Без потери общности будем считать, что пространство имеет прямоугольную форму, так как введением областей, в которых запрещается размещение конструктивных модулей более низкого уровня или трассировки соединений, можно придать пространству произвольную форму. Так как МКП служит для решения двух задач -- размещения модулей и трассировки, -- то модели МКП, используемые для решения каждой задачи, будут иметь отличия. Рассмотрим эти модели подробнее.

Наибольшее распространение для решения задач размещения конструктивных модулей в плоском МКП получили эвристические дискретные модели. Такие модели (будем их называть МКП1) строятся следующим образом (рис. 22 а): МКП разбивается на элементарные площадки (дискреты), каждая из которых предназначена для размещения одного конструктивного модуля более низкого уровня, например микросхемы на печатной плате. Эти площадки в дальнейшем будем называть дискретами рабочего поля (ДРП).

Каждый дискрет в процессе решения задачи размещения может находиться в одном из следующих состояний: свободен для размещения, занят, имеет определенный вес, запрещающий размещение в нем модуля, и т. д. Такая модель МКП отличается простотой и удобством использования в эвристических алгоритмах размещения, однако она не является полностью формализованной.

Одной из разновидностей модели МКП1 является модель с ортогональной сеткой, в узлах которой могут размещаться модули низкого уровня (рис. 22б). Шаг сетки выбирается из условия возможности размещения модулей в соседних узлах сетки.

При размещении разногабаритных компонентов часто размер ДРП выбирают равным наибольшему общему делителю линейных размеров размещаемых модулей либо линейным размерам установочного места для наименьшего из модулей, если размеры всех модулей кратны. Заметим, что выбор шага дискретизации представляется весьма важным, так как при малых размерах ДРП увеличивается время решения задачи, зато повышается плотность заполнения МКП модулями низшего уровня.

Рис. 22. Дискретные модели МКП

Аналогичные дискретные модели используются и для решения задач трассировки. В этом случае дискрет является квадратом со сторонами, равными ширине проводника плюс зазор между ними (рис. 22 в). При этом считается, что проводник из каждого дискрета может быть проведен только в соседний ДРП.

Наибольшее распространение для решения задач размещения получили модели МКП в виде взвешенного графа VG(S, V), которые будем обозначать МКП2. Взвешенный граф VG представляет собой симметрический граф, в котором множество вершин S соответствует множеству установочных позиций в коммутационном пространстве для модулей низшего уровня, а множество ветвей интерпретирует множество связей между соответствующими установочными позициями. Каждой ветви графа u_ij присваивается вес p_ij -- он равен числу условных единиц расстояния между центрами установочных позиций Si и Sj, интерпретируемых вершинами, которые инцидентны данной ветви. Вес ветви p_ij определяется в зависимости от метрики пространства по одной из формул (14.1, 14.2).

Для описания взвешенного графа VG удобно использовать матрицу смежностей Q, строки и столбцы которой соответствуют вершинам графа, т. е. множеству установочных позиций в МКП, а элементы g_ij равны весу ветви, инцидентной i -й и j -й вершинам графа. Элементы, лежащие на главной диагонали матрицы смежностей Q, принимаются равными нулю. Так, для МКП, показанного на рис. 22 а, модель в виде взвешенного графа при ортогональной матрице смежности Q имеет вид как на рис. 23. Для решения задач размещения применяются и другие графовые модели.

Большими возможностями для формализации процесса трассировки обладают комбинированные дискретно-графовые модели МКПЗ. В этом случае МКП моделируется симметрическим графом G(S, V), в котором каждому ДРП ставится в соответствие вершина графа. Вершины S_i, и S_j соединяются ветвью, если они соответствуют соседним дискретам, через которые может проходить проводник. Трассы проводников могут проходить только по ветвям графа, а длина трасс определяется в соответствии с выбранной метрикой пространства. На рис. 14.5а показаны модели МКП2 для трассировки по ортогональным направлениям и при допущении трассировки под углом в 45° (трассировка по шести направлениям).

