Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Человеческое общество - это сложная неравновесная развивающаяся система. Сложность, многофакторность и противоречивость социальной эволюции приводят исследователей к закономерному выводу о том, что любое упрощение, редукция, упущение из виду всего многообразия факторов неизбежно ведет к неверному пониманию изучаемых процессов. Мнение о том, что в истории развития общества не может быть простых общих законов, крепко укоренилось в научных воззрениях, особенно среди представителей гуманитарных наук, непосредственно сталкивающихся в своей деятельности со всем многообразием и непредсказуемостью социальных процессов. Подобные воззрения, однако, - прямой путь к социальному агностицизму, признанию бессмысленности самого изучения общества, ведь задача научного анализа в том и состоит, чтобы выделить основные действующие силы и установить фундаментальные законы, отбросив детали и несущественные отклонения от общих правил. Таким образом, сам научный подход содержит в себе заметную долю редукционизма. Тем не менее, человеческое общество действительно слишком сложная система. Возможно ли описать его развитие какими-либо достаточно простыми законами? Современные достижения в области математического моделирования дают однозначный ответ: «Можно». Социальная эволюция действительно подчиняется строгим и достаточно простым макрозаконам.

Математические методы и демография

Грандиозные успехи и бурное развитие физики по сравнению с другими науками во многом было связано с тем, что удалось произвести синтез математических методов и предметного знания. Несмотря на то, что еще в античном мире физические концепции уже отличались достаточно высоким уровнем, именно в новое время внедрение математики позволило гораздо глубже проникнуть в сущность физических законов и предопределило научно-техническую революцию. Однако данный синтез требовал соблюдения важного условия. Математика оперирует с числами, а значит, и мир физики должен был быть переведен на язык чисел. Требовались эффективные методы измерения физических величин, введение шкал и мер. Начиная с измерения простейших величин - длина, масса, время - физики научились измерять заряд, вязкость, индуктивность, спин и многие другие необходимые для построения физической теории величины.

Аналогичным образом конструктивный синтез социальных наук и математики требует введения адекватных способов измерения социальных величин. Так же как и в физике, некоторые величины поддаются относительно несложной оценке, тогда как измерение других требует длительной работы и даже построения вспомогательных моделей.

Одной из наиболее доступных для непосредственного измерения социальных величин является численность людей. Поэтому неудивительно, что именно область демографии привлекает исследователей, давая надежды на успех в построении количественной теории. Примечательно, что и проникновение математических методов в биологию во многом проходило под флагом описания популяционной динамики животных.

Однако несмотря на измеримость данных и, более того, на очевидность формулы, вытекающей из закона сохранения и описывающей демографическую динамику:

, (1)

где N - число людей, B - число рождений и D - число смертей в единицу времени, на микроуровне оказывается, что и число рождений, и число смертей зависят от многих других социальных параметров, и в том числе от «человеческого фактора» - принятия решений отдельными людьми, слабо поддающегося формализации.

Кроме того, формула (1) не учитывает перемещения людей в пространстве, а следовательно она должна быть расширена:

,

где вектор J соответствует миграционному потоку. В этом случае задача еще больше усложняется, поскольку миграционные процессы еще сильнее подвержены влиянию внешних факторов.

Поэтому описание демографических процессов на микроуровне наталкивается на существенные проблемы, связанные, прежде всего, с неразработанностью формальных социальных законов, увязывающих экономические, политические, этические и прочие факторы, определяющие поведение малых групп людей.

Таким образом, единственным пока доступным подходом является макроописание, не вдающееся в мелкие детали демографического процесса и описывающее динамику больших людских масс, для которых влияние человеческого фактора заметно ниже.

Биологические процессы рождения и смерти характерны не только для людей, но и для любых животных. Поэтому вполне естественным шагом является попытка описания демографических моделей с применением хорошо зарекомендовавших себя популяционных моделей, использующихся в биологии [11].

Базовой моделью, описывающей динамику популяции животных, является логистическая модель, предложенная Ферхюльстом [39]:

, (2)

которое можно также представить в виде

, (3)

где первая скобка соответствует числу рождений B, а вторая - числу смертей D в формуле (1), а r, K, a1, a2, b - положительные коэффициенты, связанные соотношениями

r = a1 - a2 и ,

Логика уравнения (3) такова: рождаемость a1 является постоянной, таким образом, число рождений B = a1N пропорционально численности популяции, естественная смертность a2 также считается постоянной, а квадратичная добавка bN2 в выражении для полной смертности D = a1N+bN2 возникает из-за ограниченности ресурса, не позволяющей популяции бесконечно расти. Коэффициент b называют коэффициентом внутривидовой конкуренции.

В итоге, динамика популяции, описываемой логистическим уравнением, имеет следующий вид. Вначале, когда численность животных мала, наблюдается экспоненциальный рост с показателем r = a1 - a2. Затем, по мере заполнения экологической ниши, рост замедляется и, в конечном счете, численность популяции выходит на постоянный уровень K.

Значение параметра K, называемого емкостью экологической ниши популяции, принципиально. Эта величина определяет равновесное состояние в динамике популяции при заданных ресурсных ограничениях и определяет пределы ее роста.

Другой известной популяционной моделью является модель Лотки-Вольтерра [2], известная как «хищник-жертва». Она описывает динамику популяций двух взаимодействующих видов, один из которых является основной пищей для другого, и состоит из двух уравнений вида (1):

, (4)

где x - численность жертв, y - численность хищников, A, B, C, D - коэффициенты.

