Общая теория статистики

Средние могут вычисляться для совокупности в целом и для отдельных ее групп. Первые называются общими средними (отражают общие черты изучаемого явления), вторые - групповыми или частными средними (отражают черты явления, складывающиеся в условиях конкретной группы).

В статистике применяются две категории средних величин:

· степенные средние (к ним относятся средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя квадратическая, средняя геометрическая, средняя кубическая и др.);

· структурные средние (мода, медиана, квартили, квинтели, децели, перцентели).

Средняя величина всегда именованная, имеет ту же размерность, что и признак у отдельных единиц совокупности. Она применяется для оценки достигнутого уровня изучаемого показателя, при анализе и планировании производственно-хозяйственной деятельности хозяйственных единиц, выявления взаимосвязей явлений при прогнозировании, при расчете нормативов.

6.5 Степенные средние: виды и формы

Общая формула расчета степенных средних представлена в таблице 7.

Таблица 7

Общая формула степенной средней

Форма	Формула расчета	Обозначения
А	1	2
Простая (незвешенная) ? рассчитывается по несгруппированным данным		? средняя величина признака; ? показатель степени средней; ?-й вариант (значение) осредняемого признака (i=1, …., n); ? число вариантов
Взвешенная ? рассчитывается по сгруппированным данным		? частота (вес) -того варианта, показывающая, сколько раз встречается -тое значение осредняемого признака

Общая формула расчета степенных средних имеет показатель степени . В зависимости от того, какое значение он принимает, различают виды степенных средних. Их формулы расчета представлены в таблице 8.

Таблица 8

Виды степенных средних

Вид степенной средней	Показатель степени	Формула расчета	Пояснение
		Простая (незвешенная)	взвешенная
А	1	2	3	4
Гармоническая	-1			Взвешенная применяется тогда, когда не известны частоты, а известно . Простая может использоваться вместо взвешенной в тех случаях, когда значения для всех единиц совокупности равны
Геометрическая	0			Простая применяется для расчета среднего коэффициента роста (темпа роста) в рядах динамики, если задана последовательность цепных относительных показателей динамики
Арифметическая	1			Простая применяется, когда все частоты равны меду собой. Взвешенная применяется, когда частоты не равны между собой
Квадратическая	2			Наиболее широко этот вид средней применяется при расчете показателей вариации

Если рассчитать все виды средних для одних и тех же исходных данных, то значения их окажутся неодинаковыми.

Здесь действует правило мажорантности средних: с увеличением показателя степени k увеличивается и соответствующая средняя величина:

Средняя арифметическая и средняя гармоническая - наиболее распространенные виды средней, получившие широкое применение в плановых расчетах, при расчете общей средней из средних групповых и при выявлении взаимосвязи между признаками с помощью группировок. Их выбор определяется характером имеющейся в распоряжении исследователя информации.

Определение средней арифметической в ряде случаев требует больших затрат времени.

Для упрощения вычисления средних величин используются свойства средней арифметической (без доказательств):

1. Средняя величина от постоянной величины равна ей самой:

.

2. Произведение средней величины на сумму частот равно сумме произведения вариантов на их частоты:

.

3. Если каждую варианту увеличить или уменьшить на одну и ту же величину, то средняя величина увеличится или уменьшится на эту же величину:

.

4. Если каждую варианту увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то средняя величина увеличится или уменьшится в то же число раз:

.

5. Если все частоты увеличить или уменьшить в одинаковое число раз, средняя величина не изменится:

.

6. Средняя величина суммы равна сумме средних величин:

.

7. Сумма отклонений всех значений признака от средней величины равна нулю.

Тема 7. Показатели вариации

7.1 Вариации признака: понятие, виды и показатели

Вариация признака - это изменение значения признака при переходе от одной единицы совокупности к другой в один и тот же период или момент времени. Она возникает в результате того, что индивидуальные значения признака складываются под совокупным влиянием разнообразных факторов. Среди них есть существенные факторы, определяющие значение данного признака у всех единиц совокупности. Но есть и несущественные (случайные), которые на одни единицы совокупности могут оказывать влияние, на другие - нет. Например, вариация оценок студентов на экзамене вызывается, в частности, различными способностями студентов; временем, затраченным ими на самостоятельную работу; посещаемостью занятий и т.п. Но на оценку могут повлиять случайные причины, например, временное недомогание.

Вариация зависимого признака, образовавшаяся под действием всех без исключения влияющих на него факторов, называется общей вариацией. Вариация, порождаемая существенными факторами, носит название систематической вариации. Вариация, порождаемая случайными факторами, носит название случайной вариации. Таким образом, общая вариация складывается из систематической и случайной вариации.