Симметрический граф G(S, V) с множеством вершин S и множеством ветвей V может быть описан в ЭВМ матрицей инциденций А, элемент которой a_i,j = 1, если вершина S_i инцидентна ветви u_i,j, и a_i,j = 0 -- в противном случае. Для графа, показанного на рис. 24 а при допущении трассировки по восьми направлениям матрица инциденций имеет вид (рис. 24).

Модель МКПЗ очень широко распространена и позволяет при трассировке получить все множество кратчайших путей в отличие от МКП1, в которой обычно получают лишь один из возможных путей из этого множества. Кроме того, вводя вес для вершин и ветвей графа, можно регулировать скорость распространения числовой волны по определенным направлениям в волновых алгоритмах трассировки за счет введения соответствующих задержек.

Рис. 23. Графовые модели МКП для решения задачи размещения

Аналогична МКПЗ и графовая модель пространства МКП4, также используемая для решения задач трассировки. Модель МКП4 представляет симметрический граф G(S,V), вершины которого S_i соответствуют узлам координатной сетки, нанесенной на плоское МКП, а ветви графа u_i,j -- отрезкам координатной сетки, соединяющим две соседние точки (рис. 24 б). Особенностью модели МКП4 по сравнению с МКПЗ является интерпретация ветви графа G(S, V) как элементарного отрезка проводника, который может быть проложен в этом месте МКП. По своим возможностям модель МКП4 эквивалентна МКПЗ.

Для моделирования коммутационного пространства при решении задач трассировки можно использовать модели в видемультиграфа, т.е. симметрического графа, у которого существует хотя бы одна пара вершин, соединенных несколькими ветвями. Ветви, соединяющие одну и ту же пару вершин, называют кратными, а их максимальное число -- мультичислом графа.

Одна из таких моделей МКП5 представляет мультиграф MG(S, V), в котором множество вершин графа S соответствует множеству установочных позиций в коммутационном пространстве для модулей низшего уровня. Множество ветвей V соответствует множеству взаимно независимых непосредственных переходов между установочными позициями, т.е. множеству областей, допускающих трассировку соединений между этими позициями без пересечений. Мультиграф MG(S, V) может быть описан с помощью матрицы смежности Q, в которой, как и для взвешенного графа, элементы g_i,j, лежащие на главной диагонали, принимаются равными нулю, а внедиагональные элементы g_i,j равны числу кратных ветвей, инцидентных i -й и j -й вершинам графа. Для примера на рис. 24 показаны фрагмент коммутационного пространства с установочными позициями и его модель в виде мультиграфа при допущении трассировки без пересечений трех проводников между соседними позициями.

Еще более общей моделью МКП в виде мультиграфа, используемой для решения задач трассировки, является модель МКП6, в которой вершины графа соответствуют макродискретам, на которые разбивается МКП. Ребра мультиграфа соединяют соседние вершины, причем количество кратных ветвей определяется тем, сколько проводников может пройти через границы соседних дискретов.

Рис. 24. Графовые модели МКП для решения задачи трассировки

Расстояние определяется как количество макродискретов, пройденных проводником при трассировке. Пример фрагмента МКП с макродискретами, через границы которых допускается прохождение трех и двух проводников, и соответствующий ему мультиграфпоказаны на рис. 25.

Рис. 25. Модели МКП в виде мультиграфа

Матрица смежности такого мультиграфа имеет вид

Модель МКП6 предполагает проведение трассировки проводников в два этапа: на первом определяется путь с точностью до вершины мультиграфа (макродискрета), на втором -- путь конкретизируется с точностью до ветви. Это позволяет на первом этапе выбрать наилучшее взаимное расположение трасс, а на втором провести собственно трассировку, что уменьшает зависимость количества реализованных в коммутационном пространстве трасс от очередности трассировки.

Контрольные вопросы и упражнения

2. Что называют внутренними, внешними и выходными параметрами ММ?

3. Что называют фазовыми переменными?

4. Что называют базисным вектором?

5. Покажите общий вид системы уравнений для любой РЭС и дайте пояснения.

6. Что включается в анализ ММ?

7. Что представляют собой компонентные уравнения и компонентная модель?

8. Какие требования предъявляют к ММ объекта?

9. На какие группы делятся макромодели?

10. Для чего предназначена факторная модель?