Данная модель, аналогично (2), предполагает, что число рождений жертв пропорционально их численности. Число смертей хищников также пропорционально их численности. Что же касается смертности жертв и рождаемости хищников, то тут имеет место системный эффект. Считается, что жертвы в основном гибнут из-за контакта с хищником, а рождаемость хищников зависит от наличия пищи - жертв. В модели предполагается, что в среднем число контактов жертв и хищников пропорционально численности обеих популяций, что и дает выражение Bxy для количества смертей жертв и Cxy - для числа рождений хищников.

Данная модель демонстрирует циклическую динамику. Рост численности жертв приводит к росту хищников, рост хищников вызывает сокращение жертв, сокращение жертв ведет к сокращению хищников, а при малом количестве хищников жертвы вновь начинают бурно размножаться.

Описанные популяционные модели имеют чрезвычайно широкое применение в биологических исследованиях. Разумно предположить, что и для человека, коль скоро он также имеет биологическую природу, должны выполняться подобные соотношения или их аналоги.

В глубокой древности, когда человек мало отличался от животного, по всей видимости, модели (2)-(4) могли бы быть применены в полной мере. Однако с появлением у человека новой среды обитания - социальной, прямое применение описанных моделей уже не вполне адекватно. В частности, модель (2) предполагает заданную внешними условиями емкость экологической ниши (которая в социальных моделях часто называется потолком несущей способности земли), однако опыт развития человечества показывает, что на протяжении всей истории этот потолок постоянно поднимался, следуя собственным законам развития, и, следовательно, он не может считаться постоянным и задаваемым внешними условиями. Человек способен преобразовывать эти условия.

Что же касается модели (4), то в прямом смысле она вообще неприменима, так как человек на ранних этапах эволюции научился эффективно обороняться от хищников и, следовательно, не может являться «жертвой» в модели, а с другой стороны, он научился не зависеть от колебаний численности жертв, на которые он охотится, следовательно, он не может быть и «хищником», поскольку хищники в модели очень чувствительны к изменению числа жертв.

Тем не менее модель (4) может находит новое, нетрадиционное применение в демографических моделях. В частности, она может быть применена для описания колебаний численности населения, обнаруженных практически у всех аграрных обществ [7]. В роли жертвы выступает население, а в роли хищника - социальная нестабильность, войны, голод, эпидемии, вероятность возникновения которых увеличивается по мере того, как растущее население приближается к потолку несущей способности.

Демографические циклы сами по себе являются очень интересным предметом математического исследования. В последнее время эта тема активно разрабатывается [5], [33], [38] и др.

Гиперболический рост населения Земли и модель С.П. Капицы

Модели демографических циклов хорошо согласуются с историческими данными и описывают динамику населения на временных масштабах порядка столетий, однако если рассмотреть тот же демографический процесс, но на гораздо большем масштабе - если проследить динамику человечества на протяжении всего времени его существования, то перед нами предстанет совсем иная картина. Численность человечества растет по гиперболическому закону.

Впервые этот феномен был отмечен в 1960 году фон Форрестером, Мора и Эмиотом [21]. Они провели статистическую оценку демографических данных и обнаружили, что кривая роста населения Земли лучше всего аппроксимируется кривой

, (5)

где C и t0 - константы, причем t0 - соответствует 13 ноября 2026 года. Согласно этой формуле в этот день численность человечества должна уйти в бесконечность.

Противоестественность такого вывода, вытекающего из четко прослеживаемой за многие тысячи лет человеческой истории тенденции, вызвала большое внимание к данной работе и попытку объяснения таких парадоксальных наблюдений. В самой статье Форстер с соавторами также пытается найти объяснения столь неожиданным эмпирическим наблюдениям. Он начинает теоретические построения, отталкиваясь от уравнений (1) и (3), вполне объяснимых с точки зрения популяционной динамики, однако не описывающих процесс роста населения Земли. Для того чтобы модель могла описать этот процесс, Форстер обращается к бурно развивающейся в его время теории игр и предлагает рассматривать процесс развития человечества как игру двух игроков - человека и природы. В данном случае все человечество представляет собой одну коалицию, которое ведет игру тем эффективнее (снижение естественных рисков, улучшение условий жизни), чем больше численность населения, формирующей эту коалицию. Моделирование подобной ситуации он предлагает реализовать с помощью введения нелинейности в виде

,

где a0, k - константы, которые должны быть определены из эксперимента. Собственно анализ экспериментальных данных Форстера определяет значения a0 = 5,5 10-12 и k = 0,99, что дает гиперболическое уравнение для роста населения:

,

которое, считая k равным единице, более кратко записывается как (5).

Характерно то, что работа [8] вышла в свет в 1960 году, в то время, когда гиперболическая зависимость выражалась наиболее явно. Начиная с шестидесятых годов XX века реальная динамика народонаселения Земли стала все больше отходить от гиперболической кривой, и к настоящему времени темпы роста населения резко понизились (рис.1). Наблюдается то, что получило название глобального демографического перехода. Форстер с соавторами опубликовал статью буквально накануне резкого перелома 1960-1970 годов, в течение которых наблюдались максимальное за всю историю значение темпов прироста населения - 2,19 % в год, сменившееся последующим резким падением. Тем не менее Форстер предвидел снижение темпов роста и фактическое изменение закона роста человечества, действовавшего на протяжении всей его истории. Он явно пишет о необходимости снижения рождаемости, по крайней мере в два раза по сравнению с уровнем 1960 года (3.45%) во избежание серьезных катаклизмов. Курьезно, но уже через три года прогноз начал стремительно сбываться и прежний рост разрыва между смертностью и рождаемостью сменился резким сокращением. В дальнейшем мы покажем, что именно закономерное сокращение рождаемости, обусловленное новым режимом развития, является основным двигателем демографического перехода.

