. (34)

Уравнения (33), (19) и (16), с математической точки зрения, абсолютно идентичны, и, как нетрудно убедиться, в сочетании с (32) или, что то же, (18) дадут гиперболический рост переменной N, однако существенным различием является понимание переменных, отражающих технологический смысл. Напомним, что T в уравнении (16) - это, по сути, коэффициент при производственной функции Кобба-Дугласа, не вполне четко декларированный М. Кремером, P в уравнении (19) - это уровень жизнесберегающих технологий, используемых А.В. Подлазовым, которые также не имеют четкого операционализированного определения и способов измерения, в то время как S в (33) - это излишек на одного человека, производимый при данном уровне технологии, определяемом как квазистационарная производительность труда и измеряемом как отношение мирового ВВП к населению Земли.

Понятно, что введение дополнительных переменных и показателей может быть оправданным только тогда, когда это введение дает какое-то новое качество. На наш взгляд, введение новых понятий и модификация уравнений должны служить цели более адекватного описания действительности и эмпирических данных.

Для подтверждения уравнений (32) и (33) целесообразно использовать данные по динамике мирового ВВП.

Рис.3. Мировой ВВП и численность населения Земли

Прямоугольниками обозначены точки, соответствующие 1 и 1000 н.э., для которых имеется разброс оценок.

За последние 2000 лет (существуют оценки и для более ранних периодов, которые не противоречат формуле, но мы их не рассматриваем, поскольку их достоверность должна быть еще должным образом обоснована) мировой ВВП (источники: [6], [29], [30], [40]) хорошо описывается формулой

, (35)

где , г - константы. (на Рис 3. г = ; = 221,15; ВВП измерялся в международных долларах 1995 года) Этот факт дает основание рассматривать систему (32) - (33) с позиций эмпирических данных. Можно сделать предположение относительно значения m в (31). Поскольку в силу сделанных выше предположений рост населения и технологии в (31) и (32) наблюдается только в том случае, если S > 0, то изначальный крайне маленький прирост у предков человека мы можем считать нулевым, то есть S0 = 0, что значит, что производительность труда у предков человека была в точности равна их минимальным потребностям: , что значит, что

. (36)

можно оценить как «изначальный уровень технологии» и как константу в (31).

Нетрудно убедиться, что сделанные предположения, формулы (32)-(33), их решения и эмпирические данные по росту населения и ВВП не противоречат друг другу. Исходя из (31), (26), (35) и (36) получаем эмпирическое выражение

, (37)

которое одновременно удовлетворяет решению системы (32)-(33), дающему гиперболический рост населения мира и уровня технологии.

Следует также отметить, что при достаточно большой численности населения Земли линейным членом в (35) можно пренебречь и считать, что T ? S ~ N. В частности, в 2000 году T составляет порядка 6000 долларов на человека в год, в то время как m - всего порядка 200-300. В результате для современной эпохи соотношения G = гN2 и T = гN, выполняются c очень хорошей точностью.

Таким образом, понятие «уровень технологии», введенное как квазистационарная производительность труда, является хорошо операционализированной и относительно легко измеримой величиной, адекватной описанию глобального демографического процесса. Что важно, для этой величины удается найти эмпирическое подтверждение результатов модели (32)-(33).

Механизмы демографического перехода

Предложенные нами объяснение и модель гиперболического роста населения Земли не отличаются кардинально от предлагаемых ранее моделей роста населения и технологии, отличие состоит в операционализации понятия «уровень технологии» и эмпирическом обосновании предложенных моделей.

