Управление рыночным риском по операциям с ценными бумагами в коммерческих банках

Таким образом, на практике вопрос критичности соответствия меры тем или иным аксиомам или свойствам должен решаться исходя из целей проводимого анализа.

В классическом финансовом риск-менеджменте основной статистической оценкой риска является волатильность, характеризующая изменчивость ценовых характеристик актива. Она стала основой целой группы оценок, так называемых мер изменчивости (deviation measures). Несмотря на их простоту, они обладают определенными недостатками. Не все меры учитывают асимметричность риска, который существенным образом влияет на принятие решений экономическими агентами, а также все наблюдения в исторической выборке имеют одинаковое влияние на показатель (одинаковый вес, соответствующий 1/N), а оценки в предшествующие моменты времени не влияют на текущее значение.

Кроме того, эти показатели некогерентны.

Наконец, все перечисленные оценки имеют общую для этого семейства проблему усреднения (сглаживания) экстремальных значений. В мерах, построенных на дисперсии (волатильности), не учитывается форма распределения убытков -- его островершинность (skewness) и наличие так называемых «тяжелых хвостов» (fat tails). С точки зрения риск-менеджмента это критическая уязвимость.

На анализе наблюдений, относящихся к хвостам распределения, то есть характеризующих большие убытки относительно малой вероятности, построены такие меры риска, как Value-at-Risk и Expected Shortfall.

Value-at-Risk (VaR) - это наиболее распространенный показатель риска. VaR представляет собой оценку величины, которую не превысят убытки портфеля Х с заданным уровнем надежности (1 - б) на заданном горизонте прогнозирования:

Так, 1-дневный 95%-ный VaR представляет собой величину убытков, которая с 95%-ной вероятностью не будет превышена в течение одного торгового дня.

В терминах теории вероятностей VaR является верхней квантилью функции распределения убытков портфеля (или, что то же самое, нижней квантилью распределения доходностей).

Стандартным VaR по Базелю II является 99%-ный 10-дневный VaR, то есть та величина, которую в течение ближайших 10 дней (двух рабочих недель) не превысят убытки с 99%-ным уровнем надежности.

Для оценки VaR используется накопленная история наблюдений, которая часто называется исторической выборкой. Неверно подобранная длина исторической выборки приводит к невалидности оценок. С одной стороны, слишком короткая историческая выборка может не содержать экстремальных («самых плохих») наблюдений. С другой стороны, слишком длинная историческая выборка может включать в себя наблюдения, не отвечающие текущим рыночным условиям, и, таким образом, также смещать VaR-оценку.

Было предложено несколько способов решения этой проблемы. На практике чаще всего применяется взвешивание наблюдений, при котором наиболее поздние наблюдения в выборке оказывают наибольшее влияние на итоговую оценку показателя. Обычно применяется экспоненциальное взвешивание, при котором вес i-го наблюдения wi, рассчитывается по формуле:

(2.7)

где л также известна как фактор затухания (decay factor).

Сравнительный график весов представлен на рис.2.3, номер наблюдения указан от даты расчета.

Таким образом, фактически величина выборки ограничивается выбранной величиной фактора затухания л. В общем случае этот параметр должен оцениваться методом максимального правдоподобия, однако это увеличивает трудоемкость процедуры. Другим способом задания параметра является экспертный; наиболее часто используемые значения лежат в диапазоне [0,9; 0,98].



Рис. 2.3. Веса для экспоненциально взвешенных наблюдений при различном выборе фактора запаздывания

Базель II рекомендует использование в качестве истории 250 торговых дней. При этом, однако, необходимо учитывать, что при типичной для многих российских бумаг низкой ликвидности такая выборка не всегда содержит необходимое число наблюдений.

На основе исторической выборки показатель Value-at-Risk может быть рассчитан двумя методами:

- непараметрическим (историческим);

- параметрическим.

При расчете исторического VaR производится реконструкция стоимости портфеля Р для его текущей структуры на исторических данных (т. н. полная переоценка, full valuation), то есть строится выборка:

(2.8)

где Pt-j -- стоимость портфеля, рассчитанная через функции ценообразования по значениям п риск-факторов наблюдавшимся в j-ю точку (дату) исторической выборки.

VaR, таким образом, рассчитывается как квантиль эмпирической функции распределения наблюдавшихся доходностей ri:

(2.9)

где Pt -- стоимость портфеля в дату исторической выборки t.

Для определения этой квантили выборка наблюдений потерь портфеля упорядочивается от минимальных значений (максимальных убытков) к максимальным. Затем рассчитывается номер n наблюдения, соответствующего квантили заданного уровня значимости б, по формуле:

n = бN, (2.10)

где N -- общее количество наблюдений в выборке.

Исторический VaR соответствует наблюдению в упорядоченной выборке с номером п, если номер n целый.

Если номер n нецелый, тo возможно несколько решений. На практике обычно применяются два из них. Первое состоит в том, что номер n округляется в меньшую сторону (например, при n = 2,3 в качестве VaR используется наблюдение с порядковым номером 2). В этом случае оценка риска оказывается более консервативной. При втором решении в качестве VaR принимается взвешенная сумма наблюдений с ближайшими номерами, меньшими и большими n (тогда при п = 2,3 VaR будет рассчитан как 0,3Х3 + +0,7X2, где Xi -- i-е наблюдение в упорядоченной выборке),

Очевидными достоинствами исторического метода являются:

- простота;

- интуитивные понятность и реалистичность («это худшее уже было»);

- отсутствие модельного риска в части неверной спецификации модели.

В свою очередь, недостатки исторического метода следующие:

- базовое предположение о том, что прошлое с достаточной степенью достоверности может быть использовано для предсказания будущего, не подтверждается на практике («было ли все худшее?»);

- отсутствие когерентности. Исторический (непараметрический) VaR построен на эмпирическом дискретном распределении, что зачастую приводит к нарушению субаддитивности VaR как показателя риска со всеми следствиями этого нарушения.

Параметрический VaR используется в предположении, что распределение приростов/убытков известно и задано в параметрическом виде. В таком случае VaR представляет собой квантиль уже не эмпирического, а гипотетического распределения (с параметрами, откалиброванными по фактическим данным).

