Анализ и обработка сигналов

Если при приёме сигналов учитывается статистический характер сигналов, помех и решений приёмника, то мы говорим, что приём сигналов трактуется как статистическая задача. Впервые такую постановку задачи рассмотрел В.А. Котельников.

Способность канала обеспечить заданную верность передачи в условиях действия помех называется помехоустойчивостью.

Максимум вероятности правильного приёма символа для гауссовского канала при заданном виде модуляции В.А. Котельников назвал потенциальной помехоустойчивостью, а демодулятор, обеспечивающий этот максимум - идеальным приёмником.

Из этого определения следует, что ни в одном реальном демодуляторе вероятность правильного приёма символа не может быть больше, чем в идеальном приёмнике.

Элементы теории решений

Пусть при передаче дискретных сообщений, закодированных кодом с основанием m используются реализации сигнала , 0<t<T, соответствующие кодовым символам . В течение тактового интервала 0<t<T на вход приёмного устройства поступает колебание Z(t), которое вследствие искажений и помех в канале, не совпадает в точности не с одним из сигналов . В этом случае приёмное устройство должно выбрать одну из m возможных взаимоисключающих (альтернативных) гипотез;

передавался кодовый символ , то есть сигнал .

………………………….

передавался кодовый символ , то есть сигнал .



Для двоичной системы (m=2) приёмное устройство выбирает одну из двух альтернативных гипотез о передаче символа 1 или 0.

Совокупность всех возможных реализаций Z(t) можно интерпретировать точками в пространстве Z принимаемых сигналов. Будем графически изображать реализации принимаемых сигналов и помехи n(t) длительностью Т точками на плоскости или соответствующими векторами, откладываемыми от начала координат 0. Если правило решения выбрано, то это означает, что каждой точке пространства принимаемых колебаний (концу вектора) Z=S+n приписывается одна из m гипотез, то есть определённый передаваемый кодовый символ . Пространство принимаемых сигналов окажется при этом разбитым на m непересекающихся областей , каждая из которых соответствует принятию определённой гипотезы. В такой трактовке различные приёмные устройства отличаются друг от друга способом разбииения пространства сигналов на области , то есть правилом принятия решения.

В математической теории связи это разбиение называют решающей схемой. В некоторых случаях пользуются решающей схемой со стиранием, или отказом от решения. Это значит, что m областей не охватывают всего пространства сигналов Z, и если приходящий сигнал не попадает ни в одну из этих областей, то принимается решение о стирании либо о невозможности определить передаваемый символ.

В двоичной системе пространство Z разбивают на две непересекающиеся области и . Пусть на интервале 0-Т принимается колебание

(11.2)

где - полезный сигнал в месте приёма, прошедший канал связи, а n(t) - реализация аддитивной помехи.

Если помехи отсутствуют, возможные значения изображаются точками . При наличии помехи и передаче сигнала с номером i точка принимаемого колебания Z отклоняется от точки . На рис. это показано для сигналов , . Обычно область содержит точку . В тех случаях, когда помеха не выводит точку Z за пределы области , решение оказывается верным. В противном случае возникает ошибка. Изменяя границы между областями, можно влиять на вероятность ошибочного приёма отдельных передаваемых символов.

Например, если в разбиении, показанном на рисунке расширить область за счёт области , то уменьшится вероятность, ошибочного приёма символа , вместо предаваемого символа . Однако в этом случае возрастает вероятность ошибочного приёма передаваемого . Очевидно, всегда существует такое расположение областей, которое в определённом смысле лучше всякого другого.

Осуществить наилучшее разбиение пространства принимаемых сигналов методами теории статистических решений ( оптимизацию решающей схемы приёмного устройства) можно, если задан критерий качества.



29. Критерии оптимизации приёма дискретных сообщений

I.Критерий идеального наблюдателя, или критерий Котельникова

Это критерий, по которому качество приёмника оценивают безусловной вероятностью правильного приёма сигнала.

Пусть на вход приёмника в течение тактового интервала 0-Т приходит некоторый элемент сигнала Z(t). Предположим, что приёмник принимает при этом решение, что передан символ . Вероятность того, это решение правильно, очевидно, равна условной вероятности того, что действительно передавался символ при условии прихода реализации элемента сигнала Z(t), . Её называют обычно апостериорной вероятностью символа (то есть вероятностью, определённой после опыта, заключающегося в наблюдении и анализе сигнала Z(t).)

Очевидно, что вероятность правильного приёма будет максимальной в такой решающей схеме, для которой апостериорная вероятность максимальна. Другими словами, критерий идеального наблюдателя обеспечивается решающей схемой, построенной по правилу максимума апостериорной вероятности - решение о принимается в том случае, если выполняется система из m-1 неравенств:

(11.3)

Согласно известной формуле Бейеса для :

(11.4)

где - n-мерная плотность вероятности вектора Z, - априорная вероятность передачи символа (то есть та вероятность, которая имеет место до наблюдения и анализа, определяемая статистикой источника сообщения и правилом кодирования).

Подставив (11.4) в (11.3) и учитывая, что - безусловная плотность вероятности, не являющаяся функцией i, можно записать правила решения для идеального наблюдателя в следующей форме:

, (11.5)

где - функция правдоподобия i-той гипотезы

Для построения решающей схемы по правилу (11.5) необходимо знать априорные вероятности символов , определяемые источником, а также свойства модулятора и канала, определяющие условные плотности вероятности. - функции правдоподобия.

Недостатком критерия максимума апостериорной вероятности является тот факт, что он обеспечивает большую вероятность правильного приёма за счёт сокращения области маловероятных и расширения области приёма высоковероятных символов; в результате редко передаваемые символы передавались бы менее надёжно, а они несут больше информации.

II. Правило (11.5) можно записать иначе - решение о том, что передавался символ , должно приниматься, если для всех выполняется m-1 неравенств:

(11.6)

Отношение в левой части этого неравенства называется отношением правдоподобия двух гипотез о том, что передавался символ . Его обозначают .