11. Для чего предназначена фазовая модель?

12. Как получают физическую модель?

13. Как получают формальную модель?

14. В чем различие статической и динамической моделей?

15. В чем заключается модульный принцип конструирования?

16. Приведите иерархию конструктивных модулей.

Тема 14. Математические модели РЭС на метауровне

Использование основных положений схемотехнического моделирования для проектирования сложной аналоговой РЭА на метауровне оказывается затруднительным. Это связано с чрезмерно большими размерностями задач. Для их решения необходимы упрощения. Основой снижения размерности задач является макромоделирование. Часто используют ряд дополнительных упрощений и допущений. Главные из них формулируются следующим образом.

1. Однонаправленность в передаче сигналов, т.е. использование макромоделей, в которых отсутствует влияние выходных переменных на состояние входных цепей.

2. Отсутствие влияния нагрузки на параметры и состояние моделируемых систем.

3. Использование вместо фазовых переменных двух типов (напряжение и ток) переменных одного типа, называемых сигналами. При этом компонентные уравнения элемента представляют собой уравнения связи сигналов на входах и выходах этого элемента.

4. Линейность моделей инерционных элементов.

Перечисленные допущения характерны для функционального моделирования, широко применяемого для анализа систем автоматического управления. Элементы (звенья) систем при функциональном моделировании делят на три группы:

· линейные безынерционные звенья для отображения таких функций, как повторение, инвертирование, чистое запаздывание, идеальное усиление, суммирование сигналов;

· нелинейные безынерционные звенья для отображения различных нелинейных преобразований сигналов (ограничение, детектирование, модуляция и т.п.);

· линейные инерционные звенья для выполнения дифференцирования, интегрирования, фильтрации сигналов.

Инерционные элементы представлены отношениями преобразованных по Лапласу или Фурье выходных и входных фазовых переменных. При анализе во временной области применяют преобразование Лапласа -- модель инерционного элемента с одним входом и одним выходом есть передаточная функция; а при анализе в частотной области (преобразование Фурье) модель элемента есть выражения амплитудно-частотной и частотно-фазовой характеристик. При наличии нескольких входов и выходов ММ элемента представляется матрицей передаточных функций или частотных характеристик.

Допущения, принимаемые при функциональном моделировании, существенно упрощают алгоритмы получения математических моделей систем (ММС) из математических моделей элементов (ММЭ).

Математическая модель системы представляет собой совокупность ММЭ, входящих в систему, при отождествлении переменных, относящихся к соединяемым входам и выходам.

14.2 Математические модели логических схем цифровой РЭА

На функционально-логическом уровне необходим ряд положений, которые упрощают модели устройств. Это позволяет анализировать более сложные объекты по сравнению с объектами, анализируемыми на схемотехническом уровне. Часть используемых положений аналогична положениям, принимаемым для моделирования аналоговой РЭА.

Во-первых, это положение о представлении состояний объектов с помощью однотипных фазовых переменных (обычно напряжений), называемых сигналами.

Во-вторых, не учитывается влияние нагрузки на функционирование элементов-источников.

В-третьих, принимается допущение об однонаправленности, т.е. о возможности передачи сигналов через элемент только в одном направлении -- от входов к выходам.

Дополнительно к этим положениям при моделировании цифровой РЭА принимается положение о дискретизации переменных, их значения могут принадлежать только заданному конечному множеству -- алфавиту, например двоичному алфавиту {0,1}.

Моделирование цифровой РЭА возможно с различной степенью детализации. На логическом (вентильном) подуровне функционально-логического проектирования в качестве элементов аппаратуры рассматривают простые схемы типа вентилей, на регистровом подуровне элементами могут быть как отдельные вентили, так и любые более сложные сочетания простых схем, например регистры, счетчики, дешифраторы, сумматоры, арифметико-логические устройства и т.п.

Рассмотрим математические модели элементов на логическом подуровне. Для одновыходных комбинационных элементов ММ представляет собой выражение (в общем случае алгоритм), позволяющее по значениям входных переменных (значениям входов) в заданный момент времени t вычислить значение выходной переменной (значение выхода) в момент времени t + t_3t где t₃ -- задержка сигнала в элементе. Такую модель элемента называют асинхронной. При t₃ = 0 модель элемента называют синхронной. Модель многовыходного элемента должна включать в себя алгоритм вычисления задержек и значений всех выходных сигналов.