Несмотря на разрешение парадокса бесконечного роста, научный интерес к глобальной демографии не ослаб, наоборот, вместо одной загадки - «почему в течение всей истории наблюдался гиперболический рост народонаселения?» появилась еще и вторая: «почему сейчас, за микроскопическое, по историческим масштабам, время происходит нарушение закона, действовавшего тысячи и тысячи лет?»

Наиболее фундаментальными работами в области глобальной демографии, описывающими демографические процессы и дающими ответы на оба поставленных вопроса, по праву считаются работы С.П. Капицы [3, 4].

В отличие от демографических моделей, строящихся на биологических предположениях типа (1), (2), что рост населения пропорционален самому населению, то есть, по сути, в предположении, что рождаемость и смертность мало меняются со временем:

, (6)

где a - константа, Капица предлагает использовать квадратичную зависимость для скорости роста:

, (7)

где C - константа.

Уравнения вида (7) хорошо изучены [10] и их решения известны как режимы с обострением. Характерная черта таких уравнений состоит в том, что в некоторый конечный момент времени t0 решение уходит в бесконечность.

Что же касается самого уравнения (7), то его решением как раз и будет полученная эмпирически формула (5), где t0 зависит от начальных условий. Таким образом, уравнение (7) удовлетворительно описывает эмпирическую зависимость (5) и может выступать в роли модели демографического процесса.

Однако если трактовка линейного уравнения (6) достаточно прозрачна и вытекает из усреднения биологических процессов, то квадратичный рост (7) требует своего объяснения и обоснования.

С.П. Капица видит причину квадратичной зависимости в том, что человечество представляло собой единую систему, внутри которой происходят парные взаимодействия по обмену информацией и скорость роста отдельных частей существенно зависит от общего размера всей системы. Именно информационные взаимодействия, по мнению С.П. Капицы, являются основным механизмом, отличающим человека от остальных животных, для которых характерен линейный закон (6).

Таким образом, С.П. Капица дает объяснение квадратичному росту населения Земли. Что касается второй загадки - демографического перехода, то для описания этого явления С.П. Капица модифицирует модель следующим образом.

Поскольку рост человечества, согласно уравнению (7), зависит исключительно от размера популяции и не зависит ни от каких внешних условий и ресурсных ограничений, то логика диктует искать причину демографического перехода также внутри человека, поскольку никакие ресурсные ограничения не могли на протяжении тысячелетий остановить процесс роста, да и в нынешнее время переход происходит не из-за ресурсного кризиса, так как подушевой доход постоянно растет. Для Капицы особо важным параметром видится характерное время жизни человека ф = 42 года, определяемое «внутренней предельной способностью системы человечества и человека к развитию».

Этот параметр появляется в различных статистических оценках, в частности, Капица отмечает, что демографический переход происходит за характерное время, равное удвоенному ф.

Если подставить в квадратичное уравнение роста (7) решение (5), то его можно записать в виде

. (8)

В свою очередь, для того чтобы описать демографический переход, Капица вводит в это уравнение параметр ф:

. (9)

Полученное уравнение уже не дает обострения - ухода решения в бесконечность. Напротив, при такой модификации численность населения стабилизируется на уровне 10_12 миллиардов человек, что согласуется с прогнозами демографов.

Более того, уравнение (9) позволяет получить аналитическую формулу для численности населения:

, (10)

где t1 - параметр, равный 2000 году нашей эры - середине демографического перехода.

Работы Капицы убедительно показали, что рост населения Земли можно описать математически, фактически не вводя никаких дополнительных переменных, то есть, по сути, не привлекая никаких дополнительных факторов. Этот эффект дает основания для провозглашения «демографического императива» - признания первостепенной и самодостаточной роли демографии в истории развития человеческого общества.

Тем не менее ни основное уравнение (7), ни его модификация (9), описывающая эффект демографического перехода, не раскрывают сути действующих законов, оставаясь на феноменологическом уровне констатацией обнаруженной эмпирической закономерности. Изящность демографического императива делает привлекательным подобный подход, но она же и невольно мистифицирует полученные результаты. С математической точки зрения имеющиеся демографические данные - это реализация некоторого процесса, интегральная кривая, а уравнения (7) и (5) эквивалентны, поскольку одно является дифференциальной формой записи другого.

Однако, несмотря на математическую эквивалентность обоих выражений, различие в форме записи диктует различие в их интерпретации. Так, если уравнение (7), в которое входит единственная переменная N, создает предпосылку для провозглашения демографического императива, то уравнение (5) - является отправной точкой для эсхатологических выводов, наиболее явно сформулированных в названии самой первой работы [21], обратившей внимание на факт гиперболического роста населения Земли. Название этой работы «Doomsday: Friday, 13th November, A.D. 2026» (Конец света: пятница, 13 ноября 2026 года от Рождества Христова), выдвигает совсем иной тезис - развитие человечества связывается отнюдь не с принципиальной ролью демографии, а с фиксированной временной точкой, входящей в уравнение (5) как t0. Чтобы подчеркнуть роль временной сингулярности, то же уравнение можно записать в эквивалентной форме:

. (11)

Но тогда по аналогии с выводом из уравнения (7) можно сказать, что на рост населения не влияет ничего, кроме загадочной даты 13 ноября 2026 года.