Что же касается демографического перехода, то проведенный выше обзор концепций и моделей показывает, что исследователи гораздо менее едины во мнении относительно его причин и механизмов, и, хотя в большинстве своем, они связывают его не с ресурсными ограничениями, а с особенностями, заложенными в самом человеке, взгляд на эти особенности также сильно разнится. С.П. Капица связывает причину перехода с ограниченностью характерных времен развития человека и человечества, Кремер видит причину в уменьшении рождаемости в обеспеченных семьях, А.В. Подлазов связывает переход с неспособностью жизнесберегающих технологий увеличить продолжительность жизни свыше биологического предела. Видны также и различия на уровне подходов: если М. Кремер пытается описать реальный механизм перехода, то С.П. Капица и А.В. Подлазов скорее ищут не сам механизм снижения рождаемости, а причину смены режима глобального развития человечества, они пытаются объяснить, в чем состоит исключительность нынешнего состояния, почему демографический переход происходит именно сейчас за микроскопическое по историческим масштабам время и именно на том уровне развития, который достигнут на данный момент.

В предлагаемой нами ниже модели мы ставим задачей объяснить и микромеханизм перехода, и причину уникальности этого явления. Первое, с чем необходимо определиться - это с историческим диапазоном, в рамках которого модель претендует на описание действительности.

Достаточная проработанность демографической тематики и представительность оценок численности населения человечества, относящихся к глубокой древности, создает предпосылки для описания глобального демографического процесса, начиная с миллиона лет до н.э. по настоящее время.

Несмотря на заманчивость глобальных теорий, мы сознательно ограничим область рассмотрения. Поскольку кроме численности населения, для которой имеются удовлетворительные оценки на протяжении миллиона лет, мы используем и другие показатели (в частности мировой ВВП), значительно хуже представленные статистически, то область применимости модели естественным образом ограничена областью имеющихся статистических данных. Это не значит, что модель неприменима для более раннего времени, не представленного статистически, но в любом случае для обоснования этого требуются дополнительные исследования и оценки.

Более или менее достоверные имеющиеся данные по ВВП относятся к периоду с начала нашей эры по нынешнее время, причем начиная с 1970 года [40] они известны с большой точностью по каждому году. Таким образом, предлагаемая модель претендует на описание демографического и экономико-технологического роста за период с начала нашей эры по нынешнее время. Прогностические возможности модели также ограничиваются временами порядка столетия, о чем будет отдельно сказано ниже.

Как отмечалось в комментарии к рис. 1., уникальность нынешнего резкого спада темпов роста населения состоит в том, что он впервые за всю предыдущую историю человечества связан с резким снижением рождаемости в мировом масштабе. Все предыдущие спады происходили из-за увеличения смертности вследствие голода, войн и эпидемий. По сравнению со всем предыдущим этапом развития человечества именно наше время знаменует переход к качественно новому демографическому режиму.

Таким образом, модель демографического перехода должна выявить факторы, вызывающие этот переход, и, прежде всего, факторы резкого понижения рождаемости.

Грамотность - основной фактор снижения рождаемости

Для определения основных факторов снижения рождаемости разумно обратиться к эмпирическим данным. Анализ большой статистической выборки убедительно показывает, что рост уровня образования населения в ходе модернизации, наряду с развитием медицинских технологий и системы социального обеспечения, является ведущим фактором снижения рождаемости [16], [17], [24], [32]. Сразу же отметим, что развитие медицинских технологий не только снижает рождаемость, но и, очевидно, смертность, однако это - отдельная тема, которая будет обсуждена ниже. По сравнению с обществами, уже завершившими демографический переход, к которым относится и Россия, влияние образования и здравоохранения на рождаемость особо велико для стран третьего мира. При этом появление и распространение новых медицинских технологий возможно только в результате развития сферы образования. Образование, с одной стороны, позволяет населению ознакомиться со средствами регуляции рождаемости, а с другой - меняет ценностные ориентации людей, что отражается и на репродуктивных установках.

Показатель грамотности, т.е. процент грамотных в обществе (стране, мире и т.д.) является хорошим интегральным показателем развития образовательных процессов. Дж. Бонгаартсом [17] было показано, что уровень грамотности женщин является надежным предиктором снижения рождаемости.

Таблица 1. Регрессионная модель факторов рождаемости в мире в 1995 г.