Для двоичной системы правило сводится к проверке



(11.7)

Во многих случаях различные ошибки приводят к различным последствиям.

III. Учёт последствий ошибок различного рода (связанных с передачей различных символов приводит к обобщению критерия идеального наблюдателя, известного под названием критерия минимального среднего риска (или байесовского критерия). Если при передаче символа принят символ , то при имеет место ошибка.

Чтобы учесть неравноценность различных ошибок, будем с каждой парой символов и связывать некоторую численную величину, называемую «потерей», обозначив её Lij. Величина «потери» зависит от того какой символ принят вместо переданного . Правильному приёму при этом приписывается нулевая потеря.

Так как при передаче символа символ появляется с определёнными вероятностями как реализации некоторой дискретной случайной величины, можно говорить об условном математическом ожидании величины «потери» при передаче конкретного символа . Назовём это условное математическое ожидание условным риском:

(11.8)

Интервал берётся по области решающей схемы и представляет вероятность того, что сигнал Z(t) попал в эту область, если передавался символ . Усреднив условный риск по всем символам , получим величину, называемую средним риском:



(11.9)

Критерий минимального среднего риска заключается в том, что оптимальной считается решающая схема, обеспечивающая наименьшее значение среднего риска . Приёмник, работающий по такому критерию называется байесовским. Из (11.9) видно, что при использовании этого критерия нужно помимо априорных вероятностей передачи отдельных символов знать и величины потерь Lij. Заметим, что если считать все ошибки равноценными (), то критерий минимального среднего риска совпадает с критерием идеального наблюдателя, а байесовский приёмник совпадает с идеальным приёмником Котельникова.

IV Ситуация, в которой практически невозможно определить априорную вероятность передачи отдельных элементарных сообщений, а последствия ошибок разного рода неодинаковы, особенно типична для радиолокации, когда приёмник, анализируя принимаемое колебание Z(t) (отражённый сигнал плюс помеха), должен определить, имеется в данном направлении и на данном расстоянии объект наблюдения (цель) или нет. Последствия двух родов ошибок ложной тревоги и пропуска цели - неравноценны.

В этой и других сходных ситуациях чаще всего пользуются критерием приёма, известным под названием критерия Неймана Пирсона. Суть его заключается в том, что решающая схема считается оптимальной, если при заданной вероятности ложной тревоги обеспечивается минимальная вероятность пропуска цели .

Введём в рассмотрение функции правдоподобия гипотезы об отсутствии цели w(Z/0) и о наличии цели w(Z/1).

Минимизация при заданной величине достигается, если решение о наличии цели принимается при выполнении неравенства.

(11.10)

Где - пороговый уровень, определяемый заданной вероятностью ложной тревоги

В технике связи преимущественно применяют правило максимального правдоподобия. В том случае, когда все символы передаются равновероятно, правило максимального правдоподобия переходит в критерий идеального наблюдателя. Часто это правило решения применяют и при неизвестных или известных но не одинаковых априорных вероятностях символов. Правило максимального правдоподобия переходит в критерий минимума среднего риска, если положить .

Существуют так же и другие критерии, например, критерий взвешенной вероятности ошибки, минимаксный критерий, при котором коэффициент потерь считается заданным и другие.

Выбор того или иного варианта критерия оптимальности называют стратегией. Стратегия определяется исходными данными при проектировании. Наиболее простая стратегия соответствует критерию максимального правдоподобия. Рассматриваемые задачи в статистической теории связи классифицируются как задачи распознавания и задачи обнаружения сигнала. Например, при амплитудной телеграфии (АТ) - передача с «пассивной паузой» - приёмное устройство выполняет функции обнаружителя. (Термин «обнаружение» первоначально возник в радиолокации). В случае частотной или фазовой телеграфии (ЧТ или ФТ) приёмное устройство работает по принципу распознавания.



30. Алгоритм оптимального приёма при полностью известных сигналах. (Когерентный приём)

Полностью известными называются сигналы, у которых известны информационные параметры (то есть параметры, которые модулируются).

Когерентный приём - это приём полностью известных сигналов.

Предположим, что в канале действует наиболее типичная помеха - гауссовский аддитивный шум N(t), который в начале будем считать белым (широкополосным) со спектральной плотностью . Это значит, что при передаче сигнала (символа , i=0,1, …,m-1) приходящий сигнал можно описать моделью:

(11.11)

где все известны. Неизвестны лишь реализация помехи и индекс i действительно переданного сигнала, который и должна определить решающая схема.

Будем также считать, что все сигналы являются финитными.

Определим в этих условиях алгоритм работы оптимального приёмника, анализирующего сигнал на тактовом интервале 0-Т по критерию максимального правдоподобия.

Алгоритм предусматривает ряд отдельных последовательных действий - «шагов»

1) Примем так называемую нулевую (или шумовую) гипотезу: S(t)=0; Z(t)=N(t)=ш.

То-есть предположим, что на вход приёмника поступает только шум.

2) Задача затрудняется тем, что ширина спектра сигнала бесконечна (поскольку он финитный), а поэтому пространство сигналов бесконечное. Для таких сигналов не существует плотности вероятностей. Однако существуют n-мерные плотности вероятностей для любых n сечений сигнала. Поэтому заменим белый шум квазибелым, имеющим ту же одностороннюю спектральную плотность мощности , но только в некоторой полосе частот F.

3) Возьмём на тактовом интервале (Т) n равноотстоящих сечений через . Отсчёты в этих сечениях квазибелого гауссовского шума независимы.

4) Поэтому n-мерная плотность вероятностей для взятых отсчётов:

(11.12)

где - дисперсия (мощность) квазибелого шума.