В простейшем и наиболее часто используемом случае предполагаются нормальность распределения доходностей (соответственно, убытков) Х = -r и линейность ценообразования портфеля активов. VaR, построенный для этих двух условий, называется в литературе дельта-нормальным:

(2.11)

где uб -- квантиль стандартного нормального распределения уровня значимости б;

уx -- волатильность убытков портфеля;

тх -- математическое ожидание убытков портфеля.

Математическое ожидание тх и волатильность уx портфеля рассчитываются через оценки чувствительности стоимости портфеля к отдельным риск-факторам (т. н. оценки delta equivalents).

Способом, позволяющим совместить полную переоценку с параметрическим подходом, является расчет VaR методом Монте-Карло. В отличие от предыдущего дельта-нормального VaR этот метод позволяет оценить риски портфеля включающего в себя финансовые инструменты с нелинейными функциями ценообразования (например, опционы), поскольку в нем выполняется полная переоценка стоимости портфеля (вместо использования аппроксимации).

Алгоритм VaR Монте-Карло совпадает с методом расчета исторического VaR, за исключением того, что вместо фактических исторических значений риск-факторов используются их сценарные величины.

Методы, в которых вместо эмпирического используется гипотетическое распределение, принимаемое в качестве модельной предпосылки, имеют свои достоинства и недостатки.

К достоинствам относятся прозрачность предпосылок и при использовании эллиптических распределений (например, нормального, логнормального) в качестве гипотетического распределения -- когерентность VaR.

Основной проблемой при применении является корректность определения гипотетического распределения. Иными словами, ключевым вопросом становится соответствие гипотетического распределения риск-факторов (как предельного (marginal), так и совместного) эмпирическим (наблюдаемым) данным.

На практике выбор метода расчета VaR должен определяться соответствием базовых предпосылок модели эмпирическим данным, то есть точностью модели, возможностями, в том числе техническими, проведения постоянной калибровки оценок и, наконец, результатами верификации (бэктестинга).

Наиболее распространенным горизонтом оценки риска является один день («каков размер вероятных убытков завтра»). Проблема оценки риска на более длинных горизонтах не получила единого общепринятого решения.

Как правило, применяются два основных способа: оценка по агрегированным рядам и масштабирование.

В первом случае из рядов дневных котировок агрегируются (как правило. усреднением) Т-дневные ряды (например, недельные, квартальные и т. д.), по которым затем рассчитываются приросты. Очевидным недостатком этого метода является сокращение объема выборки пропорционально горизонту оценивания.

Во втором случае масштабируются, то есть приводятся к более длинному горизонту, 1-дневные оценки. Такими горизонтами обычно выступают две рабочие недели (Т = 10 рабочих дней) и год (Т = 250 или 252 рабочих дня).

Как правило, VaR более короткого горизонта масштабируется по правилу (square root-of-time rule (SRTR)), предполагающего линейный рост волатильности от времени (при нулевом среднем):

(2.12)

где -- Т-дневный VaR уровня доверительной вероятности б;

-- 1-дневный VaR уровня доверительной вероятности б.

Для классического дельта-нориального VaR, предполагающего ненулевое среднее, формула расширяется до:

(2.13)

где тх -- математическое ожидание убытков, рассчитанное по более короткому горизонту;

uб -- квантиль стандартного нормального распределения уровня значимоети б;

уx -- среднеквадратическое отклонение убытков, рассчитанное по короткому горизонту;

Т -- длина горизонта (в тех единицах времени, относительно которых были рассчитаны приросты).

Однако при использовании SRTR-масштабирования необходимо учитывать, что эта формула точна лишь при достаточно жестких условиях независимости доходностей (для масштабирования волатильности), независимости и нормальности (для масштабирования квантили). На практике в рядах ценовых приростов и волатильностей наблюдаются так называемые стилизованные факты (stylized facts): автокорреляции, тяжелые хвосты, кластерность и скачки волатильности, которые приводят к смещению оценок. полученных масштабированием. Чем больше горизонт масштабирования, тем выше будет эта погрешность.

Кроме того, было показано, что при относительно небольших значениях тх, даже скорректированная на среднее VaR-оценка на длинных горизонтах является заниженной. К занижению оценок также приводит наличие тяжелых хвостов доходностей. Наконец, существенно смещает VaR-оценки наличие автокорреляции (оценки завышены в случае отрицательных значений коэффициента автокорреляции и занижены в случае положительных значений).

Обобщая вышесказанное, показатель риска VaR обладает рядом достоинств:

- предоставляет возможность выразить риск количественно одной цифрой;

- прост и пригоден для ежедневного использования;

- интуитивно понятен, в том числе при объяснении экономического смысла для лиц, принимающих решения;

- хорошо поддается модификациям.

Вместе с тем хорошо известны и основные проблемы VaR:

- в общем случае не учитывает рыночную ликвидность, поскольку оценка производится по рыночным значениям цен активов без учета их изменения в результате ликвидации крупных позиций. В силу этого VaR, во-первых, малопригоден для использования на низколиквидных и неликвидных рынках и, во-вторых, требует аккуратного выбора горизонта оценивания;

- не учитывает кризисных ситуаций, находящихся в хвосте распределения убытков: VaR не учитывает тяжести потерь в случае возникновения таких редких экстремальных событий;

- в общем случае некогерентен. VaR когерентен при использовании таких параметрических аппроксимаций для приростов, как нормальное распределение, однако в общем случае когерентной мерой риска не является. Так, для эмпирических дискретных рядов было построено множество так называемых патологических примеров нарушения свойства субаддитивности. VaR, таким образом, может искажать профиль риска в случае агрегации субпортфелей или, напротив, декомпозиции портфеля. По этой же причине VaR не отображает риски концентрации;

- VaR, рассчитанный для различных горизонтов, может нарушать требование согласованности во времени, включая случай, когда модель является когерентной, то есть соответствует наиболее широко распространенным требованиям к адекватности оценок.

С точки зрения практического использования на текущий момент VaR является наиболее часто используемой мерой риска и до недавнего времени выступал в качестве показателя, используемого для оценки достаточности капитала в рамках подхода на основе внутренних моделей риска. Но в связи с выходом нового консультативного документа о фундаментальном пересмотре торгового портфеля его роль может значительно уменьшиться.