Изучение вариации количественного признака в однородной совокупности (случайной вариации) осуществляется на основе построения вариационного ряда распределения и расчета на его основе показателей вариации, которые в обобщенном виде отразят закономерности распределения изучаемого признака в совокупности.

Все показатели вариации в зависимости от характеризуемых ими особенностей делятся три группы:

1) показатели центра распределения;

2) показатели степени вариации;

3) показатели типа (формы) распределения.

7.2 Показатели центра распределения

Показатели центра распределения - показывают центры группирования признаков в вариационных рядах распределения. К ним относят среднюю арифметическую, моду и медиану.

Мода ? это значение признака, которое наиболее часто встречается в вариационном ряду распределения. В дискретном вариационном ряду распределения мода - это варианта с наибольшей частотой .

В дискретном вариационном ряду распределения, где все варианты встречаются один раз, мода не рассчитывается. В интервальном вариационном ряду распределения с равными интервалами мода рассчитывается по формуле:

,

где ? нижняя граница модального интервала. Модальный интервал - это интервал, который имеет наибольшую частоту;

? величина модального интервала (разность между верхней и нижней границами модального интервала);

? частота модального интервала;

? частота интервала, предшествующего модальному интервалу;

? частота интервала, следующего за модальным интервалом.

Медиана ? это значение признака, которое лежит в середине ранжированного вариационного ряда и делит этот ряд на две равные части по числу единиц: одна часть имеет значения признака меньше медианы, а другая больше медианы. Ранжированный ряд - ряд, расположенный в порядке возрастания или убывания значений признака.

В ранжированном дискретном вариационном ряду с 2m+1 случаев, то значение признака у случая m+1 будет медианным. Если в ряду четное число 2m случаев, то медиана равна средней арифметической из двух данных значений.

Формулы для расчета медианы при нечетном числе вариантов:

и при четном числе вариантов:

где - число членов ряда.

В интервальном вариационном ряду с равными интервалами медиана рассчитывается по формуле:

,

где ? нижняя граница медианного интервала. Медианный интервал - это первый интервал, в котором сумма накопленных частот превысит половину всех частот ряда распределения;

? величина медианного интервала (разность между верхней и нижней границами медианного интервала);

? общее число единиц совокупности;

? накопленная частота до медианного интервала;

? частота медианного интервала.

Моду и медиану можно определить на основе графического изображения ряда распределения. Мода определяется по гистограмме, медиана по кумуляте.

Мода используется при экспертных оценках, при определении наиболее ходовых размеров обуви, одежды, что учитывается при планировании их производства. Медиана используется при статистическом контроле качества продукции и технологического процесса на промышленных предприятиях; при изучении распределения семей по величине дохода и др.

7.3 Показатели степени вариации

Показатели степени вариации - показывают степень вариации (колеблемости) признаков в вариационных рядах распределения. Они позволяют судить об однородности совокупности, типичности средней, о взаимосвязи между признаками одного и того же явления или признаками разных явлений. Показатели степени вариации подразделяются на абсолютные и относительные. Абсолютные показатели имеют те же единицы измерения, что и значения изучаемого признака Формулы их расчета представлены в таблице 9.

Таблица 9

Абсолютные показатели степени вариации

Наименование показателя	Формула расчета	Пояснение
	незвешенная	взвешенная
А	1	2	3
Размах вариации	, где , - максимальное и минимальное значение признака в вариационном ряду распределения	Показывает, на какую величину изменяется значение признака в ряду распределения
Среднее линейное отклонение - средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений вариантов их от средней величины			В статистике широкого применения не имеет. Он широко применяется на практике. С его помощью анализируются, например, состав рабочих, ритмичность производства, равномерность поставок материалов
Дисперсия - средний квадрат отклонений вариантов признака от их средней величины	или	или	Показывает, на сколько в среднем отличаются варианты признака от их среднего значения. Имеет большое значение в экономическом анализе. Применяется для характеристики вариации признака, связей и взаимосвязей, для определения ошибки выборочного наблюдения
Среднее квадратическое отклонение - корень второй степени из дисперсии			Наиболее часто используемый абсолютный показатель вариации. Показывает, на сколько в среднем отличаются варианты признака от их среднего значения

При сравнении вариации различных признаков в одной и той же совокупности или же при сравнении вариации одного и того же признака в нескольких совокупностях с различной величиной средней арифметической используются относительные показатели вариации. Они выражаются в коэффициента или процентах. Формулы их расчета представлены в таблице 10.

