: экспериментальной, в которую включается Изучаемый фактор, и контрольной, в которой он отсутствует.

Экспериментатор по своему усмотрению может видоизменять условия проведения опыта и наблюдать последствия такого изменения. Это, в частности, дает возможность находить наиболее рациональные приемы в учебно-воспитательной работе с учащимися. Например, меняя условия заучивания того или иного учебного материала, можно установить, при каких условиях запоминание будет наиболее быстрым, прочным и точным. Проводя исследования при одинаковых условиях с разными испытуемыми, экспериментатор может установить возрастные и индивидуальные особенности протекания психических процессов у каждого из них.

Психолого-педагогические эксперименты различаются:

* по форме проведения;

* количеству переменных;

* целям;

* характеру организации исследования.

По форме проведения выделяют два основных вида эксперимента - лабораторный и естественный.

Лабораторный эксперимент проводится в специально организованных искусственных условиях, призванных обеспечить чистоту результатов. Для этого устраняются побочные влияния всех одновременно происходящих процессов. Лабораторный эксперимент позволяет с помощью регистрирующих приборов точно измерить время протекания психических процессов, например быстроту реакции человека, скорость формирования учебных, трудовых навыков. Его применяют в тех случаях, когда необходимо получить точные и надежные показатели при строго определенных условиях. Более ограниченное применение имеет лабораторный эксперимент при исследовании проявлений личности, характера. С одной стороны, здесь сложен и многогранен объект исследования, с другой - известная искусственность лабораторной ситуации представляет большие трудности. Исследуя проявления личности в искусственно созданных особых условиях, в частной, ограниченной ситуации, мы далеко не всегда имеем основания заключить, что аналогичные проявления будут характерны для этой же личности в естественных жизненных обстоятельствах. Искусственность экспериментальной обстановки является существенным недостатком данного метода. Она может повлечь нарушение естественного хода исследуемых процессов. Например, запоминая важный и интересный учебный материал, в естественных условиях ученик достигает иных результатов, нежели когда ему предлагается в необычных условиях запомнить экспериментальный материал, непосредственно не представляющий для ребенка интереса. Поэтому лабораторный эксперимент должен быть тщательно организован и по возможности сочетаться с другими, более естественными методиками. Данные лабораторного эксперимента представляют в основном теоретическую ценность; выводы, сделанныё на их основании, могут быть распространены на реальную жизненную практику с известными ограничениями.

Естественный эксперимент. Указанные недостатки лабораторного эксперимента в некоторой мере устраняются при организации естественного эксперимента. Впервые этот метод был предложен в 1910 г. А.Ф. Лазурскйм на 1-м Всероссийском съезде по экспериментальной педагогике. Естественный эксперимент проводится в обычных условиях в рамках привычной для испытуемых деятельности, например, учебных занятий или игры. Зачастую созданная экспериментатором ситуация может остаться вне сознания испытуемых; в этом случае положительным для исследования фактором является полная естественность их поведения. В других случаях (например, при изменении методики преподавания, школьного оборудования, режима дня и т.п.) экспериментальная ситуация создается открыто, таким образом, что сами испытуемые делаются участниками ее создания.

Такое исследование требует особенно тщательного планирования и подготовки. Его имеет смысл использовать, когда данные надо получить в предельно короткие сроки и без помех для основной деятельности испытуемых. Существенный недостаток естественного эксперимента - неизбежное наличие неконтролируемых помех, т.е. факторов, влияние которых не установлено и не может быть количественно измерено.

Сам А.Ф. Лазурский выразил суть естественного эксперимента следующим образом: «При естественно-экспериментальном изучении личности мы не пользуемся искусственными приемами, не производим опытов в искусственных лабораторных условиях, не изолируем ребенка из обычной обстановки его жизни, а экспериментируем естественными формами внешней среды. Мы исследуем личность самой жизнью и потому становятся доступными обследованию все влияния как личности на среду, так и среды на личность. Здесь эксперимент входит в жизнь. Мы исследуем не отдельные психические процессы, как это обычно делается (например, память исследуют посредством заучивания бессмысленных слогов, внимание - вычеркиванием значков на таблицах), а исследуем и психические функции, и личность в целом. При этом пользуемся не искусственным материалом, а предметами школьного обучения».

По количеству изучаемых переменных различают одномерный и многомерный эксперименты.

Одномерный эксперимент предполагает выделение в исследовании одной зависимой и одной независимой переменной. Он чаще всего реализуется в лабораторном эксперименте.

Многомерный эксперимент. В естественном эксперименте утверждается идея изучения явлений не изолированно, а в их взаимосвязи и взаимозависимости. Поэтому здесь чаще всего реализуется многомерный эксперимент. Он требует одновременного измерения множества сопутствующих признаков, независимость которых заранее неизвестна. Анализ связей между множеством изучаемых признаков, выявление структуры этих связей, ее динамики под влиянием обучения и воспитания являются основной целью многомерного эксперимента.