Часть проблем VaR может быть решена при использовании меры риска Expected Shortfall (ES) (также обозначается как Conditional VaR или Tail VaR), которая позиционируется в базельских документах в качестве возможной замены VaR.

Если VaR является квантилью распределения убытков и, таким образом, показывает пороговую для заданной доверительной вероятности величину убытков, то Expected Shortfall характеризует среднюю величину убытков в случае превышения ими порога VaR.

Аналогично VaR ES может быть расcчитан методами полной переоценки (по фактической или сценарной выборке убытков) или частичной переоценки (на основе предполагаемого распределения убытков).

ЕS методом полной переоценки рассчитывается как среднее убытков, превышающих VaR, по формуле:

(2.14)

где Xi -- i-е наблюдение в отсортированной по убыванию выборке убытков;

n -- количество наблюдений (фактических при историческом методе расчета или сценарных при методе Монте-Карло) убытков, б?льших VaR (наблюдений в т. н. «хвосте»).

Важно учитывать тот факт, что ES, рассчитываемый таким методом, более чувствителен к выборке, чем VaR: он зависит от наличия в ней редких экстремальных событий. Часто наблюдающаяся в эмпирических данных так называемая разреженность хвоста может приводить к неточности ES-оценок или их неустойчивости во времени.

ES методом частичной переоценки (параметрический ES) рассчитывается как:

(2.15)

где ц -- компонента, определяемая гипотетическим распределением убытков;

ух -- среднеквадратическое отклонение убытков портфеля;

mx -- среднее убытков портфеля.

Вместе с тем параметрический ES демонстрирует все проблемы, связанные с несоответствием теоретического распределения убытков эмпирическому. «Тонкий» хвост используемого наиболее часто нормального распределения (см. ниже) ведет к занижению оценки ES.

Дельта-нормальный ES рассчитывается как:

(2.16)

где q(?) -- плотность стандартного нормального распределения;

иа -- квантиль стандартного нормального распределения для заданного уровня значимости б.

Для дельта-нормальных ES и VaR уровней значимости 5% и 1% соответственно выполняются соотношения:

(2.17)

(2.18)

Таким образом, ES дает оценку ожидаемого значения непредвиденных потерь, то есть потерь, находящихся в хвосте распределения, превышающих VaR. Кроме того, ES обладает свойствами субаддитивности и когерентности. Наконец, ES менее чувствителен к уровню доверительной вероятности. В то же время, как и VaR, ES не обладает свойством согласованности во времени.

Графически исторический VaR и ES представлены на рис. 2.4.

Как правило, в литературе ES рекомендуется как более адекватная по сравнению с VaR оценка риска, несмотря на теоретические и практические проблемы, связанные со спецификой как непосредственно ее вычисления, так и верификации



Рис. 2.4. Функция распределения (вверху) и плотность (внизу) дневных доходностей обыкновенных акций ОАО «Лукойл» (май 2013 -- май 2014 гг.) с отмеченными оценками VaR и ES уровня значимости б.

В силу того, что статистическая оценка ES вычисляется по хвосту распределения, этот показатель чувствителен к наличию в выборке наблюдений экстремальных событий. Кроме того, в этом показателе игнорируется асимметричность риска.

Как уже говорилось выше, основной проблемой для параметрического VaR является несоответствие эмпирического распределения теоретическому. Эмпирическое распределение приростов ценовых риск-факторов не является нормальным. Как это видно уже при графическом анализе (см. рис.2.4), у эмпирического распределения наблюдаются так называемые тяжелые хвосты (fat tails).

С практической точки зрения это означает, что экстремальные события (позитивные и негативные) наблюдаются с большей вероятностью, чем должны были бы наблюдаться, если бы приросты являлись нормально распределенными.

Простейшим решением этой проблемы выглядит подбор теоретического распределения таким образом, чтобы оно как можно более точно соответствовало эмпирическим данным; чаще всего при таком подходе используется t-распределение Стьюдента. Однако этот вариант требует постоянной переоценки параметров распределения и собственно проверки корректности используемого распределения.

Более удобным на практике в целях оценки показателей риска выглядит подход, предложенный в рамках теории экстремальных значений (extreme value theory, EVT). Поскольку с точки зрения риск-менеджмента интерес представляет именно тяжелый хвост, остальная выборка может быть исключена из рассмотрения.

Однако в целом необходимо указать на тот факт, что проблема тяжелых хвостов -- не единственное свойство, которое должно быть учтено при VaR-анализе.

Другим важным фактором, влияющим на величину риска, являются свойства эмпирической волатильности убытков: ее кластерность, длинная память, зависимость от времени. Эти свойства учитываются с помощью моделей динамической волатильности (из наиболее известных это ARCH/ GARCH).

Кроме того, необходимо учитывать, что хотя более точные оценки тяжелого хвоста в какой-то степени решают проблему анализа кризисных событий (как правило, именно к кризисным периодам относятся экстремальные значения риск-факторов со значимо возросшими корреляциями), для адекватного представления об уровне риска необходимо дополнить VaR-оценки ожидаемых потерь оценками потерь непредвиденных. В частности, эта задача решается средствами сценарного анализа.

В качестве дополнения к статистическим мерам риска регуляторами и финансовыми институтами рассматривается стресс-тестирование. По итогам изучения причин и предпосылок кризиса 2008 года международные организации, такие как Financial Stability Board (FSB), Basel Committee on Banking Supervision, European Commission on Banking Supervision (ECBS), The Institute of International Finance (IIF), выпустили рекомендации по доработке процедур риск-менеджмента, в которых регламентировали расширенное использование стресс-тестов.

