Анализ и обработка сигналов

Размещено на http://www.allbest.ru

1. Основные элементы функционального анализа сигналов. Норма и метрика

В основе функционального анализа сигналов лежит представление сигнала как вектора, в специальным образом сконструированном бесконечномерном пространстве.

Пусть - множество сигналов. Причина объединения этих объектов - наличие некоторых свойств, общих для всех элементов множества . сигнал спектр аналитический энергетический

Множество сигналов образует вещественное линейное пространство, если справедливы следующие аксиомы:

1. Любой сигнал при любых принимает лишь вещественные значения.

2. Для любых и существует их сумма , причём также содержится в . Операция суммирования коммутативна: и ассоциативна .

3. Для любого сигнала и любого вещественного числа определён сигнал .

4. Множество содержит особый нулевой элемент , такой, что для всех .

Линейное пространство, элементами которого являются функции, называется функциональным.

Совокупность векторов , принадлежащих , является линейно независимой, если равенство:

возможно лишь в случае одновременного обращения в нуль всех числовых коэффициентов .

Норма и метрика. Длину вектора называют его нормой. Линейное пространство сигналов L является нормированным, если каждому вектору однозначно сопоставлено число - норма этого вектора.

Аксиомы нормированного пространства

1. Норма неотрицательна, т.е. . Норма =0 тогда и только тогда, если

2. Для любого числа справедливо равенство .

3. Если и - два вектора из L, то выполняется неравенство:

Существуют разные способы определения нормы сигналов. Чаще всего полагают, что вещественные аналоговые сигналы имеют норму:

(из двух возможных значений корня выбирается положительное). Для комплексных сигналов норма:

,

где *-символ комплексно-сопряжённой величины.

Квадрат нормы называется энергией сигнала

Такая энергия выделяется в резисторе с сопротивлением 1Ом, если на его зажимах существует напряжение .

Говорят, что линейное пространство L становится метрическим пространством, если каждой паре элементов сопоставлено неотрицательное число , называемое метрикой, или расстоянием между этими элементами. Метрика, независимо от способа её определения, должна подчиняться аксиомам метрического пространства:

1. Метрика рефлексивна =

2. =0 при любых .

3. Каков бы ни был элемент , всегда .

Взаимосвязь между нормой и метрикой:

=

Ортогональные сигналы. Скалярное произведение вещественных сигналов и :

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

1.

2.

3. , где - вещественное число

4.

5. - справедливо неравенство Коши-Буняковского.

Линейное пространство с таким скалярным произведением, содержащее в себе все предельные точки любых сходящихся последовательностей векторов из этого пространства называется вещественным Гильбертовым пространством H.

Если сигналы комплексные, то скалярное произведение:

Два сигнала и называют ортогональными, если их скалярное произведение, а значит, и взаимная энергия равны нулю:

.

2. Ортонормированный базис. Обобщенный ряд Фурье

Предположим, что на отрезке задана бесконечная система функций , ортогональных друг другу и обладающих единичными нормами:

1, если

0, если

Говорят, что при этом в пространстве сигналов задан ортонормированный базис. Разложим произвольный сигнал в ряд:

(1.1)

Такое представление называется обобщённым рядом Фурье сигналав выбранном базисе.

Коэффициенты данного ряда находят следующим образом. Возьмём базисную функцию с произвольным номером , умножим на неё обе части равенства (1.1) и затем проинтегрируем результаты по времени:

(1.2)

Ввиду ортонормированности базиса по определению в правой части равенства (1.2) останется только член суммы с номером , поэтому:

(1.3)

Рассмотрим некоторый сигнал, , разложенный в ряд по ортонормированной базисной системе и вычислим его энергию, непосредственно подставив этот ряд в соответствующий интеграл:

Поскольку базисная система функций ортонормирована, в сумме окажутся отличными от нуля только члены с номерами . Отсюда получается результат, который называется равенством Парсеваля:

(1.4)

Смысл этой формулы: энергия сигнала есть сумма энергий всех компонент, из которых складывается обобщённый ряд Фурье.

3. Спектральная плотность и ее свойства. Теоремы о спектрах

Спектральная плотность и сигнал связаны между собой парой преобразований Фурье:

(2.1)

(2.2)

Все свойства спектральной плотности объединены в основных теоремах о спектрах.

I. Свойство линейности.

Если имеется некоторая совокупность сигналов причём ,…, то взвешенная сумма сигналов преобразуется по Фурье следующим образом:

(2.3)

Здесь - произвольные числовые коэффициенты.

II. Теорема о сдвигах.

Предположим, что для сигнала известно соответствие . Рассмотрим такой же сигнал, но возникающий на секунд позднее. Принимая точку за новое начало отсчёта времени, обозначим этот смещённый сигнал как . Введём замену переменной: . Тогда ,

(2.4)

Модуль комплексного числа при любых равен 1, поэтому амплитуды элементарных гармонических составляющих, из которых складывается сигнал, не зависят от его положения на оси времени. Информация об этой характеристике сигнала заключена фазовом спектре.

III. Теорема масштабов.

Предположим, что исходный сигнал подвергнут изменению масштаба времени. Это означает, что роль времени играет новая независимая переменная (- некоторое вещественное число.) Если > 1, то происходит “ сжатие” исходного сигнала; если же 0<<1, то сигнал “растягивается” во времени. Если , то :

Произведём замену переменной , тогда , откуда следует:

(2.5)

При сжатии сигнала в раз на временной оси во столько же раз расширяется его спектр на оси частот. Модуль спектральной плотности при этом уменьшается в раз.

Очевидно, что при растягивании сигнала во времени ( т.е. при <1) имеет место сужение спектра и увеличение модуля спектральной плотности.

IV. Теорема о спектре производной и неопределённого интеграла.

Пусть сигнал и его спектральная плоскость заданы. Будем изучать новый сигнал и поставим цель найти его спектральную плотность .