Примечание: R = 0,837; R2 = 0,701; б = 210_11.

Недостатком подхода Дж. Бонгаартса является то, что в ходе своего регрессионного теста он включил ожидаемую продолжительность жизни в ряд гипотетических факторов рождаемости, что несколько снизило объяснительную ценность его модели. В частности, согласно его результатам, большая продолжительность жизни понижала рождаемость. Безусловно, продолжительность жизни сама по себе может быть коррелятом, но никак не фактором снижения рождаемости. Проведем собственный кросс-национальный тест факторов рождаемости с помощью пошагового метода множественной регрессии (источник данных: [1]).

Пояснение к таблице 1:

Линейная регрессия позволяет представить зависимость между зависимой (напр., Y) и независимой (напр., Х) переменной с помощью линейного уравнения:

Y = A + B X,

где A - константа, а B - коэффициент, которые и вычисляются с помощью линейной регрессии. В статистических пакетах множитель B, как правило, обозначается как "Нестандартизированный коэффициент".

Множественная регрессия - это разновидность, как правило, линейной регрессии, направленная на изучение влияния нескольких независимых переменных (факторов) на зависимую и позволяющая вывести уравнение вида:

Y = A + B1X1 + B2X2 + B3X3 … .

При этом в уравнение вставляются только те переменные, которые оказались значимыми предикторами зависимой переменной, т.е. те переменные, показатель значимости б для которых меньше 0,05 Статистическая значимость (б) означает вероятность того, что результаты данного теста могли появиться в результате случайности. Если, например, статистическая значимость некой корреляции равна 0,01 (или что эта корреляция значима на уровне 0,01), то вероятность того, что подобная корреляция могла появиться в результате случайности, при отсутствии реальной закономерной связи между признаками равна 0,01 (т.е., существует один шанс из ста, что наблюдаемая корреляция является результатом случайности). В таком случае вероятность довольно низка, и гипотеза о наличии связи между признаками может считаться нашедшей подтверждение. Исторически сложилось, что в качестве порогового уровня статистической значимости принимается 0,05 (~ 5% ~ 1 шанс из двадцати). Т.е. если мы получили показатель значимости менее 0,05, то соответствующая гипотеза считается успешно прошедшей статистическую проверку, если же этот показатель более 0,05, то соответствующая гипотеза считается неподтвержденной. . В нашем случае переменная "Урбанизация" оказалась незначимым предиктором рождаемости, а переменные "Грамотность среди женщин" и "Количество врачей на 1000 чел" - значимыми.

Для определения того, какой из статистически значимых предикторов рождаемости является наиболее сильным, воспользуемся стандартизированным коэффициентом в. Этот показатель указывает на важность независимых переменных, вовлеченных в регрессионное уравнение. Он принимает значения от +1 до - 1. Значение + 1,0 означает полную ("функциональную") положительную связь между признаками. В этом случае увеличение значения величины Х сопровождается однозначно определенным увеличением значения величины У. Значение - 1,0 означает полную ("функциональную") отрицательную связь между зависимой и независимой переменными. В этом случае увеличение значения величины Х сопровождается однозначно определенным уменьшением значения величины У. В "мире людей" закономерности, описываемые функциональными зависимостями, почти не встречаются. В данной регрессионной модели самым сильным предиктором рождаемости является женская грамотность, т.к. коэффициент в для нее самый высокий (-0,600). Коэффициент в для переменной "Количество врачей на 1000 человек" боле, чем в два раза ниже (- 0,239).

Коэффициент R2 указывает на разброс значений вокруг линии регрессии, т.е. на то, сколько процентов вариации данных предсказывает регрессия. Данная трехфакторная модель объясняет более 70% всей дисперсии данных.