Таким образом, обнаруженная эмпирическая закономерность и даже ее удачная математическая интерполяция сами по себе не дают понимания фундаментальных законов. По всей видимости, абсолютизация одного фактора (демографии или сингулярности во времени), действительно является примером чрезмерной редукции, игнорированием других не менее важных факторов развития. Поскольку и излишняя редукция, и полный отказ от какой-либо редукции ведут к одному и тому же результату - мистификации и стоящему за ней агностицизму. Выход из этой ситуации может быть только один - необходимо найти золотую середину. Степень упрощения системы должна быть ровно таковой, чтобы количество включенных факторов было с одной стороны минимально необходимым для описания наблюдаемых эмпирических закономерностей, а с другой стороны - достаточным для того, чтобы входящие в модель зависимости предполагали четкую и понятную, согласующуюся с повседневной логикой интерпретацию.

Модель роста населения Земли и технологии М. Кремера

демография население численность рост

Демографический императив С. П. Капицы имеет своим следствием достаточно смелое утверждение о том, что рост численности населения на протяжении десятков тысяч лет зависел только от самой численности населения и, судя по адекватности описания, даваемого формулой (7), никак не связан ни с какими другими внешними факторами, такими, как, в частности, факторы окружающей среды, производственные силы, ресурсные ограничения. Таким образом, логично заключить, что рост численности населения, обусловленный, что важно, четким детерминированным законом, не имеет той материалистической основы, которую принято предполагать в моделях популяционной динамики - потолок несущей способности среды (2). С.П. Капица совершенно справедливо отмечает, что происходящий демографический переход никак не связан с ресурсными ограничениями. Наблюдаемое сейчас быстрое снижение темпов роста населения наблюдается на фоне роста ресурсной базы.

Рис.1. Темпы роста населения Земли

Действительно, если рассмотреть график темпов роста населения, то в глаза бросается стремительное падение темпов роста, произошедшее за последние несколько десятков лет - микроскопическое по историческим масштабам время. Общий вид графика, его колебательный характер, может подтолкнуть к мысли, что, вполне возможно, нынешнее падение темпов роста - это проявление одного из циклов, которых за историю было немало и что это временное явление, которое в скором будущем сменится столь же стремительным ростом. Однако это логичное заключение имеет серьезный изъян. В действительности, нынешнее падение темпов роста коренным образом отличается от спадов и колебаний прошлого. Это не очередное колебание, это - переход на новый, не типичный для всей прежней истории, режим развития. Если все предыдущие спады были вызваны прежде всего увеличением смертности вследствие различных катаклизмов - войн, голода, эпидемий, и по мере завершения этих бедствий человечество быстро восстанавливалось и выходило на прежнюю траекторию, то нынешнее падение вызвано качественно отличными причинами - резким снижением рождаемости. Это снижение связано не с приближением к потолку несущей способности среды, а с причинами, заключенными в самом человеке. С.П. Капица подчеркивает информационный аспект развития общества, доминанту психологии и поведенческих функций над ресурсными и прочими материальными факторами.

Убедительность данного подхода, опирающегося на строгую математическую теорию, на логичные выводы из уравнения (7), показывающего феноменальное совпадение с эмпирическими данными, тем не менее, встречает достаточное сопротивление в среде исследователей, традиционно придерживающихся примата материального перед идеальным. Многовековая экономическая традиция, связывающая любые изменения в социуме прежде всего с ресурсно-производственными изменениями, естественным образом видит рост населения не самопричинным явлением, а всего лишь следствием развития экономических отношений и роста производительности труда. Основное положение было сформулировано еще в XVIII веке Томасом Мальтусом [31]. Его можно сформулировать следующим образом:

«На протяжении большей части существования человечества рост его численности на каждый данный момент времени был ограничен потолком несущей способности земли, обусловленным наблюдаемым в данный момент времени уровнем развития жизнеобеспечивающих технологий». (12)

В той или иной форме данное положение использовалось многими более поздними исследователями [15], [19], [20], [23], [26], [27], [35]. Таким образом, многочисленные работы на стыке экономики и демографии отдают главную роль именно экономико-технологическому фактору, предполагая демографическую составляющую подчиненной, что коренным образом противоречит идее демографического императива и выдвигает императив экономический.

Примечательно, что, как и теория С.П. Капицы, данное направление опирается и на эмпирические данные, и на математические модели, также дающие замечательное совпадение с демографическими данными, но по-своему их трактующие.

Наиболее математизированной и разработанной работой в этой области представляется работа Майкла Кремера [27] «Population Growth and Technological Change: One Million B.C. to 1990». (Рост населения и технологические изменения: от одного миллиона лет до нашей эры до 1990 года). В этой работе представлены сразу несколько моделей, с разных сторон описывающих процесс взаимного роста численности населения и уровня технологии.

Простейшая модель, предлагаемая Кремером, предполагает, что производство продукта зависит от двух факторов: уровня технологии и численности населения. У М. Кремера для величин используются обозначения Y - производимый продукт, p - численность населения, A - уровень технологии и т.п., мы же при описании запишем его модель в обозначениях, используемых в предложенной нами модели и более близких к обозначениям С.П. Капицы, не искажая при этом сути уравнений М. Кремера.

Кремер считает, что совокупный производимый человечеством продукт равен

,

где G - общий продукт, T - уровень технологии, V - используемые земельные ресурсы, 0 < б < 1 - параметр. Фактически, отдавая дань экономической теории, М. Кремер использует функцию типа Кобба-Дугласа, применение которой в данном случае, на наш взгляд, не вполне оправданно. В его теории переменная V в результате нормализации приравнивается к единице (что также спорно, поскольку используемые для производства территории серьезно расширялись со временем). В любом случае, уравнение для производимого продукта в результате имеет вид:

, (13)

где r, б - некоторые константы.

М. Кремер использует положение Мальтуса (12), переформулировав его следующим образом: «В упрощенной модели будем считать, что численность населения мгновенно приближается к равновесному уровню ». Величина в его модели соответствует уровню населения, при котором оно производит на душу населения равновесный продукт , такой, что население увеличивается, если подушевой продукт выше , и уменьшается, если подушевой продукт меньше .