По определению:

Преобразование Фурье - линейная операция, значит, равенство (2.3) справедливо и по отношению к спектральным плотностям. Получаем по теореме о сдвигах:

(2.6)

Представляя экспоненциальную функцию рядом Тейлора:

подставляя этот ряд в (2.6) и ограничиваясь первыми двумя членами ряда, находим

(2.7)

Итак, дифференцирование сигнала по времени эквивалентно простой алгебраической операции умножения спектральной плотности на множитель . Поэтому говорят, что мнимое число является оператором дифференцирования, действующим в частотной области.

Вторая часть теоремы. Рассмотренная функция является неопределённым интегралом по отношению к функции. Интеграл это есть, значит - его спектральная плотность, а из формулы (2.7) равна:

(2.8)

Таким образом, множитель служит оператором интегрирования в частотной области.

V. Теорема о свёртке.

При суммировании сигналов их спектры складываются. Однако спектр произведения сигналов не равен произведению спектров, а выражается некоторым специальным интегральным соотношением между спектрами сомножителей.

Пусть и - два сигнала, для которых известны соответствия ,. Образуем произведение этих сигналов: и вычислим его спектральную плотность. По общему правилу:

(2.9)

Применив обратное преобразование Фурье, выразим сигнал через его спектральную плотность и подставим результат в (2.9):

Изменив порядок интегрирования, будем иметь:

откуда:

(2.10)

Интеграл, стоящий в правой части называют свёрткой функций и . Символически операция свёртки обозначается как *

Таким образом, спектральная плотность произведения двух сигналов с точностью до постоянного числового множителя равна свёртке спектральных плотностей сомножителей:

(2.11)

Операция свёртки коммутативна, т.е. допускает изменения порядка следования преобразуемых функций:



Теорема о свёртке может быть обращена: если спектральная плотность некоторого сигнала представляется в виде произведения , причём

и , то сигнал является свёрткой сигналов и , но уже не в частотной, а во временной области:

(2.12)

VI.Теорема Планшереля

Пусть два сигнала и , в общем случае комплексные, определены своими обратными преобразованиями Фурье:

,

Найдём скалярное произведение этих сигналов, выразив один из них, например , через его спектральную плотность:

Здесь внутренний интеграл представляет собой спектральную плотность сигнала поэтому:



(2.13)

Скалярное произведение двух сигналов с точностью до коэффициента пропорционально скалярному произведению их спектральных плотностей.

4. д-функция и ее свойства

Рассмотрим импульсный сигнал прямоугольной формы, заданный следующим образом:

где: - функция включения:

При любом выборе параметра о площадь этого импульса равна единице:

0

Например, если х - напряжение, то В·с.

Пусть теперь величина о стремится к нулю. Импульс, сокращаясь по длительности, сохраняет свою площадь, поэтому его высота должна неограниченно возрастать. Предел последовательности таких функций при носит название дельта- функции или функции Дирака :

t₀

Дельта-функция интересный математический объект. Будучи равной нулю всюду, за исключением точки (принято говорить, что она сосредоточена в этой точке), д- функция тем не менее обладает единичным интегралом:

т.е. площадь, ограниченная дельта - функцией, равна единице.

Полезным для расчетов является фильтрующее свойство д-функции, которое заключается в следующем. Интеграл от произведения от некоторой функции u(t) на д-функцию равен значению этой функции при t, для которого д(t) ? 0.

Например:

Представление спектральной плотности для ряда неинтегрируемых сигналов.

1) Спектральная плотность постоянного по времени сигнала

2) Спектральная плотность комплексного экспоненциального сигнала

=2



3) Спектральная плотность гармонических колебаний:

,

,

4) Спектральная плотность произвольного периодического сигнала

5) Спектральная плотность функции включения

6) Спектральная плотность радиоимпульса

Применяя теорему о свертке и фильтрующее свойство д-функции, получим:

5. Спектры модулированных сигналов

Чтобы осуществить эффективную передачу сигналов в какой-либо среде, необходимо перенести спектр этих сигналов из низкочастотной области в область достаточно высоких частот. Данная процедура получила в технике связи название модуляции.

Прежде всего, в передатчике формируется вспомогательный высокочастотный сигнал, называемый несущим колебанием. Его математическая модель такова, что имеется некоторая совокупность параметров, определяющих форму этого колебания. Пусть - низкочастотное сообщение, подлежащее передаче по каналу связи на расстояние. Если, по крайней мере, один из указанных параметров изменяется во времени пропорционально передаваемому сообщению, то несущее колебание приобретает новое свойство - оно несёт в себе информацию, которая первоначально была заключена в сообщении .

Физический процесс управления параметрами несущего колебания и является модуляцией.

Широкое распространение получили системы модуляции, использующие в качестве несущего простое гармоническое колебание

(2.24)

имеющее три свободных параметра , и . Изменяя во времени тот или иной параметр, можно получать различные виды модуляции.

Спектр однотональной амплитудной модуляции (АМ). Простейший АМ-сигнал может быть получен в случае, когда модулирующим низкочастотным сигналом является гармоническое колебание с частотой

Такой сигнал называется однотональным АМ-сигналом. Такой сигнал можно представить как сумму простых гармонических колебаний с различными частотами:

(2.26)

Принята следующая терминология: - несущая частота, - верхняя боковая частота, нижняя боковая частота.

Даже при 100%-ной модуляции (М=1) доля мощности обоих боковых колебаний составляет лишь 50% от мощности немодулированного несущего колебания.

А поскольку информация о сообщении заключена в боковых колебаниях, можно сделать вывод о неэффективности использования мощности при передаче АМ-сигнала.

Спектр АМ при сложном модулирующем сигнале. На практике однотональные АМ-сигналы используются редко. Гораздо более реален случай, когда модулирующий низкочастотный сигнал имеет сложный спектральный состав. Математической моделью такого сигнала может быть, например, тригонометрическая сумма.



(2.29)

Здесь частоты образуют упорядоченную возрастающую последовательность , В то время как амплитуды и начальные фазы произвольны.