Регрессионный анализ показывает, что женская грамотность является ведущим фактором снижения рождаемости в ходе модернизации (необходимо отметить, что женская, мужская и общая грамотность являются тесно связанными друг с другом параметрами). Другими важными, хотя и в меньшей степени, показателями являются количество врачей на душу населения и урбанизация. Очевидно при этом, что уровень здравоохранения серьезно зависит от уровня образования как с точки зрения обучения врачей, так и с точки зрения востребованности защиты здоровья населения (поскольку образование человека делает его более «дорогостоящим», то его жизнь, очевидно, требует большей защиты, что подталкивает развитие здравоохранения). Что касается урбанизации, то она, несомненно, является важным составляющим модернизации и, в частности, стимулирует рост грамотности в среде жителей городов, но в этом смысле она действует на снижение рождаемости опосредованно, а не напрямую. Поэтому можно считать показатель грамотности оптимальным интегральным показателем модернизационных процессов, являющихся факторами снижения рождаемости.

Снижение рождаемости, обусловленное грамотностью населения, избавлено от недостатков объяснения М. Кремера, считавшего, что высокие доходы понижают рождаемость. Не возникает противоречия между низким уровнем рождаемости в России и других постсоветских странах Восточной Европы и резким понижением их уровня жизни. С другой стороны, предложенное нами объяснение перехода является более широким, чем объяснение М. Кремера, в том смысле, что грамотные люди в среднем зарабатывают больше, чем неграмотные. Таким образом, объяснение М. Кремера работает только в период стабильности, в то время как объяснение низкой рождаемости через грамотность работает как в стабильные, так и в кризисные периоды.

В итоге для описания демографического перехода разработанная нами модель (32)-(33) должна быть расширена, чтобы учесть важнейший фактор понижения рождаемости - грамотность населения. В результате модификации модель (32)-(33) выглядит следующим образом:

, (38)

, (33)

, (39)

где L - доля грамотного населения, a, b, c - константы. Влияние грамотности на демографический переход выражается добавлением в (32) множителя (1 - L) и получении уравнения (38). Такое изменение имеет тот смысл, что даже несмотря на отсутствие ресурсного ограничения, рождаемость снижается с ростом грамотности. Что касается того факта, что смертность при модернизации также снижается, то уравнение (38) учитывает и этот факт, поскольку в (38) рассматривается именно прирост - разность между рождаемостью и смертностью, а при приближении грамотности к 100% нулевым становится именно прирост.

Введенное дополнительное уравнение для роста грамотности (39) имеет тот смысл, что рост уровня грамотности пропорционален доле грамотного населения L (потенциальные учителя), доле неграмотного населения (1 - L) (потенциальные ученики) и наличию излишков S, которые могут использоваться на образовательные программы (кроме того, S связано с уровнем технологий T, в том числе образовательных, увеличивающих скорость обучения). С математической точки зрения уравнение (39) аналогично логистическому уравнению [39], где насыщение достигается при уровне грамотности L = 1, а S отвечает за скорость выхода на этот потолок.

Несмотря на общую логичность модификации модели, ее вид (38)-(39) должен быть дополнительно обоснован. Поскольку очевидно, что при тех же логических заключениях о зависимости прироста населения от грамотности, увеличения грамотности при росте числа потенциальных учителей и т.п. модель может быть представлена в виде:

,

,

,

где ц1, ц2, ц3, ц4, ц5, ц6, ц7, ц8 - некоторые положительные степени, совсем не обязательно равные единице.

Что касается коэффициентов ц1, ц2, ц4, ц5, то в пользу того, что они могут быть положены единичными, говорит тот факт, что вдали от демографического перехода они удовлетворительно описывают гиперболический рост и хорошо ложатся на эмпирические данные (рис.3). В пользу определения остальных коэффициентов также должны сказать эмпирические данные.

Легко заметить, что в случае если ц1 = ц6 = 1, ц2 = ц7, ц3 = ц8, делением первого уравнения на третье получается уравнение

,

решение которого определяет связь между L и N в виде

, (40)

где л - константа.