Результаты экспериментального исследования часто представляют собой не выявленную закономерность, устойчивую зависимость, а ряд более или менее полно зафиксированных эмпирических фактов. Таковы, например, полученные в результате эксперимента описания игровой деятельности детей, экспериментальные данные о влиянии на какую-либо деятельность такого фактора, как присутствие других людей и связанный с этим мотив соревнования. Эти данные, носящие часто описательный характер, не раскрывают еще психологического механизма явлений и представляют лишь более определенный материал, сужающий дальнейшую сферу поиска. Поэтому результаты эксперимента в педагогике и психологии нередко следует рассматривать как промежуточный материал и исходную основу для дальнейшей исследовательской работы.

Источник:

Мандель Б.Р. Педагогическая психология: Учебное пособие / Б.Р. Мандель. - М.: КУРС: НИЦ Инфра-М, 2012. - 368 с.

Лекция 15. Элементы теории вероятностей

15.1 Случайные события

Предметом теории вероятностей является изучение закономерностей в массовых однородных случайных явлениях (событиях).

Событием вообще называют качественный или количественный результат опыта, осуществленного при определенной совокупности условий. Различают события достоверные, невозможные и случайные.

Событие называется достоверным, если оно при осуществлении определенной совокупности условий произойдет обязательно и невозможным, если оно заведомо не может произойти.

Случайным называют событие, которое при осуществлении определенной совокупности условий может либо произойти, либо не произойти.

Случайные события могут быть несовместными, совместными, равновозможными, зависимыми и независимыми. Они могут быть подразделены также на элементарные (простые, неразложимые) и сложные.

Случайные события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в том же опыте.

События называются равновозможными, если есть все основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое. Практически о равновозможности событий можно судить по тому, соблюдаются ли в опыте условия симметрии.

Несколько случайных событий образуют полную группу, если в результате испытания произойдет хотя бы одно из них.

Чтобы сравнивать события между собой по степени возможности их появления, связывают каждое событие с некоторым числом, которое тем больше, чем более возможно событие. Это число и называют вероятностью появления данного события A и обозначают через P(A). Следовательно, вероятность - это числовая мера степени возможности появления случайного события.

Классическое определение вероятности

Существует целый класс опытов, которые заканчиваются только одним из возможных исходов (или, как говорят, одним из элементарных исходов), для которых возможен непосредственный подсчет вероятностей их возможных исходов. Эти опыты могут быть продемонстрированы на примере простейшей схемы урн (так называемой, урновой модели).

Пусть в урне находится n шаров разного цвета, например, m белых и (n-m) черных. Шары тщательно перемешаны, одинаковых размеров и массы, неразличимы наощупь. Проводится испытание, состоящее в извлечении наудачу одного шара из урны. Если A - случайное событие, состоящее в извлечении, например, белого шара из урны, то вероятность этого события может быть найдена на основе следующего определения:

Вероятностью события A называется отношение числа m элементарных исходов, благоприятствующих появлению данного события, к общему числу n всех равновозможных несовместных исходов, образующих полную группу:

P(A) = m / n.

Это определение называется классическим. Оно применимо лишь к испытаниям с конечным числом равновозможных исходов.

Свойства вероятности:

Вероятность достоверного события A = U P(U) = 1.

Вероятность невозможного события A = V P (V) = 0.

Вероятность любого события A есть неотрицательное число, удовлетворяющее двойному неравенству 0 ? P(A) ? 1.

Для непосредственного подсчета вероятности появления события на основе классического определения применяются, как правило, формулы комбинаторики (раздела математики, изучающего вопросы о том, сколько различных комбинаций (соединений) можно составить из заданного числа объектов).

Большинство задач комбинаторики решается с помощью двух основных правил: правила суммы и правила произведения.

Правило суммы. Если элемент a из некоторого конечного множества можно выбрать m способами, а другой элемент b можно выбрать k способами, то выбор «или a, или b» можно осуществить m+k способами.

При этом способы выбора элементов a и b не должны совпадать между собой. В противном случае будет m+k-l способов выбора, где l - число совпадений.

Правило произведения. Пусть даны два упорядоченных множества элементов: A, содержащее m элементов (a₁, a₂,…, a_m) ? A и B, содержащее n элементов (b₁, b₂,…, b_n) ? B. Тогда можно образовать ровно mn различных пар a_ib_k (i = 1,2,…, m; k = 1,2,…, n), содержащих по одному элементу из каждого множества.

Это правило можно обобщить на случай любого конечного числа упорядоченных множеств.

Статистическое определение вероятности

Статистической вероятностью или относительной частотой события A называется отношение числа M испытаний, в которых появилось событие A, к общему числу N фактически проведенных испытаний

W(A) = M / N

Замечание. Если P(A) - теоретическая характеристика степени возможности появления события, определяемая до проведения опыта (в котором может появиться событие A), то W(A) эмпирическая характеристика, определяемая по результатам опытов.