5) При гипотезе, что передавался символ , согласно (11.11) . Следовательно, условная n-мерная плотность вероятности сечений Z(t) определяется такой же формулой, как и (11.12), если заменить разностью , представляющей при этой гипотезе шум:

(11.13)

6) Отношение правдоподобия для сигнала (относительно дополнительной гипотезы), вычисленное для n сечений:

(11.14)

7) Заменим дисперсию её выражением

Тогда (11.15)

8) По правилу максимума правдоподобия в случае квазибелого шума решающая схема должна выбирать значение i, обеспечивающее максимум . Вместо максимума можно отыскивать максимум его логарифма:

(11.16)

9) Второй член в (11.16) можно при сравнении гипотез не учитывать, он сокращается. Тогда правило решения о том, что передавался символ , согласно (11.7) можно выразить системой неравенств:

(11.17)

10) Вернёмся теперь к исходной задаче для белого шума. Для этого будем расширять полосу F, тогда число сечений n стремится к бесконечности, - к нулю. Суммы в (11.17) обратятся в интегралы, и правило решения определяется так:

(11.18)

Выражение (11.18) определяет те операции (алгоритм работы), которые должен совершать оптимальный приёмник над входным колебанием Z(t).



31. Реализация алгоритма оптимального приема на основе корреляторов

Структурная схема приёмного устройства, работающего в соответствии с алгоритмом (11.18) для m=2

Здесь «-» - вычитающие устройства;

- генераторы опорных сигналов ;

«Кв» - квадраторы;

- интегралы;

РУ - решающее устройство, определяющее в момент времени, кратные Т (при замыкании ключей), номер ветви с минимальным сигналом. При m>2 в схеме растёт соответственно число ветвей обработки сигнала, попадающих на РУ.

Наличие в схеме квадраторов, призванных обеспечить квадратичное преобразование мгновенных значений входных сигналов во всём их динамическом диапазоне, часто затрудняет её реализацию. Поэтому на основе (11.18) получим эквивалентный алгоритм приёма, не требующий устройств возведения в квадрат.

Раскрыв скобки под знаком интеграла и сократив в обеих частях неравенств (11.18) слагаемое , приходим к алгоритму приёма:

(12.1)

где - энергии ожидаемого сигнала

(12.2)

Для двоичной системы алгоритм (12.2) сводится к проверке одного неравенства:

(12.3)

Устройство, непосредственно вычисляющее скалярное произведение

(12.4)

называют активным фильтром или коррелятором; поэтому приёмник, реализующий алгоритм (12.4), называют корреляционным.



На рисунке показана структурная схема приёмного устройства, работающего в соответствии с (12.3). Здесь блоки x - перемножители; - генераторы опорных сигналов - интеграторы; «-» - вычитающие устройства; РУ - решающее устройство, определяющее в моменты времени, кратные Т (при замыкании ключа), i=0, 1 - номер ветви с максимальным сигналом.

Если сигналы выбраны таким образом, что все их реализации (а следовательно, и все реализации ) имеют одинаковые энергии (), алгоритм приёма (12.3) (и соответственно его реализация) упрощается (отпадает необходимость в вычитающих устройствах) и принимает вид:

(12.5)

Из (12.5) видно, что правило решения не изменится, если сигнал z(t), поступающий на вход демодулятора, умножить на любое число. Поэтому система, в которой все реализации сигнала имеют равную энергию, отличается тем, что оптимальный алгоритм приёма в ней не требует знания «масштаба» приходящего сигнала или, другими словами, знания коэффициента передачи k канала. Эта важная особенность обусловила широкое распространение систем сигналов с равной энергией, которые обычно называют системами с активной паузой. Это особенно важно для каналов с замираниями, в которых коэффициент передачи флуктуирует.

Для двоичной системы неравенство (12.3) можно представить в более простом виде:

, (12.6)

где - разностный сигнал; - пороговый уровень. Для системы с активной паузой , что значительно облегчает реализацию оптимальной схемы.

Существуют также системы с пассивной паузой. Реализуем алгоритм (12.6) для двоичной системы передачи однополярными импульсами (с пассивной паузой):

.

При этих сигналах и (12.6) примет следующий вид:

(12.7)

Рассмотренную систему двоичных сигналов используют в простейших устройствах проводной связи. В радиоустройствах, а также в современных кабельных каналах связи применяют высокочастотные сигналы. Наиболее простыми двоичными системами с гармоническими сигналами являются системы с амплитудой (АМ), фазовой (ФМ) и частотной (ЧМ) манипуляцией.

В двоичной АМ . Все входящие сюда постоянные () полагаем известными. Поскольку здесь , правило (12.7) запишется так:

Оно реализуется схемой с блоком перемножения приходящего сигнала с опорным сигналом .

При двоичной ФМ системе

Это - система с активной паузой, и поэтому в (12.6) . Легко убедиться, что правило решения сводится при этом к следующему: - и реализуется той же схемой что двоичная АМ при . В этом случае решающее устройство играет роль дискриминатора полярностей.

32. Реализация алгоритма оптимального приёма на основе согласованных фильтров. Свойства согласованного фильтра

Скалярное произведение (12.4) можно вычислить не только с помощью активного фильтра (коррелятора), но и с помощью пассивного линейного фильтра с постоянными параметрами. Если на вход фильтра подать принимаемый сигнал z(t), то напряжение на выходе фильтра можно выразить: , где - импульсная реакция фильтра. Выберем её такой, чтобы в момент получить , совпадающее со скалярным произведением (12.4). Легко видеть, что это будет выполнено, если

(12.8)

Такой фильтр называется согласованным с сигналом . То есть фильтром, согласованным с сигналом , называется линейный фильтр с постоянными параметрами и импульсной реакцией:

(12.9)

Свойства согласованного фильтра:

1.Функция h(t) является зеркальным отображением s(t) относительно оси, проведённой через точку

2.Если финитный сигнал S(t) поступает на вход согласованного фильтра в момент t=0 и заканчивается в момент Т, условие физической реализуемости согласованного фильтра заведомо выполняется, если момент отсчёта - постоянная удовлетворяет условию:

(12.10)

3.Передаточная функция согласованного фильтра с импульсной реакцией (12.9)

, (12.11)

где - функция комплексно-сопряжённая со спектральной плотностью сигнала s(t). Следовательно, АЧХ согласованного фильтра определяется амплитудным спектром сигнала s(t), а его ФЧХ (без учёта слагаемого - , определяемого задержкой) обратна по знаку фазовой характеристике сигнала s(t).