Под стресс-тестированием понимается анализ влияния серьезных, с тяжелыми последствиями, но реалистичных (severe but plausible) шоков на капитал или ликвидность организации. Стресс-тестирование подразумевает переоценку портфеля активов, показателей баланса, отчета о прибылях и убытках и нормативов финансового института по значениям экономических переменных, определенным в качестве стрессовых. При обратном стресс- тестировании (reverse stress-testing) производится оценка сценарных шоков, которые могут привести к катастрофическим для организации последствиям. Иными словами, величина критических потерь для института является заданной, целью анализа является выявление совокупности шоков, которые могут привести к этим потерям, и возможных сценариев реализации рисков. В качестве инструментария стресс-тестирования применяется анализ чувствительности для оценки влияния одного (реже -- двух) фактора риска и сценарный анализ, который предполагает использование исторических или генерацию гипотетических сценариев, в том числе так называемых сценариев максимальных потерь (maximum loss или worst-case scenario).

В Российской Федерации необходимость проведения стресс-тестирования в кредитных организациях регламентируется со стороны Банка России. В частности, предполагается, что руководство кредитной организации должно уделять постоянное внимание актуальности стресс-тестов и контролировать процесс их уточнения и модификации для более полного учета текущего состояния и перспектив развития, а результаты стресс-тестов должны рассматриваться кредитным комитетом банка при принятии решений.

Банком России активно развивается собственная система стресс-тестрования для проведения оценки финансовой стабильности банковского сектора. Регулярная процедура, проводимая Банком России, охватывает все действующие кредитные организации в рамках подхода «сверху вниз» (top- down), а также использует результаты программы сбора стресс-сценариев «снизу вверх» (bottom-up). Процедура bottom-up включает в себя набор однофакторных и макроэкономических стресс-сценариев, таких как:

- повышение уровня NPL на 5 и 8%;

- дефолт пяти крупнейших заемщиков;

- изъятие вкладов населения с последующей «пожарной» продажей ликвидных активов;

- девальвация рубля на 20%;

- стресс рынка акций на 30%;

- параллельный сдвиг кривых доходности на 300 б.п. для государственных и на 900 б.п. для корпоративных облигаций.

Макроэкономические стресс-тесты могут включать в себя различные сценарии экономического роста: например, в рамках процедуры FSAP в 2010 г. предлагалось оценить последствия реализации следующих сценариев:

- базового, предполагающего рост ВВП около 4%;

- пессимистического, предполагающего падение ВВП на 4,5% по отношению к базовому сценарию (приблизительно 1 стандартное отклонение);

- экстремального, предполагающего падение ВВП на 8% к базовому сценарию (приблизительно 1,7 стандартного отклонения).

С учетом возрастающей роли стресс-тестирования можно предположить, что требования к проведению bottom-up стресс-тестов и круг вовлеченных банков будут расширяться.

2.3 Контроль и управление рыночным риском по операциям с ценными бумагами

Установление и соблюдение лимитов являются одними из ключевых факторов успешного управления рыночным риском. Правильно организованная система лимитов позволяет ограничивать возможные потери с учетом аппетита к риску, распределять желаемым образом экономический капитал между подразделениями банка, а также измерять эффективность использования капитала RAROC (risk-adjusted return on capital). Рассмотрим, каким образом достигаются эти цели.

Чаще всего применяются несколько видов лимитов: VaR-лимиты, позиционные лимиты, лимиты на потери (stop-loss лимиты), а также лимиты на характеристики портфеля (лимит на дюрацию (duration) и выпуклость (convexity) для портфеля облигаций, лимит на бету портфеля акций, лимит на «греков» для опционного портфеля).

Наиболее популярными являются позиционные лимиты, которые ограничивают объем позиции. Основное их преимущество заключается в том, что они понятны абсолютно всем участникам процесса управления рисками. Модельный риск, связанный с управлением такой системой лимитов, практически отсутствует.

Проиллюстрируем систему позиционных лимитов на примере портфеля акций и торгового портфеля облигаций.

Пример 1. Построение системы позиционных лимитов на портфель акций.

Система позиционных лимитов может ограничивать не только риск изменения стоимости портфеля в результате изменения цены, но и такие часто недооцениваемые риски, как риск концентрации, риск ликвидности и специфический риск.

Приведем пример построения системы позиционных лимитов.

Уровень 1 -- позиционный лимит X на портфель акций.

Уровень 2 -- лимиты на подпортфели, сгруппированные исходя из ликвидности находящихся в них бумаг.

Здесь поделим акции на два подпортфеля: подпортфель акций высокой ликвидности (до 100% портфеля) и средней ликвидности (до 40% общего портфеля).

Уровень 3.1 -- лимиты на индивидуальные акции исходя из концентрации (CL).

Например, лимит концентрации не более 20% от подпортфеля на одну акцию для акций каждого из подпортфелей.

Уровень 3.2 -- лимит для ограничения риска ликвидности (LL).

Например, не более k% от среднего оборота ценной бумаги за 60 последних торговых дней.

Итоговый индивидуальный лимит = min (CL, LL).

Таким образом, построена система позиционных лимитов по портфелю акций. Первый уровень лимитов позволяет ограничить размер портфеля. В случае макроэкономического кризиса (реализации системного риска) лимит на портфель ограничит потери. Затем акции делятся на списки, исходя из ликвидности -- это второй уровень. Критерии для определения в список высоко- или среднеликвидных могут быть различными. Чаще всего применяют такие критерии, как среднегодовой оборот, количество заключенных сделок в день, величина спреда bid-ask. На современном российском рынке можно назвать около десяти акций высокой ликвидности.

Третий уровень лимитов позволяет ограничить влияние специфического риска.

Например, произошло стихийное бедствие и разрушены производственные мощности компании А. Реализация такого риска отразится как на стоимости ее акций, так и на стоимости облигаций. Поэтому лимит концентрации будет складываться из позиций по акциям и облигациям компании А:

СL(А) = PosStock А + PosBond А. (2.19)

Лимит для ограничения риска ликвидности может устанавливаться, например, исходя из среднедневных оборотов по акции за последние 60 торговых дней:

(2.20)

Также лимит можно установить исходя из 60 не прошлых, а кризисных дней. Параметр k тесно перекликается с гипотезой о количестве дней, необходимых для ликвидации позиции, когда рассчитывается VaR. Если k = 20 и мы предполагаем, что без влияния на цену сможем реализовать только 5% от среднедневного оборота, то количество торговых дней для ликвидации позиции составит: 20 / 5 = 4.

Пример 2. Построение системы лимитов на портфель облигаций.