Длительные наблюдения реальных случайных событий показывают что при большом числе однородных испытаний справедлив принцип статистической устойчивости относительных частот. Он проявляется в том, что относительная частота W(A) колеблется около некоторого постоянного устойчивого числа, причем по мере увеличения числа опытов отклонения W(A) от этого постоянного числа имеют тенденцию становиться все меньше. Оказывается, что это постоянное устойчивое число и будет вероятностью появления события P(A).

Геометрическое определение вероятности

Классическое определение вероятности неприменимо к испытаниям с бесконечным числом элементарных исходов. Задачи, связанные с такими испытаниями, сводятся к случайному бросанию точки в некоторую область.

Пусть на плоскости имеется некоторая область F и в ней подобласть f. Предполагая, что вероятность попадания случайной точки в область f не зависит ни от ее формы, ни от ее расположения в области F, а пропорциональна её площади, определим вероятность попадания случайной точки M в заданную подобласть как отношение мер областей:

P (M О f) = mes f / mes F.

Здесь mes - мера области: в одномерном случае - длина отрезка, в двумерном - площадь, в трехмерном - объем. Определенная таким образом вероятность называется геометрической вероятностью.

Алгебра событий

Непосредственное вычисление вероятности на основе классического определения обычно затруднительно, и в теории вероятностей, как правило, применяются косвенные методы, позволяющие по известным вероятностям простых событий определять вероятности сложных событий, с ними связанных.

Раздел теории вероятностей, изучающий правила, которым подчиняются алгебраические операции над событиями, и называется алгеброй событий (ее иногда называют также алгеброй Буля или булевой алгеброй).

В основе алгебры событий лежат понятия суммы и произведения событий.

Суммой событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них. В частности, суммой двух событий A и B будет событие, состоящее в появлении или события A или события B, или обоих вместе. Если события A и B несовместны, то их сумма A+B - событие, состоящее в появлении только одного из них (безразлично какого).

Произведением событий называется событие, состоящее в совместном их появлении. Произведение событий A и B обозначается знаком AB.

Геометрическая интерпретация суммы и произведения событий показана на так называемой диаграмме Венна. Если событие A - попадание случайной точки в левую область, B - попадание случайной точки в правую область, то сумма событий (A+B) - попадание наудачу брошенной точки в область, ограниченную внешним контуром, произведение событий AB - в зачернённую область:

Противоположными событиями называются два единственно возможных несовместных события, образующие полную группу.

Событие, противоположное событию A, обозначается через В.

Очевидно:

A + В = U (U - достоверное событие),

(V - невозможное событие).

Если известны или могут быть непосредственно (на основе классического определения) найдены вероятности простых событий, то вероятности сложных событий вычисляются c помощью основных теорем теории вероятностей.

Теорема сложения вероятностей для несовместных событий.

Вероятность суммы n попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий

Cледствие 1. Сумма вероятностей несовместных событий, образующих полную группу, равна единице

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице

Теорема сложения вероятностей для совместных событий. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного появления



Теорема умножения вероятностей для зависимых событий. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого

Замечания:

1. События A и B называются зависимыми, если вероятность события B меняется в зависимости от того, произошло или нет событие A.

2. Условной вероятностью события B называется вероятность этого события, вычисленная в предположении, что ему предшествовало появление события A. Она обозначается так: P_A (B).

Для n зависимых событий A1, A2,…, An теорема умножения вероятностей записывается в виде

Теорема умножения вероятностей для независимых событий. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий

Теорема о вероятности появления хотя бы одного события.

Если произведено n независимых испытаний, причем вероятности появления событий A1, A2, …, An в каждом из них известны и равны соответственно p1, p2, …, pn, то вероятность появления хотя бы одного из событий A1, A2, …, An равна

где qi - вероятность противоположного события

.

В частности, если события A1, A2, …, An имеют одинаковую вероятность, равную p, то вероятность появления хотя бы одного из них равна

Формула полной вероятности

Вероятность события A, которое может наступить лишь при условии появления хотя бы одного из несовместных событий B₁, B₂, …, B_n, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей этих событий на соответствующую условную вероятность события A:

События B_i (i = 1, 2,…, n), появление одного из которых предшествует появлению события A, принято называть гипотезами (или априорными гипотезами).

15.2 Случайные величины

Случайной называется переменная величина, которая в результате опыта принимает то или иное значение, заранее неизвестно, какое именно.

Случайные величины принято обозначать заглавными латинскими буквами: X, Y, Z,…, а их возможные значения - соответствующими строчными буквами: x, y, z,…

Различают два типа случайных величин: дискретные и непрерывные. Случайная величина называется дискретной, если её возможные значения образуют последовательность отдельных, изолированных друг от друга значений, которые можно перечислить, и непрерывной, если её возможные значения непрерывно заполняют некоторый интервал.