4.Если на вход фильтра подан сигнал, с которым он согласован, то сигнальная составляющая на выходе согласованного фильтра

(12.12)

где - временная функция корреляции сигнала.

Согласно (12.8) в момент времени Т напряжение на выходе согласованного фильтра пропорционально сигналу на выходе интегратора активного фильтра. Поэтому оптимальный приёмник, реализующий алгоритм (12.4), может быть выполнен и на базе согласованных фильтров. Структурная схема такого приёмника для двоичной системы показана на рисунке

Рассмотрим ещё одно важное свойство согласованного фильтра. Будем подавать сумму детерминированного сигнала и белого шума z(t)=s(t)+N(t) на вход различных линейных цепей с постоянными параметрами и измерять в момент отношение мгновенной мощности сигнальной составляющей к средней мощности шума на выходе цепи. Можно показать, что это отношение максимально, если цепь является согласованным фильтром.

Сравним реализации на активных фильтрах и СФ.

1. Схема с согласованными фильтрами на первый взгляд кажется проще схемы с активными фильтрами, поскольку в ней нет опорных генераторов и не возникает проблемы обеспечения их когерентности (согласование по фазе с приходящим сигналом). Однако и в схеме с согласованными фильтрами имеются свои практические трудности. В этом можно убедится, сравнив эпюры напряжений (без учёта помех в канале) на выходе фильтра (рис. Б), согласованного с прямоугольным радиоимпульсом (рис.А) и на выходе интегратора активного фильтра (рис.В).

Отметим, что всюду, за исключением точки t=T, напряжения на выходах обоих фильтров отличаются друг от друга.

Из рисунков видно, что допустимая неточность во времени снятия отсчёта максимума сигнала на выходе активного фильтра значительно больше, чем при снятии отсчёта максимума сигнала на выходе согласованного фильтра. При активном фильтре достаточно потребовать, чтобы неточность взятия отсчёта была мала по сравнению с тактовым интервалом Т, а при согласованном фильтре - по сравнению с периодом высокочастотного заполнения радиоимпульса. Трудность обеспечения когерентного отсчёта в согласованном фильтре вполне соизмерима с трудностью реализации когерентных опорных генераторов в активном фильтре.

2. В приёмниках на корреляторах легче осуществить переход на другую частоту. (В случае с СФ - нужно строить новый СФ).

33. Потенциальная помехоустойчивость систем с различными видами манипуляции

Определим потенциальную помехоустойчивость для двоичной системы с аддитивным белым шумом, когда при приёме точно известны оба ожидаемых сигнала: и , полагая, что априорные вероятности этих сигналов одинаковы. Приходящий сигнал Z(t) является случайным, так как, во-первых, заранее неизвестна реализация передаваемого сигнала, во-вторых, он содержит случайную помеху N(t) .

(12.13)

При выполнении неравенства (12.13) оптимальный приёмник регистрирует символ 1, соответствующий сигналу , в противном случае - символ - 0, соответствующий сигналу . Если действительно передается символ 1, то . При этом вероятность ошибки определится вероятностью того, что неравенство (12.13) не выполнено. Заменим z(t) и E их значениями:



, (12.14)

которое приводится к следующему виду:

(12.15)

Аналогичное соотношение получится, если предположить, что передаётся символ 0.

Следовательно, в обоих случаях вероятности ошибки равны: и сформированный модемом двоичный дискретный канал симметричен.

Введём обозначения:

(12.16)

Тогда: (12.17)

Если N(t) - нормальный стационарный белый шум с нулевым средним и односторонней спектральной плотностью мощности , то - нормально распределённая величина, так как она определяется линейной операцией над нормальным же случайным процессом.

Учитывая выражение для функции корреляции белого шума и фильтрующее свойство - функции, можем получить дисперсию величины :

(12.18)

Тогда вероятность выполнения неравенства (12.17), то есть вероятность ошибки будет равна

(12.19)

где произведена замена переменнойи введено обозначение

(12.20)

Функция Ф - табулирована и называется функцией Крампа. Учитывая, что можно (12.19) записать в виде

(12.21)

Таким образом, при заданной интенсивности помехи , потенциальная помехоустойчивость двоичной системы зависит только от так называемой эквивалентной энергии сигналов.

Помехоустойчивость выше, (вероятность ошибки меньше), у той системы, у которой больше эквивалентная энергия используемых сигналов.

Эти важнейшие результаты получил академик В. А. Котельников.

Сравним различные виды манипуляции для двоичной системы.

1) АМн - амплитудная манипуляция

; ;

(12.22)

где, - отношение энергии сигнала на входе демодулятора к спектральной плотности флуктуационной помехи.

2) ЧМн - частотная манипуляция.

(12.23)

(12.24)

Максимально возможные значения и получатся, если

3) ФМн - фазовая манипуляция



Из сравнения различных видов манипуляции видно, что при переходе от системы АМн к системе с ЧМн (с ортогональными сигналами) можно обеспечить неизменное качество связи (вероятность ошибки) при понижении средней мощности передатчика в 2 раза, то есть получить энергетический выигрыш в 2 раза (или на 3 дБ). При переходе же к системе с ФМн (с противоположными сигналами) получается энергетический выигрыш ещё в 2 раза - по сравнению с ЧМн и в 4 раза - по сравнению с АМн.

Если же сравнение вести не по пиковой, а по средней мощности, то переход от АМн к ЧМн не даёт энергетического выигрыша, поскольку при ЧМн средняя мощность равна максимальной, а при АМн - вдвое меньше максимальной (если и передаются с одинаковой вероятностью).

Однако помехоустойчивость систем с ЧМн значительно выше по сравнению с АМн. Это объясняется не увеличением потенциальной помехоустойчивости, которая для обеих систем одинакова, а главным образом тем, что оптимальная решающая схема для ЧМн реализуется с довольно большой точностью, а при АМ этому препятствует невозможность обеспечить точное оптимальное значение ненулевого порогового уровня . Поэтому реальная помехоустойчивость при ЧМн близка к потенциальной, АМн значительно ниже её.