Равновесный уровень населения , таким образом, равен

. (14)

Таким образом, уравнение для численности населения фактически не является динамическим. В модели М. Кремера динамика заложена в уравнение для технологического роста, который, как отмечалось в широкой среде исследователей-экономистов, рассматривается как первичный фактор развития человечества, в частности, вызывающий рост населения. М. Кремер уделяет большое внимание этому фактору, анализируя различные гуманитарные концепции и математические модели роста технологии.

Наряду с другими исследователями [13], [14], [22] он исходит из Босерупианского [18] предположения о том, что рост населения подталкивает людей к разработке новых технологий, и, в конечном счете, рост технологии пропорционален населению. Данный тезис ранее выдвигался С. Кузнецом [28] и Саймоном [37] в формулировке «Большее население означает большее количество потенциальных изобретателей». Кремер уточняет его: [27, c.685]

«Простая модель предполагает, что при прочих равных, вероятность изобретения чего-либо одним человеком не зависит от численности населения. То есть среди большего населения будет пропорционально больше людей, достаточно удачливых и сообразительных, чтобы предложить новые идеи».(15)

Математически данное положение М. Кремер выражает как

, (16)

где b - средняя продуктивность работы одного изобретателя.

Как ни странно, но материалистическое предположение о ведущей роли экономики и развития производственных сил в развитии человеческого общества, в конечном счете, сводится к уравнению, которое явно апеллирует к сознательной деятельности человека, его способности к поиску технических решений. Понятно, что попытка формализовать и вывести законы процесса открытий новых законов неизбежно вызывает град критики. Весьма сомнительным, в частности, кажется введение постоянной средней продуктивности работы изобретателя. Одни изобретения являются судьбоносными, другие - вспомогательными, а подавляющая часть мелких усовершенствований вообще не привносит сколь-либо существенных изменений в общий технологический уровень. И хотя мы имеем достаточно примеров эффективного осреднения, например осреднения, позволяющие говорить о температуре или давлении идеального газа, в этих случаях мы сталкиваемся с вполне определенными законами распределения, для которых осреднение имеет смысл. В любом случае введение любого осреднения требует четкого математического обоснования и явной эмпирической верификации. Таким образом, несмотря на материальные основы экономики, ключевой фактор инноваций опять же, по выражению Ф. Фукуямы, «лежит в области духа».

Тем не менее то, что изобретения происходят в сознании людей и являются следствием творчества, не означает, что можно легко закрыть вопрос о каком-либо изучении данной темы, провозгласив, что человеческое сознание слишком сложно для описания и никому никогда не удастся в него проникнуть, а тем более описать формально. Тот факт, что новые технологии появляются в результате акта творчества, отнюдь не значит, что технический прогресс имеет субъективную природу. У него есть вполне объективные, не зависящие от человеческого сознания причины.

Рост технологического уровня вовсе не ограничивается актом изобретения. Для того чтобы оно утвердилось и внесло вклад в общий технологический уровень, необходимо также, чтобы оно победило в конкурентной борьбе с возникшими ранее технологиями, допускало внедрение и тиражирование - то есть было адекватно существующим технологиям, а также оно должно пространственно распространиться. Таким образом, если изобретение дает слишком малые преимущества по сравнению с текущим уровнем, то оно, скорее всего, не утвердится в конкурентной борьбе, которая обладает большой инерцией, а если же оно слишком революционно, то у него также малые шансы на утверждение, поскольку общий уровень технологии слишком низок для его обслуживания. Так было с изобретениями Леонардо да Винчи, так получилось с пилотируемой космонавтикой, которая не оправдала ожиданий бума космических путешествий в конце XX века, то же можно сказать и о многих изобретениях древности, не дошедших до нас, поскольку они не были поддержаны существующим на тот момент уровнем технологии. В итоге успех имеют те инновации, которые продвигают технологический уровень на величину, одновременно не слишком малую и не слишком большую по сравнению с текущим уровнем.

Таким образом, озарение изобретателя - это только флуктуация, во многом случайная мутация, которая затем проходит более суровый и объективный отбор, жестко связанный с текущим уровнем технологии. При этом интенсивность флуктуаций - число изобретений и (что не менее важно) попыток их внедрения, также является важным фактором наряду с технологическим уровнем.

Эти объективные, не зависящие от сознания человека механизмы, фактически и определяют общий смысл соотношения (16).

В любом случае сам М. Кремер понимает уязвимость столь простого описания развития технологии. Действительно, хотя очевидна зависимость роста от текущего уровня и от интенсивности изобретений, эта зависимость вовсе не обязана быть линейной (если обратное не доказано эмпирически). Поэтому Кремер апеллирует к уравнению роста технологии С. Джонса [25]:

,

где - показатель, не равный единице и связывающий текущий уровень технологии со скоростью ее прироста. С математической точки зрения, в случае если > 1, с ростом технологии наблюдается ускорение относительных темпов роста, то есть, по сути, увеличение относительной производительности одного изобретателя, если же < 1, то наоборот, относительная производительность изобретателя падает по мере того как технология развивается.

Сам С. Джонс считает, что < 1, поскольку это, по его мнению, объясняет замедление технологического роста в послевоенный период. Однако Кремер отмечает [27, c.689], что вполне возможно, что все-таки = 1, то есть модель (16) верна, ссылаясь на долгосрочные экономические тренды роста технологии [36].

Наконец, дабы охватить все возможные зависимости, Джонс предлагает также ввести степенную зависимость для численности населения, получая наиболее общее уравнение:

. (17)

Таким образом, в общем случае относительная производительность одного изобретателя зависит и от текущего уровня технологии, и от количества других изобретателей.