Для элементов последовательностных схем (элементов с памятью) используют модели, в которых аргументами выходных переменных у_j могут быть как входные u_i, так и внутренние u_k переменные. Вектор внутренних переменных V отражает состояние элемента (состояние его памяти).

Объединение моделей элементов в общую математическую модель системы выполняется на основе вышеперечисленных допущений отождествлением переменных на соединяемых входах и выходах элементов.

14.2 Имитационные модели

Все развитие науки связано с созданием и изучением моделей реальных систем, процессов и явлений. Язык науки требует, чтобы изучаемое явление (система-процесс) было описано на точном уровне, не допускающем принципиальных разночтений. Наиболее точны математические модели. На другом конце шкалы точности -- текстовые модели, использующие, по возможности, однозначные понятия. Имитационные модели находятся между этими крайними точками шкалы точности. В этой науке создаются и используются специальные приемы воспроизведения процессов, протекающих в реальных объектах, в тех моделях этих объектов, которые реализуются в ЭВМ.

Имитационное моделирование, как правило, связано с моделированием динамических объектов, процессов и явлений. Изменения ситуаций во времени -- тот феномен, который изучается с помощью имитационных моделей. В результате могут быть получены новые знания или выработаны разного рода решения. Например, диспетчер на железной дороге, смотрящий на табло, по которому в условном виде перемещаются поезда и вагоны на сортировочной станции, имеет дело с отображающей моделью. Но если такое табло находится в учебном центре, где обучают будущих диспетчеров, то процессы, отражаемые на табло, лишь имитируют реальность. И в этом случае речь идет об имитационном моделировании.

Появление ЭВМ дало мощный толчок для развития имитационного моделирования. Существуют два типа имитационных моделей: моделирование по времени и моделирование по событиям [38].

В первом случае в ЭВМ имеется датчик временных интервалов, разбивающий непрерывную шкалу времени на участки стандартной длины. Длина этих участков определяется спецификой моделируемого явления. Если, например, надо воспроизвести в машине процессы, протекающие в период движения снаряда в стволе оружия, то интервалы должны составлять тысячные доли секунды. Если же на ЭВМ моделируется процесс оседания на дно водоема твердых частиц, то интервалы моделирования могут соответствовать часам или даже суткам.

Для имитационного моделирования разработаны специальные программные средства: специализированные языки программирования (наиболее распространенный из них -- СИМУЛА) и специализированные пакеты прикладных программ.

Реальные сложные системы функционируют в условиях действия большого количества случайных возмущающих факторов, приводящих к нарушению нормального хода работы. Источниками возмущающих факторов являются воздействия внешней среды, а также различные отклонения, возникающие внутри системы. Под действием случайных факторов производительность, время выполнения планового задания и другие технико-экономические показатели не только подвергаются рассеянию, но и могут получить смещение своих средних значений. Поэтому оценка только по средним значениям приблизительна.

При моделировании на ЭВМ технологического процесса происходит воспроизведение явлений с сохранением их логической структуры и расположения во времени. Это позволяет получать наиболее точные характеристики процесса проектирования (техническую производительность, время проведения отдельных технологических операций и т.д.).

Цель моделирования технологического процесса заключается в проектном расчете технической производительности и других показателей экономической эффективности с учетом заданного варианта структуры каждой операции технологического процесса, надежности оборудования и инструмента, различных событий, возникающих в процессе проведения операций.

Результаты моделирования используются для повышения качества принимаемых значений на этапе проектирования операций и подготовки управляющих программ, а также позволяют исследовать степень влияния надежности отдельных операций, числа и вида инструментов-дублеров, размера партии изделий на их выходные показатели. Таким образом, моделирование технологического процесса выполняется для решения следующих задач:

· прогнозирование основных выходных характеристик изделия при заданном варианте структуры технологического процесса, времени его проведения, технической производительности, длительности простоев из-за отказов инструментов и оборудования, среднего числа отказов и др.;

· получение закона распределения времени при выполнении планового задания, статистических характеристик и других показателей экономической эффективности;

· использование результатов моделирования для выбора оптимального варианта структуры технологического процесса;

· исследование вариантов структуры процесса с помощью разработанной имитационной модели.