Система ФМн, как и другие системы с противоположенными сигналами, обеспечивает максимальную для двоичной системы потенциальную помехоустойчивость. Однако реализация демодулятора для когерентного приёма ФМн встречает определённые трудности. При построении демодулятора с активным фильтром возникает проблема поддержания равенства фаз опорного генератора приходящего сигнала. Если пытаться строить его на основе согласованного фильтра, то возникает ещё более трудная задача когерентного отсчёта.

Задача выделения опорного сигнала особенно затрудняется при ФМн, так как, если элементы передаются равновероятно, то спектр сигнала ФМн вообще не содержит составляющей на частоте .

Главным же недостатком ФМн является возможность перескока фазы опорного сигнала, вследствие чего даже при отсутствии аддитивной помехи в канале символы инвертируются (нули в 1,а 1 ). Возникает явление «обратной работы». Поэтому внедрение систем с ФМн долгое время реально было невозможным.

Эффективный метод устранения этого явления был найден путём перехода к относительным методам модуляции предложенным Н.Т. Петровичем в 1957 году. Они сводятся к модуляции информационного параметра передаваемой посылки элемента сигнала относительно того же параметра предшествующей посылки. При относительной фазовой манипуляции (ОФМн) сообщение содержится не в абсолютном значении фазы элемента сигнала, а в разности фаз двух соседних элементов, при этом символ 1 передаётся повторением этой реализации сигнала, которая имела место в качестве предыдущего элемента, а символ 0 - передачей реализации с обратной фазой, либо наоборот.

Сигналы ОФМн могут приниматься различными методами. Рассмотрим квазикогерентный приём сигналов ОФМн, называемый методом сравнения полярностей. Систему ОФМн можно рассматривать как обычную систему с ФМн, но со специальным перекодированием символов. Это означает, что оптимальный приём сигналов ОФМн, можно осуществить следующей схемой. Перекодирование выполняется сравнением полярностей напряжения на выходе интегратора для двух соседних элементов, для чего требуется задержка выходных символов в ячейке памяти (ЯП) на время Т.

Так как ОФМн - система с активной паузой, то пороговый уровень в демодуляторе - нулевой и решающее устройство превращается в дискриминатор полярности (ДП). Полярности соседних элементов сравниваются в схеме сравнения полярностей (ССП), которая представляет собой обычный перемножитель. Символ 1 регистрируется на выходе приёмника, например, при совпадении полярности двух соседних посылок; символ 0 - если эти полярности различны. При таком методе приёма перескок фазы опорного сигнала (при отсутствии помехи в канале) вызывает ошибку только в одном символе. Последующие же символы регистрируются правильно.

Определим вероятность ошибки в системе ОФМн при учёте флуктуационной помехи в канале при когерентном приёме. Вероятность Рофмнн ошибочной регистрации символов в системе ОФМн не совпадает с вероятностью появления ошибок на выходе фазового детектора или, что то же самое, с вероятностью ошибок в системе «классической» фазовой манипуляции, определяемой (12.25). Очевидно, что ошибочная регистрация символа ( при приёме методом сравнения полярностей) возможна в результате одного из двух несовместимых событий: а) знак данного элемента принят ошибочно, а предыдущего - верно; б) знак данного элемента принят верно, предыдущего - ошибочно. Каждое из этих событий имеет вероятность Рфм_н (1 - Рфм_н).



Таким образом: .

В нормальных условиях эксплуатации, когда требуется

(12.26)

Таким образом, «платой» за устранение обратной работы является удвоение вероятности ошибки, обусловленной шумом в канале.

Для недвоичных систем () нахождение вероятности ошибочного приёма в общем случае затрудняется, так как приходится анализировать совокупность из (m-1) неравенств. Однако для систем с активной паузой () при равновероятных ортогональных сигналах канал симметричен и можно оценить вероятность простым неравенством

, (12.27)

где - вероятность ошибки для двоичной системы в том же канале, если используется некоторая пара из m сигналов.

35. Оптимальный прием дискретных сообщений с неопределенной фазой (Некогерентный прием)

В тех случаях, когда не удаётся точно оценить фазу или эта оценка требует применения сложных устройств, используют алгоритм, построенный в предположении, что начальная фаза приходящего сигнала неизвестна и может принимать любое значение на интервале . Такой метод приёма называется некогерентным. Для вывода правила оптимального некогерентного приёма воспользуемся критерием максимального правдоподобия. Математическая модель такого канала:

(13.1)

где - преобразование Гильберта от u(t), - случайная начальная фаза, k- коэффициент передачи канала.

Введём обозначения:

(13.2)

(13.3)

(13.4)

(13.5)

(13.6)

Тогда можно записать:

, (13.7)

где - модифицированная функция Бесселя. (13.8)

Вместо того, чтобы сравнить отношения правдоподобия можно сравнить их логарифмы, что приводит к следующему алгоритму, который для двоичной системы будет выглядеть:

(13.9)

При выполнении этого неравенства регистрируется 1, в противном случае - 0. Величины и можно получить в момент отсчёта Т на выходе активного фильтра с опорными сигналами, равными соответственно и С учётом сказанного можно осуществить построение на основе активных фильтров схемы, называемой квадратурной и реализующей алгоритм (13.9).

Здесь -соответственно генераторы опорных сигналов ; 90 градусов - фазовращатель всех сигнальных компонентов на 90 градусов (преобразователь Гильберта); БОМ - блок определения модуля вектора ; НУ - нелинейные безынерционные устройства с характеристикой.

(13.10)

Величины не зависят от начальной фазы сигналов и пропорциональны огибающей (в моменты отсчёта, кратные Т) на выходе фильтра, согласованного с сигналом . Таким образом, алгоритм (13.9) можно реализовать и на базе согласованных фильтров.

Идеальный детектор Д выделяет огибающую напряжения на выходе согласованного фильтра.