Подставив формулу (2.29) в (2.25), получим:

(2.30)

Введём совокупность парциальных (частичных) коэффициентов модуляции: и запишем аналитическое выражение сложномодулированного сигнала (многотонального) АМ-сигнала в форме, которая обобщает выражение (2.25)

(2.31)

Спектральное разложение проводится так же, как и однотонального АМ-сигнала:

(2.32)

На рисунке а) (2.30). Рисунок б) воспроизводит диаграмму многотонального АМ-сигнала, где помимо несущего колебания, содержатся группы верхних и нижних боковых колебаний.



Балансная АМ. Для более эффективного использования мощности передатчика можно формировать АМ - сигналы с подавленным несущим колебанием, реализуя так называемую балансную АМ (БМ). На основании формулы (2.24) представление однотонального АМ - сигнала с БМ таково:

(2.33)

Имеет место перемножение двух сигналов - модулирующего и несущего. Колебания вида (2.33) с физической точки зрения являются биениями двух гармонических сигналов с одинаковыми амплитудами и частотами, равными верхней и нижней боковым частотам.

При многотональной БМ аналитическое выражение сигнала принимает вид:

(2.34)

Рассмотрим спектральную и временную диаграмму БМ - сигнала.

Как и при обычной АМ, в спектре БМ наблюдается две симметричные группы верхних и нижних боковых колебаний.

Однополосная амплитудная модуляция. Ещё более интересное усовершенствование принципа обычной АМ заключается в формировании сигнала с подавленной верхней или нижней боковой полосой частот (ОБП).

Сигналы с одной боковой полосой по внешним характеристикам напоминают обычные АМ-сигналы. Например, однотональный ОБП-сигнал с подавленной нижней боковой частотой записывается в виде:

(2.35)

Проводя тригонометрические преобразования, получаем:

(2.36)

Два последних слагаемых представляют собой произведение двух функций, одна из которых изменяется во времени медленно, а другая - быстро.

Основное преимущество ОБП-сигналов - двукратное сокращение полосы занимаемых частот, что оказывается существенным для частотного уплотнения каналов связи.

Дальнейшим усовершенствованием систем ОБП является частичное или полное подавление несущего колебания. При этом мощность передатчика используется ещё более эффективно.

Амплитудно-манипулированные сигналы. Важным классом многотональных АМ-сигналов являются так называемые манипулированные сигналы. В простейшем случае это - последовательности радиоимпульсов, отделённых друг от друга паузами. Такие сигналы широко используются в технике связи. Если S(t) - функция, в каждый момент времени принимающая значение либо 0, либо 1, то амплитудно-манипулированный сигнал представляется в виде:

(2.37)

Пусть, например, функция S(t) отображает периодическую последовательность видеоимпульсов. Считая, что амплитуда этих импульсов A=1 при имеем

(2.38)

Где q - скважность последовательности (, - длительность одного импульса).

6. Аналитический сигнал. Основные понятия и определения. Спектр аналитического сигнала

Анализируя формулу обратного преобразования Фурье, приходим к выводу, что произвольный сигнал с известной спектральной плотностью можно записать как сумму двух составляющих, каждая из которых содержит или только положительные, или только отрицательные частоты:

(3.1)

Назовём функцию

(3.2)

аналитическим сигналом, отвечающим колебанию S(t). Первый из интегралов в правой части формулы (3.1) путём замены переменной преобразуется к виду:

(3.3)

Поэтому из формулы (3.1) можно получить следующее соотношение между сигналами и :



(3.4)

или: - вещественная часть аналитического сигнала. Мнимая часть аналитического сигнала:

(3.5) называется сопряжённым сигналом по отношению к исходному колебанию S(t). Итак, аналитический сигнал:

(3.6)

На комплексной плоскости этот сигнал отображается вектором, модуль и фазовый угол которого изменяются во времени. Проекция аналитического сигнала на вещественную ось в любой момент времени равна исходному сигналу .

Исследуем спектральную плотность аналитического сигнала. Пусть . Из (3.2) с очевидностью следует:

(3.7)

Если - спектральная плотность сопряжённого сигнала, то в силу линейности преобразования Фурье:



(3.8)

Анализируя (3.7) и (3.8), можно убедиться в том, что спектральная плотность исходного и сопряжённого сигналов связаны между собой следующим образом:

. (3.9)

7. Преобразования Гильберта и его свойства. Применение пре образования Гильберта

Чтобы на практике получить сопряжённый сигнал, необходимо исходное колебание подать на вход некоторой системы, которая осуществляет поворот фаз всех спектральных составляющих на угол -в области положительных частот и на угол в области отрицательных частот, не изменяя по амплитуде. Формула (3.8) показывает, что спектральная плотность сопряжённого сигнала есть произведение спектра исходного сигнала и функции . В соответствии с обратной теоремой о свёртке сопряжённый сигнал представляет собой свёртку двух функций и которая является обратным преобразованием Фурье по отношении к функции .

Для удобства вычислений представим эту функцию в виде предела:

Тогда:

(3.10)

Таким образом, сопряжённый сигнал связан с исходным сигналом соотношением:

(3.11)

Можно поступить и по иному, выразив сигнал через , который полагается известным. Для этого достаточно заметить, что из (3.9) вытекает следующая связь между спектральными плотностями:

Поэтому соответствующая формула будет отличаться от (3.11) лишь знаком:

(3.12)

Формулы (3.11) и (3.12) называются прямым и обратным преобразованием Гильберта.

Символическая запись его такова:

(3.13)

Функция называется ядром этих преобразований.

Свойства преобразований Гильберта.

1) Простейшее свойство - линейность.

2) Сигнал, сопряжённый к константе, тождественно равен нулю: 3) Важное свойство преобразования Гильберта состоит в следующем: если при каком-либо исходный сигнал ) достигнет экстремума(максимума или минимума), то в окрестности этой точки сопряжённый сигнал проходит через нуль. Если исходный сигнал изменяется во времени «подобно косинусу», то сопряжённый с ним сигнал изменяется «подобно синусу»

4) Преобразования Гильберта имеют нелокальный характер: в общем случае поведение сопряженного сигнала в окрестности какой-либо точки, зависит от свойств исходного сигнала на всей оси времени.