Таблица 10

Относительные показатели степени вариации

Наименование показателя	Формула расчета	Пояснение
А	1	2
Коэффициент осцилляции		Отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней. Дает приближенное представление о вариации
Относительное линейное отклонение		Отражает долю усредненного значения абсолютных отклонений от средней величины
Коэффициент вариации		Наиболее применяемый относительный показатель вариации. Характеризует однородность совокупности и типичность средних величин. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% (для распределений, близких к нормальному)

Чем меньше значение показателей степени вариации, тем совокупность более однородна, тем более типичной будет средняя величина.

7.4 Виды дисперсий и правило сложения дисперсий

Если данные представлены в виде аналитической группировки, то можно вычислить дисперсию общую, межгрупповую и внутригрупповую (табл. 11).

Таблица 11

Виды дисперсий и правило сложения дисперсий

Наименование дисперсии	Формула расчета
	простая (незвешенная)	взвешенная
А	1	2
Общая дисперсия измеряет вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов
Межгрупповая дисперсия измеряет систематическую вариацию, возникшую под влиянием группировочного признака
	- средняя по -той группе; - средняя по всей совокупности; - число единиц совокупности- число единиц в -той группе
Внутригрупповая (частная) дисперсия, рассчитывается отдельно для каждой группы
	- индивидуальные значения признака в -той группе; - средняя -той группы; - число единиц в совокупности; - число единиц в -той группе
Средняя внутригрупповая дисперсия измеряет случайную вариацию, возникающую под влиянием всех факторов, кроме группировочного признака
Правило сложения дисперсий

На основании правила сложения дисперсий рассчитывают:

1) эмпирический коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака, обусловленную вариацией группировочного признака:

;

2) эмпирическое корреляционное отношение показывает тесноту связи между группировочным и результативным признаками:

.

Эмпирическое корреляционное отношение варьирует от 0 до 1. При связи нет, при - связь полная.

Промежуточные значения оцениваются по шкале Чэддока:

?Э	0,1-0,3	0,3-0,5	0,5-0,7	0,7-0,9	0,9-0,99
Сила связи	слабая	умеренная	заметная	тесная	весьма тесная

7.5 Дисперсия альтернативного признака

Альтернативный признак - качественный признак, который может принимать только одно значение из двух. Например, пол - мужской или женский; семейное положение - состоит в браке или нет; продукция - годная или бракованная. Одна часть совокупности обладает альтернативным признаком, другая нет. Доля единиц обладающих альтернативным (изучаемым) признаком обозначается - р, необладающих - q. Наличие альтернативного признака у единиц совокупности обозначается 1, отсутствие - 0.

Дисперсия альтернативного признака рассчитывается по формуле:

.

Учитывая, что , следовательно, , то эту формулу можно преобразить

.

Среднеквадратическое отклонение альтернативного признака рассчитывается по формуле:

,

.

Среднее значение альтернативного признака рассчитывается по формуле:

.

Предельное значение при р = q = 0,5.

Дисперсия и среднеквадратическое отклонение альтернативного признака используются при проектировании выборочного наблюдения, обработке социологических обследований, контроле за качеством продукции.

Тема 8. Выборочное наблюдение

8.1 Понятие выборочного наблюдения. Виды выборок

Выборочный метод - метод исследования, суть которого заключается в том, что наблюдению подвергается часть единиц изучаемой совокупности, отобранных по особым правилам, называемая выборочной совокупностью. По результатам этого обследования составляют суждение обо всей изучаемой совокупности, называемой генеральной совокупностью. Статическое исследование, основанное на этом методе, называется выборочным статистическим исследованием, а статистическое наблюдение - выборочным статистическим наблюдением. Выборочная совокупность формируется путем беспристрастного (в конечном счете) случайного отбора единиц генеральной совокупности. В процессе обработки данных выборочного наблюдения рассчитывают различные статистические показатели, прежде всего обобщающие показатели в виде средних и относительных величин (чаще всего доли единиц совокупности, обладающих каким-либо признаком). Обобщающие показатели выборочной совокупности рассматриваются как оценки соответствующих показателей генеральной совокупности, с определенной степенью вероятности воспроизводящие (репрезентирующие) величину последних. Таким образом, заключения о показателях генеральной совокупности на основе показателей выборочной совокупности имеют вероятностный характер; с определенной вероятностью устанавливают пределы величины показателя генеральной совокупности, в которых он находится.

Существуют различные виды, методы и способы формирования выборочной совокупности (рис. 15).

8.2 Предельная ошибка выборки

Для оценки точности выборки и значения показателя генеральной совокупности определяют предельную (вероятную) ошибку выборки . Формула расчета предельной ошибки выборки зависит от вида выборки. В таблице 12 представлены формулы расчета предельной ошибки выборки для собственно-случайного и механического отбора.