Рис.4. Уровень грамотности и численность населения Земли

Прямоугольниками обозначены точки соответствующие 1 и 1000 н.э., для которых имеется разброс оценок

Для проверки данной гипотезы обратимся к историческим данным. На рис. 4 представлены данные по совместному росту грамотности и населения земли в двойном логарифмическом масштабе. В этом масштабе степенным зависимостям соответствуют прямые линии. Из графика видно, что степенная зависимость (40) достаточно хорошо описывает имеющиеся данные. Следует дополнительно отметить, что, к сожалению, исторических данных по уровню грамотности чрезвычайно мало и известны они с гораздо меньшей точностью, чем ВВП, и тем более численность населения. В частности, есть основания считать, что имеющиеся данные на 1 год н.э. занижены, а на 1000 год - несколько завышены. Тем не менее, с точки зрения оценки таких показателей, как образование и культура, по всей видимости, уровень грамотности - это единственный, хотя и плохо, но все-таки измеряемый исторический показатель. Его ведущая роль как фактора демографического перехода еще больше подчеркивает его важность и целесообразность использования в глобальных моделях наряду с данными по населению и ВВП. Безусловно, следует критически относиться к данным по грамотности не только из-за их малочисленности и низкой точности, но и потому что то, что мы понимаем под грамотностью сейчас и то, что считалось грамотностью тысячелетия назад, может быть не вполне сопоставимо. А потому их количественное использование в одной модели и вывод на один график, при том, что качество может быть отлично, не вполне адекватно. Тем не менее абсолютно такой же упрек с полным правом можно предъявить и к данным по численности населения, и к данным по ВВП. Поскольку количественное измерение в одной шкале современных людей и наших предков, живших миллион лет назад, или измерение стоимости современных высокотехнологичных продуктов и стоимости продукта, произведенного древними людьми, также не вполне адекватно.

В любом случае имеющиеся данные (рис.4) говорят в пользу использования соотношения (40), а следовательно, и в пользу положения ц1 = ц6 = 1, ц2 = ц7, ц3 = ц8, которое в свете того, что степень ц2 была ранее оценена как единица, может быть записано в виде: ц1 = ц6 = ц2 = ц7 = 1, ц3 = ц8. Что же касается равенства единице значения ц3, то в пользу этого говорит хорошее соответствие эмпирических данных с данными (рис.5 - 10), полученными при расчете модели (38)-(33)-(39). Конечно, более тонкая «подстройка» модели с помощью параметров ц1…8 могла бы улучшить соответствие, однако при той точности, которая доступна, «тонкая подстройка» теряет смысл, поскольку неизвестны точки, к которым следует подстраивать решение. В любом случае в такой общей модели следует стремиться сократить количество параметров, не улучшающих решение на качественном уровне.

Результаты расчета модели (38)-(33)-(39) с параметрами: a = 1,085•10-5 ($год)-1, b = 6,51 •10-12 (чел•год)-1, с = 8,2•10-6 ($•год)-1, = 420 $ и с начальными данными в 1 году н.э.: N0 = 170000000 чел, S0 = 17,47 $ , L0 = 0,052 , где L - безразмерная величина (от 0 до 1), знак «$» соответствует международному доллару 1995 года., приведены на следующих графиках.

Полученные результаты (сплошная линия) по росту населения Земли хорошо описывают гиперболический рост и первую фазу демографического перехода к настоящему времени, что касается прогноза, то модель дает несколько отличные результаты по сравнению с прогнозами ООН (светло-серые маркеры). По результатам модели вторая фаза перехода будет проходить более резко, чем то предсказывает ООН. Более гладкого перехода можно было бы добиться введением ц3 = ц8 ? 1, однако, с одной стороны, прогноз ООН - это прогноз, опирающийся на свои модели, которые также огрубляют действительность, а с другой - представительность и точность имеющихся сейчас исторических данных не могут на должном уровне ни подтвердить, ни опровергнуть гипотезу ц3 = ц8 = 1. С появлением новых данных модель можно будет скорректировать.