Некоторые применения преобразований Гильберта

1) Преобразования Гильберта для гармонических сигналов

(3.16)

2) Преобразования Гильберта для узкополосного сигнала.

Пусть известна функция - спектральная плотность комплексной огибающей узкополосного сигнала с опорной частотой . Спектр данного сигнала:

Первое слагаемое в правой части соответствует области частот , второе . Тогда на основании формулы (3.9) спектр сопряжённого сигнала:

(3.17)

Откуда видно, что спектральная плотность комплексной огибающей сопряжённого сигнала

(3.18)

Сопряжённый сигнал в данном случае так же является узкополосным. Если комплексная огибающая исходного сигнала: , то в соответствии с равенством (3.18) комплексная огибающая сопряжённого сигнала равна и отличается от комплексной огибающей исходного колебания лишь наличием постоянного фазового сдвига на в сторону запаздывания.

Отсюда следует что узкополосному сигналу

соответствует сопряжённый по Гильберту сигнал.

(3.19)

3) Преобразование Гильберта огибающей, полной фазы и мгновенной частоты.

В рамках метода преобразования Гильберта огибающая произвольного сигнала S(t) определяется как модуль соответствующего аналитического сигнала:

(3.20)

По определению полная фаза любого сигнала S(t) равна аргументу аналитического сигнала :

(3.21)

Мгновенная частота сигнала есть производная полной фазы по времени:

(3.22)

8. Автокорреляционная функция сигналов

Задача корреляционного анализа возникла из радиолокации, когда нужно было сравнить одинаковые сигналы, смещённые во времени.

Для количественного определения степени отличия сигнала и его смещённой во времени копии принято вводить автокорреляционную функцию (АКФ) сигнала равную скалярному произведению сигнала и его сдвинутой копии.

(4.1)

Свойства АКФ

1) При автокорреляционная функция становится равной энергии сигнала:

(4.2)

2) АКФ - функция чётная

(4.3)

3) Важное свойство автокорреляционной функции состоит в следующем: при любом значении временного сдвига модуль АКФ не превосходит энергии сигнала:

4) Обычно, АКФ представляется симметричной линей с центральным максимумом, который всегда положителен. При этом в зависимости от вида сигнала автокорреляционная функция может иметь как монотонно убывающей, так и колеблющийся характер.

Например:

АКФ прямоугольного видеоимпульса

АКФ пачки из трёх прямоугольных видеоимпульсов, сдвинутых друг относительно друга на время .

АКФ бесконечной периодической последовательности видеоимпульсов:

Существует тесная связь между АКФ и энергетическим спектром сигнала.

В соответствии с формулой (4.1) АКФ есть скалярное произведение . Здесь символом обозначена смещённая во времени копия сигнала .

Обратившись к теореме Планшереля - можно записать равенство:

(4.4)

Спектральная плотность смещённого во времени сигнала , откуда . Таким образом, приходим к результату

(4.5)

Квадрат модуля спектральной плотности представляет собой энергетический спектр сигнала. Итак энергетический спектр и автокорреляционная функция связаны парой преобразований Фурье.

Ясно, что имеется и обратное соотношение

(4.6)

Эти результаты принципиально важны по двум причинам: во-первых, оказывается возможным оценивать корреляционные свойства сигналов, исходя из распределения их энергии по спектру. Во-вторых, формулы (4.5), (4.6) указывают путь экспериментального определения энергетического спектра. Часто удобнее вначале получить АКФ, а затем, используя преобразование Фурье, найти энергетический спектр сигнала. Такой приём получил распространение при исследовании свойств сигналов с помощью быстродействующих ЭВМ в реальном масштабе времени.

Часто вводят удобный числовой параметр - интервал корреляции , представляющий собой оценку ширины основного лепестка АКФ.

Например:

В данном случае:

Отсюда: (4.7)

Интервал корреляции тем меньше, чем выше верхняя граничная частота спектра сигнала. (Чем шире полоса частот сигнала, тем уже основной лепесток АКФ.)

9. Взаимокорреляционная функция двух сигналов

Взаимокорреляционной функцией (ВКФ) двух вещественных сигналов и называется скалярное произведение вида:

(4.8)

ВКФ служит мерой «устойчивости» ортогонального состояния при сдвигах сигналов во времени.

Действительно, если сигналы и ) ортогональны в исходном состоянии, то

При прохождении этих сигналов через различные устройства возможно, что сигнал будет сдвинут относительно сигнала на некоторое время .

Свойства ВКФ.

1) В отличие от АКФ одиночного сигнала, ВКФ, описывающая свойства системы двух независимых сигналов, не является чётной функцией аргумента :

(4.9)

2) Если рассматриваемые сигналы имеют конечные энергии, то их ВКФ ограничена.

3) При значения ВКФ вовсе не обязаны достигать максимума.

Примером ВКФ может служить взаимокорреляционная функция прямоугольного и треугольного видеоимпульсов.



Установим связь ВКФ со взаимной спектральной плотностью (взаимным энергетическим спектром).

На основании теоремы Планшереля

и поскольку спектр смещённого во времени сигнала , то и

Поскольку взаимный энергетический спектр то будет справедливо равенство:

(4.11)

Таким образом, взаимокорреляционная функция и взаимный энергетический спектр связаны между собой парой преобразований Фурье.

10. Дискретное преобразование Фурье

Исследуем особенности спектрального представления дискретного сигнала, который задан на отрезке своими отсчётами , взятыми соответственно в моменты времени ; полное число отсчётов (- интервал дискретизации).

Сопоставив такому сигналу некоторую математическую модель можно воспользоваться разложением в ряд Фурье и найти соответствующие амплитудные коэффициенты. Совокупность этих коэффициентов образует спектр дискретного периодического сигнала.

Воспользуемся моделью в виде последовательности дельта-импульсов. Тогда исходное колебание будет выражено формулой:

(5.1)

Где - выборочные значения аналогового сигнала.