Опираясь на данное уравнение, М. Кремер модифицирует свою модель и дает оценки для параметров , .

В результате общая модель, учитывающая рост населения и технологии, удовлетворительно описывает гиперболический рост населения, но, даже несмотря на искусственное снижение темпов роста, связанное с тем, что < 1, она не описывает демографического перехода, то есть резкого снижения темпов роста населения Земли за последние четверть века.

Понимая недостатки своей модели, М. Кремер пытается модифицировать ее с тем, чтобы она учла и это явление. Для того чтобы ввести в модель ограничения на рост населения, не выходя за рамки двух переменных, М. Кремер вынужден ввести достаточно сложную функцию, описывающую рождаемость как функцию от дохода.

Здесь A - разница между рождаемостью и смертностью как функция от g - доход на душу населения, который в модели рассчитывается как g = G / N, то есть общий продукт G, полученный по формуле (13) и поделенный между N членами популяции.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.2. Зависимость рождаемости от доходов в модели Кремера

Из графика видно, что если продукт, приходящийся на одного человека, меньше, чем критическое значение , то наблюдается депопуляция, если он больше, но ненамного, то идет рост населения, если же общество становится достаточно богатым, то рост населения резко сокращается, поскольку богатые семьи не склонны иметь много детей.

Благодаря введению такой нелинейной функции у М. Кремера возникает возможность описания демографического перехода. Однако полученная в результате модель обладает рядом недостатков:

1. Введение функции A(g) ведет к дополнительному усложнению модели, поскольку для ее описания нужно вводить в модель несколько новых параметров, которые, наряду с , и другими коэффициентами следует эмпирически оценивать, то есть модель из двух уравнений оказывается перегружена коэффициентами, что не всегда оправдано, так как не все посылки легко верифицируемы.

2. Модель демографического перехода, включающая функцию A(g), хотя и опирается на правдоподобные допущения о том, что большие заработки соответствуют меньшей рождаемости, а низкие заработки - высокой рождаемости, не может быть принята. Против этой модели явно говорит нынешняя ситуация в России - резкое снижение уровня доходов вовсе не вызвало всплеска рождаемости, как это предсказывает функция A(g).

Таким образом, необходимо искать иные, хотя, вероятно, и близкие причины демографического перехода. Возможно, для адекватного описания процесса придется увеличить число динамических переменных и рассмотреть динамику еще одного показателя наряду с численностью населения и уровнем технологии. Добавление еще одной переменной не обязательно должно вызвать нежелательное усложнение модели, поскольку оно может привести к сокращению числа параметров и упрощению зависимостей.

Любопытно также отметить, что опять же, несмотря на материальный экономический императив работы М. Кремера, причины демографического перехода он видит в человеческом факторе - сознательном ограничении рождаемости при высоком уровне доходов.

В итоге работа М. Кремера дала очень серьезное и правдоподобное описание гиперболического роста населения Земли, опиралась она прежде всего на экономические механизмы и дала при этом не худшие результаты, чем теория С.П. Капицы. Однако в той части, где она касалась демографического перехода, ее объяснение все еще нельзя считать достаточным, даже несмотря на сильное усложнение модели и введение нескольких дополнительных параметров.

Модель роста жизнесберегающих технологий А.В. Подлазова

Таким образом, если причины гиперболического роста к настоящему времени оказались достаточно хорошо объяснены, то механизм глобального демографического перехода пока остается загадкой. Попытка объяснить это явление, найти объективные причины пределов роста была предпринята в работах А.В. Подлазова [8], [9], [34].

В них фактически проведен синтез обеих описанных теорий. С одной стороны, он, подобно М. Кремеру, видит причины гиперболического роста в совместном процессе роста человечества и технологии. С другой стороны, причину демографического перехода, как и С.П. Капица, он ищет в самом естестве человека, его биологических параметрах и продолжительности жизни.

В безразмерных величинах модель гиперболического роста можно записать в виде

, (18)

, (19)

где N - численность населения, а P - уровень технологии. Хотя для уровня технологии мы использовали переменную T, для модели А.В. Подлазова технология будет обозначаться как P, поскольку М. Кремер и А.В. Подлазов понимают смысл технологии по-разному.

Уравнение (19) является аналогом уравнения (15). А уравнение (17) - очевидным дополнением к (18) для того, чтобы выполнялась эмпирическая зависимость (5). Она отражает тот факт, что емкость ниши пропорциональна уровню технологии (М. Кремер говорит о ресурсной нише, А.В. Подлазов - о технологической), и, следовательно, численность населения N будет следовать за емкостью ниши P:

, (20)

где c - константа.

В отличие от М. Кремера, для которого технологии - это средство производства продукта (13), А.В. Подлазов видит роль технологий иначе. Он вводит понятие жизнесберегающие технологии. Роль технологий он видит в предотвращении смерти и продлении жизни безотносительно того, каким образом это достигается - за счет производства пищи или за счет религиозных норм морали.

Таким образом, само понятие жизнесберегающих технологий является оптимальным для демографических исследований, поскольку оно явным образом связано с параметром смертности D в формуле (1), которую можно расписать в виде:

, (21)

где kb и kd - коэффициенты рождаемости и смертности, из которых А.В. Подлазов полагает kb постоянным и равным - коэффициенту рождаемости на начало фазы роста, а коэффициент смертности kd - переменным, существенно зависящим от уровня жизнесберегающих технологий, собственно и определяемых как

, (22)

причем в силу отсутствия роста на стадии, предшествующей стадии роста, А.В. Подлазов считает, что .