Алгоритм (13.9) и соответственно его реализация существенно упрощаются для систем с равными энергиями (). Для них с учётом монотонного характера функции алгоритм оптимального некогерентного приёма можно записать так:

(13.11)

Для двоичной системы правило (13.11) упрощается и сводится к проверке одного неравенства

(13.12)

При его выполнении регистрируется символ 1, в противном случае - 0. При реализации алгоритма (13.12) не нужны блоки НУ и блоки вычитания. Схемы упрощаются.



36. Помехоустойчивость систем с различными видами дискретной модуляции при некогерентном приеме

Исследования вероятности ошибок в канале с неопределённой фазой и аддитивным гауссовским шумом при поэлементном приёме показало, что минимальную вероятность ошибки обеспечивает система с равными энергиями, у которой сигналы удовлетворяют условиям ортогональности в усиленном смысле. Два сигнала x(t) и y(t) называются ортогональными в усиленном смысле, если соответствующие им аналитические сигналы и также ортогональны. Определим вероятность ошибки при приёме по алгоритму (13.12) двоичных сигналов, удовлетворяющих условиям ортогональности в усиленном смысле. Если передаётся символ 1, то с учётом (11.11) и (13.12) имеем:

(13.13)

, где (13.14)

(13.15)

Если N(t) - нормальный стационарный белый шум с нулевым средним и односторонней спектральной плотностью мощности , то - нормально распределённая величина, так как она определяется линейной операцией над нормальным же случайным процессом. Коэффициенты корреляции и при системе сигналов, ортогональной в усиленном смысле, равны нулю. Некоррелированность гауссовских величин означает их независимость. Следовательно, случайные величины и независимы, причём имеет распределение Рэлея:

(13.16)

имеет распределение Райса:

(13.17)

Вероятность приёма символа 0 при передаче символа 1 определяется формулой:

(13.18)

Используя методы теории вероятностей данное выражение можно преобразовать. В итоге получаем:

- для системы ортогональных сигналов в усиленном смысле (ЧМн) (13.19)

Такова же будет вероятность приёма символа 1 при передаче 0.

Для АМн: (13.20)

Для ОФМн (по методу сравнения фаз):

(13.21)



37. Прием дискретных сообщений в каналах с замираниями

Рассмотрим теперь, как осуществляется оптимальный приём в канале, где флуктуирует не только начальная фаза, но и амплитуда сигнала.

Задача синтеза оптимального демодулятора дискретных сигналов, с неопределённой фазой и амплитудой решается аналогично задаче синтеза сигналов с неопределённой фазой. Однако условия приёма несколько отличаются. Математическая модель такого сигнала называется гауссовским каналом с общими замираниями.

Сигнал на выходе канала флуктуирует как по начальной фазе, так и по амплитуде. Это приводит к некоторому изменению выражений для функции правдоподобия и для правила принятия решений. Однако структура оптимального приёмника совпадает со структурой оптимального приёмника дискретных сигналов с неопределённой начальной фазой. Изменяются только значения пороговых уровней на входах устройств сравнения.

Помехоустойчивость приёма дискретных сообщений при замираниях сигнала получена для случая приёма двоичных ортогональных сигналов с равными энергиями.

Замирания считаются медленными, когда на протяжении единичного интервала амплитуда остаётся постоянной, но меняется случайным образом от интервала к интервалу.

Если считать что плотность распределения амплитуды подчиняется закону Рэлея, то вероятность ошибки

(13.22)

где - отношение мощностей постоянной и флуктуирующей составляющих.

На рисунке показана зависимость согласно (13.19) в двоичной системе, ортогональной в усиленном смысле, с равными энергиями, например ЧМн при оптимальном некогерентном приёме (кривая 2), а также зависимость для канала с общими замираниями (кривая 3).

Здесь же для сравнения приведена кривая, характеризующая потенциальную помехоустойчивость той же системы при когерентном приёме (кривая 1). Сравнение кривых показывает, что для рассматриваемой системы связи (с равными энергиями, ортогональной в усиленном смысле) априорное знание фазы и когерентный приём дают лишь очень небольшой энергетический выигрыш по сравнению со случаем некогерентного приёма. Этот выигрыш тем меньше, чем ниже допустимая вероятность ошибки. Для каналов с замиранием вероятность ошибки увеличивается и может быть снижена за счёт увеличения мощности сигнала. Систему ФМн так же как и другие системы с противоположными сигналами, отличающимися сдвигом фаз на , при некогерентном приёме применять нельзя, так как при неизвестной начальной фазе такие сигналы неразличимы. Однако, если сдвиг фазы в канале изменяется достаточно медленно, то разности фаз между соседними элементами практически сохраняются и могут быть измерены в приёмнике. Поэтому вполне возможен некогерентный приём при ОФМн.

38-39. Основные принципы цифровой фильтрации. Характеристики и свойства цифровых фильтров

В данном разделе рассматривается простейший, наиболее изученный и внедренный класс системдискретной обработки сигналов - так называемые линейные стационарные цифровые фильтры.

Выполняя, подобно аналоговым цепям, операцию частотной фильтрации, цифровые фильтры (ЦФ) обладают рядом существенных преимуществ. Сюда относятся, например, высокая стабильность параметров, возможность получать самые разнообразные формы АЧХ и ФЧХ. Цифровые фильтры не требуют настройки и легко реализуются на ЭВМ программными методами.

Принцип цифровой фильтрации. На рис.14.1 приведена основная структурная схема цифровой обработки сигналов.

Рис.14.1. Структурная схема цифровой обработки непрерывных сигналов.