Примеры случайных величин:

дискретных: число попаданий или промахов в серии выстрелов, число выпадений герба или решки при подбрасывании монеты, в схеме Бернулли повторяющихся независимых испытаний - число появлений события при n испытаниях и т.п.; непрерывных: отклонение размера детали от номинального, ресурс (время безотказной работы) системы, физические параметры системы (температура, давление, влажность), длина тормозного пути автомобиля, продолжительность жизни человека и т.п.

Закон распределения случайной величины

Случайная величина полностью определена с вероятностной точки зрения, если известен ее закон распределения.

Законом распределения случайной величины называется соотношение между возможными значениями этой величины и соответствующими им вероятностями.

Закон распределения может быть задан таблично, графически или аналитически.

Простейшей формой задания закона распределения дискретной случайной величины является таблица, состоящая из двух строк, в первой из которых перечислены возможные значения случайной величины X, а второй - соответствующие им вероятности.

X	x1	x2	…	xn
P	p1	p2	…	pn

Такая таблица называется рядом распределения, а ее графическое изображение - многоугольником распределения.

Заметим, что сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины должна быть равна единице:

Ряд распределения может быть построен только для дискретных случайных величин.

Функциональные характеристики случайной величины

Для аналитического описания закона распределения случайной величины применяют интегральную функцию распределения вероятностей или дифференциальную функцию распределения вероятностей случайной величины (её также называют плотностью распределения вероятностей или плотностью вероятностей).

Интегральная функция распределения вероятностей случайной величины

Интегральной функцией распределения вероятностей случайной величины F(x) называется вероятность того, что в результате опыта случайная величина X примет значение, меньшее произвольно заданного числа x, то есть

F (x) = P (X < x).

F (x) - универсальная характеристика, существующая и для дискретных и для непрерывных случайных величин.

Свойства F(x).

Следовательно, если X - непрерывная случайная величина, то F(x) непрерывная функция, и вероятность того, что X примет одно определенное значение (то есть вероятность попадания X в точку a), равна нулю. Поэтому для непрерывной случайной величины X справедливы равенства

Если F(x) разрывна в точке a, то скачок функции F(x) в этой точке равен вероятности попадания X в неё. Поэтому для дискретных случайных величин

где суммирование распространяется на все те значения x_k, которые меньше x, и график функции распределения дискретной случайной величины представляет собой ступенчатую функцию, непрерывную слева.

Числовые характеристики случайной величины

Задание закона распределения аналитически - с помощью функций F(x) или f(x) позволяет полностью и однозначно описать случайную величину. Но во многих случаях в этом либо нет необходимости, либо закон распределения бывает неизвестен. Тогда ограничиваются меньшими сведениями, а именно некоторыми характерными неслучайными числами, каждое из которых характеризует то или иное свойство распределения случайной величины.

Такие числа, позволяющие отразить наиболее существенные особенности распределения случайной величины, называются числовыми характеристиками случайной величины. Важнейшими из них являются математическое ожидание и дисперсия.

Математическим ожиданием (или средним значением) дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на соответствуюшие им вероятности

M(X) называют еще центром распределения или характеристикой положения случайной величины на числовой оси. Это среднее значение, вокруг которого группируются остальные возможные значения случайной величины.

Для непрерывной случайной величины



Дисперсия - это характеристика рассеивания (разбросанности) возможных значений случайной величины относительно ее среднего значения. Она определяется как математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания

Если возможные значения X принадлежат интервалу (a, b), то

Кроме основных характеристик распределения - центра (математического ожидания) и рассеивания (дисперсии) на практике часто нужно описать и другие важные числовые характеристики распределения. Наиболее употребительные из них: мода, медиана, коэффициенты асимметрии, эксцесса.

Модой дискретной случайной величины называется ее наиболее вероятное значение, модой непрерывной случайной величины-то ее значение, при котором плотность вероятности максимальна.

Медианой Me случайной величины называется такое ее значение, для которого P (X < Me) = P (X > Me).

В случае симметричного распределения медиана, математическое ожидание и мода совпадают.

Для характеристики асимметрии (или «скошенности») распределения используется величина «коэффициента асимметрии»



Где µ₃ - третий центральный момент.

«Крутовершинность» (или островершинность, плосковершинность) распределения характеризуется величиной эксцесса

Где µ₄ - четвертый центральный момент. Для наиболее распространенного нормального закона распределения, который является как бы эталоном, с которым сравнивают другие распределения,

E_k = 0.

Лекция 16. Основные законы распределения случайных величин

16.1 Биномиальный закон распределения

К биномиальному закону приводит задача о повторении независимых испытаний.