Таблица 12

Формулы предельной ошибки выборки для собственно-случайного и механического отбора

Метод наблюдения	Для средней величины	Для доли
Повторный
Бесповторный

Примечание

- коэффициент доверия, указывающий на конкретное значение вероятности того, на какую величину генеральная средняя будет отличаться от выборочной средней.



Рис. 15. Виды выборок

Значения t даются в таблицах нормального распределения вероятностей.

Некоторые значения коэффициента доверия t при уровне вероятности Р:

t	Р	t	Р
1,0	0,68	2,5	0,988
1,5	0,86	3,0	0,997
2,0	0,954	3,5	0,999

Остальные обозначения, используемые при расчете предельной ошибки выборки, представлены в таблице 13.

Таблица 13

Основные характеристики генеральной и выборочной совокупности

Характеристика	Генеральная совокупность	Выборочная совокупность
Объем совокупности (численность единиц)
Численность единиц, обладающих обследуемым признаком
Доля единиц, обладающих обследуемым признаком
Средний размер признака
Дисперсия признака

Доверительные интервалы для генеральной совокупности рассчитываются по формулам:

· для средней ; ;

· для доли ; .

8.3 Определение необходимой численности выборки

Указанные в таблице формулы предельной ошибки выборки позволяют определить необходимую численность выборки (n) для достижения заданной степени точности. Формула расчета численности выборки зависит от вида выборки. В таблице 14 представлены формулы расчета численности выборки для собственно-случайного и механического отбора.

Таблица 14

Формулы численности выборки при собственно-случайном и механическом отборе

Метод отбора	Формулы объема выборки
	для средней	для доли
Повторный
Бесповторный

Тема 9. Статистическое изучение связи между явлениями

9.1 Виды связей

Корреляционно-регрессионный анализ изучает взаимосвязи явлений и процессов. При изучении конкретных зависимостей следует различать факторные и результативные признаки. Признаки, обуславливающие изменение других, связанных с ними признаков, называются факторными, или просто факторами. Признаки, изменяющиеся под действием факторных признаков, называются результативными. Связи между признаками классифицируются по различным признакам (табл. 15).

Таблица 15

Виды связей между признаками

Признак классификации связи	Виды связей
По степени тесноты	Функциональные - это связи, при которых определенному значению факторного признака соответствует одно строго определенное значение результативного признака
	Корреляционные - это связи, при которых одному и тому же значению факторного признака может соответствовать несколько значений результативного признака. Это частный случай стохастической связи
По направлению	Прямые - это связи, при которых увеличение факторного признака приводит к увеличению результативного признака, уменьшение факторного признака приводит к уменьшению результативного признака
	Обратные - это связи, при которых увеличение факторного признака приводит к уменьшению результативного признака, уменьшение факторного признака приводит к увеличению результативного признака
По аналитическому выражению	Линейные - это связи, выраженные уравнением прямой линии
	Нелинейные - это связи, выраженные уравнением какой-либо кривой линии (параболы, гиперболы)
По силе	Слабые и сильные. Сила связи определяется специальными расчетными показателями
По виду взаимодействия между признаками	Непосредственная - факторный и результативный признак взаимодействуют друг с другом непосредственно
	Косвенная - факторный и результативный признак взаимодействуют друг с другом через третью переменную-посредника
	Ложная - связь, между признаками подтверждается количественно, но бессмысленна
По количеству факторных признаков	Парная - один результативный признак зависит от одного факторного признака
	Множественная - один результативный признак зависит от двух и более факторных признаков

9.2 Парный линейный корреляционно-регрессионный анализ

Основные положения парного линейного корреляционно-регрессионного анализа представлены на рисунке 16.

Рис. 16. Основные положения парного линейного КРА

Рассмотрим применение парного линейного корреляционно-регрессионного анализа.

При линейном выражении зависимости между признаками и используется уравнение прямой:

(уравнение регрессии),

где - теоретические значения результативного признака;

х - индивидуальные значения факторного признака;

а0, а1 - параметры уравнения регрессии.

Для определения параметров уравнения прямой а0 и а1 на основе требований метода наименьших квадратов составляется система нормальных уравнений:

Для решения системы применяется способ определений, позволяющий сводить к минимуму неточности округлений в расчетах параметров уравнений регрессии:

,

где у - фактические (эмпирические) значения результативного признака;

n - количество единиц совокупности (то есть заданных пар значений х и у).