Непрерывный входной сигнал x(t) поступает в аналого-цифровой преобразователь (АЦП), управляемый синхронизирующими импульсами от генератора, задающего частоту дискретизации. В момент подачи синхронизирующего импульса на выходе АЦП возникает сигнал, отображающий результат измерения мгновенного значения входного колебания в виде двоичного числа с фиксированным количеством разрядов. В зависимости от особенности построения устройства этому числу соответствует либо последовательность коротких импульсов (передача в последовательном коде), либо совокупность уровней напряжений на сигнальных шинах отдельных разрядов (передача в параллельном коде). Преобразованный таким образом сигнал поступает в основной блок устройства, так называемый цифровой процессор, состоящий из арифметического устройства и устройства памяти. Арифметическое устройство выполняет над цифрами ряд операций, таких, как умножение, сложение и сдвиг во времени на заданное число интервалов дискретизации. В устройстве памяти может храниться некоторое предшествующих отсчетов входного и выходного сигналов, которые необходимы для выполнения операций обработки.

Цифровой процессор преобразует поступающие в него числа в соответствии с заданным алгоритмом фильтрации и создает на выходе последовательность двоичных чисел, представляющих выходной сигнал. Если в дальнейшем необходимо иметь информацию в аналоговой форме, то используется цифро-аналоговый преобразователь (ЦАП). Однако это устройство может отсутствовать, если сигналы подвергаются только цифровым преобразованиям.

Основной технический показатель ЦФ - быстродействие - зависит как от скорости протекания переходных процессов в микроэлектронных компонентах, так и от сложности алгоритма фильтрации.

Если в начале 70-х годов предельные частоты сигналов, обрабатываемых с помощью ЦФ, составляли несколько килогерц, то достижения современной микроэлектроники непрерывно расширяют этот диапазон. Цифровая фильтрация сигналов получила новый стимул развития с появлением относительно недорогих и надежных микропроцессоров, а также устройств памяти, выполненных по технологии сверхбольших интегральных схем (СБИС).

Квантование сигналов в ЦФ. Специфика любого цифрового устройства - представление сигналов в виде последовательности чисел с ограниченной разрядностью. Поэтому мгновенное значение сигнала дискретизируется по уровню таким образом, что интервалом дискретизации (минимальной разностью между двумя соседними уровнями) служит единица младшего двоичного разряда.

Точное значение отсчета сигнала в двоичной форме имеет вид

Где =0 или 1. При ограничении длины числа x некоторым количеством разрядов N вместо точного значения получается его округленное (машинное) значение:

Причем коэффициент равен либо , либо +1 в зависимости от того, нуль или единица содержится в (N +1)-м разряде.

В радиотехнике дискретные сигналы, уровни которых могут принимать лишь счетное множество значений, называют квантованными сигналами. Квантование сигналов приводит к специфической погрешности при обработке, которая получила название шума квантования. Прямой путь снижения этой погрешности - использование двоичных чисел с большим количеством разрядов. Однако при этом неизбежно снижается быстродействие ЦФ из-за увеличения времени выполнения операций над многоразрядными числами. Поэтому на практике в микропроцессорных системах для цифровой обработки сигналов и дискретного управления обычно применяют двоичные числа с количеством разрядов от 4 до 16.

Алгоритм линейной цифровой фильтрации.

Математическая теория цифровых фильтров переносит на случай дискретных сигналов все основные положения теории линейных систем, преобразующих непрерывные сигналы.

Как известно, линейная стационарная система преобразует непрерывный входной сигнал x(t) таким образом, что на ее выходе возникает колебание y(t),равное свертке функции x(t) и импульсной характеристики h(t):

Линейный цифровой фильтр, по определению, есть дискретная система (физическое устройство или программа для компьютера), которая преобразует последовательность числовых отсчетов входного сигнала в последовательность отсчетов выходного сигнала:

или сокращенно

Линейный цифровой фильтр обладает тем свойством, что сумма любого числа входных сигналов, умноженных на произвольные коэффициенты, преобразуется в сумму его откликов на отдельные слагаемые, т.е. из соответствий

следует, что



При любых коэффициентах

Для того, чтобы обобщить формулу (14.3) на случай дискретных сигналов, вводят понятие импульсной характеристики ЦФ. По определению, она представляет собой дискретный сигнал , который является реакцией ЦФ на «единичный импульс» (1,0,0,0,…):

Линейный ЦФ стационарен, если при смещении входного единичного импульса на любое число интервалов дискретизации импульсная характеристика смещается таким же образом, не изменяясь по форме. Например:

,,

. . . . . . . . . . . . . . . . .

Рассмотрим, каким образом из свойств линейности и стационарности вытекает наиболее общий алгоритм линейной цифровой фильтрации. Пусть

- некоторый сигнал на входе ЦФ с известной импульсной характеристикой. Используя соотношения (14.5) и (14.7), можно записать m -й отсчет выходного сигнала :

Формула (14.8), играющая ведущую роль в теории линейной цифровой фильтрации, показывает, что выходная последовательность есть дискретная свертка входного сигнала и импульсной характеристики фильтра. Смысл этой формулы прост и нагляден: в момент каждого отсчета ЦФ проводит операцию взвешенного суммирования всех предыдущих значений входного сигнала, причем роль последовательности весовых коэффициентов играют отсчеты импульсной характеристики. Иными словами, ЦФ обладает некоторой «памятью» по отношению к прошлым входным воздействиям.

Практический интерес представляют лишь физически реализуемые ЦФ, импульсные характеристики которых не могут стать отличными от нуля в отсчетных точках, предшествующих моменту подачи входного импульса. Поэтому для физически реализуемых фильтров коэффициенты обращаются в нуль и суммирование в (14.8) можно распространить на все положительные значения индекса k:

Расчет важнейшей характеристики ЦФ - частотного коэффициента передачи - удобно проводить, используя методы z-преобразований. Сопоставим дискретным сигналам , , их z-преобразованиями X(z), Y(z), H(z) соответственно. Выходной сигнал фильтра есть свертка входного сигнала и импульсной характеристики, поэтому [см. формулы (5.15)] выходному сигналу отвечает функция

Системной функцией стационарного линейного ЦФ называется отношение z-преобразования выходного сигнала к z-преобразованию сигнала на входе. Соотношение (14.10) устанавливает, что системная функция фильтра

есть z-преобразование импульсной характеристики.

40. Трансверсальные цифровые фильтры.

Так принято называть фильтры, которые работают в соответствии с алгоритмом

где - последовательность коэффициентов.