Биномиальным законом распределения называется распределение вероятностей дискретной случайной величины X = k - числа появлений события в n независимых испытаниях, описываемое формулой Бернулли:

Ряд распределения биномиального закона имеет вид

Справедливы теоремы:

При биномиальном распределении математическое ожидание (среднее значение) числа появлений события равно произведению числа испытаний на вероятность p появления события в одном испытании

M(k) = np,

а дисперсия равна

D(k) = npq.

Наивероятнейшее число появлений события в n независимых испытаниях (такое число k*, которое при данном n имеет наибольшую ве - роятность) удовлетворяет двойному неравенству

np - q ? k* ? np + p.

Если (np - q) - дробное число, то существует единственное значение

k*, если (np - q) - целое число, то k* может принимать два значения.

16.2 Закон распределения Пуассона

В предельном случае биномиального распределения, когда число испытаний n очень велико, а вероятность появления события в каждом отдельном испытании очень мала, вероятность появления события k раз в n независимых испытаниях может быть определена по приближенной формуле

где m = np = const - среднее число появлений события в различных сериях испытаний, предполагаемое постоянным.

Эта формула выражает закон распределения вероятностей диск - ретной случайной величины k - числа появлений события в n независимых испытаниях (в случае массовых, но редких событий), называемый законом распределения Пуассона.

Замечание. Практически формулой Пуассона с достаточной сте - пенью точности можно пользоваться при p < 0,1; m < 10.

Одним из основных понятий теории массового обслуживания и надежности является понятие простейшего (пуассоновского) потока событий.

Потоком событий называется последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени. Примерами могут служить вызовы на АТС, число отказов в определенный период времени, прибытие автомашин на стоянку и т.п.

Простейшим называется поток, обладающий свойствами стационарности, отсутствия последействия и ординарности.

При этом интенсивностью потока l называется среднее число событий, которые появляются в единицу времени. Если l известна, то вероятность появления k событий простейшего потока за время t определяется формулой Пуассона

16.3 Геометрическое распределение

Пусть производится ряд независимых испытаний («попыток») для достижения некоторого результата (события А), и при каждой попытке событие А может появиться с вероятностью p. Тогда число попыток Х до появления события А, включая удавшуюся, - дискретная случайная ве - личина, возможные значения которой 1,2… m …. Вероятности их по теореме умножения вероятностей для независимых событий равны

Ряд распределения X имеет вид

X	1	2	3	….	m	…
P	p	pq	pq2	….	pqm?1	…

Математическое ожидание и дисперсия X равны

16.4 Гипергеометрическое распределение

Пусть в урне N шаров, из них n белых, остальные черные. Случайно отбирают m шаров, причем отобранный шар перед отбором следующего не возвращается обратно (поэтому формула Бернулли неприменима).

Пусть X = k - число белых шаров среди отобранных. Очевидно, это дискретная случайная величина. Ее возможные значения: 0,1, 2,…, min (n, m).

Как известно, вероятность того, что из m отобранных шаров ровно k белых равна

Эта формула определяет распределение случайной величины k, называемое гипергеометрическим. Оно характеризуется тремя параметрами: N, m, n. Пример построения гипергеометрического закона распределения приведен на стр. 40.

16.5 Закон равномерного распределения вероятностей

Непрерывная случайная величина Х подчинена закону равномерного распределения вероятностей, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения Х, плотность вероятностей постоянна и равна



Графики плотности вероятностей равномерно распределенной случайной величины Х и функции распределения F(x) показаны на рисунке.

Обычно вместо параметров a и b используют математическое ожидание Х и половину ширины l области возможных значений случайной величины.

Очевидно,

Дисперсия закона равномерного распределения

Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины на интервал (a, b--), принадлежащий (a, b), равна

16.6 Показательный (экспоненциальный) закон распределения

Показательное распределение широко применяется в теории надежности, в теории массового обслуживания.

Непрерывная случайная величина подчинена показательному закону распределения, если ее плотность вероятностей равна

Интегральная функция распределения показательного закона:

Числовые характеристики показательного распределения

Поэтому математическое ожидание равно среднему квадратическому отклонению. Это равенство является характерным признаком показательного распределения.

Пусть T - время безотказной работы элемента (непрерывная случайная величина), а t - время, по прошествии которого происходит отказ. Тогда функция распределения F (t) = P (T < t) определяет вероятность отказа за время t. Поэтому вероятность противоположного события T і t, то есть вероятность безотказной работы за время t будет равна

R(t) = 1 - F (t) = 1 - P (T < t).

Эту функцию называют функцией надежности. Показательному распределению с интегральной функцией F (t) = 1 - e^-lt подчинена длительность безотказной работы системы на интервале времени t (l - постоянная положительная величина, имеющая смысл интенсивности отказов).