Подставляя в уравнение прямой найденные параметры а0, а1 и значения х, рассчитываем выровненные (теоретические значения) результативного показателя . В уравнении прямой параметр а0 экономического смысла не имеет. Параметр а1 является коэффициентом регрессии и показывает, насколько изменяется в среднем значение результативного признака при увеличении факторного признака на единицу.

Часто исследуемые признаки имеют разные единицы измерения, поэтому для оценки влияния факторного признака на результативный рассчитывается коэффициент эластичности в среднем для всей совокупности:

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в среднем изменится результативный признак при увеличении факторного признака на 1%.

Для измерения тесноты связи между признаками применяются линейные коэффициенты корреляции и детерминации.

Линейный коэффициент корреляции вычисляется по формуле:

,

где значение r лежит в пределах от -1 до +1. При не существует линейной корреляционной связи. Степень тесноты линейной зависимости растет при приближении к (табл. 16).

Таблица 16

Оценка тесноты и направления связи

Теснота связи	Величина коэффициента корреляции
	прямая связь	обратная связь
слабая	0,1-0,3	(-0,1)-(-0,3)
средняя	0,3-0,7	(-0,3)-(-0,7)
тесная	0,7-0,99	(-0,7)-(-0,99)

Линейный коэффициент детерминации (r2) - квадрат коэффициента корреляции, выраженный в процентах. Показывает, какая доля вариации результативного признака объясняется вариацией факторного.

Для проверки значимости уравнения регрессии рассчитывают F-критерий Фишера:

где n - число наблюдений;

m - число параметров.

Рассчитанное значение F-критерия сравнивается с критическим (табличным) Ft с уровнем значимости 0,01 или 0,05 и числом степеней свободы (m-1), (n-m). Если рассчитанное значение F оказывается больше табличного, то уравнение регрессии признается значимым. В противном случае следует пересмотреть форму уравнения или перечень переменных.

Значимость коэффициента корреляции осуществляют с помощью t-критерия Стьюдента, который рассчитывается по следующей формуле:

.

Рассчитанное значение t-критерия сравнивается с критическим (табличным) значением t-распределения Стьюдента с уровнем значимости 0,01 или 0,05 и числом степеней свободы (n-2). Если рассчитанное значение t оказывается больше табличного, то линейный коэффициент корреляции признается значимым. В противном случае следует увеличить количество наблюдений.

Тема 10. Ряды динамики

10.1 Ряды динамики: понятие и виды

Динамика - это изменение социально-экономических явлений во времени. Для изучения динамики явлений строят и анализируют ряды динамики. Ряд динамики - это ряд значений статистического показателя, расположенных в хронологической последовательности. Составными элементами ряда динамики являются значения показателя, называемые уровнями ряда , и показатели времени - периоды или моменты времени , к которым относятся уровни. Если ряд динамики состоит из уровней, то его вид где - уровень ряда динамики в момент или за период времени Классификация рядов динамики представлена на рисунке 17.

Условия правильного построения ряда динамики:

1) периодизация развития, т.е. расчленение его во времени на однородные этапы, в пределах которых показатель подчиняется одному закону развития;

2) уровни ряда должны быть сопоставимы по территории, кругу охватываемых объектов, единицам измерения, времени регистрации, ценам, методологии расчета;

3) уровни ряда должны соответствовать интенсивности изучаемых процессов;

4) уровни ряда должны быть упорядоченными во времени.

При изучении рядов динамики перед статистикой стоят задачи: охарактеризовать интенсивность развития явления от периода к периоду (от дате к дате), а также среднюю интенсивность развития за исследуемый период, выявить основную тенденцию в развитии явления, осуществить прогноз развития на будущее, а также изучить сезонные колебания.



Рис. 17. Виды рядов динамики

10.2 Показатели ряда динамики

Для характеристики интенсивности развития явления во времени исчисляются следующие показатели ряда динамики: абсолютные приросты, коэффициенты роста, темпы роста, коэффициенты прироста, темпы прироста, абсолютные значения 1% прироста. Их расчет основан на сравнении между собой уровней ряда. При этом сравниваемый уровень называют текущим (отчетным), а уровень, с которым производят сравнение, - базисным. Перечисленные показатели можно исчислить с переменной или постоянной базой. Если производится сравнение каждого уровня с предыдущим уровнем, то получают показатели динамики с переменной базой (цепные показатели динамики).

Если каждый уровень сравнивается с начальным уровнем или каким-то другим, принятым за базу сравнения, то получаются показатели динамики с постоянной базой (базисные показатели динамики).

База сравнения должна выбираться обоснованно, в зависимости от экономических особенностей явления и задач исследования. Формулы расчета показателей динамики представлены в таблице 17.