Представим этот сигнал комплексным рядом Фурье.

(5.2)

С коэффициентами:

(5.3)

Подставляя формулу (5.1) в (5.3) получим

- дискретное преобразование Фурье (ДПФ) (5.4)

Основные свойства ДПФ

1. ДПФ- линейное преобразование т.е. сумме сигналов отвечает сумма их ДПФ

2. Число различных коэффициентов , вычисляемых по формуле (6.4), равно числу N за период; при коэффициент

3. Коэффициент (постоянная составляющая) является средним значением всех отсчётов:

4. Если - чётное число, то

5. Пусть отсчётные значения - вещественные числа. Тогда коэффициенты ДПФ, номера которых располагаются симметрично относительно /2, образуют сопряжённые пары:

Задача дискретного спектрального анализа может быть поставлена и по-иному. Допустим, что коэффициенты , образующие ДПФ, заданы. Положим в формуле (6.2) и учтём, что суммируется лишь конечное число членов ряда, которые отвечают гармоникам, содержащимся в спектре исходного сигнала.

Таким образом, получаем формулу для вычисления отсчётных значений

(5.5)

Очевидно, что (5.5) представляет собой формулу обратного дискретного преобразования Фурье (ОДПФ).

Пример:

Дискретный сигнал на интервале своей периодически задан шестью равноотстоящими отсчётами

Найти коэффициенты ДПФ этого сигнала

k - номер отсчёта

n - номер гармоники

1)

2)

3)

4)

11. Быстрое преобразование Фурье

Как видно, из формул (5.4) и (5.5), чтобы вычислить ДПФ или ОДПФ последовательности из элементов, требуется выполнить операций с комплексными числами. Если длины обрабатываемых массивов имеют порядок тысячи или более, то использовать эти алгоритмы дискретного спектрального анализа в реальном масштабе времени затруднительно из-за ограниченного быстродействия вычислительных устройств.

Выходом из положения является алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ), предложенный в 60-х годах XX века. Существенно сократить число операций удаётся за счёт того, что обработка входного массива сводится к нахождению ДПФ (или ОДПФ) массивов с меньшим числом членов.

Предположим, что число отсчётов , где - целое число. Разобьём входную последовательность на две части с чётными и нечётными номерами.

(5.6)



И представим -й коэффициент ДПФ в виде:

Из формулы видно, что первая половина коэффициентов ДПФ исходного сигнала с номерами от 0 до (N/2)-1 выражается через коэффициенты ДПФ двух частных последовательностей:

=0, 1, 2,…,(/2)-1 (5.7)

Учтём, что последовательности коэффициентов, относящихся к чётной и нечётной частям входного массива, являются периодическими с периодом N/2:

Кроме того, входящий в формулу (5.7) множитель при можно преобразовать так:

Отсюда находим выражение для второй половины множества коэффициентов ДПФ



(5.8)

Формулы (5.7) и (5.8) лежат в основе алгоритма БПФ. Далее вычисления строят по итерационному принципу: последовательности отсчётов с чётными и нечётными номерами вновь разбивают на две части. Процесс продолжают до тех пор, пока не получается последовательность, состоящая из единственного элемента. ДПФ этого элемента совпадает с ним самим.

Число операций, необходимых для вычисления БПФ оценивается как .

12. Z-преобразование

При анализе и синтезе дискретных и цифровых устройств Z-преобразование играет такую же роль, как интегральные преобразования Фурье по отношению к непрерывным сигналам.

Пусть - числовая последовательность, конечная или бесконечная, содержащая отсчётные значения некоторого сигнала. Поставим ей в однозначное соответствие сумму ряда по отрицательным степеням комплексной переменной Z:

(5.9)

Эта сумма называется Z-преобразованием последовательности . Свойства дискретных последовательностей чисел можно изучать, исследуя их Z-преобразования обычными методами математического анализа.

На основании формулы (5.9) можно непосредственно найти Z-преобразования сигналов с конечным числом отсчётов. Так простейшему дискретному сигналу с единственным отсчётом соответствует Если же, например, , то

Рассмотрим случай, когда в ряде (5.9) число слагаемых бесконечно велико.

Возьмём дискретный сигнал образованный одинаковыми единичными отсчётами и служащий моделью обычной функции включения. Бесконечный ряд является суммой геометрической прогрессии и сходится при любых Z, |Z|>1. Суммируя прогрессию, получаем

Аналогично получается Z-преобразование бесконечного дискретного сигнала , где - некоторое вещественное число. Здесь

Данное выражение имеет смысл при |Z|>

Пусть x(z) - функция комплексной переменной Z. Замечательное свойство Z-преобразование состоит в том, что функция x(z) определяет всю бесконечную совокупность отсчётов ().

Действительно, умножим обе части ряда (5.9) на множитель :



(5.10)

а затем вычислим интегралы от обеих частей полученного равенства, взяв в качестве контура интегрирования произвольную замкнутую кривую, При этом воспользуемся фундаментальным положением из теоремы Коши:

Интегралы от всех слагаемых правой части обратятся в нуль, за исключением слагаемого с номером m, поэтому:

(5.11)

Данное выражение носит название обратное Z-преобразование.

Важнейшие свойства Z-преобразования:

1. Линейность. Если и - некоторые дискретные сигналы, причём известны соответствующие Z-преобразования x(z) и y(z), то сигналу будет отвечать преобразование при любых постоянных и . Доказательство проводится путём подстановки суммы в формулу (7.1).

2. Z-преобразование смещённого сигнала. Рассмотрим дискретный сигнал , получающийся из дискретного сигнала путём сдвига на одну позицию в сторону запаздывания, т.е. когда . Непосредственно вычисляя Z-преобразование, получаем следующий результат:

(5.12)



Таким образом, символ служит оператором единичной задержки (на один интервал дискретизации) в Z-области.