Число m является порядком трансверсального цифрового фильтра. Как видно из формулы (15.1), трансверсальный фильтр проводит взвешенное суммирование предшествующих отсчетов входного сигнала и не используют прошлые отсчеты выходного сигнала. Применив z-преобразование к обеим частям выражения (15.1), убеждаемся, что

Отсюда следует, что системная функция

является дробно-рациональной функцией z, имеющей m-кратный полюс при z = 0 и m нулей, координаты которых определяются коэффициентами фильтра.

Алгоритм функционирования трансверсального ЦФ поясняется структурной схемой приведенной на рис. 15.1.



Рис.15.1. Схема построения трансверсального ЦФ

Основными элементами фильтра служат блоки задержки отсчетных значений на один интервал дискретизации (прямоугольники с символами ), а также масштабные блоки, выполняющие в цифровой форме операции умножения на соответствующие коэффициенты. С выходов масштабных блоков поступают в сумматор, где, складываясь, образуют отсчет выходного сигнала.

Вид представленной здесь схемы объясняет смысл термина «трансверсальный фильтр» (от англ. transverse - поперечный).

Импульсную характеристику трансверсального ЦФ вычислим, осуществив обратное z-преобразование выражения (15.2). Легко видеть, что каждое слагаемое H(z) дает вклад, равный коэффициенту , смещенному на n позиций в сторону запаздывания. Таким образом, здесь

К такому выводу можно прийти и непосредственно, рассматривая структурную схему фильтра (см. рис.15.1) и полагая, что на его вход подан «единичный импульс» (1,0,0,0,…).

Важно отметить, что импульсная характеристика трансверсального фильтра содержит конечное число членов.

Частотную характеристику можно получить путем замены переменной в (15.2)

При заданном шаге дискретизации ?? можно реализовать самые разнообразные формы АЧХ, подбирая должным образом весовые коэффициенты фильтра.

41. Рекурсивные ЦФ. Устойчивость цифровых фильтров

Этот вид цифровых фильтров характерен тем, что для формирования i-го выходного отсчета используются предыдущие значения не только входного, но и выходного сигнала:

причем коэффициенты определяющие рекурсивную часть алгоритма фильтрации, не равны нулю одновременно. Чтобы подчеркнуть различие структур двух видов ЦФ, трансверсальные фильтры называют также нерекурсивными фильтрами.

Системная функция рекурсивного ЦФ. Выполнив z-преобразование обеих частей рекуррентного соотношения (15.5), находим, что системная функция

Описывающая частотные свойства рекурсивного ЦФ имеет на z-плоскости n полюсов. Если коэффициенты рекурсивной части алгоритма вещественны, то эти полюсы либо лежат на вещественной оси, либо образуют комплексно-сопряженные пи ары.

Рис.15.2. Структурная схема рекурсивного ЦФ

Структурная схема рекурсивного ЦФ. На рис.15.2 изображена схема алгоритма вычислений, проводимых в соответствии с формулой (15.6). Верхняя часть структурной схемы отвечает трансверсальной (нерекурсивной) части алгоритма фильтрации. Для ее реализации требуется в общем случае m+1 масштабных блоков (операций умножения) и m ячеек памяти, в которых хранятся входные отсчеты.

Рекурсивной части алгоритма соответствует нижняя часть структурной схемы. Здесь используются n последовательных значений выходного сигнала, которые в процессе работы фильтра перемещаются из ячейки в я ячейку путем сдвига.

Недостатком данного принципа реализации является потребность в большом числе ячеек памяти, отдельно для рекурсивной и нерекурсивной частей. Более совершенны канонические схемы рекурсивных ЦФ, в которых используется минимально возможное количество ячеек памяти, равное наибольшему из чисел m и n. В качестве примера на рис 15.3 изображена структурная схема канонического рекурсивного фильтра 2-го порядка, которой отвечает системная функция



Рис.15.3. Структурная схема канонического рекурсивного ЦФ 2-го порядка

Для того чтобы убедиться в том, что эта система реализует заданную функцию, рассмотрим вспомогательный дискретный сигнал на выходе сумматора 1 и запишем два очевидных уравнения:

=+. (15.9)

Выполнив z-преобразование уравнения (15.8), находим, что

С другой стороны, в соответствии с выражением (15.9)

Объединив соотношения (15.10) и (15.11), приходим к заданной системной функции (15.7).



42. Устойчивость рекурсивных ЦФ

Рекурсивный ЦФ является дискретным аналогом динамической системы с обратной связью, поскольку в ячейках памяти хранятся значения его предшествующих состояний. Если заданы некоторые начальные условия, т.е. совокупность значений то в отсутствие входного сигнала фильтр будет образовывать элементы бесконечной последовательности играющей роль свободных колебаний.

Цифровой фильтр называется устойчивым, если возникающий в нем свободный процесс есть невозрастающая последовательность, т.е. значения при не превышают некоторого положительного числа M независимо от выбора начальных условий.

Свободные колебания в рекурсивном ЦФ на основании алгоритма (15.5) являются решением линейного разностного уравнения

По аналогии с принципом решения линейных дифференциальных уравнений будем искать решение (15.12) в виде показательной функции

с неизвестным пока значением Подставив (15.13) в (15.12) и сократив на общий множитель, убеждаемся, что является корнем характеристического уравнения

На основании (15.6) это уравнение в точности совпадает с уравнением, которому удовлетворяют полюсы системной функции рекурсивного ЦФ.

Пусть система корней уравнения (15.14) найдена.Тогда общее решение разностного уравнения (15.12) будет иметь вид

Коэффициенты должны быть подобраны так, чтобы удовлетворялись начальные условия.

Если все полюсы системной функции , т.е. числа по модулю не превосходят единицы, располагаясь внутри единичного круга с центром в точке то на основании (15.15) любой свободный процесс в ЦФ будет описываться членами убывающих геометрических прогрессий и фильтр будет устойчив. Ясно, что практически применяться могут только устойчивые цифровые фильтры.

...