Таблица 17

Показатели ряда динамики

Показатель	Цепной	Базисный
1. Абсолютный прирост показывает, на сколько единиц увеличился или уменьшился уровень ряда по за тот или иной промежуток времени
2. Коэффициент роста показывает, во сколько раз текущий уровень ряда больше базисного уровня (если коэффициент больше единицы) или какую часть базисного уровня составляет уровень текущего периода за некоторый промежуток времени (если он меньше единицы)
3. Темп роста , %
4. Коэффициент прироста	;	;
5. Темп прироста , % показывает, на какую долю (или процент) уровень текущего периода больше (или меньше) базисного уровня	;	;
6. Абсолютное значение 1% прироста показывает, сколько абсолютных единиц приходится на 1% прироста (уменьшения)	;	;

Примечание. - уровень любого периода (кроме первого), называемый уровнем текущего (отчетного) периода. - уровень периода, предшествующий текущему. - уровень, принятый за постоянную базу сравнения (часто первый уровень).

Между цепными и базисными показателями абсолютного прироста и коэффициентов роста существует взаимосвязь:

1. ;

2. .

Для характеристики интенсивности развития за длительный период рассчитываются средние показатели динамики. Формулы их расчета представлены в таблице 18.

Таблица 18

Средние показатели ряда динамики

Показатель	Формула расчета
1. Средний уровень ряда: для интервального ряда с равными интервалами
для интервального ряда с неравными интервалами
для моментного ряда с равными интервалами
для моментного ряда с неравными интервалами
2. Средний абсолютный прирост показывает, на сколько единиц увеличился или уменьшился уровень по сравнению с предыдущим в среднем за единицу времени (в среднем ежегодно, ежемесячно и т.д.)	; или
3. Средний коэффициент роста	или
4. Средний темп роста
5. Средний темп прироста показывает, на сколько процентов увеличился или уменьшился уровень по сравнению с предыдущим в среднем за единицу времени (в среднем ежегодно, ежемесячно и т.п.)
6. Средняя величина абсолютного значения 1% прироста

Примечание.

- число уровней ряда. - длительность интервала времени между уровнями. - последний уровень ряда.

Показатели ряда динамики подразделяются на группы (рис. 18).

Рис. 18. Группировка показателей ряда динамики

10.3 Структура ряда динамики. Выявление основной тенденции развития

Ряд динамики состоит из нескольких составляющих:

1) тренд (основная тенденция развития) - достаточно плавное и устойчивое изменение уровня явления во времени, более или менее свободное от случайных колебаний;

2) сезонная составляющая, характеризующая колебания ряда в зависимости от сезона;

3) циклическая составляющая, характеризующая колебания уровней ряда с периодом колебаний в несколько лет;

4) случайные колебания. В отличие от тренда, сезонной и циклической компонент, которые являются регулярными, или систематическими компонентами, случайная является нерегулярной и остается от динамического ряда после выделения из него регулярных компонент.

Выделение тренда может осуществляться методами укрупнения интервалов, скользящей средней и аналитического выравнивания.

Суть метода укрупнения интервалов состоит в преобразовании фактического ряда динамики в ряды более продолжительных периодов (месячные в квартальные, квартальные в годовые и т.д.). Средняя, исчисленная по укрупненным интервалам, позволяет выявить направление основной тенденции развития.

Суть метода скользящей средней состоит в том, что вычисляется средний уровень из определенного числа первых по порядку уровней ряда, затем - средний уровень из того же числа уровней, начиная со второго, далее - начиная с третьего и т.д. Таким образом, при расчетах среднего уровня как бы "скользят" по ряду динамики от его начала к концу, каждый раз отбрасывая один уровень в начале и добавляя один следующий. Период скользящей может быть четным и нечетным. Удобнее использовать нечетный период, так как в этом случае скользящая средняя будет отнесена к середине периода скольжения.

Скользящие средние с продолжительностью периода, равной 3, следующее:

; ; и т.д.

Полученные средние записываются к соответствующему срединному интервалу (второму, третьему, четвертому и т.д.).

Если период скользящей четный, то выполняют центрирование данных, т.е. определение средней из найденных средних, что необходимо для определения срединного периода.

Например, если исчисляется скользящая с продолжительностью периода, равной 2, то расчет производится следующим образом:

; ; и т.д.

Тогда центрированные средние равны:

; и т.д.

Первая центрированная средняя будет отнесена ко второму периоду, вторая - к третьему и т.д.

Сглаженный ряд "укорачивается" по сравнению с фактическим на члена с одного и другого конца, где - количество уровней, входящих в интервал.