3. Z-преобразование свёртки. Пусть x(z) и y(z) - непрерывные сигналы, для которых определена свёртка:

(5.13)

Применительно к дискретным сигналам по аналогии с (7.5) принято вводить дискретную свёртку - последовательность чисел общий член которой:

(5.14)

Подобную дискретную свёртку называют линейной

Вычислим Z-преобразование дискретной свёртки:

(5.15)

Итак, свёртке двух дискретных сигналов отвечает произведение Z-преобразований.

13. Стационарные и эргодические случайные процессы

1. Стационарность. Случайные процессы, статистические характеристики которых одинаковы во всех сечениях называются стационарными случайными процессами. Различаются стационарные случайные процессы в узком смысле и широком смысле. Случайный процесс стационарен в узком смысле, если любая n-мерная плотность вероятности инвариантна относительно временного сдвига :

(6.1)

Если же ограничить требования тем, чтобы математическое ожидание m и дисперсия процесса не зависели от времени, а функция корреляции зависела лишь от разности , т.е. , то подобный случайный процесс будет стационарен в широком смысле. Из стационарности в узком смысле следует стационарность в широком смысле, но не наоборот. Как следует из определения, функция корреляции стационарного случайного процесса является чётной:

Кроме того, абсолютные значения этой функции при любом не превышают её значения при :

(6.2)

Часто удобно использовать нормированную функцию корреляции:

(6.3)

Для которой

2. Эргодичность. Стационарный случайный процесс называется эргодическим, если при нахождении его моментных функций усреднение по статистическому ансамблю можно заменить усреднением по времени.

Операция усреднения выполняется над единственной реализацией x(t), длительность которой теоретически может быть сколь угодно велика. Обозначая усреднение по времени угловыми скобками, запишем математическое ожидание эргодического случайного процесса:

, (6.4)

которое равно постоянной составляющей выбранной реализации.

Дисперсия подобного процесса.

(6.5)

Аналогично находим функцию корреляции:

(6.6)

Достаточным условием эргодичности случайного процесса, стационарного в широком смысле, является стремление к нулю функции корреляции при неограниченном росте временного сдвига :

(6.7)

Это требование можно несколько ослабить и применительно к гармоническому процессу со случайной начальной фазой. Случайный процесс эргодичен если выполняется условие Слуцкого:



(6.8)

14. Спектральное представление стационарных случайных процессов. Теорема Винера-Хинчина

Рассмотрим стационарный случайный процесс Х(t) c нулевым математическим ожиданием: . Отдельно взятая реализация этого процесса есть детерминированная функция, которую можно представить в виде обратного преобразования Фурье:

(6.9)

с некоторой детерминированной спектральной плотностью . Для того, чтобы описать весь ансамбль реализаций, образующий процесс Х(t), нужно допустить, что спектральные плотности сами являются случайными функциями частоты. Таким образом, случайный процесс во временной области порождает другой случайный процесс - в частотной области. Если реализация случайного процесса представлена в форме (6.9) то говорят, что осуществлено спектральное представление этого процесса.

Важный вопрос: какими свойствами должны обладать случайные функции для того, чтобы процесс Х(t) был стационарным в широком смысле?

Свойства случайной спектральной плотности:

1) Прежде всего, усредним мгновенные значения сигналов x(t) по ансамблю реализаций и приравняем его к нулю.



Это равенство будет выполняться тождественно при любом значении t, если потребовать выполнения условия . Итак, случайная спектральная плотность отдельных реализаций стационарного случайного процесса должна иметь нулевое математическое ожидание на всех частотах.

2) Возьмём комплексно сопряжённый сигнал, так что наряду с (6.9) справедливо равенство:

(6.10)

Запишем выражение функции корреляции процесса X(t), используя спектральные разложения случайных реализаций:

(6.11)

Здесь во внутреннем подынтегральном выражении содержится множитель , имеющий смысл функции корреляции случайной спектральной плотности. Для того чтобы функция не зависела от времени t, необходимо, как это видно из выражения (6.11) выполнение следующей пропорциональности:

(6.12)

Случайная спектральная плотность стационарного процесса имеет специфическую структуру; ее значения, отвечающие любым двум несовпадающим частотам, не коррелированы между собой. В то же время средний квадрат (дисперсия) случайной спектральной плотности неограниченно велик при любых частотах. Такой вид корреляционной связи называют дельта-коррелированностью.

Введём в формулу (6.12) множитель пропорциональности, зависящий от частоты, и запишем это равенство таким образом:

(6.13)

Функция называется спектральной плотностью мощности процесса Х(t) (спектром мощности). Если случайный сигнал является напряжением, то его спектр мощности имеет размерность , то есть размерность удельной мощности, выделяемой на единичном резисторе.

Подставив (6.13) в (6.11) приходим к важному результату:

(6.14)

(6.15)

Итак, функция корреляции и спектр мощности стационарного случайного процесса связаны между собой преобразованиями Фурье.

Формулы (6.14) и (6.15) составляют содержание теоремы Винера-Хинчина (1934 г. Хинчин А.Я. и Н. Винер).

Для того чтобы выяснить физический смысл дисперсии, положим в (6.14) Тогда поскольку , получаем



(6.16)

Следует подчеркнуть различие между энергетическим спектром детерминированного импульсного сигнала u(t) и спектральной плотностью мощности стационарного случайного процесса X(t). Функция характеризует меру энергии, приходящуюся на единичную полосу частот. В отличие от этого функция характеризует удельную меру мощности. Этот факт находит отражение и в разных физических размерностях данных функций.

Свойства спектральной плотности мощности

1) По своему физическому смыслу спектр мощности вещественен и неотрицателен:

Необходимо указать, что спектральная плотность мощности стационарного случайного процесса, будучи всегда вещественной, не содержит никакой информации о фазовых соотношениях между отдельными спектральными составляющими. Поэтому по спектру мощности принципиально невозможно восстановить какую - либо отдельно взятую реализацию случайного процесса.