Математическая модель технологического процесса строится с учетом заданного варианта его структуры, заданной компоновки оборудования, надежности элементов и их взаимосвязи в процессе обработки.

В основу моделирования технологического процесса положена структура каждой из его операций, определяющая, какие переходы, на какой позиции и в какой последовательности выполняются, какие инструменты дублеры используются и т.д.

Процесс изготовления РЭС является дискретным стохастическим процессом. Его дискретность заключается в том, что элементарныеоперации (переходы, мероприятия восстановления работоспособности и др.) выполняются не мгновенно, а имеют определенную длительность, причем следующая процедура выполняется только после полного окончания предыдущей.

В процессе изготовления принимает участие большое число элементов (инструменты, оборудование), которые в случайные моменты времени могут выходить из строя, требуя замены или ремонта. Это приводит к нарушению нормального хода процесса. Величины, оценивающие появление отказов и затраты времени на выполнение восстановительных работ, носят случайный характер. Случайными являются: время работы оборудования до отказа, время работы каждого инструмента до отказа, время бесперебойной работы между последовательными отказами, время восстановления работоспособности, суммарное время изготовления РЭС, техническая производительность и т.д.

Имитационную модель проверяют на чувствительность, т.е. определяют значимость влияния возможных отклонений в пределах заданной точности (допуска) постоянных параметров x₁, ..., x_k, входящих в модель, на результат моделирования Р (рис. 26). С помощью имитационной модели можно, например, определить показатели качества изделия, время проведения процесса изготовления, собственные потери времени из-за отказов инструментов и техническую производительность. Таким образом, имитационная модель и моделирование технологического процесса позволяют воспроизводить последовательную или параллельно-последовательную схему (рис. 26), где в_i -- величина постоянных ограничений в правой части; t -- время проведения операции; S -- вектор входных параметров; v -- управляющие воздействия.

Величины в_i могут колебаться в пределах в_{i min} - в_{i max}, что обуславливается видом ограничения, технологическими характеристиками процесса, требованиями к точности и качеству изготавливаемой продукции и т.д.

Используя подход имитационного моделирования, находят отклонения от оптимальных параметров процесса и целевой функции, полученных по усредненным данным, значений этих же параметров и величины целевой функции, найденных при условии, что постоянные в_i в ограничениях модели принимают свои крайние значения, каждое из которых имеет два уровня: в_{i min} и в_{i max}.

Определив с помощью математической модели оптимальные параметры обработки и величину целевой функции для каждого случая предельных отклонений колебаний постоянных в_i, оценивают степень расхождения полученных характеристик с соответствующими значениями усредненного варианта.

Рис. 26. Алгоритм имитационного моделирования процесса изготовления изделий РЭС

Определяют вероятность того, что и (10.11) находятся в пределах заданной точности и , т.е.

Чтобы найти оптимальные режимы операций и экстремум целевой функции с заданной точностью и надежностью, необходимо обеспечить выполнение следующих условий:

где найденные режимы операций и значение целевой функции будут находиться в заданных пределах с достоверностью (1 - а).

Для сокращения числа вариантов нужно, в первую очередь, учитывать активные ограничения в усредненном варианте и рассматривать вариацию правой части ограничений в_i только для их активной части.

Контрольные вопросы и упражнения

2. Что является основой снижения размерности задач?

3. Как формулируются упрощения и допущения при снижении размерности задач?

4. В чем сущность функционального моделирования?

5. Назовите группы систем при функциональном проектировании.

6. Что представляет собой ММ системы?

7. Какая модель называется синхронной?

8. Какая модель называется асинхронной?

9. Какие функции выполняют линейные инерционные звенья?

10. Какие функции выполняют нелинейные инерционные звенья?

11. Какие функции выполняют нелинейные безынерционные звенья?

12. Что называют имитационным моделированием?

13. Что называют чувствительностью имитационной модели?

Размещено на Allbest.ru