16.7 Нормальный закон распределения

Непрерывная случайная величина подчинена нормальному закону распределения (закону распределения Гаусса), если ее плотность вероятностей равна

Нормальное распределение с параметрами a = 0, s--= 1 называется нормированным. Плотность вероятностей нормированного нормального распределения равна

График плотности вероятностей нормально распределенной случайной величины (называемый нормальной или гауссовой кривой) показан на рисунке.

Вероятность попадания нормально распределенной случайной вели - чины на произвольный конечный интервал (a,--b) равна

Вероятность попадания нормально распределенной случайной вели - чины на интервал, симметричный относительно среднего значения, равна

На этом и базируется важное для приложений правило трех сигм:

Если случайная величина распределена по нормальному закону, то с вероятностью, близкой к достоверности, можно считать, что практически все рассеивание укладывается на интервале (a-3у, a+3у) от центра распределения, то есть можно пренебречь вероятностью попадания случайной величины вне интервала (a-3у, a+3у).

Лекция 17. Индуктивная статистика

17.1 Статистические гипотезы

Гипотеза - это утверждение, которое может или не может быть истинным. Практический пример ситуации, о которой можно сказать, что мы «проверяем гипотезу». Предположим, вы подъезжаете к дому вашей матери вечером и высказываете предположение (гипотезу), что она дома. Вы «проверяете гипотезу», определяя, горит ли свет в окнах. Свидетельство (отсутствие света), казалось бы, наводит на мысль о том, что ваша гипотеза ложная. Но это свидетельство не является достаточно полным, чтобы сделать определенный вывод (заключение). Ваш вывод станет более определенным, если вы убедитесь, что у дома нет автомобиля вашей матери. Чтобы быть абсолютно уверенным, что вашей матери нет дома, вы должны войти в дом и посмотреть, там она или нет. Но если вы сделаете это, то вы уже больше не «проверяете» гипотезу, а детерминированно устанавливаете, ложна она или нет. Некоторые считают, что гипотеза проверяется в обстоятельствах, прямая верификация которых не возможна (или практически не осуществима), но при этом доступна частичная информация, в противовес которой проверяется гипотеза.

Статистическая гипотеза - это гипотеза, которая допускает наблюдения статистической природы. Такие наблюдения могут возникать в различных областях деятельности человека. Вот некоторые примеры.

· Эта игральная кость правильная.

· Сведения нашего поставщика деталей о своей продукции ложны.

· Новый метод обучения лучше, чем старый.

· Требования стандарта на чистоту воздуха в нашем городе не выдерживаются.

· Данные о занятости населения предполагают наличие дискриминационной политики при найме на работу.

Так как эти гипотезы являются статистическими, то они могут быть сформулированы более точно.

· Вероятности выпадения каждой грани такой игральной кости равны. Это означает, что мы имеем равномерное распределение случайной переменной, которая представляет собой число точек на лицевой поверхности каждой грани данной кости.

· Средняя длина детали, поступившей от нашего поставщика, больше, чем он заявлял (или меньше, или отличается от заявленной).

· Средняя оценка стандартного тестирования у обучавшихся по новому методу выше, чем у обучавшихся по старому методу.

· Значения параметров, характеризующих чистоту воздуха в городе, больше, чем установлено стандартом.

· Для некоторых работодателей переменная «принятие на работу» не будет независимой от переменной «пол» (или «этническая принадлежность», «вероисповедание» и т.д.).

Из приведенных примеров следует, что статистическая гипотеза - это утверждение относительно характера или неизвестных параметров распределения случайных величин. Гипотеза называется простой, если она полностью определяет распределение случайной величины, Например, значение некоторого параметра И в точности равно заданной величине И₀. В других случаях гипотеза называется сложной.

Гипотеза (1) является гипотезой относительно абстрактной модели, вероятностном распределении случайной переменной, которая описывает игральную кость. Данная гипотеза может быть проверена с помощью наблюдений, например, 100 бросаний кости. Следующие три гипотезы касаются параметра. Они проверяются с помощью выборочных данных. Эти данные рассматриваются как выборочное распределение, необходимое для оценки параметра. Последняя гипотеза утверждает независимость двух качественных (нечисловых) переменных. Она проверяется путем сравнения наблюдаемых данных с истинными данными, ожидаемыми в случае независимости переменных. Отметим, что только три из пяти гипотез включает параметр, две другие представляют собой статистически утверждения другого рода.

Для каждого из этих примеров практически невозможно непосредственно определить истинность гипотезы. Например, вероятностное распределение для кости является моделью всех возможных бросаний, которые мы не можем наблюдать. Практически невозможно измерить длину каждой из сотен, а может быть и тысяч поступающих деталей. Для гипотезы (3) невозможно протестировать сегодня всех студентов, которые должны обучаться по новому методу в ближайшие 15 лет. Конечно, можно протестировать студентов через год после окончания обучения. Но оценку эффективности нового метода нужно делать до его реализации, а не после. А для гипотезы (4) можно ли проверить каждый кубический метр воздуха в городе? Наконец, что означает в (5) прямая верификация для каждого человека?