2) Поскольку чётная функция аргумента , то соответствующий спектр мощности представляет собой чётную функцию частоты . Отсюда следует, что пару преобразований Фурье (6.14), (6.15) можно записать, используя интегралы в полубесконечных пределах:

(6.17)

(6.18)



3. Целесообразно ввести так называемый односторонний спектр мощности случайного процесса, определив его следующим образом:

(6.19)

Функция позволяет вычислить дисперсию стационарного случайного процесса путём интегрирования по положительным (физическим частотам):

(6.20)

4. В технических расчётах часто вводят односторонний спектр мощности N(f), представляющий собой среднюю мощность случайного процесса, приходящуюся на интервал частот шириной в 1 Гц:

(6.21)

При этом, как легко видеть

Весьма важным параметром случайных процессов является интервал корреляции. Случайные процессы, как правило, обладают следующими свойствами: их функция корреляции стремится к нулю с увеличением временного сдвига . Чем быстрее убывает функция , тем меньше оказывается статистическая связь между мгновенными значениями случайного сигнала в два несовпадающих момента времени.

Числовой характеристикой, служащей для оценки «скорости изменения» реализации случайного процесса, является интервал корреляции определяемый выражением:

(6.22)

Если известна информация о поведении какой-либо реализации «в прошлом», то возможен вероятностный прогноз случайного процесса на время порядка .

Ещё одним существенным параметром для случайного процесса является эффективная ширина спектра. Пусть исследуемый случайный процесс характеризуется функцией - односторонним спектром мощности, причём - экстремальное значение этой функции. Заменим мысленно данный случайный процесс другим процессом, у которого спектральная плотность мощности постоянна и равна в пределах эффективной полосы частот , выбираемой из условия равенства средних мощностей обоих процессов:

Отсюда получается формула для эффективной ширины спектра:

(6.23)

Вне пределов указанной полосы спектральная плотность случайного процесса считается равной 0.

Этой числовой характеристикой часто пользуются для инженерного расчёта дисперсии шумового сигнала: .

Если реализации случайного процесса имеют размерность напряжения (В), то относительный спектр мощности N имеет размерность .

15. Типовые модели случайных сигналов

А) Белый шум.

стационарный случайный процесс с постоянной на всех частотах спектральной плотностью мощности называется белым шумом.

(7.1)

Термин «белый шум» образно подчёркивает аналогию с «белым» (естественным) светом, у которого в пределах видимого диапазона интенсивность всех спектральных составляющих приблизительно одинакова.

По теореме Винера-Хинчина функция корреляции белого шума:

равна нулю всюду кроме точки . Средняя мощность (дисперсия) белого шума неограниченно велика.

Белый шум является дельта-коррелированным процессом. Некоррелированность мгновенных значений такого случайного сигнала означает бесконечно большую скорость изменения их во времени - как бы мал ни был интервал , сигнал за это время может измениться на любую наперёд заданную величину.

Белый шум является абстрактной математической моделью и отвечающий ему физический процесс, безусловно, не существует в природе. Однако это не мешает приближённо заменять реальные достаточно широкополосные случайные процессы белым шумом в тех случаях, когда полоса пропускания цепи, на которую воздействует случайный сигнал, оказывается существенно уже эффективной ширины спектра шума.

Б) Гауссово (нормальное) распределение.

В теории случайных сигналов фундаментальное значение имеет гауссова плотность вероятности.

(7.2)

содержащая два числовых параметра m и . График данной функции представляет собой колоколообразную кривую с единственным максимумом в точке x=m. При уменьшении график всё более локализуется в окрестности точки x=m.

Непосредственным вычислением можно убедиться, что параметры гауссова распределения имеют смысл соответственно математического ожидания и дисперсии: ; . Функция распределения гауссовой случайной величины

Замена переменной даёт:

(7.3)

Здесь Ф интеграл вероятностей

График функции F(x) имеет вид монотонной кривой, изменяющейся от 0 до 1.

16. Узкополосные случайные сигналы

Исследуем свойства узкополосных случайных сигналов, у которых спектральная плотность мощности имеет резко выраженный максимум вблизи некоторой частоты , отличной от нуля. Определим функцию корреляции узкополосного случайного процесса.

Рассмотрим стационарный случайный процесс x(t), односторонний спектр мощности которого концентрируется в окрестности некоторой частоты >0. По теореме Винера-Хинчина функция корреляции данного процесса

(7.4)

Мысленно сместим спектр процесса из окрестности частоты в окрестность нулевой частоты, выполнив замену переменной . Тогда формула (7.4) приобретает вид:

(7.5)

В соответствии с исходным предположением об узкополосности процесса X(t) его спектр мощности исчезающе мал на частотах, близких к нулю. Поэтому в выражении (7.5) можно заменить нижний предел интегрирования на , не внося ощутимой погрешности, и записать функцию корреляции в виде

(7.6)

Особенно простой функция корреляции узкополосного процесса получается в случае, когда спектр мощности симметричен относительно центральной частоты . При этом , так что

(7.7)

Здесь коэффициент играет роль огибающей, которая изменяется медленно по сравнению с множителем . Часто бывает удобным ввести нормированную огибающую функции корреляции узкополосного случайного процесса, определив её с помощью равенства .

Тогда

(7.8)

Характерный вид функции корреляции (7.8) свидетельствует о том, что отдельные реализации узкополосного случайного процесса представляют собой квазигармонические колебания:

, (7.9)



у которых как огибающая U(t), так и начальная фаза являются случайными функциями, медленно (в масштабе ) изменяющимися во времени.

Представим реализацию (7.9) как сумму синфазной и квадратурной составляющих.

(7.10)

Предположение о медленности синфазной A(t) и квадратурной B(t) амплитуд позволяет весьма просто записать выражение для реализации сопряжённого процесса, вынеся медленные множители за знак преобразования Гильберта:

(7.11)

Отсюда получаем формулы для мгновенных значений реализации огибающей

(7.12)

и начальной фазы

(7.13)

Часто на практике ставится задача нахождения совместной плотности вероятности огибающей и начальной фазы узкополосного случайного процесса. При этом особенно удобно воспользоваться методом, основанном на переходе от узкополосного случайного процесса к его синфазной и квадратурной составляющим. Благодаря этому методу мы можем вычислить двумерную плотность вероятности . Эта характеристика позволяет найти одномерную плотность вероятности огибающей:

(7.14)

И плотность вероятности начальной фазы

(7.15)

Мгновенные значения амплитуды A(t) и B(t) образуют двумерный гауссов вектор, обе составляющие которого независимы и имеют одинаковые дисперсии . Поэтому двумерная плотность вероятности.