Для портфеля облигаций, как правило, позиционные лимиты дополняются лимитами на чувствительность к процентному риску (лимиты на дюрацию, на выпуклость). Сами по себе позиционные лимиты недостаточны, так как можно нарастить процентный риск, например, нарастив дюрацию портфеля.

Уровень 1 -- лимит на общий портфель вложений в облигации (В1).

Уровень 2 -- лимиты на подпортфели.

Портфель облигаций можно разделить, например, на три подпортфеля. Такое деление можно объяснить несколькими причинами. Государственные облигации, номинированные в национальной валюте, обычно наиболее ликвидны и лишены кредитного риска. По облигациям инвестиционного рейтинга доходность обычно больше, чем по гособлигациям, вследствие наличия кредитного риска, а также зачастую меньшей ликвидности. Таким образом, лимиты можно разделить на следующие подпортфели:

В21 -- государственные облигации;

В22 -- облигации инвестиционного рейтинга;

В23 -- облигации спекулятивного рейтинга.

Одно из основных отличий второго примера от первого состоит в том, что есть класс облигаций, известных как «евробонды», которые торгуются на внебиржевом рынке и по которым сложно определить ликвидность. Ликвидность можно приблизительно оценить, посмотрев на биржевые облигации со схожим уровнем кредитного и процентного рисков. Различия будут объяснены только различиями в валюте (евробонды номинированы в евро) и специфическими рисками. Также может быть полезен лимит на долю от облигационного выпуска. Как правило, на практике такие лимиты на облигационный выпуск варьируются от 1 до 5-10%. Цель таких лимитов -- не допустить высокой концентрации облигационного займа одного выпуска. За исключением дополнительного лимитирования дюрации портфеля и подпортфелей, где это считается необходимым, структура позиционных лимитов для портфеля облигаций схожа с такой же системой для портфеля акций.

Определим величину лимита исходя из риск-аппетита. Предположим, что руководство банка на встрече с риск-менеджером выявило риск-аппетит по некоторой рыночной деятельности, например по портфелю высоколиквидных акций.

Руководство готово потерять в худшем случае не более 30 руб. Это обычно и называется риск-аппетитом. Риск-менеджер, тщательно проанализировав ситуацию, составил стресс-тест, посчитал результаты и пришел к выводу, что максимальные потери по портфелю высоколиквидных акций составят 20%. Таким образом, позиционный лимит для такого портфеля составит:

Пример 3. Установление позиционного лимита для портфеля акций из примера 1.

На первом шаге выясняется аппетит к риску у руководства бизнес- процесса (L). Пусть L = 100 руб.

На втором шаге определяются максимальные потери по подпортфелям, проводя стресс-тестирование. Пусть по подпортфелю средней ликвидности стресс-потери составляют 50%, а по подпортфелю высоколиквидных акций -- 20%. Доля вложений в среднеликвидные акции -- б, в высоколиквидные -- (1-б) от величины лимита X.

На третьем шаге предполагается, что в момент реализации кризиса портфель будет наихудшим из возможных.

Система лимитов должна удовлетворять условию:

(2.21)

Отсюда получается:

(2.22)

В уравнение (2.22) два неизвестных, значит, можно зафиксировать одно из неизвестных и определить из уравнения второе. Например, трейдингу необходим лимит на акции средней ликвидности в 50% от общего лимита на портфель (б = 0,5). Тогда, исходя из уравнения (2.22), лимит на общий портфель должен составить:

Система лимитов, основанная на VaR, имеет свои достоинства и недостатки по сравнению с позиционными лимитами (см. табл.2.3).

VaR-модели сильно зависят от метода расчета VaR, поэтому любые ошибки в методологии расчета VaR сказываются не только на измерении рыночного риска, но и на управлении им. Отметим лишь, что модель VaR должна быть отвалидирована (проверена) на данных за пределами выборки (out-of-sample), прежде чем использоваться для принятия управленческих решений. Существует несколько статистических тестов, позволяющих оценить адекватность модели VaR. В финансовой эконометрике используют два наиболее популярных теста -- Unconditional Coverage Test и Dynamic Quantile Test.

Очень важно, чтобы модель VaR могла решить проблему volatility clustering. Поэтому лучше использовать класс GARCH или EWMA VaR-моделей.

Продемонстрируем интересные свойства системы VaR-лимитов на примере простых моделей. Итак, предположим, что VaR по акциям рассчитывается как параметрический нормальный, а именно:

(2.23)

Также предположим, что VaR по облигациям рассчитывается так:

(2.24)

(2.25)

где -- изменение ставки процента;

-- 99%-ная квантиль эмпирического распределения изменения ставки процента;

MD -- модифицированная дюрация;

Соnv -- выпуклость портфеля облигаций.

Утверждение 1. VaR-система лимитов более гибко реагирует на изменения рыночных параметров и корректирует позиционный лимит. В данном выше примере в день t:

(2.26)

(2.27)

Теперь допустимая позиция пo акциям уже не фиксирована, как в случае позиционных лимитов, но зависит от волатильности в конкретный день t. Другими словами, чем выше волатильность, тем ниже допустимая позиция по акциям.

В случае с облигациями, если трейдер решит увеличить дюрацию портфеля, ему будет необходимо сократить позицию при прочих равных условиях. Или если на рынке ожидается скачкообразное увеличение ставки процента, то позиция в облигациях снизится.

Утверждение 2. Руководитель может отслеживать риск, который де-факто принимается различными подразделениями.

Более того, внутри подразделения можно распределить риск между трейдерами, исходя из бизнес-стратегии и результатов работы.

Утверждение 3. VaR-лимиты учитывают диверсификацию.

Пусть VaR рублей составляет риск-аппетит руководства в отношении подразделения, работающего на финансовом рынке. Тогда допустимые лимиты на портфель акций и облигаций должны удовлетворять следующему уравнению:

(2.28)

где с -- корреляция между портфелями акций и облигаций.