Таким образом, уравнение (21) дает следующую формулу:

, (23)

а с учетом (19) имеем

, (24)

где , и - постоянные, очевидно, что с учетом равенства уравнение (24) эквивалентно уравнению (7).

Любопытно провести аналогии между соотношениями (24) и (3). Они отличаются лишь знаком квадратичного члена, однако это различие в одном случае приводит к стагнации населения, а в другом - ведет к взрывообразному росту. Тем не менее уравнения вида (24) не являются специфичными только для описания численности населения, такие уравнения используются и в биологии, когда между членами популяции существует взаимопомощь.

Что же касается ограничения гиперболического роста, то А.В. Подлазов видит причину демографического перехода в том, что невозможно до бесконечности понижать коэффициент смертности. Таким образом, уровень P ограничивается биологическим пределом человеческого организма, что дает ограничение P? ? 0,05 год_1. При этом стадию демографического перехода А.В. Подлазов предлагает описывать уравнением

(25)

Таким образом, демографический переход, по мнению А.В. Подлазова, неизбежен и связан не с какими-то ни было ресурсными ограничениями, а исключительно с внутренними особенностями человеческого организма.

Итак, А.В. Подлазову, вслед за М. Кремером, удалось объяснить механизм гиперболического роста с позиций развития технологий. При этом он ввел понятие жизнесберегающих технологий, тесно связанных с демографической смертностью. Что касается демографического перехода, то, по мнению А.В. Подлазова, он связан с бессмысленностью увеличения уровня жизнесберегающих технологий, так как внутренний ресурс человеческого организма не востребует такого увеличения.

Работа А.В. Подлазова, безусловно, является шагом вперед в области теоретической демографии. Введенное понятие жизнесберегающих технологий позволяет проводить ввести единую шкалу измерения для различных и плохо сопоставимых технологических нововведений. Например, с помощью этой меры можно сравнить роль экономики, религии, политики, образования в едином масштабе. Однако, несмотря на подобные перспективы, практическое использование этой меры на данный момент затруднено, поскольку выделение влияния различных факторов на смертность само по себе является сложной, пока не решенной задачей. При этом в свете описания глобального демографического процесса важность адекватного измерения уровня технологии очевидна.

Другим важным недостатком модели А.В. Подлазова является противоречащее действительности суждение о том, что демографический переход связан с невозможностью уменьшения смертности. Демографические данные четко указывают на то, что переход связан с резким уменьшением рождаемости. Действительно, в (23) А.В. Подлазов постулирует постоянный уровень рождаемости, что для стадии демографического перехода неприемлемо. Выходом из такой контрафактической ситуации могло бы стать признание А.В. Подлазовым смысла жизнесберегающих технологий не как технологий, ограничивающих смертность, а как технологий, увеличивающих разницу между рождаемостью и смертностью, однако и такое объяснение не согласуется с его предположениями, поскольку в этом случае на стадии стабилизации населения эта разница должна стать равной нулю, что мало согласуется с понятием уровня технологии. Наконец, не проработанным у А.В. Подлазова остается переход от формулы (19) к формуле (25), то есть переход с режима роста на режим демографического перехода.

Итак, можно подытожить нынешнее состояние науки в области теоретической демографии следующим образом.

– Причина гиперболического роста близка к объяснению с позиций роста технологического уровня.

– Причины демографического перехода, связанного, судя по данным, с резким снижением рождаемости, не получили нефеноменологического объяснения, хотя и описаны математическими моделями, апеллирующими к внутренней природе человека и характерным временам его биологической жизни.

Таким образом, необходимо решить следующие задачи:

– Определить, какую величину следует рассматривать в качестве уровня технологии и каким образом ее можно измерять.

– Операционализировать зависимость (20), показав ее связь с общепринятыми научными положениями в области демографии и популяционной динамики.

– Объяснить явление демографического перехода и описать его механизм, если потребуется, с привлечением дополнительных показателей развития человечества.

Производительность труда как показатель уровня технологии

Обсуждаемые выше модели с математической точки зрения хорошо описывают гиперболическую зависимость (5), однако нередко они оперируют общими теоретическими соображениями, не подкрепленными численными данными, вводят плохо измеримые показатели. Поэтому чрезвычайно важно свести теоретические построения с наблюдаемыми эмпирическими данными. Понятно, что в нынешних условиях, когда имеющиеся данные малочисленны и не всегда заслуживают доверия, построение опирающейся на них модели необходимо проводить чрезвычайно осторожно, однако иного пути нет.

Работы М. Кремера и А.В. Подлазова предполагали, что численность населения и уровень технологии существенно связаны друг с другом. Однако в явном виде связь между этими показателями была представлена только на теоретическом уровне. Предложенные зависимости (16) и (19) исходят из общих соображений, не в полной мере опирающихся на эмпирическую базу, кроме того, уравнения (16) и (19) по-разному трактуют понятие «уровень технологии».

Таким образом, первой задачей является определиться с пониманием «уровня технологии», которое в дальнейшем мы будем использовать в модели. По нашему мнению, наиболее естественным измеримым интегральным показателем, соответствующим понятию «уровень технологии», является производительность труда.

При всех тонкостях измерения данного показателя, в рамках макромодели мы будем измерять его простым образом:

, (26)

где T - производительность труда, в рамках нашей модели понимаемая как уровень технологии, G - мировой ВВП, N - численность населения.

Очевидно, что производительность труда не является одинаковой для разных регионов мира, но макроуровень, на котором проводится моделирование, допускает введения таких обобщенных показателей, подобно тому, как модели С.П. Капицы, М. Кремера и А.В. Подлазова не учитывают неравномерности распределения населения и берут общую численность населения в виде интегрального показателя.