(7.16)

Теперь, чтобы получить искомую плотность вероятности следует выполнить функциональное преобразование, переводящее случайный вектор {A,B} в новую случайную совокупность ,

(7.17)



Якобиан такого преобразования

(7.18)

Поскольку в новых переменных , искомая двумерная плотность вероятности:

(7.19)

Теперь, используя формулы (7.15) и (7.19) можем найти плотность вероятности начальной фазы:

Введём замену переменной

Тогда:

(7.20)

Таким образом, начальная фаза узкополосного случайного процесса распределена равномерно на отрезке

На основании формул (7.14) и (7.19) определим одномерную плотность вероятности огибающей



(7.21)

Здесь так же целесообразно перейти к безразмерной переменной относительно которой

. (7.22)

Плотность вероятности мгновенных значений огибающей узкополосного случайного процесса, устанавливаемая выражением (7.21), (7.22) известна под названием закона Рэлея. Соответствующий график показывает, что наиболее вероятны некоторые средние (порядка ) значения огибающей. В то же время маловероятно, чтобы огибающая принимала значения как близкие к нулю, так и значительно превосходящие среднеквадратичный уровень узкополосного процесса.

Проводя усреднение с помощью плотности вероятности (7.22) находим среднее значение огибающей и её дисперсию:

(7.23)

(7.24)

Располагая одномерной плотностью вероятности огибающей, можно решить ряд задач теории узкополосных случайных процессов, в частности, найти вероятность превышения огибающей некоторого заданного уровня.

Будем считать, что помимо флуктуационного гауссова шума с центральной частотой , равной резонансной частоте усилителя, на выходе присутствует также детерминированный гармонический сигнал с известной амплитудой .

Простейшей задачей является нахождение одномерной плотности вероятности огибающей суммарного колебания. Считая, что полезный сигнал , в то время как шум , запишем выражение реализации суммарного процесса

X(t) .

Данный случайный процесс узкополосен, поэтому его реализация может быть выражена посредством медленно меняющихся огибающей U(t) и начальной фазы :

.

Очевидно, между парами имеется связь:

(7.25)

Легко проверить, что якобиан D этого преобразования равен U. Тогда, поскольку двумерная плотность вероятности:

В новых переменных имеем.

(7.26)

Теперь чтобы получить одномерную плотность вероятности огибающей, следует проинтегрировать правую часть формулы (7.26) по угловой координате в результате чего находим:

(7.27)

Данная формула выражает закон, получивший название закона Райса. Отметим, что при , т.е. в отсутствие детерминированного сигнала, закон Райса переходит в закон Рэлея.

На рисунке представлены графики плотности вероятности случайной величины, распределённой по закону Райса при различных отношениях



Отметим, что если амплитуда детерминированного сигнала значительно превышает среднеквадратический уровень шума, т.е. >>1 то при можно воспользоваться асимптотическим представлением модифицированных функций Бесселя с большим аргументом:

Подставив это выражение в (7.27), имеем

(7.28)

Т.е. огибающая результирующего сигнала распределена в этом случае приближённо нормально с дисперсией и математическим ожиданием . Практически считают, что уже при огибающая результирующего сигнала нормализуется.



17. Шумоподобные сигналы и их свойства. Применение шумоподобных сигналов

Шумоподобными сигналами (ШПС) называют такие сигналы, у которых произведение ширины спектра на длительность T много больше единицы. Это произведение называется базой сигнала и обозначается , т.е.

(8.1)

У ШПС Шумоподобные сигналы иногда называют сложными в отличие от простых сигналов с Поскольку у сигналов с ограниченной длительностью спектр имеет неограниченную протяженность, то для определения ширины спектра используют различные методы и приемы. Для реальных ШПС, состоящих и конечного числа элементов, всегда можно однозначно определить и , и

В системах связи с ШПС ширина спектра всегда много больше ширины спектра передаваемого сообщения. В цифровых системах связи, передающих информацию в виде двоичных символов, длительность ШПС и скорость передачи информации связаны соотношением Поэтому база ШПС

(8.2)

характеризует расширение спектра ШПС относительно спектра сообщения. В аналоговых системах связи, у которых верхняя частота сообщения равна и частота отсчета равна

(8.3)

И если то и Именно поэтому системы связи с ШПС получили название широкополосные системы связи (ШСС).

Шумоподобные сигналы получили применение в широкополосных

системах связи, так как: обеспечивают высокую помехозащищенность систем связи; позволяют организовать одновременную работу многих абонентов в общей полосе частот при асинхронно - адресном принципе работы системы связи, основанном на кодовом разделении абонентов; позволяют успешно бороться с многолучевым распространением радиоволн путем разделения лучей; обеспечивают совместимость передачи информации с измерением параметров движения объекта в системах подвижной связи; обеспечивают электромагнитную совместимость (ЭМС) ШСС с узкополосными системами радиосвязи и радиовещания, системами телевизионного вещания, обеспечивают лучшее использование спектра частот на ограниченной территории по сравнению с узкополосными системами связи.

18. Модуляция шумоподобного сигнала по форме

При этой модуляции сообщение в виде двоичного кодового слова разбивается на блоки длиной в “k” символов. Набору k =1,2,3,… двоичных слов каждого блока ставится в однозначное соответствие набор отличающихся по форме ШС. Частными случаями этой модуляции являются: амплитудная модуляция ШС и фазовая модуляция ШС. Для АМ и ФМ ШС длина блоков k =1, а число возможных форм равно 2.

На рис.8.3 приведена схема амплитудного модулятора ШС.

...