На практике очень сложно оценить корреляцию между портфелями, поэтому часто ее принимают равной единице и тогда формула принимает вид:

(2.29)

Если истинная корреляция меньше 1, то риск переоценивается, что имеет свои издержки. Например, если проводить аллокацию (распределение) капитала по упрощенной формуле, то распределяется больше капитала, чем на самом деле необходимо, и несутся вполне реальные издержки упущенных возможностей, а совокупная мера RAROC получается ниже, чем могла бы быть, если бы аллоцировался капитал точнее.

Утверждение 4. Ликвидность обычно учитывается в количестве дней до ликвидации позиции (holding period). Затем с помощью правила квадратного корня времени (square root of time rule) VaR скалируется (пропорционально изменяется):

(2.30)

Таким образом, если позиция, которую мы заняли, может быть ликвидирована в течение дня, то берем в расчет один день. Как точно определить количество дней до ликвидации позиции -- достаточно сложный вопрос. Обычно применяются эмпирические методы. Реже делается попытка оценить объем позиции (F), которую можно ликвидировать, не влияя значительным образом на цену. Для такой оценки нужен существенный объем данных по заключенным сделкам внутри дня за большой период. После оценки F, общая позиция делится на это число и вычисляется количество дней. На практике используется от 1 до 10 торговых дней.

Утверждение 5. Подразделения с высоким показателем RAPM (risk- adjusted performance measures) могут рассчитывать на аллокацию большей части капитала.

Для менеджмента почти всегда интересно узнать, какую доходность с учетом риска приносит то или иное подразделение. Для подразделений с высоким показателем RAPM система лимитов, основанных на VaR, может значительно упростить процедуру расчета таких показателей. RAROC, рассчитанный ex ante (иногда его еще называют ROVAR - return on VaR), может помочь оценить эффективность той или иной торговой стратегии или портфеля. Формула, по которой рассчитывают RAROC ex-ante, следующая:

(2.31)

где E(S) -- ожидаемая прибыль от стратегии S;

VaR ex-ante -- капитал, необходимый для реализации стратегии.

Таким образом, руководитель подразделения бизнеса может рассчитать предполагаемую доходность с учетом риска по различным стратегиям инвестирования.

RAROC ex-post показывает реализованную доходность с учетом риска и рассчитывается по следующей формуле:

(2.32)

где Profit -- реализованная прибыль за период;

VaR ex-post -- среднедневное значение VaR.

На основе RAROC ex-post можно понять, создает ли ценность (value) бизнес-подразделение или нет. Если RAROC ex-post больше требуемой акционерами доходности, то рассматриваемый бизнес создает ценность.

В системе трансфертного ценообразования казначейство может устанавливать требуемую доходность для подразделений. Также RAROC ex-post можно устанавливать в качестве КРI как для отдельных сотрудников, так и для подразделений, чтобы не только стимулировать получение прибыли любым способом, но и учитывать риск, который берут на себя подразделения, зарабатывая прибыль.

Обычно лимиты на потери (stop-loss лимиты) не рассматриваются как отдельная система лимитов, а дополняют уже существующую позиционную или VaR-систему.

Идея stop-loss лимитов заключается в том, чтобы ликвидировать позицию, если по ней будут потери ниже некоторого уровня.

В соответствии с математической статистикой такие ограничения могут увеличить математическое ожидание дохода и снизить дисперсию. Например, если доходность нормально распределена и используются stop-loss лимиты, то характеристики усеченного (truncated) распределения будут такими:

(2.33)

(2.34)

где µ -- среднее распределения доходности;

? -- стандартное отклонение;

X -- доходность;

z -- стоп-лосс уровень;

Обобщим достоинства и недостатки рассмотренных систем управления лимитами (табл. 2.3).

Таблица 2.3

Сравнение систем управления лимитами

№	Позиционная система	VaR-система
1	Простота, отсутствие сложных вычислений и как результат - модельного риска	Гибкость; динамическая система управления уровнем риска
2	Учитывает риск-аппетит	Учитывает риск-аппетит
3	Неэффективна в случае деривативных нелинейных позиций	Позволяет ограничить с помощью VaR риск по деривативным контрактам
4	Не учитывает диверсификацию	Учитывает диверсификацию
5	Позволяет проводить аллокацию капитала	Позволяет проводить аллокацию капитала
6	Учитывает риск-концентрации	Прямо не учитывает риск-концентрации
7	Высокая надежность и консервативность (базируется на стресс-тестировании)	Средняя надежность на развивающихся рынках (базируется на статических методах)

Таким образом, лучше всего комбинировать два подхода к лимитированию, стараясь создать систему, в которой будет меньше слабых мест. Например, VaR-систему лимитов можно дополнить позиционными лимитами на концентрацию и ликвидность, stop-loss лимитами на определенные характеристики подпортфелей.

Однако на этапе внедрения в целях снижения модельного риска можно сначала внедрить систему позиционных лимитов, а затем постепенно усовершенствовать и VaR-систему.

А теперь перейдем к рассмотрению применения линейных деривативов для снижения риска (хеджирования). Для этого сначала рассмотрим, как формируется фьючерсная цена расчета, что такое базисный риск и о чем следует помнить, хеджируя риски.

Справедливой фьючерсной ценой будем называть цену поставки в момент Т, при которой цена фьючерсного контракта равна нулю. Если использовать принцип отсутствия арбитража, в случае дискретного начисления процентов справедливая фьючерсная цена равна:

(2.35)



где S0 -- спот-цена на актив в момент времени 0;

PVofDiv -- дисконтированная стоимость платежей, которые будут получены держателем актива в период времени с 0 до Т (например, дивидендов);

PVofSC -- дисконтированная стоимость платежей, которые должны быть уплачены держателем актива в период времени с 0 до Т (например, издержек хранения);

r -- безрисковая ставка процента на промежутке с 0 до T;

Т -- длительность контракта.

Ситуация, когда F(t, T) > St. Контанго возникает, когда:

· нет дивидендов и нет издержек хранения;

· есть издержки хранения, но нет дивидендов;

· есть дивиденды, но их эффект меньше эффекта начисления процентов.

Обычно в контанго находятся рынки бескупонных облигаций, а также акций, по которым не платят дивиденды.

Ситуация, когда F(t,T) < St. Бэквордация возникает, когда:

· нет издержек хранения актива, а по активу выплачиваются дивиденды, эффект от которых перекрывает эффект начисления процентов;

· эффект от дивидендов перекрывает эффекты хранения и начисления процентов.