Из-за невозможности определить истинность гипотезы прямым путем, мы «проверяем» гипотезу, т.е. устанавливаем, не противоречит ли высказанная нами гипотеза имеющимся выборочным данным. Эта процедура носит название статистической проверки гипотез.

Результат сопоставления высказанной гипотезы с выборочным данными может быть либо отрицательным (данные наблюдения противоречат высказанной гипотезе, а поэтому гипотезу надо отклонить), либо неотрицательным (данные наблюдения не противоречат высказанной гипотезе, а поэтому ее можно принять в качестве одного из возможных решений).

17.2 Ошибки первого и второго рода

Возможные ошибки. В контексте реальной жизни мы обнаруживаем массу возможных ошибок: человеческие ошибки, машинные ошибки, ошибки из-за невнимательности, намеренные ошибки (саботаж), ошибки пользователя, ошибки спецификации, ошибки тривиальные, ошибки серьезные, ошибки распознаваемые, ошибки нераспознаваемые, ошибки фатальные, ошибки смешные и т.д.

С точки зрения статистической проверки гипотез существуют только два вида ошибок, называемые ошибкой I рода и ошибкой II рода.

Ошибка I рода - это неправильное действие в соответствии с Н1: действовать в соответствии с Н1, если справедлива Н0. Ошибка II рода - это неправильное действие в соответствии с Н0: действовать в соответствии с Н0, если справедлива Н1. Вероятность ошибки интерпретируется как условная вероятность. Условные вероятности этих двух типов ошибок обозначаются соответственно б и в:

б = Р (ошибка I рода) = Р (действие в соответствии с Н1| Н0 истинна);

в = Р (ошибка II рода) = Р (действие в соответствии с Н0| Н1 истинна).

В табл. 1 показаны возможности принятия решения и ошибки двух типов по отношению к гипотезе Н0. Отметим, что если гипотеза Н0 справедлива и она принимается, то в таблице указано, что решение принято правильно. Если справедлива гипотеза Н1, а принимается Н0, то при решении допущена ошибка II рода. Если справедлива гипотеза Н0, а принимается гипотеза Н1, то при решении допущена ошибка I рода.

Таблица 1. Решения и ошибки при статистической проверке гипотез

	Состояние реального мира (неизвестное нам)
	Н1 ложна (Н0 истинна)	Н1 истинна
Наше решение, основанное на данных	Действие в соответствии с Н0	Правильное решение	Ошибка II рода
	Действие в соответствии с Н1	Ошибка I рода	Правильное решение

Пусть f (x; и0), f (x; и1) - плотности распределения критической статистики соответственно при справедливости нулевой гипотезы Н0 и альтернативной гипотезы Н1, и0, и1 - параметры распределения при Н0 и Н1. Тогда ошибки I и II рода определяются выражениями

где xk - граница критической области W.

Существуют два возможных вывода при проверке гипотезы: либо мы отклоняем нулевую гипотезу («отклонить Н0)», либо мы отказываемся отклонить нулевую гипотезу («отказ отклонить Н0)». Рассмотрим смысл каждого из этих выводов и соответствующие ошибки на примере, связанном с контролем качества. Пусть р - доля дефектных изделий, выпускаемых производственной линией. Сформулируем две гипотезы:

Н0: р = 0.01;

Н1: р > 0.01.

Предполагая 5%-ный уровень значимости, рассмотрим возможные выводы и их интерпретацию.

Отклонить Н0: Свидетельства предполагают, что контроль качества ослаб, необходимо остановить производство и выполнить корректирующие действия.

Отказ отклонить Н0: Тест не дает выводов, так как отсутствуют свидетельства того, что контроль качества ослаб, производство остается без изменений.

Ошибка I рода: С 5%-ным риском ошибки мы останавливаем производство без необходимости. Доля дефектных изделий не превышает заданный уровень, даже если мы основываемся на неверных свидетельствах.

Ошибка II рода: Мы продолжаем производство с неизвестным риском ошибки, когда число дефектных изделий среди выпускаемых больше, чем допускают требования контроля качества.

Формальные выводы ведут к реальным действиям. «Отклонить Н0» означает «действовать в соответствии с Н1», «Отказ отклонить Н0» означает «действовать в соответствии с Н0».

Рассмотрим пример проверки гипотезы о среднем значении µ диаметра поставляемых деталей:

Н0: µ = 3.15;

Н1: µ < 3.15.

Отклонить Н0: Это означает, детали машины, которые мы получаем от поставщика, имеют недопустимо малый диаметр (среднее значение диаметра меньше, чем 3.15 мм). Ошибка в данном случае составляет 5%.

Отказ отклонить Н0: Тест не дает выводов. Отсутствуют свидетельства нарушений условий поставки партии деталей, поставляемая партия принимается.