Суть метода аналитического выравнивания состоит в нахождении уравнения, выражающего закономерность изменения явления как функцию времени , где - время. При этом на практике чаще всего применяются следующие виды трендовых моделей (табл. 19).

Таблица 19

Виды трендовых моделей

Наименование функции	Вид функции	Применяется
Линейная		Если более или менее постоянны цепные абсолютные приросты
Параболическая		Если изменение уровней ряда происходит с приблизительно равномерным ускорением или замедлением цепных абсолютных приростов
Степенная		Если уровни ряда динамики выявляют тенденцию постоянства цепных темпов роста

Рассмотрим технику выравнивания ряда динамики по линейной функции.

Выровненные уровни ряда динамики в этом случае вычисляются по уравнению:

где - выравненный (теоретический) уровень ряда динамики;

- параметры линейной функции;

t - условное обозначение времени.

Параметры находятся по методу наименьших квадратов с помощью решения системы нормальных уравнений:

где у - фактический (эмпирические) уровень ряда динамики;

n - число уровней ряда.

Для упрощения исчисления допускается условное обозначение времени таким образом, чтобы ?t = 0. При нечетном числе уровней ряда условное обозначение времени будет иметь вид: (…, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, …). При четном числе уровней ряда условное обозначение времени будет иметь вид: (…, -3, -2, -1, +1, +2, +3, …).

В обоих случаях ?t = 0, тогда:

Параметр характеризует выровненный, свободный от случайных колебаний исходный уровень ряда при , - средний абсолютный прирост, показывающий направление основной тенденции развития.

Для оценки степени приближения выравненных уровней к фактическим уровням следует сравнить сумму уровней ряда (), рассчитать остаточное среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации по следующим формулам:

,

Если коэффициент вариации меньше 25%, а суммы () примерно равны, это свидетельствует о достаточном приближении теоретических уровней ряда к фактическим.

Исследование динамики явлений и установление основной тенденции развития дают основание для прогнозирования (экстраполяции) - определения будущих размеров уровня экономического явления.

Используют следующие методы экстраполяции:

1) средний абсолютный прирост;

2) средний темп роста;

3) экстраполяцию на основе выравнивания по какой-либо аналитической формуле.

Тема 11. Экономические индексы

11.1 Экономические индексы: понятие и виды

Экономический индекс - это относительный показатель, выражающий соотношение величины простого или сложного явления во времени, в пространстве или относительно обязательств (план, прогноз, норматив и т.д.). Простое явление состоит из одного элемента. Сложное явление состоит из двух и более непосредственно несоизмеримых элементов. Для обозначения элементов при построении индексов используются определенные обозначения (табл. 20).

Таблица 20

Обозначения, используемые при построение индексов

Вид показателей	Обозначения
Простые явления (состоят из одного элемента)
Количественные показатели	q - физический (в натуральном в натуральном) объем продукции или товара, шт., м и т.д. S - размер посевной площади отдельной сельскохозяйственной культуры, га
Качественные показатели	р - цена единицы продукции или товара, руб. у - урожайность определенной культуры, ц/га
Сложные явления (состоят из двух элементов)
Показатели, полученные путем произведения качественного и количественного показателя	pq - стоимость продукции или стоимость товара (стоимость товарооборота) определенного вида ys - валовой сбор отдельной сельскохозяйственной культуры, ц

В международной практике индексы принято обозначать символами и . Буквой обозначаются индивидуальные индексы, буквой - общие индексы. При построении динамических индексов имеется два периода: отчетный (сравниваемый, текущий) и базисный, который используется как база сравнения. Данные отчетного периода обозначаются подстрочным знаком 1, базисного - 0.

Способы выражения индексов коэффициенты или проценты.

Классификация экономических индексов представлена на рисунке 19.

Рис. 19. Классификация экономических индексов

С помощью индексов решаются следующие основные задачи: характеристика общего изменения сложного явления и отдельных его элементов; измерение влияния факторов на общую динамику сложного явления, включая характеристику влияния изменения структуры явления.

11.2 Индивидуальные индексы

Индивидуальные индексы - характеризуют изменение простых или сложных (однотоварных) явлений. Они представляют собой относительные величины динамики, выполнения плана и сравнения.

Введем следующие обозначения для индивидуальных индексов:

1. Индивидуальный индекс физического объема продукции

.

2. Индивидуальный индекс цен

.

3. Индивидуальный индекс стоимости товарооборота

.

4. Взаимосвязь индивидуальных индексов:

.

11.3 Общие индексы

Общие (сводные) индексы - характеризуют изменение сложных (многотоварных) явлений.