Рост ВВП ярко демонстрирует еще более крутой рост, чем рост численности населения, и математически описывается формулой (35). Несмотря на то, что ВВП явно не входит в систему уравнений модели, на данном графике точки расчетной кривой вычисляются по формулам (31) и (26).

Графики в двойном логарифмическом масштабе «убирают» визуальную компоненту гиперболического роста и делают результаты более наглядными, хотя, конечно, и отклонения в этом масштабе выглядят более существенными, чем на графиках (рис.5 - 7).

Рис. 5. Рост населения Земли

Рис.6. Рост мирового ВВП

Рис.7. Рост уровня грамотности

Рис.8. Рост населения Земли в двойном логарифмическом масштабе

Рис.9. Рост мирового ВВП в двойном логарифмическом масштабе

Рис.10. Рост уровня грамотности в двойном логарифмическом масштабе

Комментируя графики, нужно отметить, что, несмотря на локальные отклонения, модель (38)-(33)-(39) достаточно хорошо описывает имеющиеся эмпирические данные при том, что в нее входят всего три коэффициента. Причем масштабированием можно свести два из них к единицам - в этом случае в модель будет входить только один коэффициент, равный показателю степени в уравнении (40). Таким образом, несмотря на крайнюю простоту модели, она, тем не менее, с хорошим соответствием описывает совместную динамику сразу трех важнейших показателей глобального процесса развития человечества.

Заключение

В работе были проанализированы существующие математические концепции глобальной демографии. Первой и наиболее глубокой работой в этой области была работа С.П. Капицы, прекрасно описавшая и гиперболический рост, и демографический переход на феноменологическом уровне. С точки зрения поиска реальных механизмов гиперболического роста наиболее перспективным представляется подход, основанный на рассмотрении совместного роста населения Земли и технологии. С другой стороны, имеющиеся математические объяснения демографического перехода остаются на феноменологическом уровне. Объяснение М. Кремера с точки зрения экономики апеллирует к важному факту резкого снижения рождаемости, но видит корни в экономических причинах, что, как показывают примеры кризисов, являющихся хорошим тестом для выявления корреляций, не вполне адекватно.

В настоящей работе было проведено эмпирическое обоснование демографико-технологического подхода к описанию гиперболического роста населения Земли и была предложена модель демографического перехода, включающая три важных показателя - численность населения, уровень технологии и уровень грамотности. При ее простоте и малом количестве параметров модель с высокой точностью описывает совместную динамику всех трех показателей в рассматриваемом интервале с начала нашей эры по нынешнее время.

Литература

1. База данных "World 95". SPSS 2004. World95 Database. Chicago, IL: SPSS Inc.

2. Вольтерра В., Математическая теория борьбы за существование, М.Наука, 1976

3. Капица С. П. Математическая модель роста населения мира. Математическое моделирование 4/6: 65-79. 1992.

4. Капица С. П. Сколько людей жило, живет и будет жить на земле. М.: Наука. 1999.

5. Малков С.Ю. Математическое моделирование исторических процессов // Новое в синергетике: Взгляд в третье тысячелетие / Под ред. Г.Г.Малинецкого, С.П.Курдюмова. - М.: Наука, 2002. С.291-323.

6. Мельянцев В. А. 1996. Восток и Запад во втором тысячелетии. М.: МГУ.

7. Нефедов С.А. О демографических циклах в истории средневекового Египта [http://hist1.narod.ru/Science/Egipt/EgiptSV.htm]; О демографических циклах в истории Ирака и Ирана (VII-XIII вв.) [http://hist1.narod.ru/Science/Babilon/ Irak.htm] и др.

8. Подлазов А. В. Основное уравнение теоретической демографии и модель глобального демографического перехода. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, №88. 2001.

9. Подлазов А. В. Теоретическая демография как основа математической истории. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, №73. 2000.