Выбор производительности труда в качестве «уровня технологии» является вполне естественным. Причем мы рассматриваем производительность труда не локально - как эффективность производства тех или иных конкретных благ, а интегрально, как эффективность производства всех благ в данную эпоху. Таким образом, во введенное нами понятие уровня технологии неявно входят не только собственно производственные технологии, но и политические, социальные, религиозные, образовательные и прочие технологии, в конечном счете приводящие к увеличению ВВП. Следует заметить, что наше понятие T в (26) близко по смыслу к понятию уровня технологии М. Кремера, хотя он отдельно не делает акцент на том смысле, которое он вкладывает в используемый им в (13) показатель T.

Эмпирическое подтверждение связи численности населения и уровня технологии

Следующим шагом является обоснование использования введенного нами показателя T при моделировании глобального демографического процесса и построения модели, опирающейся на общепринятые в демографической науке уравнения.

Как отмечалось, одним из наиболее общих положений в популяционной динамике является использование логистического уравнения Ферхюльста (2). Оно описывает динамику популяции в условиях ресурсного ограничения и замечательно работает для многих биологических видов - от микроогранизмов до крупных животных. Что касается его применимости к описанию демографического процесса, то эмпирические данные по квадратичному росту населения (4) и постоянный рост потолка несущей плотности Земли, казалось бы, делают уравнение (2) неприменимым для описания роста численности населения.

Тем не менее есть предпосылки к использованию этого уравнения, поскольку в его пользу явно говорит мальтузианский тезис (15), а также то, что потолок несущей способности Земли вполне можно описывать переменой, зависящей от объема производимого продукта и, следовательно, от уровня технологии (26).

Если обобщить эти выводы, то их можно записать в виде:

, (27)

где r, w - коэффициенты.

Уравнение имеет вид (2) и строится из тех соображений, что потолок несущей способности Земли ограничен уровнем существующей технологии. При возникновении относительной перенаселенности население возвращается к сбалансированной численности - как правило, за счет войн и эпидемий, при недонаселенности возникает быстрый рост в условиях пониженной конкуренции и население стабилизируется на уровне потолка, пока какое-нибудь, возможно малое, воздействие не отклонит его, вызывая очередное колебание.

Скорость выхода на уровень потолка несущей способности как сверху - военные конфликты и эпидемии - так и снизу - восстановление после этих бедствий, зависит от способности людей оперативно уничтожать и восстанавливать друг друга и инфраструктуру. В этом предположении коэффициент r, отвечающий за скорость выхода на потолок несущей способности, также должен зависеть от уровня технологии. В простейшем случае линейной зависимости можно представить следующую модель роста населения:

, (28)

где v и w - постоянные коэффициенты. В подобной формулировке отношение T к w приобретает вполне четкий смысл - это количество людей, которое может прокормить Земля при заданном уровне технологии T.

Модель (28), будучи также объединена с уравнением (16), асимптотически дает гиперболический рост. При задании начальных условий, для которых население сильно отличается от заданного уровнем технологии потолка несущей способности, население очень быстро выходит на него и затем следует за этим потолком, который в свою очередь растет ускоренными темпами.

Таким образом, модели популяционной динамики не теряют своей актуальности и в описании демографических процессов, особенно процессов, идущих на сравнительно малых временных масштабах. Действительно, моделирование демографических циклов и колебаний вокруг тренда под воздействием дестабилизирующих факторов может быть хорошо описано с позиций уравнения (27) и его модификаций. Однако при описании макродинамики такого рода быстрые процессы выхода на траекторию, вдоль которой система движется относительно медленно, вообще часто не выделяются в отдельные уравнения. Согласно теореме Тихонова [12], в системе уравнений дифференциальное уравнение для переменной, имеющей значительно меньшее характерное время изменения по сравнению с другими переменными, может быть заменено алгебраическим (при условии, что характер решения не меняется при устремлении малого параметра при производной к нулю). В работах М. Кремера и А.В. Подлазова фактически использовалось это положение теоремы Тихонова, а также неявно задавалось ограничение (27) численности населения уровнем технологии: М. Кремер (14), А.В. Подлазов (20).

Что же касается более медленных изменений, то для их описания следует использовать модели, учитывающие другой порядок характерных скоростей.

Так с учетом того, что население быстро выходит на квазистационарную траекторию, ресурсные ограничения выступают в качестве членов другого порядка малости:

, (29)

то есть как ограничения, связанные с необходимостью излишка, обеспечивающего устойчивый рост тренда, вокруг которого совершаются колебания. Уравнение (29) перепишем в виде

, (30)

где a и m - коэффициенты. Данное уравнение также имеет вполне популяционную трактовку: прирост наблюдается в случае, когда производится продукта больше, чем необходимо для выживания. Коэффициент m играет роль «прожиточного минимума» - доли произведенного ресурса, строго направляемого на поддержание достигнутой численности населения. Прирост возможен только если наблюдается разница между продуктом, произведенным и потраченным на одного человека. Согласно модели T - производительность труда, а m - минимально необходимый продукт на одного человека, таким образом, разность (T - m) - это ресурс на душу населения, который может быть потрачен на дополнительные цели - размножение, науку, искусство, развлечения и пр.

Таким образом, целесообразно ввести переменную

, (31)

имеющую смысл излишков на душу населения, которые могут быть использованы на дополнительные цели помимо поддержания достигнутой численности населения.

С учетом данной поправки можно записать следующую модель:

, (32)

, (33)

где a и b - константы. Уравнение (32) является записью уравнения (30) с учетом (31), а уравнение (33) является уравнением роста технологии, поскольку, очевидно, с учетом предположения о постоянстве m в (31), имеет место равенство

...