Построение этих индексов является содержанием индексной методологии, в которой сложились две концепции:

1. Синтетическая концепция, согласно которой особенность общих индексов состоит в том, они выражают относительное изменение сложных явлений, отдельные элементы которых непосредственно несоизмеримы и поэтому индексы - показатели синтетические.

2. Аналитическая концепция, согласно которой индексы трактуются как показатели, необходимые для измерения влияния изменения составных элементов, факторов сложного явления на изменение уровня этого явления. Поэтому индексной методологией предусматривается определение влияния каждого из факторов путем элиминирования влияния других факторов на уровень изучаемого явления. Такие индексы - показатели аналитические.

Классификация общих индексов представлена на рисунке 20.

Рис. 20. Классификация общих индексов

Агрегатный индекс - это числитель и знаменатель, которые представляют собой суммы произведений двух величин, одна меняется (индексируемая величина), а другая остается неизменной в числителе и знаменателе (вес индекса). Индексируемая величина - это признак, изменение которого изучается (цена товара, количество проданных товаров и т.д.). Вес индекса - это величина, служащая для целей соизмерения индексируемых величин. При выборе веса принято руководствоваться следующим правилом: если строится индекс количественного показателя, то веса берутся за базисный период; если строится индекс качественного показателя, то используются веса отчетного периода.

В таблице 21 приведены формулы расчета общих индексов физического объема продукции, цены и стоимости продукции (товарооборота).

Таблица 21. Формулы общих индексов

Наименование индекса	Формула расчета	Что показывает индекс	Что показывает разность числителя и знаменателя
Индекс физического объема продукции (товарооборота)		Во сколько раз изменилась стоимость продукции в результате изменения объема ее производства, или сколько процентов составил рост (снижение) стоимости продукции из-за изменения ее физического объема	На сколько рублей изменилась стоимость продукции в результате роста (уменьшения) ее объема
Индекс цен		Во сколько раз изменилась стоимость продукции в результате изменения цен, или сколько процентов составил рост (снижение) стоимости продукции из-за изменения цен	На сколько рублей изменилась стоимость продукции в результате роста (уменьшения) цен
Индекс стоимости продукции (товарооборота)		Во сколько раз возросла (уменьшилась) стоимость продукции, или сколько процентов составил рост (снижение) стоимости продукции в текущем периоде по сравнению с базисным	На сколько рублей изменилась стоимость продукции в текущем периоде по сравнению с базисным
Взаимосвязь индексов

Средний индекс (средневзвешенный, средние индексы из индивидуальных (групповых)) - это индекс, вычисляемый как средняя величина их индивидуальных индексов. Применяется, если имеющаяся в распоряжении информация не позволяет рассчитать общий агрегатный индекс. Средний индекс тождествен агрегатному индексу.

Различают следующие средние индексы:

1. Средний арифметический индекс физического объема продукции (товарооборота):

,

где

- индивидуальный индекс физического объема продукции; (индексируемой величины);

- стоимость продукции базисного периода (вес индекса).

Разность между числителем и знаменателем данной формулы показывает, на сколько рублей изменилась стоимость продукции (товарооборота) в результате роста (уменьшения) ее объема в отчетном периоде по сравнению с базисным.

2. Средний гармонический индекс цен:

,

где - индивидуальный индекс цен (индексируемой величины);

- стоимость продукции отчетного периода (вес индекса).

Разность между числителем и знаменателем данной формулы показывает, на сколько рублей изменилась стоимость продукции (товарооборота) в результате роста (уменьшения) цен в отчетном периоде по сравнению с базисным.

11.4 Индексы переменного и постоянного состава, индекс структурных сдвигов

Часто при помощи индексов изучают динамику средних качественных показателей: средней урожайности, средней себестоимости, средней заработной платы и т.д.

Изменение средней величины того или иного показателя зависит от изменения значения этого показателя по каждой единице совокупности или каждому ее элементу и от изменения структуры совокупности.

Например, рост средней урожайности зерновых культур в регионе зависит от повышения урожайности каждой отдельной культуры и от увеличения ее удельного веса в общем площади засеянных культур.

Индекс, характеризующий совместное влияние указанных двух факторов (в котором меняются обе эти величины), называется индексом переменного состава и рассчитывается по формуле:

,

где - усредненный признак;

- вес изучаемого явления.

Индекс, характеризующий влияние только самого среднего признака по каждой единице совокупности (меняется только эта величина), называется индексом постоянного состава и рассчитывается по формуле:

.

статистический наблюдение выборка вариация

Чтобы изучить влияние второго фактора - изменения структуры - на изменение средней величины, исчисляют индекс структурных сдвигов по формуле:

.

Взаимосвязь между перечисленными индексами:

Размещено на Allbest.ru

...