10. Режимы с обострением. Эволюция идеи: Законы коэволюции сложных структур. - М.:Наука,1999.- 255с.:

11. Ризниченко Г.Ю. Лекции по математическим моделям в биологии. Часть 1. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002

12. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных, Мат. Сб. т. 32, №3, 1952

13. Aghion, P., and P. Howitt. A model of Growth through Creative Destruction. Econometrica 60: 323-52. 1992.

14. Aghion, P., and P. Howitt. Endogenous Growth Theory. Cambridge, MA: MIT Press. 1998.

15. Artzrouni, M., and J. Komlos. Population Growth through History and the Escape from Malthusian Trap: A Homeostatic Simulation Model. Genus 41: 21-39. 1985.

16. Bongaarts, J. Completing the Fertility Transition in the Developing World: The Role of Educational Differences and Fertility Preferences. Population Studies 57: 321-35. 2003.

17. Bongaarts, J. The end of the fertility transition in the developing world. Policy Research Division Working Paper no. 161. New York: Population Council. 2002.

18. Boserup, E. The Conditions for Agricultural Growth: The Economics of Agrarian Change under Population Pressure. Chicago, IL: Aldine. 1965.

19. Braudel, F. Capitalism and Material Life, 1400-1800. New York, NY: Harper and Row. 1973.

20. Cameron, R. A Concise Economic History of World. New York, NY: Oxford University Press. 1989.

21. Foerster, H. von, P. Mora, and L. Amiot. Doomsday: Friday, 13 November, A.D. 2026. Science 132:1291-5. 1960.

22. Grossman, G., and E. Helpman. Innovation and Growth in the Global Economy. Cambridge, MA: MIT Press. 1991.

23. Habakkuk, H. J. English Population in the Eighteenth Century. Economic History Review 6: 117-33. 1953.

24. Hollingsworth, W. G. Ending the Explosion: Population Policies and Ethics for a Humane Future. Santa Ana, CA: Seven Locks Press; 1996.

25. Jones, C. R&D Based Models of Economic Growth, unpublished, Massachusetts Institute of Technology, 1992.

26. Komlos, J., and S. Nefedov. A Compact Macromodel of Pre-Industrial Population Growth. Historical Methods 35:92-4. 2002.

27. Kremer, M. Population Growth and Technological Change: One Million B.C. to 1990. The Quarterly Journal of Economics 108: 681-716. 1993.

28. Kuznets, S. Population Change and Aggregate Output. in Demographic and Economic Change in Developed Countries. Princeton, NJ: Princeton University Press. 1960.

29. Maddison, A. Monitoring the World Economy, 1820-1992. Paris: OECD. 1995.

30. Maddison, A. Monitoring the World Economy: A Millennial Perspective. Paris: OECD. 2001.

31. Malthus, T. Population: The First Essay. Ann Arbor, MI: University of Michigan Press. 1978.

32. McMichael, T. Human Frontiers, Environments, and Desease. Past Patterns, Uncertain Futures. Cambridge, UK: Cambridge University Press; 2001.

33. Nefedov, S. A. A Model of Demographic Cycles in Traditional Societies: The Case of Ancient China. Social Evolution & History 3(1): 69-80. 2004.

34. Podlazov A.V. Theory of the Global Demographic Process. // proceedings of the international conference “Mathematical Modeling of Social and Economical Dynamics”, Moscow, 2004.

35. Postan, M. M. Same Economic Evidence of Declining Population in the Later Middle Ages. Economic History Review. 2nd ser. 2:130-67. 1950.

36. Romer, P. Increasing Returns and Long-Run Growth, Journal of Political Economy, XCIV (1986), 1002-37

37. Simon, J. The Economics of Population Growth. Princeton: Princeton University Press. 1977.

38. Turchin, P. Historical Dynamics: Why States Rise and Fall, Princeton University Press, Princeton, NJ, 2003

39. Verhulst, P.F. Notice sur la loi que la population suit dans son accroissement, Corr. Math. Et Phys. 10, 113-121, 1838

Размещено на Allbest.ru