В бэквордации могут оказаться нефтяные рынки.

Базисом называют разницу между спот-ценой актива и справедливой фьючерсной ценой:

Basist = St - F(t; T). (2.36)

Таким образом, когда Basist > 0, возникает бэквордация, в противном случае -- контанго.

Идеальное хеджирование возможно, когда хеджируемый актив и актив фьючерсного контракта совпадают, а также совпадают дата окончания фьючерсного контракта и предполагаемая дата операции с активом.

Например, банку необходимо купить 1 кг золота через три месяца и банк хочет зафиксировать цену золота сейчас, вступая в длинную позицию по фьючерсному контракту на 1 кг золота с окончанием через три месяца. Через три месяца базис будет равен нулю, или, другими словами, St = F(T;T). Совокупные денежные потоки банка:

(2.37)

Выражение в скобках -- это прибыль от фьючерсного контракта. Таким образом, банк заплатит справедливую фьючерсную цену в момент времени 0 и не будет подвержен колебаниям спот-цены актива.

На практике не всегда удается найти описанный выше контракт. Банку приходится сталкиваться с двумя рисками:

1. Базисный риск -- ситуация, когда срок погашений и срок предполагаемой операции с активом не совпадают.

Например, игроку необходимо купить актив в момент времени t = 2. а биржевые контракты на этот актив доступны только со сроком окончания t = T. Игрок реализует следующую стратегию хеджирования: в момент времени t = 1 покупает фьючерсный контракт с окончанием в момент Т. В момент времени t = 2 игрок покупает актив и продает фьючерсный контракт. Расходы в момент t = 2:

(2.38)

Необходимо отметить, что в момент времени t = 1 банк знает только F1, но не знает величину базиса. Игрок, следующий такой стратегии, хеджирует ценовой риск, но остается подвержен риску изменения базиса. Можно сравнить дисперсию базиса и дисперсию спот-цены актива:

(2.39)

где Var -- дисперсия;

Cov -- ковариация между активами;

Corr -- корреляция между активами;

Stdev -- стандартное отклонение.

Когда тогда изменчивость базиса меньше, чей изменчивость цены спот.

Описанное выше условие соблюдается, когда корреляция между спот- ценой и справедливой ценой форвардного контракта высокая. Иными словами, обычно базисный риск меньше спот-ценового риска.

2. Риск использования фьючерса на «похожий» актив. Бывают ситуации, когда фьючерс на актив недоступен и не торгуется, Тогда игрок ищет подобный актив, а именно актив, который имеет высокую корреляцию с хеджируемым активом.

Хеджирование с целью минимизации дисперсии применяется в случае, когда идеальное хеджирование по каким-то причинам недоступно.

Пусть размер одного контракта и объем актива, в котором возникает потребность, не равны. Тогда расходы в момент времени t = 2 будут следующими:

где N -- число фьючерсных контрактов.

Дисперсия расходов:



(2.40)

Основная цель хеджирования -- минимизация рисков. Возьмем производную от (2.40) и найдем N, минимизирующее дисперсию. Получим следующее условие первого порядка:

(2.41)

Из уравнения (2.41) найдем, что оптимальное количество фьючерсных контрактов составит:

(2.42)

Таким образом, чем меньше стандартное отклонение Stdev(S2), тeм больше спот-цена ведет себя как константа, а значит, есть возможность относительно точного прогнозирования и количество хеджирующих контрактов невелико. Чем больше волатильность хеджирующих контрактов, тем меньше их оптимальное количество.

Аналогично чем меньше корреляция между спот-рынком и рынком хеджирующих контрактов, тем меньшее количество таких контрактов необходимо.

Рассмотрим хеджирование портфеля облигаций. Рыночная стоимость портфеля облигаций зависит от изменения ставки процента. Если ожидается, что ставка процента вырастет, то стоимость нашего портфеля снизится. Значит, необходимо снизить чувствительность портфеля облигаций к изменению ставки процента. Для измерения чувствительности портфеля облигаций к ставке процента обычно применяют модифицированную дюрацию (математически -- производная цены облигации по ставке процента). Зная дюрацию, можно посчитать процентное изменение стоимости портфеля облигаций по формуле:

(2.43)

где ДВ -- изменение рыночной стоимости портфеля облигаций;

В -- стоимость портфеля облигаций;

MD -- модифицированная дюрация;

Дr -- изменение ставки процента.

Рублевое изменение рыночной стоимости может быть рассчитано следующим образом:

банковский риск управление ценный

(2.44)

Естественно, получится только приблизительное изменение стоимости портфеля, так как в расчетах использовалась только первая производная. Расчет будет тем точнее, чем меньше изменение ставки процента. Чтобы увеличить точность, можно посчитать вторую производную цены облигации по ставке процента, которую называют выпуклостью (convexity).

Чтобы лучше пояснить механизм хеджирования остановимся на модифицированной дюрации,

Итак, если ожидается увеличение ставок, стоимость портфеля облигаций снизится. Поэтому следует попытаться сократить модифицированную дюрацию, чтобы снизить эффект от увеличения ставок. Это можно сделать двумя способами. Первый способ -- продать часть облигаций и держать деньги. Второй способ предполагает использование фьючерсных контрактов на облигации.

Предположим, что имеется портфель государственных облигаций, и кредитного риска нет. Рассмотрим второй способ - механизм хеджирования процентного риска с помощью фьючерсных контрактов.

Сам по себе фьючерсный контракт не имеет дюрации. Однако дюрацию имеет облигация/корзина облигаций, которая выступает в качестве underlying (в пер. с англ. базовый). Таким образом, фьючерсный контракт имеет подразумеваемую дюрацию (implied duration). Подразумеваемая дюрация рассчитывается на дату окончания контракта.

Применяя ранее полученную формулу для облигаций (2.44), получим изменение стоимости фьючерсного контракта:

(2.45)

где MDF -- модифицированная дюрация портфеля фьючерсных контрактов;

F -- стоимость фьючерсного контракта;

Дr -- изменение процентной ставки.