Ошибка I рода: Существует 5%-ный риск того, что, основываясь на ошибочных свидетельствах, мы отклоним партию деталей, хотя среднее значение диаметра не будет меньше, чем 3.15 мм.

Ошибка II рода: Так как у нас отсутствовали необходимые свидетельства, мы принимаем поставляемую партию деталей, хотя их размеры не соответствуют требованиям.

17.3 Область приняти и отклонения гипотезы

Область отклонения гипотезы. Задача отклонения или принятия гипотезы Н0 решается на основании данных. Рассмотрим ее на примере данных контроля качества (р - доля дефектных изделий в выпускаемой продукции):

Н0: р = 0.01,

Н1: р > 0.01.

Вероятность ошибки 1-го рода б представляет собой уровень значимости теста. Предположим, что б = 0.05:

б = 0.05 = Р (отклонить Н0 | Н0 верна).

Значение p€, которое разделяет область «отказ отклонить Н0» и область «отклонить Н0», называется критическим значением p€ и обозначается рс. Если p€ > рс, мы отклоняем Н0, в противном случае отказываемся отклонить Н0. Значения p€, при которых происходит отклонение Н0, называется областью отклонения гипотезы:

область отклонения: {p€ | p€ > рс}.

Критическое значение определяется из выражения (1).

Пример. Определить значение рс для б = 0.05. Полагая, что р имеет нормальное распределение, найдем значение 5%-ной отрезной точки Z = 1.645. Тогда 1.645 = (pc ? 0.01) / с.к.о.

Среднее квадратическое отклонение (с.к.о.) вычисляется в предположении справедливости нулевой гипотезы Н0. Пусть объем выборки п = 700. Решив приведенное выше уравнение, найдем рс = 0.0162 и область отклонения гипотезы:

область отклонения: {p€ | p€ > 0.0162}.

Граница критической области W определяется путем решения уравнения (1) относительно x_k при фиксированном уровне значимости б (рис. 1)



где f (x; µ. у) - плотность нормального распределения, µ = 20, у = 4/3.

Значение xk равно 22.2.

17.4 Решающее правило и статистика критерия

В общем виде решающее правило формулируется следующим образом: Если значение статистики критерия, вычисленное по выборке, попадает в область отклонения гипотезы, то следует действовать в соответствии с Н1.

Для рассматриваемого примера с контролем качества решающее правило будет таким:

Если в контролируемой партии продукции число дефектных изделий превысит 11 (1.62% от 700), то производство необходимо остановить и принять меры для устранения причин брака.

Значение статистики критерия вычисляется по выборке. В примере с контролем качества статистика критерия представляет собой значение Z = (pc - 0.01) / с.к.о.

При проверке гипотезы о значении математического ожидания статистики критерия имеют вид

В этих формулах--m₀ - это значение математического ожидания µ, определяемое нулевой гипотезой. При проверке гипотезы о значении дисперсии статистика критерия имеет вид c ² = (n -1) s² /s²₀, где s²₀ - значение дисперсии, задаваемое нулевой гипотезой.

С помощью статистики критерия можно выразить область отклонения гипотезы и связанное с ней решающее правило. Например, если используется статистика критерия t, то область отклонения = {t | t > tc},

где tc - квантиль уровня б t-распределения с n - 1 степенью свободы. Если б = 0.05 и n = 10, то tc = 1.8331. Тогда решающее правило будет следующим:

Если вычисленное по выборке значение t больше, чем 1.8331, то гипотеза Н0 отклоняется.

Запишем решающее правило принятия или отклонения нулевой гипотезы, основанное на критическом значении статистики критерия ? k:

где ?(б) - порог теста (критическое значение статистики критерия) размера б.

Порог теста определяется для двусторонней альтернативы как квантиль уровня 1 - б/2 распределения статистики критерия, для односторонних альтернатив как квантиль уровня б (левосторонняя альтернатива) или как квантиль уровня 1 - б/2 (правосторонняя альтернатива).

Источник:

Степанова М.Д. Проверка статистических гипотез: Учебно-метод. пособие по курсу «Статистические основы индуктивного вывода» для студентов специальности «Искусственный интеллект». - Мн.: БГУИР, 2000. - 36 с.: ил. 1.

Лекция 18. Обработка результатов экспериментов

18.1 Первичный статистический анализ

Понятие о генеральной совокупности и выборке

Генеральной совокупностью называется полный набор всех значений, которые принимает или может принять случайная величина.

Теоретически количество значений случайной величины в генеральной совокупности бесконечно. Практически же это количество ограничено, хотя, как правило, и очень велико. Часть генеральной совокупности из n значений случайной величины, выделенных из этой совокупности с целью приближенной оценки ее характеристик, называется выборкой.

Число значений случайной величины, входящих в выборку, называется ее объемом.

Выборки объемом до 30 значений случайной величины условно принято считать малыми, а свыше 30 - большими.

...