Основная идея хеджирования здесь состоит в том, что можно изменять степень подверженности процентному риску с помощью фьючерсных контрактов.

Рассмотрим возможные случаи.

1. Полное хеджирование

Предположим, что ставка процента будет расти, поэтому попытаемся сделать портфель облигаций полностью нечувствительным к изменению ставки процента. В таком случае должно выполняться условие:

(2.46)

где N -- количество фьючерсных контрактов.

Подставляя в формулу (2.46) выражения для изменения стоимости облигационного портфеля и фьючерсного контракта из формул (2.44) и (2.45), получим:



(2.47)

где MDB -- модифицированная дюрация портфеля облигаций.

Знак «-»говорит о том, что необходимо проводить сделку short.

2. Полное хеджирование (ставки процента не совпадают)

Предположим теперь, что фьючерс используется на корзину ОФЗ, а портфель состоит не только из государственных облигаций. Следовательно, два портфеля имеют различные риск-факторы.

Для такого случая можно посчитать чувствительность изменения доходности портфеля к изменению доходности ОФ3. Такой показатель называется в англоязычной литературе yield beta. Находится он с помощью построения линейной регрессии вида:

(2.48)

где ДyB -- изменение доходности портфеля облигаций;

ДyG -- изменение доходности государственной облигации.

Следует соблюдать осторожность в выборе регрессии без пересечения вида y = kx. Некоторые желаемые свойства не могут быть гарантированы, если не учитывается пересечение из оцениваемого уравнения.

Таким образом, уравнение полного хеджирования выглядит так:

(2.49)

3. Неполное хеджирование

В отличие от компаний реального сектора банк зарабатывает на кредитном и рыночном рисках, поэтому полное избегание процентного риска (полное хеджирование) не всегда желаемо. Принцип хеджирования можно определить как изменение степени подверженности какому-либо риску; снижение чувствительности к этому риску до нуля не обязательно.

Рассмотрим теперь пример, где будем доверять прогнозу макроэкономистов и аналитиков о движении ставки процента, но не безоговорочно; поэтому не желательно снижать дюрацию до нуля, достаточно снизить ее до определенного целевого уровня MDT (целевая дюрация).

Тогда имеем:

(2.50)

где ДТ-- изменение стоимости портфеля с целевой дюрацией.

Применяя формулу (2.43) к уравнению (2.50), получим:

(2.51)

Разделим на Дy правую и левую части уравнения (2.51), считая, что это изменение не равно нулю.

Получим формулу равенства для рублевой дюрации:

(2.52)

Из формулы получим оптимальное количество фьючерсных контрактов:

(2.53)

или если ставки не совпадают:



(2.54)

Остановимся на проблемах, связанных с хеджированием процентного риска.

1. Неточность. Использование модифицированной дюрации дает приблизительную оценку изменения стоимости портфеля. Поэтому после операции хеджирования полезно посчитать дюрацию портфеля еx post. Она рассчитывается по следующей формуле:

(2.55)

где ДР -- процентное изменение цены облигации.

Обычно целевая дюрация ex ante не совпадает с дюрацией ex post как раз ввиду того, что используется аппроксимация.

2. Кредитный риск - суверенный и корпоративный. Очень важно помнить, что управление процентным риском не дает гарантий избежания крупных потерь. Если в портфеле есть корпоративные облигации или государственные облигации других стран, то стоимость портфеля может упасть в случае дефолта одного или нескольких заемщиков и проблем с государственными финансами стран-эмитентов.

3. Недостаток ликвидности. К сожалению, многие техники из перечисленных ранее на российском рынке будут сталкиваться с проблемой ликвидности. Способов решения этой проблемы не так уж и много. Первый -- использовать внебиржевые контракты (over-the-counter, ОТС). Внебиржевые контракты могут иметь более высокую стоимость по сравнению с аналогичными биржевыми контрактами. Их заключение будет увеличивать кредитный риск в случае, если рыночная стоимость контракта положительна.

Второй способ коррекции дюрации -- это совершение торговых сделок с облигациями. То есть для увеличения дюрации мы продаем «короткие» бумаги и покупаем «длинные». Коррекция дюрации совершением торговых сделок -- один из наиболее популярных способов управления процентным риском. Главный его недостаток -- высокие транзакционные издержки, а также большее время, требуемое для коррекции дюрации, при прочих равных условиях.

Активное управление процентным риском построено на неявном предположении, что у банка есть мнение относительно того, как будут меняться ставки процента. Ставка процента -- величина макроэкономическая, и она тесно связана с другими макроэкономическими показателями и стадией экономического цикла. Даже крупные банки не всегда уделяют достаточно внимания макроэкономическому анализу, хотя умелый макроанализ может улучшить прогноз об изменении ставок.

Рассмотрим хеджирование портфеля акций. Акции считаются более рискованными, чем облигации. В случае с облигациями имеется высокий локальный рыночный риск. Однако чем ближе ценная бумага подходит к погашению, тем рыночная цена облигации становится ближе к номиналу. Глобального рыночного риска по облигациям нет. В то же время акции, в отличие от облигаций, не предполагают никаких гарантированных выплат, а следовательно, рыночный риск здесь ничем не ограничен. Для измерения риска по портфелю акций обычно используют стандартное отклонение (волатильность) и показатель бета.

Стандартное отклонение как показатель риска имеет свои недостатки. Например, оно одинаково учитывает при вычислении риска как рост доходности, так и ее падение.

Далее сосредоточимся на другой мере риска -- показателе бета. Показатель бета определяется исходя из применения модели САРМ (Capital Asset Pricing Model):



(2.56)

где ri -- доходность портфеля акций;

rf -- безрисковая ставка процента;

rm -- доходность рыночного портфеля;

В модели САРМ только систематический риск оплачивается большей доходностью. То есть, используя показатель бета, неявно предполагается, что портфель акций достаточно диверсифицирован. Итак, бета измеряет чувствительность доходности по акции/портфелю акций к изменению рыночной риск-премии (rm - rf). Другими словами, бета показывает, на сколько процентов изменится доходность акции при изменении риск-премии на 1%.

Далее перейдем непосредственно к выводу формулы для хеджирования портфеля акций.

...